Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi.
Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi
Ushbu maqolada biz yuqori matematika bo'yicha testlarda tez-tez uchraydigan yana ikkita odatiy vazifani ko'rib chiqamiz. Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rta darajada hosilalarni topa olishingiz kerak. Siz ikkita asosiy darsda noldan hosilalarni topishni o'rganishingiz mumkin va Murakkab funktsiyaning hosilasi. Agar farqlash qobiliyatingiz yaxshi bo'lsa, keling.
Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi
Yoki qisqasi, yashirin funksiyaning hosilasi. Yashirin funktsiya nima? Keling, birinchi navbatda bitta o'zgaruvchining funktsiyasining ta'rifini eslaylik:
Yagona o'zgaruvchan funktsiya mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati funksiyaning bitta va faqat bitta qiymatiga mos keladigan qoidadir.
O'zgaruvchi chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil.
O'zgaruvchi chaqiriladi qaram o'zgaruvchi yoki funktsiyasi
.
Hozirgacha biz belgilangan funktsiyalarni ko'rib chiqdik aniq shakl. Bu nima degani? Keling, aniq misollar yordamida brifing o'tkazamiz.
Funktsiyani ko'rib chiqing 
Ko'ryapmizki, chap tomonda bizda yolg'iz "o'yinchi" bor, o'ngda - faqat "X". Ya'ni, funktsiya aniq mustaqil oʻzgaruvchi orqali ifodalanadi.
Keling, boshqa funktsiyani ko'rib chiqaylik:
Bu erda o'zgaruvchilar aralashtiriladi. Bundan tashqari hech qanday tarzda mumkin emas“Y”ni faqat “X” orqali ifodalang. Bu usullar nima? Belgini o'zgartirgan holda atamalarni qismdan qismga o'tkazish, ularni qavs ichidan chiqarish, nisbat qoidasiga ko'ra ko'rsatkichlarni tashlash va hokazo. Tenglikni qayta yozing va "y" ni aniq ifodalashga harakat qiling: . Siz tenglamani soatlab burishingiz va aylantirishingiz mumkin, ammo muvaffaqiyatga erisha olmaysiz.
Sizni tanishtiraman: – misol yashirin funksiya.
Matematik tahlil jarayonida yashirin funksiya mavjudligi isbotlangan mavjud(ammo, har doim ham emas), u grafikga ega (xuddi "oddiy" funktsiya kabi). Yashirin funktsiya aynan bir xil mavjud birinchi hosila, ikkinchi hosila va boshqalar. Ular aytganidek, jinsiy ozchiliklarning barcha huquqlari hurmat qilinadi.
Va bu darsda biz aniq belgilangan funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganamiz. Bu unchalik qiyin emas! Barcha farqlash qoidalari va elementar funksiyalarning hosilalari jadvali o'z kuchida qoladi. Farqi bir o'ziga xos daqiqada, biz hozir ko'rib chiqamiz.
Ha, va men sizga xushxabarni aytaman - quyida muhokama qilingan vazifalar uchta yo'l oldida toshsiz juda qattiq va aniq algoritmga muvofiq amalga oshiriladi.
1-misol
1) Birinchi bosqichda biz ikkala qismga zarbalarni biriktiramiz:
2) Biz hosilaning chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz (darsning birinchi ikkita qoidasi). hosilani qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar):
3) To'g'ridan-to'g'ri farqlash.
Qanday qilib farqlash to'liq aniq. Qon tomirlari ostida "o'yinlar" bo'lgan joyda nima qilish kerak?
- shunchaki sharmandalik darajasiga qadar, funktsiyaning hosilasi uning hosilasiga teng: .
Qanday qilib farqlash kerak
Mana bizda murakkab funktsiya. Nega? Sinus ostida faqat bitta "Y" harfi borga o'xshaydi. Ammo haqiqat shundaki, faqat bitta "y" harfi bor - O'ZI FUNKSIYA(dars boshida ta'rifga qarang). Shunday qilib, sinus tashqi funktsiya bo'lib, ichki funktsiyadir. Murakkab funktsiyani farqlash uchun qoidadan foydalanamiz 
:
Biz mahsulotni odatiy qoidaga ko'ra farqlaymiz 
:
E'tibor bering - bu ham murakkab funktsiyadir, har qanday "qo'ng'iroq va hushtak bilan o'yin" murakkab funktsiyadir:
Yechimning o'zi shunday ko'rinishi kerak:
Qavslar bo'lsa, ularni kengaytiring:
4) Chap tomonda biz "Y" harfini o'z ichiga olgan atamalarni to'playmiz. Qolgan hamma narsani o'ng tomonga o'tkazing:
5) Chap tomonda biz qavs ichidan hosilani chiqaramiz:
6) Va mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz bu qavslarni o'ng tomonning maxrajiga tushiramiz:
hosilasi topildi. Tayyor.
Shunisi qiziqki, har qanday funktsiyani bilvosita qayta yozish mumkin. Masalan, funktsiya 
quyidagicha qayta yozish mumkin: 
. Va hozirgina muhokama qilingan algoritm yordamida uni farqlang. Darhaqiqat, "yomon funktsiya" va "yoshiq funktsiya" iboralari bir semantik nuanceda farqlanadi. "Bevosita belgilangan funktsiya" iborasi umumiyroq va to'g'ri, 
- bu funktsiya bilvosita ko'rsatilgan, ammo bu erda siz "o'yin" ni ifodalashingiz va funktsiyani aniq ko'rsatishingiz mumkin. "Y" ni ifodalab bo'lmaganda "yomon funktsiya" iborasi "klassik" yashirin funktsiyani anglatadi.
Ikkinchi yechim
Diqqat! Agar siz qanday qilib ishonchli tarzda topishni bilsangiz, ikkinchi usul bilan tanishishingiz mumkin qisman hosilalari. Iltimos, hisobni yangi boshlanuvchilar va qo'g'irchoqlar o'qimang va bu nuqtani o'tkazib yubormang, aks holda sizning boshingiz butunlay chalkash bo'ladi.
Ikkinchi usul yordamida yashirin funksiyaning hosilasini topamiz.
Biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:
Va ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:
Keyin hosilamizni formuladan foydalanib topish mumkin
Keling, qisman hosilalarni topamiz:
Shunday qilib:
Ikkinchi yechim tekshirishni amalga oshirishga imkon beradi. Ammo ularga topshiriqning yakuniy versiyasini yozish tavsiya etilmaydi, chunki qisman hosilalar keyinroq o'zlashtiriladi va "Bir o'zgaruvchan funktsiyaning hosilasi" mavzusini o'rganayotgan talaba qisman hosilalarni hali bilmasligi kerak.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
2-misol
Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping
Ikkala qismga ham chiziqlar qo'shing:
Biz chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz:
hosilalarni topish:
Barcha qavslarni ochish:
Biz barcha shartlarni chap tomonga, qolganlarini o'ng tomonga siljitamiz:
Yakuniy javob: 
3-misol
Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping 
Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.
Farqlashdan keyin kasrlar paydo bo'lishi odatiy hol emas. Bunday hollarda siz fraksiyalardan qutulishingiz kerak. Keling, yana ikkita misolni ko'rib chiqaylik.
4-misol
Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping 
Biz ikkala qismni chiziqlar ostiga qo'yamiz va chiziqlilik qoidasidan foydalanamiz: 
Murakkab funktsiyani differensiallash qoidasi yordamida farqlang 
va ko'rsatkichlarni farqlash qoidasi 
:
Qavslarni kengaytirish: 
Endi biz kasrdan xalos bo'lishimiz kerak. Buni keyinroq qilish mumkin, ammo buni darhol qilish yanada oqilona. Kasrning maxraji tarkibida . Ko'paytiring kuni . Batafsil, u quyidagicha ko'rinadi:
Ba'zida differentsiatsiyadan keyin 2-3 fraksiya paydo bo'ladi. Agar bizda boshqa kasr bo'lsa, masalan, operatsiyani takrorlash kerak bo'ladi - ko'paytiring har bir qismning har bir muddati yoqilgan
Chap tomonda biz uni qavslardan chiqaramiz:
Yakuniy javob: 
5-misol
Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bitta narsa shundaki, kasrdan xalos bo'lishdan oldin, birinchi navbatda fraksiyaning uch qavatli tuzilishidan xalos bo'lishingiz kerak. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi
Keling, ta'kidlamaylik, bu paragrafda hamma narsa juda oddiy. Siz parametrik aniqlangan funksiya uchun umumiy formulani yozishingiz mumkin, lekin buni aniq qilish uchun men darhol aniq bir misol yozaman. Parametrik shaklda funksiya ikkita tenglama bilan beriladi: . Ko'pincha tenglamalar jingalak qavslar ostida emas, balki ketma-ket yoziladi: , .
O'zgaruvchiga parametr deyiladi va "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" ga qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan, qiymatni ko'rib chiqing va uni ikkala tenglamaga almashtiring: 
. Yoki insoniy so'z bilan aytganda: "agar x to'rtga teng bo'lsa, u holda y birga teng". Koordinata tekisligida nuqtani belgilashingiz mumkin va bu nuqta parametr qiymatiga mos keladi. Xuddi shunday, siz "te" parametrining istalgan qiymati uchun nuqta topishingiz mumkin. "Doimiy" funktsiyaga kelsak, parametrik aniqlangan funktsiyaning amerikalik hindulari uchun barcha huquqlar ham hurmat qilinadi: siz grafik yaratishingiz, lotinlarni topishingiz va hokazo. Aytgancha, parametrik aniqlangan funktsiyaning grafigini chizishingiz kerak bo'lsa, siz mening dasturimdan foydalanishingiz mumkin.
Eng oddiy hollarda funksiyani aniq ifodalash mumkin. Birinchi tenglamadagi parametrni ifodalaymiz: 
– va uni ikkinchi tenglamaga almashtiring: 
. Natijada oddiy kub funksiyasi paydo bo'ladi.
Keyinchalik "og'ir" holatlarda bu hiyla ishlamaydi. Ammo bu muhim emas, chunki parametrik funktsiyaning hosilasini topish uchun formula mavjud:
Biz "te o'zgaruvchisiga nisbatan o'yin" ning hosilasini topamiz:
Barcha farqlash qoidalari va hosilalar jadvali, tabiiyki, harf uchun amal qiladi, shuning uchun, hosilalarni topish jarayonida yangilik yo'q. Jadvaldagi barcha "X" larni "Te" harfi bilan almashtiring.
Te o‘zgaruvchisiga nisbatan “x” ning hosilasini topamiz: 
Endi topilgan hosilalarni formulamizga almashtirish qoladi: 
Tayyor. Hosil, funksiyaning o'zi kabi, parametrga ham bog'liq.
Belgilanishga kelsak, uni formulada yozish o'rniga, uni oddiygina pastki belgisiz yozish mumkin, chunki bu "X ga nisbatan" "odatiy" hosiladir. Ammo adabiyotda har doim variant bor, shuning uchun men standartdan chetga chiqmayman.
6-misol
Biz formuladan foydalanamiz
Ushbu holatda:
Shunday qilib: 
Parametrik funktsiyaning hosilasini topishning o'ziga xos xususiyati shundaki har bir qadamda natijani iloji boricha soddalashtirish foydalidir. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan misolda, men uni topganimda, ildiz ostidagi qavslarni ochdim (garchi men buni qilmagan bo'lsam ham). Formulaga almashtirilganda, ko'p narsalar yaxshi qisqarishi uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi, shubhasiz, noqulay javoblar bilan misollar mavjud.
7-misol
Parametrik belgilangan funksiyaning hosilasini toping 
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.
Maqolada Losmalar bilan eng oddiy tipik muammolar biz funksiyaning ikkinchi hosilasini topishimiz kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqdik. Parametrli aniqlangan funksiya uchun ikkinchi hosilani ham topishingiz mumkin va u quyidagi formula yordamida topiladi: . Ko'rinib turibdiki, ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosilani topish kerak.
8-misol
Parametrik berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini toping
Birinchidan, birinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz
Ushbu holatda: 
Topilgan hosilalarni formulaga almashtiramiz. Soddalashtirish uchun biz trigonometrik formuladan foydalanamiz: 
Shu paytgacha biz ushbu chiziqlar nuqtalarining joriy koordinatalarini bevosita bog'laydigan tekislikdagi chiziqlar tenglamalarini ko'rib chiqdik. Biroq, ko'pincha chiziqni aniqlashning boshqa usuli qo'llaniladi, bunda joriy koordinatalar uchinchi o'zgaruvchining funktsiyalari sifatida ko'rib chiqiladi.
O‘zgaruvchining ikkita funksiyasi berilgan bo‘lsin
t ning bir xil qiymatlari uchun hisobga olinadi. Keyin t ning ushbu qiymatlaridan har qandayi ma'lum bir qiymatga va y ning ma'lum bir qiymatiga va shuning uchun ma'lum bir nuqtaga mos keladi. t o'zgaruvchisi funktsiyalarni aniqlash sohasi (73) dan barcha qiymatlar bo'ylab o'tganda, nuqta tekislikdagi ma'lum bir C chizig'ini tasvirlaydi.(73) tenglamalar bu chiziqning parametrik tenglamalari deb ataladi va o'zgaruvchi deyiladi. parametr.
Funksiya teskari funktsiyaga ega deb faraz qilaylik.Bu funksiyani (73) ikkinchi tenglamaga almashtirib, tenglamani olamiz.
y ni funksiya sifatida ifodalash
Bu funksiya (73) tenglamalar orqali parametrik berilgan, deyishga rozi bo'laylik. Bu tenglamalardan (74) tenglamaga o'tish parametrlarni yo'q qilish deyiladi. Parametrli aniqlangan funktsiyalarni ko'rib chiqishda parametrni istisno qilish nafaqat zarur, balki har doim ham amalda mumkin emas.
Ko'pgina hollarda, parametrning turli qiymatlarini hisobga olgan holda, formulalar (73) yordamida argument va y funktsiyasining mos keladigan qiymatlarini hisoblash ancha qulayroqdir.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol. Markazi koordinata boshi va radiusi R bo‘lgan aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x va y dekkart koordinatalari uning qutb radiusi va qutb burchagi orqali ifodalanadi, biz bu yerda t bilan belgilaymiz, quyidagicha ( I bob, 3-§, 3-bandga qarang):
(75) tenglamalar aylananing parametrik tenglamalari deyiladi. Ulardagi parametr qutb burchagi bo'lib, u 0 dan .
Agar (75) tenglamalar had bo'yicha kvadratga aylantirilsa va qo'shilsa, u holda identifikatsiya tufayli parametr o'chiriladi va Dekart koordinata tizimidagi aylana tenglamasi olinadi, bu ikkita elementar funktsiyani belgilaydi:
Bu funksiyalarning har biri (75) tenglamalar orqali parametrik tarzda belgilanadi, lekin bu funksiyalar uchun parametr diapazonlari boshqacha. Ulardan birinchisi uchun; Bu funksiyaning grafigi yuqori yarim doiradir. Ikkinchi funksiya uchun uning grafigi pastki yarim doiradir.
2-misol. Bir vaqtning o'zida ellipsni ko'rib chiqing
va markazi koordinatali va radiusi a bo'lgan doira (138-rasm).
Ellipsning har bir M nuqtasiga aylananing N nuqtasini bog'laymiz, u M nuqta bilan bir xil abscissaga ega va u bilan Ox o'qining bir tomonida joylashgan. N nuqtaning o'rni va shuning uchun M nuqta nuqtaning qutb burchagi t bilan to'liq aniqlanadi.Unda ularning umumiy absissalari uchun quyidagi ifodani olamiz: x = a. Ellips tenglamasidan M nuqtadagi ordinatani topamiz:
Belgi tanlandi, chunki M nuqta ordinatasi va N nuqta ordinatasi bir xil belgilarga ega bo'lishi kerak.
Shunday qilib, ellips uchun quyidagi parametrik tenglamalar olinadi:
Bu erda t parametri 0 dan ga qadar o'zgaradi.
3-misol. Markazi a) nuqtada va radiusi a bo'lgan aylanani ko'rib chiqaylik, u ko'rinib turibdiki, koordinata boshidagi x o'qiga tegib turadi (139-rasm). Faraz qilaylik, bu aylana x o'qi bo'ylab sirpanmasdan aylansin. Keyin aylananing M nuqtasi, dastlabki momentda koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelgan, sikloid deb ataladigan chiziqni tasvirlaydi.
Doiraning qo'zg'almas nuqtasini O holatidan M holatga ko'chirishda aylananing MSV aylanish burchagini t parametr sifatida olib, sikloidning parametrik tenglamalarini chiqaramiz. Keyin M nuqtaning koordinatalari va y uchun quyidagi ifodalarni olamiz:
Doira o'q bo'ylab sirg'almasdan aylanayotganligi sababli OB segmentining uzunligi BM yoyi uzunligiga teng. BM yoyi uzunligi a radiusi va markaziy burchak t ko'paytmasiga teng bo'lganligi uchun . Shunung uchun . Lekin shuning uchun,
Bu tenglamalar sikloidning parametrik tenglamalaridir. Parametr t 0 dan aylanaga o'zgarganda, bitta to'liq aylanish amalga oshiriladi. M nuqtasi sikloidning bir yoyini tasvirlaydi.
Bu erda t parametrini istisno qilish noqulay ifodalarga olib keladi va amalda amaliy emas.
Chiziqlarning parametrik ta'rifi ayniqsa mexanikada tez-tez qo'llaniladi va parametr rolini vaqt o'ynaydi.
4-misol. Gorizontalga a burchak ostida boshlang'ich tezlik bilan quroldan otilgan snaryadning traektoriyasini aniqlaymiz. Biz havo qarshiligini va o'qning o'lchamlarini e'tiborsiz qoldirib, uni moddiy nuqta deb hisoblaymiz.
Keling, koordinatalar tizimini tanlaylik. Koordinatalarning kelib chiqishi sifatida snaryadning tumshug'idan chiqish nuqtasini olaylik. Keling, Ox o'qini gorizontal, Oy o'qini esa vertikal yo'naltiramiz, ularni miltiq tumshug'i bilan bir tekislikda joylashtiramiz. Agar tortishish kuchi bo'lmaganda, u holda snaryad to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanib, Ox o'qi bilan a burchak hosil qilar edi va t vaqtga kelib u masofani bosib o'tgan bo'lar edi.Snaryadning t vaqtidagi koordinatalari mos ravishda teng bo'lar edi. uchun: . Gravitatsiya ta'sirida snaryad shu lahzaga qadar vertikal ravishda ma'lum miqdorga tushishi kerak.Shuning uchun haqiqatda t vaqtda snaryadning koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
Bu tenglamalar doimiy miqdorlarni o'z ichiga oladi. t o'zgarganda, snaryadning traektoriya nuqtasidagi koordinatalar ham o'zgaradi. Tenglamalar snaryad traektoriyasining parametrik tenglamalari bo'lib, ularda parametr vaqt hisoblanadi
Birinchi tenglamadan ifodalash va unga almashtirish
ikkinchi tenglama, biz snaryad traektoriyasi tenglamasini shaklda olamiz Bu parabolaning tenglamasi.
Parametrik usulda belgilangan funksiya hosilasi uchun formula. Ushbu formulani qo'llashning isboti va misollari. Birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni hisoblash misollari.
Funktsiya parametrik tarzda belgilansin:
(1)
bu erda parametr deb ataladigan ba'zi o'zgaruvchilar. Va funksiyalar o'zgaruvchining ma'lum bir qiymatida hosilalarga ega bo'lsin. Bundan tashqari, funktsiya nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida ham teskari funktsiyaga ega. Keyin (1) funktsiya nuqtada hosilaga ega bo'lib, u parametrik shaklda formulalar bilan aniqlanadi:
(2)
Bu erda va funksiyalarning hosilalari va o'zgaruvchiga (parametrga) nisbatan. Ko'pincha ular quyidagicha yoziladi:
;
.
Keyin (2) tizimni quyidagicha yozish mumkin:
Isbot
Shartga ko'ra, funktsiya teskari funktsiyaga ega. deb belgilaymiz
.
Keyin asl funktsiyani murakkab funktsiya sifatida ko'rsatish mumkin:
.
Murakkab va teskari funktsiyalarni farqlash qoidalaridan foydalanib, uning hosilasini topamiz:
.
Qoida isbotlangan.
Ikkinchi usulda isbotlash
Nuqtadagi funksiya hosilasining ta’rifiga asoslanib, ikkinchi usulda hosilani topamiz:
.
Keling, belgi bilan tanishamiz:
.
Keyin oldingi formula quyidagi shaklni oladi:
.
Funktsiya nuqta qo'shnisida teskari funktsiyaga ega ekanligidan foydalanamiz.
Keling, quyidagi belgini kiritamiz:
;
;
;
.
Kasrning soni va maxrajini quyidagicha ajrating:
.
Da , . Keyin
.
Qoida isbotlangan.
Yuqori tartibli hosilalar
Yuqori tartibli hosilalarni topish uchun bir necha marta differentsiatsiya qilish kerak. Aytaylik, parametrik aniqlangan funksiyaning quyidagi ko‘rinishdagi ikkinchi tartibli hosilasini topishimiz kerak:
(1)
(2) formuladan foydalanib, birinchi hosilani topamiz, u ham parametrik tarzda aniqlanadi:
(2)
Birinchi hosilani o‘zgaruvchi bilan belgilaymiz:
.
Keyin funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan ikkinchi hosilasini topish uchun funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan birinchi hosilasini topish kerak. O'zgaruvchining o'zgaruvchiga bog'liqligi ham parametrik tarzda aniqlanadi:
(3)
(3) ni (1) va (2) formulalar bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
Endi natijani va funksiyalari orqali ifodalaymiz. Buning uchun hosila kasr formulasini almashtiramiz va qo'llaymiz:
.
Keyin
.
Bu erdan biz o'zgaruvchiga nisbatan funktsiyaning ikkinchi hosilasini olamiz: 
U parametrik shaklda ham berilgan. E'tibor bering, birinchi qatorni quyidagicha yozish ham mumkin:
.
Jarayonni davom ettirib, siz uchinchi va undan yuqori tartibli o'zgaruvchilardan funksiyalarning hosilalarini olishingiz mumkin.
Esda tutingki, hosila uchun belgi kiritishimiz shart emas. Siz buni shunday yozishingiz mumkin:
;
.
1-misol
Parametrik aniqlangan funksiyaning hosilasini toping:
Yechim
ga nisbatan hosilalarni topamiz.
Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
;
.
Biz murojaat qilamiz:
.
Bu yerga .
.
Bu yerga .
Kerakli hosila:
.
Javob
2-misol
Parametr orqali ifodalangan funksiyaning hosilasini toping:
Yechim
Qavslarni quvvat funktsiyalari va ildizlar uchun formulalar yordamida ochamiz:
.
Hosilini topish:
.
Hosilini topish. Buning uchun biz o'zgaruvchini kiritamiz va murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.
.
Biz kerakli hosilani topamiz:
.
Javob
3-misol
1-misolda parametrik aniqlangan funksiyaning ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarini toping:
Yechim
1-misolda biz birinchi tartibli hosilani topdik:
Keling, belgi bilan tanishtiramiz. U holda funksiya ga nisbatan hosila hisoblanadi. U parametrik tarzda belgilanadi:
ga nisbatan ikkinchi hosilani topish uchun ga nisbatan birinchi hosilani topishimiz kerak.
bilan farq qilaylik.
.
Biz 1-misolda hosilasini topdik:
.
ga nisbatan ikkinchi tartibli hosila quyidagilarga nisbatan birinchi tartibli hosilaga teng:
.
Shunday qilib, biz parametrik shaklga nisbatan ikkinchi tartibli hosilani topdik:
Endi biz uchinchi tartib hosilasini topamiz. Keling, belgi bilan tanishtiramiz. Keyin parametrik usulda ko'rsatilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasini topishimiz kerak:
ga nisbatan hosila toping. Buning uchun biz uni ekvivalent shaklda qayta yozamiz:
.
Kimdan
.
ga nisbatan uchinchi tartibli hosila quyidagilarga nisbatan birinchi tartibli hosilaga teng:
.
Izoh
Siz mos ravishda va ning hosilalari bo'lgan va o'zgaruvchilarni kiritishingiz shart emas. Keyin uni quyidagicha yozishingiz mumkin:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Javob
Parametrik tasvirlashda ikkinchi tartibli hosila quyidagi shaklga ega:
Uchinchi tartibli hosila:
Funktsiyani bir necha usul bilan belgilash mumkin. Bu uni belgilash uchun ishlatiladigan qoidaga bog'liq. Funktsiyani ko'rsatishning aniq shakli y = f (x). Uning tavsifi imkonsiz yoki noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Agar (a; b) oraliqda t parametri uchun hisoblash kerak bo'lgan ko'p juftlik (x; y) bo'lsa. 0 ≤ t bilan x = 3 cos t y = 3 sin t sistemani yechish uchun< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Parametrik funktsiyaning ta'rifi
Bu erdan biz t ∈ (a; b) qiymat uchun x = ph (t), y = ps (t) aniqlanganligini va x = ph (t) uchun teskari funktsiya t = D (x) ga ega bo'lishimiz mumkin. y = ps (D (x)) ko'rinishdagi funktsiyaning parametrik tenglamasini ko'rsatish haqida gapiramiz.
Funksiyani o'rganish uchun x ga nisbatan hosilani izlash kerak bo'lgan holatlar mavjud. y x " = ps " (t) ph " (t) ko'rinishdagi parametrik aniqlangan funksiya hosilasi formulasini ko'rib chiqamiz, 2 va n tartibli hosila haqida gapiramiz.
Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi formulasini hosil qilish
Bizda t ∈ a uchun aniqlangan va differentsiallanadigan x = ph (t), y = ps (t) mavjud; b, bu erda x t " = ph " (t) ≠ 0 va x = ph (t), u holda t = D (x) ko'rinishdagi teskari funksiya mavjud.
Boshlash uchun siz parametrik vazifadan aniq vazifaga o'tishingiz kerak. Buning uchun y = ps (t) = ps (D (x)) ko'rinishdagi kompleks funktsiyani olish kerak, bu erda x argumenti mavjud.
Murakkab funktsiyaning hosilasini topish qoidasiga asoslanib, y " x = ps D (x) = ps " D x · D " x ni olamiz.
Bu shuni ko'rsatadiki, t = D (x) va x = ph (t) teskari funktsiya formulasi D " (x) = 1 ph " (t), keyin y " x = ps " D (x) D " bo'lgan teskari funksiyalardir. (x) = ps " (t) ph " (t) .
Keling, differentsiallash qoidasiga ko'ra hosilalar jadvali yordamida bir nechta misollarni yechishga o'tamiz.
1-misol
x = t 2 + 1 y = t funksiyaning hosilasini toping.
Yechim
Shart bo'yicha bizda ph (t) = t 2 + 1, ps (t) = t, bu erdan biz ph " (t) = t 2 + 1 ", ps " (t) = t " = 1 ni olamiz. Siz olingan formuladan foydalanishingiz va javobni quyidagi shaklda yozishingiz kerak:
y " x = ps " (t) ph " (t) = 1 2 t
Javob: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1.
h funktsiyasining hosilasi bilan ishlaganda, t parametri hosila qiymatlari va parametrik aniqlangan funktsiya o'rtasidagi bog'liqlikni yo'qotmaslik uchun x argumentining bir xil t parametri orqali ifodasini belgilaydi. qaysi qiymatlar mos keladi.
Parametrli berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini aniqlash uchun hosil boʻlgan funksiya boʻyicha birinchi tartibli hosila formulasidan foydalanish kerak, shundan keyin biz shuni olamiz.
y "" x = ps " (t) ph " (t) " ph " (t) = ps "" (t) ph " (t) - ps " (t) ph "" (t) ph " ( t) 2 ph " (t) = ps "" (t) · ph " (t) - ps " (t) · ph "" (t) ph " (t) 3 .
2-misol
Berilgan x = cos (2 t) y = t 2 funksiyaning 2 va 2-tartibli hosilalarini toping.
Yechim
Shart bo'yicha biz ph (t) = cos (2 t) , ps (t) = t 2 ekanligini olamiz.
Keyin transformatsiyadan keyin
ph " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ps (t) = t 2 " = 2 t
Bundan kelib chiqadiki, y x " = ps " (t) ph " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
1-tartibli hosilaning shakli x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) ekanligini olamiz.
Yechish uchun siz ikkinchi tartibli hosila formulasini qo'llashingiz kerak. Biz shaklning ifodasini olamiz
y x "" = - t sin (2 t) ph " t = - t " · gunoh (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Keyin parametrik funksiya yordamida 2-tartibli hosilani ko'rsatish
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Shunga o'xshash yechim boshqa usul yordamida hal qilinishi mumkin. Keyin
ph " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ ph "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2) t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ps " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ps "" (t) = ( 2 t) " = 2
Bu erdan biz buni olamiz
y "" x = ps "" (t) ph " (t) - ps " (t) ph "" (t) ph " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos) (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Javob: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Parametrli aniqlangan funktsiyalarga ega bo'lgan yuqori tartibli hosilalar ham xuddi shunday tarzda topiladi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Keling, ta'kidlamaylik, bu paragrafda hamma narsa juda oddiy. Siz parametrik aniqlangan funksiya uchun umumiy formulani yozishingiz mumkin, lekin buni aniq qilish uchun men darhol aniq bir misol yozaman. Parametrik shaklda funksiya ikkita tenglama bilan beriladi: . Ko'pincha tenglamalar jingalak qavslar ostida emas, balki ketma-ket yoziladi: , .
O'zgaruvchi parametr deb ataladi va "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" gacha qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan, qiymatni ko'rib chiqing va uni ikkala tenglamaga almashtiring: 
. Yoki insoniy so'z bilan aytganda: "agar x to'rtga teng bo'lsa, u holda y birga teng". Koordinata tekisligida nuqtani belgilashingiz mumkin va bu nuqta parametr qiymatiga mos keladi. Xuddi shunday, siz "te" parametrining istalgan qiymati uchun nuqta topishingiz mumkin. "Doimiy" funktsiyaga kelsak, parametrik aniqlangan funktsiyaning amerikalik hindulari uchun barcha huquqlar ham hurmat qilinadi: siz grafik yaratishingiz, lotinlarni topishingiz va hokazo. Aytgancha, agar siz parametrik ravishda belgilangan funktsiyaning grafigini chizishingiz kerak bo'lsa, mening geometrik dasturimni sahifadan yuklab oling. Matematik formulalar va jadvallar.
Eng oddiy hollarda funksiyani aniq ifodalash mumkin. Birinchi tenglamadagi parametrni ifodalaymiz: 
– va uni ikkinchi tenglamaga almashtiring: 
. Natijada oddiy kub funksiyasi paydo bo'ladi.
Keyinchalik "og'ir" holatlarda bu hiyla ishlamaydi. Ammo bu muhim emas, chunki parametrik funktsiyaning hosilasini topish uchun formula mavjud:
Biz "te o'zgaruvchisiga nisbatan o'yin" ning hosilasini topamiz:
Barcha farqlash qoidalari va hosilalar jadvali, tabiiyki, harf uchun amal qiladi, shuning uchun, hosilalarni topish jarayonida yangilik yo'q. Jadvaldagi barcha "X" larni "Te" harfi bilan almashtiring.
Te o‘zgaruvchisiga nisbatan “x” ning hosilasini topamiz: 
Endi topilgan hosilalarni formulamizga almashtirish qoladi: 
Tayyor. Hosil, funksiyaning o'zi kabi, parametrga ham bog'liq.
Belgilanishga kelsak, uni formulada yozish o'rniga, uni oddiygina pastki belgisiz yozish mumkin, chunki bu "X ga nisbatan" "odatiy" hosiladir. Ammo adabiyotda har doim variant bor, shuning uchun men standartdan chetga chiqmayman.
6-misol
Biz formuladan foydalanamiz
Ushbu holatda:
Shunday qilib: 
Parametrik funktsiyaning hosilasini topishning o'ziga xos xususiyati shundaki har bir qadamda natijani iloji boricha soddalashtirish foydalidir. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan misolda, men uni topganimda, ildiz ostidagi qavslarni ochdim (garchi men buni qilmagan bo'lsam ham). Formulaga almashtirilganda, ko'p narsalar yaxshi qisqarishi uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi, shubhasiz, noqulay javoblar bilan misollar mavjud.
7-misol
Parametrik belgilangan funksiyaning hosilasini toping 
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.
Maqolada Losmalar bilan eng oddiy tipik muammolar biz funksiyaning ikkinchi hosilasini topishimiz kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqdik. Parametrli aniqlangan funksiya uchun ikkinchi hosilani ham topishingiz mumkin va u quyidagi formula yordamida topiladi: . Ko'rinib turibdiki, ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosilani topish kerak.
8-misol
Parametrik berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini toping
Birinchidan, birinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz
Ushbu holatda: 
Topilgan hosilalarni formulaga almashtiradi. Soddalashtirish uchun biz trigonometrik formuladan foydalanamiz: 
Men parametrik funktsiyaning hosilasini topish masalasida soddalashtirish uchun ko'pincha foydalanish kerakligini payqadim. trigonometrik formulalar . Ularni eslab qoling yoki qo'lingizda saqlang va har bir oraliq natija va javoblarni soddalashtirish imkoniyatini boy bermang. Nima uchun? Endi biz ning hosilasini olishimiz kerak va bu ning hosilasini topishdan ko'ra aniqroqdir.
Keling, ikkinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz: .
Keling, formulamizni ko'rib chiqaylik. Maxraj oldingi bosqichda allaqachon topilgan. Numeratorni topish qoladi - "te" o'zgaruvchisiga nisbatan birinchi hosilaning hosilasi:
Formuladan foydalanish qoladi: 
Materialni mustahkamlash uchun men sizga o'zingiz hal qilishingiz uchun yana bir nechta misollarni taklif qilaman.
9-misol
10-misol
Toping va parametrik belgilangan funksiya uchun 
Omad tilayman!
Umid qilamanki, bu dars foydali bo'ldi va endi siz aniq va parametrik funktsiyalardan ko'rsatilgan funktsiyalarning hosilalarini osongina topishingiz mumkin.
Yechimlar va javoblar:
3-misol: Yechim:
Shunday qilib: