Oxirgi video darsda biz ma'lum bir asosning darajasi ko'rsatkichga teng miqdorda olingan asosning mahsulotini o'z-o'zidan ifodalovchi ifoda ekanligini bilib oldik. Keling, vakolatlarning eng muhim xususiyatlari va operatsiyalarini o'rganamiz.
Masalan, bir xil asosga ega bo'lgan ikkita turli darajani ko'paytiramiz:
Keling, ushbu asarni to'liq taqdim etaylik:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Ushbu ifodaning qiymatini hisoblab, biz 32 raqamini olamiz. Boshqa tomondan, xuddi shu misoldan ko'rinib turibdiki, 32 ni 5 marta olingan bir xil asosning (ikki) ko'paytmasi sifatida ko'rsatish mumkin. Va haqiqatan ham, agar hisoblasangiz, unda:
Shunday qilib, biz ishonch bilan xulosa qilishimiz mumkin:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Ushbu qoida har qanday ko'rsatkichlar va har qanday sabablar uchun muvaffaqiyatli ishlaydi. Quvvatni ko'paytirishning bu xususiyati mahsulotdagi o'zgarishlar paytida ifodalarning ma'nosi saqlanib qolishi qoidasidan kelib chiqadi. Har qanday a asosi uchun ikkita (a)x va (a)y ifodalarning ko'paytmasi a(x + y) ga teng. Boshqacha qilib aytganda, asosi bir xil bo'lgan har qanday iboralar ishlab chiqarilganda, hosil bo'lgan monomial birinchi va ikkinchi ifodalarning darajalarini qo'shish orqali hosil bo'lgan umumiy darajaga ega bo'ladi.
Taqdim etilgan qoida bir nechta ifodalarni ko'paytirishda ham ajoyib ishlaydi. Asosiy shart - hamma bir xil asoslarga ega. Masalan:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Darajalar qo'shish va, agar ularning asoslari boshqacha bo'lsa, ifodaning ikkita elementi bilan har qanday kuchga asoslangan qo'shma harakatlarni amalga oshirish mumkin emas.
Videomizdan ko'rinib turibdiki, ko'paytirish va bo'lish jarayonlarining o'xshashligi tufayli mahsulotdagi kuchlarni qo'shish qoidalari bo'linish tartibiga mukammal tarzda o'tkaziladi. Ushbu misolni ko'rib chiqing:
Keling, atama atamasini to'liq shaklga aylantiramiz va dividend va bo'luvchidagi bir xil elementlarni kamaytiramiz:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Ushbu misolning yakuniy natijasi unchalik qiziq emas, chunki uni hal qilish jarayonida ifodaning qiymati ikkining kvadratiga teng ekanligi aniq. Va bu ikkita, ikkinchi ifodaning darajasini birinchisining darajasidan ayirish orqali olinadi.
Bo'lim darajasini aniqlash uchun dividend darajasidan bo'linuvchining darajasini ayirish kerak. Qoida barcha qadriyatlar va barcha tabiiy kuchlar uchun bir xil asosda ishlaydi. Abstraksiya shaklida bizda:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Bir xil asoslarni darajalarga bo'lish qoidasidan nol daraja ta'rifi kelib chiqadi. Shubhasiz, quyidagi ifoda ko'rinadi:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
Boshqa tomondan, agar biz bo'linishni ko'proq vizual tarzda amalga oshirsak, biz quyidagilarni olamiz:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Kasrning barcha ko'rinadigan elementlarini kamaytirishda har doim 1/1 ifodasi olinadi, ya'ni bitta. Shuning uchun, nol kuchga ko'tarilgan har qanday baza birga teng ekanligi odatda qabul qilinadi:
a qiymatidan qat'iy nazar.
Biroq, agar 0 (har qanday ko'paytirish uchun hali ham 0 ni beradi) qandaydir tarzda birga teng bo'lsa, bu bema'nilik bo'lar edi, shuning uchun (0) 0 (nolning nol kuchi) ko'rinishidagi ifoda oddiygina mantiqiy emas va formula ( a) 0 = 1 shart qo'shing: "agar a 0 ga teng bo'lmasa".
Keling, mashqni hal qilaylik. Ifodaning qiymatini topamiz:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Baza hamma joyda bir xil va 34 ga teng bo'lganligi sababli, yakuniy qiymat daraja bilan bir xil bazaga ega bo'ladi (yuqoridagi qoidalarga muvofiq):
Boshqa so'zlar bilan aytganda:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Javob: ifoda bittaga teng.
Mavzu bo'yicha dars: "Bir xil va turli ko'rsatkichlar bilan darajalarni ko'paytirish va bo'lish qoidalari. Misollar"
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang. Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.
Integral onlayn do'konida 7-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Darslik uchun qo'llanma Yu.N. Makarycheva darsligi uchun qo'llanma A.G. Mordkovich
Darsning maqsadi: raqamlarning kuchlari bilan amallarni bajarishni o'rganish.
Birinchidan, "son kuchi" tushunchasini eslaylik. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ shaklining ifodasi $a^n$ sifatida ifodalanishi mumkin.
Buning aksi ham to'g'ri: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ushbu tenglik "darajani mahsulot sifatida qayd etish" deb ataladi. Bu bizga kuchlarni qanday ko'paytirish va bo'lish kerakligini aniqlashga yordam beradi.
Eslab qoling:
a- daraja asosi.
n- ko'rsatkich.
Agar n=1, bu raqamni bildiradi A bir marta oldi va shunga ko'ra: $a^n= 1$.
Agar n= 0, keyin $a^0= 1$.
Nima uchun bu sodir bo'lishini biz kuchlarni ko'paytirish va bo'linish qoidalari bilan tanishganimizda bilib olamiz.
Ko'paytirish qoidalari
a) Agar asoslari bir xil bo'lgan darajalar ko'paytirilsa.$a^n * a^m$ olish uchun darajalarni mahsulot sifatida yozamiz: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Rasmda raqam ko'rsatilgan A olganlar n+m marta, keyin $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Misol.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Bu xususiyat raqamni yuqori quvvatga ko'tarishda ishni soddalashtirish uchun foydalanish uchun qulaydir.
Misol.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Agar asoslari har xil, lekin bir xil ko'rsatkichli darajalar ko'paytirilsa.
$a^n * b^n$ olish uchun darajalarni mahsulot sifatida yozamiz: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Agar omillarni almashtirsak va natijada olingan juftliklarni hisoblasak, quyidagilarga erishamiz: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Shunday qilib, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Misol.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Bo'linish qoidalari
a) Darajaning asosi bir xil, ko‘rsatkichlari har xil.Ko'rsatkichi kattaroq bo'lgan kuchni kichikroq darajali darajaga bo'lish orqali ko'rib chiqing.
Demak, bizga kerak $\frac(a^n)(a^m)$, Qayerda n>m.
Darajani kasr shaklida yozamiz:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Qulaylik uchun bo'linishni oddiy kasr sifatida yozamiz.Endi kasrni kamaytiramiz.
Ma'lum bo'lishicha: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ma'nosi, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Bu xususiyat raqamni nol darajaga ko'tarish bilan bog'liq vaziyatni tushuntirishga yordam beradi. Buni taxmin qilaylik n=m, keyin $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Misollar.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Darajaning asoslari har xil, ko‘rsatkichlari bir xil.
Aytaylik, $\frac(a^n)( b^n)$ kerak. Raqamlarning darajalarini kasr shaklida yozamiz:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Qulaylik uchun, keling, tasavvur qilaylik.
Kasrlar xossasidan foydalanib, katta kasrni kichiklar hosilasiga ajratamiz, olamiz.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Shunga ko'ra: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Misol.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Quvvatlarni qo'shish va ayirish
Ko'rinib turibdiki, kuchga ega bo'lgan raqamlar boshqa miqdorlar kabi qo'shilishi mumkin , ularni belgilari bilan birin-ketin qo'shish orqali.
Shunday qilib, a 3 va b 2 ning yig'indisi 3 + b 2 ga teng.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 ga teng.
Imkoniyatlar bir xil o'zgaruvchilarning teng kuchlari qo'shish yoki ayirish mumkin.
Demak, 2a 2 va 3a 2 yig‘indisi 5a 2 ga teng.
Bundan tashqari, agar siz ikkita kvadrat a yoki uchta kvadrat a yoki besh kvadrat a ni olsangiz, aniq.
Ammo darajalar turli xil o'zgaruvchilar Va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilari bilan qo'shib tuzilgan bo'lishi kerak.
Shunday qilib, 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisidir.
Ko'rinib turibdiki, a ning kvadrati va a ning kubi a ning ikki barobari kvadratiga emas, balki a ning ikki barobariga teng.
3 b n va 3a 5 b 6 yig‘indisi 3 b n + 3a 5 b 6 ga teng.
Ayirish vakolatlar qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan mustasno, subtraendlarning belgilari mos ravishda o'zgartirilishi kerak.
Yoki:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Ko'paytirish kuchlari
Quvvatli sonlarni, boshqa miqdorlar kabi, ularni birin-ketin yozish orqali, orasiga koʻpaytirish belgisi qoʻyib yoki koʻpaytirmasdan koʻpaytirish mumkin.
Shunday qilib, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasi 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.
Yoki:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Oxirgi misoldagi natija bir xil o'zgaruvchilarni qo'shish orqali tartibga solinishi mumkin.
Ifoda quyidagi shaklni oladi: a 5 b 5 y 3.
Bir nechta sonlarni (o'zgaruvchilarni) darajalar bilan taqqoslab, biz ularning har qanday ikkitasi ko'paytirilsa, natijada quvvatga teng bo'lgan son (o'zgaruvchi) ekanligini ko'rishimiz mumkin. miqdori atamalar darajalari.
