Amaliy ko'nikmalarni o'rgatish uchun saytda funksiyani Teylor, Maklaurin va Loran seriyalariga kengaytirish. Funktsiyaning ushbu seriyali kengayishi matematiklarga funksiyaning taxminiy qiymatini uning ta'rif sohasining bir nuqtasida baholash imkonini beradi. Kompyuter texnologiyalari asrida juda ahamiyatsiz bo'lgan Bredis jadvalidan foydalanish bilan solishtirganda, bunday funktsiya qiymatini hisoblash ancha oson. Funktsiyani Teylor qatoriga kengaytirish bu qatorning chiziqli funksiyalarining koeffitsientlarini hisoblash va uni to'g'ri shaklda yozishni anglatadi. Talabalar bu ikki qatorni chalkashtirib yuborishadi, ikkinchisining umumiy holi nima ekanligini va alohida holat nima ekanligini tushunmaydilar. Sizga bir marta va umuman eslatib o'tamizki, Maklaurin seriyasi Teylor seriyasining maxsus holatidir, ya'ni bu Teylor seriyasidir, lekin x = 0 nuqtasida. Ma'lum funktsiyalarni kengaytirish uchun barcha qisqacha yozuvlar, e ^ x, Sin (x), Cos (x) va boshqalar kabi, bular Teylor seriyasining kengayishi, ammo argument uchun 0 nuqtada. Murakkab argument funksiyalari uchun Loran seriyasi TFCTda eng keng tarqalgan muammo hisoblanadi, chunki u ikki tomonlama cheksiz qatorni ifodalaydi. Bu ikki qatorning yig'indisidir. Biz to'g'ridan-to'g'ri veb-saytda parchalanish misolini ko'rib chiqishni taklif qilamiz; buni har qanday raqam bilan "Misol" ni, keyin esa "Yechim" tugmasini bosish orqali amalga oshirish juda oson. Funktsiyaning kattalashtiruvchi qator bilan bog'langan qatorga aynan shunday kengayishi, agar o'zgaruvchi abscissa mintaqasiga tegishli bo'lsa, ordinatalar o'qi bo'ylab ma'lum bir mintaqada dastlabki funktsiyani cheklaydi. Vektor tahlili matematikaning boshqa qiziqarli faniga qiyoslanadi. Har bir atama ko'rib chiqilishi kerakligi sababli, jarayon juda ko'p vaqtni talab qiladi. Har qanday Teylor seriyasini x0 ni nolga almashtirish orqali Maklaurin seriyasi bilan bog'lash mumkin, ammo Maklaurin seriyasi uchun ba'zan Teylor seriyasini teskari ko'rsatish aniq emas. Go'yo bu sof shaklda amalga oshirilishi shart emas, bu umumiy o'z-o'zini rivojlantirish uchun qiziqarli. Har bir Laurent seriyasi z-a ning butun darajalarida ikki tomonlama cheksiz kuch qatoriga, boshqacha aytganda, bir xil Teylor tipidagi qatorga mos keladi, lekin koeffitsientlarni hisoblashda bir oz farq qiladi. Biz Loran seriyasining yaqinlashuv mintaqasi haqida biroz keyinroq, bir nechta nazariy hisob-kitoblardan so'ng gaplashamiz. O'tgan asrda bo'lgani kabi, funktsiyani ketma-ketlikka bosqichma-bosqich kengaytirishga atamalarni umumiy maxrajga keltirish orqali erishish qiyin, chunki maxrajlardagi funktsiyalar chiziqli bo'lmagan. Funktsional qiymatni taxminiy hisoblash muammolarni shakllantirish uchun talab qilinadi. Taylor qatorining argumenti chiziqli o‘zgaruvchi bo‘lsa, kengayish bir necha bosqichda sodir bo‘ladi, lekin kengaytirilayotgan funksiya argumenti murakkab yoki chiziqli bo‘lmagan funksiya bo‘lsa, rasm butunlay boshqacha bo‘lishini o‘ylab ko‘ring. quvvat qatorida bunday funktsiyani ifodalash aniq, chunki, shu tarzda, ta'rif mintaqasining istalgan nuqtasida, taxminiy qiymat bo'lsa ham, keyingi hisob-kitoblarga ozgina ta'sir qiladigan minimal xato bilan hisoblash oson. Bu Maclaurin seriyasiga ham tegishli. nol nuqtada funktsiyani hisoblash kerak bo'lganda. Biroq, Laurent seriyasining o'zi bu erda xayoliy birliklar bilan tekislikda kengayish bilan ifodalanadi. Shuningdek, umumiy jarayon davomida muammoni to'g'ri hal qilish ham muvaffaqiyatga erishmaydi. Bu yondashuv matematikada ma'lum emas, lekin u ob'ektiv ravishda mavjud. Natijada siz nuqtali kichik to'plamlar deb ataladigan xulosaga kelishingiz mumkin va funktsiyani ketma-ket kengaytirishda bu jarayon uchun ma'lum bo'lgan usullardan, masalan, hosilalar nazariyasini qo'llashdan foydalanish kerak. Hisoblashdan