Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz " tenglamalarni yechish" Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishdik va ular bilan tanishishga o'tamiz kvadrat tenglamalar.
Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini, u umumiy shaklda qanday yozilishini ko'rib chiqamiz va tegishli ta'riflarni beramiz. Shundan so'ng, biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tekshirish uchun misollardan foydalanamiz. Keyinchalik, biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildiz formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari
Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida suhbatni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va qisqartirilmagan, shuningdek, to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.
Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari
Ta'rif.
Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - ba'zi sonlar, a esa nolga teng emas.
Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Bu kvadrat tenglamaning bo'lishi bilan bog'liq algebraik tenglama ikkinchi daraja.
Belgilangan ta'rif bizga kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. Bular kvadrat tenglamalar.
Ta'rif.
Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a·x 2 +b·x+c=0, va a koeffitsienti birinchi yoki eng yuqori deyiladi yoki x 2 koeffitsienti, b ikkinchi koeffitsient yoki x koeffitsienti, c esa erkin haddir. .
Masalan, 5 x 2 −2 x −3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5 ga, ikkinchi koeffitsient −2 ga, erkin had esa −3 ga teng. Iltimos, shuni yodda tutingki, b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lganda, yuqoridagi misoldagi kabi, kvadrat tenglamaning qisqa shakli 5 x 2 +(−2 ) emas, balki 5 x 2 −2 x−3=0 ni tashkil qiladi. ·x+(−3)=0 .
Shuni ta'kidlash kerakki, a va/yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lganda, ular odatda kvadrat tenglamada aniq mavjud emas, bu bunday yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y koeffitsienti esa −1 ga teng.
Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar
Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.
Ta'rif.
Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi berilgan kvadrat tenglama. Aks holda, kvadrat tenglama bo'ladi tegmagan.
Bu taʼrifga koʻra kvadrat tenglamalar x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 va hokazo. – berilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. 5 x 2 −x−1=0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.
Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan ikkala tomonni etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama boshlang'ich qisqartirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.
Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday amalga oshirilishiga misolni ko'rib chiqaylik.
Misol.
3 x 2 +12 x−7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.
Yechim.
Biz faqat dastlabki tenglamaning ikkala tomonini etakchi koeffitsient 3 ga bo'lishimiz kerak, u nolga teng emas, shuning uchun biz ushbu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 bor, bu bir xil, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, keyin esa (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, bu yerdan. Shunday qilib biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.
Javob:
To'liq va to'liqsiz kvadrat tenglamalar
Kvadrat tenglamaning ta'rifi a≠0 shartini o'z ichiga oladi. Bu shart a x 2 + b x + c = 0 tenglama kvadrat bo'lishi uchun zarur, chunki a = 0 bo'lganda, u haqiqatda b x + c = 0 ko'rinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.
b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liq emas deb ataladi.
Ta'rif.
a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar b, c koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lsa.
O'z navbatida
Ta'rif.
To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.
Bunday nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamalardan oydinlashadi.
Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a·x 2 +0·x+c=0 ko'rinishini oladi va u a·x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a·x 2 +b·x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni a·x 2 +b·x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.
Demak, x 2 +x+1=0 va −2 x 2 −5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalar.
Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish
Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uch turi:
- a·x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
- b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
- va c=0 bo'lganda ax·x 2 +b·x=0.
Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda ko'rib chiqaylik.
a x 2 = 0
b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a·x 2 =0 tenglama har ikki qismni nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish yo'li bilan asl nusxadan olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 =0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 =0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo‘q, bu har qanday nolga teng bo‘lmagan p son uchun p 2 >0 tengsizlik o‘rinli ekanligi bilan izohlanadi, ya’ni p≠0 uchun p 2 =0 tenglikka hech qachon erishilmaydi.
Demak, a·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning bitta ildizi x=0.
Misol tariqasida −4 x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini beramiz. U x 2 =0 tenglamaga ekvivalent, uning yagona ildizi x=0, shuning uchun dastlabki tenglama bitta nol ildizga ega.
Bu holda qisqacha yechim quyidagicha yozilishi mumkin:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.
a x 2 +c=0
Endi b koeffitsienti nolga teng va c≠0 bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz. Bizga ma’lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi ishorali ko‘chirish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo‘lmagan songa bo‘lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirishimiz mumkin:
- c ni o'ng tomonga siljiting, bu a x 2 =−c tenglamani beradi,
- va ikkala tomonni a ga bo'lamiz, olamiz.
Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifodaning qiymati manfiy (masalan, a=1 va c=2 bo'lsa) yoki ijobiy (masalan, a=−2 va c=6 bo'lsa) bo'lishi mumkin. u holda ), u nolga teng emas, chunki c≠0 sharti bilan. Biz holatlarni alohida tahlil qilamiz va.
Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.
Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bu holda, agar haqida eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki . Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Keling buni bajaramiz.
Hozirgina e'lon qilingan tenglamaning ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Aytaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli yana bitta x 2 ildizi bor. Ma'lumki, uning ildizlarini x o'rniga tenglamaga qo'yish tenglamani to'g'ri sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va −x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari to'g'ri sonli tengliklarni davr bo'yicha ayirishni bajarishga imkon beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 -x 2 2 =0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallar xossalari hosil bo‘lgan tenglikni (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, natijaviy tenglikdan x 1 −x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0, ya’ni bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 =−x 1 kelib chiqadi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.
Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent.
- ildizlari yo'q, agar,
- ikkita ildizga ega va agar .
a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liqsiz kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqamiz.
9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9 x 2 =−7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomon manfiy songa ega bo'lgani uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7 = 0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.
Yana −x 2 +9=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani yechamiz. To'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: −x 2 =−9. Endi ikkala tomonni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, undan biz yoki degan xulosaga kelamiz. Keyin yakuniy javobni yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=−3.
a x 2 +b x=0
c=0 uchun oxirgi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullanish qoladi. a x 2 + b x = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi. faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu bizga dastlabki toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamadan x·(a·x+b)=0 koʻrinishdagi ekvivalent tenglamaga oʻtish imkonini beradi. Va bu tenglama x=0 va a·x+b=0 ikkita tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, ikkinchisi chiziqli va x=−b/a ildizga ega.
Demak, a·x 2 +b·x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=−b/a.
Materialni birlashtirish uchun biz ma'lum bir misolning echimini tahlil qilamiz.
Misol.
Tenglamani yeching.
Yechim.
Qavs ichidan x ni olish tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani yechamiz: , va aralash sonni oddiy kasrga bo‘lib, ni topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .
Kerakli amaliyotni qo'lga kiritgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:
Javob:
x=0, .
Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi
Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , Qayerda D=b 2 −4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Kirish asosan shuni anglatadi.
Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda undan qanday foydalanishni bilish foydalidir. Keling, buni aniqlaylik.
Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish
a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, bir nechta ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:
- Bu tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada quyidagi kvadrat tenglama hosil bo'ladi.
- Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
- Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazish mumkin, bizda .
- Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .
Natijada, biz a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent tenglamaga erishamiz.
Oldingi paragraflarda biz ko'rib chiqqanimizda, biz o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qilganmiz. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:
- bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
- bo'lsa, u holda tenglama , shuning uchun, ko'rinishga ega bo'ladi, undan uning yagona ildizi ko'rinadi;
- agar , keyin yoki , yoki ga bir xil bo'lsa, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.
Shunday qilib, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi va shuning uchun dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4·a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4·a·c ifoda belgisi bilan belgilanadi. Bu b 2 −4 a c ifodasi chaqirildi kvadrat tenglamaning diskriminanti va xat bilan belgilanadi D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga asoslanib, ular kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlariga egami yoki yo'qmi, agar shunday bo'lsa, ularning soni qancha - bir yoki ikkita degan xulosaga kelishadi.
