Eksponensial funktsiya
y = a ko'rinishdagi funktsiya x , bu erda a noldan katta va a birga teng bo'lmagan ko'rsatkichli funktsiya deyiladi. Eksponensial funktsiyaning asosiy xususiyatlari:
1. Eksponensial funktsiya sohasi haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi.
2. Ko'rsatkichli funktsiya diapazoni barcha musbat haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi. Ba'zan bu to'plam qisqalik uchun R+ sifatida belgilanadi.
3. Agar ko'rsatkichli funktsiyada a asos birdan katta bo'lsa, u holda funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib boradi. Agar a asosi uchun eksponensial funktsiya quyidagi 0 shartni qanoatlantirsa
4. Darajaning barcha asosiy xossalari haqiqiy bo'ladi. Darajaning asosiy xossalari quyidagi tengliklar bilan ifodalanadi:
a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x ) y = a (x*y) .
Bu tengliklar x va y ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun amal qiladi.
5. Ko‘rsatkichli funksiya grafigi har doim (0;1) koordinatali nuqtadan o‘tadi.
6. Ko'rsatkichli funktsiyaning ortishi yoki kamayishiga qarab, uning grafigi ikki xildan biriga ega bo'ladi.
Quyidagi rasmda ortib borayotgan ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan: a>0.
Quyidagi rasm kamayuvchi eksponensial funktsiyaning grafigi: 0
(0; 1) nuqtadan beshinchi xatboshida tavsiflangan xususiyatga ko'ra, ortib boruvchi ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ham, kamayuvchi ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ham o'tadi.
7. Ko‘rsatkichli funksiya ekstremum nuqtalariga ega emas, ya’ni boshqa so‘z bilan aytganda funksiyaning minimal va maksimal nuqtalariga ega emas. Agar biz biron bir segmentdagi funktsiyani ko'rib chiqsak, u holda funktsiya ushbu intervalning oxirida minimal va maksimal qiymatlarni oladi.
8. Funksiya juft yoki toq emas. Ko'rsatkichli funktsiya umumiy funktsiyadir. Buni grafiklardan ham ko'rish mumkin, ularning hech biri Oy o'qi bo'yicha ham, kelib chiqishi bo'yicha ham simmetrik emas.
Logarifm
Logarifmlar har doim maktab matematika kursida qiyin mavzu hisoblangan. Logarifmning turli xil ta'riflari mavjud, ammo negadir ko'pchilik darsliklarda ulardan eng murakkab va baxtsizlari qo'llaniladi.
Biz logarifmni oddiy va aniq belgilaymiz. Buning uchun jadval tuzamiz:
Demak, bizda ikkita kuch bor. Agar siz raqamni pastki qatordan olsangiz, unda siz bu raqamni olish uchun ikkitani ko'tarishingiz kerak bo'lgan quvvatni osongina topishingiz mumkin. Misol uchun, 16 ni olish uchun siz ikkitadan to'rtinchi darajaga ko'tarishingiz kerak. Va 64 ni olish uchun siz ikkitadan oltinchi kuchga ko'tarishingiz kerak. Buni jadvaldan ko'rish mumkin.
Va endi - aslida, logarifmning ta'rifi:
Ta'rif
Logarifm x argumentidan a asosi raqamni ko'tarish kerak bo'lgan kuchdir a raqamni olish uchun x.
Belgilanish
log a x = b
Bu erda a - asos, x - argument, b Logarifm aniq nima.
Masalan, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8 ning 2 ta logarifmi uchta, chunki 2 3 = 8). Shuningdek, log 2 64 = 6 bo'lishi mumkin, chunki 2 6 = 64.
Berilgan asosga sonning logarifmini topish amali deyiladilogarifm . Shunday qilib, jadvalimizga yangi qator qo'shamiz:
Afsuski, barcha logarifmlar unchalik oson hisoblanmaydi. Masalan, log 2 ni topishga harakat qiling 5. 5 raqami jadvalda yo'q, lekin mantiq logarifma segmentning biron bir joyida yotishini ta'kidlaydi. Chunki 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Bunday raqamlar irratsional deb ataladi: kasrdan keyingi raqamlar cheksiz yozilishi mumkin va ular hech qachon takrorlanmaydi. Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, uni shunday qoldirgan ma'qul: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Logarifm ikki o'zgaruvchiga (asosiy va argument) ega ifoda ekanligini tushunish muhimdir. Dastlab, ko'p odamlar asos qayerda va argument qayerda ekanligini chalkashtirib yuborishadi. Zerikarli tushunmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun rasmga qarang:
Bizning oldimizda logarifm ta'rifidan boshqa narsa yo'q. Esingizda bo'lsin: logarifm - bu kuch , unga dalil olish uchun asosni ko'tarish kerak. Bu kuchga ko'tarilgan asosdir - rasmda u qizil rang bilan ta'kidlangan. Ma'lum bo'lishicha, tayanch har doim pastda! Men bu ajoyib qoidani o'quvchilarimga birinchi darsda aytaman - va hech qanday chalkashlik yo'q.