Demak, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining kuchi, u 2 + 3 ga teng, atamalar vakolatlari yig'indisi.
Demak, a n .a m = a m+n.
a n uchun a koeffitsient sifatida n ning kuchi qancha marta olinadi;
Va a m koeffitsient sifatida qancha marta m ga teng bo'lsa, shuncha qabul qilinadi;
Shunung uchun, bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni darajalarning ko'rsatkichlarini qo'shish orqali ko'paytirish mumkin.
Demak, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Va x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Yoki:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Ko'paytiring (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
Ko'paytiring (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Bu qoida ko'rsatkichlari bo'lgan sonlar uchun ham amal qiladi salbiy.
1. Demak, a -2 .a -3 = a -5 . Buni (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa shaklida yozish mumkin.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 bo'ladi: ya'ni
Ikki sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasi ularning kvadratlari yig'indisiga yoki farqiga teng bo'ladi.
Agar siz ko'tarilgan ikkita sonning yig'indisi va farqini ko'paytirsangiz kvadrat, natijada bu raqamlarning yig'indisi yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.
Demak, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Darajalar bo'limi
Kuchli raqamlarni boshqa raqamlar kabi dividenddan ayirish yoki kasr shaklida joylashtirish yo'li bilan bo'lish mumkin.
Shunday qilib, a 3 b 2 ni b 2 ga bo'lish a 3 ga teng.
3 ga bo'lingan 5 ni yozish $\fracga o'xshaydi $. Lekin bu 2 ga teng. Raqamlar qatorida
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
har qanday sonni boshqasiga bo'lish mumkin va ko'rsatkich teng bo'ladi farq bo'linadigan sonlarning ko'rsatkichlari.
Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi..
Demak, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ya'ni, $\frac = y$.
Va a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ya'ni, $\frac = a^n$.
Yoki:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Bu qoida bilan raqamlar uchun ham amal qiladi salbiy daraja qiymatlari.
-5 ni -3 ga bo'lish natijasi -2 bo'ladi.
Shuningdek, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 yoki $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Quvvatlarni ko'paytirish va bo'lishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday amallar algebrada juda keng qo'llaniladi.
Raqamli sonlarni o'z ichiga olgan kasrli misollarni yechish misollari
1. Ko'rsatkichlarni $\frac $ ga kamaytiring Javob: $\frac $.
2. Ko'rsatkichlarni $\frac$ ga kamaytiring. Javob: $\frac$ yoki 2x.
3. a 2 /a 3 va a -3 /a -4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
a 2 .a -4 a -2 birinchi raqam.
a 3 .a -3 0 = 1, ikkinchi numerator.
a 3 .a -4 a -1 , umumiy son.
Soddalashtirilgandan keyin: a -2 /a -1 va 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 va 2 /a 4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
Javob: 2a 3 /5a 7 va 5a 5 /5a 7 yoki 2a 3 /5a 2 va 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 ni (a - b)/3 ga ko'paytiring.
6. (a 5 + 1)/x 2 ni (b 2 - 1)/(x + a) ga ko'paytiring.
7. b 4 /a -2 ni h -3 /x va a n /y -3 ga ko'paytiring.
8. 4 /y 3 ni 3 /y 2 ga bo'ling. Javob: a/y.
Darajaning xususiyatlari
Eslatib o'tamiz, ushbu darsda biz tushunamiz darajalarning xossalari tabiiy ko'rsatkichlar va nolga teng. Ratsional darajali darajalar va ularning xossalari 8-sinf darslarida muhokama qilinadi.
Tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan kuch bir nechta muhim xususiyatlarga ega, bu bizga kuchlar bilan misollarda hisob-kitoblarni soddalashtirishga imkon beradi.
Mulk № 1
Kuchlar mahsuloti
Bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi.
a m · a n = a m + n, bu erda “a” har qanday son, “m”, “n” esa har qanday natural sonlardir.
Vakolatlarning bu xususiyati uch yoki undan ortiq vakolatlar mahsulotiga ham tegishli.
- Ifodani soddalashtiring.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Uni daraja sifatida taqdim eting.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Uni daraja sifatida taqdim eting.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Ko'rsatkichni kuch sifatida yozing
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2 - Hisoblash.
E'tibor bering, ko'rsatilgan mulkda biz faqat bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish haqida gapirgan edik. Bu ularning qo'shilishiga taalluqli emas.
Siz yig'indini (3 3 + 3 2) 3 5 bilan almashtira olmaysiz. Bu tushunarli, agar
hisoblang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 va 3 5 = 243
Mulk № 2
Qisman darajalar
Bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda asos o'zgarishsiz qoladi va bo'linuvchining ko'rsatkichi dividend darajasidan chiqariladi.
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Misol. Tenglamani yeching. Biz ko'rsatkichlar xususiyatidan foydalanamiz.
3 8: t = 3 4
Javob: t = 3 4 = 81
No1 va 2-sonli xususiyatlardan foydalanib, siz ifodalarni osongina soddalashtirishingiz va hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin.
Misol. Ifodani soddalashtiring.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Misol. Ko‘rsatkichlar xossalaridan foydalanib, ifoda qiymatini toping.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
E'tibor bering, 2-mulkda biz faqat bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash haqida gapirgan edik.
Farqni (4 3 −4 2) 4 1 bilan almashtira olmaysiz. Agar siz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 va 4 1 = 4 ni hisoblasangiz, buni tushunish mumkin.
Mulk № 3
Bir darajani kuchga ko'tarish
Darajani bir darajaga ko'tarishda daraja asosi o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.
(a n) m = a n · m, bu erda “a” har qanday son, “m”, “n” esa har qanday natural sonlardir.
Sizga shuni eslatib o'tamizki, qism kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun biz keyingi sahifada kasrni kuchga ko'tarish mavzusiga batafsil to'xtalib o'tamiz.
Quvvatlarni qanday ko'paytirish kerak
Quvvatlarni qanday ko'paytirish kerak? Qaysi kuchlarni ko'paytirish mumkin va qaysi biri mumkin emas? Raqamni kuchga qanday ko'paytirish mumkin?
Algebrada kuchlar mahsulotini ikki holatda topish mumkin:
1) darajalar bir xil asoslarga ega bo'lsa;
2) darajalar bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lsa.
Bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos bir xil bo'lishi kerak va ko'rsatkichlar qo'shilishi kerak:
Darajani bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirishda umumiy ko'rsatkich qavslardan chiqarilishi mumkin:
Keling, aniq misollar yordamida kuchlarni qanday ko'paytirishni ko'rib chiqaylik.
Birlik eksponentda yozilmaydi, lekin kuchlarni ko'paytirishda ular hisobga olinadi:
Ko'paytirishda har qanday miqdordagi kuchlar bo'lishi mumkin. Shuni esda tutish kerakki, siz harfdan oldin ko'paytirish belgisini yozishingiz shart emas:
Ifodalarda birinchi navbatda daraja ko'tariladi.
Agar siz raqamni darajaga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, avval ko'rsatkichni, keyin esa ko'paytirishni bajarishingiz kerak:
Bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish
Ushbu video darslik obuna orqali mavjud
Obunangiz bormi? Kirish uchun
Ushbu darsda biz o'xshash asoslar bilan darajalarni ko'paytirishni o'rganamiz. Birinchidan, daraja ta'rifini eslaylik va tenglikning haqiqiyligi haqida teoremani tuzamiz . Keyin aniq raqamlar bo'yicha uning qo'llanilishiga misollar keltiramiz va buni isbotlaymiz. Teoremani turli masalalarni yechishda ham qo‘llaymiz.
Mavzu: Tabiiy darajali kuch va uning xossalari
Dars: Bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish (formula)
1. Asosiy ta’riflar
Asosiy ta'riflar:
n- ko'rsatkich,
— n sonning kuchi.
2. 1-teoremaning bayoni
Teorema 1. Har qanday raqam uchun A va har qanday tabiiy n Va k tenglik to'g'ri:
Boshqacha aytganda: agar A- istalgan raqam; n Va k natural sonlar, keyin:
Shunday qilib, 1-qoida:
3. Tushuntirish vazifalari
Xulosa: maxsus holatlar 1-teoremaning to'g'riligini tasdiqladi. Keling, buni umumiy holatda, ya'ni har qanday uchun isbotlaylik A va har qanday tabiiy n Va k.
4. 1-teoremani isbotlash
Raqam berilgan A- har qanday; raqamlar n Va k - tabiiy. Isbot qiling:
Dalil daraja ta'rifiga asoslanadi.
5. 1-teorema yordamida misollar yechish
1-misol: Buni ilmiy daraja sifatida tasavvur qiling.
Quyidagi misollarni yechish uchun 1-teoremadan foydalanamiz.
va) 
6. 1-teoremani umumlashtirish
Bu erda umumlashma qo'llaniladi:
7. 1-teoremani umumlashtirish yordamida misollar yechish
8. 1-teoremadan foydalanib, turli masalalar yechish
2-misol: Hisoblang (asosiy quvvatlar jadvalidan foydalanishingiz mumkin).
A) 
(jadvalga ko'ra)
b) 
3-misol: Uni 2 ta asos bilan kuch sifatida yozing.
A) 
4-misol: Raqamning belgisini aniqlang:
, A - salbiy, chunki -13 da ko'rsatkich toq.
5-misol:(·) ni asosli sonning darajasi bilan almashtiring r:
Bizda bor, ya'ni.
9. Xulosa qilish
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar.Algebra 7. 6-nashr. M.: Ma'rifat. 2010 yil
1. Maktab yordamchisi (Manba).
1. Quvvat sifatida taqdim eting:
a B C D E) 
3. 2-asos bilan daraja sifatida yozing:
4. Sonning ishorasini aniqlang:
A) 
5. (·) ni asosli sonning darajasi bilan almashtiring r:
a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6
Ko'rsatkichlar bir xil bo'lgan darajalarni ko'paytirish va bo'lish
Ushbu darsda biz teng darajali darajalarni ko'paytirishni o'rganamiz. Birinchidan, bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish va kuchlarni kuchga oshirish haqidagi asosiy ta'rif va teoremalarni eslaylik. Keyin darajalarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish va bo'lish teoremalarini tuzamiz va isbotlaymiz. Va keyin ularning yordami bilan biz bir qator tipik muammolarni hal qilamiz.
Asosiy ta'riflar va teoremalarni eslatish
Bu yerga a- daraja asosi;
— n sonning kuchi.
Teorema 1. Har qanday raqam uchun A va har qanday tabiiy n Va k tenglik to'g'ri:
Bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, asos o'zgarishsiz qoladi.
Teorema 2. Har qanday raqam uchun A va har qanday tabiiy n Va k, shu kabi n > k tenglik to'g'ri:
Bir xil asoslar bilan darajalarni bo'lishda ko'rsatkichlar ayiriladi, ammo asos o'zgarishsiz qoladi.
Teorema 3. Har qanday raqam uchun A va har qanday tabiiy n Va k tenglik to'g'ri:
Ro'yxatda keltirilgan barcha teoremalar bir xil kuchlar haqida edi sabablari, bu darsda biz bir xil darajalarni ko'rib chiqamiz ko'rsatkichlar.
Bir xil darajalar bilan darajalarni ko'paytirishga misollar
Quyidagi misollarni ko'rib chiqing:
Darajani aniqlash uchun iboralarni yozamiz.
Xulosa: Buni misollardan ko'rish mumkin 
, lekin bu hali ham isbotlanishi kerak. Keling, teoremani shakllantiramiz va uni umumiy holatda, ya'ni har qanday uchun isbotlaymiz A Va b va har qanday tabiiy n.
4-teoremani shakllantirish va isbotlash
Har qanday raqamlar uchun A Va b va har qanday tabiiy n tenglik to'g'ri:
Isbot Teorema 4 .
Darajaning ta'rifi bo'yicha:
Shunday qilib, biz buni isbotladik .
Bir xil darajali darajalarni ko'paytirish uchun asoslarni ko'paytirish va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirish kifoya.
5-teoremani shakllantirish va isbotlash
Ko‘rsatkichlari bir xil bo‘lgan darajalarni bo‘lish teoremasini tuzamiz.
Har qanday raqam uchun A Va b() va har qanday tabiiy n tenglik to'g'ri:
Isbot Teorema 5 .
Keling, daraja ta'rifini yozamiz:
Teoremalarning so'z bilan ifodalanishi
Shunday qilib, biz buni isbotladik.
Ko'rsatkichlari bir xil bo'lgan darajalarni bir-biriga bo'lish uchun bir asosni boshqasiga bo'lish va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirish kifoya.
4-teoremadan foydalanib, tipik masalalarni yechish
1-misol: Kuchlar mahsuli sifatida mavjud.
Quyidagi misollarni yechish uchun 4-teoremadan foydalanamiz.
Quyidagi misolni hal qilish uchun formulalarni eslang:
4-teoremani umumlashtirish
4-teoremani umumlashtirish:
Umumlashtirilgan teorema 4 yordamida misollarni yechish
Oddiy muammolarni hal qilishda davom etish
2-misol: Uni mahsulotning kuchi sifatida yozing.
3-misol: Uni 2 darajali daraja sifatida yozing.
Hisoblash misollari
4-misol: Eng oqilona tarzda hisoblang.
2. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. va boshqalar.Algebra 7.M.: Ma'rifat. 2006 yil
2. Maktab yordamchisi (Manba).
1. Kuchlar mahsuli sifatida taqdim etiladi:
A) ; b) ; V); G) ;
2. Mahsulotning kuchi sifatida yozing:
3. 2-darajali daraja sifatida yozing:
4. Eng oqilona usulda hisoblang.
"Kuchlarni ko'paytirish va bo'lish" mavzusidagi matematika darsi
Bo'limlar: Matematika
Pedagogik maqsad:
Vazifalar:
O'qitishning faoliyat birliklari: natural ko'rsatkich bilan darajani aniqlash; daraja komponentlari; xususiy ta'rifi; ko'paytirishning kombinatsiya qonuni.
I. O’quvchilarning mavjud bilimlarni o’zlashtirishlarini ko’rsatishni tashkil etish. (1-qadam)
a) bilimlarni yangilash:
2) Natural ko‘rsatkich bilan daraja ta’rifini tuzing.
a n =a a a a … a (n marta)
b k =b b b b a… b (k marta) Javobni asoslang.
II. Talabaning joriy tajribaga ega bo'lish darajasini o'z-o'zini baholashni tashkil etish. (2-qadam)
O'z-o'zini tekshirish: (ikki versiyada individual ish.)
A1) 7 7 7 7 x x x mahsulotini quvvat sifatida taqdim eting:
A2) (-3) 3 x 2 kuchini mahsulot sifatida ifodalang
A3) Hisoblang: -2 3 2 + 4 5 3
Sinf darajasidagi tayyorgarlikka muvofiq testdagi topshiriqlar sonini tanlayman.
Men sizga o'z-o'zini tekshirish uchun test kalitini beraman. Mezon: o'tish - o'tish yo'q.
III. O'quv va amaliy vazifa (3-bosqich) + 4-bosqich. (talabalar o'zlari xossalarni shakllantiradilar)
1) va 2) masalalarni yechishda talabalar yechimni taklif qilishadi va men o'qituvchi sifatida sinfni bir xil asoslar bilan ko'paytirishda kuchlarni soddalashtirish yo'lini topish uchun tashkil qilaman.
O'qituvchi: bir xil asoslar bilan ko'paytirishda kuchlarni soddalashtirish usulini toping.
Klasterda yozuv paydo bo'ladi:
Dars mavzusi tuziladi. Quvvatlarni ko'paytirish.
O'qituvchi: kuchlarni bir xil asoslarga bo'lish qoidasini o'ylab toping.
Fikrlash: bo'linishni tekshirish uchun qanday harakat ishlatiladi? a 5: a 3 =? a 2 a 3 = a 5
Men diagrammaga qaytaman - klaster va yozuvga qo'shaman - .. bo'lishda biz dars mavzusini ayirib, qo'shamiz. ...va darajalar bo'linishi.
IV. Talabalarga bilim chegaralarini etkazish (minimal va maksimal darajada).
O'qituvchi: Bugungi darsning minimal vazifasi - bu ko'paytirish va bo'linish xususiyatlarini bir xil asoslar bilan qo'llashni o'rganish, maksimal vazifa esa ko'paytirish va bo'linishni birgalikda qo'llashdir.
Biz doskaga yozamiz : a m a n = a m+n; a m: a n = a m-n
V. Yangi materialni o'rganishni tashkil etish. (5-qadam)
a) Darslik bo`yicha: 403-son (a, v, e) turli matnli topshiriqlar
404-son (a, d, f) mustaqil ish, keyin o'zaro tekshirishni tashkil qilaman, kalitlarni beraman.
b) m ning qaysi qiymati uchun tenglik amal qiladi? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Topshiriq: bo'lish uchun shunga o'xshash misollar keltiring.
v) № 417 (a), № 418 (a) Talabalar uchun tuzoqlar: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.
VI. O'rganilganlarni umumlashtirish, diagnostika ishlarini o'tkazish (bu mavzuni o'rganishga o'qituvchini emas, balki talabalarni rag'batlantiradi) (6-bosqich)
Diagnostika ishlari.
Sinov(kalitlarni xamirning orqa tomoniga qo'ying).
Vazifa variantlari: x 15 qismini quvvat sifatida ifodalang: x 3; hosilani quvvat sifatida ifodalaydi (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; a 16 a m = a 32 tengligi qaysi m uchun o‘rinli? h 0 ifodaning qiymatini toping: h 2 da h = 0,2; ifoda qiymatini hisoblang (5 2 5 0) : 5 2 .
Dars xulosasi. Reflektsiya. Men sinfni ikki guruhga ajrataman.
I guruhdagi argumentlarni toping: daraja xususiyatlarini bilish foydasiga va II guruh - xususiyatlarsiz ham qila olasiz, deb aytadigan argumentlar. Biz barcha javoblarni tinglaymiz va xulosa chiqaramiz. Keyingi darslarda siz statistik ma'lumotlarni taklif qilishingiz va rubrikani "Bu ishonib bo'lmaydi!"
VII. Uy vazifasi.
Tarixiy ma'lumotnoma. Qanday raqamlar Fermat raqamlari deyiladi.
P.19. 403-son, 408-son, 417-son
Ishlatilgan kitoblar:
Darajalar xossalari, formulalar, isbotlar, misollar.
Raqamning kuchi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, sonning kuchining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajalarning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday ishlatilishini ko'rsatamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Tabiiy darajali darajalarning xossalari
Tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga ko'ra, a n kuch har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, shuningdek, foydalanish haqiqiy sonlarni ko'paytirish xossalari, biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin natural ko'rsatkichli daraja xossalari:
- agar a>0 bo'lsa, har qanday natural n soni uchun a n>0;
- agar a=0 bo'lsa, a n =0;
- a 2·m >0 bo'lsa, a 2·m−1 n bo'lsa;
- agar m va n natural sonlar m>n bo‘lsa, 0m n uchun, a>0 uchun esa a m >a n tengsizlik to‘g‘ri bo‘ladi.
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- agar n musbat butun son bo'lsa, a va b musbat sonlar va a n n va a -n >b -n;
- agar m va n butun sonlar va m>n bo‘lsa, 0m n uchun va a>1 uchun a m >a n tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Darhol ta'kidlaymizki, barcha yozma tengliklar mavjud bir xil belgilangan shartlarga muvofiq, ularning o'ng va chap qismlari ham almashtirilishi mumkin. Masalan, a m ·a n =a m+n bilan kasrning bosh xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n =a m ·a n shaklida qo‘llaniladi.
Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.
Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xossasidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.
Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, a m ·a n ko'rinishdagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar ko'paytmasi ko'paytma sifatida yozilishi mumkin. 
. Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin 
, va bu ko'paytma m+n natural ko'rsatkichli a sonining darajasi, ya'ni a m+n. Bu dalilni to'ldiradi.
Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va tabiiy darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajalarning asosiy xususiyatidan foydalanib, 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblash orqali uning haqiqiyligini tekshiramiz. Ko'rsatkichni o'tkazsak, bizda 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 va 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 ga ega bo'lamiz, chunki biz teng qiymatlarni olamiz, keyin tenglik 2 2 ·2 3 =2 5 to'g'ri va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.
Ko'paytirish xususiyatlariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.
Masalan, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Biz tabiiy ko'rsatkich bilan kuchlarning keyingi xususiyatiga o'tishimiz mumkin - asoslari bir xil bo'lgan bo'linma darajalarining xossasi: har qanday nolga teng bo‘lmagan haqiqiy son a va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik to‘g‘ri bo‘ladi.
Ushbu xususiyatning isbotini taqdim etishdan oldin, keling, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. Nolga bo'linmaslik uchun a≠0 sharti zarur, chunki 0 n =0 va bo'linish bilan tanishganimizda biz nolga bo'linmasligimizga kelishib oldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun a m−n ko‘rsatkichi natural son, aks holda u nol (m−n uchun sodir bo‘ladi) yoki manfiy son (m m−n ·a n =a (m−n) uchun sodir bo‘ladi) bo‘ladi. +n =a m.Olingan tenglikdan a m−n ·a n =a m va ko‘paytirish va bo‘lish orasidagi bog‘lanishdan kelib chiqadiki, m−n a m va n darajalar bo‘limidir.Bu bilan darajalar bo‘limlari xossasi isbotlanadi. bir xil asoslar.
Keling, misol keltiraylik. Bir xil p asoslari va natural ko'rsatkichlari 5 va 2 bo'lgan ikkita darajani olaylik, p 5:p 2 =p 5−3 =p 3 tenglik darajaning ko'rib chiqilgan xususiyatiga mos keladi.
Endi ko'rib chiqaylik mahsulot quvvat xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural kuchi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a·b) n =a n ·b n .
Darhaqiqat, bizda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifi mavjud 
. Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslanib, oxirgi mahsulot sifatida qayta yozilishi mumkin 
, bu a n · b n ga teng.
Mana bir misol: 
.
Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsulotining kuchiga tarqaladi. Ya'ni, k omillar ko'paytmasining n natural daraja xossasi (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n shaklida yoziladi.
Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning ko'paytmasi uchun 7 ning kuchiga egamiz.
Quyidagi mulk naturadagi ko'rsatkichning mulki: a va b haqiqiy sonlar, b≠0 n natural darajaga nisbati a n va b n darajalar qismiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n.
Isbotlash oldingi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Demak (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n va (a:b) n ·b n =a n tengligidan (a:b) n ning ko‘rsatkichi kelib chiqadi. bn bo'yicha a n bo'linishi.
Keling, ushbu xususiyatni misol sifatida aniq raqamlar yordamida yozamiz: 
.
Endi ovoz chiqarib aytaylik kuchni kuchga ko'tarish xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday m va n natural sonlar uchun a m ning n darajali darajasi m·n ko‘rsatkichli a sonining kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n.
Masalan, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.
Kuch-darajali mulkning isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: 
.
Ko'rib chiqilayotgan mulk bir darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik 
. Aniqlik uchun aniq raqamlar bilan misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.
Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.
Keling, nol va quvvatni natural ko‘rsatkich bilan solishtirish xossasini isbotlashdan boshlaylik.
Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini isbotlaymiz.
Ikki musbat sonning mahsuloti ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari shuni ko'rsatadiki, har qanday musbat sonlarni ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'ladi. Tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining kuchi, ta'rifiga ko'ra, har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu argumentlar har qanday musbat a asosi uchun a n darajasi musbat son ekanligini ta’kidlashga imkon beradi. Tasdiqlangan xususiyat tufayli 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 va 
.
Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n soni uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0.
Keling, darajaning salbiy asoslariga o'tamiz.
Ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaylik, uni 2·m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin 
. Salbiy sonlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, a·a ko'rinishidagi mahsulotlarning har biri a va a sonlarining mutlaq qiymatlari ko'paytmasiga teng, ya'ni u ijobiy sondir. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi 
va daraja a 2·m. Misollar keltiramiz: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .
Nihoyat, a asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda 
. Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xossa (−5) tufayli 3 17 n n n ta haqiqiy tengsizlikning chap va o‘ng tomonlari ko‘paytmasi a. tengsizliklar xossalari, a n n ko`rinishdagi isbotlanuvchi tengsizlik ham to`g`ri. Masalan, bu xossa tufayli 3 7 7 va tengsizliklar 
.
Tabiiy ko'rsatkichlari bo'lgan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslari birdan kichik bo'lgan ikkita darajaning ko'rsatkichi kichik bo'lgani katta bo'ladi; va tabiiy koʻrsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta boʻlgan ikki darajaning koʻrsatkichi katta boʻlgani katta boʻladi. Keling, ushbu mulkning isbotiga o'tamiz.
m>n va 0m n uchun buni isbotlaylik. Buning uchun a m − a n farqini yozamiz va uni nol bilan taqqoslaymiz. Qavslar ichidan n ni olgandan so'ng qayd etilgan farq a n ·(a m−n−1) ko'rinishini oladi. Olingan mahsulot a n musbat son va a m−n −1 manfiy sonning ko‘paytmasi sifatida manfiy bo‘ladi (a n musbat sonning natural kuchi sifatida musbat va a m−n −1 farqi manfiy, chunki m−n >0 m>n boshlang'ich sharti tufayli, shundan kelib chiqadiki, 0m−n birlikdan kichik bo'lganda). Shuning uchun isbotlanishi kerak bo'lgan a m −a n m n. Misol tariqasida biz to'g'ri tengsizlikni keltiramiz.
Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma musbat, chunki a>1 uchun a n daraja musbat son, a m−n −1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa daraja. a m−n bir dan katta. Binobarin, a m −a n >0 va a m >a n, bu isbotlanishi kerak edi. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.
Butun darajali darajalar xossalari
Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab oʻtilgan va isbotlangan natural koʻrsatkichli darajalarning xossalariga toʻliq mos keladi.
Biz butun manfiy ko'rsatkichli darajani, shuningdek, nol ko'rsatkichli darajani shunday aniqladikki, tenglik bilan ifodalangan tabiiy darajali darajalarning barcha xossalari o'z kuchida qoladi. Shuning uchun, bu xususiyatlarning barchasi nol ko'rsatkichlar uchun ham, manfiy ko'rsatkichlar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalarning asoslari noldan farq qiladi.
Shunday qilib, har qanday haqiqiy va nolga teng bo'lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi: butun darajali darajalarning xossalari:
a=0 bo‘lganda, a m va a n darajalari m va n ham musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina mantiqiy bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.
Ushbu xususiyatlarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun tabiiy va butun ko'rsatkichlar bilan darajalarning ta'riflaridan, shuningdek, haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya. Misol tariqasida, kuch-quvvat xususiyati ham musbat, ham musbat bo'lmagan butun sonlar uchun amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun agar p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) tengliklarni ko'rsatish kerak. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) va (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Keling buni bajaramiz.
Ijobiy p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi paragrafda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va 0·q =a 0 =1 bo'ladi, bundan (a 0) q =a 0·q. Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, (a p) 0 =1 va a p·0 =a 0 =1, bundan (a p) 0 =a p·0. Agar ikkala p=0 va q=0 bo'lsa, u holda (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0·0 =a 0 =1, bundan (a 0) 0 =a 0·0 bo'ladi.
Endi (a −p) q =a (−p)·q ekanligini isbotlaymiz. Demak, manfiy butun ko'rsatkichli kuchning ta'rifi bo'yicha 
. Quvvatlarga nisbatlar xossasi bilan bizda mavjud 
. Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda, taʼrifiga koʻra, a −(p·q) koʻrinishdagi quvvat boʻlib, uni koʻpaytirish qoidalariga koʻra (−p)·q shaklida yozish mumkin.
Xuddi shunday 
.
VA 
.
Xuddi shu printsipdan foydalanib, siz darajaning boshqa barcha xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlashingiz mumkin.
Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgi qismida har qanday manfiy butun -n va a sharti bajariladigan har qanday musbat a va b uchun amal qiladigan a -n >b -n tengsizligining isbotiga to'xtalib o'tish kerak. . Keling, ushbu tengsizlikning chap va o'ng tomonlari orasidagi farqni yozamiz va o'zgartiramiz: 
. Chunki shartga ko'ra a n n, demak, b n -a n >0. a n · b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin hosil bo'lgan kasr b n -a n va a n ·b n musbat sonlarning qismi sifatida musbat bo'ladi. Demak, a −n >b −n qaerdan kelib chiqdi, bu isbotlanishi kerak bo‘lgan narsa.
Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi natural darajali darajalarning o‘xshash xossasi kabi isbotlanadi.
Ratsional darajali darajalar xossalari
Biz kasr ko‘rsatkichi bo‘lgan darajani butun ko‘rsatkichli daraja xossalarini kengaytirish orqali aniqladik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:
- bir xil asoslarga ega bo'lgan kuchlar mahsulotining mulki
a>0 uchun va agar va bo'lsa, a≥0 uchun; - asoslari bir xil bo'lgan bo'linma darajalarining xossasi
a>0 uchun; - mahsulotning kasr darajasiga xosligi
a>0 va b>0 uchun, va agar va bo'lsa, a≥0 va (yoki) b≥0 uchun; - qismning kasr darajasiga xossasi
a>0 va b>0 uchun, va agar bo'lsa, a≥0 va b>0 uchun; - darajadan darajaga xos xususiyat
a>0 uchun va agar va bo'lsa, a≥0 uchun; - teng ratsional darajali darajalarni solishtirish xossasi: har qanday musbat a va b sonlar uchun, a 0 a p p tengsizlik rost va p p >b p uchun;
- darajalarni ratsional darajalar va teng asoslar bilan solishtirish xossasi: p va q ratsional sonlar uchun, p>q 0p q uchun, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik.
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p;
- (a:b) p =a p:b p;
- (a p) q =a p·q ;
- har qanday musbat a va b sonlar uchun a 0 a p p tengsizlik rost va p p >b p uchun;
- irratsional p va q sonlar uchun, 0p q uchun p>q, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik.
Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani aniqlashga, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlariga va butun darajali darajaning xususiyatlariga asoslanadi. Keling, dalillar keltiraylik.
Kasr ko'rsatkichli kuchning ta'rifi bo'yicha va , keyin 
. Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli darajaning xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, undan kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali biz hosil bo'lamiz. 
, va olingan daraja ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.
Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi mutlaqo o'xshash tarzda isbotlangan: 
Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar yordamida isbotlangan: 
Keling, keyingi mulkni isbotlashga o'taylik. Har qanday musbat a va b, a uchun ekanligini isbotlaymiz 0 a p p tengsizlik rost, p p >b p uchun esa. Ratsional p sonni m/n deb yozamiz, bunda m butun son, n natural son. Bu holda p 0 shartlari mos ravishda m 0 shartlariga ekvivalent bo'ladi. m>0 va am m uchun. Bu tengsizlikdan, ildizlarning xossasi bo'yicha, biz bor va a va b musbat sonlar bo'lganligi sababli, kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifiga asoslanib, hosil bo'lgan tengsizlikni, ya'ni a p p shaklida qayta yozish mumkin.
Xuddi shunday, m m >b m uchun, qaerdan, ya'ni a p >b p.
Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. p va q ratsional sonlar uchun, 0p q uchun p>q, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik ekanligini isbotlaylik. Oddiy kasrlar va ni olsak ham, p va q ratsional sonlarni har doim umumiy maxrajga keltira olamiz, bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti bir xil maxrajli oddiy kasrlarni solishtirish qoidasidan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. So'ngra, darajalarni bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyatiga ko'ra, 0m 1 m 2 va a>1 uchun a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xossalaridagi bu tengsizliklar shunga mos ravishda qayta yozilishi mumkin 
Va 
. Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi bizga tengsizliklarga o'tishga imkon beradi va shunga mos ravishda. Bu erdan yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0p q uchun, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik.
Irratsional darajali darajalar xossalari
Irratsional darajali darajani aniqlash usulidan xulosa qilishimiz mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xossalariga ega. Demak, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi irratsional darajali darajalar xossalari:
Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, a>0 uchun har qanday haqiqiy darajali p va q darajalar bir xil xususiyatlarga ega.
- Algebra - 10-sinf. Trigonometrik tenglamalar Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish" Qo'shimcha materiallar Hurmatli foydalanuvchilar o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar […]
- “SOTuvchi - MASLAHATCHI” lavozimiga tanlov ochildi: Majburiyatlari: mobil telefonlar va mobil aloqa uchun aksessuarlar sotish, Beeline, Tele2, MTS abonentlari uchun mijozlarga xizmat ko‘rsatish, Beeline va Tele2 tarif rejalari va xizmatlarini ulash, MTS konsalting [… ]
- Parallelepiped formulasi Parallelepiped - har biri parallelogramm bo'lgan 6 ta yuzli ko'pburchak. Kuboid - bu har bir yuzi to'rtburchak bo'lgan parallelepiped. Har qanday parallelepiped 3 [...] bilan tavsiflanadi.
- N VA NNNING NUTQNING TURLI QISMLARIDA IMLOSI S.G.ZELINSKAYA DIDAKTIK MATERIAL Nazariy mashq 1. Sifatlarda nn qachon yoziladi? 2. Ushbu qoidalardan istisnolarni ayting. 3. -n- qo‘shimchasi bo‘lgan og‘zaki sifatdoshni […]
- BRYANSK VILOYATI GOSTEXNADZOR INSPEKSIYASI Davlat boji to'langanligi to'g'risidagi kvitansiya (Yuklash-12,2 kb) Jismoniy shaxslar uchun ro'yxatdan o'tish uchun arizalar (Yuklash-12 kb) Yuridik shaxslar uchun ro'yxatdan o'tish uchun arizalar (Yuklash-11,4 kb) 1. Yangi avtomashinani ro'yxatdan o'tkazishda : 1.ariza 2.pasport […]
- Ostona Iste'molchilar huquqlarini himoya qilish jamiyati Saytimizda ushbu hujjatga kirish uchun pin kodini olish uchun GSM operatorlari (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) abonentlari raqamiga zan matni bilan SMS-xabar yuboring. raqamga SMS yuborish, […]
- Oilaviy mulk to'g'risidagi qonunni qabul qilish Rossiya Federatsiyasining har bir fuqarosiga yoki fuqarolarning oilasiga oilaviy mulkni rivojlantirish uchun er uchastkasini quyidagi shartlarda bepul berish to'g'risida federal qonunni qabul qiling: 1. Er uchastkasi uchun ajratilgan […]
- Pivoev V.M. Fan falsafasi va metodikasi: magistratura va aspirantlar uchun darslik Petrozavodsk: PetrSU nashriyoti, 2013. - 320 bet ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Darslik yuqori kurs talabalari, magistrlar va aspirantlar uchun mo'ljallangan. ijtimoiy va […]
Fan va matematika bo'yicha maqolalar
Bir xil asoslarga ega bo'lgan vakolatlarning xususiyatlari
Bir xil asoslar va tabiiy ko'rsatkichlarga ega bo'lgan darajalarning uchta xususiyati mavjud. Bu
Diqqatli bo'ling! ga tegishli qoidalar qo'shish va ayirish bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar mavjud emas.
Keling, ushbu xossa-qoidalarni formulalar shaklida yozamiz:
Endi ularni aniq misollar yordamida ko'rib chiqamiz va ularni isbotlashga harakat qilamiz.
5 2 × 5 3 = 5 5 - bu erda biz qoidani qo'lladik; Keling, qoidalarni bilmaganimizda, ushbu misolni qanday hal qilishimizni tasavvur qilaylik:
5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - besh kvadrat besh karra besh, kubik esa uchta beshning mahsulotidir. Natijada beshta beshlik mahsuloti bo'ladi, lekin bu beshdan beshinchi kuchga nisbatan boshqa narsa: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Keling, bo'linishni kasr shaklida yozamiz:
Uni qisqartirish mumkin: 
Natijada biz quyidagilarni olamiz: 
Shunday qilib, asoslari bir xil bo'lgan ikkita darajani bo'lishda ularning ko'rsatkichlarini ayirish kerakligini isbotladik.
Biroq, bo'lishda bo'luvchi nolga teng bo'lishi mumkin emas (chunki siz nolga bo'lolmaysiz). Bundan tashqari, biz darajalarni faqat tabiiy ko'rsatkichlar bilan ko'rib chiqayotganimiz sababli, darajalarni ayirish natijasida biz 1 dan kichik sonni ololmaymiz. Shuning uchun a m ÷ a n = a m–n formulasiga cheklovlar qo'yiladi: a ≠ 0 va m. > n.
Uchinchi xususiyatga o'tamiz:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Keling, uni kengaytirilgan shaklda yozamiz:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Mantiqiy fikr yuritib, shunday xulosaga kelishingiz mumkin. Ikki kvadratni to'rt marta ko'paytirish kerak. Lekin har bir kvadratda ikkita ikkitadan bor, ya'ni jami sakkizta ikkita bo'ladi.
Scienceland.info
Darajaning xususiyatlari
Eslatib o'tamiz, ushbu darsda biz tushunamiz darajalarning xossalari tabiiy ko'rsatkichlar va nolga teng. Ratsional darajali darajalar va ularning xossalari 8-sinf darslarida muhokama qilinadi.
Tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan kuch bir nechta muhim xususiyatlarga ega, bu bizga kuchlar bilan misollarda hisob-kitoblarni soddalashtirishga imkon beradi.
Mulk № 1
Kuchlar mahsuloti
Bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi.
a m · a n = a m + n, bu erda “a” har qanday son, “m”, “n” esa har qanday natural sonlardir.
Vakolatlarning bu xususiyati uch yoki undan ortiq vakolatlar mahsulotiga ham tegishli.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
E'tibor bering, ko'rsatilgan mulkda biz faqat bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish haqida gapirgan edik. Bu ularning qo'shilishiga taalluqli emas.
Siz yig'indini (3 3 + 3 2) 3 5 bilan almashtira olmaysiz. Bu tushunarli, agar
hisoblang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 va 3 5 = 243
Mulk № 2
Qisman darajalar
Bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda asos o'zgarishsiz qoladi va bo'linuvchining ko'rsatkichi dividend darajasidan chiqariladi.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Misol. Tenglamani yeching. Biz ko'rsatkichlar xususiyatidan foydalanamiz.
3 8: t = 3 4
Javob: t = 3 4 = 81
No1 va 2-sonli xususiyatlardan foydalanib, siz ifodalarni osongina soddalashtirishingiz va hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin.
- Misol. Ifodani soddalashtiring.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Misol. Ko‘rsatkichlar xossalaridan foydalanib, ifoda qiymatini toping.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
E'tibor bering, 2-mulkda biz faqat bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash haqida gapirgan edik.
Farqni (4 3 −4 2) 4 1 bilan almashtira olmaysiz. Agar siz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 va 4 1 = 4 ni hisoblasangiz, buni tushunish mumkin.
Mulk № 3
Bir darajani kuchga ko'tarish
Darajani bir darajaga ko'tarishda daraja asosi o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.
(a n) m = a n · m, bu erda “a” har qanday son, “m”, “n” esa har qanday natural sonlardir.
E'tibor bering, 4-sonli mulk, darajalarning boshqa xususiyatlari kabi, teskari tartibda ham qo'llaniladi.
(a n · b n)= (a · b) n
Ya'ni, darajalarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish uchun siz asoslarni ko'paytirishingiz mumkin, lekin ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldiring.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Murakkabroq misollarda, ko'paytirish va bo'lish turli asoslar va turli darajali darajalar bo'yicha bajarilishi kerak bo'lgan holatlar bo'lishi mumkin. Bunday holda, biz sizga quyidagilarni qilishni maslahat beramiz.
Masalan, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
O'nli kasrni darajaga ko'tarishga misol.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Xususiyatlari 5
Bo'limning kuchi (kasr)
Ko'rsatkichni bir darajaga ko'tarish uchun siz dividendni va bo'luvchini ushbu darajaga alohida ko'tarishingiz va birinchi natijani ikkinchisiga bo'lishingiz mumkin.
(a: b) n = a n: b n, bu erda “a”, “b” har qanday ratsional sonlar, b ≠ 0, n - har qanday natural son.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Sizga shuni eslatib o'tamizki, qism kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun biz keyingi sahifada kasrni kuchga ko'tarish mavzusiga batafsil to'xtalib o'tamiz.
Raqamlarni darajalar bilan ko'paytirish va bo'lish
Agar ma'lum bir sonni darajaga ko'tarish kerak bo'lsa, algebrada 2 dan 25 gacha natural sonlarning kuchlar jadvalidan foydalanishingiz mumkin. Endi biz batafsilroq ko'rib chiqamiz darajalarning xossalari.
Eksponensial sonlar katta imkoniyatlar ochadi, ular bizga ko'paytirishni qo'shimchaga aylantirish imkonini beradi va qo'shish ko'paytirishdan ko'ra ancha osondir. 
Misol uchun, 16 ni 64 ga ko'paytirishimiz kerak. Bu ikki raqamni ko'paytirish mahsuloti 1024. Lekin 16 4x4, 64 esa 4x4x4. Ya'ni, 16 ga 64 = 4x4x4x4x4, bu ham 1024 ga teng.
16 raqamini 2x2x2x2 va 64 raqamini 2x2x2x2x2x2 sifatida ham ko'rsatish mumkin, agar ko'paytirsak, yana 1024 ni olamiz.
Endi biz raqamni darajaga ko'tarish qoidasidan foydalanamiz. 16=4 2, yoki 2 4, 64=4 3 yoki 2 6, ayni vaqtda 1024=6 4 =4 5, yoki 2 10.
Shuning uchun bizning masalamiz boshqacha yozilishi mumkin: 4 2 x4 3 =4 5 yoki 2 4 x2 6 =2 10 va har safar biz 1024 ni olamiz.
Biz shunga o'xshash bir qancha misollarni hal qilishimiz mumkin va raqamlarni kuch bilan ko'paytirish ga kamayganini ko'rishimiz mumkin ko'rsatkichlarni qo'shish, yoki ko'rsatkichli, albatta, omillarning asoslari teng bo'lishi sharti bilan.
Shunday qilib, ko'paytirishni amalga oshirmasdan, darhol 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20 deb aytishimiz mumkin.
Bu qoida raqamlarni kuchlar bilan bo'lishda ham to'g'ri keladi, lekin bu holda bo'linuvchining ko'rsatkichi dividendning darajasidan ayiriladi. Shunday qilib, oddiy sonlarda 32:8 = 4 ga teng bo'lgan 2 5:2 3 =2 2, ya'ni 2 2. Keling, xulosa qilaylik:
a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, bu yerda m va n butun sonlar.
Bir qarashda bu shunday tuyulishi mumkin sonlarni darajalar bilan ko'paytirish va bo'lish unchalik qulay emas, chunki avval raqamni eksponensial shaklda ifodalash kerak. 8 va 16, ya'ni 2 3 va 2 4 raqamlarini bu shaklda ifodalash qiyin emas, lekin buni 7 va 17 raqamlari bilan qanday qilish mumkin? Yoki sonni eksponensial shaklda ifodalash mumkin bo'lgan hollarda nima qilish kerak, lekin sonlarning eksponensial ifodalari uchun asoslar juda boshqacha. Masalan, 8x9 2 3 x 3 2 ga teng, bu holda ko'rsatkichlarni yig'a olmaymiz. 2 5 ham, 3 5 ham javob emas, javob bu ikki raqam orasidagi intervalda yo'q.
Keyin bu usul bilan umuman bezovtalanishga arziydimi? Albatta bunga arziydi. Bu, ayniqsa, murakkab va ko'p vaqt talab qiladigan hisob-kitoblar uchun juda katta foyda keltiradi.
Hozirgacha biz ko'rsatkichni bir xil omillar soni deb hisoblardik. Bu holda ko'rsatkichning minimal qiymati 2 ga teng. Ammo, agar biz sonlarni bo'lish yoki ko'rsatkichlarni ayirish amalini bajarsak, 2 dan kichik raqamni ham olishimiz mumkin, ya'ni eski ta'rif endi bizga mos kelmaydi. Keyingi maqolada batafsil o'qing.
Quvvatlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish
Quvvatlarni qo'shish va ayirish
Ko'rinib turibdiki, kuchga ega bo'lgan raqamlar boshqa miqdorlar kabi qo'shilishi mumkin , ularni belgilari bilan birin-ketin qo'shish orqali.
Shunday qilib, a 3 va b 2 ning yig'indisi 3 + b 2 ga teng.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 ga teng.
Imkoniyatlar bir xil o'zgaruvchilarning teng kuchlari qo'shish yoki ayirish mumkin.
Demak, 2a 2 va 3a 2 yig‘indisi 5a 2 ga teng.
Bundan tashqari, agar siz ikkita kvadrat a yoki uchta kvadrat a yoki besh kvadrat a ni olsangiz, aniq.
Ammo darajalar turli xil o'zgaruvchilar Va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilari bilan qo'shib tuzilgan bo'lishi kerak.
Shunday qilib, 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisidir.
Ko'rinib turibdiki, a ning kvadrati va a ning kubi a ning ikki barobari kvadratiga emas, balki a ning ikki barobariga teng.
3 b n va 3a 5 b 6 yig‘indisi 3 b n + 3a 5 b 6 ga teng.
Ayirish vakolatlar qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan mustasno, subtraendlarning belgilari mos ravishda o'zgartirilishi kerak.
Yoki:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Ko'paytirish kuchlari
Quvvatli sonlarni, boshqa miqdorlar kabi, ularni birin-ketin yozish orqali, orasiga koʻpaytirish belgisi qoʻyib yoki koʻpaytirmasdan koʻpaytirish mumkin.
Shunday qilib, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasi 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.
Yoki:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Oxirgi misoldagi natija bir xil o'zgaruvchilarni qo'shish orqali tartibga solinishi mumkin.
Ifoda quyidagi shaklni oladi: a 5 b 5 y 3.
Bir nechta sonlarni (o'zgaruvchilarni) darajalar bilan taqqoslab, biz ularning har qanday ikkitasi ko'paytirilsa, natijada quvvatga teng bo'lgan son (o'zgaruvchi) ekanligini ko'rishimiz mumkin. miqdori atamalar darajalari.
Demak, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining kuchi, u 2 + 3 ga teng, atamalar vakolatlari yig'indisi.
Demak, a n .a m = a m+n.
a n uchun a koeffitsient sifatida n ning kuchi qancha marta olinadi;
Va a m koeffitsient sifatida qancha marta m ga teng bo'lsa, shuncha qabul qilinadi;
Shunung uchun, bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni darajalarning ko'rsatkichlarini qo'shish orqali ko'paytirish mumkin.
Demak, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Va x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Yoki:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Ko'paytiring (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
Ko'paytiring (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Bu qoida ko'rsatkichlari bo'lgan sonlar uchun ham amal qiladi salbiy.
1. Demak, a -2 .a -3 = a -5 . Buni (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa shaklida yozish mumkin.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 bo'ladi: ya'ni
Ikki sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasi ularning kvadratlari yig'indisiga yoki farqiga teng bo'ladi.
Agar siz ko'tarilgan ikkita sonning yig'indisi va farqini ko'paytirsangiz kvadrat, natijada bu raqamlarning yig'indisi yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.
Demak, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Darajalar bo'limi
Kuchli raqamlarni boshqa raqamlar kabi dividenddan ayirish yoki kasr shaklida joylashtirish yo'li bilan bo'lish mumkin.