Keling, tenglamaga qaytaylik va uni diskriminant belgisi yordamida qayta yozamiz: . Va biz xulosa chiqaramiz:
- agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
- nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki, ularni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni kengaytirib, umumiy maxrajga keltirgandan so'ng, olamiz.
Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular quyidagicha ko'rinadi, bu erda D diskriminant D=b 2 −4·a·c formula bilan hisoblanadi.
Ularning yordami bilan musbat diskriminant yordamida kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan ildizning bir xil qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga harakat qilganda, biz salbiy sonning kvadrat ildizini chiqarishga duch kelamiz, bu bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadi. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, biz olingan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.
Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi
Amalda, kvadrat tenglamalarni yechishda, ularning qiymatlarini hisoblash uchun darhol ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish bilan ko'proq bog'liq.
Biroq, maktab algebra kursida biz odatda kompleks haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida gapiramiz. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishdan oldin, avval diskriminantni topib, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin), va shundan keyingina ildizlarning qiymatlarini hisoblang.
Yuqoridagi mulohazalar bizga yozishga imkon beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglamani yechish uchun quyidagilar zarur:
- D=b 2 −4·a·c diskriminant formulasidan foydalanib, uning qiymatini hisoblang;
- agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
- formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0;
- diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.
Bu erda shuni ta'kidlaymizki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin, u bilan bir xil qiymat beradi;
Kvadrat tenglamalarni echish algoritmidan foydalanish misollariga o'tishingiz mumkin.
Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar
Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqamiz. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Keling, boshlaymiz.
Misol.
x 2 +2·x−6=0 tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim.
Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1, b=2 va c=−6. Algoritmga ko'ra, buning uchun birinchi navbatda diskriminantni hisoblashingiz kerak, biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildiz formulasi yordamida topamiz, biz olamiz, bu erda hosil bo'lgan ifodalarni bajarish orqali soddalashtirishingiz mumkin multiplikatorni ildiz belgisidan tashqariga ko'chirish keyin fraktsiyaning kamayishi:
Javob:
Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.
Misol.
−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tenglamani yeching.
Yechim.
Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni,
Javob:
x=3,5.
Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalarni yechish masalasini ko'rib chiqish qoladi.
Misol.
5·y 2 +6·y+2=0 tenglamani yeching.
Yechim.
Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5, b=6 va c=2. Biz bu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtiramiz, bizda bor D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.
Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formulani qo'llaymiz va bajaramiz. murakkab sonlar bilan amallar:
Javob:
haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .
Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktabda ular odatda darhol haqiqiy ildizlar yo'qligini va murakkab ildizlar topilmasligini ko'rsatadigan javobni yozadilar.
Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi
Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D=b 2 −4·a·c ixchamroq shakldagi formulani olish imkonini beradi, bu sizga kvadrat tenglamalarni x uchun teng koeffitsientli (yoki oddiygina a bilan) yechish imkonini beradi. 2·n ko'rinishga ega bo'lgan koeffitsient, masalan, 14· ln5=2·7·ln5). Keling, uni tashqariga chiqaraylik.
Aytaylik, a x 2 +2 n x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Biz bilgan formuladan foydalanib uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:
n 2 −a c ifodasini D 1 deb belgilaymiz (ba’zan D “ deb ham ko‘rsatiladi).Unda ikkinchi koeffitsienti 2 n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi ko‘rinishga ega bo‘ladi. 
, bu yerda D 1 =n 2 -a·c.
D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko‘rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglamaning ildizlari mavjudligi yoki yo'qligining ko'rsatkichidir.
Demak, ikkinchi koeffitsienti 2·n bo'lgan kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi
- D 1 =n 2 −a·c ni hisoblang;
- Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
- Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.
Keling, ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolni hal qilishni ko'rib chiqaylik.
Misol.
5 x 2 −6 x −32=0 kvadrat tenglamani yeching.
Yechim.
Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(−3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya’ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, bu yerda a=5, n=−3 va c=−32 ko‘rinishda qayta yozib, to‘rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:
E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak bo'ladi.
Javob:
Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish
Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi?" Degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 −400 x−600=0 ga qaraganda 11 x 2 −4 x−6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.
Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish har ikki tomonni ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish yo'li bilan erishiladi. Masalan, oldingi bandda 1100 x 2 −400 x −600=0 tenglamasini ikkala tomonni 100 ga bo‘lish orqali soddalashtirish mumkin edi.
Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala tomoni odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo‘lsak, ekvivalent 2 x 2 −7 x+8=0 kvadrat tenglamaga erishamiz.
Va kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bilan amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala tomoni LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq x 2 +4·x−18=0 ko'rinishini oladi.
Ushbu fikrni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, ular deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'lishadi, bu ikkala tomonni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2 x 2 −3 x+7=0 kvadrat tenglamadan 2 x 2 +3 x−7=0 yechimga o‘tadi.
Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik
Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalaydi. Ildiz formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.
Veta teoremasidan eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar va shakldadir. Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin hadga teng. Masalan, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kvadrat tenglamaning shakliga qarab, darhol uning ildizlari yig'indisi 7/3 ga, ildizlarning ko'paytmasi esa 22 ga teng ekanligini aytishimiz mumkin. /3.
Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bir qator boshqa bog'lanishlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari orqali ifodalash mumkin: .
Adabiyotlar ro'yxati.
- Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
Shakl tenglamasi
Ifoda D= b 2
- 4 ac chaqirdi diskriminant kvadrat tenglama. AgarD = 0, u holda tenglama bitta haqiqiy ildizga ega; agar D> 0 bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi.
Bo'lgan holatda D = 0
, ba'zan kvadrat tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb aytiladi.
Belgilanishdan foydalanish D= b 2
- 4 ac, formulani (2) shaklida qayta yozishimiz mumkin
Agar b= 2k, keyin (2) formula quyidagi shaklni oladi:
Qayerda k= b / 2
.
Oxirgi formula, ayniqsa, bunday hollarda qulaydir b / 2
- butun son, ya'ni. koeffitsienti b- juft son.
1-misol: Tenglamani yeching 2
x 2
-
5 x +
2
=
0
. Bu yerga a = 2, b = -5, c = 2. Bizda ... bor D= b 2
-
4 ac =
(-5) 2-
4*2*2
=
9
. Chunki D >
0
, u holda tenglamaning ikkita ildizi bor. Keling, ularni formuladan foydalanib topamiz (2)
Shunday qilib x 1
=(5 + 3) / 4 = 2, x 2
=(5 - 3) / 4 = 1 / 2
,
ya'ni x 1
=
2
Va x 2
=
1
/
2
- berilgan tenglamaning ildizlari.
2-misol: Tenglamani yeching 2
x 2
- 3 x + 5 = 0
. Bu yerga a = 2, b = -3, c = 5. Diskriminantni topish D= b 2
-
4 ac =
(-3) 2- 4*2*5 = -31
. Chunki D 0
, u holda tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.
Tugallanmagan kvadrat tenglamalar.
Agar kvadrat tenglamada bo'lsa bolta 2
+bx+c =0
ikkinchi koeffitsient b yoki bepul a'zo c nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama chaqiriladi to'liqsiz. To'liq bo'lmagan tenglamalar ajratiladi, chunki ularning ildizlarini topish uchun kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanish shart emas - uning chap tomonini koeffitsientlash orqali tenglamani yechish osonroq.
1-misol: tenglamani yeching 2
x 2
- 5 x = 0
.
Bizda ... bor x(2 x - 5) = 0
. Shunday ham x = 0
, yoki 2
x - 5 = 0
, ya'ni x =
2.5
. Shunday qilib, tenglamaning ikkita ildizi bor: 0
Va 2.5
2-misol: tenglamani yeching 3
x 2
- 27 = 0
.
Bizda ... bor 3
x 2
= 27
. Demak, bu tenglamaning ildizlari 3
Va -3
.
