Hosila qanday topiladi, hosila qanday olinadi? Ushbu darsda biz funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz. Ammo ushbu sahifani o'rganishdan oldin, men sizga uslubiy material bilan tanishishingizni tavsiya qilaman Maktab matematika kursi uchun issiq formulalar. Ma'lumotnomani sahifada ochish yoki yuklab olish mumkin Matematik formulalar va jadvallar. Bundan tashqari, u erdan bizga kerak bo'ladi Hosilalar jadvali, uni chop etganingiz ma'qul; siz tez-tez unga nafaqat hozir, balki oflayn rejimda ham murojaat qilishingiz kerak bo'ladi.
Yemoq? Qani boshladik. Siz uchun ikkita yangiligim bor: yaxshi va juda yaxshi. Yaxshi xabar shundaki: lotinlarni qanday topishni o'rganish uchun lotin nima ekanligini bilish va tushunish shart emas. Qolaversa, funktsiyaning hosilasining ta'rifini, hosilaning matematik, fizik, geometrik ma'nosini keyinroq hazm qilish maqsadga muvofiqdir, chunki nazariyani sifatli o'rganish, menimcha, bir qator xususiyatlarni o'rganishni talab qiladi. boshqa mavzular, shuningdek, ba'zi amaliy tajriba.
Va endi bizning vazifamiz xuddi shu hosilalarni texnik jihatdan o'zlashtirishdir. Juda yaxshi xabar shundaki, hosilalarni olishni o'rganish unchalik qiyin emas; bu vazifani hal qilish (va tushuntirish) uchun juda aniq algoritm mavjud; masalan, integrallar yoki chegaralarni o'zlashtirish qiyinroq.
Men mavzuni o'rganishning quyidagi tartibini tavsiya qilaman:: Birinchidan, ushbu maqola. Keyin eng muhim darsni o'qishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi. Ushbu ikkita asosiy dars sizning mahoratingizni noldan oladi. Keyinchalik siz maqolada yanada murakkab lotinlar bilan tanishishingiz mumkin Murakkab hosilalar. Logarifmik hosila. Agar bar juda baland bo'lsa, avval narsani o'qing Losmalar bilan eng oddiy tipik muammolar. Yangi materialga qo'shimcha ravishda, dars boshqa, oddiyroq turdagi hosilalarni o'z ichiga oladi va bu sizning farqlash texnikangizni yaxshilash uchun ajoyib imkoniyatdir. Bundan tashqari, test qog'ozlarida deyarli har doim aniq yoki parametrik ravishda ko'rsatilgan funktsiyalarning hosilalarini topish bo'yicha vazifalar mavjud. Bunday dars ham bor: Yashirin va parametrik aniqlangan funksiyalarning hosilalari.
Men sizga funksiyalarning hosilalarini qanday topishni o'rgatish uchun bosqichma-bosqich kirish mumkin bo'lgan shaklda harakat qilaman. Barcha ma'lumotlar batafsil, oddiy so'zlar bilan keltirilgan.
Aslida, darhol bir misolni ko'rib chiqaylik:
1-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Yechim: 
Bu oddiy misol, uni elementar funksiyalarning hosilalari jadvalidan toping. Endi yechimni ko'rib chiqamiz va nima bo'lganini tahlil qilamiz? Va shunday bo'ldi: bizda funktsiya bor edi, u yechim natijasida funktsiyaga aylandi.
Oddiy qilib aytganda, funktsiyaning hosilasini topish uchun uni ma'lum qoidalarga muvofiq boshqa funktsiyaga aylantirish kerak. Yana hosilalar jadvaliga qarang - u erda funktsiyalar boshqa funktsiyalarga aylanadi. Istisno faqat o'ziga aylanadigan eksponensial funktsiyadir. Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash .
Belgilar: hosila yoki bilan belgilanadi.
DIQQAT, MUHIM! Qo'yishni unutish (kerak bo'lganda) yoki qo'shimcha zarba chizish (kerak bo'lmagan joyda) - KATTA XATO! Funktsiya va uning hosilasi ikki xil funktsiyadir!
Keling, hosilalar jadvalimizga qaytaylik. Ushbu jadvaldan bu maqsadga muvofiqdir yodlab olish: ba'zi elementar funktsiyalarning differensiallash qoidalari va hosilalari, xususan:
doimiyning hosilasi:
, bu yerda doimiy son;
quvvat funksiyasining hosilasi:
, ayniqsa: , , .
Nega eslaysiz? Bu bilim lotinlar haqidagi asosiy bilimdir. Va agar siz o'qituvchining "Raqamning hosilasi nima?" Degan savoliga javob bera olmasangiz, universitetdagi o'qishingiz siz uchun tugashi mumkin (men shaxsan ikkita haqiqiy hayotiy holat bilan tanishman). Bundan tashqari, bu deyarli har doim hosilalarga duch kelganimizda foydalanishimiz kerak bo'lgan eng keng tarqalgan formulalardir.
Aslida, oddiy jadvalli misollar kamdan-kam uchraydi, odatda, hosilalarni topishda birinchi navbatda differentsiatsiya qoidalari, so'ngra elementar funktsiyalarning hosilalari jadvali qo'llaniladi.
Shu munosabat bilan biz ko'rib chiqishga o'tamiz farqlash qoidalari:
1) doimiy son hosila belgisidan chiqarilishi mumkin (va kerak).
Doimiy raqam qayerda (doimiy)
2-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Keling, hosilalar jadvalini ko'rib chiqaylik. Kosinusning hosilasi mavjud, lekin bizda .
Qoidadan foydalanish vaqti keldi, biz doimiy omilni hosila belgisidan chiqaramiz:
Endi biz kosinusimizni jadvalga muvofiq aylantiramiz:
Xo'sh, natijani biroz "tarash" tavsiya etiladi - minus belgisini birinchi o'ringa qo'ying, shu bilan birga qavslardan xalos bo'ling:
2) Yig‘indining hosilasi hosilalari yig‘indisiga teng
3-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Keling, qaror qilaylik. Siz allaqachon payqaganingizdek, hosila topishda har doim bajariladigan birinchi qadam bu butun ifodani qavs ichiga olishimiz va yuqori o'ngga tub sonni qo'yishimizdir:
Keling, ikkinchi qoidani qo'llaymiz:
E'tibor bering, farqlash uchun barcha ildizlar va darajalar shaklda ko'rsatilishi kerak va agar ular maxrajda bo'lsa, ularni yuqoriga siljiting. Buni qanday qilish mening o'quv materiallarimda muhokama qilinadi.
Endi farqlashning birinchi qoidasini eslaylik - hosila belgisidan tashqari doimiy omillarni (raqamlarni) olamiz:
Odatda, yechim davomida ushbu ikki qoida bir vaqtning o'zida qo'llaniladi (uzun ifodani qayta yozmaslik uchun).
Chiziqlar ostida joylashgan barcha funktsiyalar jadvalning elementar funktsiyalari bo'lib, jadval yordamida biz o'zgartirishni amalga oshiramiz:
Siz hamma narsani avvalgidek qoldirishingiz mumkin, chunki boshqa zarbalar yo'q va lotin topildi. Biroq, bu kabi iboralar odatda soddalashtiradi:
Turning barcha vakolatlarini yana ildizlar shaklida ifodalash tavsiya etiladi; manfiy ko'rsatkichli darajalar maxrajga qaytarilishi kerak. Garchi buni qilish shart bo'lmasa ham, bu xato bo'lmaydi.
4-misol
Funktsiyaning hosilasini toping 
Ushbu misolni o'zingiz hal qilishga harakat qiling (dars oxirida javob bering). Qiziqqanlar ham foydalanishlari mumkin intensiv kurs pdf formatida, bu sizning ixtiyoringizda juda oz vaqt bo'lsa, ayniqsa muhimdir.
3) funksiyalar hosilasining hosilasi
O'xshashlik formulani taklif qilganga o'xshaydi ...., ammo ajablanarli tomoni shundaki:
Bu noodatiy qoida (aslida boshqalar kabi) dan kelib chiqadi hosilaviy ta'riflar. Ammo biz hozircha nazariyani to'xtatamiz - endi qanday hal qilishni o'rganish muhimroq:
5-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Bu erda ga qarab ikkita funktsiyaning mahsuloti mavjud.
Avval biz g'alati qoidamizni qo'llaymiz va keyin hosilaviy jadval yordamida funktsiyalarni o'zgartiramiz:
Qiyinmi? Umuman emas, hatto choynak uchun ham qulay.
6-misol
Funktsiyaning hosilasini toping 
Bu funktsiya ikkita funktsiyaning yig'indisi va mahsulotini o'z ichiga oladi - kvadratik uch a'zo va logarifm. Maktabdan biz ko'paytirish va bo'lish qo'shish va ayirishdan ustun ekanligini eslaymiz.
Bu yerda ham xuddi shunday. BOSHIDA Biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanamiz:
Endi qavs uchun biz birinchi ikkita qoidadan foydalanamiz:
Chiziqlar ostida farqlash qoidalarini qo'llash natijasida bizda faqat elementar funktsiyalar qoladi, hosilalar jadvalidan foydalanib, biz ularni boshqa funktsiyalarga aylantiramiz:
Tayyor.
Hosilalarni topishda ma'lum tajribaga ega bo'lgan holda, oddiy hosilalarni bu qadar batafsil tavsiflash kerak emas. Umuman olganda, ular odatda og'zaki hal qilinadi va bu darhol yoziladi 
.
7-misol
Funktsiyaning hosilasini toping 
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (dars oxirida javob)
4) Bo'lim funksiyalarining hosilasi
Shiftda lyuk ochildi, xavotirlanmang, bu xato.
Ammo bu dahshatli haqiqat: 
8-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
Bu erda nima etishmayapti - yig'indi, farq, mahsulot, kasr .... Nimadan boshlashim kerak?! Shubhalar bor, shubhalar yo'q, lekin, NIMA BO'LGANDA HAM Birinchidan, qavslarni torting va yuqori o'ngga chiziq qo'ying:
Endi biz qavs ichidagi ifodani ko'rib chiqamiz, uni qanday soddalashtiramiz? Bunday holda, biz birinchi qoidaga ko'ra, hosila belgisidan tashqarida joylashtirish maqsadga muvofiq bo'lgan omilga e'tibor beramiz.
Siz bu erga kelganingizdan beri, ehtimol siz ushbu formulani darslikda ko'rgansiz
va shunday yuz hosil qiling:
Do'stim, tashvishlanmang! Aslida, hamma narsa shunchaki g'alati. Siz, albatta, hamma narsani tushunasiz. Faqat bitta iltimos - maqolani o'qing asta-sekin, har bir qadamni tushunishga harakat qiling. Men iloji boricha sodda va aniq yozdim, lekin siz hali ham fikrni tushunishingiz kerak. Va maqoladagi vazifalarni hal qilishga ishonch hosil qiling.
Murakkab funktsiya nima?
Tasavvur qiling-a, siz boshqa kvartiraga ko'chib o'tmoqdasiz va shuning uchun narsalarni katta qutilarga joylashtirasiz. Aytaylik, siz ba'zi kichik narsalarni, masalan, maktab yozish materiallarini to'plashingiz kerak. Agar siz ularni shunchaki katta qutiga tashlasangiz, ular boshqa narsalar qatorida yo'qoladi. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun siz avval ularni, masalan, sumkaga solib, keyin katta qutiga solib, keyin uni muhrlab qo'yasiz. Ushbu "murakkab" jarayon quyidagi diagrammada keltirilgan:
Ko'rinib turibdiki, matematikaning bunga qanday aloqasi bor? Ha, murakkab funktsiya AYNAN SHUNDAY tarzda tuzilganiga qaramay! Faqat biz daftar va ruchkalarni emas, balki \(x\) “to'playmiz”, “paketlar” va “qutilar” esa boshqacha.
