Yechim Biz buni kalkulyator yordamida qilamiz. Kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz: 
Asosiy A matritsa nuqtali chiziq bilan ajratilgan.Tizim tenglamalarida atamalarning mumkin boʻlgan joylashishini yodda tutgan holda, nomaʼlum tizimlarni tepaga yozamiz. Kengaytirilgan matritsaning darajasini aniqlash orqali biz bir vaqtning o'zida asosiyning darajasini topamiz. B matritsasida birinchi va ikkinchi ustunlar proportsionaldir. Ikki proportsional ustundan faqat bittasi asosiy minorga tushishi mumkin, shuning uchun keling, masalan, qarama-qarshi belgi bilan birinchi ustunni nuqta chiziqdan tashqariga o'tkazamiz. Tizim uchun bu atamalarni x 1 dan tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazishni anglatadi. 
Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat satrlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va uni tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglama bilan qo'shishni anglatadi, bu esa tenglamaning echimini o'zgartirmaydi. tizimi. Biz birinchi qator bilan ishlaymiz: matritsaning birinchi qatorini (-3) ga ko'paytiramiz va ikkinchi va uchinchi qatorlarga navbat bilan qo'shamiz. Keyin birinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing. 
Ikkinchi va uchinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini, masalan, ikkinchisini kesib tashlash mumkin. Bu tizimning ikkinchi tenglamasini kesib tashlashga teng, chunki bu uchinchisining natijasidir. 
Endi biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz: uni (-1) ga ko'paytiramiz va uchinchisiga qo'shamiz. 
Nuqta chiziq bilan aylana chizilgan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar) va nolga teng emas (u asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy, ham kengaytirilgan matritsaga tegishli, shuning uchun rangA = rangB = 3.
Kichik 
asosiy hisoblanadi. Unga x 2 , x 3 , x 4 nomaʼlumlar uchun koeffitsientlar kiradi, yaʼni x 2 , x 3 , x 4 nomaʼlumlar bogʻliq, x 1 , x 5 esa erkindir.
Matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat bazis minorini qoldiramiz (bu yuqoridagi yechim algoritmining 4-bandiga to'g'ri keladi). 
Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va shaklga ega
Noma'lumlarni yo'q qilish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz: 
, ,
Biz x 1 va x 5 bo'sh bo'lganlar orqali x 2, x 3, x 4 bog'liq o'zgaruvchilarni ifodalovchi munosabatlarni oldik, ya'ni umumiy yechim topdik: 
Erkin noma'lumlarga har qanday qiymatlarni belgilash orqali biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Keling, ikkita maxsus yechim topamiz:
1) x 1 = x 5 = 0, keyin x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 bo'lsin;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, keyin x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 qo'ying.
Shunday qilib, ikkita yechim topildi: (0,1,-3,3,0) – bitta yechim, (1,4,-7,7,-1) – boshqa yechim.
2-misol. Muvofiqlikni o'rganing, tizimning umumiy va alohida yechimini toping 
Yechim. Birinchi va ikkinchi tenglamalarni birinchi tenglamada bitta bo'lishi uchun qayta o'rnatamiz va B matritsasini yozamiz. 
Birinchi qator bilan ishlash orqali to'rtinchi ustunda nollarni olamiz: 
Endi biz ikkinchi qatordan foydalanib uchinchi ustundagi nollarni olamiz: 
Uchinchi va to'rtinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini darajani o'zgartirmasdan kesib tashlash mumkin:
Uchinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing: 
Ko'ramizki, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari 4 ga teng va daraja noma'lumlar soniga to'g'ri keladi, shuning uchun tizim o'ziga xos echimga ega:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
3-misol. Tizimning mosligini tekshiring va agar mavjud bo'lsa, yechim toping. 
Yechim. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. 
Biz birinchi ikkita tenglamani yuqori chap burchakda 1 bo'lishi uchun o'zgartiramiz:
Birinchi qatorni (-1) ga ko'paytirish, uchinchi qatorga qo'shish: 
Ikkinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va uchinchi qatorga qo'shing: 
Tizim mos kelmaydi, chunki asosiy matritsada biz nollardan tashkil topgan qatorni oldik, u daraja topilganda kesib tashlanadi, lekin kengaytirilgan matritsada oxirgi qator qoladi, ya'ni r B > r A .
Mashq qilish. Ushbu tenglamalar tizimini moslik uchun o'rganing va uni matritsa hisobi yordamida yeching.
Yechim
Misol. Chiziqli tenglamalar tizimining mosligini isbotlang va uni ikki usulda yeching: 1) Gauss usuli bilan; 2) Kramer usuli. (javobni x1,x2,x3 shaklida kiriting)
Yechim :doc :doc :xls
Javob: 2,-1,3.
Misol. Chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan. Uning mosligini isbotlang. Tizimning umumiy yechimini va bitta alohida yechimini toping.
Yechim
Javob: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Mashq qilish. Har bir tizimning umumiy va xususiy yechimlarini toping.
Yechim. Biz bu tizimni Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida o'rganamiz.
Kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Bu erda A matritsasi qalin bo'lib ajratilgan.
Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat satrlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va uni tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglama bilan qo'shishni anglatadi, bu esa tenglamaning echimini o'zgartirmaydi. tizimi.
1-qatorni (3) ga ko'paytiramiz. 2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
2-qatorni (2) ga ko'paytiramiz. 3-qatorni (-3) ga ko'paytiring. 2-qatorga 3-qatorni qo'shamiz:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Tanlangan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar) va nolga teng emas (u teskari diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy, ham kengaytirilgan matritsaga tegishli, shuning uchun rang( A) = rang (B) = 3 Asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lganligi sababli, u holda tizim hamkorlikda ishlaydi.
Bu kichik asosiy hisoblanadi. U x 1 , x 2 , x 3 nomaʼlumlar uchun koeffitsientlarni oʻz ichiga oladi, yaʼni x 1 , x 2 , x 3 nomaʼlumlar bogʻliq (asosiy) va x 4, x 5 esa erkindir.
Matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat minor bazisni qoldiramiz.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Noma'lumlarni yo'q qilish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Biz x 1 , x 2 , x 3 bogʻliq oʻzgaruvchilarni x 4 , x 5 boʻsh boʻlganlar orqali ifodalovchi munosabatlarga erishdik, yaʼni topdik. umumiy qaror:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
noaniq, chunki bir nechta yechimga ega.
Mashq qilish. Tenglamalar sistemasini yeching.
Javob:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Erkin noma'lumlarga har qanday qiymatlarni belgilash orqali biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Tizim shunday noaniq
Tizim deyiladi qo'shma, yoki hal qilinadigan, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Tizim deyiladi mos kelmaydigan, yoki hal qilib bo'lmaydigan, agar uning yechimlari bo'lmasa.
Aniq, noaniq SLAU.
Agar SLAE ning yechimi va o'ziga xos yechimi bo'lsa, u chaqiriladi aniq va agar yechim yagona bo'lmasa, unda noaniq.
MATRIX TENGLAMALAR
Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini qisqacha yozish imkonini beradi. Uchta noma’lumli 3 ta tenglamalar sistemasi berilsin:
Tizim matritsasini ko'rib chiqing 
va noma'lum va erkin shartlarning matritsalar ustunlari 
Keling, ishni topaylik 
bular. mahsulot natijasida biz ushbu tizim tenglamalarining chap tomonlarini olamiz. Keyin, matritsalar tengligi ta'rifidan foydalanib, bu tizimni shaklda yozish mumkin
yoki qisqaroq A∙X=B.
Mana matritsalar A Va B ma'lum va matritsa X noma'lum. Uni topish kerak, chunki... uning elementlari bu tizimning yechimidir. Bu tenglama deyiladi matritsa tenglamasi.
Matritsa determinanti noldan farqli bo'lsin | A| ≠ 0. U holda matritsa tenglamasi quyidagicha yechiladi. Chapdagi tenglamaning ikkala tomonini matritsaga ko'paytiring A-1, matritsaga teskari A: . Chunki A -1 A = E Va E∙X = X, keyin matritsali tenglamaning yechimini shaklda olamiz X = A -1 B .
Esda tutingki, teskari matritsani faqat kvadrat matritsalar uchun topish mumkinligi sababli, matritsa usuli faqat shunday tizimlarni hal qilishi mumkin. tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladi.
Kramer formulalari
Kramer usuli ketma-ket topishdan iborat tizimning asosiy hal qiluvchi omili, ya'ni. A matritsaning determinanti: D = det (a i j) va n yordamchi aniqlovchi D i (i= ), ular D determinantdan i-ustunni erkin shartlar ustuniga almashtirish orqali olinadi.
Kramer formulalari quyidagicha ko'rinadi: D × x i = D i (i =).
Bundan tizimning muvofiqligi haqidagi savolga to'liq javob beradigan Kramer qoidasi kelib chiqadi: agar tizimning asosiy determinanti noldan farq qilsa, u holda tizim formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi: x i = D i. / D.
Agar sistemaning bosh determinanti D va barcha yordamchi determinantlar D i = 0 (i= ) bo lsa, sistemaning cheksiz sonli yechimlari mavjud. Agar tizimning asosiy determinanti D = 0 bo'lsa va hech bo'lmaganda bitta yordamchi determinant noldan farq qilsa, u holda tizim mos kelmaydi.
Teorema (Kramer qoidasi): Agar sistemaning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan tizim bitta va faqat bitta yechimga ega va 
Isbot: Shunday qilib, uchta noma'lumli 3 ta tenglamalar tizimini ko'rib chiqing. Sistemaning 1- tenglamasini algebraik to‘ldiruvchiga ko‘paytiramiz A 11 element a 11, 2- tenglama – yoqilgan A 21 va uchinchisi - yoqilgan A 31:
Keling, ushbu tenglamalarni qo'shamiz:
Keling, qavslarning har birini va bu tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqaylik. Determinantni 1-ustun elementlariga kengaytirish teoremasi bo'yicha.
Xuddi shunday, buni va ko'rsatish mumkin.
Nihoyat, buni sezish oson 
Shunday qilib, biz tenglikni olamiz: . Demak, .
Teorema bayoni kelib chiqadigan va tengliklari o'xshash tarzda olingan.
Kroneker-Kapelli teoremasi.
Chiziqli tenglamalar tizimi, agar tizim matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi.
Isbot: U ikki bosqichga bo'linadi.
1. Tizim yechimga ega bo'lsin. Keling, buni ko'rsataylik.
Raqamlar to'plami bo'lsin 
tizimga yechim hisoblanadi. Matritsaning ustuni bilan belgilaymiz, 
. Keyin, ya'ni qo'g'irchoq atamalar ustuni matritsa ustunlarining chiziqli birikmasidir. Mayli. Keling, shunday da'vo qilaylik 
. Keyin tomonidan 
. Keling, asosiy minorda tanlaylik. Uning tartibi bor. Erkin shartlar ustuni bu minordan o'tishi kerak, aks holda u matritsaning asosiy minori bo'ladi. Minordagi soxta atamalar ustuni matritsa ustunlarining chiziqli birikmasidir. Aniqlovchining xossalariga ko'ra, bu erda bo'sh shartlar ustunini ustun bilan almashtirish orqali minordan olingan aniqlovchi . Agar ustun kichik M dan o'tgan bo'lsa, unda , ikkita bir xil ustunlar bo'ladi va shuning uchun . Agar ustun minordan o'tmagan bo'lsa, u holda u matritsaning r+1 tartibli minoridan faqat ustunlar tartibida farq qiladi. O'shandan beri. Shunday qilib, bu kichik asos ta'rifiga zid keladi. Bu degani, degan taxmin noto'g'ri.
2. Mayli. Keling, tizimda yechim borligini ko'rsataylik. Chunki matritsaning bazis minori matritsaning bazis minoridir. Ustunlar minordan o'tib ketsin 
. Keyin, matritsadagi minor asosidagi teorema bo'yicha, erkin atamalar ustuni ko'rsatilgan ustunlarning chiziqli birikmasidir:
| (1) |
, , , , ni qo'yamiz va qolgan noma'lumlarni nolga teng olamiz. Keyin bu qadriyatlar bilan biz olamiz
Tenglik tufayli (1) . Oxirgi tenglik raqamlar to'plamini bildiradi 
tizimga yechim hisoblanadi. Yechimning mavjudligi isbotlangan.
Yuqorida muhokama qilingan tizimda 
, va tizim kooperativdir. Tizimda , , va tizim mos kelmaydi.
Eslatma: Garchi Kroneker-Kapelli teoremasi tizimning izchilligini aniqlashga imkon bersa-da, u juda kamdan-kam hollarda, asosan nazariy tadqiqotlarda qo'llaniladi. Sababi, matritsaning darajasini topish uchun bajariladigan hisob-kitoblar, asosan, tizim yechimini topish uchun bajarilgan hisoblar bilan bir xil. Shuning uchun, odatda, va ni topish o'rniga ular tizimga yechim izlaydilar. Agar biz uni topa olsak, biz tizimning izchil ekanligini bilib olamiz va shu bilan birga uning yechimini olamiz. Agar yechim topilmasa, tizim nomuvofiq degan xulosaga kelamiz.
Ixtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimining yechimlarini topish algoritmi (Gauss usuli)
Noma’lum chiziqli tenglamalar sistemasi berilsin. Agar u mos kelsa, uning umumiy yechimini topish yoki mos kelmasligini aniqlash talab qilinadi. Ushbu bo'limda taqdim etiladigan usul determinantni hisoblash usuliga va matritsaning darajasini topish usuliga yaqin. Taklif etilgan algoritm deyiladi Gauss usuli yoki noma'lumlarni ketma-ket chiqarib tashlash usuli bilan.
Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz
Matritsalar bilan quyidagi amallarni elementar amallar deb ataymiz:
1. chiziqlarni qayta tartibga solish;
2. qatorni noldan boshqa raqamga ko‘paytirish;
3. qatorni boshqa qatorga ko‘paytiruvchi qatorga qo‘shish.
E'tibor bering, tenglamalar tizimini echishda, determinantni hisoblash va darajani topishdan farqli o'laroq, siz ustunlar bilan ishlay olmaysiz. Agar elementar amalni bajarish natijasida olingan matritsadan tenglamalar tizimi tiklansa, u holda yangi tizim dastlabkisiga ekvivalent bo'ladi.
Algoritmning maqsadi matritsaga elementar amallar ketma-ketligini qoʻllash orqali har bir satr, ehtimol birinchisidan tashqari, noldan boshlanishini va har bir keyingi qatordagi birinchi nolga teng boʻlmagan element oldidagi nollar soni boʻlishini taʼminlashdan iborat. oldingisiga qaraganda kattaroq.
Algoritm bosqichi quyidagicha. Matritsadagi birinchi nolga teng ustunni toping. Bu raqam bilan ustun bo'lsin. Unda nolga teng bo'lmagan elementni topamiz va ushbu element bilan chiziqni birinchi qatorga almashtiramiz. Qo'shimcha belgi qo'shmaslik uchun biz matritsadagi satrlarning bunday o'zgarishi allaqachon qilingan deb taxmin qilamiz, ya'ni. Keyin ikkinchi qatorga birinchi raqamni ko'paytiramiz, uchinchi qatorga birinchisini qo'shamiz, raqamga ko'paytiramiz va hokazo. Natijada biz matritsani olamiz
(Etakchi nol ustunlar odatda yo'q.)
Agar matritsada barcha elementlari nolga teng bo'lgan k raqami bo'lgan qator va bo'lsa, u holda biz algoritmning bajarilishini to'xtatamiz va tizim mos kelmaydigan degan xulosaga kelamiz. Haqiqatan ham, kengaytirilgan matritsadan tenglamalar tizimini tiklab, biz tenglama ko'rinishga ega bo'lishini olamiz. 
Hech bir raqamlar to'plami bu tenglamani qondirmaydi. 
.
Matritsa shaklda yozilishi mumkin 
Matritsaga nisbatan biz algoritmning tasvirlangan bosqichini bajaramiz. Biz matritsani olamiz
Qayerda,. Bu matritsani yana shunday yozish mumkin
va yana matritsaga yuqorida tavsiflangan algoritm qadamini qo'llang.
Agar keyingi bosqichni bajargandan so'ng, yangi qisqartirilgan matritsa faqat nollardan iborat bo'lsa yoki barcha qatorlar tugasa, jarayon to'xtaydi. E'tibor bering, tizimning mos kelmaydigan xulosasi jarayonni oldinroq to'xtatishi mumkin edi.