Vyeta teoremasi. Agar qisqartirilgan kvadrat tenglama bo'lsa x 2 +px+q =0 haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, unda ularning yig'indisi teng bo'ladi - p, va mahsulot teng q, ya'ni
x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q
(yuqoridagi kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng).
Kvadrat tenglama - yechish oson! *Bundan keyin “KU” deb yuritiladi. Do'stlar, matematikada bunday tenglamani echishdan oddiyroq narsa bo'lishi mumkin emasdek tuyuladi. Lekin bir narsa menga ko'p odamlar u bilan muammolar borligini aytdi. Men Yandex oyiga qancha talab bo'yicha taassurot berishini ko'rishga qaror qildim. Mana nima bo'ldi, qarang:
Bu nima degani? Bu shuni anglatadiki, har oyda 70 000 ga yaqin odam ushbu ma'lumotni qidiradi va bu yoz va o'quv yilida nima bo'ladi - ikki barobar ko'p so'rovlar bo'ladi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki uzoq vaqt oldin maktabni tugatgan va Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rayotgan yigit-qizlar ushbu ma'lumotni izlaydilar va maktab o'quvchilari ham xotiralarini yangilashga intilishadi.
Ushbu tenglamani qanday hal qilishni aytadigan ko'plab saytlar mavjudligiga qaramay, men ham o'z hissamni qo'shishga va materialni nashr etishga qaror qildim. Birinchidan, men ushbu so'rov asosida saytimga tashrif buyuruvchilar kelishini xohlayman; ikkinchidan, boshqa maqolalarda "KU" mavzusi paydo bo'lganda, men ushbu maqolaga havola beraman; uchinchidan, men sizga uning yechimi haqida odatda boshqa saytlarda aytilganidan ko'ra bir oz ko'proq gapirib beraman. Qani boshladik! Maqolaning mazmuni:
Kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:
Bu erda a koeffitsientlari,bva c ixtiyoriy sonlar, a≠0 bilan.
Maktab kursida material quyidagi shaklda beriladi - tenglamalar uchta sinfga bo'linadi:
1. Ularning ikkita ildizi bor.
2. *Faqat bitta ildizga ega bo'ling.
3. Ularning ildizlari yo'q. Bu erda ularning haqiqiy ildizlari yo'qligini alohida ta'kidlash kerak
Ildizlar qanday hisoblanadi? Shunchaki!
Biz diskriminantni hisoblaymiz. Ushbu "dahshatli" so'z ostida juda oddiy formula yotadi:
Ildiz formulalari quyidagicha:
*Ushbu formulalarni yoddan bilishingiz kerak.
Siz darhol yozib olishingiz va hal qilishingiz mumkin:
Misol:
1. Agar D > 0 bo‘lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi.
2. Agar D = 0 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.
3. Agar D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Keling, tenglamani ko'rib chiqaylik:
Shu munosabat bilan, diskriminant nolga teng bo'lganda, maktab kursi bitta ildiz olinganligini aytadi, bu erda u to'qqizga teng. Hammasi to'g'ri, shunday, lekin...
Bu fikr biroz noto'g'ri. Aslida, ikkita ildiz bor. Ha, ha, hayron bo'lmang, siz ikkita teng ildiz olasiz va matematik jihatdan aniq bo'lsak, javob ikkita ildiz yozishi kerak:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ammo bu shunday - kichik bir chekinish. Maktabda siz uni yozib, bitta ildiz borligini aytishingiz mumkin.
Endi keyingi misol:
Ma'lumki, manfiy sonning ildizini olish mumkin emas, shuning uchun bu holatda hech qanday yechim yo'q.
Bu butun qaror jarayoni.
Kvadrat funksiya.
Bu yechim geometrik jihatdan qanday ko'rinishini ko'rsatadi. Buni tushunish juda muhim (kelajakda biz maqolalarning birida kvadrat tengsizlikning echimini batafsil tahlil qilamiz).
Bu shaklning funktsiyasi:
bu erda x va y o'zgaruvchilardir
a, b, c – berilgan raqamlar, a ≠ 0 bilan
Grafik parabola:
Ya'ni, "y" nolga teng bo'lgan kvadrat tenglamani yechish orqali biz parabolaning x o'qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Ushbu nuqtalardan ikkitasi bo'lishi mumkin (diskriminant musbat), biri (diskriminant nolga teng) va hech biri (diskriminant salbiy). Kvadrat funksiya haqida ma'lumot Ko'rishingiz mumkin Inna Feldmanning maqolasi.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol: Yechish 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Javob: x 1 = 8 x 2 = –12
*Tenglamaning chap va o'ng tomonlarini darhol 2 ga bo'lish, ya'ni soddalashtirish mumkin edi. Hisob-kitoblar osonroq bo'ladi.
2-misol: Qaror qiling x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Biz x 1 = 11 va x 2 = 11 ekanligini aniqladik
Javobda x = 11 yozish joiz.
Javob: x = 11
3-misol: Qaror qiling x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminant manfiy, haqiqiy sonlarda yechim yo'q.
Javob: yechim yo'q
Diskriminant salbiy. Yechim bor!
Bu erda biz manfiy diskriminant olingan holatda tenglamani echish haqida gapiramiz. Kompleks sonlar haqida biror narsa bilasizmi? Men bu erda ular nima uchun va qaerda paydo bo'lganligi va ularning matematikadagi o'ziga xos o'rni va zarurligi haqida batafsil ma'lumot bermayman.
Kompleks son haqida tushuncha.
Bir oz nazariya.
Kompleks z - bu shaklning soni
z = a + bi
a va b haqiqiy sonlar, i xayoliy birlik deb ataladi.
a+bi - bu qo'shimcha emas, BIR RAQAM.
Xayoliy birlik minus birning ildiziga teng:
Endi tenglamani ko'rib chiqing:
Biz ikkita konjugat ildizni olamiz.
Tugallanmagan kvadrat tenglama.
Maxsus holatlarni ko'rib chiqaylik, bu "b" yoki "c" koeffitsienti nolga teng bo'lganda (yoki ikkalasi ham nolga teng). Ularni hech qanday kamsituvchi muammolarsiz osongina hal qilish mumkin.
1-holat. koeffitsient b = 0.
Tenglama quyidagicha bo'ladi:
Keling, aylantiramiz:
Misol:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
2-holat. Koeffitsient c = 0.
Tenglama quyidagicha bo'ladi:
Keling, o'zgartiramiz va faktorlarga ajratamiz:
*Omillardan kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi.
Misol:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 yoki x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
3-holat. Koeffitsientlar b = 0 va c = 0.
Bu erda tenglamaning yechimi doimo x = 0 bo'lishi aniq.
Koeffitsientlarning foydali xossalari va naqshlari.
Katta koeffitsientli tenglamalarni echishga imkon beruvchi xususiyatlar mavjud.
Ax 2 + bx+ c=0 tenglik amal qiladi
a + b+ c = 0, Bu
- tenglamaning koeffitsientlari uchun bo'lsa Ax 2 + bx+ c=0 tenglik amal qiladi
a+ s =b, Bu
Bu xususiyatlar ma'lum turdagi tenglamani echishga yordam beradi.
1-misol: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Koeffitsientlar yig'indisi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bu degani
2-misol: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Tenglik saqlanib qoladi a+ s =b, vositalari
Koeffitsientlarning qonuniyatlari.
1. Agar ax 2 + bx + c = 0 tenglamada “b” koeffitsienti (a 2 +1) ga, “c” koeffitsienti esa son jihatdan “a” koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari teng bo'ladi.
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Misol. 6x 2 + 37x + 6 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Agar ax 2 – bx + c = 0 tenglamada “b” koeffitsienti (a 2 +1) ga, “c” koeffitsienti esa son jihatdan “a” koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari teng bo'ladi.