Biz ta'rifni aniqladik - logarifmlarni qanday hisoblashni o'rganish qoladi, ya'ni. "log" belgisidan xalos bo'ling. Boshlash uchun biz shuni ta'kidlaymiz Ta'rifdan ikkita muhim fakt kelib chiqadi:
Argument va asos har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu logarifmning ta'rifi kichraytirilgan ratsional ko'rsatkich bilan darajani aniqlashdan kelib chiqadi.
Baza birlikdan farq qilishi kerak, chunki har qanday quvvat uchun birlik hali ham birlikdir. Shu sababli, "ikkitasini olish uchun qanday kuchga ko'tarilishi kerak" degan savol ma'nosizdir. Bunday daraja yo'q!
Bunday cheklovlar chaqirdi tegishli diapazon(ODZ). Ma'lum bo'lishicha, logarifmning ODZ si quyidagicha ko'rinadi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
E'tibor bering raqamga cheklov yo'q b (logarifm qiymati) bir-biriga mos kelmaydi. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0,5 = −1, chunki 0,5 = 2 -1.
Biroq, endi biz faqat sonli ifodalarni ko'rib chiqamiz, bu erda logarifmning ODZ ni bilish talab qilinmaydi. Muammolarni tuzuvchilar tomonidan barcha cheklovlar allaqachon hisobga olingan. Ammo logarifmik tenglamalar va tengsizliklar paydo bo'lganda, DHS talablari majburiy bo'ladi. Darhaqiqat, asos va dalilda yuqoridagi cheklovlarga mutlaqo mos kelmaydigan juda kuchli konstruktsiyalar bo'lishi mumkin.
Hozir generalni ko'rib chiqing logarifmlarni hisoblash sxemasi. U uch bosqichdan iborat:
Fondni yuborish a va argument x mumkin bo'lgan eng kichik bazasi birdan katta bo'lgan kuch sifatida. Yo'l davomida o'nlik kasrlardan xalos bo'lish yaxshiroqdir;
O'zgaruvchi haqida qaror qabul qiling b tenglama: x = a b ;
Qabul qilingan raqam b javob bo'ladi.
Ana xolos! Agar logarifm irratsional bo'lib chiqsa, bu birinchi bosqichda ko'rinadi. Baza birdan katta bo'lishi talabi juda dolzarb: bu xato ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Xuddi shunday, o'nli kasrlar bilan: agar siz ularni darhol oddiylarga aylantirsangiz, xatolar bir necha baravar kam bo'ladi.
Keling, ushbu sxema qanday ishlashini aniq misollar bilan ko'rib chiqaylik:
Logarifmni hisoblang: log 5 25
Baza va argumentni beshning kuchi sifatida ifodalaymiz: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Javob olindi: 2.
Logarifmni hisoblang:
Baza va argumentni uchtaning kuchi sifatida ifodalaymiz: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;
Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
Javobni oldim: -4.
−4
Logarifmni hisoblang: log 4 64
Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Javob olindi: 3.
Logarifmni hisoblang: log 16 1
Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Javob olindi: 0.
Logarifmni hisoblang: log 7 14
Baza va argumentni yettining kuchi sifatida ifodalaymiz: 7 = 7 1 ; 14 yettining kuchi sifatida ifodalanmaydi, chunki 7 1< 14 < 7 2 ;
Oldingi paragrafdan kelib chiqadiki, logarifm hisobga olinmaydi;
Javob o'zgarmaydi: log 7 14.
jurnal 7 14
Oxirgi misol bo'yicha kichik eslatma. Raqam boshqa raqamning aniq kuchi emasligiga qanday ishonch hosil qilish mumkin? Juda oddiy - uni asosiy omillarga ajrating. Kengayishda kamida ikkita alohida omil mavjud bo'lsa, bu raqam aniq kuch emas.
Raqamning aniq darajalari borligini aniqlang: 8; 48; 81; 35; o'n to'rt.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - aniq daraja, chunki faqat bitta multiplikator mavjud;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 aniq kuch emas, chunki ikkita omil mavjud: 3 va 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - aniq daraja;
35 = 7 5 - yana aniq daraja emas;
14 \u003d 7 2 - yana aniq daraja emas;
8, 81 - aniq daraja; 48, 35, 14 - yo'q.
Shuni ham yodda tutingki, tub sonlarning o'zlari har doim o'zlarining aniq kuchlaridir.
O'nlik logarifm
Ba'zi logarifmlar shunchalik keng tarqalganki, ular maxsus nom va belgiga ega.
Ta'rif
O'nlik logarifm x argumentidan 10 ta asosning logarifmi, ya'ni. raqamni olish uchun 10 raqamini ko'tarish kerak bo'lgan kuch x.
Belgilanish
lg x
Masalan, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - va boshqalar.
Bundan buyon darslikda “Find lg 0.01” kabi ibora paydo bo'lganda, bu xato emasligini bilib oling. Bu o'nlik logarifm. Ammo, agar siz bunday belgiga o'rganmagan bo'lsangiz, uni har doim qayta yozishingiz mumkin:
log x = log 10 x
Oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan hamma narsa o'nli kasrlar uchun ham to'g'ri keladi.
tabiiy logarifm
O'z yozuviga ega bo'lgan yana bir logarifm mavjud. Qaysidir ma'noda, bu o'nlikdan ham muhimroqdir. Bu tabiiy logarifm.
Ta'rif
tabiiy logarifm x argumentidan asosiy logarifmdir e , ya'ni. raqamni ko'tarish kerak bo'lgan kuch e raqamni olish uchun x.
Belgilanish
ln x
Ko'pchilik so'raydi: e raqami nima? Bu irratsional son, uning aniq qiymatini topib, yozib bo'lmaydi. Bu erda faqat birinchi raqamlar:
e = 2,718281828459...
Biz bu raqam nima ekanligini va nima uchun kerakligini aniqlamaymiz. Shuni yodda tutingki, e natural logarifmning asosi:
ln x = log e x
Shunday qilib, ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - va boshqalar. Boshqa tomondan, ln 2 irratsional sondir. Umuman olganda, har qanday ratsional sonning natural logarifmi irratsionaldir. Albatta, birlikdan tashqari: ln 1 = 0.
Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar o'rinlidir.
Logarifmlarning asosiy xossalari
Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar unchalik oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda asosiy xususiyatlar deb ataladigan qoidalar mavjud.
Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.
Logarifmlarni qo'shish va ayirish
Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va log a y . Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:
jurnal a x +log ay = jurnal a ( x · y );
jurnal a x − jurnal ay = jurnal a ( x : y ).
Shunday qilib, logarifmlar yig'indisi mahsulotning logarifmiga teng, farq esa bo'linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta bir xil asoslardir. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!
Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi (darsga qarang " "). Misollarni ko'rib chiqing - va qarang:
Ifodaning qiymatini toping: log 6 4 + log 6 9.
Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.
Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.
Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, bu nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.
Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash
Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin Ushbu daraja ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarilishi mumkin:
Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.
Albatta ODZ logarifmi kuzatilsa, ushbu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0 logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.
Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .
Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Ifodaning qiymatini toping:
E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Bizda ... bor:
Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.
Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.
Yangi poydevorga o'tish
Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?
Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:
Teorema
Logarifm jurnaliga yozilsin a x . Keyin istalgan raqam uchun c shundayki c > 0 va c ≠ 1, tenglik to'g'ri:
Xususan, agar biz qo'ysak c = x, biz olamiz:
Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.
Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.
Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:
Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.
E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:
Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.
Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.
Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:
Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:
Asosiy logarifmik identifikatsiya
Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:
Birinchi holda, raqam n argumentning ko‘rsatkichiga aylanadi. Raqam n mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.
Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:asosiy logarifmik identifikatsiya.
Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu paragrafni yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib" qo'yishadi.
Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.
Vazifa
Ifodaning qiymatini toping:
Yechim
E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - shunchaki bazadan kvadratni va logarifm argumentini chiqardi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:
200
Agar kimdir bilmasa, bu imtihondan haqiqiy vazifa edi :)
Logarifmik birlik va logarifmik nol
Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.
log a a = 1 logarifmik birlik. Bir marta va umuman eslab qoling: har qanday bazaga logarifm a bu asosdan o'zi bittaga teng.
log a 1 = 0 bo'ladi logarifmik nol. Baza a har qanday narsa bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa - logarifm nolga teng! chunki a 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.
Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling!
Diqqat konsentratsiyasi:
Ta'rif. Funktsiya turlari deyiladi eksponensial funktsiya .
Izoh. Asosiy istisno a raqamlar 0; 1 va salbiy qiymatlar a quyidagi holatlar bilan izohlanadi:
Analitik ifodaning o'zi a x bu holatlarda u o'z ma'nosini saqlab qoladi va muammolarni hal qilishda duch kelishi mumkin. Masalan, ifoda uchun x y nuqta x = 1; y = 1 qabul qilinadigan qiymatlar oralig'iga kiradi.
Funksiyalarning grafiklarini tuzing: va.
 |
 |
| Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi | |
| y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari
| Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari | y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Funksiya qiymatlari diapazoni | ||
| 3. Birlik bilan taqqoslash intervallari | da x> 0, a x > 1 | da x > 0, 0< a x < 1 |
| da x < 0, 0< a x < 1 | da x < 0, a x > 1 | |
| 4. Juft, g‘alati. | Funksiya juft ham, toq ham emas (umumiy funksiya). | |
| 5. Monotonlik. | tomonidan monoton ravishda ortadi R | tomonidan monoton ravishda kamayadi R |
| 6. Ekstremallar. | Eksponensial funktsiyada ekstremal yo'q. | |
| 7.Asimptota | O'qi O x gorizontal asimptotadir. | |
| 8. Har qanday real qiymatlar uchun x va y; |  |
|
Jadval to'ldirilganda, vazifalar to'ldirish bilan parallel ravishda hal qilinadi.
Vazifa raqami 1. (Funksiyaning sohasini topish uchun).
Funktsiyalar uchun qanday argument qiymatlari amal qiladi:
Vazifa raqami 2. (Funksiya diapazonini topish uchun).
Rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiya doirasi va ko'lamini belgilang:
 |
 |
 |
 |
Vazifa raqami 3. (Birlik bilan taqqoslash oraliqlarini ko'rsatish uchun).
Quyidagi kuchlarning har birini bittasi bilan solishtiring:
Vazifa raqami 4. (Funktsiyani monotonlik uchun o'rganish).
Haqiqiy sonlarni kattaligiga qarab solishtiring m va n agar:
Vazifa raqami 5. (Funktsiyani monotonlik uchun o'rganish).
Asos haqida xulosa chiqaring a, agar:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
X > 0, x = 0, x uchun ko'rsatkichli funktsiyalarning grafiklari bir-biriga nisbatan qanday?< 0?
Bitta koordinata tekisligida funksiyalar grafiklari chiziladi:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
X > 0, x = 0, x uchun ko'rsatkichli funktsiyalarning grafiklari bir-biriga nisbatan qanday?< 0?
| Raqam
matematikadagi eng muhim konstantalardan biri. Ta'rifga ko'ra, u ketma-ketlik chegarasiga teng
cheksiz bilan
ortib borayotgan n
. Belgilanish e tanishtirdi Leonhard Eyler
1736-yilda. U bu sonning dastlabki 23 ta raqamini oʻnlik kasr tizimida hisoblab chiqdi va raqamning oʻzi Nepier sharafiga “tengdosh boʻlmagan son” deb nomlandi.
Raqam e matematik tahlilda alohida o‘rin tutadi. Eksponensial funktsiya asos bilan e, ko'rsatkich deb ataladi va belgilandi y = e x. Birinchi belgilar raqamlar e eslash oson: ikki, vergul, etti, Lev Tolstoyning tug'ilgan yili - ikki marta, qirq besh, to'qson, qirq besh. |
 |
Uy vazifasi:
Kolmogorov 35-bet; № 445-447; 451; 453.
Modul belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan funksiyalar grafiklarini qurish algoritmini takrorlang.
1. Ko‘rsatkichli funktsiya y(x) \u003d a x ko‘rinishdagi funktsiya bo‘lib, ko‘rsatkich xga bog‘liq bo‘lib, a daraja asosining o‘zgarmas qiymatiga ega, bunda a > 0, a ≠ 0, xsR (R) haqiqiy sonlar to'plami).
O'ylab ko'ring Agar asos shartni qanoatlantirmasa, funksiya grafigi: a>0
a) a< 0
Agar a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Agar a = 0 bo'lsa - y = funksiya aniqlangan va doimiy qiymat 0 ga ega
c) a \u003d 1
Agar a = 1 bo'lsa - y = funksiya aniqlangan va doimiy qiymat 1 ga teng
Funktsiya domeni (OOF) Ruxsat etilgan funktsiya qiymatlari maydoni (ODZ) 3. Funktsiyaning nollari (y = 0) 4. Y o'qi bilan kesishish nuqtalari (x = 0) 5. Ortib boruvchi, kamayuvchi funksiya Agar bo'lsa, f(x) funksiya ortadi 6. Juft, toq funksiyalar y = funktsiyasi 0y o'qiga va koordinataga nisbatan simmetrik emas, shuning uchun u na juft, na toq. (umumiy funktsiya) 7. y \u003d funktsiyasi ekstremumga ega emas 8. Haqiqiy darajali darajaning xossalari: a > 0 bo'lsin; a≠1 Keyin xsR uchun; YsR: Monotonlik darajasining xususiyatlari: agar , keyin Agar a> 0 bo'lsa, u holda. 9. Funksiyaning nisbiy joylashuvi A asosi qanchalik katta bo'lsa, x va y o'qlariga yaqinroq bo'ladi a > 1, a = 20 1-misol
Dars #2
Mavzu: Ko‘rsatkichli funksiya, uning xossalari va grafigi. Maqsad:"Eksponensial funktsiya" tushunchasini o'zlashtirish sifatini tekshirish; ko‘rsatkichli funksiyani tan olish, uning xossalari va grafiklaridan foydalanish ko‘nikmalarini shakllantirish, o‘quvchilarni ko‘rsatkichli funksiyani qayd etishning analitik va grafik shakllaridan foydalanishga o‘rgatish; sinfda ish muhitini ta'minlash. Uskunalar: doska, plakatlar Dars shakli: sinf Dars turi: amaliy dars Dars turi: malaka oshirish darsi Dars rejasi 1. Tashkiliy moment 2. Mustaqil ish va uy vazifasini tekshirish 3. Muammoni hal qilish 4. Xulosa qilish 5. Uyga vazifa Darslar davomida. 1. Tashkiliy moment
: Salom. Daftarlarni oching, bugungi kunni va dars mavzusini yozing "Ko'rsatkichli funktsiya". Bugun biz eksponensial funktsiyani, uning xossalarini va grafigini o'rganishni davom ettiramiz. 2. Mustaqil ish va uy vazifasini tekshirish
.
Maqsad:"eksponensial funktsiya" tushunchasini o'zlashtirish sifatini tekshirish va uy vazifasining nazariy qismining bajarilishini tekshirish Usul: test topshirig'i, frontal so'rov Uyga vazifa sifatida masala kitobidan raqamlar va darslikdan paragraf berilgan. Biz hozir darslikdagi raqamlarning bajarilishini tekshirmaymiz, lekin siz dars oxirida daftarlaringizni topshirasiz. Endi nazariya kichik test shaklida sinovdan o'tkaziladi. Vazifa hamma uchun bir xil: sizga funktsiyalar ro'yxati berilgan, siz ulardan qaysi biri indikativ ekanligini topishingiz kerak (ularning tagiga chizish). Eksponensial funktsiyaning yonida esa uning ortib borayotganini yoki kamayib borayotganini yozishingiz kerak. Variant 1 Javob B)
D) - ko'rsatkichli, kamayuvchi Variant 2 Javob D) - ko'rsatkichli, kamayuvchi D)
- indikativ, ortib boruvchi Variant 3 Javob LEKIN)
- indikativ, ortib boruvchi B)
- eksponensial, kamayuvchi Variant 4 Javob LEKIN)
- eksponensial, kamayuvchi DA)
- indikativ, ortib boruvchi Endi birgalikda eslaylik, qanday funktsiya eksponensial deb ataladi? , bu yerda va , ko'rinishdagi funksiya ko'rsatkichli funktsiya deyiladi. Bu funksiyaning qamrovi qanday? Barcha haqiqiy raqamlar. Ko'rsatkichli funktsiyaning diapazoni qanday? Barcha ijobiy haqiqiy raqamlar. Baza noldan katta, lekin birdan kichik bo'lsa, kamayadi. Eksponensial funktsiya o'z sohasida qachon kamayadi? Baza birdan katta bo'lsa, ortadi. 3. Muammoni hal qilish
Maqsad: ko‘rsatkichli funksiyani tan olish, uning xossalari va grafiklaridan foydalanish ko‘nikmalarini shakllantirish, o‘quvchilarni ko‘rsatkichli funksiyani qayd etishning analitik va grafik shakllaridan foydalanishga o‘rgatish. Usul: o`qituvchining tipik masalalar yechish ko`rsatishi, og`zaki ish, doskada ishlash, daftarda ishlash, o`qituvchining o`quvchilar bilan suhbati. Eksponensial funksiyaning xossalaridan 2 yoki undan ortiq sonlarni solishtirishda foydalanish mumkin. Masalan: № 000. Qiymatlarni solishtiring va agar a) - DA) - G) - - No 000. Raqamlarni solishtiring: a) va Demak, funktsiya ortib bormoqda Nima uchun? Funktsiyani oshirish va Demak, funktsiya kamayib bormoqda Ikkala funktsiya ham butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi, chunki ular birdan katta bazaga ega eksponentdir. Buning ma'nosi nima? Biz diagramma tuzamiz: https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> intilishda qaysi funksiya tezroq o'sadi https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> intilishda qaysi funksiya tezroq kamayadi Intervalda funksiyalarning qaysi biri ma'lum bir nuqtada eng katta qiymatga ega? D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Birinchidan, bu funksiyalarning qamrovini bilib olaylik. Ular mos keladimi? Ha, bu funksiyalarning sohasi hammasi haqiqiy sonlardir. Ushbu funktsiyalarning har birining doirasini nomlang. Bu funksiyalarning diapazonlari mos keladi: barcha ijobiy haqiqiy sonlar. Funktsiyalarning har birining monotonlik turini aniqlang. Har uch funktsiya o'zlarining butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi, chunki ular asosi birdan kichik va noldan katta bo'lgan eksponensialdir. Ko‘rsatkichli funksiya grafigining yagona nuqtasi nima? Buning ma'nosi nima? Ko'rsatkichli funktsiya darajasining asosi qanday bo'lishidan qat'i nazar, ko'rsatkich 0 bo'lsa, bu funktsiyaning qiymati 1 ga teng. Biz diagramma tuzamiz: Keling, diagrammalarni tahlil qilaylik. Funksiya grafiklarining nechta kesishish nuqtasi bor? Qaysi funksiya intilishda tezroq pasayadi? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Qaysi funktsiya intilishda tezroq o'sadi? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Intervalda funksiyalarning qaysi biri ma'lum bir nuqtada eng katta qiymatga ega? Intervalda funksiyalarning qaysi biri ma'lum bir nuqtada eng katta qiymatga ega? Nima uchun asoslari har xil bo‘lgan eksponensial funksiyalar faqat bitta kesishish nuqtasiga ega? Eksponensial funktsiyalar butun ta'rif sohasi bo'yicha qat'iy monotondir, shuning uchun ular faqat bir nuqtada kesishishi mumkin. Keyingi vazifa ushbu mulkdan foydalanishga qaratilgan. № 000. Berilgan funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatini toping a). Eslatib o'tamiz, qat'iy monotonik funktsiya ma'lum oraliq oxirida minimal va maksimal qiymatlarni oladi. Va agar funktsiya ortib borayotgan bo'lsa, u holda uning eng katta qiymati segmentning o'ng uchida va eng kichiki segmentning chap uchida bo'ladi (misol sifatida eksponensial funktsiyadan foydalangan holda plakatda namoyish). Agar funktsiya kamayib borayotgan bo'lsa, u holda uning eng katta qiymati segmentning chap uchida, eng kichiki esa segmentning o'ng uchida bo'ladi (misol sifatida eksponensial funktsiyadan foydalangan holda plakatdagi namoyish). Funktsiya ortib bormoqda, chunki, shuning uchun funksiyaning eng kichik qiymati https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" nuqtasida bo'ladi. >. Ballar b) Talabalar muammoni daftarlarida hal qilishadi Funktsiyani kamaytirish Funktsiyani kamaytirish Funktsiyani oshirish - № 000. Berilgan funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatini toping a) 
2. Eksponensial funktsiyani batafsil ko'rib chiqing:
0
Agar bo'lsa, f(x) funksiya kamayadi
Funktsiya y= , 0 da
Bu haqiqiy darajali darajaning monotonlik xususiyatlaridan kelib chiqadi.
b > 0; b≠1
Masalan:
Ko'rsatkich funksiyasi har qanday s R nuqtasida uzluksizdir.
Agar a0 bo'lsa, ko'rsatkichli funktsiya y = 0 ga yaqin shaklni oladi.
Agar a1 bo'lsa, u holda x va y o'qlaridan uzoqroqda va grafik y \u003d 1 funktsiyasiga yaqin shaklni oladi.
Plot y=
..gif" width="37" height="20 src=">, unda bu juda qiyin ish: biz 3 va 9 ning kub ildizini olishimiz va ularni solishtirishimiz kerak edi. Lekin biz bilamizki, bu ortadi, bu o'z navbatida bo'lsa, argument ortganda, funktsiya qiymati ortadi, ya'ni argument qiymatlarini bir-biri bilan solishtirish kifoya qiladi va aniqki, 
(ortib borayotgan eksponensial funktsiyaga ega plakatda ko'rsatilishi mumkin). Va har doim bunday misollarni echishda, birinchi navbatda, eksponensial funktsiyaning asosini aniqlang, 1 bilan solishtiring, monotonlikni aniqlang va argumentlarni solishtirishga o'ting. Kamayuvchi funktsiya holatida: argument oshgani sayin funksiyaning qiymati kamayadi, shuning uchun argumentlar tengsizligidan funktsiyalar tengsizligiga o'tishda tengsizlik belgisi o'zgaradi. Keyin og'zaki hal qilamiz: b) 
, ichida) 
d) daftarlarni o'zingiz hal qiling, og'zaki tekshiramiz.
oraliqdagi funksiyaning eng katta qiymati
intervaldagi funksiyaning eng kichik qiymati
intervaldagi funksiyaning eng kichik qiymati
oraliqdagi funksiyaning eng katta qiymati
. Bu vazifa avvalgisi bilan deyarli bir xil. Ammo bu erda segment emas, balki nur berilgan. Funktsiya ortib borayotganini bilamiz va u butun son qatorida eng katta va eng kichik qiymatga ega emas https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, va ga moyil bo'ladi, ya'ni nurda funksiya 0 ga intiladi, lekin eng kichik qiymatiga ega emas, lekin nuqtada eng katta qiymatga ega. 
. Ballar b) 
, ichida) 
, G) 
Daftarlaringizni o'zingiz hal qiling, biz og'zaki tekshiramiz.
x=2 o'zgaruvchining turli ratsional qiymatlari uchun ifoda qiymatini toping; 0; -3; -
E'tibor bering, x o'zgaruvchisi o'rniga qaysi raqamni qo'yishimizdan qat'iy nazar, siz har doim bu ifodaning qiymatini topishingiz mumkin. Shunday qilib, biz ratsional sonlar to'plamida aniqlangan ko'rsatkichli funktsiyani ko'rib chiqamiz (y 3 x quvvatga teng): .
Bu funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzib, uning grafigini tuzamiz.
Keling, bu nuqtalardan o'tuvchi silliq chiziq chizamiz (1-rasm).
Ushbu funktsiyaning grafigidan foydalanib, uning xususiyatlarini ko'rib chiqing:
3. Butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.
- noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan diapazon.
8. Funksiya qavariq pastga.
Agar bitta koordinata tizimida funksiyalar grafiklari tuzilsa; y=(y teng x darajaga, y teng beshga teng, y teng yetti x kuchga teng), ular y=(y teng x kuchga teng) kabi xususiyatlarga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin. 2-rasm), ya'ni y = (y x ning kuchiga a ga teng, birdan katta) ko'rinishdagi barcha funktsiyalar shunday xususiyatlarga ega bo'ladi.
Funktsiyani chizamiz:
1. Uning qiymatlari jadvalini tuzish.
Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz.
Bu nuqtalardan o'tuvchi silliq chiziq chizamiz (3-rasm).
Ushbu funktsiyaning grafigidan foydalanib, biz uning xususiyatlarini ko'rsatamiz:
1. Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.
2. Juft ham, toq ham emas.
3. Ta'rifning butun maydoni bo'ylab kamayadi.
4. Eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas.
5. Pastdan cheklangan, lekin yuqoridan cheklanmagan.
6. Ta'rifning butun doirasi bo'ylab uzluksiz.
7. qiymat diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha.
8. Funksiya qavariq pastga.
Xuddi shunday, agar bitta koordinata tizimida funktsiyalar grafiklarini qurish uchun; y=(y bir soniyaga teng x quvvat, y teng beshdan bir x kuch, y teng yettinchi x kuch), ular bir xil xususiyatlarga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin y=(y teng uchdan biriga teng. x ning kuchi).x) (4-rasm), ya'ni y \u003d ko'rinishidagi barcha funktsiyalar (y birga bo'lingan a ga teng x kuchiga, noldan katta, lekin birdan kichik) bo'ladi. shunday xususiyatlarga ega
Bitta koordinata tizimidagi funksiyalar grafiklarini tuzamiz
bu shuni anglatadiki, y \u003d y \u003d funktsiyalarning grafiklari (y ning x kuchiga teng a ga teng va y a ning x kuchiga bo'linganiga teng) a ning bir xil qiymati uchun ham simmetrik bo'ladi. .
Eksponensial funktsiyaning ta'rifini berib, uning asosiy xususiyatlarini ko'rsatib, aytilganlarni umumlashtiramiz:
Ta'rif: y \u003d ko'rinishdagi funktsiya, bu erda (y x kuchiga a ga teng, bu erda a musbat va birdan farq qiladi) eksponensial funktsiya deb ataladi.
y= koʻrsatkichli funksiya bilan y=, a=2,3,4,… darajali funksiya oʻrtasidagi farqlarni esga olish kerak. ham eshitish, ham ingl. Eksponensial funktsiya X daraja va quvvat funksiyasi uchun X asos hisoblanadi.
1-misol: Tenglamani yeching (x ning uchta kuchi to'qqizga teng)
(y teng uchga teng x ning kuchi va y to'qqizga teng) 7-rasm
E'tibor bering, ularning bitta umumiy nuqtasi M (2; 9) (em koordinatalari ikki; to'qqiz), bu nuqtaning abscissasi ushbu tenglamaning ildizi bo'lishini anglatadi. Ya'ni, tenglama bitta ildizga ega x = 2.
2-misol: Tenglamani yeching
Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz (y x ning kuchiga beshga teng va y yigirma beshdan biriga teng) 8-rasm. Grafiklar bir nuqtada kesishadi T (-2; (koordinatalari bilan te minus ikki; yigirma beshdan biri). Demak, tenglamaning ildizi x \u003d -2 (minus ikki) dir.
3-misol: Tengsizlikni yeching
Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz
(y, x ning kuchiga uchga, y esa yigirma yettiga teng).
9-rasm funksiya grafigi y=qachon funksiya grafigining tepasida joylashgan
x Demak, tengsizlikning yechimi oraliqdir (minus cheksizlikdan uchgacha)
4-misol: Tengsizlikni yeching
Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz (y x kuchining to'rtdan biriga va y o'n oltiga teng). (10-rasm). Grafiklar bir K nuqtada kesishadi (-2;16). Bu shuni anglatadiki, tengsizlikning yechimi (-2; (minus ikkidan plyus cheksizgacha) oraliqdir), chunki y \u003d funktsiyasining grafigi x da funktsiya grafigi ostida joylashgan.
Bizning fikrimiz quyidagi teoremalarning to'g'riligini tekshirishga imkon beradi:
1-shart: If to'g'ri, agar va faqat m=n bo'lsa.
2-teorema: Agar to'g'ri bo'lsa, agar va faqat bo'lsa, u holda tengsizlik to'g'ri bo'ladi, agar va faqat agar (*-rasm).
4-teorema: Agar to'g'ri bo'lsa, faqat va faqat agar (rasm.**), tengsizlik faqat va faqat agar to'g'ri bo'lsa.
5-misol: y= funksiyasining grafigini tuzing
y= daraja xossasini qo'llash orqali funktsiyani o'zgartiramiz
Qo'shimcha koordinatalar sistemasini quramiz va yangi koordinatalar sistemasida y = funksiyani chizamiz (y x quvvatiga ikkiga teng) 11-rasm.
6-misol: Tenglamani yeching
Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz
(Y x ning kuchiga yetti ga teng va Y sakkiz minus x ga teng) 12-rasm.
Grafiklar bir E nuqtada kesishadi (1; (e koordinatalari bir; yetti). Demak, tenglamaning ildizi x = 1 (x birga teng).
7-misol: Tengsizlikni yeching
Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz
(Y x kuchining to'rtdan biriga teng va Y x ortiqcha beshga teng). y= funksiya grafigi at y=x+5 funksiya grafigidan pastda joylashgan, tengsizlikning yechimi x oraliqdir (minus birdan ortiqcha cheksizlikka qadar).