Agar biz matritsani kamaytirmaganimizda, biz shaklning matritsasini olgan bo'lardik
Keyinchalik, Gauss usulining teskarisi deb ataladigan narsa bajariladi. Matritsadan foydalanib, biz tenglamalar tizimini tuzamiz. Chap tomonda biz har bir satrdagi birinchi nolga teng bo'lmagan elementlarga mos keladigan raqamlar bilan noma'lumlarni qoldiramiz, ya'ni. E'tibor bering, bu. Qolgan noma'lumlarni o'ng tomonga o'tkazamiz. O'ng tarafdagi noma'lumlarni ma'lum qat'iy miqdorlar deb hisoblasak, ular orqali chap tomondagi noma'lumlarni ifodalash oson.
Endi o'ng tomondagi noma'lumlarga ixtiyoriy qiymatlarni belgilash va chap tomondagi o'zgaruvchilar qiymatlarini hisoblash orqali biz Ax=b asl tizimiga turli xil echimlarni topamiz. Umumiy yechimni yozish uchun o'ng tarafdagi noma'lumlarni qandaydir tartibda harflar bilan belgilash kerak 
, shu jumladan nol koeffitsientlar tufayli o'ng tomonda aniq yozilmagan noma'lumlar, keyin esa noma'lumlar ustuni ustun sifatida yozilishi mumkin, bu erda har bir element ixtiyoriy miqdorlarning chiziqli birikmasidir. 
(xususan, faqat ixtiyoriy qiymat ). Ushbu yozuv tizimning umumiy yechimi bo'ladi.
Agar sistema bir jinsli bo'lsa, u holda biz bir jinsli tizimning umumiy yechimini olamiz. Umumiy yechim ustunining har bir elementida olingan uchun koeffitsientlari asosiy yechimlar tizimidan birinchi yechimni, uchun koeffitsientlari ikkinchi yechimni va boshqalarni tashkil qiladi.
2-usul: Bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar sistemasini boshqa usulda ham olish mumkin. Buning uchun o'ng tomonga ko'chirilgan bitta o'zgaruvchiga 1 qiymati, qolganlari esa nollar bilan belgilanishi kerak. Chap tarafdagi o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblab, biz asosiy tizimdan bitta yechimni olamiz. O'ng tomondagi boshqa o'zgaruvchiga 1 qiymatini, qolganlariga esa nollarni belgilash orqali biz asosiy tizimdan ikkinchi yechimni olamiz va hokazo.
Ta'rif: tizim birgalikda deyiladi th, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa va nomuvofiq bo'lsa - aks holda, ya'ni tizimda echimlar yo'q bo'lsa. Tizimning yechimi bormi yoki yo'qmi degan savol faqat tenglamalar soni va noma'lumlar sonining nisbati bilan bog'liq emas. Masalan, ikkita noma'lumli uchta tenglamalar tizimi
 |
yechimga ega va hatto cheksiz ko'p yechimga ega, lekin uchta noma'lumli ikkita tenglamalar tizimi.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Bu tizim har doim izchil bo'ladi, chunki u x 1 =...=x n =0 arzimas yechimga ega
Nontrivial echimlarning mavjudligi uchun uni qondirish zarur va etarli
shartlar r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
Th SLAE ning yechimlar to'plami o'lchovli chiziqli fazoni (n-r) hosil qiladi. Bu shuni anglatadiki, uning yechimining songa ko'paytmasi, shuningdek, uning yechimlarining cheklangan sonining yig'indisi va chiziqli birikmasi ushbu tizimning echimlari hisoblanadi. Har qanday SLAE ning chiziqli yechim fazosi Rn fazoning pastki fazosidir.
SLAE ning (yechim fazosida asos bo'lgan) chiziqli mustaqil yechimlarining har qanday (n-r) to'plami deyiladi. asosiy yechimlar to'plami (FSR).
x 1 ,…, x r asosiy noma’lumlar, x r +1 ,…, x n – erkin noma’lumlar bo‘lsin. Keling, erkin o'zgaruvchilarga o'z navbatida quyidagi qiymatlarni beramiz:
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
R n (n - noma'lumlar soni) ning pastki fazosi bo'lgan S chiziqli fazoni (yechim fazosi) hosil qiladi va dims=k=n-r, bu erda r - tizimning darajasi. Yechim fazosidagi bazis (x (1) ,…, x (k)) asosiy yechim sistemasi deb ataladi va umumiy yechim shaklga ega:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R
- Tizimlar m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish- bu raqamlar to'plami ( x 1 , x 2 , …, x n), tizimning har bir tenglamasiga almashtirilganda to'g'ri tenglik olinadi.
Qayerda a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— tizim koeffitsientlari;
b i , i = 1, …, m- bepul a'zolar;
x j , j = 1, …, n- noma'lum.
Yuqoridagi tizim matritsa shaklida yozilishi mumkin: A X = B,
qayerda ( A|B) tizimning asosiy matritsasi hisoblanadi;
A— kengaytirilgan tizim matritsasi;
X- noma'lumlar ustuni;
B— bepul a'zolar ustuni.
Agar matritsa B null matritsa ∅ emas, u holda bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli emas deb ataladi.
Agar matritsa B= ∅ bo'lsa, bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli deb ataladi. Bir hil tizim har doim nol (arzimas) yechimga ega: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Chiziqli tenglamalarning qo'shma tizimi yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Chiziqli tenglamalarning nomuvofiq tizimi chiziqli tenglamalarning yechilmaydigan tizimidir.
Chiziqli tenglamalarning ma'lum bir tizimi yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Chiziqli tenglamalarning noaniq sistemasi cheksiz sonli yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir. - n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari
Agar noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lsa, matritsa kvadrat bo'ladi. Matritsaning determinanti chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti deb ataladi va D belgisi bilan belgilanadi.
Kramer usuli tizimlarini hal qilish uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
Kramer qoidasi.
Agar chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda tizim izchil va aniqlangan bo'lib, yagona yechim Kramer formulalari yordamida hisoblanadi:
Bu yerda D i sistemaning asosiy determinantidan D ni almashtirish orqali olingan determinantlar. i th ustunidan bepul a'zolar ustuniga. . - n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemalari
Kroneker-Kapelli teoremasi.
Berilgan chiziqli tenglamalar tizimi izchil bo'lishi uchun tizim matritsasi darajasi tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasiga teng bo'lishi zarur va etarli, rang (a) = chalindi (Α|B).
Agar jiringladi(A) ≠ jiringladi(A|B), keyin tizimda hech qanday yechim yo'qligi aniq.
Agar rang (a) = chalindi (Α|B), keyin ikkita holat mumkin:
1) daraja (a) = n(noma'lumlar soni) - yechim noyob va uni Kramer formulalari yordamida olish mumkin;
2) daraja (a)< n - cheksiz ko'p echimlar mavjud. - Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun
Kengaytirilgan matritsa yarataylik ( A|B) noma'lumlar va o'ng tomonlarning koeffitsientlaridan berilgan tizimning.
Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli kengaytirilgan matritsani qisqartirishdan iborat ( A|B) satrlar ustida diagonal shaklga (yuqori uchburchak shaklga) elementar o'zgartirishlardan foydalanish. Tenglamalar tizimiga qaytsak, barcha noma'lumlar aniqlanadi.
Satrlar ustidagi elementar transformatsiyalar quyidagilardan iborat:
1) ikkita qatorni almashtiring;
2) satrni 0 dan boshqa raqamga ko'paytirish;
3) satrga ixtiyoriy songa ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shish;
4) nol chiziqni tashlash.
Diagonal shaklga qisqartirilgan kengaytirilgan matritsa berilganga ekvivalent chiziqli tizimga mos keladi, uning yechimi qiyinchilik tug'dirmaydi. . - Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi.
Bir hil tizim quyidagi shaklga ega:
u matritsa tenglamasiga mos keladi A X = 0.
1) Bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, chunki r(A) = r(A|B), har doim nol yechim mavjud (0, 0, …, 0).
2) Bir hil sistema nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va etarli. r = r(A)< n , bu D = 0 ga teng.
3) Agar r< n , keyin aniq D = 0, keyin erkin noma'lumlar paydo bo'ladi c 1, c 2, …, c n-r, tizimda ahamiyatsiz bo'lmagan echimlar mavjud va ularning cheksiz ko'plari mavjud.
4) Umumiy yechim X da r< n matritsa shaklida quyidagicha yozish mumkin:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
echimlar qayerda X 1, X 2, …, X n-r yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.
5) Eritmalarning asosiy tizimini bir jinsli sistemaning umumiy yechimidan olish mumkin:
,
agar biz ketma-ket parametr qiymatlarini (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) ga tenglashtirsak.