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Misol. 15x 2 –226x +15 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Agar tenglamada bo'lsa. ax 2 + bx – c = 0 koeffitsienti “b” ga teng (a 2 – 1) va “c” koeffitsienti son jihatdan “a” koeffitsientiga teng, keyin uning ildizlari teng bo'ladi
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Misol. 17x 2 +288x – 17 = 0 tenglamasini ko‘rib chiqaylik.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Agar ax 2 – bx – c = 0 tenglamada “b” koeffitsienti (a 2 – 1) ga, c koeffitsienti esa son jihatdan “a” koeffitsientiga teng bo‘lsa, uning ildizlari teng bo‘ladi.
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Misol. 10x 2 – 99x –10 = 0 tenglamasini ko‘rib chiqaylik.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vyeta teoremasi.
Vyeta teoremasi mashhur frantsuz matematigi Fransua Vyeta sharafiga nomlangan. Vyeta teoremasidan foydalanib, ixtiyoriy KU ildizlarining yig‘indisi va mahsulotini uning koeffitsientlari bilan ifodalashimiz mumkin.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Hammasi bo'lib, 14 raqami faqat 5 va 9 ni beradi. Bular ildizlardir. Taqdim etilgan teoremadan foydalanib, ma'lum bir mahorat bilan siz ko'plab kvadrat tenglamalarni darhol og'zaki hal qilishingiz mumkin.
Bundan tashqari, Viet teoremasi. Bu qulay, chunki kvadrat tenglamani odatdagi usulda (diskriminant orqali) yechgandan so'ng, hosil bo'lgan ildizlarni tekshirish mumkin. Men buni har doim qilishni tavsiya qilaman.
TRANSPORT USULI
Ushbu usul bilan "a" koeffitsienti erkin atama bilan ko'paytiriladi, go'yo unga "tashlangan" va shuning uchun u deyiladi. "o'tkazish" usuli. Bu usul Vyeta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini osongina topish mumkin bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.
Agar A± b+c≠ 0, keyin uzatish texnikasi ishlatiladi, masalan:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
(2) tenglamada Vyeta teoremasidan foydalanib, x 1 = 10 x 2 = 1 ekanligini aniqlash oson.
Tenglamaning hosil bo'lgan ildizlarini 2 ga bo'lish kerak (chunki ikkitasi x 2 dan "tashlangan"), biz olamiz
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Buning sababi nimada? Qarang, nima bo'lyapti.
(1) va (2) tenglamalarning diskriminantlari teng:
Agar siz tenglamalarning ildizlariga qarasangiz, siz faqat turli xil maxrajlarni olasiz va natija aniq x 2 koeffitsientiga bog'liq:
Ikkinchisining (o'zgartirilgan) ildizlari 2 barobar kattaroqdir.
Shunday qilib, natijani 2 ga bo'lamiz.
*Agar biz uchta aylantirsak, natijani 3 ga bo'lamiz va hokazo.
Javob: x 1 = 5 x 2 = 0,5
kv. ur-ie va yagona davlat imtihoni.
Men sizga uning ahamiyati haqida qisqacha aytib beraman - SIZ tez va o'ylamasdan QAROR BERISHINGIZ KERAK, ildizlar va diskriminantlarning formulalarini yoddan bilishingiz kerak. Yagona davlat imtihonining topshiriqlariga kiritilgan ko'pgina muammolar kvadrat tenglamani (geometrik bo'lganlar) echishga to'g'ri keladi.
E'tiborga loyiq narsa!
1. Tenglamani yozish shakli "yomon" bo'lishi mumkin. Masalan, quyidagi kirish mumkin:
15+ 9x 2 - 45x = 0 yoki 15x+42+9x 2 - 45x=0 yoki 15 -5x+10x 2 = 0.
Siz uni standart shaklga keltirishingiz kerak (yechishda chalkashmaslik uchun).
2. Esda tutingki, x noma'lum miqdor va uni boshqa har qanday harf bilan belgilash mumkin - t, q, p, h va boshqalar.
Kvadrat tenglama masalalari maktab dasturida ham, oliy o‘quv yurtlarida ham o‘rganiladi. Ular a*x^2 + b*x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalarni anglatadi, bu erda x- o'zgaruvchi, a, b, c – konstantalar; a<>0 . Vazifa tenglamaning ildizlarini topishdir.
Kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosi
Kvadrat tenglama bilan ifodalangan funksiyaning grafigi paraboladir. Kvadrat tenglamaning yechimlari (ildizlari) parabolaning abscissa (x) o'qi bilan kesishgan nuqtalaridir. Bundan kelib chiqadiki, uchta mumkin bo'lgan holatlar mavjud:
1) parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan nuqtalari yo'q. Bu shuni anglatadiki, u yuqori tekislikda novdalari yuqoriga yoki pastki qismida shoxlari pastga tushadi. Bunday hollarda kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas (uning ikkita murakkab ildizi bor).
2) parabola Ox o'qi bilan bitta kesishgan nuqtaga ega. Bunday nuqta parabolaning tepasi deb ataladi va undagi kvadrat tenglama uning minimal yoki maksimal qiymatini oladi. Bu holda kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga (yoki ikkita bir xil ildizga) ega.
3) Oxirgi holat amalda qiziqroq - parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan ikkita nuqtasi mavjud. Bu tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi borligini anglatadi.
O'zgaruvchilarning vakolatlari koeffitsientlarini tahlil qilish asosida parabolaning joylashuvi haqida qiziqarli xulosalar chiqarish mumkin.
1) a koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi, agar u manfiy bo'lsa, parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.
2) Agar b koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabolaning tepasi chap yarim tekislikda, agar u manfiy qiymat olsa, o'ngda yotadi.
Kvadrat tenglamani yechish formulasini chiqarish
Kvadrat tenglamadan doimiyni o'tkazamiz 
teng belgisi uchun ifodani olamiz
Ikkala tomonni 4a ga ko'paytiring 
Chap tomonda to'liq kvadrat olish uchun ikkala tomonga b ^ 2 qo'shing va transformatsiyani bajaring
Bu erdan topamiz
Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari formulasi
Diskriminant - bu radikal ifodaning qiymati, agar u musbat bo'lsa, u holda tenglama formula bo'yicha hisoblangan ikkita haqiqiy ildizga ega 
Diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta yechimga ega (ikki mos keladigan ildiz), uni D=0 uchun yuqoridagi formuladan osongina olish mumkin, agar diskriminant manfiy bo'lsa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi. Biroq, kvadrat tenglamaning yechimlari kompleks tekislikda topiladi va ularning qiymati formuladan foydalanib hisoblanadi. 
Vyeta teoremasi
Kvadrat tenglamaning ikkita ildizini ko'rib chiqamiz va ular asosida kvadrat tenglama tuzamiz. 
u holda uning ildizlari yig‘indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan p koeffitsientiga, tenglama ildizlarining ko‘paytmasi esa q erkin hadga teng bo‘ladi. Yuqoridagilarning formulali ko'rinishi shunday bo'ladi: Agar klassik tenglamada a doimiysi nolga teng bo'lmasa, unda siz butun tenglamani unga bo'lishingiz va keyin Viet teoremasini qo'llashingiz kerak.
Faktoring kvadrat tenglamalar jadvali
Vazifa qo'yilsin: kvadrat tenglamani ko'paytiring. Buning uchun birinchi navbatda tenglamani yechamiz (ildizlarni topamiz). Keyinchalik, topilgan ildizlarni kvadrat tenglamaning kengayish formulasiga almashtiramiz, bu muammoni hal qiladi.
Kvadrat tenglama masalalari
Vazifa 1. Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping
x^2-26x+120=0 .
Yechish: Koeffitsientlarni yozing va ularni diskriminant formulasiga qo'ying
Ushbu qiymatning ildizi 14 ni tashkil qiladi, uni kalkulyator yordamida topish yoki tez-tez ishlatib eslab qolish oson, ammo qulaylik uchun maqolaning oxirida men sizga tez-tez duch keladigan raqamlar kvadratlari ro'yxatini beraman. bunday muammolar.
