Умножение отрицательных. Умножение чисел с разными знаками, правило, примеры

Теперь давайте разберемся с умножением и делением .

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

• положительное число х положительное число = положительное число;
• отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
• положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
• отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

В этой статье мы разберемся с умножением чисел с разными знаками . Здесь мы сначала сформулируем правило умножения положительного и отрицательного числа, обоснуем его, а после этого рассмотрим применение данного правила при решении примеров.

Навигация по странице.

Правило умножения чисел с разными знаками

Умножение положительного числа на отрицательное, а также отрицательного на положительное, проводится по следующему правилу умножения чисел с разными знаками : чтобы умножить числа с разными знаками, надо умножить , и перед полученным произведением поставить знак минус.

Запишем данное правило в буквенном виде. Для любого положительного действительного числа a и действительного отрицательного числа −b справедливо равенство a·(−b)=−(|a|·|b|) , а также для отрицательного числа −a и положительного числа b справедливо равенство (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Правило умножения чисел с разными знаками полностью согласуется со свойствами действий с действительными числами . Действительно, на их основе несложно показать, что для действительных и положительных чисел a и b справедлива цепочка равенств вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0 , которая доказывает, что a·(−b) и a·b – противоположные числа, откуда следует равенство a·(−b)=−(a·b) . А из него следует справедливость рассматриваемого правила умножения.

Следует отметить, что озвученное правило умножения чисел с разными знаками справедливо как для действительных чисел, так и для рациональных чисел и для целых чисел . Это следует из того, что действия с рациональными и целыми числами обладают теми же свойствами, которые использовались при доказательстве выше.

Понятно, что умножение чисел с разными знаками по полученному правилу сводится к умножению положительных чисел.

Осталось лишь рассмотреть примеры применения разобранного правила умножения при умножении чисел с разными знаками.

Примеры умножения чисел с разными знаками

Разберем решения нескольких примеров умножения чисел с разными знаками . Начнем с простого случая, чтобы сосредоточиться на шагах правила, а не на вычислительных сложностях.

Пример.

Выполните умножение отрицательного числа −4 на положительное число 5 .

Решение.

По правилу умножения чисел с разными знаками нам сначала нужно перемножить модули исходных множителей. Модуль −4 равен 4 , а модуль 5 равен 5 , а умножение натуральных чисел 4 и 5 дает 20 . Наконец, осталось поставить знак минус перед полученным числом, имеем −20 . На этом умножение завершено.

Кратко решение можно записать так: (−4)·5=−(4·5)=−20 .

Ответ:

(−4)·5=−20 .

При умножении дробных чисел с разными знаками нужно уметь выполнять умножение обыкновенных дробей , умножение десятичных дробей и их комбинаций с натуральными и смешанными числами.

Пример.

Проведите умножение чисел с разными знаками 0,(2) и .

Решение.

Выполнив перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь , а также выполнив переход от смешанного числа к неправильной дроби , от исходного произведения мы придем к произведению обыкновенных дробей с разными знаками вида . Это произведение по правилу умножения чисел с разными знаками равно . Осталось лишь перемножить обыкновенные дроби в скобках, имеем .

На этом уроке мы повторим правила сложения положительных и отрицательных чисел. Также научимся умножать числа с разными знаками и узнаем правила знаков для умножения. Рассмотрим примеры умножения положительных и отрицательных чисел.

Свойство умножения на ноль остается верным и в случае отрицательных чисел. Ноль умножить на любое число - будет ноль.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Домашнее задание

1. Интернет-портал Mnemonica.ru ().
2. Интернет-портал Youtube.com ().
3. Интернет-портал School-assistant.ru ().
4. Интернет-портал Bymath.net ().

Таблица 5

Таблица 6

С некоторой натяжкой то же объяснение годится и для произведения 1-5, если считать, что «сумма» из одного-единственного

слагаемого равна этому слагаемому. Но произведение 0 5 или (-3) 5 так не объяснишь: что означает сумма из нуля или из минус трех слагаемых?

Можно, однако, переставить сомножители

Если мы хотим, чтобы произведение не изменялось при перестановке сомножителей - как это было для положительных чисел - то тем самым должны считать, что

Теперь перейдем к произведению (-3) (-5). Чему оно равно: -15 или +15? Оба варианта имеют резон. С одной стороны, минус в одном сомножителе уже делает произведение отрицательным - тем более оно должно быть отрицательным, если отрицательны оба сомножителя. С другой стороны, в табл. 7 уже есть два минуса, но только один плюс, и «по справедливости» (-3)-(-5) должно быть равно +15. Так что же предпочесть?

Таблица 7

Вас, конечно, такими разговорами не запутаешь: из школьного курса математики Вы твердо усвоили, что минус на минус дает плюс. Но представьте себе, что Ваш младший брат или сестра спрашивает Вас: а почему? Что это - каприз учительницы, указание высшего начальства или теорема, которую можно доказать?

Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8.

Таблица 8

Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа

Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:

Легко заметить, что каждое число больше предыдущего на 3. Теперь напишем те же числа в обратном порядке (начав, например, с 5 и 15):

При этом под числом -5 оказалось число -15, так что 3 (-5) = -15: плюс на минус дает минус.

Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 ... на -3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):

Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке

и продолжим:

Под числом -5 оказалось 15, так что (-3) (-5) = 15.

Возможно, эти объяснения и удовлетворили бы Вашего младшего брата или сестру. Но Вы вправе спросить, как же обстоят дела на самом деле и можно ли доказать, что (-3) (-5) = 15?

Ответ здесь таков: можно доказать, что (-3) (-5) должно равняться 15, если только мы хотим, чтобы обычные свойства сложения, вычитания и умножения оставались верными для всех чисел, включая отрицательные. Схема этого доказательства такова.

Докажем сначала, что 3 (-5) = -15. Что такое -15? Это число, противоположное 15, т. е. число, которое в сумме с 15 дает 0. Так что нам надо доказать, что

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , - b данное равенство считается верным.

(- а) · (- b) = a · b .

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (- а) · (- b) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · (- b) = - a · b справедливое, как и (- а) · b = - a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(- a) · (- b) = (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b .

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Пример 1

Произвести умножение чисел - 3 и - 5 .

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5 . Их произведение дает в результате 15 . Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Ответ: (- 3) · (- 5) = 15 .

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Пример 2

Вычислить произведение (- 0 , 125) · (- 6) .

Решение.

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Ответ: (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 75 .

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Пример 3

Необходимо произвести умножение отрицательного - 2 на неотрицательное log 5 1 3 .

Решение

Находим модули заданных чисел:

2 = 2 и log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.

Ответ: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter