Maktab matematika kursida bola birinchi marta "tenglama" atamasini eshitadi. Bu nima, keling, buni birgalikda aniqlashga harakat qilaylik. Ushbu maqolada biz yechim turlari va usullarini ko'rib chiqamiz.
Matematika. Tenglamalar
Boshlash uchun biz kontseptsiyaning o'zini tushunishingizni taklif qilamiz, bu nima? Ko'pgina matematika darsliklarida aytilganidek, tenglama - bu tenglik belgisi bo'lishi kerak bo'lgan ba'zi ifodalar. Ushbu iboralar o'zgaruvchilar deb ataladigan harflarni o'z ichiga oladi, ularning qiymatini topish kerak.
Bu uning qiymatini o'zgartiradigan tizim atributidir. O'zgaruvchilarga yaxshi misol:
- havo harorati;
- bolaning balandligi;
- vazn va boshqalar.
Matematikada ular harflar bilan belgilanadi, masalan, x, a, b, c... Odatda matematik vazifa quyidagicha bo'ladi: tenglamaning qiymatini toping. Bu shuni anglatadiki, bu o'zgaruvchilarning qiymatini topish kerak.
Turlari
Tenglama (biz oldingi xatboshida nima ekanligini muhokama qildik) quyidagi shaklda bo'lishi mumkin:
- chiziqli;
- kvadrat;
- kub;
- algebraik;
- transsendental.
Barcha turlar bilan batafsilroq tanishish uchun biz har birini alohida ko'rib chiqamiz.
Chiziqli tenglama
Bu maktab o'quvchilari bilan tanishadigan birinchi tur. Ular juda tez va sodda tarzda hal qilinadi. Shunday qilib, chiziqli tenglama nima? Bu shaklning ifodasidir: ah=c. Bu ayniqsa aniq emas, shuning uchun bir nechta misollar keltiramiz: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Keling, tenglamalarga misollarni ko'rib chiqaylik. Buning uchun barcha ma'lum ma'lumotlarni bir tomonda, noma'lumlarini esa ikkinchi tomondan to'plashimiz kerak: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Bu yerda matematikaning elementar qoidalaridan foydalanilgan: a*c=e, bundan c=e/a; a=e/c. Tenglamaning yechilishini yakunlash uchun biz bitta amalni bajaramiz (bizning holatimizda bo'linish) x = 13; x=8; x=5. Bular ko'paytirishga misollar edi, endi ayirish va qo'shishni ko'rib chiqamiz: x+3=9; 10x-5=15. Biz ma'lum ma'lumotlarni bir yo'nalishda o'tkazamiz: x=9-3; x=20/10. Oxirgi amalni bajaring: x=6; x=2.
Chiziqli tenglamalarning variantlari ham mumkin, bu erda bir nechta o'zgaruvchilar ishlatiladi: 2x-2y=4. Yechish uchun har bir qismga 2y qo'shish kerak, biz 2x-2y + 2y = 4-2y olamiz, biz sezganimizdek, teng belgisining chap tomonida -2y va +2y bekor qilinadi va bizni qoldirib ketadi. : 2x = 4 -2u. Oxirgi qadam har bir qismni ikkiga bo'lishdir, biz javob olamiz: x ikki minus y ga teng.
Tenglamalar bilan bog'liq muammolar hatto Ahmes papiruslarida ham uchraydi. Bitta masala: son va uning to‘rtinchi qismi qo‘shilib 15 ga teng. Uni yechish uchun quyidagi tenglamani yozamiz: x plyus to‘rtdan bir x o‘n beshga teng. Yechim natijasiga asoslangan yana bir misolni ko'ramiz, javobni olamiz: x=12. Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, ya'ni misrlik yoki boshqacha deyilganidek, taxmin usuli. Papirus quyidagi yechimdan foydalanadi: uning to'rtdan to'rtinchi qismini, ya'ni bittasini oling. Hammasi bo'lib beshta beradilar, endi o'n beshni yig'indiga bo'lish kerak, biz uchta olamiz, oxirgi qadam uchni to'rtga ko'paytirishdir. Javobni olamiz: 12. Nima uchun eritmada o'n beshni beshga bo'lamiz? Shunday qilib, biz necha marta o'n besh, ya'ni olishimiz kerak bo'lgan natija beshdan kam ekanligini bilib olamiz. O'rta asrlarda muammolar shu tarzda hal qilindi, u yolg'on pozitsiya usuli sifatida tanildi.
Kvadrat tenglamalar
Yuqorida muhokama qilingan misollardan tashqari, boshqalar ham bor. Aynan qanday? Kvadrat tenglama, bu nima? Ular ax 2 +bx+c=0 ga o'xshaydi. Ularni hal qilish uchun siz ba'zi tushunchalar va qoidalar bilan tanishishingiz kerak.
Birinchidan, quyidagi formula yordamida diskriminantni topishingiz kerak: b 2 -4ac. Qarorning uchta mumkin bo'lgan natijasi mavjud:
- diskriminant noldan katta;
- noldan kam;
- nolga teng.
Birinchi variantda javobni quyidagi formula bo'yicha topilgan ikkita ildizdan olishimiz mumkin: -b+-diskriminantning ildizi ikki barobar birinchi koeffitsientga, ya'ni 2a ga bo'linadi.
Ikkinchi holda, tenglamaning ildizlari yo'q. Uchinchi holatda, ildiz quyidagi formula yordamida topiladi: -b/2a.
Batafsilroq kirish uchun kvadrat tenglama misolini ko'rib chiqamiz: uch x kvadrat minus o'n to'rt x minus besh nolga teng. Boshlash uchun, avval yozilganidek, biz diskriminantni qidirmoqdamiz, bizning holatlarimizda u 256 ga teng. E'tibor bering, natijada olingan son noldan katta, shuning uchun biz ikkita ildizdan iborat javobni olishimiz kerak. Olingan diskriminantni ildizlarni topish formulasiga almashtiramiz. Natijada, bizda: x teng besh va minus uchdan bir.
Kvadrat tenglamalarda maxsus holatlar
Bu ba'zi qiymatlar nolga (a, b yoki c) va, ehtimol, birdan ortiq bo'lgan misollardir.
Masalan, kvadrat bo'lgan quyidagi tenglamani olaylik: ikkita x kvadrat nolga teng, bu erda biz b va c nolga teng ekanligini ko'ramiz. Keling, uni hal qilishga harakat qilaylik, buning uchun tenglamaning ikkala tomonini ikkiga bo'lamiz, bizda: x 2 =0. Natijada biz x=0 ni olamiz.
Boshqa holat 16x 2 -9=0. Bu erda faqat b = 0. Keling, tenglamani hal qilaylik, erkin koeffitsientni o'ng tomonga o'tkazamiz: 16x 2 = 9, endi har bir qismni o'n oltiga bo'lamiz: x 2 = o'n oltidan to'qqiz. Bizda x kvadrat bo'lganligi sababli, 9/16 ning ildizi salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Javobni quyidagicha yozamiz: x teng plyus/minus to'rtdan uch.
Yana bir mumkin bo'lgan javob shundaki, tenglamaning ildizlari yo'q. Keling, bu misolni ko'rib chiqaylik: 5x 2 +80=0, bu erda b=0. Yechish uchun erkin atamani o'ng tomonga tashlang, bu harakatlardan so'ng biz olamiz: 5x 2 = -80, endi har bir qismni beshga bo'lamiz: x 2 = minus o'n olti. Har qanday raqamni kvadratga aylantirsak, biz manfiy qiymatni olmaymiz. Shuning uchun bizning javobimiz: tenglamaning ildizlari yo'q.
Trinomial kengayish
Kvadrat tenglamalar topshirig‘i ham shunday bo‘lishi mumkin: kvadrat uch a’zoni ko‘paytiring. Buni quyidagi formula yordamida amalga oshirish mumkin: a(x-x 1)(x-x 2). Buning uchun vazifaning boshqa versiyasida bo'lgani kabi, diskriminantni topish kerak.
Quyidagi misolni ko'rib chiqing: 3x 2 -14x-5, trinomialni ko'paytiring. Biz diskriminantni bizga allaqachon ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib topamiz, u 256 ga teng bo'lib chiqadi. Biz darhol 256 noldan katta ekanligini ta'kidlaymiz, shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. Biz ularni oldingi xatboshidagi kabi topamiz: x = besh va minus uchdan bir. Uch a’zoni koeffitsientlarga ajratish formulasidan foydalanamiz: 3(x-5)(x+1/3). Ikkinchi qavsda biz teng belgini oldik, chunki formulada minus belgisi mavjud va ildiz ham manfiy bo'lib, matematikaning asosiy bilimlaridan foydalangan holda, yig'indida bizda ortiqcha belgi bor. Soddalashtirish uchun kasrdan qutulish uchun tenglamaning birinchi va uchinchi hadlarini ko'paytiramiz: (x-5)(x+1).
Kvadratga kamaytiruvchi tenglamalar
Ushbu bo'limda biz murakkabroq tenglamalarni qanday echishni o'rganamiz. Keling, darhol misol bilan boshlaylik:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Biz takrorlanuvchi elementlarni ko'rishimiz mumkin: (x 2 - 2x), uni hal qilish uchun uni boshqa o'zgaruvchiga almashtirishimiz qulay va keyin odatiy kvadrat tenglamani darhol hal qiling Biz shuni ta'kidlaymizki, bunday vazifada biz to'rtta ildiz olamiz, bu sizni qo'rqitmasligi kerak. a o‘zgaruvchining takrorlanishini belgilaymiz. Biz olamiz: a 2 -2a-3=0. Bizning keyingi qadamimiz yangi tenglamaning diskriminantini topishdir. Biz 16 ni olamiz, ikkita ildizni topamiz: minus bir va uchta. Biz almashtirishni amalga oshirganimizni eslaymiz, bu qiymatlarni almashtiramiz, natijada biz tenglamalarga ega bo'lamiz: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Biz ularni birinchi javobda hal qilamiz: x birga teng, ikkinchisida: x minus bir va uchtaga teng. Javobni quyidagicha yozamiz: ortiqcha/minus bir va uchta. Qoidaga ko'ra, javob o'sish tartibida yoziladi.
Kubik tenglamalar
Keling, boshqa mumkin bo'lgan variantni ko'rib chiqaylik. Biz kubik tenglamalar haqida gapiramiz. Ular quyidagicha ko'rinadi: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Quyida biz tenglamalar misollarini ko'rib chiqamiz, lekin birinchi navbatda, bir oz nazariya. Ular uchta ildizga ega bo'lishi mumkin va kub tenglama uchun diskriminantni topish formulasi ham mavjud.
Misolni ko'rib chiqamiz: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Uni qanday hal qilish kerak? Buning uchun qavs ichidan x ni chiqarish kifoya: x(3x 2 +4x+2)=0. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - tenglamaning ildizlarini qavs ichida hisoblash. Qavs ichidagi kvadrat tenglamaning diskriminanti noldan kichik, shunga asoslanib, ifoda ildizga ega: x=0.
Algebra. Tenglamalar
Keling, keyingi ko'rinishga o'tamiz. Endi biz algebraik tenglamalarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Vazifalardan biri quyidagicha: omil 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Eng qulay usul quyidagi guruhlash bo'ladi: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). E'tibor bering, biz birinchi ifodadan 8x 2 ni 3x 2 va 5x 2 yig'indisi sifatida ifodaladik. Endi biz har bir qavsdan 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) umumiy koeffitsientini chiqaramiz. Bizda umumiy koeffitsient borligini ko'ramiz: x kvadrat plyus bir, biz uni qavs ichidan chiqaramiz: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Keyinchalik kengaytirish mumkin emas, chunki ikkala tenglama ham salbiy diskriminantga ega.
Transsendental tenglamalar
Quyidagi tur bilan shug'ullanishingizni tavsiya qilamiz. Bular logarifmik, trigonometrik yoki eksponensial kabi transsendental funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalardir. Misollar: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 va hokazo. Ular qanday yechilishini trigonometriya kursida bilib olasiz.
Funktsiya
Yakuniy bosqich - funksiya tenglamasi tushunchasini ko'rib chiqish. Oldingi variantlardan farqli o'laroq, bu tur hal etilmaydi, lekin uning asosida grafik tuziladi. Buning uchun tenglamani yaxshilab tahlil qilish, qurilish uchun barcha kerakli nuqtalarni topish va minimal va maksimal nuqtalarni hisoblash kerak.
Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Chiziqli tenglamalar.
Chiziqli tenglamalar maktab matematikasida eng qiyin mavzu emas. Ammo ba'zi hiylalar borki, ular hatto o'qigan talabani ham boshdan kechiradi. Keling, buni aniqlaylikmi?)
Odatda chiziqli tenglama quyidagi shakldagi tenglama sifatida aniqlanadi:
bolta + b = 0 Qayerda a va b- har qanday raqamlar.
2x + 7 = 0. Bu erda a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Bu erda a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Bu erda a=12, b=1/2
Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz so'zlarga e'tibor bermasangiz: "Bu erda a va b har qanday raqamlar"... Va agar siz buni sezsangiz va beparvolik bilan o'ylab ko'rsangiz?) Axir, agar a=0, b=0(har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin biz kulgili iborani olamiz:
Lekin bu hammasi emas! Agar aytaylik, a=0, A b=5, Bu butunlay g'ayrioddiy narsa bo'lib chiqadi:
Bu zerikarli va matematikaga bo'lgan ishonchni susaytiradi, ha...) Ayniqsa, imtihonlar paytida. Ammo bu g'alati ifodalardan siz X ni ham topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas. Va ajablanarlisi shundaki, bu X ni topish juda oson. Biz buni qilishni o'rganamiz. Bu darsda.
Chiziqli tenglamani tashqi ko'rinishidan qanday aniqlash mumkin? Bu tashqi ko'rinishga bog'liq.) Ayyorlik shundaki, chiziqli tenglamalar faqat shakldagi tenglamalar emas bolta + b = 0 , balki transformatsiyalar va soddalashtirishlar orqali ushbu shaklga keltirilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglamalar ham. Va u tushadimi yoki yo'qmi kim biladi?)
Ba'zi hollarda chiziqli tenglama aniq tan olinishi mumkin. Aytaylik, agar bizda faqat birinchi darajali noma'lumlar va raqamlar mavjud bo'lgan tenglama bo'lsa. Va tenglamada yo'q ga bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki raqamli kasr - bu xush kelibsiz! Masalan:
Bu chiziqli tenglama. Bu yerda kasrlar bor, lekin kvadratda, kubda va hokazolarda x, maxrajlarda esa x yo'q, ya'ni. Yo'q x ga bo'linish. Va bu erda tenglama
chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda X ning barchasi birinchi darajali, ammo bor x bilan ifoda bo'yicha bo'lish. Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglama, kvadrat tenglama yoki xohlagan narsani olishingiz mumkin.
Ma'lum bo'lishicha, chiziqli tenglamani deyarli yechmaguningizcha, qandaydir murakkab misolda tanib bo'lmaydi. Bu g'azablantiradi. Ammo topshiriqlarda, qoida tariqasida, ular tenglama shakli haqida so'ramaydilar, to'g'rimi? Topshiriqlar tenglamalarni so'raydi qaror. Bu quvontiradi.)
Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.
Chiziqli tenglamalarning butun yechimi tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardan iborat. Aytgancha, bu transformatsiyalar (ulardan ikkitasi!) echimlarning asosidir matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, yechim har qanday tenglama aynan shu transformatsiyalar bilan boshlanadi. Chiziqli tenglamalar bo'lsa, u (yechim) bu o'zgarishlarga asoslanadi va to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga amal qilish mantiqiy, to'g'rimi?) Bundan tashqari, u erda chiziqli tenglamalarni echish misollari ham mavjud.
Birinchidan, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik. Hech qanday tuzoqsiz. Aytaylik, bu tenglamani yechishimiz kerak.
x - 3 = 2 - 4x
Bu chiziqli tenglama. X ning barchasi birinchi darajali, X ga bo'linish yo'q. Lekin, aslida, bu qanday tenglama ekanligi biz uchun muhim emas. Biz buni hal qilishimiz kerak. Bu erda sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonida X bo'lgan hamma narsani, o'ng tomonda X (raqamlar)siz hamma narsani to'plang.
Buning uchun siz transfer qilishingiz kerak - 4x chap tomonga, belgi o'zgarishi bilan, albatta, va - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi bir xil konvertatsiyasi. Hayron qoldingizmi? Bu siz havolaga rioya qilmadingiz degan ma'noni anglatadi, lekin behuda ...) Biz olamiz:
x + 4x = 2 + 3
Mana shunga o'xshashlar, biz ko'rib chiqamiz:
To'liq baxt uchun bizga nima kerak? Ha, chap tomonda sof X bo'lishi uchun! Beshtasi yo'lda. Beshtadan yordam bilan qutulish tenglamalarning ikkinchi bir xil o'zgarishi. Ya'ni, tenglamaning ikkala tomonini 5 ga bo'lamiz. Tayyor javobni olamiz:
Albatta, oddiy misol. Bu isinish uchun). Ha mayli. Keling, buqani shoxlaridan tutaylik.) Keling, yanada mustahkamroq narsani hal qilaylik.
Masalan, bu tenglama:
Qayerdan boshlaymiz? X bilan - chapga, Xsiz - o'ngga? Shunday bo'lishi mumkin. Uzoq yo'l bo'ylab kichik qadamlar. Yoki buni darhol, universal va kuchli tarzda qilishingiz mumkin. Agar, albatta, sizning arsenalingizda tenglamalarning bir xil o'zgarishlari mavjud bo'lsa.
Men sizga asosiy savol beraman: Bu tenglamada sizga ko'proq nima yoqmaydi?
100 kishidan 95 tasi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday ekan, keling, ulardan qutulaylik. Shuning uchun, biz darhol boshlaymiz identifikatsiyaning ikkinchi o'zgarishi. Chapdagi kasrni maxraj butunlay kamayishi uchun nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, 3 da. Va o'ngda? By 4. Lekin matematika bizga ikkala tomonni ko'paytirishga imkon beradi bir xil raqam. Qanday qilib tashqariga chiqa olamiz? Keling, ikkala tomonni 12 ga ko'paytiramiz! Bular. umumiy maxrajga. Keyin uchtasi ham, to'rttasi ham qisqaradi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay. Birinchi qadam qanday ko'rinishga ega:
Qavslarni kengaytirish:
Eslatma! Numerator (x+2) Men uni qavs ichiga joylashtirdim! Buning sababi, kasrlarni ko'paytirishda butun hisob ko'paytiriladi! Endi siz kasrlarni qisqartirishingiz mumkin:
Qolgan qavslarni kengaytiring:
Misol emas, balki sof zavq!) Endi boshlang'ich maktabdagi afsunni eslaylik: X bilan - chapga, X holda - o'ngga! Va bu transformatsiyani qo'llang:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Va ikkala qismni 25 ga bo'ling, ya'ni. ikkinchi o'zgartirishni yana qo'llang:
Ana xolos. Javob: X=0,16
Iltimos, diqqat qiling: asl chalkash tenglamani chiroyli shaklga keltirish uchun biz ikkitadan (atigi ikkitasi!) identifikatsiya o'zgarishlari– belgisini o‘zgartirish bilan chapdan o‘ngga tarjima va tenglamani bir xil songa ko‘paytirish-bo‘lish. Bu universal usul! Biz bilan shu tarzda ishlaymiz har qanday tenglamalar! Mutlaqo hech kim. Shuning uchun men har doim bir xil o'zgarishlar haqida zerikarli takrorlayman.)
Ko'rib turganingizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi oddiy. Biz tenglamani olamiz va javob olguncha uni bir xil o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz. Bu erda asosiy muammolar yechim printsipida emas, balki hisob-kitoblarda.
Lekin... Eng elementar chiziqli tenglamalarni yechish jarayonida shunday kutilmagan hodisalar bo‘ladiki, ular sizni kuchli stuporga olib kelishi mumkin...) Yaxshiyamki, bunday kutilmagan hodisalar faqat ikkita bo‘lishi mumkin. Keling, ularni maxsus holatlar deb ataylik.
Chiziqli tenglamalarni yechishdagi maxsus holatlar.
Birinchi ajablanib.
Aytaylik, siz juda oddiy tenglamaga duch keldingiz, masalan:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Bir oz zerikib, biz uni X bilan chapga, X holda - o'ngga siljitamiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa mukammal ... Biz olamiz:
2x-5x+3x=5-2-3
Biz hisoblaymiz va ... oop!!! Biz olamiz:
Bu tenglikning o'zi e'tiroz bildirmaydi. Nol haqiqatan ham nolga teng. Ammo X yo'q! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng? Aks holda, yechim hisoblanmaydi, to'g'rimi...) O'lik qulfmi?
Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar sizni qutqaradi. Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, x ning barcha qiymatlarini toping, ular asl tenglamaga almashtirilganda bizga to'g'ri tenglikni beradi.
Lekin bizda haqiqiy tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0=0, qanchalik aniqroq?! Bu x ning nima sodir bo'lishini aniqlash uchun qoladi. X ning qaysi qiymatlarini almashtirish mumkin original tenglama, agar bu x bo'lsa ular hali ham nolga tushiriladimi? Qo'ysangchi; qani endi?)
Ha!!! X harflari almashtirilishi mumkin har qanday! Qaysi birini xohlaysiz? Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular hali ham qisqaradi. Agar menga ishonmasangiz, uni tekshirishingiz mumkin.) X ning istalgan qiymatini o'rniga qo'ying original tenglama va hisoblash. Siz doimo sof haqiqatni olasiz: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 va hokazo.
Mana sizning javobingiz: x - har qanday raqam.
Javob turli matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyat o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.
Ikkinchi ajablanib.
Keling, bir xil elementar chiziqli tenglamani olaylik va undagi faqat bitta raqamni o'zgartiramiz. Buni biz hal qilamiz:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Xuddi shu o'zgarishlardan so'ng biz qiziqarli narsalarni olamiz:
Mana bunday. Biz chiziqli tenglamani yechdik va g'alati tenglikni oldik. Matematik nuqtai nazardan, biz oldik soxta tenglik. Ammo oddiy so'zlar bilan aytganda, bu to'g'ri emas. Rave. Ammo shunga qaramay, bu bema'nilik tenglamani to'g'ri hal qilish uchun juda yaxshi sababdir.)
Yana umumiy qoidalarga asoslanib o'ylaymiz. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda, x bizga nimani beradi rost tenglik? Ha, yo'q! Bunday X mavjud emas. Siz nima qo'ysangiz ham, hamma narsa kamayadi, faqat bema'nilik qoladi.)
Mana sizning javobingiz: yechimlar yo'q.
Bu ham to'liq javobdir. Matematikada bunday javoblar ko'pincha topiladi.
Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida X ning yo'qolishi sizni umuman chalkashtirib yubormaydi. Bu allaqachon tanish masala.)
Endi biz chiziqli tenglamalardagi barcha tuzoqlarni ko'rib chiqdik, ularni hal qilish mantiqan.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.
Birinchidan, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va qaysi biri eng oddiy deb ataladi?
Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.
Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:
Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritmdan foydalanib, eng oddiyiga qisqartiriladi:
- Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring;
- Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni ikkinchi tomoniga koʻchiring;
- Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash shartlarni bering;
- Hosil bo‘lgan tenglamani $x$ o‘zgaruvchining koeffitsientiga bo‘ling.
Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan keyin $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:
- Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, $0\cdot x=8$ kabi narsa paydo bo'lganda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa noldan boshqa raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
- Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ ni almashtirsak ham, baribir “nol nolga teng”, ya’ni “nolga teng” bo‘lib chiqishi mantiqan to‘g‘ri. to'g'ri raqamli tenglik.
Keling, bularning barchasi hayotiy misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.
Tenglamalarni yechishga misollar
Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.
Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:
- Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytirishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
- Keyin shunga o'xshash narsalarni birlashtiring
- Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsani - u mavjud bo'lgan atamalarni - bir tomonga siljiting va unsiz qolgan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazing.
Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshashlarni berishingiz kerak, shundan so'ng "x" koeffitsientiga bo'lish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.
Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.
Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman yo'q yoki yechim butun son chizig'i, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda ko'rib chiqamiz. Ammo biz, siz allaqachon tushunganingizdek, eng oddiy vazifalardan boshlaymiz.
Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi
Birinchidan, yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish uchun butun sxemani yozishga ruxsat bering:
- Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
- Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni. Biz "X" ni o'z ichiga olgan hamma narsani bir tomonga, "X" lari bo'lmagan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazamiz.
- Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
- Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.
Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, unda ma'lum nozikliklar va fokuslar mavjud va endi biz ular bilan tanishamiz.
Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish
Vazifa № 1
Birinchi qadam bizdan qavslarni ochishni talab qiladi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. E'tibor bering: biz faqat individual shartlar haqida gapiramiz. Keling, buni yozamiz:
Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz, ammo bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: koeffitsientga bo'ling:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Shunday qilib, biz javob oldik.
Vazifa № 2
Biz ushbu muammoda qavslarni ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:
Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil dizaynni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. o'zgaruvchilarni ajratish:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.
Vazifa № 3
Uchinchi chiziqli tenglama qiziqroq:
\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]
Bu erda bir nechta qavslar mavjud, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:
Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Keling, hisob-kitob qilaylik:
Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - hamma narsani "x" koeffitsientiga bo'ling:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar
Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:
- Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
- Ildizlar bo'lsa ham, ular orasida nol bo'lishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.
Nol boshqalar bilan bir xil raqam; siz uni hech qanday tarzda kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.
Yana bir xususiyat qavslarning ochilishi bilan bog'liq. Iltimos, diqqat qiling: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, lekin qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlar yordamida ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.
Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va xafagarchilikka yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday narsalarni qilish odatiy holdir.
Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va turli xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki agar muallifning rejasiga ko'ra, biz chiziqli tenglamani yechayotgan bo'lsak, unda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta bekor qilinadi.
Misol № 1
Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:
Endi maxfiylikni ko'rib chiqaylik:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun biz buni javobda yozamiz:
\[\varnothing\]
yoki hech qanday ildiz yo'q.
Misol № 2
Biz xuddi shu harakatlarni bajaramiz. Birinchi qadam:
Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:
\[\varnothing\],
yoki hech qanday ildiz yo'q.
Yechimning nuanslari
Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Bu ikki iboradan misol tariqasida biz yana bir bor amin bo‘ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo‘lmasligi mumkin: bitta, yoki hech biri, yoki cheksiz ko‘p ildizlar bo‘lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasi ham oddiygina ildizga ega emas.
Ammo men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:
Ochishdan oldin siz hamma narsani "X" ga ko'paytirishingiz kerak. E'tibor bering: ko'payadi har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.
Va faqat bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan so'ng, siz qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochishingiz mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar tugallangandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa shunchaki belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.
Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:
Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor qaratganim yo‘q. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o'zgarishlar ketma-ketligi bo'lib, bu erda oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o'quvchilarining mening oldimga kelishiga va yana shunday oddiy tenglamalarni echishni o'rganishiga olib keladi.
Albatta, kun keladiki, siz bu ko'nikmalarni avtomatizm darajasiga ko'tarasiz. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta satrga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.
Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.
Vazifa № 1
\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]
Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:
Keling, bir oz maxfiylikni ta'minlaylik:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Keling, oxirgi bosqichni bajaramiz:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular bir-birini bekor qildi, bu esa tenglamani kvadrat emas, chiziqli qiladi.
Vazifa № 2
\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]
Keling, birinchi qadamni diqqat bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidan har bir elementga ko'paytiramiz. O'zgartirishlardan keyin jami to'rtta yangi atama bo'lishi kerak:
Endi har bir atamada ko'paytirishni diqqat bilan bajaramiz:
Keling, "X" harfi bo'lgan shartlarni chapga, bo'lmaganlarini esa o'ngga o'tkazamiz:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Mana shunga o'xshash atamalar:
Yana bir bor yakuniy javobni oldik.
Yechimning nuanslari
Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: biz bir nechta haddan iborat bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlaganimizdan so'ng, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisi; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta muddatga ega bo'lamiz.
Algebraik yig'indi haqida
Ushbu oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: bittadan yettini ayirish. Algebrada biz quyidagilarni nazarda tutamiz: "bir" raqamiga biz boshqa raqamni qo'shamiz, ya'ni "minus etti". Algebraik yig'indi oddiy arifmetik yig'indidan shunday farq qiladi.
Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlasangiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.
Va nihoyat, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.
Kasrli tenglamalarni yechish
Bunday vazifalarni hal qilish uchun biz algoritmimizga yana bir qadam qo'shishimiz kerak. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:
- Qavslarni oching.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshashlarni olib keling.
- Nisbatga bo'linadi.
Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada ham chap, ham o'ngda kasrga egamiz.
Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buning uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:
- Fraksiyalardan xalos bo'ling.
- Qavslarni oching.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshashlarni olib keling.
- Nisbatga bo'linadi.
"Fraksiyalardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar o'zlarining maxrajlarida sonli, ya'ni. Hamma joyda maxraj shunchaki raqamdir. Shuning uchun, agar tenglamaning ikkala tomonini bu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.
Misol № 1
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]
Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:
\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
Endi kengaytiramiz:
Biz o'zgaruvchini ajratamiz:
Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:
\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Biz yakuniy yechimni oldik, keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.
Misol № 2
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]
Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Muammo hal qilindi.
Men bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.
Asosiy fikrlar
Asosiy topilmalar quyidagilar:
- Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
- Qavslarni ochish qobiliyati.
- Agar biror joyda kvadratik funktsiyalaringiz bo'lsa, tashvishlanmang, ehtimol ular keyingi o'zgarishlar jarayonida kamayadi.
- Chiziqli tenglamalarda ildizlarning uchta turi mavjud, hatto eng oddiylari ham: bitta ildiz, butun son qatori ildiz va umuman ildiz yo'q.
Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting va u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!
Qoida sifatida, tenglamalar ma'lum miqdorni topishingiz kerak bo'lgan muammolarda paydo bo'ladi. Tenglama masalani algebra tilida shakllantirish imkonini beradi. Tenglamani yechib, biz noma'lum deb ataladigan kerakli miqdorning qiymatini olamiz. “Andreyning hamyonida bir necha rubl bor. Agar siz bu raqamni 2 ga ko'paytirsangiz va 5 ni ayirsangiz, 10 ga erishasiz. Andreyning qancha puli bor? ” Noma’lum pul miqdorini x deb belgilaymiz va tenglamani yozamiz: 2x-5=10.
Haqida gapirish uchun tenglamalarni yechish usullari, avval siz asosiy tushunchalarni aniqlab olishingiz va umumiy qabul qilingan belgilar bilan tanishishingiz kerak. Har xil turdagi tenglamalar uchun ularni yechish uchun turli xil algoritmlar mavjud. Birinchi darajali tenglamalarni bitta noma'lum bilan yechishning eng oson yo'li. Ko'pchilik kvadrat tenglamalarni yechish formulasi bilan maktabdan tanish. Oliy matematika texnikasi yuqori tartibli tenglamalarni echishga yordam beradi. Tenglama aniqlanadigan sonlar to'plami uning yechimlari bilan chambarchas bog'liq. Tenglamalar va funksiya grafiklari o'rtasidagi bog'liqlik ham qiziq, chunki tenglamalarni grafik tarzda ifodalash ularni yechishda katta yordam beradi.
Tavsif. Tenglama bir yoki bir nechta noma’lum miqdorga ega bo‘lgan matematik tenglikdir, masalan, 2x+3y=0.
Tenglik belgisining ikkala tomonidagi ifodalar deyiladi tenglamaning chap va o'ng tomonlari. Lotin alifbosidagi harflar noma'lumlarni bildiradi. Noma'lumlar soni har qanday bo'lishi mumkin bo'lsa-da, biz quyida faqat bitta noma'lumli tenglamalar haqida gapiramiz, biz ularni x bilan belgilaymiz.
Tenglama darajasi noma'lumni ko'tarish mumkin bo'lgan maksimal quvvatdir. Masalan,
$3x^4+6x-1=0$ toʻrtinchi darajali tenglama, $x-4x^2+6x=8$ ikkinchi darajali tenglama.
Noma'lum ko'paytiriladigan raqamlar chaqiriladi koeffitsientlar. Oldingi misolda to'rtinchi darajali noma'lum 3 koeffitsientga ega. Agar x ni shu raqam bilan almashtirganda, berilgan tenglik bajarilsa, bu raqam tenglamani qanoatlantiradi, deyiladi. Bu deyiladi tenglamani yechish, yoki uning ildizi. Masalan, 2x+8=14 tenglamaning ildizi yoki yechimi 3, chunki 2*3+8=6+8=14.
Tenglamalarni yechish. 2x+5=11 tenglamani yechmoqchimiz deylik.
Siz unga x qiymatini almashtirishingiz mumkin, masalan, x = 2. x ni 2 bilan almashtiring va quyidagini oling: 2*2+5=4+5=9.
Bu erda nimadir noto'g'ri, chunki tenglamaning o'ng tomonida biz 11 ni olishimiz kerak edi. Keling, x=3 ni sinab ko'raylik: 2*3+5=6+5=11.
Javob to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, agar noma'lum 3 qiymatini qabul qilsa, u holda tenglik qondiriladi. Shuning uchun biz 3 raqami tenglamaning yechimi ekanligini ko'rsatdik.
Bu tenglamani yechishda foydalanilgan usul deyiladi tanlash usuli. Shubhasiz, undan foydalanish noqulay. Bundan tashqari, uni hatto usul deb atash mumkin emas. Buni tekshirish uchun uni $x^4-5x^2+16=2365$ shaklidagi tenglamaga qoʻllashga harakat qiling.
Yechim usullari. O'zingiz bilan tanishish uchun foydali bo'lgan "o'yin qoidalari" mavjud. Bizning maqsadimiz tenglamani qanoatlantiradigan noma'lumning qiymatini aniqlashdir. Shuning uchun, noma'lum narsani qandaydir tarzda aniqlash kerak. Buning uchun tenglama shartlarini bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazish kerak. Tenglamalarni yechishning birinchi qoidasi...
1. Tenglama a'zosini bir qismdan ikkinchi qismga ko'chirishda uning belgisi teskari tomonga o'zgaradi: plyus minusga va aksincha. Misol tariqasida 2x+5=11 tenglamasini ko'rib chiqaylik. 5 ni chap tomondan o'ngga o'tkazamiz: 2x=11-5. Tenglama 2x=6 ga aylanadi.
Keling, ikkinchi qoidaga o'tamiz.
2. Tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirish va bo‘lish mumkin. Keling, ushbu qoidani tenglamamizga qo'llaymiz: $x=\frac62=3$. Tenglikning chap tomonida faqat noma'lum x qoldi, shuning uchun biz uning qiymatini topdik va tenglamani yechdik.
Biz hozirgina eng oddiy muammoni ko'rib chiqdik - bitta noma'lum chiziqli tenglama. Ushbu turdagi tenglamalar har doim yechimga ega, bundan tashqari, ularni har doim eng oddiy amallar yordamida hal qilish mumkin: qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish. Afsuski, barcha tenglamalar juda oddiy emas. Bundan tashqari, ularning murakkablik darajasi juda tez ortadi. Masalan, ikkinchi darajali tenglamalarni har qanday o'rta maktab o'quvchisi osongina echishi mumkin, ammo chiziqli tenglamalar tizimini yoki yuqori darajali tenglamalarni yechish usullari faqat o'rta maktabda o'rganiladi.
Matematik tenglamalar nafaqat foydali, balki chiroyli bo'lishi ham mumkin. Va ko'plab olimlar ko'pincha ma'lum formulalarni nafaqat funksionalligi, balki shakli, ma'lum bir maxsus she'riyati uchun ham yaxshi ko'rishlarini tan olishadi. E = mc ^ 2 kabi butun dunyoga ma'lum bo'lgan tenglamalar mavjud. Boshqalar u qadar keng tarqalmagan, ammo tenglamaning go'zalligi uning mashhurligiga bog'liq emas.
Umumiy nisbiylik nazariyasi
Yuqorida tavsiflangan tenglama 1915 yilda Albert Eynshteyn tomonidan o'zining innovatsion umumiy nisbiylik nazariyasining bir qismi sifatida tuzilgan. Nazariya haqiqatda ilm-fan olamini inqilob qildi. Ajablanarlisi shundaki, bitta tenglama atrofdagi hamma narsani, jumladan, makon va vaqtni tasvirlashi mumkin. Eynshteynning barcha haqiqiy dahosi unda mujassam. Bu juda nafis tenglama bo‘lib, u sizning atrofingizdagi hamma narsa bir-biriga qanday bog‘langanligini - masalan, Quyoshning galaktikada mavjudligi fazo va vaqtni qanday egib, Yer uning atrofida aylanishini qisqacha tasvirlab beradi.
Standart model
Standart model fizikaning eng muhim nazariyalaridan yana biri bo'lib, u koinotni tashkil etuvchi barcha elementar zarralarni tavsiflaydi. Ushbu nazariyani tavsiflovchi turli xil tenglamalar mavjud, lekin eng ko'p ishlatiladigan tenglama 18-asr frantsuz matematiki va astronomi Lagranj tenglamasidir. U mutlaq barcha zarralarni va ularga ta'sir qiluvchi kuchlarni, tortishish kuchidan tashqari, muvaffaqiyatli tasvirlab berdi. Bunga yaqinda topilgan Xiggs bozoni ham kiradi. U kvant mexanikasi va umumiy nisbiylik nazariyasiga to'liq mos keladi.
Matematik tahlil
Birinchi ikkita tenglama koinotning o'ziga xos tomonlarini tavsiflagan bo'lsa-da, bu tenglamadan barcha mumkin bo'lgan vaziyatlarda foydalanish mumkin. Hisoblashning asosiy teoremasi hisob deb nomlanuvchi matematik usulning asosini tashkil qiladi va uning ikkita asosiy g'oyasini - integral tushunchasi va hosila tushunchasini bog'laydi. Matematik tahlil qadimgi davrlarda paydo bo'lgan, ammo barcha nazariyalarni 17-asrda Isaak Nyuton birlashtirgan - u ulardan Quyosh atrofidagi sayyoralarning harakatini hisoblash va tasvirlash uchun foydalangan.
Pifagor teoremasi
Hammaga ma'lum bo'lgan yaxshi eski tenglama barcha maktab o'quvchilari geometriya darslarida o'rganadigan mashhur Pifagor teoremasini ifodalaydi. Ushbu formula har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda barcha tomonlarning eng uzuni (c) bo'lgan gipotenuzaning uzunligining kvadrati boshqa ikki tomonning, oyoqlarning (a va b) kvadratlari yig'indisiga teng ekanligini tavsiflaydi. Natijada, tenglama quyidagicha ko'rinadi: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Ushbu teorema ko'plab boshlang'ich matematiklar va fiziklarni maktabda o'qiyotganlarida va yangi dunyo ularni nima kutayotganini hali bilmaganlarida hayratda qoldiradi.
1 = 0.999999999….
Ushbu oddiy tenglama o'nli kasrdan keyin cheksiz sonli to'qqizli 0,999 soni aslida bittaga teng ekanligini ko'rsatadi. Bu tenglama diqqatga sazovordir, chunki u nihoyatda sodda, aql bovar qilmaydigan darajada vizual, lekin baribir ko'pchilikni hayratga soladi va hayratga soladi. Ba'zi odamlar bu haqiqat ekanligiga ishonishmaydi. Bundan tashqari, tenglamaning o'zi chiroyli - uning chap tomoni matematikaning eng oddiy asosini ifodalaydi, o'ng tomoni esa cheksizlik sirlari va sirlarini yashiradi.
Maxsus nisbiylik nazariyasi
Albert Eynshteyn yana ro'yxatni tuzadi, bu safar o'zining maxsus nisbiylik nazariyasi bilan vaqt va makon qanday mutlaq tushunchalar emas, balki tomoshabin tezligiga nisbatan ekanligini tasvirlaydi. Bu tenglama vaqt qanchalik “kengayishini” ko'rsatadi, bu qanchalik tez harakat qilsa, sekinlashadi. Aslida, tenglama unchalik murakkab emas, oddiy hosilalar, chiziqli algebra. Biroq, u dunyoga qarashning mutlaqo yangi usulini ifodalaydi.
Eyler tenglamasi
Ushbu oddiy formula sferalarning tabiati haqidagi asosiy bilimlarni o'z ichiga oladi. Unda aytilishicha, agar siz sharni kesib, yuzlar, qirralar va cho'qqilarni olsangiz, F ni yuzlar soni sifatida, E ni qirralarning soni sifatida va V ni uchlar soni sifatida qabul qilsangiz, siz doimo bir xil narsani olasiz. : V - E + F = 2. Bu tenglama aynan shunday ko'rinishga ega. Ajablanarlisi shundaki, siz qanday sharsimon shaklni olishingizdan qat'i nazar - u tetraedr, piramida yoki yuzlar, qirralar va cho'qqilarning boshqa kombinatsiyasi bo'lsin, siz doimo bir xil natijaga erishasiz. Ushbu kombinatorika odamlarga sferik shakllar haqida asosiy narsalarni aytib beradi.
Eyler-Lagranj tenglamasi va Noeter teoremasi
Bu tushunchalar juda mavhum, lekin juda kuchli. Eng qizig'i shundaki, fizika haqidagi bu yangi fikrlash usuli ushbu fandagi bir necha inqiloblardan, masalan, kvant mexanikasi, nisbiylik nazariyasi va boshqalarning kashfiyotidan omon qola oldi. Bu erda L jismoniy tizimdagi energiya o'lchovi bo'lgan Lagrange tenglamasini anglatadi. Va bu tenglamani yechish sizga ma'lum bir tizimning vaqt o'tishi bilan qanday rivojlanishini aytib beradi. Lagranj tenglamasining o'zgarishi fizika va simmetriya roli uchun asosiy bo'lgan Noeter teoremasidir. Teoremaning mohiyati shundan iboratki, agar sizning tizimingiz nosimmetrik bo'lsa, unda tegishli saqlanish qonuni qo'llaniladi. Aslida, bu teoremaning asosiy g'oyasi shundaki, fizika qonunlari hamma joyda qo'llaniladi.
Renormalizatsiya guruhi tenglamasi
Bu tenglamani yaratuvchilari nomi bilan Kallan-Simanchik tenglamasi ham deyiladi. Bu 1970 yilda yozilgan hayotiy asosiy tenglama. Bu kvant dunyosida sodda umidlar qanday sindirilganligini ko'rsatishga xizmat qiladi. Tenglama shuningdek, atom yadrosini tashkil etuvchi proton va neytronning massasi va hajmini baholash uchun ko'plab ilovalarga ega.
Minimal sirt tenglamasi
Ushbu tenglama sovunli suvga botirilganda simda hosil bo'ladigan go'zal sovun plyonkalarini ajoyib tarzda hisoblab chiqadi va kodlaydi. Biroq, bu tenglama bir xil sohadagi odatiy chiziqli tenglamalardan juda farq qiladi, masalan, issiqlik tenglamasi, to'lqin hosil bo'lishi va hokazo. Bu tenglama chiziqli emas, u tashqi kuchlar va hosilalarning ta'sirini o'z ichiga oladi.
Eyler chizig'i
Har qanday uchburchakni oling, uchburchakni o'z ichiga olishi mumkin bo'lgan eng kichik doira chizing va uning markazini toping. Uchburchakning massa markazini toping - bu uchburchakni muvozanatlash imkonini beradigan nuqtani, masalan, qalam nuqtasida, agar uni qog'ozdan kesib olish mumkin bo'lsa. Ushbu uchburchakning uchta balandligini (ular chizilgan uchburchakning tomonlariga perpendikulyar bo'ladigan chiziqlar) chizing va ularning kesishish nuqtasini toping. Teoremaning mohiyati shundaki, barcha uch nuqta bir xil to'g'ri chiziqda bo'ladi, bu Eylerning to'g'ri chizig'i. Teorema matematikaning barcha go'zalligi va kuchini o'z ichiga oladi, eng oddiy narsalarda ajoyib naqshlarni ochib beradi.