Topilgan qiymatni ildiz formulasiga almashtiramiz 
va olamiz 
Vazifa 2. Tenglamani yeching
2x 2 +x-3=0.
Yechish: Bizda to'liq kvadrat tenglama bor, koeffitsientlarni yozing va diskriminantni toping 
Ma'lum formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz 
Vazifa 3. Tenglamani yeching
9x 2 -12x+4=0.
Yechish: Bizda to‘liq kvadrat tenglama bor. Diskriminantni aniqlash
Bizda ildizlar bir-biriga mos keladigan holat bor. Formuladan foydalanib, ildizlarning qiymatlarini toping 
Vazifa 4. Tenglamani yeching
x^2+x-6=0 .
Yechish: x uchun kichik koeffitsientlar mavjud bo'lgan hollarda Vyeta teoremasini qo'llash maqsadga muvofiqdir. Uning sharti bo'yicha biz ikkita tenglamani olamiz
Ikkinchi shartdan ko'paytma -6 ga teng bo'lishi kerakligini aniqlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlardan biri salbiy. Bizda quyidagi mumkin bo'lgan yechimlar juftligi (-3;2), (3;-2) mavjud. Birinchi shartni hisobga olgan holda, biz ikkinchi juft echimni rad etamiz.
Tenglamaning ildizlari teng
Masala 5. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri 18 sm, maydoni 77 sm 2 bo‘lsa, uning tomonlari uzunliklarini toping.
Yechish: To‘g‘ri to‘rtburchakning yarim perimetri uning qo‘shni tomonlari yig‘indisiga teng. X ni katta tomon sifatida belgilaymiz, u holda 18-x uning kichik tomonidir. To'rtburchakning maydoni ushbu uzunliklarning mahsulotiga teng:
x(18-x)=77;
yoki
x 2 -18x+77=0.
Tenglamaning diskriminantini topamiz
Tenglamaning ildizlarini hisoblash 
Agar x=11, Bu 18 = 7 , buning aksi ham to‘g‘ri (agar x=7 bo‘lsa, 21 lar=9).
6-masala. 10x 2 -11x+3=0 kvadrat tenglamani ko‘paytiring.
Yechish: Tenglamaning ildizlarini hisoblaymiz, buning uchun diskriminantni topamiz 
Topilgan qiymatni ildiz formulasiga almashtiramiz va hisoblaymiz 
Kvadrat tenglamani ildizlar bo'yicha parchalash formulasini qo'llaymiz 
Qavslarni ochib, biz shaxsni olamiz.
Parametrli kvadrat tenglama
Misol 1. Qaysi parametr qiymatlarida A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tenglama bitta ildizga egami?
Yechish: a=3 qiymatini to‘g‘ridan-to‘g‘ri almashtirsak, uning yechimi yo‘qligini ko‘ramiz. Keyinchalik, biz nol diskriminant bilan tenglama 2 ko'plikning bitta ildiziga ega ekanligidan foydalanamiz. Keling, diskriminantni yozamiz 
Keling, uni soddalashtiramiz va uni nolga tenglashtiramiz
Biz a parametriga nisbatan kvadrat tenglamani oldik, uning yechimini Vyeta teoremasi yordamida osongina olish mumkin. Ildizlarning yig'indisi 7 ga, ko'paytmasi esa 12 ga teng. Oddiy qidiruv orqali biz 3,4 raqamlari tenglamaning ildizi bo'lishini aniqlaymiz. Biz hisob-kitoblarning boshida a=3 yechimini rad etganimiz sababli, yagona to'g'ri bo'ladi - a=4. Shunday qilib, a=4 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.
Misol 2. Qaysi parametr qiymatlarida A , tenglama a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 bir nechta ildiz bormi?
Yechish: Avval birlik nuqtalarni ko'rib chiqamiz, ular a=0 va a=-3 qiymatlari bo'ladi. a=0 bo‘lganda, tenglama 6x-9=0 ko‘rinishga soddalashtiriladi; x = 3/2 va bitta ildiz bo'ladi. a= -3 uchun 0=0 o'ziga xoslikni olamiz.
Diskriminantni hisoblaylik 
a ning musbat bo‘lgan qiymatini toping 
Birinchi shartdan biz a>3 ni olamiz. Ikkinchisi uchun biz tenglamaning diskriminantini va ildizlarini topamiz 
Funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni aniqlaymiz. a=0 nuqtani almashtirib, biz hosil bo'lamiz 3>0
.
Demak, (-3;1/3) oraliqdan tashqari funktsiya manfiy. Nuqtani unutmang a=0, Buni chiqarib tashlash kerak, chunki asl tenglamada bitta ildiz bor.
Natijada muammoning shartlarini qanoatlantiradigan ikkita intervalni olamiz 
Amalda shunga o'xshash vazifalar ko'p bo'ladi, vazifalarni o'zingiz aniqlashga harakat qiling va bir-birini istisno qiladigan shartlarni hisobga olishni unutmang. Kvadrat tenglamalarni yechish formulalarini yaxshi o'rganing, ular ko'pincha turli masalalar va fanlarda hisob-kitoblarda kerak bo'ladi.
“Tenglamalarni yechish” mavzusini davom ettirsak, ushbu maqoladagi material sizni kvadrat tenglamalar bilan tanishtiradi.
Keling, hamma narsani batafsil ko'rib chiqaylik: kvadrat tenglamaning mohiyati va yozuvi, unga qo'shilgan atamalarni aniqlang, to'liq bo'lmagan va to'liq tenglamalarni echish sxemasini tahlil qiling, ildizlar va diskriminant formulasi bilan tanishing, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi bog'lanishlarni o'rnating, va, albatta, biz amaliy misollarga vizual yechim beramiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kvadrat tenglama, uning turlari
Ta'rif 1Kvadrat tenglama deb yozilgan tenglama hisoblanadi a x 2 + b x + c = 0, Qayerda x– o‘zgaruvchi, a, b va c- ba'zi raqamlar, esa a nolga teng emas.
Ko'pincha kvadrat tenglamalar ikkinchi darajali tenglamalar deb ham ataladi, chunki mohiyatan kvadrat tenglama ikkinchi darajali algebraik tenglamadir.
Berilgan taʼrifni koʻrsatish uchun misol keltiramiz: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 va boshqalar. Bular kvadrat tenglamalar.
Ta'rif 2
a, b va raqamlari c kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 + b x + c = 0, koeffitsient bo'lganda a birinchi yoki katta yoki x 2 koeffitsienti, b - ikkinchi koeffitsient yoki koeffitsient deb ataladi. x, A c bepul a'zo deb ataladi.
Masalan, kvadrat tenglamada 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 etakchi koeffitsient 6, ikkinchi koeffitsient − 2 , va erkin muddat ga teng − 11 . Keling, koeffitsientlar qachon ekanligiga e'tibor qaratamiz b va/yoki c salbiy bo'lsa, shaklning qisqa shakli ishlatiladi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, lekin emas 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Keling, bu jihatni ham aniqlaylik: agar koeffitsientlar a va/yoki b teng 1 yoki − 1 , keyin ular kvadrat tenglamani yozishda aniq ishtirok etmasligi mumkin, bu ko'rsatilgan sonli koeffitsientlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan izohlanadi. Masalan, kvadrat tenglamada y 2 − y + 7 = 0 etakchi koeffitsient 1, ikkinchi koeffitsient − 1 .
Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar
Birinchi koeffitsientning qiymatiga ko'ra kvadrat tenglamalar kichraytirilgan va kamaytirilmagan bo'linadi.
Ta'rif 3
Qisqartirilgan kvadrat tenglama yetakchi koeffitsienti 1 ga teng kvadrat tenglama. Etakchi koeffitsientning boshqa qiymatlari uchun kvadrat tenglama kamaytirilmaydi.
Misollar keltiramiz: kvadrat tenglamalar x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, ularning har birida yetakchi koeffitsient 1 ga teng.
