Funksiya eng muhim matematik tushunchalardan biridir. Funktsiya y o'zgaruvchining x o'zgaruvchiga bog'liqligi, agar x ning har bir qiymati y ning bitta qiymatiga to'g'ri kelsa. X o'zgaruvchisi mustaqil o'zgaruvchi yoki argument deb ataladi. y o'zgaruvchiga bog'liq o'zgaruvchi deyiladi. Mustaqil o'zgaruvchining barcha qiymatlari (x o'zgaruvchisi) funktsiyani aniqlash sohasini tashkil qiladi. Bog'liq o'zgaruvchi (y o'zgaruvchisi) oladigan barcha qiymatlar funktsiya diapazonini tashkil qiladi.
Funktsiya grafigi - bu koordinata tekisligining barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning abssissalari argument qiymatlariga teng, ordinatalari esa funktsiyaning mos keladigan qiymatlari, ya'ni qiymatlari. x o'zgaruvchining abscissa o'qi bo'ylab, y o'zgaruvchining qiymatlari esa ordinat o'qi bo'ylab chizilgan. Funksiyaning grafigini tuzish uchun funksiya xossalarini bilish kerak. Funktsiyaning asosiy xususiyatlari quyida muhokama qilinadi!
Funksiya grafigini yaratish uchun biz dasturimizdan foydalanishni tavsiya qilamiz - Graphing functions online. Agar sizda ushbu sahifadagi materialni o'rganishda savollaringiz bo'lsa, ularni har doim bizning forumimizda so'rashingiz mumkin. Shuningdek, forumda ular sizga matematika, kimyo, geometriya, ehtimollar nazariyasi va boshqa ko'plab fanlardan muammolarni hal qilishda yordam beradi!
Funksiyalarning asosiy xossalari.
1) Funktsiyani aniqlash sohasi va funksiya qiymatlari diapazoni.
Funktsiya sohasi x argumentining (x o'zgaruvchisi) barcha haqiqiy haqiqiy qiymatlari to'plami bo'lib, u uchun y = f (x) funktsiyasi aniqlanadi.
Funktsiya diapazoni - bu funktsiya qabul qiladigan barcha haqiqiy y qiymatlari to'plami.
Boshlang'ich matematikada funksiyalar faqat haqiqiy sonlar to'plamida o'rganiladi.
2) funksiyaning nollari.
y=0 bo'lgan x qiymatlari chaqiriladi funktsiya nollari. Bular funktsiya grafigining Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarining abstsissalari.
3) Funksiyaning doimiy ishorali intervallari.
Funktsiyaning doimiy belgisi intervallari - y funksiyaning qiymatlari faqat ijobiy yoki faqat manfiy bo'lgan x qiymatlari oraliqlari deyiladi. funksiyaning doimiy ishorali intervallari.
4) Funksiyaning monotonligi.
Ortib boruvchi funktsiya (ma'lum bir oraliqda) bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos keladigan funktsiyadir.
Kamayuvchi funktsiya (ma'lum bir oraliqda) bu argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kichikroq qiymatiga mos keladigan funktsiyadir.
5) Funksiyaning juftligi (to‘qligi).
Juft funksiya deganda aniqlanish sohasi boshiga va har qanday x f(-x) = f(x) uchun simmetrik bo lgan funksiya tushuniladi. Juft funksiya grafigi ordinataga nisbatan simmetrikdir.
Toq funksiya deganda aniqlanish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik va aniqlanish sohasidagi istalgan x uchun f(-x) = - f(x) tenglik togri bolgan funksiya tushuniladi. Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.
Hatto funktsiya
1) Ta'rif sohasi (0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik, ya'ni a nuqta aniqlanish sohasiga tegishli bo'lsa, -a nuqta ham aniqlanish sohasiga tegishli.
2) har qanday qiymat uchun x f(-x)=f(x)
3) Juft funksiya grafigi Oy o'qiga nisbatan simmetrikdir.
G'alati funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:
1) Ta'rif sohasi (0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir.
2) taʼrif sohasiga tegishli boʻlgan har qanday x qiymati uchun f(-x)=-f(x) tenglik bajariladi.
3) Toq funksiya grafigi koordinata boshiga (0; 0) nisbatan simmetrikdir.
Har bir funktsiya juft yoki toq emas. Funksiyalar umumiy ko'rinish juft ham, toq ham emas.
6) Cheklangan va cheklanmagan funksiyalar.
Agar |f(x)| ga teng M musbat son bo'lsa, funktsiya chegaralangan deb ataladi x ning barcha qiymatlari uchun ≤ M. Agar bunday raqam mavjud bo'lmasa, u holda funktsiya cheksizdir.
7) Funksiyaning davriyligi.
f(x) funksiya davriy bo'lib, agar nolga teng bo'lmagan T soni mavjud bo'lsa, unda funktsiyaning aniqlanish sohasidagi istalgan x uchun quyidagi amal bajariladi: f(x+T) = f(x). Bu eng kichik raqam funksiya davri deb ataladi. Barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir. (Trigonometrik formulalar).
Agar ta'rif sohasidagi istalgan x uchun f(x)=f(x-T)=f(x+T) tenglik bajariladigan son mavjud bo'lsa, f funksiya davriy deyiladi. T - funksiyaning davri.
Har bir davriy funktsiya cheksiz sonli davrlarga ega. Amalda, odatda, eng kichik ijobiy davr hisoblanadi.
Davriy funktsiyaning qiymatlari davrga teng oraliqdan keyin takrorlanadi. Bu grafiklarni qurishda ishlatiladi.
Funktsiyani o'rganish.
1) D(y) - Ta'rif sohasi: x o'zgaruvchisining barcha qiymatlari to'plami. ular uchun f(x) va g(x) algebraik ifodalar mantiqiy.
Agar funktsiya formula bilan berilgan bo'lsa, u holda ta'rif sohasi formula mantiqiy bo'lgan mustaqil o'zgaruvchining barcha qiymatlaridan iborat.
2) funksiya xossalari: juft/toq, davriylik:
Grafiklari argument belgisining o'zgarishiga nisbatan simmetrik bo'lgan funksiyalar toq va juft deb ataladi.
Toq funksiya - mustaqil o'zgaruvchining belgisi o'zgarganda (koordinatalar markaziga nisbatan simmetrik) o'z qiymatini teskari tomonga o'zgartiradigan funksiya.
Mustaqil oʻzgaruvchining belgisi oʻzgarganda (ordinataga nisbatan simmetrik) qiymatini oʻzgartirmaydigan funksiya juft funksiyadir.
Na juft, na toq funksiya (umumiy shakldagi funksiya) simmetriyaga ega bo‘lmagan funksiya emas. Ushbu turkum oldingi 2 toifaga kirmaydigan funktsiyalarni o'z ichiga oladi.
Yuqoridagi toifalarning birortasiga kirmaydigan funksiyalar deyiladi na juft, na toq(yoki umumiy funktsiyalar).
G'alati funktsiyalar
Toq kuch bu yerda ixtiyoriy butun son.
Hatto funktsiyalari
Hatto kuch bu erda ixtiyoriy butun son.
Davriy funktsiya - bu ma'lum bir muntazam argument oralig'idan keyin o'z qiymatlarini takrorlaydigan funktsiya, ya'ni argumentga nolga teng bo'lmagan biron bir sobit raqamni (funktsiyaning davri) butun sohasi bo'ylab qo'shganda o'z qiymatini o'zgartirmaydi. ta'rifi.
3) Funksiyaning nollari (ildizlari) uning nolga aylanadigan nuqtalaridir.
Grafikning o'q bilan kesishish nuqtasini topish Oy. Buning uchun siz qiymatni hisoblashingiz kerak f(0). Grafikning o'q bilan kesishish nuqtalarini ham toping ho'kiz, nima uchun tenglamaning ildizlarini toping f(x) = 0 (yoki ildizlar yo'qligiga ishonch hosil qiling).
Grafikning o'qni kesishgan nuqtalari funktsiyaning nollari deyiladi. Funktsiyaning nollarini topish uchun siz tenglamani echishingiz kerak, ya'ni funktsiya nolga aylanadigan "x" qiymatlarini toping.
4) Belgilarning doimiylik intervallari, ulardagi belgilar.
f(x) funksiya ishorasini saqlaydigan intervallar.
Doimiy ishorali interval har bir nuqtasida funktsiya ijobiy yoki manfiy bo'lgan intervaldir.
X o'qidan yuqorida.
O'qdan pastda.
5) Uzluksizlik (uzilish nuqtalari, uzilish xarakteri, asimptotlar).
Uzluksiz funksiya - bu "sakrashlarsiz" funktsiya, ya'ni argumentdagi kichik o'zgarishlar funktsiya qiymatining kichik o'zgarishiga olib keladi.
Olib tashlanadigan uzilish nuqtalariFunktsiyaning chegarasi bo'lsa mavjud, lekin bu nuqtada funktsiya aniqlanmagan yoki limit ushbu nuqtadagi funktsiya qiymatiga to'g'ri kelmaydi:
,
keyin nuqta chaqiriladi olinadigan uzilish nuqtasi funktsiyalar (murakkab tahlilda, olinadigan yagona nuqta).
Agar biz olinadigan uzilish nuqtasida funktsiyani "to'g'rilash" va qo'yish 
, u holda biz berilgan nuqtada uzluksiz funksiyani olamiz. Funksiya ustidagi bu operatsiya deyiladi funktsiyani uzluksiz qilish yoki uzluksizlik orqali funksiyani qayta belgilash, bu nuqta nomini nuqta sifatida oqlaydi olinadigan yorilish.
Birinchi va ikkinchi turdagi uzilish nuqtalari
Agar funktsiya ma'lum bir nuqtada uzilishga ega bo'lsa (ya'ni, funktsiyaning berilgan nuqtadagi chegarasi mavjud bo'lmasa yoki berilgan nuqtadagi funktsiyaning qiymatiga to'g'ri kelmasa), u holda sonli funktsiyalar uchun ikkita mumkin bo'lgan variant mavjud. sonli funksiyalarning mavjudligi bilan bog'liq bir tomonlama chegaralar:
agar ikkala bir tomonlama chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa, unda bunday nuqta birinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi. Olib olinadigan uzilish nuqtalari birinchi turdagi uzilish nuqtalaridir;
agar bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi mavjud bo'lmasa yoki chekli qiymat bo'lmasa, unda bunday nuqta ikkinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi.
Asimptot - Streyt, egri chiziqdagi nuqtadan bugacha bo'lgan masofa degan xususiyatga ega Streyt nuqta shox bo‘ylab cheksizlikka uzoqlashganda nolga intiladi.
Vertikal
Vertikal asimptota - chegara chizig'i 
.
Qoidaga ko'ra, vertikal asimptotani aniqlashda ular bir chegarani emas, balki ikkita bir tomonlama (chap va o'ng) chegarani qidiradilar. Bu funksiya vertikal asimptotaga turli yo‘nalishlardan yaqinlashganda o‘zini qanday tutishini aniqlash uchun amalga oshiriladi. Masalan:
GorizontalGorizontal asimptota - Streyt turlari, mavjudligiga bog'liq chegara
.
Egri asimptota - Streyt turlari, mavjudligiga bog'liq chegaralar
Eslatma: funktsiya ikkitadan ortiq qiya (gorizontal) asimptotaga ega bo'lishi mumkin.
Eslatma: agar yuqorida keltirilgan ikkita chegaradan kamida bittasi mavjud bo'lmasa (yoki ga teng bo'lsa), u holda (yoki ) da qiyshiq asimptota mavjud emas.
2. bandda bo'lsa, u holda , va chegara gorizontal asimptota formulasi yordamida topiladi, 
.
6) Monotonlik intervallarini topish. Funksiyaning monotonlik intervallarini toping f(x)(ya’ni ortish va kamayish oraliqlari). Bu hosila belgisini tekshirish orqali amalga oshiriladi f(x). Buning uchun hosilani toping f(x) va tengsizlikni yeching f(x)0. Bu tengsizlik o'rinli bo'lgan intervallarda funksiya f(x) ortadi. Qayerda teskari tengsizlik amal qiladi f(x)0, funksiya f(x) kamaymoqda.
Mahalliy ekstremumni topish. Monotonlik oraliqlarini topib, biz darhol mahalliy ekstremum nuqtalarni aniqlashimiz mumkin, bu erda o'sish pasayish bilan almashtiriladi, mahalliy maksimallar joylashgan va pasayish o'sish bilan almashtiriladi, mahalliy minimallar joylashgan. Ushbu nuqtalarda funktsiyaning qiymatini hisoblang. Agar funktsiyaning mahalliy ekstremum nuqtalari bo'lmagan kritik nuqtalari bo'lsa, u holda bu nuqtalarda ham funktsiyaning qiymatini hisoblash foydali bo'ladi.
Segmentdagi y = f(x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish (davomi)
|
1. Funktsiyaning hosilasini toping: f(x). 2. Hosil nolga teng bo‘lgan nuqtalarni toping: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Ballarning mansubligini aniqlang X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: ruxsat bering x 1a;b, A x 2a;b . |
Grafiklarni transformatsiya qilish.
Funktsiyaning og'zaki tavsifi.
Grafik usul.
Funktsiyani belgilashning grafik usuli eng ko'p ingl va texnologiyada ko'pincha qo'llaniladi. Matematik tahlilda illyustratsiya sifatida funksiyalarni belgilashning grafik usuli qo'llaniladi.
f funktsiyaning grafigi koordinata tekisligining barcha nuqtalari (x;y) to'plamidir, bu erda y=f(x) va x bu funktsiyani aniqlashning butun sohasi bo'ylab "o'tadi".
Koordinata tekisligining kichik to‘plami, agar funksiyaning Oy o‘qiga parallel bo‘lgan har qanday to‘g‘ri chiziqli bittadan ortiq umumiy nuqtaga ega bo‘lmasa, grafigi hisoblanadi.
Misol. Quyida ko'rsatilgan raqamlar funksiyalarning grafiklarimi?
Grafik vazifaning afzalligi uning aniqligidir. Funktsiya qanday harakat qilishini, u qayerda ko'payishini va qayerda kamayishini darhol ko'rishingiz mumkin. Grafikdan siz darhol funktsiyaning ba'zi muhim xususiyatlarini bilib olishingiz mumkin.
Umuman olganda, funktsiyani aniqlashning analitik va grafik usullari yonma-yon boradi. Formula bilan ishlash grafik tuzishga yordam beradi. Grafik ko'pincha siz formulada sezmaydigan echimlarni taklif qiladi.
Deyarli har qanday talaba biz ko'rib chiqqan funktsiyani aniqlashning uchta usulini biladi.
Keling, savolga javob berishga harakat qilaylik: "Funksiyani aniqlashning boshqa usullari bormi?"
Bunday yo'l bor.
Funktsiyani so'zlar bilan aniq belgilash mumkin.
Masalan, y=2x funksiyani quyidagi og'zaki tavsif orqali aniqlash mumkin: x argumentining har bir haqiqiy qiymati uning qo'sh qiymati bilan bog'langan. Qoida o'rnatiladi, funksiya ko'rsatiladi.
Bundan tashqari, siz formuladan foydalanib aniqlash juda qiyin, hatto imkonsiz bo'lgan funktsiyani og'zaki ravishda belgilashingiz mumkin.
Masalan: x natural argumentining har bir qiymati x qiymatini tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi bilan bog'langan. Masalan, agar x=3 bo'lsa, u holda y=3. Agar x=257 bo'lsa, y=2+5+7=14. Va hokazo. Buni formulada yozish muammoli. Lekin belgini yasash oson.
Og'zaki tasvirlash usuli juda kam qo'llaniladigan usuldir. Lekin ba'zida shunday bo'ladi.
Agar x va y o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik qonuni mavjud bo'lsa, u holda funktsiya mavjud. Qaysi qonun, qanday shaklda ifodalanganligi - formula, planshet, grafik, so'zlar - masalaning mohiyatini o'zgartirmaydi.
Ta'rif sohalari kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lgan funksiyalarni ko'rib chiqaylik, ya'ni. har kim uchun X ta'riflar soni domenidan (- X) taʼrif sohasiga ham tegishli. Bunday funktsiyalar orasida juft va toq farqlanadi.
Ta'rif. Agar f funktsiyasi har qanday bo'lsa ham chaqiriladi X uning ta'rif sohasidan
Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing 
Bu teng. Keling, buni tekshirib ko'ramiz.
Har kim uchun X tengliklari qondiriladi
Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funksiya juft bo'ladi. Quyida ushbu funktsiyaning grafigi keltirilgan.
Ta'rif. Agar mavjud bo'lsa, f funksiya toq deyiladi X uning ta'rif sohasidan 
Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing 
Bu g'alati. Keling, buni tekshirib ko'ramiz.
Ta'rif sohasi butun sonli o'qdir, ya'ni u (0;0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir.
Har kim uchun X tengliklari qondiriladi
Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funktsiya g'alati. Quyida ushbu funktsiyaning grafigi keltirilgan.
Birinchi va uchinchi rasmlarda ko'rsatilgan grafiklar ordinata o'qiga nisbatan simmetrik, ikkinchi va to'rtinchi rasmlarda ko'rsatilgan grafiklar esa koordinata bo'yicha simmetrikdir.
Rasmlarda grafiklari ko'rsatilgan funksiyalarning qaysi biri juft, qaysi biri toq?
Veb-saytga matematik formulalarni qanday kiritish mumkin?
Agar veb-sahifaga bir yoki ikkita matematik formula qo'shish kerak bo'lsa, buni qilishning eng oson yo'li maqolada tasvirlanganidek: matematik formulalar Wolfram Alpha tomonidan avtomatik ravishda yaratilgan rasmlar ko'rinishida saytga osongina kiritiladi. . Oddiylikdan tashqari, ushbu universal usul saytning qidiruv tizimlarida ko'rinishini yaxshilashga yordam beradi. U uzoq vaqtdan beri ishlamoqda (va menimcha, abadiy ishlaydi), lekin allaqachon ma'naviy jihatdan eskirgan.
Agar siz saytingizda muntazam ravishda matematik formulalardan foydalansangiz, men sizga MathJax-dan foydalanishni tavsiya qilaman - MathML, LaTeX yoki ASCIIMathML belgilaridan foydalangan holda veb-brauzerlarda matematik belgilarni ko'rsatadigan maxsus JavaScript kutubxonasi.
MathJax-dan foydalanishni ikki yo'l bilan boshlash mumkin: (1) oddiy kod yordamida siz MathJax skriptini veb-saytingizga tezda ulashingiz mumkin, u kerakli vaqtda masofaviy serverdan avtomatik ravishda yuklanadi (serverlar ro'yxati); (2) MathJax skriptini masofaviy serverdan serveringizga yuklab oling va uni saytingizning barcha sahifalariga ulang. Ikkinchi usul – murakkabroq va ko‘p vaqt talab qiluvchi – saytingiz sahifalarini yuklashni tezlashtiradi va agar asosiy MathJax serveri biron sababga ko‘ra vaqtincha ishlamay qolsa, bu sizning saytingizga hech qanday ta’sir qilmaydi. Ushbu afzalliklarga qaramay, men birinchi usulni tanladim, chunki u sodda, tezroq va texnik ko'nikmalarni talab qilmaydi. Mening misolimga amal qiling va atigi 5 daqiqada saytingizda MathJaxning barcha imkoniyatlaridan foydalana olasiz.
MathJax kutubxonasi skriptini uzoq serverdan asosiy MathJax veb-saytidan yoki hujjatlar sahifasidan olingan ikkita kod variantidan foydalanib ulashingiz mumkin:
Ushbu kod opsiyalaridan birini nusxalash va veb-sahifangizning kodiga, yaxshisi teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol joylashtirish kerak. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.
MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytning boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklab olish kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini o'rganing va siz saytingiz veb-sahifalariga matematik formulalarni kiritishga tayyorsiz.
Har qanday fraktal cheksiz ko'p marta doimiy ravishda qo'llaniladigan ma'lum bir qoidaga muvofiq tuziladi. Har bir bunday vaqt iteratsiya deb ataladi.
Menger shimgichni qurishning iterativ algoritmi juda oddiy: 1 tomoni bo'lgan asl kub yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklar bilan 27 ta teng kubga bo'linadi. Undan bitta markaziy kub va unga qo'shni yuzlar bo'ylab 6 kub chiqariladi. Natijada qolgan 20 ta kichik kubdan iborat to'plam paydo bo'ladi. Ushbu kublarning har biri bilan xuddi shunday qilib, biz 400 ta kichik kubdan iborat to'plamni olamiz. Ushbu jarayonni cheksiz davom ettirib, biz Menger shimgichni olamiz.