Oldingi paragrafda muhokama qilingan grafik usuldan ko'ra ishonchliroq.
O'zgartirish usuli
Bu usuldan 7-sinfda chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda foydalandik. 7-sinfda ishlab chiqilgan algoritm ikkita o'zgaruvchisi x va y bo'lgan har qanday ikkita tenglama (chiziqli bo'lishi shart emas) tizimlarini echish uchun juda mos keladi (albatta, o'zgaruvchilar boshqa harflar bilan belgilanishi mumkin, bu muhim emas). Darhaqiqat, biz bu algoritmdan oldingi paragrafda, ikki xonali son masalasi tenglamalar tizimi bo'lgan matematik modelga olib kelganda foydalanganmiz. Biz yuqoridagi tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechdik (4-§ dan 1-misolga qarang).
Ikki o'zgaruvchili x, y bo'lgan ikkita tenglamalar tizimini yechishda almashtirish usulini qo'llash algoritmi.
1. Sistemaning bir tenglamasidan y ni x hisobida ifodalang.
2. Olingan ifodani y o‘rniga sistemaning boshqa tenglamasiga almashtiring.
3. X uchun hosil bo‘lgan tenglamani yeching.
4. Birinchi bosqichda olingan y dan x gacha bo'lgan ifodaga x o'rniga uchinchi bosqichda topilgan tenglamaning har bir ildizini navbat bilan almashtiring.
5. Javobni mos ravishda uchinchi va to‘rtinchi bosqichlarda topilgan qiymatlar juftligi (x; y) ko‘rinishida yozing.
4) X = 5 - 3 formulasiga y ning topilgan qiymatlarini birma-bir almashtiring. Agar u holda 
5) (2; 1) juftliklar va berilgan tenglamalar sistemasining yechimlari.
Javob: (2; 1);
Algebraik qo'shish usuli
Bu usul ham almashtirish usuli kabi sizga 7-sinf algebra kursidan tanish bo‘lib, u yerda chiziqli tenglamalar tizimini yechishda foydalanilgan. Keling, quyidagi misol yordamida usulning mohiyatini eslaylik.
2-misol. Tenglamalar tizimini yechish
Keling, tizimning birinchi tenglamasining barcha a'zolarini 3 ga ko'paytiramiz va ikkinchi tenglamani o'zgarishsiz qoldiramiz: 
Tizimning ikkinchi tenglamasini uning birinchi tenglamasidan ayiring:
Dastlabki tizimning ikkita tenglamasini algebraik qo'shish natijasida berilgan tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalariga qaraganda soddaroq tenglama olindi. Ushbu oddiy tenglama bilan biz berilgan tizimning istalgan tenglamasini, masalan, ikkinchisini almashtirish huquqiga egamiz. Keyin berilgan tenglamalar tizimi oddiyroq tizim bilan almashtiriladi:
Ushbu tizimni almashtirish usuli yordamida hal qilish mumkin. Ikkinchi tenglamadan topamiz.Bu ifodani y o‘rniga sistemaning birinchi tenglamasiga qo‘yib, hosil bo‘ladi.
X ning topilgan qiymatlarini formulaga almashtirish qoladi
Agar x = 2 bo'lsa
Shunday qilib, biz tizimning ikkita echimini topdik: 
Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli
Siz 8-sinf algebra kursida bitta o‘zgaruvchili ratsional tenglamalarni yechishda yangi o‘zgaruvchini kiritish usuli bilan tanishdingiz. Tenglamalar tizimini echishning ushbu usulining mohiyati bir xil, ammo texnik nuqtai nazardan biz quyidagi misollarda muhokama qiladigan ba'zi xususiyatlar mavjud.
3-misol. Tenglamalar tizimini yechish
Yangi o'zgaruvchini kiritamiz.Unda tizimning birinchi tenglamasini oddiyroq ko'rinishda qayta yozish mumkin: Bu tenglamani t o'zgaruvchisiga nisbatan yechamiz:
Bu qiymatlarning ikkalasi ham shartni qondiradi va shuning uchun t o'zgaruvchisi bo'lgan ratsional tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Lekin bu shuni anglatadiki, biz x = 2y ni topamiz yoki
Shunday qilib, yangi o'zgaruvchini kiritish usulidan foydalanib, biz tizimning tashqi ko'rinishida ancha murakkab bo'lgan birinchi tenglamasini ikkita oddiy tenglamaga "tabakalash" ga muvaffaq bo'ldik:
x = 2 y; y - 2x.
Keyingisi nima? Va keyin olingan ikkita oddiy tenglamaning har birini biz hali eslay olmagan x 2 - y 2 = 3 tenglamali tizimda navbat bilan ko'rib chiqish kerak. Boshqacha qilib aytganda, muammo ikkita tenglamalar tizimini echishga tushadi:
Biz birinchi tizimga, ikkinchi tizimga yechim topishimiz va javobga barcha olingan qiymat juftlarini kiritishimiz kerak. Birinchi tenglamalar tizimini yechamiz:
Almashtirish usulidan foydalanamiz, ayniqsa, bu yerda hamma narsa bunga tayyor: sistemaning ikkinchi tenglamasiga x o‘rniga 2y ifodasini qo‘yaylik. olamiz
x = 2y bo'lgani uchun mos ravishda x 1 = 2, x 2 = 2 ni topamiz. Shunday qilib, berilgan tizimning ikkita yechimi olinadi: (2; 1) va (-2; -1). Ikkinchi tenglamalar tizimini yechamiz:
Yana almashtirish usulidan foydalanamiz: sistemaning ikkinchi tenglamasiga y o‘rniga 2x ifodasini qo‘ying. olamiz
Bu tenglamaning ildizlari yo'q, ya'ni tenglamalar tizimining yechimlari yo'q. Shunday qilib, javobga faqat birinchi tizimning echimlarini kiritish kerak.
Javob: (2; 1); (-2;-1).
Ikki o'zgaruvchili ikkita tenglamalar tizimini yechishda yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli ikkita versiyada qo'llaniladi. Birinchi variant: bitta yangi o'zgaruvchi kiritiladi va tizimning faqat bitta tenglamasida ishlatiladi. 3-misolda aynan shunday sodir bo'ldi. Ikkinchi variant: ikkita yangi o'zgaruvchi kiritiladi va tizimning har ikkala tenglamasida bir vaqtning o'zida ishlatiladi. 4-misolda shunday bo'ladi.
4-misol. Tenglamalar tizimini yechish
Keling, ikkita yangi o'zgaruvchini kiritamiz:
Shunda shuni hisobga olaylik
Bu sizga berilgan tizimni ancha sodda shaklda qayta yozish imkonini beradi, lekin yangi a va b oʻzgaruvchilarga nisbatan:
a = 1 ekan, u holda a + 6 = 2 tenglamadan topamiz: 1 + 6 = 2; 6=1. Shunday qilib, a va b o'zgaruvchilari bo'yicha biz bitta yechimga ega bo'ldik:
X va y o'zgaruvchilarga qaytsak, biz tenglamalar tizimini olamiz
Ushbu tizimni yechish uchun algebraik qo'shish usulini qo'llaymiz:
O'shandan beri 2x + y = 3 tenglamasidan biz quyidagilarni topamiz:
Shunday qilib, x va y o'zgaruvchilari bo'yicha biz bitta yechimga ega bo'ldik:
Keling, ushbu paragrafni qisqa, ammo jiddiy nazariy munozara bilan yakunlaylik. Siz allaqachon turli xil tenglamalarni echishda biroz tajribaga ega bo'ldingiz: chiziqli, kvadratik, ratsional, irratsional. Bilasizki, tenglamani echishning asosiy g'oyasi asta-sekin bir tenglamadan boshqasiga, soddaroq, ammo berilgan tenglamaga o'tishdir. Oldingi paragrafda biz ikkita o'zgaruvchili tenglamalar uchun ekvivalentlik tushunchasini kiritgan edik. Bu tushuncha tenglamalar tizimlari uchun ham qo'llaniladi.
Ta'rif.
X va y o'zgaruvchilari bo'lgan ikkita tenglamalar tizimi, agar ular bir xil yechimga ega bo'lsa yoki ikkala tizim ham yechimga ega bo'lmasa, ekvivalent deyiladi.
Biz ushbu bo'limda muhokama qilgan uchta usul (alg'ib olish, algebraik qo'shish va yangi o'zgaruvchilarni kiritish) ekvivalentlik nuqtai nazaridan mutlaqo to'g'ri. Boshqacha qilib aytganda, bu usullardan foydalanib, biz tenglamalarning bir tizimini boshqa, soddaroq, lekin dastlabki tizimga ekvivalenti bilan almashtiramiz.
Tenglamalar sistemasini yechishning grafik usuli
Biz allaqachon tenglamalar tizimini almashtirish, algebraik qo'shish va yangi o'zgaruvchilar kiritish usuli kabi umumiy va ishonchli usullarda echishni o'rgandik. Endi oldingi darsda o'rgangan usulingizni eslaylik. Ya'ni, grafik yechim usuli haqida bilganlaringizni takrorlaymiz.
Tenglamalar tizimlarini grafik tarzda echish usuli ma'lum bir tizimga kiritilgan va bir xil koordinata tekisligida joylashgan har bir aniq tenglama uchun grafik yaratishni o'z ichiga oladi, shuningdek, bu nuqtalarning kesishish joylarini topish kerak. grafiklar. Ushbu tenglamalar tizimini yechish uchun ushbu nuqtaning koordinatalari (x; y) hisoblanadi.
Shuni esda tutish kerakki, grafik tenglamalar tizimida bitta to'g'ri echim yoki cheksiz ko'p echim bo'lishi yoki umuman echimga ega bo'lmasligi odatiy holdir.
Keling, ushbu echimlarning har birini batafsil ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, tenglamalar tizimi, agar tizim tenglamalarining grafiklari bo'lgan chiziqlar kesishsa, yagona echimga ega bo'lishi mumkin. Agar bu chiziqlar parallel bo'lsa, unda bunday tenglamalar tizimi mutlaqo yechimga ega emas. Agar tizim tenglamalarining to'g'ridan-to'g'ri grafiklari bir-biriga to'g'ri kelsa, unda bunday tizim ko'plab echimlarni topishga imkon beradi.
Xo'sh, endi ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini grafik usul yordamida echish algoritmini ko'rib chiqamiz:
Birinchidan, avval 1-tenglamaning grafigini tuzamiz;
Ikkinchi qadam ikkinchi tenglamaga tegishli bo'lgan grafikni qurish bo'ladi;
Uchinchidan, biz grafiklarning kesishish nuqtalarini topishimiz kerak.
Va natijada biz har bir kesishish nuqtasining koordinatalarini olamiz, bu tenglamalar tizimining yechimi bo'ladi.
Keling, misol yordamida ushbu usulni batafsil ko'rib chiqaylik. Bizga echilishi kerak bo'lgan tenglamalar tizimi berilgan:
Tenglamalarni yechish
1. Avval bu tenglamaning grafigini tuzamiz: x2+y2=9.
Ammo shuni ta'kidlash kerakki, tenglamalarning bu grafigi boshda markazi bo'lgan doira bo'ladi va uning radiusi uchga teng bo'ladi.
2. Bizning keyingi qadamimiz quyidagi tenglamaning grafigini tuzish bo'ladi: y = x – 3.
Bunday holda, biz to'g'ri chiziq qurishimiz va (0;−3) va (3;0) nuqtalarni topishimiz kerak.
3. Keling, nima borligini ko'rib chiqaylik. Ko'ramiz, to'g'ri chiziq aylanani uning ikkita A va B nuqtalarida kesib o'tadi.
Endi biz ushbu nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz. Koordinatalar (3;0) A nuqtaga, koordinatalari (0;−3) esa B nuqtaga to‘g‘ri kelishini ko‘ramiz.
Va natijada biz nimaga erishamiz?
Chiziq aylanani kesib o'tganda olingan (3;0) va (0;−3) raqamlar tizimning ikkala tenglamasining aniq yechimlaridir. Bundan kelib chiqadiki, bu raqamlar ham ushbu tenglamalar tizimining yechimi hisoblanadi.
Ya'ni, bu yechimning javobi raqamlar: (3;0) va (0;−3).
Ushbu darsda chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullarini ko'rib chiqamiz. Oliy matematika kursida chiziqli tenglamalar tizimlarini alohida topshiriqlar shaklida, masalan, “Tizimni Kramer formulalari yordamida yechish” va boshqa masalalarni yechish jarayonida hal qilish talab etiladi. Chiziqli tenglamalar tizimlarini oliy matematikaning deyarli barcha bo'limlarida ko'rib chiqishga to'g'ri keladi.
Birinchidan, bir oz nazariya. Bu holda "chiziqli" matematik so'zi nimani anglatadi? Bu sistemaning tenglamalarini bildiradi Hammasi o'zgaruvchilar kiritilgan birinchi darajada: kabi hech qanday chiroyli narsalarsiz 
va hokazo, bundan faqat matematika olimpiadalari ishtirokchilari xursand bo'lishadi.
Oliy matematikada o'zgaruvchilarni belgilash uchun nafaqat bolalikdan tanish bo'lgan harflar qo'llaniladi.
Juda mashhur variant - indeksli o'zgaruvchilar: .
Yoki lotin alifbosining bosh harflari, kichik va katta:
Yunoncha harflarni topish juda kam uchraydi: - ko'pchilik "alfa, beta, gamma" deb nomlanadi. Shuningdek, indeksli to'plam, aytaylik, "mu" harfi bilan:
U yoki bu harflar to'plamidan foydalanish biz chiziqli tenglamalar tizimiga duch kelgan oliy matematikaning bo'limiga bog'liq. Masalan, integral va differensial tenglamalarni yechishda duch keladigan chiziqli tenglamalar tizimlarida yozuvdan foydalanish an'anaviy hisoblanadi.
Ammo o'zgaruvchilar qanday belgilanishidan qat'i nazar, chiziqli tenglamalar tizimini echish tamoyillari, usullari va usullari o'zgarmaydi. Shunday qilib, agar siz qo'rqinchli narsaga duch kelsangiz, qo'rquv bilan muammo kitobini yopishga shoshilmang, chunki siz uning o'rniga quyoshni, o'rniga qushni va uning o'rniga yuzni (o'qituvchini) chizishingiz mumkin. Va qanchalik kulgili ko'rinmasin, bu belgilar bilan chiziqli tenglamalar tizimini ham echish mumkin.
Men maqola juda uzun bo'lib chiqadi, deb o'ylayman, shuning uchun kichik mundarija. Shunday qilib, ketma-ket "debriefing" quyidagicha bo'ladi:
– Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish (“maktab usuli”);
– Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish;
– Kramer formulalari yordamida tizimni yechish;
– Teskari matritsa yordamida tizimni yechish;
– Gauss usuli yordamida tizimni yechish.
Chiziqli tenglamalar tizimlari bilan hamma maktab matematika kurslaridan tanish. Umuman olganda, biz takrorlashdan boshlaymiz.
Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish
Bu usulni "maktab usuli" yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli deb ham atash mumkin. Majoziy ma'noda uni "tugallanmagan Gauss usuli" deb ham atash mumkin.
1-misol
Bu erda bizga ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimi berilgan. E'tibor bering, erkin shartlar (5 va 7 raqamlari) tenglamaning chap tomonida joylashgan. Umuman olganda, ular qaerda, chapda yoki o'ngda bo'lishi muhim emas, faqat oliy matematika muammolarida ular ko'pincha shunday joylashadi. Va bunday yozuv chalkashlikka olib kelmasligi kerak, agar kerak bo'lsa, tizim har doim "odatdagidek" yozilishi mumkin: . Atamani qismdan qismga ko'chirishda uning belgisini o'zgartirish kerakligini unutmang.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish nimani anglatadi? Tenglamalar sistemasini yechish uning ko‘pgina yechimlarini topishni bildiradi. Tizimning yechimi - bu unga kiritilgan barcha o'zgaruvchilarning qiymatlari to'plami, bu tizimning HAR bir tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantiradi. Bundan tashqari, tizim bo'lishi mumkin qo'shma bo'lmagan (hech qanday yechim yo'q).Uyalmang, bu umumiy ta'rif =) Bizda faqat bitta "x" qiymati va bitta "y" qiymati bo'ladi, ular har bir c-we tenglamasini qanoatlantiradi.
Tizimni echishning grafik usuli mavjud bo'lib, u bilan sinfda tanishishingiz mumkin. Chiziq bilan bog'liq eng oddiy muammolar. U erda men gaplashdim geometrik ma'no ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi. Ammo hozir bu algebra davri va raqamlar - raqamlar, harakatlar - harakatlar.
Keling, qaror qilaylik: birinchi tenglamadan biz ifodalaymiz:
Olingan ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiramiz:
Qavslarni ochamiz, shunga o'xshash shartlarni qo'shamiz va qiymatni topamiz: 
Keyin nima uchun raqsga tushganimizni eslaymiz:
Biz allaqachon qiymatni bilamiz, qolgan narsa topishdir:
Javob:
HAR QANDAY tenglamalar tizimi HAR QANDAY tarzda echilgandan so'ng, men tekshirishni tavsiya qilaman (og'zaki, qoralama yoki kalkulyatorda). Yaxshiyamki, bu oson va tez amalga oshiriladi.
1) Topilgan javobni birinchi tenglamaga almashtiring:
- to'g'ri tenglik olinadi.
2) Topilgan javobni ikkinchi tenglamaga almashtiring: 
- to'g'ri tenglik olinadi.
Yoki oddiyroq qilib aytganda, "hamma narsa birlashdi"
Ko'rib chiqilgan yechim usuli yagona emas, birinchi tenglamadan ifodalash mumkin edi, lekin emas.
Buning teskarisini qilishingiz mumkin - ikkinchi tenglamadan biror narsani ifodalang va uni birinchi tenglamaga almashtiring. Aytgancha, to'rtta usuldan eng noqulayi ikkinchi tenglamadan ifodalash ekanligini unutmang:
Natijada kasrlar, lekin nima uchun? Yana oqilona yechim bor.
Biroq, ba'zi hollarda siz hali ham kasrlarsiz qilolmaysiz. Shu munosabat bilan men iborani QANDAY yozganimga e'tiboringizni qaratmoqchiman. Bunday emas: va hech qanday holatda bunday emas: 
.
Agar oliy matematikada siz kasr raqamlari bilan shug'ullanayotgan bo'lsangiz, unda barcha hisob-kitoblarni oddiy noto'g'ri kasrlarda bajarishga harakat qiling.
Aynan, va yo'q yoki!
Vergul faqat ba'zan ishlatilishi mumkin, xususan, agar u biron bir muammoga yakuniy javob bo'lsa va bu raqam bilan boshqa harakatlarni bajarish shart emas.
Ko'pgina o'quvchilar, ehtimol, "nega tuzatish sinfi kabi batafsil tushuntirish, hamma narsa aniq" deb o'ylashgan. Hech narsa yo'q, bu oddiy maktab misoli kabi ko'rinadi, lekin juda ko'p JUDA muhim xulosalar bor! Mana yana biri:
Siz har qanday vazifani eng oqilona tarzda bajarishga harakat qilishingiz kerak. Faqat vaqt va asablarni tejaganligi uchun, shuningdek, xato qilish ehtimolini kamaytiradi.
Agar oliy matematikadagi masalada ikkita noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasiga duch kelsangiz, har doim almashtirish usulidan foydalanishingiz mumkin (agar tizimni boshqa usul bilan yechish zarurligi ko‘rsatilmagan bo‘lsa).Birorta ham o‘qituvchi buni qilmaydi. O'zingizni so'rg'ich deb o'ylang va "maktab usuli" dan foydalanganingiz uchun bahongizni pasaytirasiz "
Bundan tashqari, ba'zi hollarda ko'proq o'zgaruvchilar bilan almashtirish usulidan foydalanish tavsiya etiladi.
2-misol
Uchta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
Shunga o'xshash tenglamalar tizimi ko'pincha noaniq koeffitsientlar deb ataladigan usuldan foydalanganda, kasrli ratsional funktsiyaning integralini topganda paydo bo'ladi. Ko'rib chiqilayotgan tizim men tomonidan u erdan olingan.
Integralni topishda maqsad tez Kramer formulalarini, teskari matritsa usulini va boshqalarni ishlatishdan ko'ra koeffitsientlarning qiymatlarini toping. Shuning uchun, bu holda, almashtirish usuli mos keladi.
Har qanday tenglamalar tizimi berilganda, birinchi navbatda, uni qandaydir tarzda soddalashtirish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlash maqsadga muvofiqdir? Tizim tenglamalarini tahlil qilib, biz tizimning ikkinchi tenglamasini 2 ga bo'lish mumkinligini ko'ramiz, biz buni qilamiz:
Malumot: matematik belgi “bundan kelib chiqadi” degan ma’noni bildiradi va ko‘pincha masalani yechishda qo‘llaniladi.
Endi tenglamalarni tahlil qilaylik, ba'zi o'zgaruvchilarni boshqalar bilan ifodalashimiz kerak. Qaysi tenglamani tanlashim kerak? Ehtimol, buning uchun eng oson yo'li tizimning birinchi tenglamasini olish ekanligini taxmin qilgandirsiz:
Bu erda qanday o'zgaruvchini ifodalashdan qat'i nazar, yoki ni osongina ifodalash mumkin.
Keyinchalik, sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalariga ifodani almashtiramiz: 
Biz qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz: 
Uchinchi tenglamani 2 ga bo'ling: 
Ikkinchi tenglamadan biz ifodalaymiz va uchinchi tenglamaga almashtiramiz:
Deyarli hamma narsa tayyor, uchinchi tenglamadan biz topamiz:
Ikkinchi tenglamadan: 
Birinchi tenglamadan:
Tekshiring: o'zgaruvchilarning topilgan qiymatlarini tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtiring:
1)
2)
3)
Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun yechim to'g'ri topiladi.
3-misol
4 ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (dars oxirida javob).
Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish
Chiziqli tenglamalar tizimlarini echishda siz "maktab usuli" dan emas, balki tizim tenglamalarini davr bo'yicha qo'shish (ayirish) usulidan foydalanishga harakat qilishingiz kerak. Nega? Bu vaqtni tejaydi va hisob-kitoblarni soddalashtiradi, ammo endi hamma narsa aniqroq bo'ladi.
4-misol
Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Men birinchi misoldagi kabi tizimni oldim.
Tenglamalar tizimini tahlil qilib, biz o'zgaruvchining koeffitsientlari kattaligi bo'yicha bir xil va ishorasi bo'yicha qarama-qarshi ekanligini ko'ramiz (–1 va 1). Bunday vaziyatda tenglamalar atama bo'yicha qo'shilishi mumkin: 
Qizil rangda aylanaga chizilgan harakatlar MENTAL O'ZBEKISTONDA bajariladi.
Ko'rib turganingizdek, muddatli qo'shish natijasida biz o'zgaruvchini yo'qotdik. Bu, aslida, nima usulning mohiyati o'zgaruvchilardan biridan xalos bo'lishdir.
Keling, tenglamalar tizimining ikki xil echimini tahlil qilaylik:
1. Tizimni almashtirish usuli yordamida yechish.
2. Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish.
Tenglamalar sistemasini yechish uchun almashtirish usuli bilan Siz oddiy algoritmga amal qilishingiz kerak:
1. Ekspress. Har qanday tenglamadan biz bitta o'zgaruvchini ifodalaymiz.
2. O‘rinbosar. Olingan qiymatni ifodalangan o'zgaruvchi o'rniga boshqa tenglamaga almashtiramiz.
3. Bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.
Yechish uchun muddatga qo‘shish (ayirish) usuli bo‘yicha tizim kerak:
1. Biz bir xil koeffitsientlar yaratadigan o'zgaruvchini tanlang.
2. Biz tenglamalarni qo'shamiz yoki ayitamiz, natijada bitta o'zgaruvchili tenglama hosil bo'ladi.
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.
Tizimning yechimi funksiya grafiklarining kesishish nuqtalari hisoblanadi.
Keling, misollar yordamida tizimlarning echimini batafsil ko'rib chiqaylik.
1-misol:
Keling, almashtirish usuli bilan hal qilaylik
Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida yechish2x+5y=1 (1 tenglama)
x-10y=3 (2-tenglama)
1. Ekspress
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tenglamada koeffitsienti 1 bo'lgan x o'zgaruvchisi mavjud, ya'ni ikkinchi tenglamadan x o'zgaruvchisini ifodalash eng osondir.
x=3+10y
2.Uni ifodalab bo‘lgach, birinchi tenglamaga x o‘zgaruvchisi o‘rniga 3+10y ni qo‘yamiz.
2(3+10y)+5y=1
3. Bir o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.
2(3+10y)+5y=1 (qavslarni oching)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtalaridir, shuning uchun biz x va y ni topishimiz kerak, chunki kesishish nuqtasi x va y dan iborat.X ni topamiz, uni ifodalagan birinchi nuqtada y ni almashtiramiz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Nuqtalarni yozish odat tusiga kiradi, birinchi navbatda x o'zgaruvchisini, ikkinchi o'rinda esa y o'zgaruvchisini yozamiz.
Javob: (1; -0,2)
2-misol:
Atama bo‘yicha qo‘shish (ayirish) usuli yordamida yechamiz.
Tenglamalar sistemasini qo`shish usuli yordamida yechish3x-2y=1 (1 tenglama)
2x-3y=-10 (2-tenglama)
1. Biz o‘zgaruvchini tanlaymiz, deylik, x ni tanlaymiz. Birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi 3 koeffitsientiga ega, ikkinchisida - 2. Biz koeffitsientlarni bir xil qilishimiz kerak, buning uchun biz tenglamalarni ko'paytirish yoki istalgan songa bo'lish huquqiga egamiz. Birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz va umumiy koeffitsient 6 ga teng bo'ladi.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, x o‘zgaruvchidan xalos bo‘ling.Chiziqli tenglamani yeching.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. X ni toping. Topilgan y ni istalgan tenglamaga almashtiramiz, deylik, birinchi tenglamaga.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Kesishish nuqtasi x=4,6 bo'ladi; y=6,4
Javob: (4,6; 6,4)
Imtihonlarga tekin tayyorlanmoqchimisiz? Onlayn o'qituvchi tekinga. Bexazil.
Chiziqli tenglamalar sistemalari.Agar tizimga kiritilgan barcha tenglamalar chiziqli bo'lsa, tenglamalar tizimi chiziqli deb ataladi. Jingalak qavslar yordamida tenglamalar tizimini yozish odatiy holdir, masalan:
Ta'rif:Tizimga kiritilgan ikkita o'zgaruvchiga ega har bir tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchan qiymatlar juftligi deyiladi. tenglamalar tizimini yechish.
Tizimni hal qiling- uning barcha yechimlarini topish yoki hech qanday yechim yo'qligini isbotlash demakdir.
Chiziqli tenglamalar tizimini echishda quyidagi uchta holat mumkin:
tizimda hech qanday yechim yo'q;
tizimda aynan bitta yechim bor;
tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud.
I . Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish.
Ushbu usulni "almashtirish usuli" yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli deb ham atash mumkin.
Bu erda bizga ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimi berilgan. E'tibor bering, erkin shartlar (-5 va -7 raqamlari) tenglamaning chap tomonida joylashgan. Keling, tizimni odatiy shaklda yozamiz.
Atamani qismdan qismga ko'chirishda uning belgisini o'zgartirish kerakligini unutmang.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish nimani anglatadi? Tenglamalar tizimini yechish deganda tizimning har bir tenglamasini to'g'ri tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilarning shunday qiymatlarini topish tushuniladi. Bu gap har qanday noma'lum sonli har qanday tenglamalar tizimi uchun to'g'ri.
Keling, qaror qilaylik.
Tizimning birinchi tenglamasidan biz quyidagilarni ifodalaymiz:
. Bu almashtirish. Olingan ifodani oʻzgaruvchi oʻrniga sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz
Keling, bitta o'zgaruvchi uchun bu tenglamani yechamiz.
Qavslarni oching, o'xshash shartlarni qo'shing va qiymatni toping 
:
4) Keyin almashtirishga qaytamiz
qiymatini hisoblash uchun 
.Biz allaqachon qiymatni bilamiz, qolgani: topish.
5) er-xotin 
berilgan tizimning yagona yechimidir.
Javob: (2.4; 2.2).
Har qanday tenglamalar tizimini har qanday usulda echgandan so'ng, men uni qoralamada tekshirishni tavsiya qilaman. Bu oson va tez amalga oshiriladi.
1) Topilgan javobni birinchi tenglamaga almashtiring: 
- to'g'ri tenglik olinadi.
2) Topilgan javobni ikkinchi tenglamaga almashtiring: 
- to'g'ri tenglik olinadi.
Ko'rib chiqilgan yechim usuli yagona emas, birinchi tenglamadan ifodalash mumkin edi, lekin emas.
Buning teskarisini qilishingiz mumkin - ikkinchi tenglamadan biror narsani ifodalang va uni birinchi tenglamaga almashtiring. Biroq, almashtirishni imkon qadar kamroq kasr ifodalarini o'z ichiga olishi uchun baholash kerak. To'rt yo'lning eng noqulayi ikkinchi yoki birinchi tenglamadan ifodalashdir:
yoki 
Biroq, ba'zi hollarda siz hali ham kasrlarsiz qilolmaysiz. Siz har qanday vazifani eng oqilona tarzda bajarishga harakat qilishingiz kerak. Bu vaqtni tejaydi va xato qilish ehtimolini kamaytiradi.
2-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
II. Tizim tenglamalarini algebraik qo'shish (ayirish) usuli yordamida tizimni yechish
Chiziqli tenglamalar tizimini echishda siz almashtirish usulini emas, balki tizim tenglamalarini algebraik qo'shish (ayirish) usulidan foydalanishingiz mumkin. Bu usul vaqtni tejaydi va hisob-kitoblarni soddalashtiradi, ammo endi hamma narsa aniqroq bo'ladi.
Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Birinchi misoldagi kabi tizimni olaylik.
1) Tenglamalar tizimini tahlil qilib, y o'zgaruvchining koeffitsientlari kattaligi bo'yicha bir xil va ishorasi bo'yicha qarama-qarshi (–1 va 1) ekanligini ko'ramiz. Bunday vaziyatda tenglamalar atama bo'yicha qo'shilishi mumkin:
2) Bitta o‘zgaruvchi uchun bu tenglamani yechamiz.
Ko'rib turganingizdek, muddatli qo'shish natijasida biz o'zgaruvchini yo'qotdik. Bu, aslida, usulning mohiyati - o'zgaruvchilardan biridan xalos bo'lish.
3) Endi hamma narsa oddiy: 
- tizimning birinchi tenglamasini almashtiring (siz ikkinchisiga ham o'tishingiz mumkin):
Yakuniy yechim quyidagicha ko'rinishi kerak:
Javob: (2.4; 2.2).
4-misol
Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Bu misolda biz almashtirish usulini qo'llashimiz mumkin, lekin katta kamchilik shundaki, har qanday tenglamadan istalgan o'zgaruvchini ifodalaganimizda, biz oddiy kasrlarda yechimga ega bo'lamiz. Kam odam kasrlar bilan ishlashni yaxshi ko'radi, bu vaqtni behuda sarflashni anglatadi va xato qilish ehtimoli katta.
SHuning uchun tenglamalarni muddatma-hujra qo‘shish (ayirish) amallaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Tegishli o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlarni tahlil qilaylik:
Ko'rib turganimizdek, juftlikdagi raqamlar (14 va 7), (-9 va -2) har xil, shuning uchun biz tenglamalarni hozir qo'shsak (ayirish) o'zgaruvchidan qutula olmaymiz. Shunday qilib, men juftliklardan birida mutlaq qiymatda bir xil bo'lgan raqamlarni ko'rishni xohlayman, masalan, 14 va -14 yoki 18 va -18.
Biz o'zgaruvchining koeffitsientlarini ko'rib chiqamiz.
14x – 9y = 24;
7x – 2y = 17.
Biz 14 va 7 ga bo'linadigan raqamni tanlaymiz va u imkon qadar kichik bo'lishi kerak. Matematikada bu raqam eng kichik umumiy ko'paytma deb ataladi. Agar tanlash qiyin bo'lsa, siz koeffitsientlarni ko'paytirishingiz mumkin.
Ikkinchi tenglamani 14 ga ko'paytiramiz: 7 =2.
Natijada:
Endi birinchi tenglamaning haddan ikkinchisini ayiraylik.
Shuni ta'kidlash kerakki, buning aksini qilish mumkin - ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirish, bu hech narsani o'zgartirmaydi.
Endi biz topilgan qiymatni tizim tenglamalaridan biriga almashtiramiz, masalan, birinchisiga: 
Javob: (3:2)
Keling, tizimni boshqa yo'l bilan hal qilaylik. O'zgaruvchining koeffitsientlarini ko'rib chiqaylik.
14x – 9y = 24;
7x – 2y = 17.
Shubhasiz, bir juft koeffitsient (-9 va -3) o'rniga biz 18 va -18 ni olishimiz kerak.
Buning uchun birinchi tenglamani (-2) ga ko'paytiring, ikkinchi tenglamani 9 ga ko'paytiring:
Biz tenglamalarni atama bo'yicha qo'shamiz va o'zgaruvchilarning qiymatlarini topamiz:
Endi topilgan x qiymatini tizim tenglamalaridan biriga, masalan, birinchisiga almashtiramiz:
Javob: (3:2)
Ikkinchi usul birinchisiga qaraganda bir oz oqilonaroq, chunki qo'shish ayirishdan ko'ra osonroq va yoqimliroq. Ko'pincha tizimlarni echishda ayirish va bo'lish o'rniga qo'shish va ko'paytirishga intiladi.
5-misol
Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (javob ma'ruza oxirida).
6-misol.
Tenglamalar tizimini yechish
Yechim. Tizimning yechimlari yo'q, chunki tizimning ikkita tenglamasini bir vaqtning o'zida qondirib bo'lmaydi (birinchi tenglamadan boshlab). 
va ikkinchisidan 
Javob: Hech qanday yechim yo'q.
7-misol.
tenglamalar tizimini yechish
Yechim. Tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud, chunki ikkinchi tenglama birinchisidan 2 ga ko'paytirish orqali olinadi (ya'ni, aslida ikkita noma'lumli faqat bitta tenglama mavjud).
Javob: Cheksiz ko'p echimlar mavjud.
III. Matritsalar yordamida tizimni yechish.
Ushbu tizimning determinanti noma'lumlar uchun koeffitsientlardan tashkil topgan determinantdir. Bu belgilovchi
Chiziqli tenglamalar tizimi n ta chiziqli tenglamaning birlashmasi bo'lib, har birida k o'zgaruvchi mavjud. Bu shunday yozilgan:
Ko'pchilik, birinchi marta yuqori algebra bilan uchrashganda, tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelishi kerak, deb noto'g'ri hisoblashadi. Maktab algebrasida bu odatda sodir bo'ladi, lekin yuqori algebra uchun bu odatda to'g'ri emas.
Tenglamalar tizimining yechimi sonlar ketma-ketligidir (k 1, k 2, ..., k n), bu tizimning har bir tenglamasining yechimi, ya'ni. bu tenglamaga x 1, x 2, ..., x n o‘zgaruvchilari o‘rniga qo‘yilganda to‘g‘ri sonli tenglikni beradi.
Shunga ko‘ra, tenglamalar sistemasini yechish deganda uning barcha yechimlari to‘plamini topish yoki bu to‘plam bo‘sh ekanligini isbotlash tushuniladi. Tenglamalar soni va noma'lumlar soni mos kelmasligi sababli, uchta holat mumkin:
- Tizim mos kelmaydigan, ya'ni. barcha yechimlar to'plami bo'sh. Tizimni hal qilish uchun qanday usul qo'llanilishidan qat'i nazar, osongina aniqlanadigan juda kam uchraydigan holat.
- Tizim izchil va qat'iy, ya'ni. aynan bitta yechimga ega. Maktabdan beri taniqli klassik versiya.
- Tizim izchil va aniqlanmagan, ya'ni. cheksiz ko'p echimlarga ega. Bu eng qiyin variant. "Tizimda cheksiz echimlar to'plami" borligini ko'rsatishning o'zi etarli emas - bu to'plam qanday tuzilganligini tasvirlash kerak.
X i o'zgaruvchisi, agar u tizimning faqat bitta tenglamasiga kiritilgan bo'lsa va koeffitsienti 1 bo'lsa, ruxsat etilgan deb ataladi. Boshqacha aytganda, boshqa tenglamalarda x i o'zgaruvchining koeffitsienti nolga teng bo'lishi kerak.
Har bir tenglamada bitta ruxsat etilgan o'zgaruvchini tanlasak, biz butun tenglamalar tizimi uchun ruxsat etilgan o'zgaruvchilar to'plamini olamiz. Ushbu shaklda yozilgan tizimning o'zi ham hal qilingan deb nomlanadi. Umuman olganda, bitta va bir xil original tizimni turli ruxsat etilganlarga qisqartirish mumkin, ammo hozircha biz bu haqda tashvishlanmaymiz. Ruxsat berilgan tizimlarga misollar:
Ikkala tizim ham x 1, x 3 va x 4 o'zgaruvchilarga nisbatan hal qilinadi. Biroq, xuddi shu muvaffaqiyat bilan ikkinchi tizim x 1, x 3 va x 5 ga nisbatan hal qilinganligini ta'kidlash mumkin. Eng oxirgi tenglamani x 5 = x 4 ko'rinishida qayta yozish kifoya.
Endi umumiy holatni ko'rib chiqaylik. Jami k o‘zgaruvchiga ega bo‘lsin, ulardan r ga ruxsat berilgan. Keyin ikkita holat mumkin:
- Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r o'zgaruvchilarning umumiy soniga teng k: r = k. Biz r = k ruxsat etilgan o'zgaruvchilar bo'lgan k tenglamalar tizimini olamiz. Bunday tizim qo'shma va aniq, chunki x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r o'zgaruvchilarning umumiy sonidan kamroq k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Shunday qilib, yuqoridagi tizimlarda x 2, x 5, x 6 (birinchi tizim uchun) va x 2, x 5 (ikkinchi tizim uchun) o'zgaruvchilar bepul. Erkin o'zgaruvchilar mavjud bo'lgan holat teorema sifatida yaxshiroq shakllantirilgan:
E'tibor bering: bu juda muhim nuqta! Olingan tizimni qanday yozishingizga qarab, bir xil o'zgaruvchiga ruxsat berilgan yoki bepul bo'lishi mumkin. Ko'pgina oliy matematika o'qituvchilari o'zgaruvchilarni leksikografik tartibda yozishni tavsiya qiladilar, ya'ni. ortib borayotgan indeks. Biroq, siz ushbu maslahatga amal qilishingiz shart emas.
Teorema. Agar n ta tenglamalar sistemasida x 1, x 2, ..., x r o‘zgaruvchilarga ruxsat berilsa va x r + 1, x r + 2, ..., x k erkin bo‘lsa, u holda:
- Agar biz erkin o'zgaruvchilarning qiymatlarini o'rnatsak (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) va keyin x 1, x 2 qiymatlarini topamiz, ..., x r, biz qarorlardan birini olamiz.
- Agar ikkita echimda erkin o'zgaruvchilarning qiymatlari mos kelsa, ruxsat etilgan o'zgaruvchilarning qiymatlari ham mos keladi, ya'ni. yechimlari teng.
Ushbu teoremaning ma'nosi nima? Yechilgan tenglamalar tizimining barcha yechimlarini olish uchun erkin o'zgaruvchilarni ajratib olish kifoya. Keyin, erkin o'zgaruvchilarga turli xil qiymatlarni belgilab, biz tayyor echimlarni olamiz. Hammasi shu - shu tarzda siz tizimning barcha echimlarini olishingiz mumkin. Boshqa yechimlar yo'q.
Xulosa: echilgan tenglamalar tizimi har doim mos keladi. Agar echilgan tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, tizim aniq, kamroq bo'lsa, noaniq bo'ladi.
Va hamma narsa yaxshi bo'lar edi, lekin savol tug'iladi: asl tenglamalar tizimidan qanday qilib hal qilinganini olish mumkin? Buning uchun bor