9 x 2 − x − 2 = 0- qisqartirilmagan kvadrat tenglama, bu erda birinchi koeffitsient boshqacha 1 .
Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamani ikkala tomonni birinchi koeffitsientga (ekvivalent o'zgartirish) bo'lish yo'li bilan qisqartirilgan tenglamaga aylantirish mumkin. O'zgartirilgan tenglama berilgan qisqartirilmagan tenglama bilan bir xil ildizlarga ega bo'ladi yoki umuman ildizga ega bo'lmaydi.
Muayyan misolni ko'rib chiqish bizga qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilganga o'tishni aniq ko'rsatishga imkon beradi.
1-misol
6 x 2 + 18 x − 7 = 0 tenglamasi berilgan . Dastlabki tenglamani qisqartirilgan shaklga aylantirish kerak.
Yechim
Yuqoridagi sxema bo'yicha biz dastlabki tenglamaning ikkala tomonini etakchi koeffitsient 6 ga ajratamiz. Keyin biz olamiz: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, va bu xuddi shunday: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 va yana: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Bu yerdan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Shunday qilib, berilgan tenglamaga tenglama olinadi.
Javob: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.
To'liq va to'liqsiz kvadrat tenglamalar
Keling, kvadrat tenglamaning ta'rifiga murojaat qilaylik. Unda biz buni belgilab berdik a ≠ 0. Xuddi shunday shart tenglama uchun ham zarur a x 2 + b x + c = 0 dan beri aniq kvadrat edi a = 0 u mohiyatan chiziqli tenglamaga aylanadi b x + c = 0.
Koeffitsientlar bo'lganda b Va c nolga teng (bu alohida va birgalikda mumkin), kvadrat tenglama to'liq emas deb ataladi.
Ta'rif 4
Tugallanmagan kvadrat tenglama- shunday kvadrat tenglama a x 2 + b x + c = 0, bu erda koeffitsientlardan kamida bittasi b Va c(yoki ikkalasi) nolga teng.
To‘liq kvadrat tenglama– barcha sonli koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglama.
Keling, nima uchun kvadrat tenglamalar turlari aynan shu nomlar bilan berilganligini muhokama qilaylik.
b = 0 bo'lganda, kvadrat tenglama shaklni oladi a x 2 + 0 x + c = 0, bu bilan bir xil a x 2 + c = 0. Da c = 0 kvadrat tenglama quyidagicha yoziladi a x 2 + b x + 0 = 0, bu ekvivalent a x 2 + b x = 0. Da b = 0 Va c = 0 tenglama shaklini oladi a x 2 = 0. Biz olgan tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonida na x o‘zgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Aslida, bu fakt ushbu turdagi tenglamaga nom berdi - to'liq emas.
Masalan, x 2 + 3 x + 4 = 0 va - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 to'liq kvadrat tenglamalar; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 · x = 0 - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.
Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish
Yuqorida keltirilgan ta'rif to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning quyidagi turlarini ajratish imkonini beradi:
- a x 2 = 0, bu tenglama koeffitsientlarga mos keladi b = 0 va c = 0;
- a · x 2 + c = 0 da b = 0;
- a · x 2 + b · x = 0 da c = 0.
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning har bir turining yechimini ketma-ket ko'rib chiqamiz.
a x 2 =0 tenglamaning yechimi
Yuqorida aytib o'tilganidek, bu tenglama koeffitsientlarga mos keladi b Va c, nolga teng. Tenglama a x 2 = 0 ekvivalent tenglamaga aylantirilishi mumkin x 2 = 0, biz dastlabki tenglamaning ikkala tomonini songa bo'lish orqali olamiz a, nolga teng emas. Aniq fakt tenglamaning ildizidir x 2 = 0 bu nolga teng, chunki 0 2 = 0 . Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, uni darajaning xususiyatlari bilan izohlash mumkin: har qanday raqam uchun p, nolga teng emas, tengsizlik to'g'ri p 2 > 0, undan qachon degani kelib chiqadi p ≠ 0 tenglik p 2 = 0 hech qachon erishilmaydi.
Ta'rif 5
Shunday qilib, a x 2 = 0 to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama uchun bitta ildiz mavjud x = 0.
2-misol
Masalan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechamiz − 3 x 2 = 0. Bu tenglamaga teng x 2 = 0, uning yagona ildizi x = 0, keyin asl tenglama bitta ildizga ega - nolga teng.
Qisqacha aytganda, yechim quyidagicha yoziladi:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
a x 2 + c = 0 tenglamani yechish
Keyingi qatorda toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar yechimi joylashgan, bunda b = 0, c ≠ 0, yaʼni koʻrinishdagi tenglamalar. a x 2 + c = 0. Keling, bu tenglamani hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga ko‘chirish, ishorasini qarama-qarshi tomonga o‘zgartirish va tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo‘lmagan songa bo‘lish orqali o‘zgartiramiz:
- transfer c o'ng tomonga, bu tenglamani beradi a x 2 = - c;
- tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling a, biz x = - c a bilan yakunlaymiz.
Bizning o'zgarishlarimiz shunga mos ravishda ekvivalentdir, natijada olingan tenglama ham asl tenglamaga tengdir va bu fakt tenglamaning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi. Qadriyatlar nimadan a Va c ifodaning qiymati - c a bog'liq: u minus belgisiga ega bo'lishi mumkin (masalan, agar a = 1 Va c = 2, keyin - c a = - 2 1 = - 2) yoki ortiqcha belgisi (masalan, agar a = - 2 Va c = 6, keyin - c a = - 6 - 2 = 3); u nolga teng emas, chunki c ≠ 0. Keling, vaziyatlarda batafsilroq to'xtalib o'tamiz - c a< 0 и - c a > 0 .
Bunday holatda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p p 2 = - c a tengligi to'g'ri bo'lishi mumkin emas.
- c a > 0 bo'lganda hamma narsa boshqacha bo'ladi: kvadrat ildizni eslang va x 2 = - c a tenglamaning ildizi - c a soni bo'lishi aniq bo'ladi, chunki - c a 2 = - c a. - - c a soni ham x 2 = - c a tenglamaning ildizi ekanligini tushunish qiyin emas: haqiqatdan ham, - - c a 2 = - c a.
Tenglama boshqa ildizlarga ega bo'lmaydi. Buni qarama-qarshilik usuli yordamida ko'rsatishimiz mumkin. Boshlash uchun, keling, yuqorida topilgan ildizlar uchun belgilarni belgilaymiz x 1 Va − x 1. Faraz qilaylik, x 2 = - c a tenglamaning ham ildizi bor x 2, bu ildizlardan farq qiladi x 1 Va − x 1. Biz buni tenglamaga almashtirish orqali bilamiz x uning ildizlari, biz tenglamani adolatli sonli tenglikka aylantiramiz.
Uchun x 1 Va − x 1 yozamiz: x 1 2 = - c a , va uchun x 2- x 2 2 = - c a . Raqamli tengliklarning xususiyatlariga asoslanib, biz bir to'g'ri tenglik atamasini boshqasidan atama bo'yicha ayiramiz, bu bizga beradi: x 1 2 − x 2 2 = 0. Oxirgi tenglikni qayta yozish uchun raqamlar bilan amallar xossalaridan foydalanamiz (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ma'lumki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar raqamlardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi x 1 - x 2 = 0 va/yoki x 1 + x 2 = 0, bu bir xil x 2 = x 1 va/yoki x 2 = − x 1. Aniq qarama-qarshilik paydo bo'ldi, chunki dastlab tenglamaning ildizi kelishilgan edi x 2 dan farq qiladi x 1 Va − x 1. Demak, tenglamaning x = - c a va x = - - c a dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotladik.
Keling, yuqoridagi barcha dalillarni umumlashtiramiz.
