Kasrni butun qismga qanday ko'paytirish kerak. Kasrlarni ko'paytirish

17.10.2019

Dars mazmuni

O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish

Kasrlarni qo'shishning ikki turi mavjud:

O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish
Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

Birinchidan, maxrajlari o'xshash bo'lgan kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Masalan, va kasrlarni qo'shamiz. Numeratorlarni qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Vazifaning oxiri kelganda, noto'g'ri fraktsiyalardan xalos bo'lish odatiy holdir. Noto'g'ri fraktsiyadan qutulish uchun uning butun qismini tanlashingiz kerak. Bizning holatda, butun qism osongina ajratiladi - ikkitasini ikkitaga bo'lish birga teng:

Ikki qismga bo'lingan pizza haqida eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsaga ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa olasiz:

3-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Shunga qaramay, biz sonlarni qo'shamiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz:

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga ko'proq pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

4-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Numeratorlar qo'shilishi va maxraj o'zgarishsiz qolishi kerak:

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz va yana ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz 1 ta to'liq pitsa va yana ko'proq pitsa olasiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishda murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Kasrlarni qo'shishda kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lishi kerak. Lekin ular har doim ham bir xil emas.

Masalan, kasrlarni qo'shish mumkin, chunki ular bir xil maxrajga ega.

Ammo kasrlarni darhol qo'shib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Kasrlarni bir xil maxrajga kamaytirishning bir necha usullari mavjud. Bugun biz ulardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz, chunki boshqa usullar yangi boshlanuvchilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin.

Bu usulning mohiyati shundan iboratki, avval ikkala kasrning maxrajlarining LKM i izlanadi. Keyin LCM birinchi qo'shimcha omilni olish uchun birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi. Ular ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishadi - LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi.

Keyin kasrlarning sonlari va maxrajlari ularning qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiriladi. Ushbu harakatlar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz.

1-misol. Kasrlarni qo'shamiz va

Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining eng kichik umumiy karralini topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 2 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 6 ga teng.

LCM (2 va 3) = 6

Endi kasrlarga qaytaylik va . Birinchidan, LCMni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling va birinchi qo'shimcha omilni oling. LCM - 6 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 6 ni 3 ga bo'ling, biz 2 ni olamiz.

Olingan 2 raqami birinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni birinchi kasrga yozamiz. Buni amalga oshirish uchun kasr ustiga kichik qiyshiq chiziq qo'ying va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. Biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz va ikkinchi qo'shimcha omilni olamiz. LCM - 6 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 2. 6 ni 2 ga bo'ling, biz 3 ni olamiz.

Olingan 3 raqami ikkinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni ikkinchi kasrga yozamiz. Shunga qaramay, biz ikkinchi kasr ustiga kichik qiyshiq chiziq qilamiz va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozamiz:

Endi bizda qo'shimcha qilish uchun hamma narsa tayyor. Kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Nimaga kelganimizga diqqat bilan qarang. Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:

Bu misolni to'ldiradi. Qo'shish uchun chiqadi.

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa va yana oltidan bir qismini olasiz:

Kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Kasrlarni va umumiy maxrajni qisqartirib, kasrlarni va ni oldik. Bu ikki kasr bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi. Yagona farq shundaki, bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi).

Birinchi rasm kasrni (oltitadan to'rttasini), ikkinchisi esa kasrni (oltitadan uchtasini) ifodalaydi. Ushbu qismlarni qo'shib, biz (oltitadan etti dona) olamiz. Bu kasr noto'g'ri, shuning uchun biz uning butun qismini ta'kidladik. Natijada biz (bitta butun pitsa va boshqa oltinchi pitsa) oldik.

E'tibor bering, biz ushbu misolni juda batafsil tasvirlab berdik. Ta'lim muassasalarida bunday batafsil yozish odat tusiga kirmagan. Siz ikkala maxrajning va ularga qo'shimcha omillarning LCM ni tezda topa olishingiz, shuningdek, topilgan qo'shimcha omillarni o'zingizning hisoblagichlaringiz va maxrajlaringiz bilan tezda ko'paytirishingiz kerak. Agar biz maktabda bo'lganimizda, bu misolni quyidagicha yozishimiz kerak edi:

Ammo tanganing boshqa tomoni ham bor. Agar siz matematikani o'rganishning birinchi bosqichlarida batafsil qayd qilmasangiz, unda bunday savollar paydo bo'la boshlaydi. “Bu raqam qayerdan keladi?”, “Nima uchun kasrlar birdan butunlay boshqa kasrlarga aylanadi? «.

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishni osonlashtirish uchun siz quyidagi bosqichma-bosqich ko'rsatmalardan foydalanishingiz mumkin:

Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping;
LCM ni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling;
Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalariga ko'paytirish;
Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shing;
Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang;

2-misol. Ifodaning qiymatini toping .

Keling, yuqorida keltirilgan ko'rsatmalardan foydalanamiz.

1-qadam. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping

Ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Kasrlarning maxrajlari 2, 3 va 4 sonlaridir

2-qadam. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling

LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 2. 12 ni 2 ga bo'lamiz, biz 6 ni olamiz. Birinchi qo'shimcha koeffitsient 6 ni oldik. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz. Ikkinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 4. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni uchinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Uchinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 3. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:

3-qadam. Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiring

Numeratorlar va maxrajlarni qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiramiz:

Qadam 4. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shing

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Qolgan narsa bu kasrlarni qo'shishdir. Uni qo'shing:

Qo'shish bir qatorga to'g'ri kelmadi, shuning uchun biz qolgan ifodani keyingi qatorga o'tkazdik. Bu matematikada ruxsat etiladi. Ifoda bir satrga to`g`ri kelmasa, u keyingi qatorga o`tkaziladi va birinchi qatorning oxiriga va yangi qatorning boshiga tenglik belgisini (=) qo`yish kerak bo`ladi. Ikkinchi qatordagi tenglik belgisi bu birinchi qatordagi ifodaning davomi ekanligini ko'rsatadi.

Qadam 5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang

Bizning javobimiz noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Biz uning butun bir qismini ta'kidlashimiz kerak. Biz ta'kidlaymiz:

Javob oldik

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish

Kasrlarni ayirishning ikki turi mavjud:

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish
Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Birinchidan, keling, o'xshash maxrajli kasrlarni qanday ayirishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish kerak, lekin maxrajni bir xil qoldirish kerak.

Masalan, ifoda qiymatini topamiz. Bu misolni yechish uchun birinchi kasr sonidan ikkinchi kasrning payini ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Keling buni qilamiz:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Shunga qaramay, birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning soni ayiriladi va maxraj o'zgarishsiz qoldiriladi:

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Birinchi kasrning numeratoridan qolgan kasrlarning sonlarini ayirish kerak:

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda hech qanday murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;
Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, unda siz uning butun qismini ajratib ko'rsatishingiz kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Masalan, kasrni kasrdan ayirish mumkin, chunki kasrlar bir xil maxrajga ega. Ammo kasrdan kasrni ayirib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Umumiy maxraj biz turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shganda qo‘llagan printsip asosida topiladi. Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Keyin LCM birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va birinchi qo'shimcha omil olinadi, bu birinchi kasrning ustiga yoziladi. Xuddi shunday, LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi, bu ikkinchi kasrning ustiga yoziladi.

Keyin kasrlar qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi. Ushbu amallar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylantiriladi. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz.

1-misol. Ifodaning ma'nosini toping:

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Avval ikkala kasrning maxrajlarining LCM ni topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 4 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga teng.

LCM (3 va 4) = 12

Endi kasrlarga qaytaylik va

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. Buning uchun LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz. Birinchi kasrning ustiga to'rttasini yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Ikkinchi kasrning ustiga uchtani yozing:

Endi biz ayirish uchun tayyormiz. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:

Javob oldik

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsadan pizza kessangiz, siz pizza olasiz

Bu yechimning batafsil versiyasi. Agar biz maktabda bo'lganimizda, biz bu misolni qisqaroq hal qilishimiz kerak edi. Bunday yechim quyidagicha ko'rinadi:

Kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Ushbu kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirib, biz kasrlarni oldik va . Bu kasrlar bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi, ammo bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi):

Birinchi rasmda kasr (o'n ikkitadan sakkizta bo'lak), ikkinchi rasmda esa kasr (o'n ikki qismdan uchtasi) ko'rsatilgan. Sakkiz qismdan uchta bo'lakni kesib, biz o'n ikkitadan beshta bo'lak olamiz. Kasr bu besh qismni tasvirlaydi.

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun avval ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Bu kasrlarning maxrajlarining LKM ni topamiz.

Kasrlarning maxrajlari 10, 3 va 5 raqamlari. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 30 ga teng.

LCM(10, 3, 5) = 30

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Buning uchun LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling.

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. LCM - 30 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 10. 30 ni 10 ga bo'ling, biz birinchi qo'shimcha koeffitsient 3 ni olamiz. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi biz ikkinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 30 ni 3 ga bo'ling, biz ikkinchi qo'shimcha koeffitsient 10 ni olamiz. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi uchinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCMni uchinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 5. 30 ni 5 ga bo'lamiz, uchinchi qo'shimcha koeffitsient 6 ni olamiz. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:

Endi hamma narsa ayirish uchun tayyor. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni tugatamiz.

Misolning davomi bir qatorga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz davomini keyingi qatorga o'tkazamiz. Yangi qatordagi tenglik belgisini (=) unutmang:

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi va hamma narsa bizga mos keladigan ko'rinadi, lekin bu juda og'ir va xunuk. Biz buni oddiyroq qilishimiz kerak. Nima qilish mumkin? Siz bu qismni qisqartirishingiz mumkin.

Kasrni kamaytirish uchun uning payini va maxrajini 20 va 30 raqamlarining (GCD) ga bo'lish kerak.

Shunday qilib, biz 20 va 30 raqamlarining gcd ni topamiz:

Endi biz misolimizga qaytamiz va kasrning soni va maxrajini topilgan gcd ga, ya'ni 10 ga bo'lamiz.

Javob oldik

Kasrni songa ko'paytirish

Kasrni songa ko'paytirish uchun berilgan kasrning payini shu songa ko'paytirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.

1-misol. Kasrni 1 raqamiga ko'paytiring.

Kasrning sonini 1 raqamiga ko'paytiring

Yozishni yarim 1 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz bir marta pitsa iste'mol qilsangiz, siz pizza olasiz

Ko'paytirish qonunlaridan shuni bilamizki, agar ko'paytma va omil almashtirilsa, ko'paytma o'zgarmaydi. Agar ifoda quyidagicha yozilsa, u holda mahsulot baribir ga teng bo'ladi. Yana butun son va kasrni ko'paytirish qoidasi ishlaydi:

Bu belgini bittaning yarmini olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar 1 ta butun pitsa bo'lsa va biz uning yarmini olsak, unda bizda pitsa bo'ladi:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Kasrning sonini 4 ga ko'paytiring

Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:

Ifoda ikki chorakni 4 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz 4 ta pitsa olsangiz, ikkita butun pitsa olasiz

Va agar biz ko'paytma va ko'paytmani almashtirsak, biz ifodani olamiz. Shuningdek, u 2 ga teng bo'ladi. Bu iborani to'rtta pitsadan ikkita pitsa olish sifatida tushunish mumkin:

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrlarni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish kerak. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini ajratib ko'rsatish kerak.

1-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Javob oldik. Ushbu fraktsiyani kamaytirish tavsiya etiladi. Kasrni 2 ga kamaytirish mumkin. Keyin yakuniy yechim quyidagi shaklni oladi:

Bu iborani yarim pitsadan pitsa olish deb tushunish mumkin. Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Bu yarmidan uchdan ikki qismini qanday olish mumkin? Avval siz bu yarmini uchta teng qismga bo'lishingiz kerak:

Va bu uchta bo'lakdan ikkitasini oling:

Biz pizza tayyorlaymiz. Pitsa uch qismga bo'linganda qanday ko'rinishini eslang:

Ushbu pizzaning bir bo'lagi va biz olgan ikkita bo'lak bir xil o'lchamlarga ega bo'ladi:

Boshqacha qilib aytganda, biz bir xil o'lchamdagi pizza haqida gapiramiz. Shuning uchun ifodaning qiymati

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi, lekin qisqartirilsa yaxshi bo'lardi. Ushbu kasrni kamaytirish uchun siz ushbu kasrning payini va maxrajini 105 va 450 raqamlarining eng katta umumiy bo'luvchisiga (GCD) bo'lishingiz kerak.

Shunday qilib, 105 va 450 raqamlarining gcd ni topamiz:

Endi biz javobimizning sonini va maxrajini hozir topgan gcd ga, ya'ni 15 ga bo'lamiz.

Butun sonni kasr shaklida ifodalash

Har qanday butun sonni kasr sifatida ifodalash mumkin. Masalan, 5 raqami sifatida ifodalanishi mumkin. Bu beshning ma'nosini o'zgartirmaydi, chunki ibora "besh soni birga bo'lingan" degan ma'noni anglatadi va bu, biz bilganimizdek, beshga teng:

O'zaro raqamlar

Endi biz matematikadan juda qiziq mavzu bilan tanishamiz. Bu "teskari raqamlar" deb ataladi.

Ta'rif. Raqamga teskaria ga ko'paytirilganda bu raqama birini beradi.

Keling, ushbu ta'rifda o'zgaruvchi o'rniga almashtiraylik a 5 raqami va ta'rifni o'qishga harakat qiling:

Raqamga teskari 5 ga ko'paytirilganda bu raqam 5 birini beradi.

5 ga ko'paytirilganda bitta bo'ladigan sonni topish mumkinmi? Bu mumkin ekan. Keling, beshni kasr sifatida tasavvur qilaylik:

Keyin bu kasrni o'z-o'zidan ko'paytiring, faqat pay va maxrajni almashtiring. Boshqacha qilib aytganda, kasrni o'ziga ko'paytiramiz, faqat teskari:

Buning natijasida nima bo'ladi? Agar biz ushbu misolni hal qilishda davom etsak, biz bittasini olamiz:

Bu shuni anglatadiki, 5 raqamining teskarisi raqamdir, chunki 5 ni ko'paytirganda bitta bo'ladi.

Raqamning o'zaro nisbati boshqa har qanday butun son uchun ham topilishi mumkin.

Boshqa har qanday kasrning teskarisini ham topishingiz mumkin. Buning uchun uni ag'daring.

Kasrni songa bo'lish

Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Keling, uni ikkiga teng taqsimlaymiz. Har bir odam qancha pitsa oladi?

Ko'rinib turibdiki, pitsaning yarmini bo'lingandan so'ng, ikkita teng bo'lak olingan, ularning har biri pizza tashkil qiladi. Shunday qilib, hamma pizza oladi.

Kasrlarni bo'lish o'zaro nisbatlar yordamida amalga oshiriladi. O'zaro raqamlar bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirishga imkon beradi.

Kasrni songa bo'lish uchun kasrni bo'luvchining teskari qismiga ko'paytirish kerak.

Ushbu qoidadan foydalanib, biz pitsaning yarmini ikki qismga bo'linishini yozamiz.

Shunday qilib, kasrni 2 raqamiga bo'lishingiz kerak. Bu erda dividend kasr va bo'luvchi 2 raqamidir.

Kasrni 2 raqamiga bo'lish uchun bu kasrni bo'luvchining o'zaro nisbati bilan ko'paytirish kerak 2. Bo'luvchi 2 ning o'zaro qismi kasrdir. Shunday qilib, siz ko'paytirishingiz kerak

Oddiy kasrlarni ko'paytirishni bir nechta mumkin bo'lgan variantlarda ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish

Bu siz quyidagilarni ishlatishingiz kerak bo'lgan eng oddiy holat kasrlarni ko'paytirish qoidalari.

Kimga kasrni kasrga ko'paytiring, zarur:

birinchi kasrning payini ikkinchi kasrning soniga ko'paytiring va ularning ko'paytmasini yangi kasrning soniga yozing;
birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring va ularning ko'paytmasini yangi kasrning maxrajiga yozing;

Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishdan oldin, kasrlarni qisqartirish mumkinligini tekshiring. Hisoblashda kasrlarni kamaytirish hisob-kitoblaringizni ancha osonlashtiradi.

Kasrni natural songa ko'paytirish

Kasr qilish uchun natural songa ko'paytiring Kasrning payini bu raqamga ko'paytirishingiz kerak va kasrning maxrajini o'zgarishsiz qoldiring.

Agar ko'paytirish natijasi noto'g'ri kasr bo'lsa, uni aralash raqamga aylantirishni unutmang, ya'ni butun qismni ta'kidlang.

Aralash sonlarni ko'paytirish

Aralash sonlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak, keyin esa oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirishingiz kerak.

Kasrni natural songa ko'paytirishning yana bir usuli

Ba'zan hisob-kitoblarni amalga oshirishda oddiy kasrni raqamga ko'paytirishning boshqa usulini qo'llash qulayroqdir.

Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni bir xil qoldirish kerak.

Misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linadigan bo'lsa, qoidaning ushbu versiyasidan foydalanish qulayroqdir.

Kasrlar bilan amallar

O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish

Kasrlarni qo'shishning ikki turi mavjud:

O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish
Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Shunga qaramay, biz sonlarni qo'shamiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz:

Ikki qismga bo'lingan pizza haqida eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsaga ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa olasiz:

3-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga ko'proq pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

4-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Numeratorlar qo'shilishi va maxraj o'zgarishsiz qolishi kerak:

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz va yana ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz 1 ta to'liq pitsa va yana ko'proq pitsa olasiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishda murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish va maxrajni bir xil qoldirish kerak;
Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, unda siz uning butun qismini ajratib ko'rsatishingiz kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Kasrlarni qo'shishda kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lishi kerak. Lekin ular har doim ham bir xil emas.

Masalan, kasrlarni qo'shish mumkin, chunki ular bir xil maxrajga ega.

Ammo kasrlarni darhol qo'shib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Bu usulning mohiyati shundan iboratki, avval har ikkala kasr maxrajlarining eng kichik umumiy karrali (LCM)ni qidiramiz. Keyin LCM birinchi qo'shimcha omilni olish uchun birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi. Ular ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishadi - LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi.

1-misol. Kasrlarni qo'shamiz va

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining eng kichik umumiy karralini topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 2 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 6 ga teng.

LCM (2 va 3) = 6

Endi bizda qo'shimcha qilish uchun hamma narsa tayyor. Kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Bu misolni to'ldiradi. Qo'shish uchun chiqadi.

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa va yana oltidan bir qismini olasiz:

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishni osonlashtirish uchun siz quyidagi bosqichma-bosqich ko'rsatmalardan foydalanishingiz mumkin:

Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping;
LCM ni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling;
Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalariga ko'paytirish;
Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shing;
Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang;

2-misol. Ifodaning qiymatini toping .

Keling, yuqorida keltirilgan diagrammadan foydalanamiz.

1-qadam. Kasrlarning maxrajlari uchun LCM ni toping

Ikkala kasrning maxrajlari uchun LCM ni toping. Kasrlarning maxrajlari 2, 3 va 4 raqamlaridir. Ushbu raqamlar uchun LCM ni topishingiz kerak:

2-qadam. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling

3-qadam. Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiring

Numeratorlar va maxrajlarni qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiramiz:

Qadam 4. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shing

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Qolgan narsa bu kasrlarni qo'shishdir. Uni qo'shing:

Qadam 5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini ajratib ko'rsating

Bizning javobimiz noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Biz uning butun bir qismini ta'kidlashimiz kerak. Biz ta'kidlaymiz:

Javob oldik

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish

Kasrlarni ayirishning ikki turi mavjud:

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish
Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Masalan, ifoda qiymatini topamiz. Bu misolni yechish uchun birinchi kasr sonidan ikkinchi kasrning payini ayirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak. Keling buni qilamiz:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Shunga qaramay, birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning hisobini ayirib, maxrajni bir xil qoldiring:

Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Birinchi kasrning numeratoridan qolgan kasrlarning sonlarini ayirish kerak:

Javob noto'g'ri kasr edi. Agar misol to'ldirilgan bo'lsa, unda noto'g'ri fraktsiyadan qutulish odatiy holdir. Keling, javobdagi noto'g'ri kasrni olib tashlaylik. Buning uchun uning butun qismini tanlaymiz:

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda hech qanday murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak;

Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, unda siz uning butun qismini ajratib ko'rsatishingiz kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

1-misol. Ifodaning ma'nosini toping:

Avval ikkala kasrning maxrajlarining LCM ni topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 4 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga teng.

LCM (3 va 4) = 12

Endi kasrlarga qaytaylik va

Endi biz ayirish uchun tayyormiz. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Javob oldik

Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsadan pizza kessangiz, siz pizza olasiz

Bu yechimning batafsil versiyasi. Agar biz maktabda bo'lganimizda, biz bu misolni qisqaroq hal qilishimiz kerak edi. Bunday yechim quyidagicha ko'rinadi:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun avval ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.

Bu kasrlarning maxrajlarining LKM ni topamiz.

Kasrlarning maxrajlari 10, 3 va 5 raqamlari. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 30 ga teng.

LCM(10, 3, 5) = 30

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Buning uchun LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling.

Endi hamma narsa ayirish uchun tayyor. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Misolning davomi bir qatorga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz davomini keyingi qatorga o'tkazamiz. Yangi qatordagi tenglik belgisini (=) unutmang:

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi va hamma narsa bizga mos keladigan ko'rinadi, lekin bu juda og'ir va xunuk. Buni yanada sodda va estetik jihatdan yoqimli qilish kerak edi. Nima qilish mumkin? Siz bu qismni qisqartirishingiz mumkin. Esingizda bo'lsin, kasrni kamaytirish hisob va maxrajning eng katta umumiy bo'linuvchiga bo'linishi hisoblanadi.

Kasrni to'g'ri kamaytirish uchun uning payini va maxrajini 20 va 30 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisiga (GCD) bo'lish kerak.

GCD ni NOC bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Ko'pgina yangi boshlanuvchilarning eng keng tarqalgan xatosi. GCD eng katta umumiy bo'luvchidir. Biz uni kasrni kamaytirish uchun topamiz.

Va LCM eng kam umumiy ko'paytmadir. Biz uni kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish uchun topamiz.

Endi biz 20 va 30 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini (GCD) topamiz.

Shunday qilib, biz 20 va 30 raqamlari uchun GCD ni topamiz:

GCD (20 va 30) = 10

Endi biz misolimizga qaytamiz va kasrning soni va maxrajini 10 ga bo'lamiz:

Biz chiroyli javob oldik

Kasrni songa ko'paytirish

Kasrni songa ko'paytirish uchun berilgan kasrning payini shu songa ko'paytirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.

1-misol. Kasrni 1 raqamiga ko'paytiring.

Kasrning sonini 1 raqamiga ko'paytiring

Yozishni yarim 1 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz bir marta pitsa iste'mol qilsangiz, siz pizza olasiz

Bu belgini bittaning yarmini olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar 1 ta butun pitsa bo'lsa va biz uning yarmini olsak, unda bizda pitsa bo'ladi:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Kasrning sonini 4 ga ko'paytiring

Ifoda ikki chorakni 4 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz 4 ta pitsa olsangiz, ikkita butun pitsa olasiz

Va agar biz ko'paytma va ko'paytmani almashtirsak, biz ifodani olamiz. Shuningdek, u 2 ga teng bo'ladi. Bu iborani to'rtta pitsadan ikkita pitsa olish sifatida tushunish mumkin:

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrlarni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish kerak. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini ajratib ko'rsatish kerak.

1-misol. Ifodaning qiymatini toping.

Javob oldik. Ushbu fraktsiyani kamaytirish tavsiya etiladi. Kasrni 2 ga kamaytirish mumkin. Keyin yakuniy yechim quyidagi shaklni oladi:

Bu iborani yarim pitsadan pitsa olish deb tushunish mumkin. Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Bu yarmidan uchdan ikki qismini qanday olish mumkin? Avval siz bu yarmini uchta teng qismga bo'lishingiz kerak:

Va bu uchta bo'lakdan ikkitasini oling:

Biz pizza tayyorlaymiz. Pitsa uch qismga bo'linganda qanday ko'rinishini eslang:

Ushbu pizzaning bir bo'lagi va biz olgan ikkita bo'lak bir xil o'lchamlarga ega bo'ladi:

Boshqacha qilib aytganda, biz bir xil o'lchamdagi pizza haqida gapiramiz. Shuning uchun ifodaning qiymati

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:

3-misol. Ifodaning qiymatini toping

Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi, lekin qisqartirilsa yaxshi bo'lardi. Bu kasrni kamaytirish uchun uni sanoqchi va maxrajning gcd ga bo'lish kerak. Shunday qilib, 105 va 450 raqamlarining gcd ni topamiz:

(105 va 150) uchun GCD 15 ga teng

Endi javobimizning pay va maxrajini gcd ga ajratamiz:

Butun sonni kasr shaklida ifodalash

O'zaro raqamlar

Endi biz matematikadan juda qiziq mavzu bilan tanishamiz. Bu "teskari raqamlar" deb ataladi.

Ta'rif. Raqamga teskari a ga ko'paytirilganda bu raqam a birini beradi.

Keling, ushbu ta'rifda o'zgaruvchi o'rniga almashtiraylik a 5 raqami va ta'rifni o'qishga harakat qiling:

Raqamga teskari 5 ga ko'paytirilganda bu raqam 5 birini beradi.

5 ga ko'paytirilganda bitta bo'ladigan sonni topish mumkinmi? Bu mumkin ekan. Keling, beshni kasr sifatida tasavvur qilaylik:

Keyin bu kasrni o'z-o'zidan ko'paytiring, faqat pay va maxrajni almashtiring. Boshqacha qilib aytganda, kasrni o'ziga ko'paytiring, faqat teskari:

Buning natijasida nima bo'ladi? Agar biz ushbu misolni hal qilishda davom etsak, biz bittasini olamiz:

Bu shuni anglatadiki, 5 raqamining teskarisi raqamdir, chunki 5 ni ko'paytirganda bitta bo'ladi.

Raqamning o'zaro nisbati boshqa har qanday butun son uchun ham topilishi mumkin.

3 ning o'zaro nisbati kasrdir
4 ning teskarisi kasrdir

Boshqa har qanday kasrning teskarisini ham topishingiz mumkin. Buning uchun uni ag'daring.

Butun sonni kasrga ko'paytirish qiyin ish emas. Ammo maktabda siz tushungan, lekin keyin unutgan nozikliklar bor.

Butun sonni kasrga qanday ko'paytirish kerak - bir nechta shartlar

Numerator va maxraj nima ekanligini va to'g'ri kasr noto'g'ri kasrdan qanday farq qilishini eslasangiz, ushbu paragrafni o'tkazib yuboring. Bu nazariyani butunlay unutganlar uchun.

Numerator - bu kasrning yuqori qismi - biz ajratayotgan narsamiz. Maxraj pastroq. Bu biz ajratadigan narsadir.
To'g'ri kasr - ayiruvchisi maxrajidan kichik bo'lgan kasr. Noto'g'ri kasr - bu uning soni maxrajidan katta yoki teng bo'lgan kasrdir.

Butun sonni kasrga qanday ko'paytirish kerak

Butun sonni kasrga ko'paytirish qoidasi juda oddiy - biz raqamni butun songa ko'paytiramiz, lekin maxrajga tegmang. Masalan: ikki beshdan birga ko'paytiriladi - biz beshdan ikkini olamiz. To'rtdan uchta o'n oltiga ko'paytirilsa, o'n ikki o'n oltiga teng.

Kamaytirish

Ikkinchi misolda olingan kasrni kamaytirish mumkin.
Bu nima degani? E'tibor bering, bu kasrning soni ham, maxraji ham to'rtga bo'linadi. Ikkala sonni umumiy bo'luvchiga bo'lish kasrni kamaytirish deyiladi. Biz to'rtdan uch qismini olamiz.

Noto'g'ri fraktsiyalar

Ammo to'rtni beshdan ikkiga ko'paytiramiz deylik. Bu sakkizdan beshdan iborat bo'lib chiqdi. Bu noto'g'ri fraktsiya.
Bu, albatta, to'g'ri shaklga keltirilishi kerak. Buni amalga oshirish uchun siz undan butun qismini tanlashingiz kerak.
Bu erda siz qoldiq bilan bo'linishdan foydalanishingiz kerak. Qoldiq sifatida bitta va uchtani olamiz.
Bir butun va beshdan uch bizning to'g'ri kasrdir.

O'ttiz besh sakkizni to'g'ri shaklga keltirish biroz qiyinroq.Sakkizga bo'linadigan o'ttiz yettiga eng yaqin raqam o'ttiz ikkidir. Bo'linganda biz to'rtta olamiz. O'ttiz beshdan o'ttiz ikkini ayirib, uchtani olamiz. Natija: to'rtta butun va sakkizdan uch.

Numerator va maxrajning tengligi. Va bu erda hamma narsa juda oddiy va chiroyli. Agar hisob va maxraj teng bo'lsa, natija bitta bo'ladi.

Kasrni kasrga yoki kasrni raqamga to'g'ri ko'paytirish uchun siz oddiy qoidalarni bilishingiz kerak. Endi biz ushbu qoidalarni batafsil tahlil qilamiz.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish.

Kasrni kasrga ko'paytirish uchun siz bu kasrlarning numeratorlari va maxrajlarining mahsulotini hisoblashingiz kerak.

\ (\ bf \ frac (a) (b) \ marta \ frac (c) (d) = \ frac (a \ marta c) (b \ marta d) \\\)

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Biz birinchi kasrning ayiruvchisini ikkinchi kasrning soniga ko'paytiramiz va birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ham ko'paytiramiz.

\ (\ frac (6) (7) \ marta \ frac (2) (3) = \ frac (6 \ marta 2) (7 \ marta 3) = \ frac (12) (21) = \ frac (4 \ marta 3) (7 \ marta 3) = \ frac (4) (7) \\\)

Kasr $\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\$ 3 ga kamaytirildi.

Kasrni songa ko'paytirish.

Birinchidan, qoidani eslaylik, har qanday son kasr sifatida ifodalanishi mumkin $\bf n = \frac(n)(1)$ .

Keling, ko'paytirishda ushbu qoidadan foydalanamiz.

$5 \marta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \marta \frac(4)(7) = \frac(5 \marta 4)(1 \marta 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\$

Noto'g'ri kasr $\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\$ aralash kasrga aylantirildi.

Boshqa so'z bilan, Raqamni kasrga ko'paytirishda biz sonni hisob raqamiga ko'paytiramiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz. Misol:

\ (\ frac (2) (5) \ marta 3 = \ frac (2 \ marta 3) (5) = \ frac (6) (5) = 1 \ frac (1) (5) \\\\) $\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\$

Aralash kasrlarni ko'paytirish.

Aralash kasrlarni ko'paytirish uchun avval har bir aralash kasrni noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatish kerak, keyin esa ko'paytirish qoidasidan foydalaning. Numeratorni ayiruvchiga, maxrajni esa maxrajga ko'paytiramiz.

Misol:
$2\frac(1)(4) \marta 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \frac(23)(6) = \frac(9 \marta 23) (4 \ marta 6) = \ frac (3 \ marta \ rang (qizil) (3) \ marta 23) (4 \ marta 2 \ marta \ rang (qizil) (3)) = \ frac (69) (8) = 8\frac(5)(8)\\$

O'zaro kasrlar va sonlarni ko'paytirish.

$\bf \frac(a)(b)$ kasr a≠0,b≠0 berilgan $\bf \frac(b)(a)\ kasrning teskarisi.
\(\bf \frac(a)(b)$ va $\bf \frac(b)(a)$ kasrlar o'zaro kasrlar deyiladi. O'zaro kasrlarning mahsuloti 1 ga teng.
$\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\$

Misol:
\ (\ frac (5) (9) \ marta \ frac (9) (5) = \ frac (45) (45) = 1 \\\)

Tegishli savollar:
Kasrni kasrga qanday ko'paytirish kerak?
Javob: Oddiy kasrlarning ko‘paytmasi hisobni ayiruvchiga, maxrajni ayiruvchiga ko‘paytirishdir. Aralash fraksiyalarning mahsulotini olish uchun ularni noto'g'ri kasrga aylantirish va qoidalarga muvofiq ko'paytirish kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni qanday ko'paytirish mumkin?
Javob: kasrlar bir xil yoki turli xil maxrajlarga ega bo'lishidan qat'i nazar, ko'payish ayirboshlovchili ayiruvchining, maxrajining maxrajining ko'paytmasini topish qoidasiga ko'ra amalga oshiriladi.

Aralash kasrlarni qanday ko'paytirish kerak?
Javob: birinchi navbatda, aralash kasrni noto'g'ri kasrga aylantirishingiz kerak va keyin ko'paytirish qoidalaridan foydalanib mahsulot toping.

Raqamni kasrga qanday ko'paytirish kerak?
Javob: biz raqamni raqam bilan ko'paytiramiz, lekin maxrajni bir xil qoldiramiz.

1-misol:
Mahsulotni hisoblang: a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)$ b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Yechim:
a) \ (\ frac (8) (9) \ marta \ frac (7) (11) = \ frac (8 \ marta 7) (9 \ marta 11) = \ frac (56) (99) \\\\ \)
b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( qizil) (5)) (3 \ marta \ rang (qizil) (5) \ marta 13) = \ frac (4) (39) $

2-misol:
Son va kasrning ko‘paytmalarini hisoblang: a) $3 \times \frac(17)(23)$ b) $\frac(2)(3) \times 11$

Yechim:
a) $3 \marta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \marta \frac(17)(23) = \frac(3 \marta 17)(1 \marta 23) = \ frac (51) (23) = 2 \ frac (5) (23) \\\$
b) $\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)$

3-misol:
$\frac(1)(3)$ kasrning teskarisini yozing?
Javob: $\frac(3)(1) = 3$

4-misol:
Ikki o'zaro teskari kasrning ko'paytmasini hisoblang: a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)$

Yechim:
a) $\ frac (104) (215) \ marta \ frac (215) (104) = 1$

5-misol:
O'zaro kasrlar bo'lishi mumkin:
a) to'g'ri kasrlar bilan bir vaqtda;
b) bir vaqtda noto'g'ri kasrlar;
v) bir vaqtda natural sonlar?

Yechim:
a) birinchi savolga javob berish uchun misol keltiramiz. $\frac(2)(3)$ kasr to'g'ri, uning teskari qismi $\frac(3)(2)$ - noto'g'ri kasrga teng bo'ladi. Javob: yo'q.

b) kasrlarning deyarli barcha sanablarida bu shart bajarilmaydi, lekin bir vaqtning o'zida noto'g'ri kasr bo'lish shartini bajaradigan ba'zi sonlar mavjud. Masalan, noto'g'ri kasr $\frac(3)(3)$, teskari kasr $\frac(3)(3)$ ga teng. Biz ikkita noto'g'ri kasrni olamiz. Javob: hisob va maxraj teng bo'lganda har doim ham ma'lum sharoitlarda emas.

c) natural sonlar - biz hisoblashda ishlatadigan raqamlar, masalan, 1, 2, 3, .... Agar $3 = \frac(3)(1)$ sonini olsak, uning teskari qismi $\frac(1)(3)$ bo'ladi. $\frac(1)(3)$ kasr natural son emas. Agar biz barcha raqamlarni ko'rib chiqsak, sonning o'zaro nisbati har doim kasr bo'ladi, 1 dan tashqari. Agar 1 raqamini olsak, uning o'zaro ulushi $\frac(1)(1) = \frac(1) bo'ladi. )(1) = 1$. 1 raqami natural sondir. Javob: ular bir vaqtning o'zida faqat bitta holatda natural sonlar bo'lishi mumkin, agar bu raqam 1 bo'lsa.

6-misol:
Aralash kasrlar ko‘paytmasini bajaring: a) $4 \times 2\frac(4)(5)$ b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Yechim:
a) $4 \qat 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \marta \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\$
b) $1\frac(1)(4) \marta 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)$

7-misol:
Bir vaqtning o'zida ikkita o'zaro aralash raqamlar bo'lishi mumkinmi?

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. $1\frac(1)(2)\ aralash kasrni olaylik, uning teskari kasrini topamiz, buning uchun uni noto'g'ri kasrga aylantiramiz \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) $ . Uning teskari kasri $\frac(2)(3)$ ga teng bo'ladi. $\frac(2)(3)$ kasr to'g'ri kasrdir. Javob: O'zaro teskari bo'lgan ikkita kasr bir vaqtning o'zida aralash raqamlar bo'la olmaydi.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Plastinada olmaning $\frac(1)(3)$ qismi bo'lsin. Biz uning $\frac(1)(2)$ qismini topishimiz kerak. Kerakli qism $\frac(1)(3)$ va $\frac(1)(2)$ kasrlarini ko'paytirish natijasidir. Ikki oddiy kasrni ko'paytirish natijasi oddiy kasrdir.

Ikki oddiy kasrni ko'paytirish

Oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasi:

Kasrni kasrga ko'paytirish natijasi ko'paytirilayotgan kasrlar sonining ko'paytmasiga teng bo'lgan kasrdir va maxraji esa maxrajlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi:

1-misol

$\frac(3)(7)$ va $\frac(5)(11)$ umumiy kasrlarni ko'paytirishni bajaring.

Yechim.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Javob:$\frac(15)(77)$

Agar kasrlarni ko'paytirish natijasida kamaytiriladigan yoki noto'g'ri kasr paydo bo'lsa, uni soddalashtirishingiz kerak.

2-misol

$\frac(3)(8)$ va $\frac(1)(9)$ kasrlarini ko'paytiring.

Yechim.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Natijada, biz kamaytiriladigan kasrga ega bo'ldik ($3$ ga bo'lish asosida. Kasrning soni va maxraji $3$ ga bo'linadi, biz quyidagilarga erishamiz:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Qisqa yechim:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Javob:$\frac(1)(24).$

Kasrlarni ko'paytirishda siz ularning ko'paytmasini topmaguningizcha, son va maxrajlarni kamaytirishingiz mumkin. Bunda kasrning hisoblagichi va maxraji oddiy omillarga ajraladi, shundan keyin takrorlanuvchi omillar bekor qilinadi va natija topiladi.

3-misol

$\frac(6)(75)$ va $\frac(15)(24)$ kasrlarning mahsulotini hisoblang.

Yechim.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish formulasidan foydalanamiz:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Shubhasiz, pay va maxrajda $2$, $3$ va $5$ raqamlariga juft boʻlib kamaytirilishi mumkin boʻlgan raqamlar mavjud. Paytuvchi va maxrajni oddiy ko‘paytiruvchilarga ajratamiz va kamaytiramiz:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Javob:$\frac(1)(20).$

Kasrlarni ko'paytirishda siz kommutativ qonunni qo'llashingiz mumkin:

Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish

Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish qoidasi:

Kasrni natural songa ko‘paytirish natijasi bu kasr bo‘lib, unda ayiruvchi ko‘paytirilayotgan kasrning payini natural songa, maxraji esa ko‘paytirilgan kasrning maxrajiga teng bo‘ladi:

bu yerda $\frac(a)(b)$ oddiy kasr, $n$ natural son.

4-misol

$\frac(3)(17)$ kasrini $4$ ga ko'paytiring.

Yechim.

Oddiy kasrni natural songa ko‘paytirish qoidasidan foydalanamiz:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Javob:$\frac(12)(17).$

Ko'paytirish natijasini kasrning kamaytirilishi yoki noto'g'ri kasr bilan tekshirishni unutmang.

5-misol

$\frac(7)(15)$ kasrni $3$ soniga ko'paytiring.

Yechim.

Kasrni natural songa ko‘paytirish formulasidan foydalanamiz:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ raqamiga bo'lish orqali biz hosil bo'lgan kasrni kamaytirish mumkinligini aniqlashimiz mumkin:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Natijada noto'g'ri kasr paydo bo'ldi. Keling, butun qismni tanlaymiz:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Qisqa yechim:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Kasrlarni pay va maxrajdagi sonlarni ularning koeffitsientlari bilan tub omillarga almashtirish orqali ham kamaytirish mumkin. Bunday holda, yechim quyidagicha yozilishi mumkin:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Javob:$1\frac(2)(5).$

Kasrni natural songa ko'paytirishda siz kommutativ qonundan foydalanishingiz mumkin:

Kasrlarni bo'lish

Bo'lish operatsiyasi ko'paytirishning teskari qismidir va uning natijasi ikki kasrning ma'lum mahsulotini olish uchun ma'lum kasrni ko'paytirish kerak bo'lgan kasrdir.

Ikki oddiy kasrni bo'lish

Oddiy kasrlarni bo'lish qoidasi: Shubhasiz, hosil bo'lgan kasrning soni va maxrajini koeffitsientlarga ajratish va kamaytirish mumkin:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Natijada biz noto'g'ri kasrni olamiz, undan butun qismni tanlaymiz:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Javob:$1\frac(5)(9).$