Misol uchun, keling, x ni olaylik va uni funktsiyaga "to'playmiz":
Natijada, biz, albatta, \(\cosx\) olamiz. Bu bizning "narsalar sumkamiz". Endi uni "qutiga" joylashtiramiz - masalan, kub funksiyasiga to'plang.
Oxiri nima bo'ladi? Ha, to'g'ri, "qutidagi narsalar sumkasi", ya'ni "X kubik kosinasi" bo'ladi.
Olingan dizayn murakkab funktsiyadir. Bu oddiy narsadan farq qiladi Bir X ga bir nechta "ta'sir" (paketlar) qo'llaniladi va bu "funktsiyadan funktsiya" - "qadoqdagi qadoqlash" kabi bo'lib chiqadi.
Maktab kursida bunday "paketlarning" juda kam turlari mavjud, faqat to'rttasi:
Keling, X-ni avval asosi 7 bo'lgan eksponensial funktsiyaga, keyin esa trigonometrik funktsiyaga "to'playmiz". Biz olamiz:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Endi keling, x ni trigonometrik funktsiyalarga ikki marta "to'playmiz", avvaliga, keyin esa:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Oddiy, to'g'rimi?
Endi funksiyalarni o'zingiz yozing, bu erda x:
- avval u kosinusga, so'ngra \(3\) asosli eksponensial funktsiyaga "to'planadi";
- birinchi navbatda beshinchi darajaga, keyin esa teginishga;
- logarifmdan avval asosga \(4\)
, keyin kuchga \(-2\).
Maqolaning oxirida ushbu vazifaga javoblarni toping.
X-ni ikki emas, uch marta “qadoqlash” mumkinmi? Hammasi joyida! Va to'rt, besh va yigirma besh marta. Bu erda, masalan, x \(4\) marta "qadoqlangan" funksiya:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Ammo maktab amaliyotida bunday formulalar topilmaydi (o'quvchilar baxtliroq - ularniki murakkabroq bo'lishi mumkin☺).
Murakkab funktsiyani "ochish"
Oldingi funktsiyaga yana qarang. "Qadoqlash" ketma-ketligini aniqlay olasizmi? Avval nima X to'ldirilgan edi, keyin nima va oxirigacha. Ya'ni, qaysi funktsiya qaysi ichida joylashgan? Bir varaq qog'oz oling va nima deb o'ylaysiz, yozing. Buni yuqorida yozganimizdek yoki boshqa yo'l bilan o'qlar bilan zanjir bilan qilishingiz mumkin.
Endi to'g'ri javob: birinchi navbatda, x \(4\) darajaga "qadoqlangan", keyin natija sinusga o'ralgan, u o'z navbatida logarifmaga \(2\) asosga joylashtirilgan. , va oxir-oqibat, bu butun qurilish kuch beshga to'ldirilgan edi.
Ya'ni, siz ketma-ketlikni teskari TARTIBDA yechishingiz kerak. Va buni qanday qilib osonroq qilish haqida maslahat: darhol X ga qarang - siz undan raqsga tushishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Masalan, bu erda quyidagi funksiya mavjud: \(y=tg(\log_2x)\). Biz X ga qaraymiz - birinchi navbatda u bilan nima sodir bo'ladi? Undan olingan. Undan keyin? Natijaning tangensi olinadi. Bu ketma-ketlik bir xil bo'ladi:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Yana bir misol: \(y=\cos((x^3))\). Keling, tahlil qilaylik - avval biz X ni kub qildik, so'ngra natijaning kosinusini oldik. Bu ketma-ketlik quyidagicha bo'lishini anglatadi: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). E'tibor bering, funktsiya birinchisiga o'xshaydi (u erda rasmlar mavjud). Ammo bu butunlay boshqacha funktsiya: bu erda kubda x (ya'ni, \(\cos((x·x·x)))\), kubda esa kosinus \(x\) ( ya'ni \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Bu farq turli xil "qadoqlash" ketma-ketliklaridan kelib chiqadi.
Oxirgi misol (undagi muhim ma'lumotlar bilan): \(y=\sin((2x+5))\). Ko'rinib turibdiki, bu erda ular dastlab x bilan arifmetik amallar bajargan, keyin natijaning sinusini olgan: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). Va bu muhim nuqta: arifmetik operatsiyalar o'z-o'zidan funktsiyalar emasligiga qaramay, bu erda ular "qadoqlash" usuli sifatida ham ishlaydi. Keling, ushbu noziklikka biroz chuqurroq kirib boraylik.
Yuqorida aytib o'tganimdek, oddiy funktsiyalarda x bir marta, murakkab funktsiyalarda esa ikki yoki undan ko'p "qadoqlangan". Bundan tashqari, oddiy funktsiyalarning har qanday birikmasi (ya'ni, ularning yig'indisi, ayirmasi, ko'paytirish yoki bo'linishi) ham oddiy funktsiyadir. Masalan, \(x^7\) oddiy funksiya va \(ctg x\) ham shunday. Bu ularning barcha kombinatsiyalari oddiy funktsiyalar ekanligini anglatadi:
\(x^7+ ctg x\) - oddiy,
\(x^7· karyola x\) - oddiy,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – oddiy va h.k.
Biroq, agar bunday kombinatsiyaga yana bitta funktsiya qo'llanilsa, u murakkab funktsiyaga aylanadi, chunki ikkita "paket" bo'ladi. Diagrammaga qarang:
Mayli, hozir davom et. "O'rash" funktsiyalari ketma-ketligini yozing:
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Javoblar yana maqolaning oxirida.
Ichki va tashqi funktsiyalar
Nima uchun biz funktsiyani joylashtirishni tushunishimiz kerak? Bu bizga nima beradi? Gap shundaki, bunday tahlilsiz biz yuqorida muhokama qilingan funktsiyalarning hosilalarini ishonchli topa olmaymiz.
Va davom etish uchun bizga yana ikkita tushuncha kerak bo'ladi: ichki va tashqi funktsiyalar. Bu juda oddiy narsa, bundan tashqari, biz ularni yuqorida tahlil qildik: agar biz o'xshashlikni boshida eslasak, ichki funktsiya "paket", tashqi funktsiya esa "quti" dir. Bular. birinchi navbatda X "o'ralgan" ichki funktsiyadir va ichki funksiya "o'ralgan" allaqachon tashqidir. Xo'sh, nima uchun aniq - u tashqarida, bu tashqi degan ma'noni anglatadi.
Bu misolda: \(y=tg(log_2x)\), \(\log_2x\) funksiyasi ichki va 
- tashqi.
Va bunda: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ichki va 
- tashqi.
Murakkab funktsiyalarni tahlil qilishning so'nggi amaliyotini yakunlang va nihoyat biz boshlagan narsaga o'tamiz - biz murakkab funktsiyalarning hosilalarini topamiz:
Jadvaldagi bo'sh joylarni to'ldiring:
Murakkab funktsiyaning hosilasi
Bravo, biz nihoyat ushbu mavzuning "xo'jayini" ga yetib keldik - aslida murakkab funktsiyaning hosilasi, xususan, maqola boshidan o'sha dahshatli formulaga.☺
\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Ushbu formula quyidagicha o'qiydi:
Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning doimiy ichki funktsiyaga nisbatan hosilasi va ichki funktsiya hosilasiga teng.
Va nima bilan nima qilish kerakligini tushunish uchun darhol so'zlarga ko'ra tahlil qilish diagrammasiga qarang:
Umid qilamanki, "hosil" va "mahsulot" atamalari hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. "Murakkab funktsiya" - biz uni allaqachon saralab oldik. Qo'lga olish "doimiy ichki funktsiyaga nisbatan tashqi funktsiyaning hosilasi" da. Bu nima?
Javob: Bu tashqi funktsiyaning odatiy hosilasi bo'lib, unda faqat tashqi funktsiya o'zgaradi va ichki funktsiya bir xil bo'lib qoladi. Hali ham aniq emasmi? Mayli, keling, misol keltiraylik.
Bizga \(y=\sin(x^3)\) funksiyasi bo'lsin. Bu erda ichki funktsiya \(x^3\) va tashqi ekanligi aniq 
. Keling, doimiy ichki qismga nisbatan tashqi ko'rinish hosilasini topamiz.
Darajali funksiyaning hosilasi formulasini hosil qilish (x dan a darajasiga). X ning ildizlaridan hosilalar ko'rib chiqiladi. Yuqori tartibli quvvat funksiyasining hosilasi uchun formula. Hosilalarni hisoblash misollari.
X ning a ning kuchiga hosilasi x ning minusning kuchiga teng:
(1)
.
x ning n- ildizining m-darajali hosilasi:
(2)
.
Quvvat funksiyasining hosilasi formulasini hosil qilish
X > 0 holi
a ko'rsatkichli x o'zgaruvchining quvvat funksiyasini ko'rib chiqing:
(3)
.
Bu erda a - ixtiyoriy haqiqiy son. Keling, avvalo ishni ko'rib chiqaylik.
(3) funktsiyaning hosilasini topish uchun daraja funksiyasining xossalaridan foydalanamiz va uni quyidagi ko'rinishga o'tkazamiz:
.
Endi biz hosilani topamiz:
;
.
Bu yerga .
Formula (1) isbotlangan.
X ning n darajali ildizining m gradusli hosilasi formulasini hosil qilish
Endi quyidagi shaklning ildizi bo'lgan funktsiyani ko'rib chiqing:
(4)
.
Hosilni topish uchun ildizni quvvat funksiyasiga aylantiramiz:
.
Formula (3) bilan solishtirsak, buni ko'ramiz
.
Keyin
.
Formuladan (1) foydalanib, hosilani topamiz:
(1)
;
;
(2)
.
Amalda (2) formulani yodlashning hojati yo'q. Avval ildizlarni quvvat funktsiyalariga aylantirish, so'ngra (1) formuladan foydalanib ularning hosilalarini topish ancha qulayroqdir (sahifa oxiridagi misollarga qarang).
X = 0 holi
Agar , u holda quvvat funksiyasi x = o'zgaruvchining qiymati uchun aniqlanadi 0
. (3) funksiyaning x = da hosilasi topilsin 0
. Buning uchun biz hosila ta'rifidan foydalanamiz:
.
X = ni almashtiramiz 0
:
.
Bunday holda, hosila deganda biz o'ng chegarani tushunamiz.
Shunday qilib, biz topdik:
.
Bundan ko'rinib turibdiki, , uchun.
Da , .
Da , .
Bu natija (1) formuladan ham olinadi:
(1)
.
Demak, (1) formula x = uchun ham amal qiladi 0
.
X holat< 0
Funktsiyani (3) yana ko'rib chiqing:
(3)
.
a doimiysining ma'lum qiymatlari uchun u x o'zgaruvchisining salbiy qiymatlari uchun ham aniqlanadi. Ya'ni, a ratsional son bo'lsin. Keyin uni kamaytirilmaydigan kasr sifatida ifodalash mumkin:
,
Bu erda m va n umumiy bo'luvchiga ega bo'lmagan butun sonlardir.
Agar n g'alati bo'lsa, u holda quvvat funktsiyasi x o'zgaruvchining salbiy qiymatlari uchun ham aniqlanadi. Masalan, n = bo'lganda 3
va m = 1
bizda x ning kub ildizi bor:
.
Shuningdek, u x o'zgaruvchisining salbiy qiymatlari uchun ham aniqlanadi.
U aniqlangan a doimiysining ratsional qiymatlari uchun (3) quvvat funksiyasining hosilasi topilsin. Buning uchun x ni quyidagi shaklda ifodalaymiz:
.
Keyin,
.
Konstantani hosila belgisidan tashqariga qo'yib, murakkab funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash orqali hosila topamiz:
.
Bu yerga . Lekin
.
O'shandan beri
.
Keyin
.
Ya'ni (1) formulalar uchun ham amal qiladi:
(1)
.
Yuqori tartibli hosilalar
Endi quvvat funksiyasining yuqori tartibli hosilalarini topamiz
(3)
.
Biz allaqachon birinchi tartibli hosilani topdik:
.
A doimiysini hosila belgisidan tashqariga olib, ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
.
Xuddi shunday, biz uchinchi va to'rtinchi tartiblarning hosilalarini topamiz:
;
.
Bundan ma'lum bo'ladiki ixtiyoriy n-tartibning hosilasi quyidagi shaklga ega:
.
e'tibor bering, bu a natural son bo'lsa, u holda n-chi hosila doimiy bo'ladi:
.
Keyin barcha keyingi hosilalar nolga teng:
,
da .
Hosilalarni hisoblash misollari
Misol
Funktsiyaning hosilasini toping:
.
Yechim
Keling, ildizlarni kuchlarga aylantiramiz:
;
.
Keyin asl funktsiya quyidagi shaklni oladi:
.
Kuchlarning hosilalarini topish:
;
.
Doimiyning hosilasi nolga teng:
.
Ta'rif.\(y = f(x)\) funksiya \(x_0\) nuqtasini o'z ichiga olgan ma'lum oraliqda aniqlansin. Keling, argumentga \(\Delta x \) ortishini beraylik, shunda u bu oraliqdan chiqmaydi. \(\Delta y \) funksiyaning mos o'sishini topamiz (\(x_0 \) nuqtadan \(x_0 + \Delta x \) nuqtaga o'tishda) va \(\frac(\Delta) munosabatini tuzamiz. y)(\Delta x) \). Agar \(\Delta x \o'ng ko'rsatkich 0\) da bu nisbat chegarasi bo'lsa, belgilangan chegara deyiladi. funktsiyaning hosilasi\(y=f(x) \) nuqtada \(x_0 \) va \(f"(x_0) \) ni belgilang.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y belgisi ko'pincha hosilani belgilash uchun ishlatiladi. E'tibor bering, y" = f(x) yangi funktsiyadir, lekin tabiiy ravishda y = f(x) funktsiyasi bilan bog'liq bo'lib, yuqoridagi chegara mavjud bo'lgan barcha x nuqtalarda aniqlangan. Bu funktsiya shunday deb ataladi: y = f(x) funksiyaning hosilasi.
Hosilning geometrik ma'nosi quyidagicha. Agar y = f(x) funktsiya grafigiga y o'qiga parallel bo'lmagan abtsissa x=a nuqtada teginish mumkin bo'lsa, u holda f(a) teginish qiyaligini ifodalaydi. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) bo'lgani uchun \(f"(a) = tan(a) \) tengligi to'g'ri bo'ladi.
Endi hosila ta'rifini taxminiy tenglik nuqtai nazaridan izohlaylik. \(y = f(x)\) funksiya ma'lum \(x\) nuqtasida hosilaga ega bo'lsin:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu shuni anglatadiki, x nuqtasi yaqinida taxminan tenglik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \taxminan f"(x)\), ya'ni \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot\ Delta x\). Olingan taxminiy tenglikning mazmunli ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning o'sishi argumentning o'sishiga "deyarli proportsional" va proportsionallik koeffitsienti ma'lum x nuqtadagi hosilaning qiymatidir. Masalan, \(y = x^2\) funksiyasi uchun \(\Delta y \taxminan 2x \cdot \Delta x \) taxminiy tenglik amal qiladi. Agar hosila ta'rifini sinchiklab tahlil qilsak, unda uni topish algoritmi borligini bilib olamiz.
Keling, uni shakllantiramiz.
y = f(x) funksiyaning hosilasi qanday topiladi?
1. \(x\) qiymatini aniqlang, \(f(x)\) toping.
2. \(x\) argumentiga \(\Delta x\) qo'shimchasini bering, yangi nuqtaga o'ting \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) toping.
3. Funktsiyaning o'sish qismini toping: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) munosabatini yarating.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ ni hisoblang.
Bu chegara funksiyaning x nuqtadagi hosilasidir.
Agar y = f(x) funksiyaning x nuqtada hosilasi bo‘lsa, u x nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. y = f(x) funksiyaning hosilasini topish protsedurasi deyiladi farqlash y = f(x) funktsiyalari.
Keling, quyidagi savolni muhokama qilaylik: nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi bir-biri bilan qanday bog'liq?
y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin M(x; f(x)) nuqtadagi funksiya grafigiga tangens chizish mumkin va esda tutingki, tangensning burchak koeffitsienti f “(x) ga teng. Bunday grafik “buzilmaydi”. M nuqtada, ya'ni funksiya x nuqtada uzluksiz bo'lishi kerak.
Bular "qo'l" argumentlari edi. Keling, yanada jiddiyroq mulohaza yuritaylik. Agar y = f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u holda taqribiy tenglik \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot \Delta x \) bajariladi. Agar bu tenglikda \(\Delta x) bo'lsa. \) nolga intiladi, keyin \(\Delta y \) nolga moyil bo'ladi va bu nuqtada funksiyaning uzluksizligi sharti.
Shunday qilib, agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha nuqtada uzluksizdir.
Teskari bayonot to'g'ri emas. Masalan: y = |x| funksiyasi hamma joyda, xususan, x = 0 nuqtada uzluksizdir, lekin “tushish nuqtasi” (0; 0) funksiya grafigiga teginish mavjud emas. Agar biror nuqtada funktsiya grafigiga tangensni chizish mumkin bo'lmasa, unda hosila shu nuqtada mavjud emas.
Yana bir misol. \(y=\sqrt(x)\) funksiya butun son chizigʻida, shu jumladan x = 0 nuqtada uzluksizdir. Funktsiya grafigiga tegish har qanday nuqtada, shu jumladan x = 0 nuqtada ham mavjud. Lekin bu nuqtada tangens y o'qiga to'g'ri keladi, ya'ni u abssissa o'qiga perpendikulyar bo'ladi, uning tenglamasi x = 0 ko'rinishga ega. Bunday to'g'ri chiziq burchak koeffitsientiga ega emas, ya'ni \(f. "(0)\) mavjud emas.
Shunday qilib, biz funktsiyaning yangi xossasi - differentsiallik bilan tanishdik. Funksiya grafigidan qanday qilib uni differentsiallash mumkin degan xulosaga kelish mumkin?
Javob aslida yuqorida berilgan. Agar biror nuqtada abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lmagan funksiya grafigiga teginish chizish mumkin bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsiallanadi. Agar biror nuqtada funktsiya grafigining tangensi mavjud bo'lmasa yoki u abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiya differentsial bo'lmaydi.
Farqlash qoidalari
Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash. Ushbu operatsiyani bajarishda siz ko'pincha bo'laklar, summalar, funktsiyalar mahsuloti, shuningdek, "funktsiyalar funktsiyalari", ya'ni murakkab funktsiyalar bilan ishlashingiz kerak. Hosila ta'rifiga asoslanib, biz bu ishni osonlashtiradigan farqlash qoidalarini olishimiz mumkin. Agar C doimiy son bo'lsa va f=f(x), g=g(x) ba'zi bir differentsiallanuvchi funktsiyalar bo'lsa, unda quyidagilar to'g'ri bo'ladi. farqlash qoidalari:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$