Yechimlarning fundamental tizimi nuqtai nazaridan umumiy yechimning kengayishi fundamental sistemaga tegishli yechimlarning chiziqli birikmasi shaklidagi umumiy yechimning yozuvidir.
Teorema. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun D ≠ 0 boʻlishi zarur va yetarli.
Demak, agar determinant D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega.
Agar D ≠ 0 bo'lsa, u holda chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega.
Teorema. Bir hil sistema nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va yetarli r(A)< n .
Isbot:
1) r ortiq bo'lishi mumkin emas n(matritsaning darajasi ustunlar yoki satrlar sonidan oshmaydi);
2) r< n , chunki Agar r = n, keyin sistemaning asosiy determinanti D ≠ 0 va Kramer formulalariga ko'ra, noyob trivial yechim mavjud. x 1 = x 2 = … = x n = 0, bu shartga zid keladi. Ma'nosi, r(A)< n .
Natija. Bir hil tizim bo'lishi uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lumlar nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, D = 0 bo'lishi zarur va etarli.
Iqtisodiyot sohasida turli jarayonlarni matematik modellashtirish uchun tenglamalar tizimlari keng qo'llaniladi. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarish va rejalashtirish, logistika yo'nalishlari (transport muammosi) yoki jihozlarni joylashtirish muammolarini hal qilishda.
Tenglamalar sistemasi nafaqat matematikada, balki fizika, kimyo va biologiyada ham aholi sonini topish masalalarini yechishda qo'llaniladi.
Chiziqli tenglamalar tizimi bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikki yoki undan ortiq tenglamalar bo'lib, ular uchun umumiy yechim topish kerak. Barcha tenglamalar haqiqiy tenglikka aylanadigan yoki ketma-ketlik mavjud emasligini isbotlaydigan raqamlarning bunday ketma-ketligi.
Chiziqli tenglama
ax+by=c ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli deyiladi. X, y belgilari - qiymati topilishi kerak bo'lgan noma'lumlar, b, a - o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, c - tenglamaning erkin hadi.
Tenglamani chizib yechish to‘g‘ri chiziqqa o‘xshaydi, uning barcha nuqtalari ko‘phadning yechimlaridir.
Chiziqli tenglamalar sistemalarining turlari
Eng oddiy misollar ikkita o'zgaruvchisi X va Y bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi hisoblanadi.
F1(x, y) = 0 va F2(x, y) = 0, bu erda F1,2 funksiyalar va (x, y) funksiya o'zgaruvchilari.
Tenglamalar tizimini yechish - bu tizim haqiqiy tenglikka aylanadigan qiymatlarni (x, y) topish yoki x va y ning mos qiymatlari mavjud emasligini aniqlashni anglatadi.
Nuqtaning koordinatalari sifatida yozilgan juft qiymatlar (x, y) chiziqli tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.
Agar tizimlar bitta umumiy yechimga ega bo'lsa yoki hech qanday yechim mavjud bo'lmasa, ular ekvivalent deb ataladi.
Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemalari - o'ng tomoni nolga teng bo'lgan tizimlar. Agar tenglik belgisidan keyingi o'ng qism qiymatga ega bo'lsa yoki funktsiya bilan ifodalangan bo'lsa, bunday tizim geterogendir.
O'zgaruvchilar soni ikkitadan ancha ko'p bo'lishi mumkin, keyin biz uchta yoki undan ko'p o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimining misoli haqida gapirishimiz kerak.
Tizimlar bilan duch kelganda, maktab o'quvchilari tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri kelishi kerak deb o'ylashadi, ammo bu unday emas. Tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilarga bog'liq emas, ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin.
Tenglamalar sistemalarini yechishning oddiy va murakkab usullari
Bunday tizimlarni yechishning umumiy analitik usuli mavjud emas, barcha usullar sonli yechimlarga asoslangan. Maktab matematikasi kursida almashtirish, algebraik qo'shish, almashtirish, shuningdek, grafik va matritsa usullari, Gauss usuli bilan yechish kabi usullar batafsil yoritilgan.
Yechish usullarini o'rgatishda asosiy vazifa tizimni to'g'ri tahlil qilishni va har bir misol uchun optimal yechim algoritmini topishni o'rgatishdir. Asosiysi, har bir usul uchun qoidalar va harakatlar tizimini yodlash emas, balki ma'lum bir usuldan foydalanish tamoyillarini tushunishdir.
7-sinf umumta’lim dasturida chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish juda oddiy va juda batafsil tushuntirilgan. Har qanday matematika darsligida ushbu bo'limga etarlicha e'tibor beriladi. Chiziqli tenglamalar sistemalariga misollarni Gauss va Kramer usuli yordamida yechish oliy ta’limning birinchi yillarida batafsil o‘rganiladi.
Tizimlarni almashtirish usuli yordamida yechish
O'zgartirish usulining harakatlari bir o'zgaruvchining qiymatini ikkinchisi bilan ifodalashga qaratilgan. Ifoda qolgan tenglamaga almashtiriladi, so'ngra u bitta o'zgaruvchili shaklga keltiriladi. Harakat tizimdagi noma'lumlar soniga qarab takrorlanadi
7-sinf chiziqli tenglamalar tizimi misoliga almashtirish usuli yordamida yechim keltiramiz:
Misoldan ko'rinib turibdiki, x o'zgaruvchisi F(X) = 7 + Y orqali ifodalangan. Natijada X o'rniga tizimning 2- tenglamasiga almashtirilgan ifoda 2-tenglamada bitta Y o'zgaruvchisini olishga yordam berdi. . Bu misolni yechish oson va Y qiymatini olish imkonini beradi.Oxirgi qadam olingan qiymatlarni tekshirishdir.
Chiziqli tenglamalar sistemasiga misolni almashtirish usuli bilan yechish har doim ham mumkin emas. Tenglamalar murakkab bo'lishi mumkin va o'zgaruvchini ikkinchi noma'lum bilan ifodalash keyingi hisob-kitoblar uchun juda og'ir bo'ladi. Tizimda 3 dan ortiq noma'lum bo'lsa, almashtirish yo'li bilan yechish ham o'rinsiz.
Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalar sistemasiga misol yechimi:
Algebraik qo‘shish yordamida yechim
Qo'shish usulidan foydalangan holda tizimlar yechimlarini izlashda tenglamalar atama bo'yicha qo'shiladi va turli raqamlarga ko'paytiriladi. Matematik operatsiyalarning yakuniy maqsadi bitta o'zgaruvchidagi tenglamadir.
Ushbu usulni qo'llash amaliyot va kuzatishni talab qiladi. Chiziqli tenglamalar tizimini 3 yoki undan ortiq oʻzgaruvchi boʻlganda qoʻshish usuli yordamida yechish oson emas. Tenglamalar kasr va o'nli kasrlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, algebraik qo'shish qulay.
Yechim algoritmi:
- Tenglamaning ikkala tomonini ma'lum songa ko'paytiring. Arifmetik operatsiya natijasida o'zgaruvchining koeffitsientlaridan biri 1 ga teng bo'lishi kerak.
- Hosil boʻlgan iborani termin boʻyicha qoʻshing va nomaʼlumlardan birini toping.
- Qolgan o'zgaruvchini topish uchun olingan qiymatni tizimning 2-tenglamasiga almashtiring.
Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilish usuli
Agar tizim ikkitadan ko'p bo'lmagan tenglamalar uchun yechim topishni talab qilsa, yangi o'zgaruvchi kiritilishi mumkin; noma'lumlar soni ham ikkitadan ko'p bo'lmasligi kerak.
Usul yangi o'zgaruvchini kiritish orqali tenglamalardan birini soddalashtirish uchun ishlatiladi. Yangi tenglama kiritilgan noma'lum uchun echiladi va olingan qiymatdan asl o'zgaruvchini aniqlash uchun foydalaniladi.
Misol shuni ko'rsatadiki, yangi t o'zgaruvchisini kiritish orqali tizimning 1-tenglamasini standart kvadrat uch a'zoga qisqartirish mumkin edi. Ko'phadni diskriminantni topib yechishingiz mumkin.
Diskriminantning qiymatini taniqli formuladan foydalanib topish kerak: D = b2 - 4*a*c, bu erda D - kerakli diskriminant, b, a, c - ko'phadning omillari. Berilgan misolda a=1, b=16, c=39, demak D=100. Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda ikkita yechim mavjud: t = -b±√D / 2*a, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, unda bitta yechim mavjud: x = -b / 2*a.
Olingan tizimlar uchun yechim qo'shish usuli bilan topiladi.
Tizimlarni echishning vizual usuli
3 ta tenglama tizimi uchun javob beradi. Usul tizimga kiritilgan har bir tenglamaning grafiklarini koordinata o'qi bo'yicha qurishdan iborat. Egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalari tizimning umumiy yechimi bo'ladi.
Grafik usul bir qator nuanslarga ega. Chiziqli tenglamalar sistemalarini vizual tarzda yechishning bir qancha misollarini ko‘rib chiqamiz.
Misoldan ko'rinib turibdiki, har bir chiziq uchun ikkita nuqta qurilgan, x o'zgaruvchisining qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlangan: 0 va 3. X qiymatlari asosida y uchun qiymatlar topildi: 3 va 0. Koordinatalari (0, 3) va (3, 0) bo'lgan nuqtalar grafikda belgilangan va chiziq bilan bog'langan.
Ikkinchi tenglama uchun qadamlar takrorlanishi kerak. Chiziqlarning kesishish nuqtasi tizimning yechimidir.
Quyidagi misol chiziqli tenglamalar sistemasining grafik yechimini topishni talab qiladi: 0,5x-y+2=0 va 0,5x-y-1=0.
Misoldan ko'rinib turibdiki, tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki grafiklar parallel va butun uzunligi bo'ylab kesishmaydi.
2 va 3-misollardagi tizimlar bir-biriga o'xshash, ammo tuzilganida ularning echimlari boshqacha ekanligi ayon bo'ladi. Shuni esda tutish kerakki, tizimning yechimi bor yoki yo'qligini har doim ham aytish mumkin emas, har doim grafik yaratish kerak.
Matritsa va uning turlari
Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini ixcham yozish uchun ishlatiladi. Matritsa - bu raqamlar bilan to'ldirilgan maxsus jadval turi. n*m n - satr va m - ustunga ega.
Ustunlar va satrlar soni teng bo'lganda matritsa kvadrat hisoblanadi. Matritsa-vektor - cheksiz mumkin bo'lgan qatorlar soniga ega bo'lgan bitta ustunli matritsa. Diagonallardan biri va boshqa nol elementlari bo'ylab birlari bo'lgan matritsaga o'ziga xoslik deyiladi.
Teskari matritsa bu matritsa bo'lib, unga ko'paytirilganda asl matritsa birlik matritsaga aylanadi; bunday matritsa faqat dastlabki kvadrat uchun mavjud.
Tenglamalar tizimini matritsaga aylantirish qoidalari
Tenglamalar tizimlariga nisbatan tenglamalarning koeffitsientlari va erkin shartlari matritsa raqamlari sifatida yoziladi, bitta tenglama matritsaning bir qatoridir.
Agar satrning kamida bitta elementi nolga teng bo'lmasa, matritsa qatori nolga teng emas deyiladi. Shuning uchun, agar tenglamalarning birortasida o'zgaruvchilar soni farq qiladigan bo'lsa, unda etishmayotgan noma'lum o'rniga nol kiritish kerak.
Matritsa ustunlari o'zgaruvchilarga qat'iy mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, x o'zgaruvchining koeffitsientlari faqat bitta ustunda yozilishi mumkin, masalan, birinchi, noma'lum y koeffitsienti - faqat ikkinchisida.
Matritsani ko'paytirishda matritsaning barcha elementlari ketma-ket songa ko'paytiriladi.
Teskari matritsani topish variantlari
Teskari matritsani topish formulasi juda oddiy: K -1 = 1 / |K|, bu erda K -1 teskari matritsa va |K| matritsaning aniqlovchisi hisoblanadi. |K| nolga teng bo'lmasligi kerak, u holda tizim yechimga ega.
Determinant ikki-ikki matritsa uchun osongina hisoblab chiqiladi, shunchaki diagonal elementlarni bir-biriga ko'paytirish kerak. “Uchdan uch” varianti uchun |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formulasi mavjud. 3 + a 3 b 2 c 1. Siz formuladan foydalanishingiz mumkin yoki ishda ustunlar va elementlar qatorlari soni takrorlanmasligi uchun har bir satr va har bir ustundan bitta elementni olishingiz kerakligini eslashingiz mumkin.
Matritsa usuli yordamida chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish
Yechimni topishning matritsa usuli ko'p sonli o'zgaruvchilar va tenglamalarga ega tizimlarni echishda noqulay yozuvlarni kamaytirishga imkon beradi.
Misolda, a nm - tenglamalarning koeffitsientlari, matritsa - vektor x n - o'zgaruvchilar, b n - erkin shartlar.
Gauss usuli yordamida tizimlarni yechish
Oliy matematikada Gauss usuli Kramer usuli bilan birgalikda oʻrganiladi va tizimlar yechimlarini topish jarayoni Gauss-Kramer yechim usuli deb ataladi. Bu usullar ko'p sonli chiziqli tenglamalarga ega bo'lgan tizimlarning o'zgaruvchilarini topish uchun ishlatiladi.
Gauss usuli almashtirish va algebraik qoʻshish yoʻli bilan yechimlarga juda oʻxshaydi, lekin tizimliroqdir. Maktab kursida 3 va 4 tenglamalar sistemalari uchun Gauss usuli bilan yechim qo'llaniladi. Usulning maqsadi tizimni teskari trapezoid shakliga tushirishdir. Algebraik o'zgartirishlar va almashtirishlar yordamida bitta o'zgaruvchining qiymati tizim tenglamalaridan birida topiladi. Ikkinchi tenglama 2 ta noma'lumli ifoda, 3 va 4 esa mos ravishda 3 va 4 o'zgaruvchiga ega.
Tizimni tavsiflangan shaklga keltirgandan so'ng, keyingi yechim ma'lum o'zgaruvchilarni tizim tenglamalariga ketma-ket almashtirishga tushiriladi.
7-sinf uchun maktab darsliklarida Gauss usuli bo'yicha yechimning namunasi quyidagicha tasvirlangan:
Misoldan ko'rinib turibdiki, (3) bosqichda ikkita tenglama olingan: 3x 3 -2x 4 =11 va 3x 3 +2x 4 =7. Har qanday tenglamani echish sizga x n o'zgaruvchilardan birini topishga imkon beradi.
Matnda tilga olingan 5-teoremada aytilishicha, agar tizim tenglamalaridan biri ekvivalent bilan almashtirilsa, natijada hosil bo'lgan tizim ham asl tenglamaga teng bo'ladi.
O'rta maktab o'quvchilari uchun Gauss usulini tushunish qiyin, ammo bu matematika va fizika darslarida ilg'or o'quv dasturlariga kirgan bolalarning zukkoligini rivojlantirishning eng qiziqarli usullaridan biridir.
Yozib olish qulayligi uchun hisob-kitoblar odatda quyidagicha amalga oshiriladi:
Tenglamalar va erkin atamalar koeffitsientlari matritsa shaklida yoziladi, bu erda matritsaning har bir qatori tizim tenglamalaridan biriga mos keladi. tenglamaning chap tomonini o'ngdan ajratadi. Rim raqamlari tizimdagi tenglamalar sonini bildiradi.
Birinchidan, ishlanadigan matritsani yozing, so'ngra qatorlardan biri bilan bajarilgan barcha harakatlar. Olingan matritsa "strelka" belgisidan keyin yoziladi va kerakli algebraik amallar natijaga erishilgunga qadar davom ettiriladi.
Natijada diagonallardan biri 1 ga, qolgan barcha koeffitsientlar esa nolga teng bo'lgan matritsa bo'lishi kerak, ya'ni matritsa birlik shakliga tushiriladi. Tenglamaning har ikki tomonida raqamlar bilan hisob-kitoblarni bajarishni unutmasligimiz kerak.
Ushbu yozib olish usuli unchalik mashaqqatli emas va ko'plab noma'lum narsalarni sanab, chalg'itmaslikka imkon beradi.
Har qanday yechim usulidan bepul foydalanish ehtiyotkorlik va biroz tajribani talab qiladi. Hamma usullar ham amaliy xususiyatga ega emas. Yechimlarni topishning ba'zi usullari inson faoliyatining muayyan sohasida afzalroq, boshqalari esa ta'lim maqsadlarida mavjud.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echish, shubhasiz, chiziqli algebra kursining eng muhim mavzusidir. Matematikaning barcha sohalaridan juda ko'p muammolar chiziqli tenglamalar tizimini echishga to'g'ri keladi. Ushbu omillar ushbu maqolaning sababini tushuntiradi. Maqolaning materiali tanlangan va tuzilgan, shunda siz uning yordami bilan qila olasiz
- chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning optimal usulini tanlash;
- tanlangan usul nazariyasini o'rganish,
- tipik misollar va masalalarning batafsil yechimlarini ko'rib chiqish orqali chiziqli tenglamalar tizimini hal qiling.
Maqola materialining qisqacha tavsifi.
Birinchidan, biz barcha kerakli ta'riflarni, tushunchalarni beramiz va belgilarni kiritamiz.
Keyinchalik, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lgan va yagona yechimga ega bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish usullarini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, biz Kramer usuliga to'xtalamiz, ikkinchidan, bunday tenglamalar tizimini echishning matritsa usulini ko'rsatamiz, uchinchidan, Gauss usulini (noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli) tahlil qilamiz. Nazariyani mustahkamlash uchun biz bir nechta SLAE ni turli yo'llar bilan hal qilamiz.
Shundan so'ng biz umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishga o'tamiz, bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi yoki tizimning asosiy matritsasi birlikdir. Keling, Kronecker-Kapelli teoremasini shakllantiramiz, bu bizga SLAE larning mosligini aniqlash imkonini beradi. Keling, matritsaning bazis minori tushunchasidan foydalanib, tizimlarning yechimini (agar ular mos kelsa) tahlil qilaylik. Shuningdek, biz Gauss usulini ko'rib chiqamiz va misollarning echimlarini batafsil bayon qilamiz.
Biz, albatta, chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan sistemalarining umumiy yechimining tuzilishiga to'xtalib o'tamiz. Fundamental yechimlar sistemasi tushunchasini beraylik va asosiy yechimlar sistemasi vektorlari yordamida SLAE ning umumiy yechimi qanday yozilishini ko'rsatamiz. Yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Xulosa qilib aytganda, biz chiziqli tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan tenglamalar tizimlarini, shuningdek, SLAE paydo bo'ladigan turli muammolarni ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Ta'riflar, tushunchalar, belgilar.
Ko'rinishdagi n ta noma'lum o'zgaruvchiga ega (p n ga teng bo'lishi mumkin) p chiziqli algebraik tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz.
Noma'lum o'zgaruvchilar, - koeffitsientlar (ba'zi haqiqiy yoki murakkab sonlar), - erkin atamalar (shuningdek, haqiqiy yoki kompleks sonlar).
SLAE yozishning ushbu shakli deyiladi muvofiqlashtirish.
IN matritsa shakli Ushbu tenglamalar tizimini yozish quyidagi shaklga ega:
Qayerda 
- tizimning asosiy matritsasi, - noma'lum o'zgaruvchilarning ustun matritsasi, - erkin terminlarning ustun matritsasi.
Agar A matritsaga (n+1)-ustun sifatida erkin atamalar matritsa-ustunini qo'shsak, biz shunday deyilamiz. kengaytirilgan matritsa chiziqli tenglamalar tizimlari. Odatda, kengaytirilgan matritsa T harfi bilan belgilanadi va bo'sh shartlar ustuni qolgan ustunlardan vertikal chiziq bilan ajratiladi, ya'ni 
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish tizimning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradigan noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami deb ataladi. Noma'lum o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlari uchun matritsa tenglamasi ham identifikatsiyaga aylanadi.
Agar tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u deyiladi qo'shma.
Agar tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, u deyiladi qo'shma bo'lmagan.
Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi aniq; agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, unda - noaniq.
Agar tizimning barcha tenglamalarining erkin shartlari nolga teng bo'lsa 
, keyin tizim chaqiriladi bir hil, aks holda - heterojen.
Chiziqli algebraik tenglamalarning elementar sistemalarini yechish.
Agar tizim tenglamalari soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa va uning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, bunday SLAElar deyiladi. boshlang'ich. Bunday tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega va bir jinsli sistema holatida barcha noma’lum o‘zgaruvchilar nolga teng.
Biz o'rta maktabda bunday SLAElarni o'rganishni boshladik. Ularni yechishda biz bitta tenglamani oldik, bitta noma’lum o‘zgaruvchini boshqalar bilan ifodaladik va uni qolgan tenglamalarga almashtirdik, so‘ngra keyingi tenglamani oldik, keyingi noma’lum o‘zgaruvchini ifodalab, uni boshqa tenglamalarga almashtirdik va hokazo. Yoki ular qo'shish usulini qo'llaganlar, ya'ni ba'zi noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish uchun ikki yoki undan ortiq tenglamalarni qo'shganlar. Biz bu usullarga batafsil toʻxtalib oʻtirmaymiz, chunki ular mohiyatan Gauss usulining modifikatsiyalaridir.
Chiziqli tenglamalarning elementar tizimlarini yechishning asosiy usullari Kramer usuli, matritsa usuli va Gauss usulidir. Keling, ularni saralab olaylik.
Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish.
Faraz qilaylik, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishimiz kerak 
bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng va sistemaning asosiy matritsasi determinanti noldan farq qiladi, ya'ni.
Sistemaning bosh matritsasining determinanti bo'lsin, va 
- matritsalarning determinantlari, A dan almashtirish yo'li bilan olinadi 1, 2, …, n bepul a'zolar ustuniga mos ravishda ustun: 
Ushbu belgi bilan noma'lum o'zgaruvchilar Kramer usuli formulalari yordamida hisoblanadi 
. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi Kramer usuli yordamida shunday topiladi.
Misol.
Kramer usuli 
.
Yechim.
Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega 
. Keling, uning determinantini hisoblaymiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): 
Tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmaganligi sababli, tizim Kramer usuli bilan topilishi mumkin bo'lgan yagona yechimga ega.
Kerakli determinantlarni tuzamiz va hisoblaymiz 
(A matritsadagi birinchi ustunni erkin shartlar ustuniga, determinantni ikkinchi ustunni erkin hadlar ustuniga va A matritsaning uchinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtirish orqali aniqlovchini olamiz) : 
Formulalar yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish 
:
Javob:
Kramer usulining asosiy kamchiligi (agar uni kamchilik deb atash mumkin bo'lsa) tizimdagi tenglamalar soni uchdan ortiq bo'lganda determinantlarni hisoblashning murakkabligidir.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini matritsa usulida yechish (teskari matritsa yordamida).
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi matritsa ko‘rinishida berilgan bo‘lsin, bunda A matritsaning o‘lchami n ga n, determinanti esa nolga teng emas.
Chunki A matritsa teskari bo'ladi, ya'ni teskari matritsa mavjud. Agar tenglikning ikkala tomonini chapga ko'paytirsak, noma'lum o'zgaruvchilarning matritsa-ustunini topish formulasini olamiz. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimini matritsa usulidan foydalanib, shu tarzda oldik.
Misol.
Chiziqli tenglamalar tizimini yechish matritsa usuli.
Yechim.
Tenglamalar tizimini matritsa shaklida qayta yozamiz: 
Chunki
u holda SLAE ni matritsa usuli yordamida yechish mumkin. Teskari matritsadan foydalanib, bu sistemaning yechimini quyidagicha topish mumkin 
.
A matritsa elementlarining algebraik qo‘shilishidan matritsa yordamida teskari matritsa tuzamiz (agar kerak bo‘lsa, maqolaga qarang): 
Teskari matritsani ko'paytirish orqali noma'lum o'zgaruvchilar matritsasini hisoblash qoladi 
bepul a'zolarning matritsa ustuniga (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): 
Javob:
yoki boshqa belgida x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Matritsa usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarining yechimlarini topishda asosiy muammo teskari matritsani topishning murakkabligi, ayniqsa uchinchidan yuqori tartibli kvadrat matritsalar uchun.
Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish.
Faraz qilaylik, n ta noma’lum o‘zgaruvchiga ega bo‘lgan n ta chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishimiz kerak. 
asosiy matritsasining determinanti noldan farq qiladi.
Gauss usulining mohiyati noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket chiqarib tashlashdan iborat: birinchidan, x 1 ikkinchidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan chiqarib tashlanadi, keyin x 2 barcha tenglamalardan uchinchidan boshlab chiqariladi va hokazo, faqat noma'lum o'zgaruvchi x n bo'lguncha. oxirgi tenglamada qoladi. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish uchun tizim tenglamalarini o'zgartirish jarayoni deyiladi to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli. Gauss usulining oldinga siljishi tugallangandan so'ng, oxirgi tenglamadan x n topiladi, oxirgi tenglamadan ushbu qiymatdan foydalanib, x n-1 hisoblanadi va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 topiladi. Tizimning oxirgi tenglamasidan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblash jarayoni deyiladi. Gauss usuliga teskari.
Keling, noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish algoritmini qisqacha ta'riflaymiz.
Biz buni taxmin qilamiz, chunki tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali har doim bunga erishishimiz mumkin. Ikkinchidan boshlab, tizimning barcha tenglamalaridan noma'lum x 1 o'zgaruvchisini o'chiramiz. Buning uchun sistemaning ikkinchi tenglamasiga birinchi, ga ko'paytiriladi, uchinchi tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi va hokazo, n- tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi 
qayerda va 
.
Agar tizimning birinchi tenglamasida x 1 ni boshqa noma’lum o‘zgaruvchilar bilan ifodalaganimizda va olingan ifodani boshqa barcha tenglamalarga almashtirganimizda ham xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik. Shunday qilib, x 1 o'zgaruvchisi ikkinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqariladi.
Keyinchalik, biz shunga o'xshash tarzda davom etamiz, lekin natijada olingan tizimning faqat rasmda ko'rsatilgan qismi bilan 
Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ga ko'paytirilgan ikkinchisini, to'rtinchi tenglamaga ikkinchisini ko'paytiramiz va hokazo, n- tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz, ga ko'paytiramiz. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi 
qayerda va 
. Shunday qilib, x 2 o'zgaruvchisi uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.
Keyinchalik, biz noma'lum x 3 ni yo'q qilishga kirishamiz, shu bilan birga biz tizimning rasmda ko'rsatilgan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz. 
Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasini davom ettiramiz 
Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskarisini boshlaymiz: oxirgi tenglamadan x n ni quyidagicha hisoblaymiz, x n ning olingan qiymatidan foydalanib, oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 ni topamiz va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 ni topamiz. .
Misol.
Chiziqli tenglamalar tizimini yechish Gauss usuli.
Yechim.
Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan x 1 noma’lum o‘zgaruvchini chiqarib tashlaylik. Buning uchun ikkinchi va uchinchi tenglamalarning ikkala tomoniga birinchi tenglamaning mos keladigan qismlarini mos ravishda va ga ko'paytiramiz: 
Endi uchinchi tenglamadan x 2 ni uning chap va o'ng tomonlariga ikkinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlarini qo'shib, quyidagiga ko'paytiramiz: 
Bu Gauss usulining oldinga siljishini yakunlaydi, biz teskari zarbani boshlaymiz.
Olingan tenglamalar tizimining oxirgi tenglamasidan biz x 3 ni topamiz: 
Ikkinchi tenglamadan biz olamiz.
Birinchi tenglamadan biz qolgan noma'lum o'zgaruvchini topamiz va shu bilan Gauss usulining teskarisini yakunlaymiz.
Javob:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish.
Umuman olganda, p tizimning tenglamalari soni n noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi:
Bunday SLAElar yechimga ega bo'lmasligi, bitta yechimga ega bo'lishi yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin. Ushbu bayonot asosiy matritsalari kvadrat va birlik bo'lgan tenglamalar tizimlariga ham tegishli.
Kroneker-Kapelli teoremasi.
Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishdan oldin uning mosligini aniqlash kerak. SLAE qachon mos keladi va qachon mos kelmaydi degan savolga javob beradi Kroneker-Kapelli teoremasi:
n ta noma’lumli p tenglamalar sistemasi (p n ga teng bo‘lishi mumkin) izchil bo‘lishi uchun tizimning bosh matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni. , Rank(A)=Rank(T).
Misol tariqasida chiziqli tenglamalar tizimining mosligini aniqlash uchun Kroneker-Kapelli teoremasini qo'llashni ko'rib chiqamiz.
Misol.
Chiziqli tenglamalar sistemasi bor yoki yo'qligini aniqlang 
yechimlar.
Yechim.
. Keling, voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanamiz. Ikkinchi darajali kichik 
noldan farq qiladi. Keling, u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik: 
Uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lganligi sababli, asosiy matritsaning darajasi ikkiga teng.
O'z navbatida, kengaytirilgan matritsaning darajasi 
uchga teng, chunki kichik uchinchi tartibli 
noldan farq qiladi.
Shunday qilib, Rang(A), shuning uchun Kroneker-Kapelli teoremasidan foydalanib, biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimi mos kelmaydigan degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Javob:
Tizimda hech qanday yechim yo'q.
Shunday qilib, biz Kronecker-Kapelli teoremasidan foydalanib, tizimning nomuvofiqligini aniqlashni o'rgandik.
Biroq, agar uning muvofiqligi o'rnatilgan bo'lsa, SLAE ga qanday yechim topish mumkin?
Buning uchun bizga matritsaning bazis minori tushunchasi va matritsaning darajasi haqidagi teorema kerak.
A matritsaning noldan farqli eng yuqori darajali minori deyiladi Asosiy.
Minor asosining ta'rifidan uning tartibi matritsaning darajasiga teng ekanligi kelib chiqadi. Nolga teng bo'lmagan A matritsa uchun bir nechta bazis minorlari bo'lishi mumkin; har doim bitta bazis minor bo'ladi.
Masalan, matritsani ko'rib chiqing 
.
Ushbu matritsaning barcha uchinchi darajali minorlari nolga teng, chunki bu matritsaning uchinchi qatori elementlari birinchi va ikkinchi qatorlarning mos keladigan elementlari yig'indisidir.
Quyidagi ikkinchi darajali voyaga etmaganlar asosiy hisoblanadi, chunki ular nolga teng emas 
Voyaga etmaganlar 
asosiy emas, chunki ular nolga teng.
Matritsa darajalari teoremasi.
Agar p dan n gacha bo'lgan matritsaning darajasi r ga teng bo'lsa, u holda matritsaning tanlangan minor asosini tashkil etmaydigan barcha satr (va ustun) elementlari chiziqli ravishda mos keladigan satr (va ustun) elementlarini hosil qilishda ifodalanadi. asos kichik.
Matritsa darajalari teoremasi bizga nimani aytadi?
Agar Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra, biz tizimning mosligini aniqlagan bo'lsak, biz tizimning asosiy matritsasining istalgan minor asosini tanlaymiz (uning tartibi r ga teng) va tizimdan barcha tenglamalarni chiqarib tashlaymiz. tanlangan asosni tashkil etmaydi. Shu tarzda olingan SLAE asl tenglamaga ekvivalent bo'ladi, chunki bekor qilingan tenglamalar hali ham ortiqcha (matritsa darajasi teoremasiga ko'ra, ular qolgan tenglamalarning chiziqli birikmasidir).
Natijada, tizimning keraksiz tenglamalarini bekor qilgandan so'ng, ikkita holat mumkin.
Agar natijaviy tizimdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u aniq bo'ladi va yagona yechimni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli bilan topish mumkin.
Misol.
.
Yechim.
Tizimning asosiy matritsasining darajasi 
ikkiga teng, chunki kichik ikkinchi tartibli 
noldan farq qiladi. Kengaytirilgan matritsa darajasi 
ham ikkiga teng, chunki yagona uchinchi tartibli minor nolga teng 
va yuqorida ko'rib chiqilgan ikkinchi darajali minor noldan farq qiladi. Kroneker-Kapelli teoremasiga asoslanib, biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining mosligini tasdiqlashimiz mumkin, chunki Rank(A)=Rank(T)=2.
Asos sifatida biz minorni olamiz . U birinchi va ikkinchi tenglamalarning koeffitsientlari bilan hosil bo'ladi: 
Tizimning uchinchi tenglamasi bazis minorini shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun biz uni matritsaning darajasi haqidagi teorema asosida tizimdan chiqaramiz: 
Shunday qilib biz chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini oldik. Keling, buni Kramer usuli yordamida hal qilaylik: 
Javob:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Agar hosil bo'lgan SLAEdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar sonidan n kam bo'lsa, u holda tenglamalarning chap tomonlarida bazis minorini tashkil etuvchi hadlarni qoldiramiz va qolgan hadlarni o'ng tomonlariga o'tkazamiz. qarama-qarshi belgili tizim tenglamalari.
Tenglamalarning chap tomonlarida qolgan noma'lum o'zgaruvchilar (ulardan r) deyiladi asosiy.
O'ng tomonda joylashgan noma'lum o'zgaruvchilar (n - r bo'laklar mavjud) chaqiriladi ozod.
Endi biz ishonamizki, erkin noma'lum o'zgaruvchilar ixtiyoriy qiymatlarni olishlari mumkin, r asosiy noma'lum o'zgaruvchilar esa erkin noma'lum o'zgaruvchilar orqali noyob tarzda ifodalanadi. Ularning ifodasini hosil bo'lgan SLAEni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli yordamida echish orqali topish mumkin.
Keling, buni misol bilan ko'rib chiqaylik.
Misol.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yeching 
.
Yechim.
Tizimning bosh matritsasining rankini topamiz 
voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan. Birinchi tartibning nolga teng bo'lmagan minori sifatida 1 1 = 1 ni olaylik. Keling, ushbu minor bilan chegaradosh ikkinchi darajali nolga teng bo'lmagan minorni qidirishni boshlaylik: 
Shunday qilib, biz ikkinchi darajali nolga teng bo'lmagan minorni topdik. Uchinchi tartibdagi nol bo'lmagan chegaradosh kichikni qidirishni boshlaylik: 
Shunday qilib, asosiy matritsaning darajasi uchta. Kengaytirilgan matritsaning darajasi ham uchtaga teng, ya'ni tizim izchil.
Biz topilgan uchinchi tartibning nolga teng bo‘lmagan minorini asos qilib olamiz.
Aniqlik uchun biz minorning asosini tashkil etuvchi elementlarni ko'rsatamiz: 
Biz minor asosidagi atamalarni tizim tenglamalarining chap tomoniga qoldiramiz, qolganlarini esa qarama-qarshi belgilar bilan o'ng tomonlarga o'tkazamiz: 
Erkin noma'lum o'zgaruvchilar x 2 va x 5 ixtiyoriy qiymatlarni beraylik, ya'ni qabul qilamiz 
, bu yerda ixtiyoriy sonlar. Bunday holda, SLAE shaklni oladi 
Olingan chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini Kramer usuli yordamida yechamiz: 
Demak, .
Javobingizda bepul noma'lum o'zgaruvchilarni ko'rsatishni unutmang.
Javob:
Ixtiyoriy raqamlar qayerda.
Xulosa qiling.
Umumiy chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun avvalo Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida uning mosligini aniqlaymiz. Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lmasa, biz tizim mos kelmaydi degan xulosaga kelamiz.
Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, biz minor bazisni tanlaymiz va tanlangan minor asosini shakllantirishda ishtirok etmaydigan tizim tenglamalarini olib tashlaymiz.
Agar bazis minorining tartibi noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u holda SLAE o'ziga xos yechimga ega bo'lib, uni bizga ma'lum bo'lgan har qanday usul bilan topish mumkin.
Agar minor asosining tartibi noma'lum o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, u holda tizim tenglamalarining chap tomonida asosiy noma'lum o'zgaruvchilar bilan shartlarni qoldiramiz, qolgan shartlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz va ixtiyoriy qiymatlarni beramiz. erkin noma'lum o'zgaruvchilar. Olingan chiziqli tenglamalar tizimidan biz Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli yordamida asosiy noma'lum o'zgaruvchilarni topamiz.
Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli.
Gauss usuli har qanday turdagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini avvalo izchillik uchun sinab ko'rmasdan yechish uchun ishlatilishi mumkin. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni SLAE ning mosligi va nomuvofiqligi haqida xulosa chiqarishga imkon beradi va agar yechim mavjud bo'lsa, uni topishga imkon beradi.
Hisoblash nuqtai nazaridan Gauss usuli afzalroqdir.
Umumiy chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun Gauss usuli maqolasida uning batafsil tavsifi va tahlil qilingan misollarini ko'ring.
Fundamental yechimlar sistemasi vektorlari yordamida bir jinsli va bir jinsli chiziqli algebraik sistemalarning umumiy yechimini yozish.
Ushbu bo'limda biz cheksiz miqdordagi yechimga ega bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalarning bir vaqtning o'zida bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan tizimlari haqida gapiramiz.
Keling, birinchi navbatda bir hil tizimlar bilan shug'ullanamiz.
Yechimlarning asosiy tizimi n ta noma’lum o‘zgaruvchili p chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimi bu sistemaning (n – r) chiziqli mustaqil yechimlari yig‘indisi bo‘lib, bu yerda r – sistemaning bosh matritsasining bazis minorining tartibi.
Agar bir jinsli SLAE ning chiziqli mustaqil yechimlarini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) deb belgilasak, n o‘lchamli ustunli matritsalardir. 1) ga bo'lsa, u holda bu bir jinsli tizimning umumiy yechimi ixtiyoriy doimiy C 1, C 2, ..., C (n-r) koeffitsientlari bo'lgan asosiy echimlar tizimining vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, ya'ni.
Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar tizimining umumiy yechimi (oroslau) atamasi nimani anglatadi?
Ma'nosi oddiy: formula asl SLAE ning barcha mumkin bo'lgan echimlarini belgilaydi, boshqacha qilib aytganda, C 1, C 2, ..., C (n-r) ixtiyoriy konstantalarining har qanday qiymatlari to'plamini olib, formuladan foydalanib, asl bir hil SLAE ning yechimlaridan birini olish.
Shunday qilib, agar biz fundamental yechimlar tizimini topsak, bu bir hil SLAE ning barcha yechimlarini quyidagicha belgilashimiz mumkin.
Keling, bir hil SLAE yechimlarining fundamental tizimini qurish jarayonini ko'rsatamiz.
Biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining minorini tanlaymiz, boshqa barcha tenglamalarni tizimdan chiqarib tashlaymiz va erkin noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan barcha shartlarni qarama-qarshi belgilar bilan tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazamiz. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 1,0,0,...,0 qiymatlarini beramiz va natijada olingan chiziqli tenglamalarning elementar tizimini istalgan usulda, masalan, Kramer usuli yordamida yechish orqali asosiy noma'lumlarni hisoblaymiz. Bu X (1) ga olib keladi - asosiy tizimning birinchi yechimi. Agar erkin noma’lumlarga 0,1,0,0,…,0 qiymatlarini berib, asosiy noma’lumlarni hisoblasak, X (2) ni olamiz. Va hokazo. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 0,0,...,0,1 qiymatlarini belgilab, asosiy noma'lumlarni hisoblasak, X (n-r) ni olamiz. Shunday qilib, bir hil SLAE ning asosiy yechimlari tizimi tuziladi va uning umumiy yechimi shaklida yozilishi mumkin.
Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari uchun umumiy yechim ko'rinishda ifodalanadi, bu erda mos keladigan bir jinsli tizimning umumiy yechimi va biz erkin noma'lumlarga qiymatlarni berish orqali olingan dastlabki bir hil bo'lmagan SLAE ning xususiy yechimi. 0,0,...,0 va asosiy noma'lumlarning qiymatlarini hisoblash.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasining asosiy yechimlar tizimini va umumiy yechimini toping. 
.
Yechim.
Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimlarining asosiy matritsasining darajasi har doim kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng. Voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanib, asosiy matritsaning darajasini topamiz. Birinchi tartibdagi nolga teng bo'lmagan minor sifatida biz tizimning asosiy matritsasining a 1 1 = 9 elementini olamiz. Ikkinchi tartibning chegaradosh nolga teng bo‘lmagan minorini topamiz: 
Noldan farqli ikkinchi darajali minor topildi. Keling, nolga teng bo'lmaganni qidirish uchun u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik: 
Barcha uchinchi darajali chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsaning darajasi ikkiga teng. Keling, olaylik. Aniqlik uchun tizimni tashkil etuvchi elementlarga e'tibor qaratamiz: 
Asl SLAE ning uchinchi tenglamasi minor asosini shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun uni chiqarib tashlash mumkin: 
Biz asosiy noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlarni tenglamalarning o'ng tomoniga qoldiramiz va erkin noma'lumli shartlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz:
Chiziqli tenglamalarning asl bir jinsli sistemasi yechimlarining fundamental tizimini tuzamiz. Ushbu SLAE ning asosiy yechimlar tizimi ikkita yechimdan iborat, chunki dastlabki SLAE to'rtta noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning minor asosining tartibi ikkitaga teng. X (1) ni topish uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 = 1, x 4 = 0 qiymatlarini beramiz, keyin tenglamalar tizimidan asosiy noma'lumlarni topamiz. 
.