keyingi hisob-kitoblar natijalari bo'yicha o'z taxminlarini bildirgan o'qituvchining haq ekaniga yana bir bor amin bo'ldik. Ta'kidlash joizki, matematikaning barcha qonunlariga ko'ra olingan Teylor seriyasi mavjud va butun raqamli o'qda aniqlanadi, ammo, sayt xizmatining hurmatli foydalanuvchilari, asl funktsiya turini unutmang, chunki u paydo bo'lishi mumkin. dastlab funktsiyani aniqlash sohasini belgilash, ya'ni haqiqiy sonlar sohasida funksiya aniqlanmagan nuqtalarni yozish va keyingi ko'rib chiqishdan chiqarib tashlash kerak. Shunday qilib, bu sizning muammoni hal qilishda samaradorligingizni ko'rsatadi. Argument qiymati nol bo'lgan Maklaurin seriyasining qurilishi aytilganlardan istisno bo'lmaydi. Funktsiyani aniqlash sohasini topish jarayoni bekor qilinmadi va siz ushbu matematik operatsiyaga jiddiylik bilan yondashishingiz kerak. Asosiy qismni o'z ichiga olgan Loran seriyasida "a" parametri ajratilgan yagona nuqta deb nomlanadi va Loran qatori halqada kengaytiriladi - bu uning qismlari yaqinlashuv sohalarining kesishishi, demak. tegishli teoremaga amal qilinadi. Ammo hamma narsa tajribasiz talaba uchun birinchi qarashda ko'rinadigan darajada murakkab emas. Teylor seriyasini o'rganib chiqib, siz Laurent seriyasini osongina tushunishingiz mumkin - raqamlar bo'shlig'ini kengaytirish uchun umumlashtirilgan holat. Funktsiyaning har qanday ketma-ket kengayishi faqat funktsiyani aniqlash sohasi nuqtasida amalga oshirilishi mumkin. Davriylik yoki cheksiz differentsiallik kabi funktsiyalarning xususiyatlarini hisobga olish kerak. Biz, shuningdek, tayyor Teylor seriyali elementar funktsiyalarni kengaytirish jadvalidan foydalanishni taklif qilamiz, chunki bitta funktsiya o'nlab turli quvvat seriyalari bilan ifodalanishi mumkin, buni bizning onlayn kalkulyatorimizdan ko'rish mumkin. Onlayn Maclaurin seriyasini aniqlash pirog kabi oson, agar siz noyob veb-sayt xizmatidan foydalansangiz, faqat to'g'ri yozilgan funktsiyani kiritishingiz kerak va siz bir necha soniya ichida taqdim etilgan javobni olasiz, u aniq va aniq bo'lishi kafolatlanadi. standart yozma shakl. Natijani o'qituvchiga topshirish uchun to'g'ridan-to'g'ri toza nusxaga ko'chirishingiz mumkin. Avval halqalarda ko‘rib chiqilayotgan funksiyaning analitikligini aniqlab, so‘ngra uning barcha bunday halqalarda Loran qatorida kengaytirilishi mumkinligini aniq aytish to‘g‘ri bo‘lar edi. Salbiy kuchlarni o'z ichiga olgan Laurent seriyasining shartlarini e'tibordan chetda qoldirmaslik kerak. Bunga imkon qadar ko'proq e'tibor qarating. Funksiyani butun son darajalarda kengaytirish haqidagi Loran teoremasidan unumli foydalaning.
Agar f(x) funksiya a nuqtasini o'z ichiga olgan ma'lum oraliqda barcha tartibli hosilalarga ega bo'lsa, unga Teylor formulasini qo'llash mumkin:
,
Qayerda r n- qatorning qolgan qismi yoki qoldig'i deb ataladigan bo'lsak, uni Lagrange formulasi yordamida hisoblash mumkin:
, bu erda x soni x va a orasida.
f(x)=
x 0 nuqtasida =
Qator elementlari soni 3 4 5 6 7
E x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m elementar funksiyalarni kengaytirishdan foydalaning.
Funksiyalarni kiritish qoidalari:
Agar biron bir qiymat uchun X r n→ 0 da n→∞, keyin chegarada Teylor formulasi bu qiymat uchun konvergent bo'ladi Teylor seriyasi:
,
Shunday qilib, f(x) funksiyani x nuqtada Teylor qatoriga kengaytirish mumkin, agar:
1) barcha buyurtmalarning hosilalariga ega;
2) tuzilgan qator shu nuqtada yaqinlashadi.
a = 0 bo'lganda, biz Maklaurin seriyasi deb ataladigan qatorni olamiz:
,
Maklaurin seriyasidagi eng oddiy (elementar) funktsiyalarni kengaytirish:
Eksponensial funksiyalar
, R=∞
Trigonometrik funktsiyalar 
, R=∞ 
, R=∞
, (-p/2< x < π/2), R=π/2
actgx funksiyasi x ning darajalarida kengaymaydi, chunki ctg0=∞
Giperbolik funktsiyalar
Logarifmik funksiyalar
, -1