piramida asosi va unga parallel boʻlgan kesimdan hosil boʻlgan koʻpburchakdir. Aytishimiz mumkinki, kesilgan piramida tepasi kesilgan piramidadir. Bu raqam juda ko'p o'ziga xos xususiyatlarga ega:

• Piramidaning lateral yuzlari trapezoidlardir;
• Muntazam kesilgan piramidaning lateral qirralari bir xil uzunlikda va bir xil burchak ostida poydevorga moyil;
• Asoslari o'xshash ko'pburchaklar;
• Oddiy kesilgan piramidada yuzlar bir xil yon yonli trapezoidlar bo'lib, ularning maydoni tengdir. Ular, shuningdek, bir burchak ostida poydevorga moyil.

Kesilgan piramidaning lateral sirtining formulasi uning tomonlari maydonlarining yig'indisidir:

Kesilgan piramidaning tomonlari trapezoidlar bo'lganligi sababli, parametrlarni hisoblash uchun siz formuladan foydalanishingiz kerak bo'ladi. trapezoid maydoni. Oddiy kesilgan piramida uchun siz maydonni hisoblash uchun boshqa formulani qo'llashingiz mumkin. Uning barcha tomonlari, yuzlari va poydevoridagi burchaklari teng bo'lganligi sababli, asos va apotemaning perimetrlarini qo'llash, shuningdek, asosdagi burchak orqali maydonni chiqarish mumkin.

Agar oddiy kesilgan piramidadagi shartlarga ko'ra, apotem (tomon balandligi) va poydevorning yon tomonlari uzunligi berilgan bo'lsa, u holda maydonni perimetrlar yig'indisining yarim mahsuloti orqali hisoblash mumkin. asoslar va apotema:

Keling, kesilgan piramidaning lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
Muntazam beshburchakli piramida berilgan. Apothem l= 5 sm, katta taglikdagi chekka uzunligi a= 6 sm, qirrasi esa kichikroq poydevorda b= 4 sm Kesilgan piramidaning maydonini hisoblang.

Birinchidan, asoslarning perimetrlarini topamiz. Bizga beshburchakli piramida berilganligi sababli, asoslar beshburchaklar ekanligini tushunamiz. Bu shuni anglatadiki, asoslar beshta bir xil tomonlari bo'lgan raqamni o'z ichiga oladi. Kattaroq asosning perimetrini topamiz:

Xuddi shu tarzda biz kichikroq poydevorning perimetrini topamiz:

Endi biz oddiy kesilgan piramidaning maydonini hisoblashimiz mumkin. Ma'lumotlarni formulaga almashtiring:

Shunday qilib, biz perimetrlar va apotem orqali muntazam kesilgan piramidaning maydonini hisobladik.

Oddiy piramidaning lateral sirt maydonini hisoblashning yana bir usuli - bu formula asosdagi burchaklar va shu asoslar maydoni orqali.

Keling, hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Ushbu formula faqat oddiy kesilgan piramidaga tegishli ekanligini eslaymiz.

Muntazam to'rtburchak piramida berilsin. Pastki asosning cheti a = 6 sm, ustki poydevorning cheti esa b = 4 sm, asosdagi ikki burchakli burchak b = 60 ° ga teng. Oddiy kesilgan piramidaning lateral sirt maydonini toping.

Birinchidan, asoslar maydonini hisoblaylik. Piramida muntazam bo'lgani uchun, asoslarning barcha qirralari bir-biriga teng. Baza to'rtburchak ekanligini hisobga olsak, hisoblash kerak bo'lishini tushunamiz kvadrat maydoni. Bu kenglik va uzunlik mahsulotidir, lekin kvadratga aylantirilganda bu qiymatlar bir xil bo'ladi. Kattaroq bazaning maydonini topamiz:


Endi biz lateral sirt maydonini hisoblash uchun topilgan qiymatlardan foydalanamiz.

Bir nechta oddiy formulalarni bilib, biz har xil qiymatlardan foydalangan holda kesilgan piramidaning lateral trapesiya maydonini osongina hisoblab chiqdik.

Yuzlaridan biri ko'pburchak, qolgan barcha yuzlari esa umumiy cho'qqisi bo'lgan uchburchaklar bo'lgan ko'pburchak piramida deyiladi.

Piramidani tashkil etuvchi bu uchburchaklar deyiladi yon yuzlar, qolgan ko'pburchak esa asos piramidalar.

Piramidaning tagida geometrik figura - n-gon yotadi. Bunday holda, piramida ham deyiladi n-uglerod.

Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr.

Piramidaning poydevorga tegishli bo'lmagan qirralari deyiladi lateral, va ularning umumiy nuqtasi cho'qqi piramidalar. Piramidaning boshqa qirralari odatda deyiladi asos bo'lgan tomonlar.

Piramida deyiladi to'g'ri, agar uning asosida muntazam ko'pburchak bo'lsa va barcha lateral qirralar bir-biriga teng bo'lsa.

Piramidaning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa deyiladi balandligi piramidalar. Aytishimiz mumkinki, piramidaning balandligi poydevorga perpendikulyar bo'lgan segment bo'lib, uning uchlari piramidaning tepasida va poydevor tekisligida joylashgan.

Har qanday piramida uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

1) S to'liq = S tomoni + S asosiy, Qayerda

S total - piramidaning umumiy sirt maydoni;

S tomoni - lateral yuzaning maydoni, ya'ni. piramidaning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi;

S asosiy - piramida poydevorining maydoni.

2) V = 1/3 S asos N, Qayerda

V - piramidaning hajmi;

H - piramidaning balandligi.

Uchun muntazam piramida sodir bo'ladi:

S tomoni = 1/2 P asosiy h, Qayerda

P asosiy - piramida poydevorining perimetri;

h - apotemning uzunligi, ya'ni piramida tepasidan tushirilgan yon yuzining balandligi uzunligi.

Piramidaning ikkita tekislik orasiga o'ralgan qismi - poydevor tekisligi va poydevorga parallel bo'lgan kesish tekisligi deyiladi. kesilgan piramida.

Piramidaning asosi va piramidaning parallel tekislik kesmasi deyiladi sabablar kesilgan piramida. Qolgan yuzlar chaqiriladi lateral. Bazalarning tekisliklari orasidagi masofa deyiladi balandligi kesilgan piramida. Bazalarga tegishli bo'lmagan qirralar deyiladi lateral.

Bundan tashqari, kesilgan piramidaning asosi shunga o'xshash n-gonlar. Agar kesilgan piramidaning asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa, unda bunday kesilgan piramida deyiladi. to'g'ri.

Uchun o'zboshimchalik bilan kesilgan piramida quyidagi formulalar qo'llaniladi:

1) S to'liq = S tomoni + S 1 + S 2, Qayerda

S total - umumiy sirt maydoni;

S tomoni - lateral yuzaning maydoni, ya'ni. trapezoidlar bo'lgan kesilgan piramidaning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi;

S 1, S 2 - tayanch maydonlari;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Qayerda

V – kesilgan piramidaning hajmi;

H - kesilgan piramidaning balandligi.

Uchun muntazam kesilgan piramida bizda ham bor:

S tomoni = 1/2 (P 1 + P 2) h, Qayerda

P 1, P 2 - asoslarning perimetrlari;

h – apotema (yon yuzning balandligi, bu trapezoid).

Keling, kesilgan piramida bilan bog'liq bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

Vazifa 1.

Balandligi 10 ga teng bo'lgan uchburchak kesilgan piramidada asoslardan birining tomonlari 27, 29 va 52 ga teng. Agar ikkinchi asosning perimetri 72 bo'lsa, kesilgan piramidaning hajmini aniqlang.

Yechim.

Ko'rsatilgan ABCA 1 B 1 C 1 kesilgan piramidani ko'rib chiqing 1-rasm.

1. Kesilgan piramidaning hajmini formuladan foydalanib topish mumkin

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), bu erda S 1 - asoslardan birining maydoni, Heron formulasidan foydalanib topish mumkin.

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

chunki Masala uchburchakning uch tomonining uzunliklarini beradi.

Bizda: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida kesilgan, ya'ni shunga o'xshash ko'pburchaklar poydevorda yotadi. Bizning holatda, ABC uchburchagi A 1 B 1 C 1 uchburchakka o'xshaydi. Bundan tashqari, o'xshashlik koeffitsientini ko'rib chiqilayotgan uchburchaklar perimetrlarining nisbati sifatida topish mumkin va ularning maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, bizda:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Demak, S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Demak, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Javob: 1900.

Vazifa 2.

Uchburchak kesilgan piramidada ustki asosning yon tomoni orqali qarama-qarshi yon chetiga parallel ravishda tekislik o'tkaziladi. Agar asoslarning mos tomonlari 1:2 nisbatda bo'lsa, kesilgan piramida hajmi qanday nisbatga bo'linadi?

Yechim.

ABCA 1 B 1 C 1 - tasvirlangan kesilgan piramidani ko'rib chiqing guruch. 2.

Asoslardagi tomonlar 1:2 nisbatda bo'lgani uchun, asoslarning maydonlari 1:4 nisbatda bo'ladi (ABC uchburchagi A 1 B 1 C 1 uchburchakka o'xshaydi).

Keyin kesilgan piramidaning hajmi:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, bu erda S 2 – ustki poydevorning maydoni, h – balandligi.

Lekin ADEA 1 B 1 C 1 prizmasining hajmi V 1 = S 2 h va demak,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Shunday qilib, V 2: V 1 = 3: 4.

Javob: 3:4.

Vazifa 3.

Muntazam to'rtburchakli kesilgan piramida asoslarining tomonlari 2 va 1 ga teng, balandligi esa 3. Piramida diagonallarining kesishish nuqtasi orqali piramida asoslariga parallel, piramidani bo'linadigan tekislik o'tkaziladi. ikki qismga. Ularning har birining hajmini toping.

Yechim.

Rasmda ko'rsatilgan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kesilgan piramidani ko'rib chiqing. guruch. 3.

O 1 O 2 = x, keyin OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x ni belgilaymiz.

B 1 O 2 D 1 uchburchakni va BO 2 D uchburchakni ko'rib chiqaylik:

burchak B 1 O 2 D 1 vertikal sifatida BO 2 D burchakka teng;

BDO 2 burchagi D 1 B 1 O 2 burchagiga va O 2 VD burchagi B 1 D 1 da ko‘ndalang yotgan B 1 D 1 O 2 burchakka teng || BD va mos ravishda B₁D va BD₁ sekantlari.

Demak, B 1 O 2 D 1 uchburchak BO 2 D uchburchakka o‘xshaydi va yon nisbati:

V1D 1 /VD = O 1 O 2 /OO 2 yoki 1/2 = x/(x – 3), bundan x = 1.

B 1 D 1 B uchburchakni va LO 2 B uchburchakni ko'rib chiqaylik: B burchagi umumiy va B 1 D 1 da bir tomonlama burchaklar juftligi ham mavjud || LM, ya'ni B 1 D 1 B uchburchak LO 2 B uchburchakka o'xshaydi, undan B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, ya'ni.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1, LN = 4/3 · B 1 D 1.

Keyin S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Shunday qilib, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Javob: 152/27; 37/27.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Piramida. Kesilgan piramida

Piramida ko'pburchak bo'lib, uning yuzlaridan biri ko'pburchak ( asos ) va boshqa barcha yuzlar umumiy uchli uchburchaklardir ( yon yuzlar ) (15-rasm). Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan bo'lsa (16-rasm). Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr .

Yanal qovurg'a piramidaning yon yuzining asosga tegishli bo'lmagan tomoni Balandligi piramida - uning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramidaning barcha lateral qirralari bir-biriga teng, barcha lateral yuzlari teng yon tomonli uchburchaklardir. Muntazam piramidaning tepadan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema . Diagonal qism piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik kesimi deyiladi.

Yanal sirt maydoni piramida barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisidir. Umumiy sirt maydoni barcha yon yuzlar va asosning maydonlari yig'indisi deyiladi.

Teoremalar

1. Agar piramidada barcha lateral qirralar asos tekisligiga teng darajada qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.

2. Agar piramidaning barcha yon qirralari teng uzunliklarga ega bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

3. Agar piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning yuqori qismi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun to'g'ri formula:

Qayerda V- hajm;

S asosi- tayanch maydoni;

H- piramidaning balandligi.

Oddiy piramida uchun quyidagi formulalar to'g'ri:

Qayerda p- bazaning perimetri;

h a- apotema;

H- balandligi;

S to'la

S tomoni

S asosi- tayanch maydoni;

V- oddiy piramidaning hajmi.

Kesilgan piramida piramidaning poydevor va piramida asosiga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi deyiladi (17-rasm). Oddiy kesilgan piramida muntazam piramidaning asos va piramida asosiga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi.

Sabablari kesilgan piramida - shunga o'xshash ko'pburchaklar. Yon yuzlar - trapezoidlar. Balandligi kesilgan piramidaning asoslari orasidagi masofa. Diagonal kesilgan piramida - uning bir yuzida yotmaydigan uchlarini bog'laydigan segment. Diagonal qism - kesilgan piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik bilan kesmasi.

Kesilgan piramida uchun quyidagi formulalar amal qiladi:

(4)

Qayerda S 1 , S 2 - yuqori va pastki tagliklarning joylari;

S to'la- umumiy sirt maydoni;

S tomoni- lateral sirt maydoni;

H- balandligi;

V- kesilgan piramidaning hajmi.

Oddiy kesilgan piramida uchun formula to'g'ri:

Qayerda p 1 , p 2 – tayanchlarning perimetrlari;

h a- oddiy kesilgan piramidaning apothemi.

1-misol. Muntazam uchburchakli piramidada poydevordagi ikki burchakli burchak 60º ga teng. Yon qirraning asos tekisligiga moyillik burchagi tangensini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (18-rasm).

Piramida muntazamdir, ya'ni poydevorda teng qirrali uchburchak va barcha yon tomonlari teng teng yonli uchburchaklardir. Poydevordagi dihedral burchak piramidaning yon yuzining poydevor tekisligiga moyillik burchagidir. Chiziqli burchak - burchak a ikki perpendikulyar orasida: va hokazo. Piramidaning tepasi uchburchakning markazida proyeksiyalangan (aylana va uchburchakning chizilgan doirasi markazi). ABC). Yon qirraning egilish burchagi (masalan S.B.) chekkaning o'zi va uning asos tekisligiga proyeksiyasi orasidagi burchak. Qovurg'a uchun S.B. bu burchak burchak bo'ladi SBD. Tangensni topish uchun siz oyoqlarni bilishingiz kerak SO Va O.B.. Segmentning uzunligi bo'lsin BD 3 ga teng A. Nuqta HAQIDA chiziq segmenti BD qismlarga bo'linadi: va Biz topamiz SO: Biz topamiz:

Javob:

2-misol. Oddiy kesilgan to'rtburchak piramidaning hajmini toping, agar uning asoslarining diagonallari sm va sm ga teng, balandligi esa 4 sm.

Yechim. Kesilgan piramidaning hajmini topish uchun (4) formuladan foydalanamiz. Poydevorlarning maydonini topish uchun siz ularning diagonallarini bilib, asosiy kvadratlarning tomonlarini topishingiz kerak. Poydevorlarning tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm ga teng.Bu asoslarning maydonlarini bildiradi va formulaga barcha ma'lumotlarni almashtirib, kesilgan piramida hajmini hisoblaymiz:

Javob: 112 sm 3.

3-misol. Poydevorlari yon tomonlari 10 sm va 4 sm, piramidaning balandligi 2 sm bo'lgan muntazam uchburchak kesilgan piramidaning yon yuzining maydonini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (19-rasm).

Bu piramidaning yon tomoni teng yonli trapezoiddir. Trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz poydevor va balandlikni bilishingiz kerak. Bazalar shartga ko'ra berilgan, faqat balandligi noma'lum bo'lib qoladi. Biz uni qayerdan topamiz A 1 E nuqtadan perpendikulyar A 1 pastki poydevor tekisligida, A 1 D-dan perpendikulyar A 1 boshiga AC. A 1 E= 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topmoq DE Yuqori ko'rinishni ko'rsatadigan qo'shimcha chizma tuzamiz (20-rasm). Nuqta HAQIDA– yuqori va pastki asoslar markazlarining proyeksiyasi. beri (20-rasmga qarang) va Boshqa tomondan KELISHDIKMI– aylanaga chizilgan radius va OM- radius aylana ichiga chizilgan:

MK = DE.

dan Pifagor teoremasiga ko'ra

Yon yuz maydoni:

Javob:

4-misol. Piramidaning negizida teng yonli trapesiya yotadi, uning asoslari A Va b (a> b). Har bir yon yuz piramida poydevorining tekisligiga teng burchak hosil qiladi j. Piramidaning umumiy sirtini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (21-rasm). Piramidaning umumiy sirt maydoni SABCD trapezoidning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng A B C D.

Piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda cho'qqi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi, degan bayonotdan foydalanamiz. Nuqta HAQIDA- cho'qqi proyeksiyasi S piramidaning tagida. Uchburchak SOD uchburchakning ortogonal proyeksiyasidir CSD asos tekisligiga. Tekis figuraning ortogonal proyeksiyasi maydoni haqidagi teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday degani Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga qisqartirildi A B C D. Keling, trapesiya chizamiz A B C D alohida (22-rasm). Nuqta HAQIDA– trapetsiya ichiga chizilgan aylana markazi.

Aylana trapezoidga yozilishi mumkinligi sababli, u holda yoki Pifagor teoremasidan bizda mavjud

• 09.10.2014

  Rasmda ko'rsatilgan oldindan kuchaytirgich 4 turdagi tovush manbalari, masalan, mikrofon, CD pleer, radio va boshqalar bilan foydalanish uchun mo'ljallangan. Bu holda, oldindan kuchaytirgich sezgirlikni 50 mV dan 500 gacha o'zgartirishi mumkin bo'lgan bitta kirishga ega. mV. kuchaytirgichning chiqish kuchlanishi 1000mV. SA1 kalitini almashtirishda turli xil signal manbalarini ulash orqali biz har doim ...

• 20.09.2014

  Quvvat manbai 15…20 Vt yuk uchun mo'ljallangan. Manba bir davrli impulsli yuqori chastotali konvertorning sxemasiga muvofiq amalga oshiriladi. Transistor 20…40 kHz chastotada ishlaydigan o'z-o'zidan osilatorni yig'ish uchun ishlatiladi. Chastota C5 sig'im bilan o'rnatiladi. VD5, VD6 va C6 elementlari osilatorni ishga tushirish davrini tashkil qiladi. Ko'prik rektifikatoridan keyin ikkilamchi kontaktlarning zanglashiga olib keladigan mikrosxemada an'anaviy chiziqli stabilizator mavjud bo'lib, u sizga ...

• 28.09.2014

  Rasmda chastotasi kuchlanish bilan boshqariladigan K174XA11 mikrosxemasiga asoslangan generator ko'rsatilgan. C1 sig'imini 560 dan 4700 pF gacha o'zgartirish orqali keng chastota diapazonini olish mumkin, chastota esa R4 qarshiligini o'zgartirish orqali sozlanadi. Shunday qilib, masalan, muallif C1 = 560pF bilan generatorning chastotasini R4 yordamida 600 Gts dan 200 kHz gacha o'zgartirish mumkinligini aniqladi, ...

• 03.10.2014

  Jihoz kuchli ULFni quvvatlantirish uchun mo'ljallangan, u ±27V chiqish kuchlanishiga va har bir qo'lda 3A gacha bo'lgan yukga mo'ljallangan. Elektr ta'minoti bipolyar bo'lib, KT825-KT827 to'liq kompozit tranzistorlarida ishlab chiqariladi. Stabilizatorning ikkala qo'li bir xil sxema bo'yicha ishlab chiqariladi, lekin boshqa qo'lda (u ko'rsatilmagan) kondansatörlarning polaritesi o'zgartiriladi va boshqa turdagi tranzistorlar ishlatiladi ...