Arifmetik progressiya formulasining ayirmasini qanday topish mumkin. Arifmetik progressiyani qanday topish mumkin? Yechimli arifmetik progressiya misollari

“Arifmetik progressiya” mavzusi maktablarda 9-sinfda umumiy algebra kursida o‘rganiladi. Bu mavzu raqamlar qatorlari matematikasini yanada chuqurroq o‘rganish uchun muhim ahamiyatga ega. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya, uning farqi, shuningdek, maktab o'quvchilari duch kelishi mumkin bo'lgan odatiy muammolar bilan tanishamiz.

Algebraik progressiya haqida tushuncha

Raqam progressiyasi - bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, unda har bir keyingi element oldingisidan olinishi mumkin, agar biz biron bir matematik qonunni qo'llasak. Progressiyaning ikkita oddiy turi mavjud: geometrik va arifmetik, uni algebraik deb ham atashadi. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, qandaydir ratsional sonni tasavvur qilaylik, uni a1 belgisi bilan belgilaymiz, bu erda indeks uning ko'rib chiqilayotgan seriyadagi seriya raqamini ko'rsatadi. Keling, a1 ga boshqa raqam qo'shamiz va uni d deb nomlaymiz. U holda qatorning ikkinchi elementini quyidagicha aks ettirish mumkin: a2 = a1+d. Endi yana d qo'shamiz, biz quyidagilarga erishamiz: a3 = a2+d. Ushbu matematik operatsiyani davom ettirib, siz arifmetik progressiya deb ataladigan butun bir qator raqamlarni olishingiz mumkin.

Yuqoridagilardan tushunilganidek, bu ketma-ketlikning n-elementini topish uchun quyidagi formuladan foydalanish kerak: an = a1 + (n-1)*d. Haqiqatan ham, ifodaga n=1 ni qo'yib, a1 = a1 ni olamiz, agar n = 2 bo'lsa, formula quyidagicha bo'ladi: a2 = a1 + 1*d va hokazo.

Masalan, arifmetik progressiyaning ayirmasi 5 va a1 = 1 boʻlsa, bu koʻrib chiqilayotgan turdagi sonlar qatori quyidagi koʻrinishga ega ekanligini bildiradi: 1, 6, 11, 16, 21, ... qarang, uning har bir a'zosi avvalgisidan 5 taga ko'p.

Arifmetik progressiya farqi formulalari

Ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining yuqoridagi ta'rifidan kelib chiqadiki, uni aniqlash uchun siz ikkita raqamni bilishingiz kerak: a1 va d. Ikkinchisi bu progressiyaning farqi deb ataladi. Bu butun seriyaning xatti-harakatlarini aniq belgilaydi. Haqiqatan ham, agar d musbat bo'lsa, u holda raqamlar qatori doimiy ravishda o'sib boradi, aksincha, agar d manfiy bo'lsa, seriyadagi raqamlar faqat mutlaq qiymatda ortadi, ularning mutlaq qiymati esa n sonining ortishi bilan kamayadi.

Arifmetik progressiyaning farqi nimada? Keling, ushbu qiymatni hisoblash uchun ishlatiladigan ikkita asosiy formulani ko'rib chiqaylik:

d = an+1-an, bu formula to'g'ridan-to'g'ri ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifidan kelib chiqadi.

d = (-a1+an)/(n-1), agar maqolaning oldingi bandida berilgan formuladan d ni ifodalasak, bu ifoda olinadi. E'tibor bering, agar n=1 bo'lsa, bu ifoda aniqlanmagan (0/0) bo'ladi. Buning sababi shundaki, uning farqini aniqlash uchun seriyaning kamida 2 elementini bilish kerak.

Ushbu ikkita asosiy formulalar progressiyaning farqini topish bilan bog'liq har qanday muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Biroq, siz bilishingiz kerak bo'lgan yana bir formula mavjud.

Birinchi elementlar yig'indisi

Tarixiy dalillarga ko'ra, algebraik progressiyaning istalgan sonining yig'indisini aniqlash mumkin bo'lgan formulani birinchi marta 18-asrda matematikaning "shahzodasi" Karl Gauss qo'lga kiritgan. Nemis olimi, hali qishloq maktabining boshlang'ich sinflarida o'qiyotganda, 1 dan 100 gacha bo'lgan qatordagi natural sonlarni qo'shish uchun birinchi element va oxirgi elementni yig'ish kerakligini payqagan (natijadagi qiymat bo'ladi). oxirgi va ikkinchi, oxirgi va uchinchi elementlarning yig'indisiga teng bo'lishi kerak va hokazo), keyin bu raqam ushbu miqdorlar soniga, ya'ni 50 ga ko'paytirilishi kerak.

Muayyan misolda aytilgan natijani aks ettiruvchi formulani ixtiyoriy holatga umumlashtirish mumkin. U quyidagicha ko'rinadi: Sn = n/2*(an+a1). E'tibor bering, ko'rsatilgan qiymatni topish uchun, agar progressiyaning ikkita sharti (an va a1) ma'lum bo'lsa, d farqini bilish shart emas.

Misol № 1. a1 va an qatorining ikkita hadini bilib, farqni aniqlang

Biz maqolada yuqorida aytib o'tilgan formulalarni qanday qo'llashni ko'rsatamiz. Oddiy misol keltiramiz: arifmetik progressiyaning farqi noma'lum, a13 = -5,6 va a1 = -12,1 bo'lsa, u nimaga teng bo'lishini aniqlash kerak.

Biz raqamlar ketma-ketligining ikkita elementining qiymatlarini bilganimiz va ulardan biri birinchi raqam bo'lganligi sababli, d farqini aniqlash uchun №2 formuladan foydalanishimiz mumkin. Bizda: d =(-1*(-12.1)+(-5.6))/12 = 0.54167. Ifodada biz n=13 qiymatidan foydalandik, chunki bu tartib sonli atama ma'lum.

Olingan farq, vazifa sharoitida berilgan elementlarning salbiy qiymatga ega bo'lishiga qaramay, progressiyaning ortib borayotganligini ko'rsatadi. Ko'rinib turibdiki, a13>a1, garchi |a13|<|a1|.

Misol № 2. 1-misoldagi progressiyaning ijobiy shartlari

Oldingi misolda olingan natijadan yangi masalani yechish uchun foydalanamiz. U quyidagicha tuzilgan: 1-misoldagi progressiyaning elementlari qaysi seriya raqamidan ijobiy qiymatlarni qabul qila boshlaydi?

Ko'rsatilgandek, a1 = -12,1 va d = 0,54167 bo'lgan progressiya ortib bormoqda, shuning uchun ma'lum bir raqamdan raqamlar faqat ijobiy qiymatlarni olishni boshlaydi. Bu n sonni aniqlash uchun oddiy tengsizlikni yechish kerak, u matematik tarzda quyidagicha yoziladi: an>0 yoki tegishli formuladan foydalanib, tengsizlikni qayta yozamiz: a1 + (n-1)*d>0. Noma'lum n ni topish kerak, uni ifodalaymiz: n>-1*a1/d + 1. Endi farqning ma'lum qiymatlarini va ketma-ketlikning birinchi hadini almashtirish qoladi. Biz quyidagilarni olamiz: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 yoki n>23,338. n faqat butun son qiymatlarni qabul qilishi mumkinligi sababli, hosil bo'lgan tengsizlikdan 23 dan katta raqamga ega bo'lgan qatordagi har qanday hadlar musbat bo'ladi.

Ushbu arifmetik progressiyaning 23 va 24-elementlarini hisoblash uchun yuqoridagi formuladan foydalanib olgan javobimizni tekshirib ko‘ramiz. Bizda: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (salbiy raqam); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (ijobiy qiymat). Shunday qilib, olingan natija to'g'ri: n=24 dan boshlab, sonlar qatorining barcha a'zolari noldan katta bo'ladi.

Misol № 3. Qancha loglar mos keladi?

Keling, bitta qiziqarli muammoni keltiramiz: kesish paytida, quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, kesilgan loglarni bir-birining ustiga qo'yishga qaror qilindi. Hammasi bo'lib 10 ta qator sig'ishini bilib, qancha jurnalni shu tarzda yig'ish mumkin?

Jurnallarni yig'ishning ushbu usulida bitta qiziqarli narsani ko'rish mumkin: har bir keyingi qatorda oldingisidan bitta kamroq log bo'ladi, ya'ni algebraik progressiya sodir bo'ladi, ularning farqi d = 1. Har bir satrdagi jurnallar soni ushbu progressiyaning a'zosi deb faraz qilsak, shuningdek, a1 = 1 ekanligini hisobga olsak (faqat bitta jurnal eng yuqori qismida joylashgan), biz a10 raqamini topamiz. Bizda: a10 = 1 + 1 * (10-1) = 10. Ya'ni, erga yotadigan 10-qatorda 10 ta log bo'ladi.

Ushbu "piramidal" strukturaning umumiy yig'indisini Gauss formulasi yordamida olish mumkin. Biz olamiz: S10 = 10/2*(10+1) = 55 log.

Ko'rsatmalar

Arifmetik progressiya a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ko‘rinishdagi ketma-ketlikdir. d raqami qadam taraqqiyot.Ko’rinib turibdiki, arifmetikaning ixtiyoriy n-chi hadining umumiyi. taraqqiyot shaklga ega: An = A1+(n-1)d. Keyin a'zolardan birini bilish taraqqiyot, a'zo taraqqiyot va qadam taraqqiyot, mumkin, ya'ni progress a'zosining raqami. Shubhasiz, u n = (An-A1+d)/d formulasi bilan aniqlanadi.

Keling, m-soni ma'lum bo'lsin taraqqiyot va boshqa a'zo taraqqiyot- n-chi, lekin n , oldingi holatda bo'lgani kabi, lekin ma'lumki, n va m mos kelmaydi.Qadam. taraqqiyot formula yordamida hisoblash mumkin: d = (An-Am)/(n-m). Keyin n = (An-Am+md)/d.

Agar arifmetik tenglamaning bir nechta elementlari yig'indisi ma'lum bo'lsa taraqqiyot, shuningdek, uning birinchi va oxirgisi, keyin bu elementlarning sonini ham aniqlash mumkin.Arifmetika yig'indisi taraqqiyot teng bo'ladi: S = ((A1+An)/2)n. Keyin n = 2S/(A1+An) - chdenov taraqqiyot. An = A1+(n-1)d ekanligidan foydalanib, bu formulani quyidagicha qayta yozish mumkin: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Bundan kvadrat tenglamani yechish orqali n ni ifodalashimiz mumkin.

Arifmetik ketma-ketlik - bu tartiblangan raqamlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi, birinchisidan tashqari, oldingisidan bir xil miqdorda farq qiladi. Bu doimiy qiymat progressiya yoki uning qadamining farqi deb ataladi va arifmetik progressiyaning ma'lum shartlaridan hisoblanishi mumkin.

Ko'rsatmalar

Agar birinchi va ikkinchi yoki boshqa qo'shni shartlarning qiymatlari muammo shartlaridan ma'lum bo'lsa, farqni hisoblash uchun (d) keyingi haddan oldingisini ayirish kifoya. Olingan qiymat ijobiy yoki salbiy raqam bo'lishi mumkin - bu progressiyaning ortib borayotganiga bog'liq. Umumiy shaklda progressiyaning qo‘shni hadlarining ixtiyoriy juftligi (aᵢ va aᵢ₊₁) uchun yechimni quyidagicha yozing: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Biri birinchi (a₁), ikkinchisi esa har qanday boshqa ixtiyoriy tanlangan bo'lgan bunday progressiyaning juft shartlari uchun ayirma (d) ni topish formulasini yaratish ham mumkin. Biroq, bu holda, ketma-ketlikning o'zboshimchalik bilan tanlangan a'zosining seriya raqami (i) ma'lum bo'lishi kerak. Farqni hisoblash uchun ikkala raqamni qo'shing va olingan natijani bittaga qisqartirilgan ixtiyoriy atamaning tartib raqamiga bo'ling. Umuman olganda, bu formulani quyidagicha yozing: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Agar tartib raqami i boʻlgan arifmetik progressiyaning ixtiyoriy aʼzosidan tashqari, tartib raqami u boʻlgan boshqa aʼzosi maʼlum boʻlsa, avvalgi bosqichdagi formulani shunga mos ravishda oʻzgartiring. Bunday holda, progressiyaning farqi (d) bu ikki hadning yig'indisi ularning tartib raqamlari farqiga bo'linadi: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Farqni (d) hisoblash formulasi, agar masala shartlari uning birinchi hadi (a₁) va arifmetik ketma-ketlikning birinchi hadlari berilgan sonning (i) yig‘indisini (Sᵢ) bersa, biroz murakkablashadi. Kerakli qiymatni olish uchun yig'indini uni tashkil etuvchi shartlar soniga bo'ling, ketma-ketlikdagi birinchi raqamning qiymatini ayiring va natijani ikki baravar oshiring. Olingan qiymatni bittaga kamaytirilgan yig'indini tashkil etuvchi shartlar soniga bo'ling. Umuman olganda, diskriminantni hisoblash formulasini quyidagicha yozing: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki dalillar menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunga o'xshash: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun men sizni uzoq tanishtirishlar bilan qiynamayman va to'g'ridan-to'g'ri mavzuga o'taman.

Birinchidan, bir nechta misol. Keling, bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqaylik:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam oddiy ketma-ket raqamlar bo'lib, ularning har biri oldingisidan bittadan ko'p. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshta, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman ildizlar mavjud. Biroq, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ va $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element oddiygina $\sqrt(2)$ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Demak: bunday ketma-ketliklarning barchasi arifmetik progressiyalar deyiladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiya farqi deb ataladi va ko'pincha $d$ harfi bilan belgilanadi.

Belgilash: $\left(((a)_(n)) \right)$ - progressiyaning o'zi, $d$ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim eslatmalar. Birinchidan, faqat rivojlanish hisobga olinadi buyurdi raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Raqamlarni qayta tartibga solish yoki almashtirish mumkin emas.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz progress. To'rttadan keyingi ellips, oldinda yana bir nechta raqamlar borligini ko'rsatadi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyaning ortishi yoki kamayishi mumkin. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Quyida progressiyaning pasayishiga misollar keltirilgan:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Yaxshi, yaxshi: oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:

1. har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortib boradi;
2. kamayishi, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Faqat bitta savol qoladi: ortib borayotgan progressiyani kamayib borayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, bu erda hamma narsa faqat $ d$ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Progressiv farqlar:

1. Agar $d \gt 0$ bo'lsa, progressiya oshadi;
2. Agar $d \lt 0$ bo'lsa, progressiya aniq pasaymoqda;
3. Va nihoyat, $d=0$ holati bor - bu holda butun progressiya bir xil sonlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Yuqorida keltirilgan uchta kamayuvchi progressiya uchun $d$ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan chapdagi raqamni ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ko'rib turganimizdek, har uch holatda ham farq aslida salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya shartlari va takrorlanish formulasi

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \o'ng\)\]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatiladi: birinchi a'zo, ikkinchi a'zo va boshqalar.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni shartlari quyidagi formula bilan bog'langan:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\O'ng strelka ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyaning $n$-chi hadini topish uchun siz $n-1$-chi had va $d$ farqini bilishingiz kerak. Ushbu formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni faqat oldingisini (va aslida barcha oldingilarini) bilish orqali topishingiz mumkin. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob-kitoblarni birinchi muddatga va farqga qisqartiradigan yanada ayyorroq formula mavjud:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\chap(n-1 \o'ng)d\]

Ehtimol, siz allaqachon ushbu formulaga duch kelgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va yechim kitoblarida berishni yaxshi ko'radilar. Va har qanday aqlli matematika darsligida u birinchilardan biridir.

Biroq, men sizga ozgina mashq qilishni maslahat beraman.

Vazifa № 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ bo'lsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Demak, biz $((a)_(1))=8$ birinchi hadini va $d=-5$ progressiyaning farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $n=1$, $n=2$ va $n=3$ oʻrniga qoʻyaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\chap(2-1 \o'ng)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\chap(3-1 \o'ng)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end (tekislash)\]

Javob: (8; 3; −2)

Ana xolos! Iltimos, diqqat qiling: bizning taraqqiyotimiz pasaymoqda.

Albatta, $n=1$ o‘rnini bosa olmadi – birinchi atama bizga allaqachon ma’lum. Biroq, birlikni almashtirish orqali biz formulamiz birinchi muddatda ham ishlayotganiga amin bo'ldik. Boshqa hollarda, hamma narsa banal arifmetikaga tushdi.

Vazifa № 2. Arifmetik progressiyaning yettinchi hadi −40 ga, o‘n yettinchi hadi −50 ga teng bo‘lsa, uning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Keling, muammo shartini tanish so'zlar bilan yozamiz:

\[((a)_(7))=-40;\to'rtlik ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

Men tizim belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Endi shuni ta'kidlaymizki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirsak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end (tekislash)\]

Progressiya farqini topish shunchalik oson! Faqat topilgan raqamni tizimning istalgan tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\[\begin(matritsa) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end (matritsa)\]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end (tekislash)\]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (−34; −35; −36)

Progressiyaning biz kashf etgan qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $n$th va $m$th shartlarini olib, ularni bir-biridan ayirish bilan, progressiyaning farqini $n-m$ soniga ko'paytiramiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \o'ng)\]

Siz aniq bilishingiz kerak bo'lgan oddiy, ammo juda foydali xususiyat - uning yordami bilan siz ko'plab progressiv muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana bunga yaqqol misol:

Vazifa № 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Yechim. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ boʻlgani uchun va biz $((a)_(15))$ topishimiz kerak boʻlgani uchun biz quyidagilarni qayd etamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end (tekislash)\]

Lekin $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, shuning uchun $5d=6$ sharti bo‘yicha bizda quyidagilar mavjud:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end (tekislash)\]

Javob: 20.4

Ana xolos! Bizga hech qanday tenglamalar tizimini yaratish va birinchi had va farqni hisoblashning hojati yo'q edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, muammoning yana bir turini ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy shartlarini qidirish. Hech kimga sir emaski, agar progressiya kuchaysa va uning birinchi muddati salbiy bo'lsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning shartlari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket o'tish orqali ushbu momentni "boshqa" topish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha masalalar shunday yoziladiki, formulalarni bilmasdan, hisob-kitoblar bir necha varaq qog'ozni oladi - javobni topib, biz shunchaki uxlab qolamiz. Shuning uchun keling, ushbu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilaylik.

Vazifa № 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy had bor -38,5; -35,8; ...?

Yechim. Shunday qilib, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, bu erdan darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiy, shuning uchun progressiya oshadi. Birinchi atama manfiy, shuning uchun biz bir nuqtada ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, atamalarning manfiyligi qancha vaqt (ya'ni, $n$ qaysi natural songacha) qolishini aniqlashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\O'ng strelka ((a)_(1))+\left(n-1 \o'ng)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \o'ng)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \o'ng. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \o'ng) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\O'ng strelka ((n)_(\max ))=15. \\ \end (tekislash)\]

Oxirgi satr ba'zi tushuntirishlarni talab qiladi. Shunday qilib, biz $n \lt 15\frac(7)(27)$ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz raqamning faqat butun qiymatlari bilan qanoatlanamiz (bundan tashqari: $n\in \mathbb(N)$), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aniq $n=15$ va hech qanday holatda 16 emas. .

Vazifa № 5. Arifmetik progressiyada $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'ladi, lekin biz $((a)_(1))$ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $((a)_(5))$ va $((a)_(6))$, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, standart formuladan foydalanib, beshinchi atamani birinchi va farq orqali ifodalashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end (tekislash)\]

Endi biz oldingi vazifaga o'xshash tarzda davom etamiz. Keling, ketma-ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar paydo bo'lishini bilib olaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\O'ng strelka ((n)_(\min ))=56. \\ \end (tekislash)\]

Bu tengsizlikning minimal butun yechimi 56 raqamidir.

E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushib qoldi, shuning uchun $n=55$ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganamiz, bu bizga kelajakda ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chekinishlar

$\left(((a)_(n)) \right)$ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlarini ko'rib chiqamiz. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Sonlar qatoridagi arifmetik progressiyaning shartlari

Men alohida $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyoriy shartlarni belgiladim, lekin $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ va boshqalar. Chunki men hozir aytib beradigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, takrorlanuvchi formulani eslaylik va uni barcha belgilangan shartlar uchun yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end (tekislash)\]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & (a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, nima? Va $((a)_(n-1))$ va $((a)_(n+1))$ atamalari $((a)_(n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi. . Va bu masofa $d$ ga teng. $((a)_(n-2))$ va $((a)_(n+2))$ atamalari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $((a)_(n) dan ham olib tashlangan. )$ bir xil masofada $2d$ ga teng. Biz infinitumni davom ettirishimiz mumkin, ammo ma'no rasmda yaxshi ko'rsatilgan

Progressiya shartlari markazdan bir xil masofada joylashgan

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $((a)_(n))$ topish mumkin:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Biz ajoyib bayonot oldik: arifmetik progressiyaning har bir hadi qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari: biz $((a)_(n))$ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $k$ qadamlar bilan orqaga qaytishimiz mumkin - va formula hali ham to'g'ri bo'ladi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bular. $((a)_(150))$ va $((a)_(100))$ va $((a)_(200))$ bilsak, biz osonlik bilan $((a)_(150))$ topishimiz mumkin, chunki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab masalalar o'rtacha arifmetikdan foydalanish uchun maxsus moslashtirilgan. Qarab qo'ymoq:

Vazifa № 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ va $14+4((x)^(2))$ raqamlari ketma-ket shartlar boʻlgan $x$ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (ko'rsatilgan tartibda).

Yechim. Bu raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element $x+1$ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end (tekislash)\]

Natijada klassik kvadrat tenglama olinadi. Uning ildizlari: $x=2$ va $x=-3$ javoblardir.

Javob: −3; 2.

Vazifa № 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ raqamlari arifmetik progressiya hosil qiladigan $$ qiymatlarini toping (shu tartibda).

Yechim. Oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymati orqali yana ifodalaymiz:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \o'ng.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end (tekislash)\]

Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $x=6$ va $x=1$.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz qandaydir shafqatsiz raqamlarga duch kelsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Aytaylik, 6-masalada biz −3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to‘g‘riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni asl holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Eslatib o‘tamiz, bizda uchta raqam ($-6(()^(2))$, $+1$ va $14+4(()^(2))$ bor, ular arifmetik progressiya hosil qilishi kerak. $x=-3$ ni almashtiramiz:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tuzalash)\]

Biz −54 raqamlarini oldik; −2; 52 ga farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $x=2$ uchun sodir bo'ladi:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tuzalash)\]

Yana progressiya, lekin farq 27. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilindi. Xohlaganlar ikkinchi muammoni mustaqil ravishda tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz yana bir qiziqarli faktga duch keldik, uni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgining o'rtacha arifmetik qiymati bo'lsa, u holda bu raqamlar arifmetik progressiyani hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga muammoning shartlariga asoslanib, kerakli progressiyani tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" bilan shug'ullanishdan oldin, biz allaqachon muhokama qilingan narsadan kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Elementlarni guruhlash va jamlash

Keling, yana raqamlar o'qiga qaytaylik. Keling, progressiyaning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolarga arziydi:

Raqamlar qatorida 6 ta element belgilangan

Keling, “chap dum”ni $((a)_(n))$ va $d$, “o‘ng dum”ni esa $(a)_(k))$ va $d$ orqali ifodalashga harakat qilaylik. Bu juda oddiy:

\[\begin(align) & (a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end (tekislash)\]

Endi e'tibor bering, quyidagi miqdorlar tengdir:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tuzalash)\]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $S$ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich deb hisoblasak va keyin bu elementlardan qarama-qarshi yo'nalishda (bir-biriga qarab yoki aksincha) qadam tashlay boshlasak, keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$S$. Buni grafik jihatdan eng aniq ifodalash mumkin:

Teng chekinishlar teng miqdorni beradi

Ushbu haqiqatni tushunish bizga yuqorida ko'rib chiqqanimizdan ko'ra ancha yuqori darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishga imkon beradi. Masalan, bular:

Vazifa № 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Yechim. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(tuzalash)\]

Demak, biz $d$ progressiya farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \o'ng)\cdot \left(66+11d \o'ng)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng). \end(tuzalash)\]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan 11 ning umumiy ko'paytiruvchisini oldim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $d$ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasini ko'rib chiqamiz - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, chunki qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \o'ng)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ko'rib turganingizdek, eng yuqori atama koeffitsienti 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham yuqoriga qarab shoxlari bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

kvadratik funktsiyaning grafigi - parabola

Iltimos, diqqat qiling: bu parabola o'zining minimal qiymatini $((d)_(0))$ abscissa bilan cho'qqisida oladi. Albatta, biz ushbu abscissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formulasi mavjud), ammo shuni ta'kidlash maqsadga muvofiqroq bo'ladi. kerakli cho'qqi parabolaning o'qi simmetriyasida yotadi, shuning uchun $((d)_(0))$ nuqta $f\left(d \right)=0$ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\to'rtlik ((d)_(2))=-6. \\ \end (tekislash)\]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklida ildizlarni topish juda oson edi. Demak, abscissa −66 va −6 sonlarning oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Topilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (Aytgancha, biz hech qachon $((y)_(\min ))$ hisoblamaganmiz - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam asl progressiyaning farqidir, ya'ni. biz javob topdik. :)

Javob: −36

Vazifa № 9. $-\frac(1)(2)$ va $-\frac(1)(6)$ raqamlari orasiga uchta raqam qo'yingki, ular bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yechim. Aslida, biz birinchi va oxirgi raqam allaqachon ma'lum bo'lgan beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak. Keling, etishmayotgan raqamlarni $x$, $y$ va $z$ oʻzgaruvchilari bilan belgilaymiz:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \o'ng\ )\]

E'tibor bering, $y$ raqami bizning ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $x$ va $z$ raqamlaridan va $-\frac(1)(2)$ va $-\frac raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. (1)(6)$. Agar biz hozirda $x$ va $z$ raqamlaridan $y$ ni ololmasak, progressiyaning oxirlarida vaziyat boshqacha. Keling, o'rtacha arifmetikni eslaylik:

Endi $y$-ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $x$ $-\frac(1)(2)$ raqamlari va biz topgan $y=-\frac(1)(3)$ raqamlari orasida joylashgan. Shunung uchun

Shunga o'xshash asoslardan foydalanib, biz qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni javobda asl raqamlar orasiga kiritish kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Vazifa № 10. 2 va 42 raqamlari orasiga bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani tashkil etuvchi bir nechta raqamlarni qo'ying, agar kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgisi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz.

Yechim. Bundan ham murakkab masala, ammo u avvalgilari bilan bir xil sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqamni kiritish kerakligini aniq bilmaymiz. Demak, aniqlik uchun faraz qilaylik, hamma narsani kiritgandan so'ng aynan $n$ raqamlari bo'ladi va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda zarur arifmetik progressiyani quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \o'ng\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Shunga qaramay, $((a)_(2))$ va $((a)_(n-1))$ raqamlari chekkadagi 2 va 42 raqamlaridan bir-biriga qarab bir qadam bilan olinganligini unutmang, ya'ni. ketma-ketlikning markaziga. Va bu shuni anglatadiki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end (tekislash)\]

$((a)_(3))$ va $((a)_(1))$ ni bilib, biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\chap(3-1 \o'ng)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Oʻng strelka d=5. \\ \end (tekislash)\]

Qolgan shartlarni topishgina qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end (tekislash)\]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga - 42 raqamiga etib kelamiz. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Progressiya bilan bog'liq so'z muammolari

Xulosa qilib aytganda, men bir nechta nisbatan oddiy muammolarni ko'rib chiqmoqchiman. Bu juda oddiy: maktabda matematikani o'qigan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu muammolar qiyin bo'lib tuyulishi mumkin. Shunga qaramay, bu OGE va matematikadan Yagona davlat imtihonida paydo bo'ladigan muammolar turlari, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Vazifa № 11. Jamoa yanvar oyida 62 dona detal ishlab chiqargan bo‘lsa, har bir keyingi oyda oldingi oyga nisbatan 14 dona ko‘p detal ishlab chiqardi. Noyabr oyida jamoa necha qism ishlab chiqardi?

Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha sanab o'tilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:

\[\begin(align) & (a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $((a)_(11))$ topishimiz kerak:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Shuning uchun noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Vazifa № 12. Kitob jilovlash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni jamlagan bo‘lsa, keyingi har oyda oldingi oyga nisbatan 4 taga ko‘p kitob muqovalandi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Yechim. Hammasi bir xil:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $((a)_(12))$ qidiramiz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: siz arifmetik progressiyadagi "yosh jangchilar kursini" muvaffaqiyatli yakunladingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, bu erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)... arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uch ga farq qiladi (oldingi elementdan uchtasini qoʻshish orqali olish mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. Masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kichikroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan ko'rsatilgan.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element soniga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va boshqalar.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiya masalalarini yechish

Aslida, yuqorida keltirilgan ma'lumotlar deyarli har qanday arifmetik progressiya muammosini hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan belgilanadi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlaymiz: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(…5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani osongina topishimiz mumkin: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan aniqlanadi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Ammo biz ularning ma'nosini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan narsalardan foydalanib, qiymatlarni birma-bir hisoblaymiz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Kerakli miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, arifmetik progressiya bo'yicha ko'plab muammolarni asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi xuddi shu sonni oldingisiga qo'shish orqali olinadi ( progressiyaning farqi).

Biroq, ba'zida "boshqa" qaror qabul qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. To'rt \(385\) marta qo'shishimiz kerakmi? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblashdan charchadingiz...

Shuning uchun, bunday hollarda ular narsalarni "boshqa" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va \(n\) birinchi hadlar yig‘indisi formulasi.

\(n\)-chi hadning formulasi: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi hadi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) – progressiyaning \(n\) raqami bilan atamasi.

Bu formula bizga progressiyaning faqat birinchi va farqini bilgan holda hatto uch yuzinchi yoki millioninchi elementni ham tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda

\(a_n\) - oxirgi yig'indisi;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan belgilanadi. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh shartning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi shartlarning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsil ma'lumot uchun qarang). Birinchi elementni \(n\) o‘rniga bitta element qo‘yib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz kerakli miqdorni osongina hisoblashimiz mumkin.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - \(n\) birinchi elementlarning kerakli yig'indisi;
\(a_1\) - birinchi yig'indisi;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - jami elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqish bilan mavzuni tugatamiz (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Xuddi shu narsani hal qilishni boshlaymiz: birinchi navbatda \(d\) ni topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi men yig'indining formulasiga \(d\) ni almashtirmoqchiman ... va bu erda kichik bir nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Biz birinchi ijobiy elementga yetganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Noldan katta bo'lish uchun bizga \(a_n\) kerak. Keling, \(n\) bu nima sodir bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Keling, hisoblab chiqaylik ...
\(n>65,333…\)		...va ma'lum bo'lishicha, birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi manfiyda \(n=65\) mavjud. Har holda, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) elementgacha boʻlgan summani toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bunday holat uchun bizda formula yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Bu oson - yig'indini \(26\)-dan \(42\)-chigacha olish uchun avval \(1\)-chidan \(42\)gacha bo'lgan summani topib, keyin ayirish kerak. undan birinchidan \(25\)gacha bo'lgan summa (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz uchun \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rttasini qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-y elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\) elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz ushbu maqolada ularning amaliy foydasi pastligi sababli ko'rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.

O'rta maktabda (9-sinf) algebrani o'rganishda muhim mavzulardan biri progressiyani o'z ichiga olgan sonli ketma-ketliklarni - geometrik va arifmetikani o'rganishdir. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz.

Arifmetik progressiya nima?

Buni tushunish uchun ko'rib chiqilayotgan progressiyani aniqlash, shuningdek, keyinchalik muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan asosiy formulalarni taqdim etish kerak.

Arifmetik yoki tartiblangan ratsional sonlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi avvalgisidan qandaydir doimiy qiymat bilan farq qiladi. Bu qiymat farq deb ataladi. Ya'ni, tartiblangan raqamlar qatorining istalgan a'zosini va farqni bilib, butun arifmetik progressiyani tiklashingiz mumkin.

Keling, misol keltiraylik. Quyidagi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya bo'ladi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holda farq 4 ga teng (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlar to'plamini endi ko'rib chiqilayotgan progressiya turiga bog'lash mumkin emas, chunki u uchun farq doimiy qiymat emas (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠). 17 - 12).

Muhim formulalar

Keling, arifmetik progressiya yordamida masalalarni yechish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni keltiramiz. Ketma-ketlikning n-a’zosini a n belgisi bilan belgilaymiz, bunda n butun sondir. Biz farqni lotin harfi d bilan belgilaymiz. Keyin quyidagi iboralar to'g'ri keladi:

1. n-chi hadning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formula mos keladi: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Birinchi n ta hadning yig'indisini aniqlash uchun: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-sinfda yechimlari bilan arifmetik progressiyaning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikkita formulani eslab qolish kifoya, chunki ko'rib chiqilayotgan turdagi har qanday muammolar ulardan foydalanishga asoslangan. Shuni ham yodda tutish kerakki, progressiya farqi quyidagi formula bilan aniqlanadi: d = a n - a n-1.

1-misol: noma'lum atamani topish

Arifmetik progressiyaga oddiy misol va uni yechish uchun ishlatilishi kerak bo‘lgan formulalarni keltiramiz.

10, 8, 6, 4, ... ketma-ketligi berilsin, unda beshta atama topish kerak.

Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, dastlabki 4 ta atama ma'lum. Beshinchisini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin:

1. Avval farqni hisoblaylik. Bizda bor: d = 8 - 10 = -2. Xuddi shunday, siz boshqa ikkita a'zoni yonma-yon turgan holda olishingiz mumkin. Masalan, d = 4 - 6 = -2. Ma'lumki, d = a n - a n-1, u holda d = a 5 - a 4, shundan biz: a 5 = a 4 + d ni olamiz. Biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan progressiyaning farqini bilishni talab qiladi, shuning uchun avval uni yuqorida ko'rsatilgandek aniqlashingiz kerak (d = -2). Birinchi had a 1 = 10 ekanligini bilib, biz ketma-ketlikning n raqami uchun formuladan foydalanamiz. Bizda: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Oxirgi ifodada n = 5 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ko'rib turganingizdek, ikkala yechim ham bir xil natijaga olib keldi. E'tibor bering, bu misolda progressiya farqi d manfiy qiymatdir. Bunday ketma-ketliklar kamayuvchi deb ataladi, chunki har bir keyingi atama oldingisidan kamroq.

2-misol: progressiya farqi

Endi masalani biroz murakkablashtiramiz, arifmetik progressiyaning ayirmasini topishga misol keltiramiz.

Ma’lumki, ba’zi algebraik progressiyalarda 1-hash 6 ga, 7-hash 18 ga teng bo‘ladi.Ayrılmani topib, bu ketma-ketlikni 7-hashga qaytarish kerak.

Noma'lum atamani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n = (n - 1) * d + a 1 . Unga shartdagi ma'lum ma'lumotlarni, ya'ni a 1 va a 7 raqamlarini almashtiramiz, bizda: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifodadan osongina farqni hisoblashingiz mumkin: d = (18 - 6) /6 = 2. Shunday qilib, biz masalaning birinchi qismiga javob berdik.

Ketma-ketlikni 7-songacha tiklash uchun algebraik progressiyaning ta'rifidan foydalanish kerak, ya'ni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d va hokazo. Natijada, biz butun ketma-ketlikni tiklaymiz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3-misol: progressiyani tuzish

Keling, muammoni yanada murakkablashtiraylik. Endi arifmetik progressiyani qanday topish mumkin degan savolga javob berishimiz kerak. Quyidagi misolni keltirish mumkin: ikkita raqam berilgan, masalan - 4 va 5. Bular orasiga yana uchta had qo'yish uchun algebraik progressiyani yaratish kerak.

Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, berilgan raqamlar kelajakdagi rivojlanishda qaysi o'rinni egallashini tushunishingiz kerak. Ular orasida yana uchta atama bo'ladi, keyin 1 = -4 va 5 = 5. Buni aniqlab, biz avvalgisiga o'xshash masalaga o'tamiz. Shunga qaramay, n-son uchun biz formuladan foydalanamiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdan: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Bu erda biz olgan narsa farqning butun qiymati emas, balki ratsional sondir, shuning uchun algebraik progressiya uchun formulalar bir xil bo'lib qoladi.

Endi topilgan farqni 1 ga qo'shamiz va progressiyaning etishmayotgan shartlarini tiklaymiz. Biz olamiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mos kelgan muammoning shartlari bilan.

4-misol: progressiyaning birinchi muddati

Arifmetik progressiyaning yechimlari bilan misollar keltirishni davom ettiramiz. Oldingi barcha masalalarda algebraik progressiyaning birinchi soni ma'lum edi. Endi boshqa turdagi masalani ko'rib chiqamiz: ikkita raqam berilsin, bu erda a 15 = 50 va 43 = 37. Bu ketma-ketlik qaysi raqamdan boshlanishini topish kerak.

Hozirgacha foydalanilgan formulalar 1 va d ni bilishni nazarda tutadi. Muammo bayonotida bu raqamlar haqida hech narsa ma'lum emas. Shunga qaramay, biz ma'lumot mavjud bo'lgan har bir atama uchun iboralarni yozamiz: a 15 = a 1 + 14 * d va 43 = a 1 + 42 * d. Biz ikkita noma'lum miqdor (a 1 va d) mavjud bo'lgan ikkita tenglama oldik. Demak, masala chiziqli tenglamalar sistemasini echishga keltiriladi.

Ushbu tizimni yechishning eng oson yo'li har bir tenglamada 1 ni ifodalash va natijada olingan ifodalarni solishtirishdir. Birinchi tenglama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikkinchi tenglama: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ushbu ifodalarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, farq d = ​​(37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (faqat 3 kasr berilgan).

d ni bilgan holda, 1 uchun yuqoridagi 2 ta ifodadan istalgan birini ishlatishingiz mumkin. Misol uchun, birinchi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, uni tekshirishingiz mumkin, masalan, shartda ko'rsatilgan progressiyaning 43-hajmini aniqlang. Biz olamiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kichik xatolik hisob-kitoblarda mingdan birgacha yaxlitlash ishlatilganligi bilan bog'liq.

5-misol: miqdor

Endi arifmetik progressiya yig‘indisining yechimlari bilan bir nechta misollarni ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi ko'rinishdagi sonli progressiya berilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Ushbu raqamlarning 100 tasining yig'indisini qanday hisoblash mumkin?

Kompyuter texnologiyalarining rivojlanishi tufayli bu muammoni hal qilish mumkin, ya'ni barcha raqamlarni ketma-ket qo'shish mumkin, bu kompyuter odam Enter tugmasini bosgan zahoti bajaradi. Biroq, agar siz taqdim etilgan raqamlar qatori algebraik progressiya ekanligiga e'tibor qaratsangiz va uning farqi 1 ga teng bo'lsa, muammoni aqliy ravishda hal qilish mumkin. a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Qizig'i shundaki, bu muammo "Gauss" deb nomlanadi, chunki 18-asrning boshlarida mashhur nemis, hali 10 yoshda, uni bir necha soniya ichida hal qila oldi. Bola algebraik progressiya yig‘indisi formulasini bilmasdi, lekin u payqadi: agar ketma-ketlik oxiridagi raqamlarni juft-juft qilib qo‘shsangiz, har doim bir xil natijaga erishasiz, ya’ni 1+100=2+99. = 3 + 98 = ... va bu summalar aniq 50 (100 / 2) bo'lganligi sababli, to'g'ri javobni olish uchun 50 ni 101 ga ko'paytirish kifoya.

6-misol: n dan m gacha bo'lgan hadlar yig'indisi

Arifmetik progressiya yig'indisining yana bir tipik misoli quyidagicha: bir qator raqamlar berilgan: 3, 7, 11, 15, ..., siz uning 8 dan 14 gacha bo'lgan hadlari yig'indisi nimaga teng bo'lishini topishingiz kerak. .

Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi. Ulardan birinchisi 8 dan 14 gacha bo'lgan noma'lum atamalarni topib, keyin ularni ketma-ket yig'ishni o'z ichiga oladi. Bir nechta atamalar mavjud bo'lganligi sababli, bu usul unchalik mehnat talab qilmaydi. Shunga qaramay, bu muammoni universalroq bo'lgan ikkinchi usul yordamida hal qilish taklif etiladi.

Maqsad m va n hadlar orasidagi algebraik progressiya yig’indisining formulasini olishdir, bunda n > m butun sonlardir. Ikkala holatda ham yig'indi uchun ikkita ifoda yozamiz:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m bo'lgani uchun 2-summa birinchisini o'z ichiga olishi aniq. Oxirgi xulosa shuni bildiradiki, agar bu yig’indilar orasidagi ayirmani olib, unga a m atamasini qo’shsak (farq olingan taqdirda u S n yig’indisidan ayiriladi), masalaga kerakli javobni olamiz. Bizda: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifodada a n va a m formulalarini almashtirish kerak. Keyin biz olamiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Olingan formula biroz og'ir, ammo S mn yig'indisi faqat n, m, a 1 va d ga bog'liq. Bizning holatda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu raqamlarni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz: S mn = 301.

Yuqoridagi yechimlardan ko’rinib turibdiki, barcha masalalar n-sonli ifoda va birinchi hadlar to’plami yig’indisi formulasini bilishga asoslangan. Ushbu muammolardan birini hal qilishni boshlashdan oldin, shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz, nimani topishingiz kerakligini aniq tushunishingiz va shundan keyingina hal qilishni davom ettirishingiz tavsiya etiladi.

Yana bir maslahat - soddalikka intiling, ya'ni agar siz murakkab matematik hisob-kitoblardan foydalanmasdan savolga javob bera olsangiz, unda siz buni qilishingiz kerak, chunki bu holda xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi. Masalan, 6-sonli yechim bilan arifmetik progressiya misolida S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formulasida to'xtash mumkin va umumiy masalani alohida kichik vazifalarga ajrating (bu holda avval a n va m atamalarini toping).

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, berilgan misollarning ba'zilarida bo'lgani kabi, uni tekshirish tavsiya etiladi. Biz arifmetik progressiyani qanday topishni bilib oldik. Agar siz buni tushunsangiz, bu unchalik qiyin emas.