Shunday qilib, a 3 b 2 ni b 2 ga bo'lish a 3 ga teng.
3 ga bo'lingan 5 ni yozish $\fracga o'xshaydi $. Lekin bu 2 ga teng. Raqamlar qatorida
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
har qanday sonni boshqasiga bo'lish mumkin va ko'rsatkich teng bo'ladi farq bo'linadigan sonlarning ko'rsatkichlari.
Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi..
Demak, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ya'ni, $\frac = y$.
Va a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ya'ni, $\frac = a^n$.
Yoki:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Bu qoida bilan raqamlar uchun ham amal qiladi salbiy daraja qiymatlari.
-5 ni -3 ga bo'lish natijasi -2 bo'ladi.
Shuningdek, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 yoki $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Quvvatlarni ko'paytirish va bo'lishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday amallar algebrada juda keng qo'llaniladi.
Raqamli sonlarni o'z ichiga olgan kasrli misollarni yechish misollari
1. Ko'rsatkichlarni $\frac $ ga kamaytiring Javob: $\frac $.
2. Ko'rsatkichlarni $\frac$ ga kamaytiring. Javob: $\frac$ yoki 2x.
3. a 2 /a 3 va a -3 /a -4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
a 2 .a -4 a -2 birinchi raqam.
a 3 .a -3 0 = 1, ikkinchi numerator.
a 3 .a -4 a -1 , umumiy son.
Soddalashtirilgandan keyin: a -2 /a -1 va 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 va 2 /a 4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
Javob: 2a 3 /5a 7 va 5a 5 /5a 7 yoki 2a 3 /5a 2 va 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 ni (a - b)/3 ga ko'paytiring.
6. (a 5 + 1)/x 2 ni (b 2 - 1)/(x + a) ga ko'paytiring.
7. b 4 /a -2 ni h -3 /x va a n /y -3 ga ko'paytiring.
8. 4 /y 3 ni 3 /y 2 ga bo'ling. Javob: a/y.
Daraja va uning xususiyatlari. O'rtacha darajasi.
O'z kuchingizni sinab ko'rishni va Yagona Davlat imtihoniga yoki Yagona Davlat imtihoniga qanchalik tayyor ekanligingiz natijasini bilmoqchimisiz?
Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu erda: 
Butun sonli daraja
ko'rsatkichi natural son (ya'ni, butun va musbat) bo'lgan daraja.
Ratsional darajali quvvat
daraja, ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.
Irratsional ko'rsatkichli daraja
ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.
Darajalar xossalari
Darajaning xususiyatlari.
Raqamning kuchi nima?
Ko'rsatkich qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi matematik amaldir.
Endi men hamma narsani inson tilida juda oddiy misollar yordamida tushuntiraman. Ehtiyot bo'ling. Misollar oddiy, ammo muhim narsalarni tushuntiradi.
Qo'shish bilan boshlaylik.
Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har kimda ikkita shisha kola bor. Qancha kola bor? To'g'ri - 16 shisha.
Endi ko'paytirish.
Kola bilan bir xil misol boshqacha yozilishi mumkin: . Matematiklar ayyor va dangasa odamlardir. Ular birinchi navbatda ba'zi naqshlarni payqashadi, keyin esa ularni tezroq "hisoblash" yo'lini aniqlaydilar. Bizning holatda, ular sakkiz kishining har birida bir xil miqdordagi kola idishlari borligini payqashdi va ko'paytirish deb nomlangan texnikani o'ylab topishdi. Qabul qiling, bu osonroq va tezroq hisoblanadi.
Shunday qilib, tezroq, osonroq va xatosiz hisoblash uchun siz shunchaki eslab qolishingiz kerak ko'paytirish jadvali. Albatta, siz hamma narsani sekinroq, qiyinroq va xatolar bilan qilishingiz mumkin! Lekin…
Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.
Va yana bir, yanada chiroyli:
Dangasa matematiklar yana qanday aqlli hisoblash hiylalarini o'ylab topishdi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.
Raqamni kuchga ko'tarish.
Agar raqamni besh marta ko'paytirish kerak bo'lsa, matematiklar bu raqamni beshinchi darajaga ko'tarish kerakligini aytishadi. Masalan, . Matematiklar ikkidan beshinchi darajagacha ekanligini eslashadi ... Va ular bunday muammolarni boshlarida hal qilishadi - tezroq, osonroq va xatosiz.
Sizga kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarning kuchlari jadvalida nima rang bilan ta'kidlanganligini eslang. Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.
Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deb ataladi? kvadrat raqamlar, uchinchisi - kub? Bu nima degani? Juda yaxshi savol. Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.
Haqiqiy hayot misoli №1.
Keling, sonning kvadratidan yoki ikkinchi darajasidan boshlaylik.
Bir metrga bir metr o'lchamdagi kvadrat hovuzni tasavvur qiling. Hovuz sizning dachangizda. Havo issiq va men suzishni juda xohlayman. Lekin... hovuzning tubi yo‘q! Hovuzning pastki qismini plitkalar bilan yopishingiz kerak. Sizga qancha plitka kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuzning pastki maydonini bilishingiz kerak.
Barmog'ingizni ko'rsatib oddiygina hisoblab chiqishingiz mumkin, basseynning pastki qismi metr kubiklardan iborat. Agar sizda bir metrdan bir metrga plitkalar bo'lsa, sizga bo'laklar kerak bo'ladi. Bu oson... Lekin bunday plitkalarni qayerda ko'rgansiz? Plitka katta ehtimol bilan sm sm bo'ladi, keyin esa "barmog'ingiz bilan hisoblash" bilan qiynoqqa solasiz. Keyin ko'paytirish kerak. Shunday qilib, hovuzning pastki qismining bir tomonida biz plitkalar (bo'laklar), ikkinchisida esa plitkalarni o'rnatamiz. Ko'paytiring va siz plitkalarni olasiz ().
Hovuz tubining maydonini aniqlash uchun biz bir xil sonni o'z-o'zidan ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nima degani? Biz bir xil sonni ko'paytirayotganimiz sababli, biz "eksponentsiya" texnikasidan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, sizda faqat ikkita raqam bo'lsa, siz ularni ko'paytirishingiz yoki ularni bir darajaga ko'tarishingiz kerak. Lekin agar sizda ular ko'p bo'lsa, ularni bir darajaga ko'tarish ancha oson va hisob-kitoblarda ham kamroq xatolar bo'ladi. Yagona davlat imtihoni uchun bu juda muhim).
Shunday qilib, o'ttiz ikkinchi darajaga () bo'ladi. Yoki o'ttiz kvadrat bo'ladi, deb aytishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, sonning ikkinchi darajasi har doim kvadrat shaklida ifodalanishi mumkin. Va aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz, u har doim qandaydir sonning ikkinchi darajasidir. Kvadrat sonning ikkinchi darajasining tasviridir.
Haqiqiy hayot misoli №2.
Mana sizga vazifa: raqamning kvadratidan foydalanib, shaxmat taxtasida nechta kvadrat borligini hisoblang. Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida ham. Ularning sonini hisoblash uchun sakkizni sakkizga ko'paytirish kerak yoki ... agar shaxmat taxtasi bir tomoni bo'lgan kvadrat ekanligini sezsangiz, sakkizni kvadratga olishingiz mumkin. Siz hujayralarni olasiz. () Xo'sh?
Haqiqiy hayot misoli №3.
Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar kubometr bilan o'lchanadi. Kutilmagan, to'g'rimi?) Hovuz chizing: tubi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va metr bilan metr o'lchamdagi qancha kub bo'lishini sanab ko'ring. sizning hovuzingizga mos keladi.
Barmog'ingizni ko'rsating va hisoblang! Bir, ikki, uch, to'rt... yigirma ikki, yigirma uch... Qanchadan oldingiz? Yo'qolmadimi? Barmog'ingiz bilan hisoblash qiyinmi? Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida! Matematiklardan misol keltiring. Ular dangasa, shuning uchun ular hovuz hajmini hisoblash uchun uning uzunligini, kengligini va balandligini bir-biriga ko'paytirish kerakligini payqashdi. Bizning holatda, hovuzning hajmi kublarga teng bo'ladi ... Osonroq, to'g'rimi?
Endi tasavvur qiling-a, matematiklar qanchalik dangasa va ayyor, agar ular buni ham soddalashtirsalar. Biz hamma narsani bitta harakatga qisqartirdik. Ular uzunlik, kenglik va balandlik teng ekanligini va bir xil son o'z-o'zidan ko'paytirilishini payqashdi... Bu nimani anglatadi? Bu siz diplomdan foydalanishingiz mumkinligini anglatadi. Shunday qilib, bir marta barmog'ingiz bilan hisoblagan narsangizni ular bitta harakatda bajaradilar: uchta kub teng. Bu shunday yozilgan: .
Qolgan narsa shu darajalar jadvalini eslang. Albatta, siz matematiklar kabi dangasa va ayyor bo'lmasangiz. Agar siz qattiq ishlashni va xato qilishni yoqtirsangiz, barmog'ingiz bilan hisoblashni davom ettirishingiz mumkin.
Nihoyat, sizni ilmiy darajalarni tashlab ketuvchilar va ayyor odamlar o'zlarining hayotiy muammolarini hal qilish uchun o'ylab topishganiga ishontirish uchun va sizga muammo tug'dirmaslik uchun hayotdan yana bir nechta misollar.
Haqiqiy hayot misoli №4.
Sizda million rubl bor. Har yilning boshida har bir million daromadingiz uchun yana bir million daromad olasiz. Ya'ni, har bir million sizda har yilning boshida ikki baravar ko'payadi. Yillar ichida qancha pulingiz bo'ladi? Agar siz hozir o'tirib, "barmog'ingiz bilan hisoblasangiz", unda siz juda mehnatkash odamsiz va ... ahmoqsiz. Ammo, ehtimol, siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqllisiz! Xullas, birinchi yili - ikki ikkiga ko'paytirildi ... ikkinchi yilda - nima bo'ldi, yana ikkiga, uchinchi yilda ... To'xtang! Raqam o'z-o'zidan marta ko'paytirilishini payqadingiz. Shunday qilib, ikkidan beshinchi daraja millionga teng! Endi tasavvur qiling-a, sizda raqobat bor va eng tez hisoblay oladigan kishi bu millionlarni oladi ... Raqamlarning kuchlarini esga olish kerak, shunday emasmi?
Haqiqiy hayot misoli №5.
Sizda million bor. Har yil boshida, har bir million daromadingiz uchun siz yana ikkita daromad olasiz. Ajoyib, shunday emasmi? Har million uch baravar ko'payadi. Bir yilda qancha pulingiz bo'ladi? Keling, hisoblaylik. Birinchi yil - ko'paytiring, keyin natija boshqasiga ... Bu allaqachon zerikarli, chunki siz allaqachon hamma narsani tushundingiz: uchta o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi. Shunday qilib, to'rtinchi darajaga u millionga teng. Siz faqat uchtadan to'rtinchi darajagacha yoki ekanligini yodda tutishingiz kerak.
Endi bilasizki, raqamni kuchga ko'tarib, hayotingizni ancha osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan nima qilishingiz mumkinligini va ular haqida nimani bilishingiz kerakligini batafsil ko'rib chiqaylik.
Atamalar va tushunchalar.
Shunday qilib, birinchi navbatda, tushunchalarni aniqlaymiz. Nima deb o'ylaysan, ko'rsatkich nima? Bu juda oddiy - bu raqamning kuchining "tepasida" joylashgan raqam. Ilmiy emas, lekin aniq va eslab qolish oson...
Xo'sh, ayni paytda, nima shunday daraja asosi? Bundan ham oddiyroq - bu quyida, bazada joylashgan raqam.
Mana yaxshi o'lchov uchun chizilgan.
Xo'sh, umumiy ma'noda, umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" asosi va "" ko'rsatkichli daraja "darajaga" deb o'qiladi va quyidagicha yoziladi:
"Tabiiy darajali sonning kuchi"
Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent natural sondir. Ha, lekin bu nima natural son? Boshlang'ich! Natural sonlar - ob'ektlarni sanab o'tishda sanashda qo'llaniladigan raqamlar: bir, ikki, uch ... Biz ob'ektlarni sanab o'tayotganda, biz: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Shuningdek, biz "uchdan bir" yoki "nol ball besh" demaymiz. Bu natural sonlar emas. Sizningcha, bu qanday raqamlar?
"minus besh", "minus olti", "minus etti" kabi raqamlarga ishora qiladi butun sonlar. Umuman olganda, butun sonlar barcha natural sonlarni, natural sonlarga qarama-qarshi sonlarni (ya'ni minus belgisi bilan olingan) va sonlarni o'z ichiga oladi. Nolni tushunish oson - bu hech narsa yo'q bo'lganda. Salbiy ("minus") raqamlar nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni ko'rsatish uchun ixtiro qilingan: agar sizning telefoningizda rublda balansingiz bo'lsa, bu sizning operatorga rubl qarzingiz borligini anglatadi.
Barcha kasrlar ratsional sonlardir. Sizningcha, ular qanday paydo bo'lgan? Juda oddiy. Bir necha ming yil oldin ota-bobolarimiz uzunlik, vazn, maydon va hokazolarni o'lchash uchun tabiiy raqamlar etishmasligini aniqladilar. Va ular o'ylab topishdi ratsional sonlar... Qiziq, shunday emasmi?
Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, bu cheksiz o'nli kasr. Misol uchun, agar siz aylananing atrofini uning diametriga bo'lsangiz, siz irratsional son olasiz.
Tabiiy ko'rsatkichli daraja
Ko'rsatkichi natural son (ya'ni, butun va musbat) bo'lgan daraja tushunchasini aniqlaylik.
- Birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng:
- Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
- Raqamni kub qilish uni o'ziga uch marta ko'paytirishni anglatadi:
Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:
Ko'rinib turibdiki, kuchga ega bo'lgan raqamlar boshqa miqdorlar kabi qo'shilishi mumkin , ularni belgilari bilan birin-ketin qo'shish orqali.
Shunday qilib, a 3 va b 2 ning yig'indisi 3 + b 2 ga teng.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 ga teng.
Imkoniyatlar bir xil o'zgaruvchilarning teng kuchlari qo'shish yoki ayirish mumkin.
Demak, 2a 2 va 3a 2 yig‘indisi 5a 2 ga teng.
Bundan tashqari, agar siz ikkita kvadrat a yoki uchta kvadrat a yoki besh kvadrat a ni olsangiz, aniq.
Ammo darajalar turli xil o'zgaruvchilar Va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilari bilan qo'shib tuzilgan bo'lishi kerak.
Shunday qilib, 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisidir.
Ko'rinib turibdiki, a ning kvadrati va a ning kubi a ning ikki barobari kvadratiga emas, balki a ning ikki barobariga teng.
3 b n va 3a 5 b 6 yig‘indisi 3 b n + 3a 5 b 6 ga teng.
Ayirish vakolatlar qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan mustasno, subtraendlarning belgilari mos ravishda o'zgartirilishi kerak.
Yoki:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Ko'paytirish kuchlari
Quvvatli sonlarni, boshqa miqdorlar kabi, ularni birin-ketin yozish orqali, orasiga koʻpaytirish belgisi qoʻyib yoki koʻpaytirmasdan koʻpaytirish mumkin.
Shunday qilib, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasi 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.
Yoki:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Oxirgi misoldagi natija bir xil o'zgaruvchilarni qo'shish orqali tartibga solinishi mumkin.
Ifoda quyidagi shaklni oladi: a 5 b 5 y 3.
Bir nechta sonlarni (o'zgaruvchilarni) darajalar bilan taqqoslab, biz ularning har qanday ikkitasi ko'paytirilsa, natijada quvvatga teng bo'lgan son (o'zgaruvchi) ekanligini ko'rishimiz mumkin. miqdori atamalar darajalari.
Demak, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining kuchi, 2 + 3 ga teng, atamalar vakolatlari yig'indisi.
Demak, a n .a m = a m+n.
a n uchun a koeffitsient sifatida n ning kuchi qancha marta olinadi;
Va a m koeffitsient sifatida qancha marta m ga teng bo'lsa, shuncha qabul qilinadi;
Shunung uchun, bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni darajalarning ko'rsatkichlarini qo'shish orqali ko'paytirish mumkin.
Demak, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Va x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Yoki:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Ko'paytiring (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
Ko'paytiring (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Bu qoida ko'rsatkichlari bo'lgan sonlar uchun ham amal qiladi salbiy.
1. Demak, a -2 .a -3 = a -5 . Buni (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa shaklida yozish mumkin.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 bo'ladi: ya'ni
Ikki sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasi ularning kvadratlari yig'indisiga yoki farqiga teng bo'ladi.
Agar siz ko'tarilgan ikkita sonning yig'indisi va farqini ko'paytirsangiz kvadrat, natijada bu raqamlarning yig'indisi yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.
Demak, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Darajalar bo'limi
Kuchli raqamlarni boshqa raqamlar kabi dividenddan ayirish yoki kasr shaklida joylashtirish yo'li bilan bo'lish mumkin.
Shunday qilib, a 3 b 2 ni b 2 ga bo'lish a 3 ga teng.
Yoki:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
3 ga bo'lingan 5 ni yozish $\frac(a^5)(a^3)$ga o'xshaydi. Lekin bu 2 ga teng. Raqamlar qatorida
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
har qanday sonni boshqasiga bo'lish mumkin va ko'rsatkich teng bo'ladi farq bo'linadigan sonlarning ko'rsatkichlari.
Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi..
Demak, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ya'ni, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Va a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ya'ni, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Yoki:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Bu qoida bilan raqamlar uchun ham amal qiladi salbiy daraja qiymatlari.
-5 ni -3 ga bo'lish natijasi -2 bo'ladi.
Shuningdek, $\frac(1)(aaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 yoki $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Quvvatlarni ko'paytirish va bo'lishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday amallar algebrada juda keng qo'llaniladi.
Raqamli sonlarni o'z ichiga olgan kasrli misollarni yechish misollari
1. Ko‘rsatkichlarni $\frac(5a^4)(3a^2)$ ga kamaytiring Javob: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Ko'rsatkichlarni $\frac(6x^6)(3x^5)$ ga kamaytiring. Javob: $\frac(2x)(1)$ yoki 2x.
3. a 2 /a 3 va a -3 /a -4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
a 2 .a -4 a -2 birinchi raqam.
a 3 .a -3 0 = 1, ikkinchi numerator.
a 3 .a -4 a -1 , umumiy son.
Soddalashtirilgandan keyin: a -2 /a -1 va 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 va 2 /a 4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
Javob: 2a 3 /5a 7 va 5a 5 /5a 7 yoki 2a 3 /5a 2 va 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 ni (a - b)/3 ga ko'paytiring.
6. (a 5 + 1)/x 2 ni (b 2 - 1)/(x + a) ga ko'paytiring.
7. b 4 /a -2 ni h -3 /x va a n /y -3 ga ko'paytiring.
8. 4 /y 3 ni 3 /y 2 ga bo'ling. Javob: a/y.
9. (h 3 - 1)/d 4 ni (d n + 1)/h ga bo'ling.