Parametrli tenglamalar: grafik yechish usuli
8-9 sinflar
Maqolada parametrlar bilan ba'zi tenglamalarni echishning grafik usuli muhokama qilinadi, bu parametrga qarab tenglama qancha ildizga ega ekanligini aniqlash kerak bo'lganda juda samarali bo'ladi. a.
Masala 1. Tenglama nechta ildizga ega? | | x | – 2 | = a parametrga bog'liq a?
Yechim. Koordinatalar sistemasida (x; y) y = | funksiyalarning grafiklarini tuzamiz | x | – 2 | va y = a. y = | funksiya grafigi | x | – 2 | rasmda ko'rsatilgan.
y = a funktsiyaning grafigi Ox o'qiga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqdir (agar a = 0).
Chizmadan shuni ko'rish mumkin:
Agar a= 0, keyin to'g'ri chiziq y = a Ox o'qi bilan mos keladi va y = | funksiya grafigiga ega | x | – 2 | ikkita umumiy nuqta; bu asl tenglamaning ikkita ildizi borligini bildiradi (bu holda ildizlarni topish mumkin: x 1,2 = d 2).
Agar 0< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Agar a= 2, u holda y = 2 chiziq funksiya grafigi bilan uchta umumiy nuqtaga ega. Keyin asl tenglama uchta ildizga ega.
Agar a> 2, keyin to'g'ri chiziq y = a asl funktsiya grafigi bilan ikkita nuqtaga ega bo'ladi, ya'ni bu tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi.
Agar a < 0, то корней нет;
Agar a = 0, a> 2, keyin ikkita ildiz bor;
Agar a= 2, keyin uchta ildiz;
agar 0< a < 2, то четыре корня.
Masala 2. Tenglama nechta ildizga ega? | x 2 – 2| x | – 3 | = a parametrga bog'liq a?
Yechim. Koordinatalar sistemasida (x; y) y = | funksiyalarning grafiklarini tuzamiz x 2 – 2| x | – 3 | va y = a.
y = | funksiya grafigi x 2 – 2| x | – 3 | rasmda ko'rsatilgan. y = a funktsiyaning grafigi Ox ga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqdir (qachon a = 0).
Chizmadan ko'rishingiz mumkin:
Agar a= 0, keyin to'g'ri chiziq y = a Ox o'qi bilan mos keladi va y = | funksiya grafigiga ega x2 – 2| x | – 3 | ikkita umumiy nuqta, shuningdek to'g'ri chiziq y = a y = | funksiya grafigiga ega bo'ladi x 2 – 2| x | – 3 | da ikkita umumiy nuqta a> 4. Demak, qachon a= 0 va a> 4 asl tenglama ikkita ildizga ega.
Agar 0< a < 3, то прямая y = a y = | funksiya grafigiga ega x 2 – 2| x | – 3 | to'rtta umumiy nuqta, shuningdek to'g'ri chiziq y= a da tuzilgan funksiya grafigi bilan to'rtta umumiy nuqtaga ega bo'ladi a= 4. Demak, 0 da< a < 3, a= 4 asl tenglama to'rtta ildizga ega.
Agar a= 3, keyin to'g'ri chiziq y = a funksiya grafigini besh nuqtada kesib o‘tadi; shuning uchun tenglama beshta ildizga ega.
Agar 3< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Agar a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.
Agar a < 0, то корней нет;
Agar a = 0, a> 4, keyin ikkita ildiz;
agar 0< a < 3, a= 4, keyin to'rtta ildiz;
Agar a= 3, keyin beshta ildiz;
agar 3< a < 4, то шесть корней.
Masala 3. Tenglama nechta ildizga ega?
parametrga bog'liq a?
Yechim. Funksiyaning koordinatalar sistemasidagi (x; y) grafigini tuzamiz. 
lekin avval uni quyidagi shaklda taqdim qilaylik:
x = 1, y = 1 chiziqlar funksiya grafigining asimptotalaridir. y = | funksiya grafigi x | + a y = | funksiya grafigidan olingan x | Oy o'qi bo'ylab birlik bilan siljish.
Funksiya grafiklari 
bir nuqtada kesishadi a> – 1; Bu shuni anglatadiki, ushbu parametr qiymatlari uchun tenglama (1) bitta yechimga ega.
Da a = – 1, a= – 2 ta grafik ikkita nuqtada kesishadi; Bu shuni anglatadiki, ushbu parametr qiymatlari uchun (1) tenglama ikkita ildizga ega.
- 2 da< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
Agar a> – 1, keyin bitta yechim;
Agar a = – 1, a= – 2, u holda ikkita yechim mavjud;
agar - 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.
Izoh. 3-muammoning (1) tenglamasini echishda, qachon bo'lishiga alohida e'tibor berish kerak a= – 2, chunki (– 1; – 1) nuqta funksiya grafigiga tegishli emas 
lekin y = | funksiya grafigiga tegishli x | + a.
Keling, boshqa muammoni hal qilishga o'tamiz.
Masala 4. Tenglama nechta ildizga ega?
x + 2 = a| x – 1 | (2)
parametrga bog'liq a?
Yechim. E'tibor bering, x = 1 bu tenglamaning ildizi emas, chunki tenglik 3 = a· 0 har qanday parametr qiymati uchun haqiqiy bo'lishi mumkin emas a. Tenglamaning ikkala tomonini | ga ajratamiz x – 1 |(| x – 1 | No. 0), u holda (2) tenglama shaklni oladi. 
XOy koordinata tizimida funksiyani chizamiz 
Ushbu funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. y = funksiyaning grafigi a Ox o'qiga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziq (agar a = 0).
Agar aЈ – 1, keyin ildizlar yo'q;
agar - 1< aЈ 1, keyin bitta ildiz;
Agar a> 1, keyin ikkita ildiz bor.
Keling, eng murakkab tenglamani ko'rib chiqaylik.
Muammo 5. Parametrning qaysi qiymatlarida a tenglama
a x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
uchta yechim bormi?
Yechim. 1. Ushbu tenglama uchun parametrning nazorat qiymati raqam bo'ladi a= 0, bunda (3) tenglama 0 + | ko'rinishini oladi x – 1 | = 0, qaerdan x = 1. Shuning uchun, qachon a= 0, tenglama (3) bitta ildizga ega, bu masala shartlarini qanoatlantirmaydi.
2. Qachon holatni ko'rib chiqing a № 0.
(3) tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz: a x 2 = – | x – 1 |. E'tibor bering, tenglama faqat qachon echimlarga ega bo'ladi a < 0.
xOy koordinatalar sistemasida y = | funksiyalarning grafiklarini tuzamiz x – 1 | va y = a x 2. y = | funksiya grafigi x – 1 | rasmda ko'rsatilgan. y = funksiyaning grafigi a x 2 - shoxlari pastga yo'naltirilgan parabola, chunki a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).
y = – x + 1 to‘g‘ri chiziq y= funksiya grafigiga teginish bo‘lgandagina (3) tenglama uchta yechimga ega bo‘ladi. a x 2.
y = – x + 1 parabolasi y = to‘g‘ri chiziqning teginish nuqtasining abssissasi x 0 bo‘lsin. a x 2. Tangens tenglama shaklga ega
y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).
Keling, teginish shartlarini yozamiz:
Bu tenglamani hosila tushunchasidan foydalanmasdan yechish mumkin.
Keling, boshqa usulni ko'rib chiqaylik. Agar y = kx + b to'g'ri chiziq y = parabola bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, bundan foydalanamiz. a x 2 + px + q, keyin tenglama a x 2 + px + q = kx + b yagona yechimga ega bo'lishi kerak, ya'ni uning diskriminanti nolga teng. Bizning holatlarimizda biz tenglamaga egamiz a x 2 = – x + 1 ( a№ 0). Diskriminant tenglama
Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar
6. Parametrga qarab tenglama nechta ildizga ega a?
1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.
1) agar a<0, то корней нет; если a=0, a>3, keyin ikkita ildiz; Agar a=3, keyin uchta ildiz; agar 0<a<3, то четыре корня;
2) agar a<1, то корней нет; если a=1, u holda [– 2 oraliqdan cheksiz yechimlar toʻplami mavjud; - 1]; Agar a> 1, keyin ikkita yechim bor;
3) agar a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a=1, keyin oltita ildiz; Agar a=3, u holda uchta yechim mavjud; Agar a>3, keyin ikkita yechim bor;
4) agar a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a=4, keyin oltita ildiz; Agar a=5, keyin uchta ildiz; Agar a>5, keyin ikkita ildiz bor.
7. Tenglama nechta ildizga ega | x + 1 | = a(x – 1) parametrga qarab a?
Eslatma. x = 1 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun bu tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin 
.
Javob: agar a J -1, a > 1, a=0, keyin bitta ildiz; agar - 1<a<0, то два корня; если 0<aЈ 1, keyin ildizlar yo'q.
8. x + 1 = tenglama nechta ildizga ega a| x – 1 |parametrga qarab a?
Grafik chizing (rasmga qarang).
Javob: agar aЈ –1, keyin ildizlar yo'q; agar - 1<aЈ 1, keyin bitta ildiz; Agar a>1, keyin ikkita ildiz bor.
9. Tenglama nechta ildizga ega?
2| x | – 1 = a(x – 1)
parametrga bog'liq a?
Eslatma. Tenglamani hosil qilish uchun qisqartiring 
Javob: agar a J -2, a>2, a=1, keyin bitta ildiz; agar -2<a<1, то два корня; если 1<aЈ 2, keyin ildizlar yo'q.
10. Tenglama nechta ildizga ega?
parametrga bog'liq a?
Javob: agar aЈ 0, a i 2, keyin bitta ildiz; agar 0<a<2, то два корня.
11. Parametrning qaysi qiymatlarida a tenglama
x 2 + a| x – 2 | = 0
uchta yechim bormi?
Eslatma. Tenglamani x 2 = – ko‘rinishga keltiring. a| x – 2 |.
Javob: qachon a J – 8.
12. Parametrning qaysi qiymatlarida a tenglama
a x 2 + | x + 1 | = 0
uchta yechim bormi?
Eslatma. Muammodan foydalaning 5. Bu tenglama faqat tenglama bo'lsa, uchta yechimga ega a x 2 + x + 1 = 0 bitta yechimga ega va holat a= 0 masala shartlarini qanoatlantirmaydi, ya'ni hol qachon qoladi 
13. Tenglama nechta ildizga ega?
x | x – 2 | = 1 - a
parametrga bog'liq a?
Eslatma. Tenglamani –x |x – 2| ko‘rinishga keltiring + 1 = a
parametrga bog'liq a?
Eslatma. Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlari grafiklarini tuzing.
Javob: agar a<0, a>2, keyin ikkita ildiz bor; agar 0J aЈ 2, keyin bitta ildiz.
16. Tenglama nechta ildizga ega?
parametrga bog'liq a?
Eslatma. Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlari grafiklarini tuzing. Funktsiyaning grafigini tuzish uchun 
x+2 va x ifodalarining doimiy ishorali oraliqlari topilsin:
Javob: agar a>– 1, keyin bitta yechim; Agar a= – 1, u holda ikkita yechim mavjud; agar - 3<a<–1, то четыре решения; если aЈ –3, u holda uchta yechim mavjud.
2. Noma'lum taqsimot parametrlarini aniqlash.
Gistogrammadan foydalanib, biz tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligini taxminan chizishimiz mumkin. Ushbu grafikning ko'rinishi ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi taqsimoti haqida taxmin qilish imkonini beradi. Ushbu taqsimot zichligi ifodasi odatda eksperimental ma'lumotlardan aniqlanishi kerak bo'lgan ba'zi parametrlarni o'z ichiga oladi.
Keling, taqsimot zichligi ikkita parametrga bog'liq bo'lgan alohida holatga to'xtalib o'tamiz.
Shunday qilib, ruxsat bering x 1 , x 2 , ..., x n- uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlari va uning ehtimolini taqsimlash zichligi ikkita noma'lum parametrga bog'liq bo'lsin. A Va B, ya'ni. kabi ko'rinadi . Noma'lum parametrlarni topish usullaridan biri A Va B Ular nazariy taqsimotning matematik kutilishi va dispersiyasi namunaviy o'rtacha va dispersiyaga to'g'ri keladigan tarzda tanlanganligidan iborat:
 |
(66) |
 |
(67) |
Olingan ikkita tenglamadan () noma'lum parametrlar topiladi A Va B. Shunday qilib, masalan, tasodifiy o'zgaruvchi normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunsa, uning ehtimollik taqsimoti zichligi
ikki parametrga bog'liq a Va . Bu parametrlar, biz bilganimizdek, mos ravishda, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va standart og'ishi; shuning uchun tengliklar () quyidagicha yoziladi:
 |
(68) |
Shuning uchun ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega
Eslatma 1. Biz bu muammoni allaqachon hal qildik. O'lchov natijasi parametrlar bilan normal taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchidir a Va . Taxminiy qiymat uchun a qiymatni tanladik, taxminiy qiymat uchun esa - qiymat.
Eslatma 2. Ko'p sonli tajribalar bilan miqdorlarni topish va formulalardan foydalanish () og'ir hisoblar bilan bog'liq. Shuning uchun ular shunday qilishadi: miqdorning kuzatilgan qiymatlarining har biri , ichiga tushadi i th interval ] X i-1 , X i [ statistik qator, taxminan o'rtaga teng deb hisoblanadi c i bu interval, ya'ni. c i =(X i-1 +X i)/2. Birinchi intervalni ko'rib chiqing ] X 0 , X 1 [. Bu unga tegdi m 1 tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlari, ularning har birini raqam bilan almashtiramiz 1 dan. Shuning uchun bu qiymatlarning yig'indisi taxminan teng m 1 s 1. Xuddi shunday, ikkinchi intervalga tushadigan qiymatlar yig'indisi taxminan teng m 2 bilan 2 va hokazo. Shunung uchun
Xuddi shunday tarzda biz taxminan tenglikni olamiz
Shunday qilib, keling, buni ko'rsataylik
 |
(71) |
Parametrli tenglamalar haqli ravishda maktab matematikasidagi eng qiyin muammolardan biri hisoblanadi. Aynan shu vazifalar Yagona davlat imtihonining yagona davlat imtihonida B va C tipidagi vazifalar ro'yxatida yildan-yilga yakunlanadi. Biroq, parametrlarga ega bo'lgan ko'p sonli tenglamalar orasida grafik tarzda osongina echilishi mumkin bo'lganlar ham bor. Keling, bir nechta muammolarni hal qilish misolida ushbu usulni ko'rib chiqaylik.
|x 2 – 2x – 3| tenglama bo'lgan a sonining butun qiymatlari yig'indisini toping. = a to'rtta ildizga ega.
Yechim.
Masalaning savoliga javob berish uchun funksiyalar grafiklarini bitta koordinata tekisligida tuzamiz
y = |x 2 – 2x – 3| va y = a.
Birinchi funksiyaning grafigi y = |x 2 – 2x – 3| y = x 2 – 2x – 3 parabola grafigidan grafikning Ox o‘qi ostida joylashgan qismini x o‘qiga nisbatan simmetrik tarzda ko‘rsatish orqali olinadi. Grafikning x o'qi ustida joylashgan qismi o'zgarishsiz qoladi.
Keling, buni bosqichma-bosqich qilaylik. y = x 2 – 2x – 3 funksiyaning grafigi parabola bo‘lib, uning shoxlari yuqoriga yo‘naltirilgan. Uning grafigini qurish uchun biz cho'qqining koordinatalarini topamiz. Buni x 0 = -b/2a formulasi yordamida amalga oshirish mumkin. Shunday qilib, x 0 = 2/2 = 1. Parabolaning ordinata o'qi bo'ylab cho'qqisining koordinatasini topish uchun x 0 ning natijaviy qiymatini ko'rib chiqilayotgan funktsiya tenglamasiga almashtiramiz. Biz y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 ekanligini olamiz. Demak, parabolaning uchi koordinatalariga (1; -4) ega.
Keyinchalik, koordinata o'qlari bilan parabola shoxlarining kesishish nuqtalarini topishingiz kerak. Parabola shoxlarining abtsissa o'qi bilan kesishgan nuqtalarida funksiyaning qiymati nolga teng. Shuning uchun biz x 2 – 2x – 3 = 0 kvadrat tenglamani yechamiz. Uning ildizlari kerakli nuqtalar bo'ladi. Vyeta teoremasi bo'yicha bizda x 1 = -1, x 2 = 3 bor.
Parabola shoxlarining ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalarida argumentning qiymati nolga teng. Shunday qilib, y = -3 nuqta parabola shoxlarining y o'qi bilan kesishgan nuqtasidir. Olingan grafik 1-rasmda ko'rsatilgan.
y = |x 2 – 2x – 3| funksiyaning grafigini olish uchun grafikning x o‘qi ostida joylashgan qismini x o‘qiga nisbatan simmetrik ravishda aks ettiramiz. Olingan grafik 2-rasmda ko'rsatilgan.
y = a funktsiyaning grafigi abscissa o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir. U 3-rasmda tasvirlangan. Rasmdan foydalanib, agar a (0; 4) intervalga tegishli bo'lsa, grafiklarning to'rtta umumiy nuqtasi (va tenglamaning to'rtta ildizi) borligini aniqlaymiz.
Olingan intervaldan a sonining butun qiymatlari: 1; 2; 3. Muammoning savoliga javob berish uchun ushbu sonlarning yig'indisini topamiz: 1 + 2 + 3 = 6.
Javob: 6.
|x 2 – 4|x| tenglamasi bo'lgan a sonining butun qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini toping. – 1| = a oltita ildizga ega.
y = |x 2 – 4|x| funksiya grafigini tuzishdan boshlaylik – 1|. Buning uchun a 2 = |a| tengligidan foydalanamiz 2 va funktsiyaning o'ng tomonida yozilgan submodulli ifodada to'liq kvadratni tanlang:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.
Shunda asl funksiya y = |(|x| – 2) 2 – 5| ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Ushbu funktsiyaning grafigini qurish uchun biz funktsiyalarning ketma-ket grafiklarini tuzamiz:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – (2; -5) koordinatali nuqtada tepasi bo‘lgan parabola; (1-rasm).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1-qadamda tuzilgan parabolaning ordinata o‘qining o‘ng tomonida joylashgan qismi Oy o‘qining chap tomonida simmetrik tarzda aks ettirilgan; (2-rasm).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2-bandda tuzilgan grafikning x o‘qidan pastda joylashgan qismi yuqoriga qarab x o‘qiga nisbatan simmetrik tarzda ko‘rsatiladi. (3-rasm).
Olingan chizmalarni ko'rib chiqaylik:
y = a funktsiyaning grafigi abscissa o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir.
Rasmdan foydalanib, funksiyalar grafiklari oltita umumiy nuqtaga ega degan xulosaga kelamiz (tenglama oltita ildizga ega), agar a (1; 5) oralig'iga tegishli bo'lsa.
Buni quyidagi rasmda ko'rish mumkin:
a parametrining butun qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini topamiz:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Javob: 3.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Ushbu usulning imkoniyatlarini to'liq ochib berish uchun biz muammolarning asosiy turlarini ko'rib chiqamiz.
Parametrli masalalarni grafik usulda yechishda bilim va ko‘nikmalarni tekshirish uchun topshiriqlar namunasi (koordinata tekisligi)
1-mashq.
Qanday qadriyatlardaa= tenglamaning ikkita ildizi bormi?
Yechim.
Keling, ekvivalent tizimga o'tamiz:
Koordinata tekisligidagi bu sistema (;) egri chiziqni aniqlaydi. Bu parabolik yoyning barcha nuqtalari (va faqat ular) dastlabki tenglamani qanoatlantiradigan koordinatalarga ega ekanligi aniq. Shuning uchun, parametrning har bir sobit qiymati uchun tenglama yechimlari soni, bu parametr qiymatiga mos keladigan gorizontal chiziq bilan egri chiziqning kesishish nuqtalari soniga teng.
Shubhasiz, ko'rsatilgan chiziqlar grafikni ikkita nuqtada kesishganda, bu ikkita ildizga ega bo'lgan dastlabki tenglamaga teng.
Javob: da.
Vazifa 2.
Tizim qaysi a ning barcha qiymatlarini toping o‘ziga xos yechimga ega.
Yechim.
Keling, asl tizimni ushbu shaklda qayta yozamiz:
Ushbu tizimning barcha yechimlari (shaklning juftlari) lyuklash orqali rasmda ko'rsatilgan maydonni hosil qiladi. Berilgan tizim uchun yagona yechim talabi grafik tilga quyidagicha tarjima qilinadi: gorizontal chiziqlar hosil bo'lgan mintaqa bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lishi kerak. Buni faqat to'g'ri ko'rish osonva belgilangan talabni qondirish.
Javob: yoki.
Hozirgina muhokama qilingan ikkita vazifa ilgari berilganlarga nisbatan aniqroq tavsiyalar berishga imkon beradi:
parametrni o'zgaruvchi orqali ifodalashga harakat qiling, ya'ni shaklning tengliklarini oling, keyin
funksiya grafigini tekislikda chizing.
Vazifa 3.
Qanday qadriyatlardaA tenglamaning uchta ildizi bormi?
Yechim.
Bizda ... bor
Ushbu to'plamning grafigi "burchak" va parabolaning birlashuvidir. Shubhasiz, faqat to'g'ri chiziq hosil bo'lgan birikmani uchta nuqtada kesib o'tadi.
Javob: .
Izoh: Odatda parametr hisobga olinadi sobit, lekin noma'lum raqam sifatida. Ayni paytda, rasmiy nuqtai nazardan, parametr o'zgaruvchidir va muammoda mavjud bo'lgan boshqalarga "teng". Shakl parametrining bunday ko'rinishida funktsiyalar bir emas, balki ikkita o'zgaruvchi bilan aniqlanadi.
Vazifa 4.
Barcha parametr qiymatlarini toping, buning uchun tenglama bitta yechimga ega.
Yechim.
Kasr nolga teng bo'ladi, agar kasrning numeratori nolga teng bo'lsa va maxraji nolga teng bo'lmasa.
Kvadrat uchburchakning ildizlarini toping:
Olingan tizimdan foydalanib, dastlabki tenglamaning grafigini qurish oson. Aynan ushbu grafikdagi "teshilishlar" ning mavjudligi va = bo'lganda tenglama noyob echimga ega bo'lishiga imkon beradi. Bu qaror qabul qilishda hal qiluvchi omil.
Javob: Va.
Vazifa 5.
Qaysi parametr qiymatlarida,A tenglama yagona yechimga ega.
Yechim.
Dastlabki tenglamaga ekvivalent sistemani yozamiz
Bu erdan olamiz
Grafik quramiz va o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziqlar chizamizA .
Tizimning dastlabki ikkita tengsizligi soyalash orqali ko'rsatilgan nuqtalar to'plamini belgilaydi va bu to'plam giperbolalarni va o'z ichiga olmaydi.
Keyin segment va nur, segment va chiziqlar mos ravishda yotadigan nur va , asl tenglamaning grafigi. Bitta yechim bo'lsa, 2 bo'ladi< < или < или = .
Javob : 2 < < или < или = .
Vazifa 6.
Barcha parametr qiymatlarini topingA , buning uchun tenglama
aniq ikki xil yechimga ega
Yechim.
Ikkita tizim to'plamini ko'rib chiqing
Agar , Bu.
Agar < , Bu.
Bu yerdan
yoki
Parabola va to'g'ri chiziq ikkita umumiy nuqtaga ega:A (-2; - 2), IN(-1; -1) va, IN - birinchi parabolaning tepasi,D - ikkinchisining tepasi. Shunday qilib, dastlabki tenglamaning grafigi rasmda ko'rsatilgan.
To'liq ikki xil yechim bo'lishi kerak. Bu yoki bilan amalga oshiriladi.
Javob: yoki.
Vazifa 7.
Har biri uchun tenglama bo'lgan barcha raqamlar to'plamini toping
faqat ikki xil ildizga ega.
Yechim.
Keling, ushbu tenglamani shaklda qayta yozamiz
Bu shart bilan tenglamaning ildizlari.
Keling, ushbu tenglamaning grafigini tuzamiz. Bunday holda, o'zgaruvchiga ordinata o'qini belgilash orqali grafikni qurish qulay. Bu erda biz javobni vertikal to'g'ri chiziqlar bilan "o'qiymiz", biz bu tenglamaning faqat ikki xil ildizga ega ekanligini aniqlaymiz = -1 yoki yoki.
Nuqtali chiziqlar shundan dalolat beradi.
Javob: da = -1 yoki yoki.
Vazifa 8.
Buning uchun tengsizlikning yechimlari to'plami intervalni o'z ichiga oladi.
Yechim.
Keling, dastlabki tenglamaga ekvivalent bo'lgan ikkita tizim to'plamini yozamiz:
yoki
Chunki birinchi sistemaning yechimida hamA segmentga kiritilishi mumkin emas, keyin biz ikkinchi tizim uchun kerakli tadqiqotlarni amalga oshiramiz.
Bizda ... bor
belgilaylik . Keyin sistemaning ikkinchi tengsizligi shaklni oladi< - va koordinata tekisligida rasmda ko'rsatilgan to'plamni aniqlaydi.
Rasmdan foydalanib, biz hosil bo'lgan to'plamda abscissalar intervalning barcha qiymatlari orqali o'tadigan barcha nuqtalar mavjudligini aniqlaymiz.
Keyin, bu yerdan.
Javob : .
9-topshiriq.
Tizimni qondiradigan yagona raqam mavjud bo'lgan barcha manfiy bo'lmagan raqamlarni toping
Yechim.
Bizda ... bor
Koordinata tekisligidagi birinchi tenglama vertikal chiziqlar turkumini belgilaydi. To'g'ri chiziqlar va tekisliklarni to'rtta maydonga bo'ling. Ulardan ba'zilari tengsizlik tizimining echimlari. Har bir hududdan test punkti olib, aynan qaysilarini aniqlash mumkin. Nuqtasi tengsizlikni qanoatlantiradigan mintaqa uning yechimidir (bu texnika bir o'zgaruvchili tengsizliklarni yechishda intervallar usuli bilan bog'liq). To'g'ri chiziqlar qurish
Masalan, nuqtani olamiz va uni tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalar Koordinatalariga almashtiramiz.
Biz ikkita maydonni olamiz (I) va ( II), lekin shartga ko'ra, biz faqat maydonni olamiz (I). To'g'ri chiziqlar qurish , k .
Shunday qilib, asl tizim nurlar ustida yotgan barcha nuqtalar (va faqat ular) tomonidan qondiriladi va chizmada qalin chiziqlar bilan ta'kidlangan (ya'ni, biz ma'lum bir sohada nuqtalarni quramiz).
Endi biz tuzatilgandan so'ng noyobni topishimiz kerak. Biz o'qni kesib o'tadigan parallel chiziqlar quramiz. va chiziq bilan kesishgan bir nuqta qaerda bo'lishini toping.
Rasmdan biz yechimning o'ziga xosligi talabiga erishilganligini aniqlaymiz, agar (allaqachon 2 ball uchun),
chiziqlarning kesishish nuqtasining ordinatasi qayerda va,
qayerda - chiziqlarning kesishish nuqtasining ordinatasi va.
Shunday qilib, olamiz< .
Javob: < .
Vazifa 10.
Parametrning qaysi qiymatlarida tizim yechimlarga ega?
Yechim.
Keling, tizim tengsizligining chap tomonini faktorlarga ajratamiz
Biz to'g'ri chiziqlar quramiz va ... Biz rasmda sistemaning tengsizligini qanoatlantiradigan tekislikning nuqtalari to'plamini soya qilib ko'rsatamiz.
Biz giperbolani quramiz = .
U holda giperbolaning tanlangan yoylarining abssissalari dastlabki sistemaning yechimlari hisoblanadi.M , P , N , Q - tugun nuqtalari. Keling, ularning abstsissalarini topamiz.
Ballar uchun P , Q bizda ... bor
Javobni yozish uchun qoladi: yoki.
Javob: yoki.
11-topshiriq.
Moduldagi tengsizlikning har qanday yechimi ikki () dan oshmaydigan barcha qiymatlarni toping.
Yechim .
Keling, ushbu tengsizlikni ushbu shaklda qayta yozamiz. va = tenglamalarining grafiklarini tuzamiz.
"Intervallar usuli" dan foydalanib, biz asl tengsizlikning yechimi soyali maydonlar bo'lishini aniqlaymiz.
Endi hududni quraylik va uning qaysi qismi soyali maydonga tushishini ko'ring.
Bular. endi, agar biron bir qo'zg'almas qiymat uchun hosil bo'lgan maydon bilan kesishgan to'g'ri chiziq faqat abtsissalari shartni qanoatlantiradigan nuqtalarni bersa. < 2, keyin kerakli parametr qiymatlaridan biridir.
Shunday qilib, biz buni ko'ramiz.
Javob: .
12-topshiriq.
Parametrning qaysi qiymatlari uchun tengsizlikning yechimlari to'plami to'rttadan ko'p bo'lmagan butun qiymatlarni o'z ichiga oladi?
Yechim.
Keling, bu tengsizlikni shaklga aylantiraylik. Bu tengsizlik ikki tizimning birikmasiga teng
yoki
Ushbu to'plamdan foydalanib, biz asl tengsizlikning yechimini tasvirlaymiz.
Qayerga to'g'ri chiziqlar chizamiz. Keyin belgilangan to'plamdan to'rtta nuqtadan ko'p bo'lmagan chiziq chiziqlarni kesib o'tadigan qiymat kerakli bo'ladi. Shunday qilib, biz u yoki yoki ekanligini ko'ramiz.
Javob: yoki yoki.
13-topshiriq.
Qaysi parametr qiymatlaridaA yechim tizimiga ega
Yechim.
Kvadrat uchburchakning ildizlari va.
Keyin
Biz to'g'ri chiziqlar quramiz va ...
"Intervallar" usuli yordamida biz tizim tengsizligi (soyali maydon) yechimini topamiz.
Aylananing markazining boshi va radiusi 2 bo'lgan soyali maydonga to'g'ri keladigan qismi bu tizimning yechimi bo'ladi. .
Biz qiymatlarni tizimdan topamiz
va ning ma'nosi tizimdan.
Javob:
14-topshiriq.
Parametr qiymatlariga qarabA > tengsizlikni yeching.
Yechim.
Keling, ushbu tengsizlikni shaklda qayta yozamiz va funktsiyani ko'rib chiqamiz, modullarni kengaytirib, biz quyidagicha yozamiz:
Biz jadval tuzmoqdamiz. Grafik koordinata tekisligini ikki mintaqaga ajratadi. t (0;0) ni qabul qilib, asl tengsizlikka almashtirsak, 0 > 1 ni olamiz va shuning uchun yuqoridagi grafik sohasida asl tengsizlik qanoatlantiriladi.
To'g'ridan-to'g'ri raqamdan biz olamiz:
echimlar yo'q;
da ;
da.
Javob: echimlar yo'q;
da ;
da.
15-topshiriq.
Tengsizliklar tizimi mos keladigan parametrning barcha qiymatlarini toping
faqat bittasi bilan qanoatlanadi.
Yechim.
Keling, ushbu tizimni ushbu shaklda qayta yozamiz:
Keling, ushbu tizim tomonidan belgilangan hududni quraylik.
1) , parabolaning tepasi.
2) - nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq va.
Yechimning o'ziga xosligi talabi grafik tilga quyidagicha tarjima qilinadi: hosil bo'lgan maydonga ega gorizontal chiziqlar faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lishi kerak. Belgilangan talab to'g'ri chiziqlar bilan qondiriladi va bu erda parabola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasining ordinatasi.
Keling, qiymatni topamiz:
= (muammoning maqsadiga mos kelmaydi),
Ordinatni topish:
Javob: ,
16-topshiriq.
Barcha parametr qiymatlarini topingA, buning ostida tengsizliklar tizimi
faqat bitta x uchun javob beradi.
Yechim .
Parabolalarni tuzamiz va oxirgi sistemaning yechimini soya qilib ko'rsatamiz.
1) , .
2) , .
Rasmda yoki bo'lganda muammoning sharti qanoatlantirilishini ko'rsatadi.
Javob: yoki.
17-topshiriq.
Qaysi qiymatlar uchun tenglama aniq uchta ildizga ega?
Yechim.
Bu tenglama to'plamga teng
Aholi grafigi parabola va burchak grafiklarining birikmasidir.
Chiziqlar hosil bo'lgan birlashmani uchta nuqtada kesib o'tadi.
Javob: da.
18-topshiriq.
Qaysi qiymatlar uchun tenglama aniq uchta yechimga ega?
Yechim.
Keling, bu tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz. ga nisbatan kvadrat tenglamani olamiz.
Biz tenglamani olamiz
Bu jamiga teng
Parabola grafiklarining birlashuvi populyatsiya uchun yechimdir.
Parabolalarning kesishish ordinata nuqtalarini toping:
Biz rasmdan kerakli ma'lumotlarni o'qiymiz: bu tenglama yoki da uchta yechimga ega
Javob: da yoki
19-topshiriq.
Parametrga qarab, tenglamaning ildizlari sonini aniqlang
Yechim .
Bu tenglamani a ga nisbatan kvadratik deb hisoblang.
,
.
Biz umumiylikni olamiz
Aholi tenglamalarining grafiklarini tuzamiz va masalada berilgan savolga javob beramiz.
Javob:: yechim yo'q;
: bitta yechim;
: ikkita yechim;
yoki: uchta yechim;
yoki: to'rtta yechim.
Vazifa 20.
Tizimda nechta yechim bor?
Yechim.
Ko'rinib turibdiki, tizimning ikkinchi tenglamasining ildizlari soni tizimning o'zi yechimlari soniga teng.
Bizda ... bor, .
Ushbu tenglamani kvadrat tenglama sifatida ko'rib, biz to'plamni olamiz.
Endi koordinata tekisligiga kirish vazifani soddalashtiradi. Tenglamani yechish orqali kesishish nuqtalarining koordinatalarini topamiz
Bu yerdan
Parabolalarning uchlari va.
Javob:: to'rtta yechim;
: ikkita yechim;
: bitta yechim;
: yechim yo'q.
Vazifa 21.
Tenglama faqat ikkita aniq ildizga ega bo'lgan parametrning barcha haqiqiy qiymatlarini toping. Bu ildizlarni yozing.
Yechim .
Qavslar ichida kvadrat uch a’zoning ildizlarini topamiz:
Bu tenglamaning yechimlari to‘plamini koordinata tekisligida grafiklar tuzib, quyidagi shart bilan tasvirlaylik.
Rasmdan kerakli ma'lumotlarni o'qiymiz. Demak, bu tenglamaning (va) da (va) da ikki xil ildizi bor.
Javob: da (va) va
da (va).
Vazifa 2 2 .
Tengsizliklar tizimini yeching:
Yechim.
Tekislikda parabola va to'g'ri chiziqlar grafiklarini tuzamiz.
Soyali maydondagi barcha nuqtalar tizimning yechimidir. Keling, qurilgan maydonni ikki qismga ajratamiz.
Agar shunday bo'lsa, unda hech qanday yechim yo'q.
Agar, u holda soyali maydon nuqtalarining abssissasi to'g'ri chiziq nuqtalarining abssissasidan katta bo'ladi, lekin parabolaning abssissasidan (tenglamaning katta ildizi) kichik bo'ladi.
Uni to‘g‘ri chiziqli tenglama orqali ifodalaymiz:
Keling, tenglamaning ildizlarini topamiz:
Keyin.
Agar shunday bo'lsa, unda.
Javob: va 1 uchun yechimlar yo'q;
da;
da.
Vazifa 23.
Tengsizliklar sistemasini yeching
Yechim.
– parabolaning tepasi.
Parabolaning tepasi.
Parabolalarning kesishish nuqtalarining abtsissalarini toping:
Soyali maydon tizimning yechimidir. Keling, uni ikki qismga ajratamiz.
Parabola tenglamalarida biz ularni quyidagicha ifodalaymiz:
Keling, yozamiz javob:
agar va bo'lsa, unda echimlar yo'q;
agar, keyin< ;
agar, keyin.
24-topshiriq.
Qaysi qiymatlarda va tenglama yechimlari yo'qmi?
Yechim.
Tenglama tizimga teng
Keling, tizimning ko'plab echimlarini tuzamiz.
Parabolaning uchta bo'lagi bu tenglamaning yechimidir.
Keling, qaysi birini topamiz va uni istisno qilamiz.
Demak, hech qanday yechim yo'q;
yechimlar bo'lmaganda;
(eslatma: qolganlari uchunAbir yoki ikkita yechim mavjud).
Javob: ; .
Vazifa 25.
Parametrning qaysi haqiqiy qiymatlari uchun shartlarni qondiradigan kamida bittasi mavjud:
Yechim.
Tengsizlikni grafik usulda “interval usuli” yordamida yechib, grafik tuzamiz. Keling, grafikning qaysi qismi tengsizlikni yechish uchun tuzilgan maydonga tushishini ko'rib chiqamiz va tegishli qiymatlarni topamiz.A.
To'g'ri chiziqlarning grafiklarini quramiz va
Ular koordinata tekisligini 4 ta hududga ajratadilar.
Oxirgi tengsizlikni interval usuli yordamida grafik tarzda yechamiz.
Soyali maydon uning yechimidir. Parabola grafigining bir qismi shu sohaga to'g'ri keladi. Intervalda; (shartga ko'ra, tizimning tengsizligi qat'iy) berilgan tizimning shartlarini qondiradigan mavjud.
Javob:
Vazifa 26.
Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tengsizlikning echimlari to'plami tengsizlikning yagona echimini o'z ichiga olmaydi.
Yechim.
Keling, tengsizlikning yechimlari to'plamini (“interval usulidan foydalangan holda”) tuzamiz. Keyin biz kerakli parametr qiymatlarining "chiziq" ni quramizq ko'rsatilgan hududlarning hech biri "chiziq" ga tegishli bo'lmaganlar
Javob: yoki.
Vazifa 27.
Parametrning qaysi qiymatlari uchun tenglama yagona yechimga ega?
Yechim.
Kasrning sonini koeffitsientlarga ajratamiz.
Ushbu tenglama tizimga teng:
Koordinata tekisligida aholining grafigini tuzamiz.
yoki
– chiziqlarning kesishish nuqtasi va. Aholi grafigi to'g'ri chiziqlar birlashmasidan iborat.
Grafik nuqtalarini abtsissalar bilan "teshib tashlang".
Biz to'g'ri chiziqlar chizamiz va grafik bilan kesishgan bir nuqta borligini ko'ramiz.
Ko'rinib turibdiki, faqat ushbu tenglama uchun yoki yagona yechim bor.
Javob: yoki.
Vazifa 28.
Parametrning qaysi haqiqiy qiymatlari uchun tengsizliklar tizimi yechimga ega emas?
Yechim.
Soyali mintaqaning tekis nuqtalari to'plami ushbu tengsizliklar tizimini qanoatlantiradi.
Biz to'g'ri chiziqlar quramiz. Rasmdan aniqlaymizki, qachon ( giperbola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasining abssissasi), to'g'ri chiziqlar soyali maydonni kesib o'tmaydi.
Javob: da.
29-topshiriq.
Qaysi parametr qiymatlaridaA tizim o'ziga xos yechimga ega.
Yechim.
Keling, shunga o'xshash tizimga o'tamiz.
Koordinatalar tekisligida biz mos ravishda parabolalar va parabolalarning uchlari, nuqtalar va grafiklarini tuzamiz.
Tenglamani yechish orqali parabolalarning kesishish nuqtalarining abssissalarini hisoblaylik
Soyali maydon tengsizliklar tizimining yechimidir. To'g'ridan-to'g'ri va
soyali maydon bilan bitta umumiy nuqtaga ega.
Javob: da i.
30-topshiriq.
Tengsizlikni yeching:
Yechim.
Parametrga qarab, biz qiymatni topamiz.
Tengsizlikni “interval usuli” yordamida yechamiz.
Keling, parabolalarni quraylik
: .
Parabolalarning kesishish nuqtasining koordinatalarini hisoblaymiz:
Soyali mintaqadagi nuqtalar bu tengsizlikni qondiradi. To'g'ri chiziq chizib, biz bu maydonni uch qismga ajratamiz.
1) Agar bo'lsa, unda echimlar yo'q.
2) Agar, u holda tenglamada uni orqali ifodalaymiz:
Shunday qilib, hududdaI bizda ... bor.
Agar shunday bo'lsa, qarang:
a) mintaqa II .
orqali tenglamada ifodalaymiz.
Kichikroq ildiz
Kattaroq ildiz.
Shunday qilib, mintaqada II bizda ... bor.
b) hudud III : .
Javob: yechimlar bo'lmaganda;
da
da, .
Adabiyot:
Galitskiy M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. 8-9-sinflar uchun algebra bo'yicha muammolar to'plami: Matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun darslik - 2-nashr. – M.: Ta’lim, 1994 yil.
P. I. Gornshteyn, V. B. Polonskiy, M. S. Yakir. Parametrlar bilan bog'liq muammolar. 3-nashr, kengaytirilgan va qayta ko'rib chiqilgan. – M.: Ilexa, Xarkov: Gimnaziya, 2003 yil.
Faddeev D.K. Algebra 6 – 8. – M.: Ta’lim, 1983 (b – ka matematika o‘qituvchisi).
A. X. Shaxmeyster. Parametrli tenglamalar va tengsizliklar. B. G. Ziv tomonidan tahrirlangan. S - Peterburg. Moskva. 2004 yil.
V. V. Amelkin, V. L. Rabtsevich. Parametrlar bilan bog'liq muammolar Minsk "Asar", 2002 yil.
A. X. Shaxmeyster. Yagona davlat imtihonidagi parametrlar bilan bog'liq muammolar. Moskva universiteti nashriyoti, Neva MTsNMOdagi CheRo.