Ta'rif 6
Tugallanmagan kvadrat tenglama a x 2 + c = 0 x 2 = - c a tenglamaga ekvivalentdir, bu:
- - c a da ildizlari bo'lmaydi< 0 ;
- ikkita ildizga ega bo'ladi x = - c a va x = - - c a uchun - c a > 0.
Keling, tenglamalarni echishga misollar keltiraylik a x 2 + c = 0.
3-misol
Kvadrat tenglama berilgan 9 x 2 + 7 = 0. Buning yechimini topish kerak.
Yechim
Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, shunda tenglama ko'rinishga ega bo'ladi 9 x 2 = − 7.
Olingan tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 9
, biz x 2 = - 7 9 ga kelamiz. O'ng tomonda biz minus belgisi bo'lgan raqamni ko'ramiz, ya'ni: berilgan tenglamaning ildizlari yo'q. Keyin asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama 9 x 2 + 7 = 0 ildizlari bo'lmaydi.
Javob: tenglama 9 x 2 + 7 = 0 ildizlari yo'q.
4-misol
Tenglamani yechish kerak − x 2 + 36 = 0.
Yechim
Keling, 36 ni o'ng tomonga o'tkazamiz: − x 2 = − 36.
Keling, ikkala qismni ham ajratamiz − 1
, olamiz x 2 = 36. O'ng tomonda ijobiy raqam bor, undan xulosa qilishimiz mumkin
x = 36 yoki
x = - 36.
Keling, ildizni chiqaramiz va yakuniy natijani yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama − x 2 + 36 = 0 ikkita ildizga ega x = 6 yoki x = − 6.
Javob: x = 6 yoki x = − 6.
a x 2 +b x=0 tenglamaning yechimi
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uchinchi turini tahlil qilaylik, qachon c = 0. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning yechimini topish a x 2 + b x = 0, faktorizatsiya usulidan foydalanamiz. Keling, tenglamaning chap tomonidagi ko'phadni qavs ichidan umumiy ko'paytuvchini olib, ko'paytmalarga ajratamiz. x. Ushbu qadam dastlabki to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani ekvivalentiga aylantirish imkonini beradi x (a x + b) = 0. Va bu tenglama, o'z navbatida, tenglamalar to'plamiga tengdir x = 0 Va a x + b = 0. Tenglama a x + b = 0 chiziqli va uning ildizi: x = - b a.
Ta'rif 7
Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 + b x = 0 ikkita ildizga ega bo'ladi x = 0 Va x = - b a.
Keling, materialni misol bilan mustahkamlaymiz.
5-misol
2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 tenglamaning yechimini topish kerak.
Yechim
Biz olib chiqamiz x qavslar tashqarisida x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 tenglamasini olamiz. Bu tenglama tenglamalarga teng x = 0 va 2 3 x - 2 2 7 = 0. Endi siz olingan chiziqli tenglamani echishingiz kerak: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Tenglamaning yechimini quyidagicha qisqacha yozing:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 yoki 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 yoki x = 3 3 7
Javob: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi
Kvadrat tenglamalar yechimlarini topish uchun ildiz formulasi mavjud:
Ta'rif 8
x = - b ± D 2 · a, bu erda D = b 2 - 4 a c– kvadrat tenglamaning diskriminanti.
X = - b ± D 2 · a ni yozish mohiyatan x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a ekanligini bildiradi.
Ushbu formula qanday olinganligini va uni qanday qo'llashni tushunish foydali bo'ladi.
Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish
Keling, kvadrat tenglamani yechish vazifasiga duch kelamiz a x 2 + b x + c = 0. Keling, bir qator ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:
- tenglamaning ikkala tomonini songa bo'ling a, noldan farq qilib, quyidagi kvadrat tenglamani olamiz: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- Olingan tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratni tanlaymiz:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Shundan so'ng, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Endi ishorani teskarisiga o'zgartirib, oxirgi ikki atamani o'ng tomonga o'tkazish mumkin, shundan so'ng biz quyidagilarni olamiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Nihoyat, oxirgi tenglikning o'ng tomonida yozilgan ifodani o'zgartiramiz:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.
Shunday qilib, biz dastlabki tenglamaga ekvivalent bo'lgan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tenglamasiga erishamiz. a x 2 + b x + c = 0.
Bunday tenglamalarning yechimini oldingi paragraflarda ko‘rib chiqdik (to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalarni yechish). Olingan tajriba x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tenglamaning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi:
- b 2 - 4 a c 4 a 2 bilan< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 bo'lganda, tenglama x + b 2 · a 2 = 0, keyin x + b 2 · a = 0 bo'ladi.
Bu yerdan yagona ildiz x = - b 2 · a aniq;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 yoki x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , bu x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 yoki x = - b 2 · a - b 2 - 4 bilan bir xil · a · c 4 · a 2, ya'ni. tenglama ikkita ildizga ega.
X + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (demak, asl tenglama) ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi b ifodaning belgisiga bog'liq degan xulosaga kelish mumkin. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o'ng tomonda yozilgan. Va bu iboraning belgisi hisoblovchining belgisi bilan beriladi, (maxraj 4 a 2 har doim ijobiy bo'ladi), ya'ni ifoda belgisi b 2 − 4 a c. Bu ifoda b 2 − 4 a c nomi berilgan - kvadrat tenglamaning diskriminanti va uning belgisi sifatida D harfi aniqlanadi. Bu erda siz diskriminantning mohiyatini yozishingiz mumkin - uning qiymati va belgisiga asoslanib, ular kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'ladimi yoki yo'qmi degan xulosaga kelishlari mumkin, agar shunday bo'lsa, ildizlar soni qancha - bir yoki ikkita.
x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tenglamasiga qaytaylik. Uni diskriminant belgilaridan foydalanib qayta yozamiz: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Keling, xulosalarimizni yana bir bor shakllantiramiz:
Ta'rif 9
- da D< 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q;
- da D=0 tenglama bitta ildizga ega x = - b 2 · a ;
- da D > 0 tenglama ikkita ildizga ega: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 yoki x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikallarning xossalariga asoslanib, bu ildizlarni quyidagicha yozish mumkin: x = - b 2 · a + D 2 · a yoki - b 2 · a - D 2 · a. Va, biz modullarni ochib, kasrlarni umumiy maxrajga keltirsak, biz quyidagilarga erishamiz: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Shunday qilib, bizning fikrimiz natijasi kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani chiqarish edi:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D formula bo'yicha hisoblanadi D = b 2 - 4 a c.
Ushbu formulalar diskriminant noldan katta bo'lganda ikkala haqiqiy ildizni aniqlash imkonini beradi. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formulani qo'llash kvadrat tenglamaning yagona yechimi bilan bir xil ildizni beradi. Diskriminant manfiy bo'lgan holatda, kvadrat ildiz formulasidan foydalanishga harakat qilsak, bizni haqiqiy sonlar doirasidan tashqariga olib chiqadigan manfiy sonning kvadrat ildizini olish zarurati bilan duch kelamiz. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, lekin biz olgan bir xil ildiz formulalari bilan aniqlangan bir juft murakkab konjugat ildizlar mumkin.
Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi
Kvadrat tenglamani darhol ildiz formulasidan foydalanib yechish mumkin, lekin bu odatda murakkab ildizlarni topish zarur bo'lganda amalga oshiriladi.
Ko'pgina hollarda, bu odatda kvadrat tenglamaning murakkab emas, balki haqiqiy ildizlarini qidirishni anglatadi. Keyin kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishdan oldin, avval diskriminantni aniqlash va uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish (aks holda biz tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelamiz) va keyin hisoblashni davom ettirish optimaldir. ildizlarning qiymati.
Yuqoridagi mulohazalar kvadrat tenglamani yechish algoritmini shakllantirish imkonini beradi.
