Ko'pgina matematik muammolarni u yoki bu tarzda hal qilish raqamli, algebraik yoki funktsional ifodalarni o'zgartirishni o'z ichiga oladi. Yuqoridagilar, ayniqsa, qarorga tegishli. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining versiyalarida ushbu turdagi muammolar, xususan, C3 vazifasini o'z ichiga oladi. C3 vazifalarini hal qilishni o'rganish nafaqat Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirish uchun, balki bu ko'nikma o'rta maktabda matematika kursini o'rganishda foydali bo'lishi uchun ham muhimdir.
C3 topshiriqlarini bajarishda siz har xil turdagi tenglamalar va tengsizliklarni echishingiz kerak. Ular orasida ratsional, irratsional, ko'rsatkichli, logarifmik, trigonometrik, modullarni o'z ichiga olgan (mutlaq qiymatlar), shuningdek, birlashtirilganlar mavjud. Ushbu maqolada ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarning asosiy turlari, shuningdek ularni echishning turli usullari ko'rib chiqiladi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining C3 muammolarini hal qilish usullariga bag'ishlangan maqolalarning "" bo'limida boshqa turdagi tenglamalar va tengsizliklarni echish haqida o'qing.
Biz aniq tahlil qilishni boshlashdan oldin ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar, matematika o'qituvchisi sifatida men sizga bizga kerak bo'ladigan nazariy materiallarni to'ldirishingizni maslahat beraman.
Eksponensial funktsiya
Eksponensial funktsiya nima?
Shaklning funktsiyasi y = a x, Qayerda a> 0 va a≠ 1 deyiladi eksponensial funktsiya.
Asosiy eksponensial funksiyaning xossalari y = a x:
Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi
Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ko'rsatkich:
Ko'rsatkichli funktsiyalarning grafiklari (ko'rsatkichlar)
Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish
Indikativ noma'lum o'zgaruvchi faqat ba'zi darajalar ko'rsatkichlarida topiladigan tenglamalar deyiladi.
Yechimlar uchun eksponensial tenglamalar quyidagi oddiy teoremani bilishingiz va undan foydalana olishingiz kerak:
Teorema 1. Eksponensial tenglama a f(x) = a g(x) (Qaerda a > 0, a≠ 1) tenglamaga ekvivalent f(x) = g(x).
Bundan tashqari, darajalar bilan asosiy formulalar va operatsiyalarni eslab qolish foydalidir:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
1-misol. Tenglamani yeching:
Yechim: Yuqoridagi formulalar va almashtirishdan foydalanamiz:
Keyin tenglama quyidagicha bo'ladi:
Olingan kvadrat tenglamaning diskriminanti musbat:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor. Biz ularni topamiz:
Teskari almashtirishga o'tsak, biz quyidagilarni olamiz:
Ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q, chunki eksponensial funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab qat'iy ijobiydir. Keling, ikkinchisini hal qilaylik:
1-teoremada aytilganlarni hisobga olib, ekvivalent tenglamaga o'tamiz: x= 3. Bu vazifaga javob bo'ladi.
Javob: x = 3.
2-misol. Tenglamani yeching:
Yechim: Tenglamada ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ida hech qanday cheklovlar yo'q, chunki radikal ifoda har qanday qiymat uchun mantiqiydir. x(eksponensial funktsiya y = 9 4 -x ijobiy va nolga teng emas).
Tenglamani kuchlarni ko'paytirish va bo'lish qoidalaridan foydalangan holda ekvivalent o'zgartirishlar bilan hal qilamiz:
Oxirgi o'tish 1-teoremaga muvofiq amalga oshirildi.
Javob:x= 6.
3-misol. Tenglamani yeching:
Yechim: dastlabki tenglamaning ikkala tomonini 0,2 ga bo'lish mumkin x. Bu o'tish ekvivalent bo'ladi, chunki bu ifoda har qanday qiymat uchun noldan katta x(eksponensial funktsiya o'zining ta'rif sohasida qat'iy ijobiydir). Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:
Javob: x = 0.
4-misol. Tenglamani yeching:
Yechim: Biz maqolaning boshida berilgan kuchlarni bo'lish va ko'paytirish qoidalaridan foydalangan holda ekvivalent o'zgartirishlar yordamida tenglamani elementarga soddalashtiramiz:
Tenglamaning ikkala tomonini 4 ga bo'lish x, oldingi misolda bo'lgani kabi, ekvivalent transformatsiyadir, chunki bu ifoda hech qanday qiymatlar uchun nolga teng emas. x.
Javob: x = 0.
5-misol. Tenglamani yeching:
Yechim: funktsiyasi y = 3x, tenglamaning chap tomonida turgan, ortib bormoqda. Funktsiya y = —x Tenglamaning o'ng tomonidagi -2/3 kamayib bormoqda. Bu shuni anglatadiki, agar bu funktsiyalarning grafiklari kesishsa, u holda ko'pi bilan bitta nuqta. Bunday holda, grafiklar nuqtada kesishishini taxmin qilish oson x= -1. Boshqa ildizlar bo'lmaydi.
Javob: x = -1.
6-misol. Tenglamani yeching:
Yechim: biz tenglamani ekvivalent o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz, hamma joyda eksponensial funktsiya har qanday qiymat uchun noldan qat'iy katta ekanligini yodda tutamiz. x va maqolaning boshida berilgan vakolatlar mahsuloti va ulushini hisoblash qoidalaridan foydalanish:
Javob: x = 2.
Ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish
Indikativ noma'lum o'zgaruvchi faqat ba'zi darajalar ko'rsatkichlarida bo'lgan tengsizliklar deyiladi.
Yechimlar uchun eksponensial tengsizliklar quyidagi teoremani bilish talab qilinadi:
Teorema 2. Agar a> 1, keyin tengsizlik a f(x) > a g(x) bir xil ma'noli tengsizlikka teng: f(x) > g(x). Agar 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) qarama-qarshi ma'noli tengsizlikka teng: f(x) < g(x).
7-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechim: Asl tengsizlikni quyidagi shaklda keltiramiz:
Keling, bu tengsizlikning ikkala tomonini 3 2 ga bo'laylik x, bu holda (funktsiyaning ijobiyligi tufayli y= 3 2x) tengsizlik belgisi o'zgarmaydi:
Keling, almashtirishdan foydalanamiz:
Keyin tengsizlik quyidagi shaklni oladi:
Demak, tengsizlikning yechimi oraliqdir:
teskari almashtirishga o'tsak, biz quyidagilarni olamiz:
Ko'rsatkichli funktsiyaning musbatligi tufayli chap tengsizlik avtomatik ravishda qondiriladi. Logarifmning taniqli xususiyatidan foydalanib, ekvivalent tengsizlikka o'tamiz:
Darajaning asosi birdan katta son bo'lganligi sababli, ekvivalent (2-teorema bo'yicha) quyidagi tengsizlikka o'tish hisoblanadi:
Shunday qilib, biz nihoyat olamiz javob:
8-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechim: Kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanib, biz tengsizlikni quyidagi shaklda qayta yozamiz:
Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz:
Ushbu almashtirishni hisobga olgan holda, tengsizlik quyidagi shaklni oladi:
Kasrning soni va maxrajini 7 ga ko'paytirsak, biz quyidagi ekvivalent tengsizlikni olamiz:
Shunday qilib, o'zgaruvchining quyidagi qiymatlari tengsizlikni qondiradi t:
Keyin, teskari almashtirishga o'tsak, biz quyidagilarni olamiz:
Bu erda darajaning asosi birdan katta bo'lganligi sababli, tengsizlikka o'tish ekvivalent bo'ladi (2-teorema bo'yicha):
Nihoyat, olamiz javob:
9-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechim:
Tengsizlikning ikkala tomonini quyidagi ifoda bilan ajratamiz:
U har doim noldan katta (eksponensial funktsiyaning musbatligi tufayli), shuning uchun tengsizlik belgisini o'zgartirish kerak emas. Biz olamiz:
t intervalda joylashgan:
Teskari almashtirishga o'tsak, biz dastlabki tengsizlik ikki holatga bo'linishini topamiz:
Birinchi tengsizlik ko'rsatkichli funktsiyaning musbatligi tufayli yechimga ega emas. Keling, ikkinchisini hal qilaylik:
10-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechim:
Parabola shoxlari y = 2x+2-x 2 pastga yo'naltirilgan, shuning uchun u yuqoridan o'zining cho'qqisiga etgan qiymat bilan cheklangan:
Parabola shoxlari y = x 2 -2x Ko'rsatkichdagi +2 yuqoriga yo'naltirilgan, ya'ni pastdan uning cho'qqisiga etgan qiymat bilan cheklangan:
Shu bilan birga, funksiya ham pastdan chegaralangan bo'lib chiqadi y = 3 x 2 -2x+2, bu tenglamaning o'ng tomonida. U oʻzining eng kichik qiymatiga koʻrsatkichdagi parabola bilan bir nuqtada erishadi va bu qiymat 3 1 = 3 ga teng. Demak, chapdagi funksiya va oʻngdagi funksiya qiymat qabul qilgan taqdirdagina asl tengsizlik toʻgʻri boʻlishi mumkin. , 3 ga teng (bu funksiyalar qiymatlari diapazonlarining kesishishi faqat shu raqam). Bu shart bir nuqtada qondiriladi x = 1.
Javob: x= 1.
Qaror qabul qilishni o'rganish uchun eksponensial tenglamalar va tengsizliklar, ularni yechishda doimiy ravishda mashq qilish zarur. Turli o'quv qo'llanmalari, boshlang'ich matematika bo'yicha muammoli kitoblar, raqobatdosh masalalar to'plami, maktabdagi matematika darslari, shuningdek, professional repetitor bilan individual darslar sizga ushbu qiyin vazifani bajarishda yordam beradi. Sizga chin dildan tayyorgarlik ko'rishingiz va imtihonda ajoyib natijalarga erishishingizni tilayman.
Sergey Valerievich
P.S. Hurmatli mehmonlar! Iltimos, izohlarda tenglamalaringizni yechish uchun so'rovlarni yozmang. Afsuski, bunga vaqtim yo'q. Bunday xabarlar o'chiriladi. Iltimos, maqolani o'qing. Ehtimol, unda siz o'zingizning vazifangizni mustaqil ravishda hal qilishga imkon bermagan savollarga javob topasiz.
Dars raqami.2
Mavzu: Ko‘rsatkichli funksiya, uning xossalari va grafigi.
Maqsad:"Eksponensial funktsiya" tushunchasini o'zlashtirish sifatini tekshirish; ko‘rsatkichli funksiyani taniy olish, uning xossalari va grafiklaridan foydalanish ko‘nikma va malakalarini shakllantirish, o‘quvchilarni ko‘rsatkichli funksiyani yozishning analitik va grafik shakllaridan foydalanishga o‘rgatish; sinfda ish muhitini ta'minlash.
Uskunalar: doska, plakatlar
Dars shakli: sinf darsi
Dars turi: amaliy dars
Dars turi: o'qitish ko'nikma va malakalari darsi
Dars rejasi
1. Tashkiliy moment
2. Mustaqil ish va uy vazifasini tekshirish
3. Muammoni hal qilish
4. Xulosa qilish
5. Uyga vazifa
Darslar davomida.
1. Tashkiliy moment :
Salom. Daftarlaringizni oching, bugungi sanani va "Eksponensial funktsiya" darsining mavzusini yozing. Bugun biz eksponensial funktsiyani, uning xossalarini va grafigini o'rganishni davom ettiramiz.
2. Mustaqil ish va uy vazifasini tekshirish .
Maqsad:"eksponensial funktsiya" tushunchasini o'zlashtirish sifatini tekshirish va uy vazifasining nazariy qismini bajarishni tekshirish
Usul: test topshirig'i, frontal so'rov
Uyga vazifa sifatida masala kitobidan raqamlar va darslikdan paragraf berilgan. Biz hozir darslikdagi raqamlarning bajarilishini tekshirmaymiz, lekin dars oxirida siz daftarlaringizni topshirasiz. Endi nazariya kichik test shaklida sinovdan o'tkaziladi. Vazifa hamma uchun bir xil: sizga funktsiyalar ro'yxati berilgan, siz ulardan qaysi biri indikativ ekanligini topishingiz kerak (ularning tagiga chizish). Va eksponensial funktsiyaning yonida siz uning ortib borayotganini yoki kamayishini yozishingiz kerak.
Variant 1 Javob B) D) - ko'rsatkichli, kamayuvchi | Variant 2 Javob D) - ko'rsatkichli, kamayuvchi D) - eksponentsial, ortib boruvchi |
Variant 3 Javob A) - eksponentsial, ortib boruvchi B) - eksponensial, kamayuvchi | Variant 4 Javob A) - eksponensial, kamayuvchi IN) - eksponentsial, ortib boruvchi |
Keling, qaysi funktsiya eksponensial deb ataladiganligini birgalikda eslaylik?
, bu yerda va , ko'rinishdagi funksiya ko'rsatkichli funktsiya deyiladi.
Bu funksiyaning qamrovi qanday?
Barcha haqiqiy raqamlar.
Ko'rsatkichli funktsiyaning diapazoni qanday?
Barcha ijobiy haqiqiy raqamlar.
Quvvatning asosi noldan katta bo'lsa, lekin birdan kichik bo'lsa, kamayadi.
Qanday holatda ko'rsatkichli funktsiya o'zining aniqlanish sohasi kamayadi?
Quvvatning asosi birdan katta bo'lsa, ortib boradi.
3. Muammoni hal qilish
Maqsad: ko'rsatkichli funktsiyani tan olish, uning xossalari va grafiklaridan foydalanish ko'nikmalarini rivojlantirish, o'quvchilarni eksponensial funktsiyani yozishning analitik va grafik shakllaridan foydalanishga o'rgatish.
Usul: o`qituvchi tomonidan tipik masalalar yechish, og`zaki ish, doskada ishlash, daftarda ishlash, o`qituvchi va o`quvchilar o`rtasidagi suhbatni ko`rsatish.
Eksponensial funksiyaning xossalaridan 2 yoki undan ortiq sonlarni solishtirishda foydalanish mumkin. Masalan: № 000. Qiymatlarni solishtiring va agar a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, unda bu juda murakkab ish: biz 3 va 9 ning kub ildizini olishimiz va ularni solishtirishimiz kerak edi. Lekin biz bilamizki, u ortadi, bu o'z navbatida argument ortishi bilan funktsiyaning qiymati oshib borishini anglatadi, ya'ni biz faqat argumentning qiymatlarini solishtirishimiz kerak va bu aniq. 
(ortib borayotgan eksponensial funktsiyani ko'rsatadigan plakatda ko'rsatilishi mumkin). Va har doim, bunday misollarni echishda siz birinchi navbatda eksponensial funktsiyaning asosini aniqlaysiz, uni 1 bilan solishtirasiz, monotonlikni aniqlaysiz va argumentlarni taqqoslashni davom ettirasiz. Kamayuvchi funktsiya holatida: argument oshganda, funktsiyaning qiymati kamayadi, shuning uchun biz argumentlar tengsizligidan funktsiyalar tengsizligiga o'tishda tengsizlik belgisini o'zgartiramiz. Keyin og'zaki hal qilamiz: b) 
- 
IN) 
- 
G) 
- 
- No 000. Raqamlarni solishtiring: a) va
Shunday qilib, funktsiya oshadi
Nima uchun?
Funktsiyani oshirish va 
Demak, funktsiya kamayib bormoqda 
Ikkala funktsiya ham butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi, chunki ular birdan katta quvvat bazasi bilan eksponentdir.
Buning ortida qanday ma'no bor?
Biz grafiklarni yaratamiz:
https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> intilishda qaysi funksiya tezroq oshadi
https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> intilishda qaysi funksiya tezroq kamayadi
Intervalda funksiyalarning qaysi biri ma'lum bir nuqtada kattaroq qiymatga ega?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Birinchidan, ushbu funksiyalarning ta'rif doirasini bilib olaylik. Ular mos keladimi?
Ha, bu funksiyalarning sohasi hammasi haqiqiy sonlardir.
Ushbu funktsiyalarning har birining doirasini nomlang.
Bu funksiyalarning diapazonlari mos keladi: barcha ijobiy haqiqiy sonlar.
Har bir funktsiyaning monotonlik turini aniqlang.
Har uch funktsiya o'zlarining butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi, chunki ular birdan kichik va noldan katta quvvatlar bazasi bilan eksponentdir.
Ko'rsatkichli funktsiya grafigida qanday maxsus nuqta mavjud?
Buning ortida qanday ma'no bor?
Ko'rsatkichli funktsiya darajasining asosi qanday bo'lishidan qat'i nazar, agar ko'rsatkich 0 ni o'z ichiga olsa, u holda bu funktsiyaning qiymati 1 ga teng.
Biz grafiklarni yaratamiz:
Keling, grafiklarni tahlil qilaylik. Funksiyalarning grafiklari nechta kesishish nuqtasiga ega?
https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">ni sinab ko'rishda qaysi funksiya tezroq pasayadi.
https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> intilishda qaysi funksiya tezroq oshadi.
Intervalda funksiyalarning qaysi biri ma'lum bir nuqtada kattaroq qiymatga ega?
Intervalda funksiyalarning qaysi biri ma'lum bir nuqtada kattaroq qiymatga ega?
Nima uchun asoslari har xil bo‘lgan eksponensial funksiyalar faqat bitta kesishish nuqtasiga ega?
Eksponensial funktsiyalar butun ta'rif sohasi bo'ylab qat'iy monotondir, shuning uchun ular faqat bir nuqtada kesishishi mumkin.
Keyingi vazifa ushbu mulkdan foydalanishga qaratilgan. № 000. Berilgan funktsiyaning berilgan oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping a) . Eslatib o'tamiz, qat'iy monotonik funktsiya o'zining minimal va maksimal qiymatlarini ma'lum segmentning oxirida oladi. Va agar funktsiya ortib borayotgan bo'lsa, u holda uning eng katta qiymati segmentning o'ng uchida va eng kichiki segmentning chap uchida bo'ladi (eksponensial funktsiya misolidan foydalangan holda plakatda namoyish). Agar funktsiya kamayib borayotgan bo'lsa, u holda uning eng katta qiymati segmentning chap uchida, eng kichiki esa segmentning o'ng uchida bo'ladi (eksponensial funktsiya misolidan foydalanib, plakatda namoyish). Funktsiya ortib bormoqda, chunki, shuning uchun funksiyaning eng kichik qiymati https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" nuqtasida bo'ladi. > Ballar b) 
, V) 
d) daftarlarni o‘zingiz yeching, og‘zaki tekshiramiz.
Talabalar topshiriqni daftarlarida yechishadi
|
Funktsiyani kamaytirish
|
Funktsiyani kamaytirish
|
Funktsiyani oshirish
|
segmentdagi funksiyaning eng katta qiymati
segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymati
segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymati
segmentdagi funksiyaning eng katta qiymati- No 000. Berilgan funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatini toping a) 
. Bu vazifa avvalgisi bilan deyarli bir xil. Ammo bu erda berilgan narsa segment emas, balki nurdir. Biz bilamizki, funktsiya ortib bormoqda va u butun son qatorida eng katta va eng kichik qiymatga ega emas https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> va ga moyil bo'ladi, ya'ni nurda funksiya 0 ga intiladi, lekin eng kichik qiymatiga ega emas, lekin nuqtada eng katta qiymatga ega. 
. Ballar b) 
, V) 
, G) 
Daftarlarni o'zingiz hal qiling, biz ularni og'zaki tekshiramiz.
Keling, birinchi navbatda ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi bilan tanishamiz.
Eksponensial funktsiya $f\left(x\right)=a^x$, bu yerda $a >1$.
$a >1$ uchun eksponensial funksiyaning xossalari bilan tanishtiramiz.
\ \[ildiz yo'q\] \
Koordinata o'qlari bilan kesishish. Funktsiya $Ox$ o'qini kesib o'tmaydi, lekin $Oy$ o'qini $(0,1)$ nuqtada kesib o'tadi.
$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$
\ \[ildiz yo'q\] \
Grafik (1-rasm).
1-rasm. $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$ funksiya grafigi.
Eksponensial funktsiya $f\left(x\right)=a^x$, bu yerda $0
$0 da eksponensial funktsiyaning xossalarini kiritamiz
Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlardir.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funksiya juft ham, toq ham emas.
$f(x)$ butun taʼrif sohasi boʻylab uzluksizdir.
Qiymatlar oralig'i $(0,+\infty)$ oralig'idir.
$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \[ildiz yo'q\] \ \[ildiz yo'q\] \
Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab qavariqdir.
Domen oxiridagi xatti-harakatlar:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Grafik (2-rasm).
Eksponensial funktsiyani qurish masalasiga misol
$y=2^x+3$ funksiyasini o‘rganing va chizing.
Yechim.
Keling, yuqoridagi misol diagrammasi yordamida tadqiqot o'tkazamiz:
Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlardir.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funksiya juft ham, toq ham emas.
$f(x)$ butun taʼrif sohasi boʻylab uzluksizdir.
Qiymatlar oralig'i $(3,+\infty)$ oralig'idir.
$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$
Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.
$f(x)\ge 0$ butun ta'rif domenida.
Koordinata o'qlari bilan kesishish. Funktsiya $Ox$ o'qini kesib o'tmaydi, lekin $Oy$ o'qini ($0,4)$ nuqtada kesib o'tadi.
$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$
Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab qavariqdir.
Domen oxiridagi xatti-harakatlar:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Grafik (3-rasm).
3-rasm. $f\left(x\right)=2^x+3$ funksiya grafigi
1. Ko'rsatkichli funktsiya y(x) = a x ko'rinishdagi funktsiya bo'lib, ko'rsatkich x ga bog'liq bo'lib, a daraja asosining doimiy qiymatiga ega, bu erda a > 0, a ≠ 0, xsR (R - haqiqiy sonlar to'plami).
Keling, ko'rib chiqaylik Agar asos shartni qanoatlantirmasa, funksiya grafigi: a>0
a) a< 0
Agar a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Agar a = 0 bo'lsa, y = funksiya aniqlangan va 0 doimiy qiymatga ega
c) a =1
Agar a = 1 bo'lsa, y = funksiya aniqlangan va 1 doimiy qiymatga ega
Funktsiya domeni (DOF) Ruxsat etilgan funktsiya qiymatlari diapazoni (APV) 3. Funktsiyaning nollari (y = 0) 4. Ordinata o'qi bilan kesishish nuqtalari oy (x = 0) 5. Ortib boruvchi, kamayuvchi funksiyalar Agar bo'lsa, f(x) funksiya ortadi 6. Juft, toq funksiya y = funktsiyasi 0y o'qiga va koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik emas, shuning uchun u na juft, na toq. (Umumiy funktsiya) 7. y = funksiyaning ekstremal qismi yo‘q 8. Haqiqiy darajali daraja xossalari: a > 0 bo'lsin; a≠1 Keyin xsR uchun; YsR: Monotonlik darajasining xususiyatlari: agar , keyin Agar a> 0 bo'lsa, u holda. 9. Funksiyaning nisbiy pozitsiyasi A asosi qanchalik katta bo'lsa, x va oy o'qlariga yaqinroq bo'ladi a > 1, a = 20 1-misol. x=2 o'zgaruvchining turli ratsional qiymatlari uchun ifoda qiymatini topamiz; 0; -3; - E'tibor bering, biz x o'zgaruvchisi o'rniga qanday raqam qo'yishimizdan qat'iy nazar, biz har doim bu ifodaning qiymatini topa olamiz. Bu shuni anglatadiki, biz ratsional sonlar to'plamida aniqlangan ko'rsatkichli funktsiyani (E x ning uchta kuchiga teng) ko'rib chiqamiz: . Keling, ushbu funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzib, uning grafigini tuzamiz. Keling, ushbu nuqtalardan o'tadigan silliq chiziq chizamiz (1-rasm) Ushbu funktsiyaning grafigidan foydalanib, uning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz: 3. Ta'rifning butun maydoni bo'ylab ortadi. 8. Funksiya pastga qarab qavariq. Bir koordinata sistemasida funksiyalar grafiklarini tuzadigan bo'lsak; y=(y teng x darajaga, y beshga teng x, y yetti x darajaga teng), u holda ular y= bilan bir xil xususiyatlarga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin. (y x ning kuchiga uchtaga teng) (2-rasm), ya'ni y = ko'rinishdagi barcha funksiyalar (y birdan katta uchun x darajaga teng) shunday bo'ladi. xususiyatlari. Funktsiyani chizamiz: 1. Uning qiymatlari jadvalini tuzish. Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz. Bu nuqtalardan o'tuvchi silliq chiziq chizamiz (3-rasm). Ushbu funktsiyaning grafigidan foydalanib, biz uning xususiyatlarini ko'rsatamiz: 1. Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidir. 2. Juft ham, toq ham emas. 3.Tanriflashning butun sohasi bo'ylab kamayadi. 4. Eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas. 5.Quyida cheklangan, lekin yuqorida cheklanmagan. 6.Barcha ta'rif sohasi bo'ylab uzluksiz. 7. noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan qiymatlar diapazoni. 8. Funksiya pastga qarab qavariq. Xuddi shunday, funksiya grafiklarini bitta koordinata tizimida chizsak; y = (y x ning yarmiga teng, y x ning beshdan biriga, y x ning yettidan biriga teng), u holda ular borligini payqashingiz mumkin. y = bilan bir xil xossalar (y kuchning uchdan biriga teng (4-rasm), ya'ni y = ko'rinishdagi barcha funksiyalar shunday xususiyatlarga ega bo'ladi (y ni a ga bo'lingan birga teng). x quvvat, noldan katta, lekin birdan kichik) Bitta koordinata tizimidagi funksiyalar grafiklarini tuzamiz Demak, a ning bir xil qiymatida y=y= funksiyalarning grafiklari ham simmetrik bo‘ladi (y ni x darajaga, y esa x darajaga bo‘lingan birga teng). Keling, eksponensial funktsiyani aniqlash va uning asosiy xususiyatlarini ko'rsatish orqali aytilganlarni umumlashtiramiz: Ta'rifi: y= ko'rinishdagi funksiya, bu erda (a musbat va birdan farqli bo'lgan x darajaga teng a) ko'rsatkichli funktsiya deyiladi. y= koʻrsatkichli funksiya bilan y=, a=2,3,4,… darajali funksiya oʻrtasidagi farqlarni esga olish kerak. ham ovozli, ham ingl. Eksponensial funktsiya X quvvat va quvvat funktsiyasi uchun X asos hisoblanadi. 1-misol: Tenglamani yeching (xning uchta kuchi to'qqizga teng) (Y uchga teng X ning kuchiga va Y to'qqizga teng) 7-rasm E'tibor bering, ularda bitta umumiy nuqta M (2;9) bor (em koordinatalari ikki; to'qqiz), bu nuqtaning abssissasi ushbu tenglamaning ildizi bo'lishini anglatadi. Ya'ni, tenglama bitta ildizga ega x = 2. 2-misol: Tenglamani yeching Bitta koordinatalar sistemasida y= funksiyaning ikkita grafigini tuzamiz (y soni x ning kuchiga beshga, y yigirma beshdan biriga teng) 8-rasm. Grafiklar bir nuqtada kesishadi T (-2; (koordinatalari bilan te minus ikki; yigirma beshdan biri). Bu tenglamaning ildizi x = -2 (son minus ikki) ekanligini bildiradi. 3-misol: Tengsizlikni yeching Bitta koordinatalar tizimida y= funksiyaning ikkita grafigini tuzamiz (Y X ning kuchiga uchga teng va Y yigirma etti ga teng). 9-rasm funksiya grafigi y=at funksiya grafigidan yuqorida joylashgan x Demak, tengsizlikning yechimi oraliqdir (minus cheksizlikdan uchgacha) 4-misol: Tengsizlikni yeching Bitta koordinatalar sistemasida y= funksiyaning ikkita grafigini tuzamiz (y soni x ning to‘rtdan biriga, y esa o‘n oltiga teng). (10-rasm). Grafiklar bir K nuqtada kesishadi (-2;16). Demak, tengsizlikning yechimi (-2; (minus ikkidan plyus cheksizlikka)) intervaldir, chunki y= funksiya grafigi x nuqtadagi funksiya grafigidan pastda joylashgan. Bizning fikrimiz quyidagi teoremalarning to'g'riligini tekshirishga imkon beradi: 1-mavzu: Agar rost bo'lsa va faqat m=n bo'lsa. 2-teorema: Agar to'g'ri bo'lsa, faqat va agar rost bo'lsa, tengsizlik to'g'ri bo'ladi, agar va faqat agar (*-rasm). 4-teorema: Agar to'g'ri bo'lsa, agar (rasm**), tengsizlik faqat va faqat m=n bo'lsa, to'g'ri bo'ladi. 5-misol: y= funksiya grafigini tuzing y= daraja xossasini qo‘llash orqali funksiyani o‘zgartiramiz Qo‘shimcha koordinatalar sistemasini tuzamiz va yangi koordinatalar sistemasida y = funksiyaning grafigini tuzamiz (y ning x kuchiga ikkiga teng) 11-rasm. 6-misol: Tenglamani yeching Bitta koordinatalar tizimida y= funksiyaning ikkita grafigini tuzamiz (Y X ning quvvatiga yetti va Y sakkiz minus X ga teng) 12-rasm. Grafiklar bir E nuqtada kesishadi (1; (e koordinatalari bir; yetti). Demak, tenglamaning ildizi x = 1 (x birga teng). 7-misol: Tengsizlikni yeching Bitta koordinatalar tizimida y= funksiyaning ikkita grafigini tuzamiz (Y X kuchining to'rtdan biriga teng va Y X va beshga teng). y=funksiya grafigi tengsizlikning yechimi x oraliq (minus birdan plyus cheksizgacha) bo‘lganda, y=x+5 funksiya grafigidan pastda joylashgan.
2. Eksponensial funktsiyani batafsil ko'rib chiqamiz:
0
Agar bo'lsa, f(x) funksiya kamayadi
Funktsiya y= , 0 da
Bu haqiqiy darajali kuchning monotonlik xususiyatlaridan kelib chiqadi.
b> 0; b≠1
Masalan:
Ko'rsatkichli funktsiya har qanday s R nuqtasida uzluksizdir.
Agar a0 bo'lsa, ko'rsatkichli funktsiya y = 0 ga yaqin shaklni oladi.
Agar a1 bo'lsa, u holda ho'kiz va oy o'qlaridan uzoqroqda va grafik y = 1 funktsiyaga yaqin shaklni oladi.
y = ning grafigini tuzing