Ta'rif 10
Kvadrat tenglamani yechish uchun a x 2 + b x + c = 0, zarur:
- formula bo'yicha D = b 2 - 4 a c diskriminant qiymatini toping;
- da D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- D = 0 uchun x = - b 2 · a formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini toping;
- D > 0 uchun x = - b ± D 2 · a formuladan foydalanib kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini aniqlang.
E'tibor bering, diskriminant nolga teng bo'lganda, siz x = - b ± D 2 · a formulasidan foydalanishingiz mumkin, u x = - b 2 · a formulasi bilan bir xil natijani beradi.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar
Keling, diskriminantning turli qiymatlari uchun misollar keltiramiz.
6-misol
Biz tenglamaning ildizlarini topishimiz kerak x 2 + 2 x − 6 = 0.
Yechim
Kvadrat tenglamaning sonli koeffitsientlarini yozamiz: a = 1, b = 2 va c = - 6. Keyinchalik biz algoritmga muvofiq davom etamiz, ya'ni. Diskriminantni hisoblashni boshlaylik, buning uchun a, b koeffitsientlarini almashtiramiz. Va c diskriminant formulasiga: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.
Shunday qilib, biz D > 0 ni olamiz, ya'ni dastlabki tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi.
Ularni topish uchun x = - b ± D 2 · a ildiz formulasidan foydalanamiz va tegishli qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: x = - 2 ± 28 2 · 1. Keling, koeffitsientni ildiz belgisidan olib, kasrni kamaytirib, olingan ifodani soddalashtiramiz:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 yoki x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 yoki x = - 1 - 7
Javob: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.
7-misol
Kvadrat tenglamani yechish kerak − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Yechim
Diskriminantni aniqlaymiz: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantning bu qiymati bilan dastlabki tenglama x = - b 2 · a formulasi bilan aniqlangan faqat bitta ildizga ega bo'ladi.
x = - 28 2 (- 4) x = 3,5
Javob: x = 3,5.
8-misol
Tenglamani yechish kerak 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Yechim
Ushbu tenglamaning raqamli koeffitsientlari: a = 5, b = 6 va c = 2 bo'ladi. Diskriminantni topish uchun biz ushbu qiymatlardan foydalanamiz: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Hisoblangan diskriminant manfiy, shuning uchun dastlabki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.
Agar vazifa murakkab ildizlarni ko'rsatish bo'lsa, biz murakkab raqamlar bilan amallarni bajarib, ildiz formulasini qo'llaymiz:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 yoki x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i yoki x = - 3 5 - 1 5 · i.
Javob: haqiqiy ildizlar yo'q; murakkab ildizlar quyidagicha: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
Maktab o'quv dasturida murakkab ildizlarni izlash bo'yicha standart talab yo'q, shuning uchun agar yechim davomida diskriminant manfiy deb aniqlansa, darhol haqiqiy ildizlar yo'qligi haqida javob yoziladi.
Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi
Ildiz formulasi x = - b ± D 2 · a (D = b 2 - 4 · a · c) boshqa ixcham formulani olish imkonini beradi, bu esa x uchun teng koeffitsientli kvadrat tenglamalar yechimlarini topish imkonini beradi. yoki 2 · n shaklidagi koeffitsient bilan, masalan, 2 3 yoki 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Keling, ushbu formula qanday olinganligini ko'rsatamiz.
a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 kvadrat tenglamaning yechimini topish vazifasi bilan duch kelamiz. Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz: D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) diskriminantni aniqlaymiz va keyin ildiz formulasidan foydalanamiz:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.
n 2 − a · c ifodasi D 1 deb belgilansin (ba’zan u D “ deb ham ko‘rsatiladi). Shunda ikkinchi koeffitsienti 2 · n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
x = - n ± D 1 a, bu erda D 1 = n 2 - a · c.
D = 4 · D 1 yoki D 1 = D 4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtdan bir qismidir. Shubhasiz, D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil, ya'ni D 1 belgisi kvadrat tenglamaning ildizlari mavjudligi yoki yo'qligining ko'rsatkichi sifatida ham xizmat qilishi mumkin.
Ta'rif 11
Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamaning yechimini topish uchun quyidagilar zarur:
- D 1 = n 2 - a · c ni toping;
- D 1 da< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 = 0 bo'lganda, x = - n a formuladan foydalanib, tenglamaning yagona ildizini aniqlang;
- D 1 > 0 uchun x = - n ± D 1 a formulasi yordamida ikkita haqiqiy ildizni aniqlang.
9-misol
5 x 2 − 6 x − 32 = 0 kvadrat tenglamani yechish kerak.
Yechim
Berilgan tenglamaning ikkinchi koeffitsientini 2 · (− 3) shaklida ifodalashimiz mumkin. Keyin berilgan kvadrat tenglamani 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 shaklida qayta yozamiz, bu erda a = 5, n = - 3 va c = - 32.
Diskriminantning to‘rtinchi qismini hisoblaymiz: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Olingan qiymat musbat, ya'ni tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni tegishli ildiz formulasi yordamida aniqlaymiz:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 yoki x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 yoki x = - 2
Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalangan holda hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkin edi, ammo bu holda yechim qiyinroq bo'ladi.
Javob: x = 3 1 5 yoki x = - 2.
Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish
Ba'zan asl tenglamaning shaklini optimallashtirish mumkin, bu esa ildizlarni hisoblash jarayonini soddalashtiradi.
Masalan, 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 kvadrat tenglamani yechish 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 dan ko‘ra qulayroq ekanligi aniq.
Ko'pincha kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala tomonini ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish orqali amalga oshiriladi. Misol uchun, yuqorida biz ikkala tomonni 100 ga bo'lish natijasida olingan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 tenglamasining soddalashtirilgan tasvirini ko'rsatdik.
Bunday o'zgartirish kvadrat tenglamaning koeffitsientlari o'zaro tub sonlar bo'lmaganda mumkin. Keyin biz odatda tenglamaning ikkala tomonini uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlarining eng katta umumiy bo'luvchisiga ajratamiz.
Misol tariqasida biz 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 kvadrat tenglamadan foydalanamiz. Keling, uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlarining GCD ni aniqlaymiz: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo'lib, 2 x 2 - 7 x + 8 = 0 ekvivalent kvadrat tenglamani olamiz.
Kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish orqali siz odatda kasr koeffitsientlaridan qutulasiz. Bunday holda, ular uning koeffitsientlarining maxrajlarining eng kichik umumiy karrali bilan ko'paytiriladi. Masalan, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 kvadrat tenglamaning har bir qismi LCM (6, 3, 1) = 6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq x 2 + 4 x ko'rinishida yoziladi. − 18 = 0.
Va nihoyat, shuni ta'kidlaymizki, biz deyarli har doim kvadrat tenglamaning birinchi koeffitsientidagi minusdan tenglamaning har bir a'zosining belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'lamiz, bunga ikkala tomonni - 1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali erishiladi. Masalan, − 2 x 2 - 3 x + 7 = 0 kvadrat tenglamadan siz uning soddalashtirilgan 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 versiyasiga o'tishingiz mumkin.
Ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi bog'liqlik
Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan kvadrat tenglamalarning ildizlari formulasi x = - b ± D 2 · a tenglamaning ildizlarini uning sonli koeffitsientlari orqali ifodalaydi. Ushbu formulaga asoslanib, biz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi boshqa bog'liqliklarni ko'rsatish imkoniyatiga egamiz.
Eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar Vyeta teoremasi:
x 1 + x 2 = - b a va x 2 = c a.
Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi qarama-qarshi ishorali ikkinchi koeffitsient bo‘lib, ildizlarning ko‘paytmasi erkin hadga teng bo‘ladi. Masalan, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 kvadrat tenglamaning ko‘rinishiga qarab, uning ildizlari yig‘indisi 7 3 ga, ildizlarning ko‘paytmasi esa 22 3 ga teng ekanligini darhol aniqlash mumkin.
Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa bir qancha bog'lanishlarni ham topishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini koeffitsientlar bilan ifodalash mumkin:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing