สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องง่าย มีความหลากหลายมากเกินไป) ตัวอย่างเช่น:
บาป 2 x + cos3x = ctg5x
บาป(5x+π /4) = เตียงเด็ก(2x-π /3)
ซิน x + cos2x + tg3x = ctg4x
ฯลฯ...
แต่สัตว์ประหลาดเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติเหล่านี้ (และอื่น ๆ ทั้งหมด) มีคุณสมบัติทั่วไปและบังคับสองประการ อย่างแรก - คุณจะไม่เชื่อ - มีฟังก์ชันตรีโกณมิติในสมการ) ประการที่สอง: พบนิพจน์ทั้งหมดที่มี x ภายในฟังก์ชันเดียวกันนี้และที่นั่นเท่านั้น! หาก X ปรากฏที่ไหนสักแห่ง ข้างนอก,ตัวอย่างเช่น, บาป2x + 3x = 3,นี่จะเป็นสมการแบบผสมอยู่แล้ว สมการดังกล่าวต้องใช้แนวทางเฉพาะบุคคล เราจะไม่พิจารณาพวกเขาที่นี่
เราจะไม่แก้สมการชั่วร้ายในบทเรียนนี้เช่นกัน) เราจะพูดถึงที่นี่ สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดทำไม ใช่เพราะว่าทางแก้ ใดๆสมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน ในระยะแรก สมการชั่วร้ายจะลดลงเหลือเพียงสมการง่ายๆ ผ่านการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ประการที่สอง สมการที่ง่ายที่สุดนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ไม่มีทางอื่น.
ดังนั้นหากคุณมีปัญหาในระยะที่สอง ระยะแรกก็ไม่ค่อยสมเหตุสมผลนัก)
สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมีหน้าตาเป็นอย่างไร?
บาป = ก
คอกซ์ = ก
tgx = ก
CTGX = ก
ที่นี่ ก ย่อมาจากตัวเลขใดๆ ใดๆ.
อย่างไรก็ตาม ภายในฟังก์ชันอาจไม่มี X บริสุทธิ์ แต่มีนิพจน์บางอย่าง เช่น:
คอส(3x+π /3) = 1/2
ฯลฯ สิ่งนี้ทำให้ชีวิตซับซ้อน แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ
จะแก้สมการตรีโกณมิติได้อย่างไร?
สมการตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้สองวิธี วิธีแรก: การใช้ตรรกะและวงกลมตรีโกณมิติ เราจะดูเส้นทางนี้ที่นี่ วิธีที่สอง - การใช้หน่วยความจำและสูตร - จะกล่าวถึงในบทถัดไป
วิธีแรกชัดเจน เชื่อถือได้ และลืมยาก) เหมาะสำหรับแก้สมการตรีโกณมิติ อสมการ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐานที่ยุ่งยากทุกประเภท ตรรกะแข็งแกร่งกว่าหน่วยความจำ!)
การแก้สมการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ
เรารวมตรรกะเบื้องต้นและความสามารถในการใช้วงกลมตรีโกณมิติ คุณไม่ทราบวิธีการ? อย่างไรก็ตาม... คุณจะมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในวิชาตรีโกณมิติ...) แต่มันก็ไม่สำคัญ มาดูบทเรียน "วงกลมตรีโกณมิติ...... คืออะไร" และ "การวัดมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ" ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ต่างจากตำราเรียน...)
โอ้รู้ยัง!? แถมยังเชี่ยวชาญเรื่อง “การปฏิบัติจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ” อีกด้วย!? ยินดีด้วย. หัวข้อนี้จะใกล้เคียงและเข้าใจสำหรับคุณ) สิ่งที่น่ายินดีเป็นพิเศษคือวงกลมตรีโกณมิติไม่สนใจว่าคุณจะแก้สมการใด ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ - ทุกอย่างเหมือนกันสำหรับเขา มีหลักการแก้ปัญหาเพียงข้อเดียว
เราก็หาสมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมา อย่างน้อยสิ่งนี้:
คอกซ์ = 0.5
เราจำเป็นต้องค้นหา X. คุณต้องพูดเป็นภาษามนุษย์ ค้นหามุม (x) ที่มีโคไซน์เท่ากับ 0.5
ก่อนหน้านี้เราใช้วงกลมอย่างไร? เราวาดมุมบนมัน เป็นองศาหรือเรเดียน และทันที เลื่อย ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมนี้ ทีนี้ลองทำตรงกันข้ามกัน ลองวาดโคไซน์บนวงกลมเท่ากับ 0.5 และทันที เราจะเห็น มุม. สิ่งที่เหลืออยู่คือจดคำตอบ) ใช่แล้ว!
วาดวงกลมและทำเครื่องหมายโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนแกนโคไซน์แน่นอน แบบนี้:
ทีนี้ลองวาดมุมที่โคไซน์นี้ให้เราดู วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และ คุณจะเห็นมุมนี้เอง เอ็กซ์
โคไซน์ของมุมใดคือ 0.5?
x = π /3
เพราะ 60°= cos( พาย /3) = 0,5
บางคนจะหัวเราะอย่างไม่เชื่อหู ใช่แล้ว... เช่น คุ้มไหมที่จะเป็นวงกลมเมื่อทุกอย่างชัดเจนแล้ว... คุณสามารถหัวเราะได้แน่นอน...) แต่ความจริงก็คือว่านี่เป็นคำตอบที่ผิดพลาด หรือค่อนข้างไม่เพียงพอ ผู้ชื่นชอบวงกลมเข้าใจว่ายังมีมุมอื่นๆ อีกมากที่นี่ที่ให้โคไซน์เป็น 0.5 เช่นกัน
หากหมุนด้านเคลื่อนที่ OA เลี้ยวเต็มจุด A จะกลับสู่ตำแหน่งเดิม โดยมีโคไซน์เท่ากันเท่ากับ 0.5 เหล่านั้น. มุมจะเปลี่ยนคูณ 360° หรือ 2π เรเดียน และ โคไซน์ - ไม่มุมใหม่ 60° + 360° = 420° จะเป็นคำตอบของสมการของเราด้วย เพราะ
การปฏิวัติที่สมบูรณ์นั้นสามารถเกิดขึ้นได้ไม่จำกัดจำนวน... และมุมใหม่ทั้งหมดนี้จะเป็นคำตอบของสมการตรีโกณมิติของเรา และพวกเขาทั้งหมดจำเป็นต้องเขียนลงไปเพื่อตอบโต้ ทั้งหมด.ไม่งั้นไม่นับรวมการตัดสินใจครับ...)
คณิตศาสตร์สามารถทำได้ง่ายและสวยงาม เขียนลงในคำตอบสั้นๆ คำตอบเดียว ชุดอนันต์การตัดสินใจ สมการของเรามีลักษณะดังนี้:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
ฉันจะถอดรหัสมัน ยังคงเขียน อย่างมีความหมายมันน่าสนุกมากกว่าการเขียนตัวอักษรลึกลับอย่างโง่เขลาใช่ไหม?)
พาย /3 - นี่คือมุมเดียวกับเรา เลื่อยบนวงกลมและ มุ่งมั่นตามตารางโคไซน์
2π คือการปฏิวัติที่สมบูรณ์ในหน่วยเรเดียน
n - นี่คือจำนวนที่สมบูรณ์นั่นคือ ทั้งหมดรอบต่อนาที เป็นที่ชัดเจนว่า n สามารถเท่ากับ 0, ±1, ±2, ±3.... และอื่นๆ ตามที่ระบุโดยรายการสั้น:
n ∈ Z
n เป็นของ ( ∈ ) ชุดของจำนวนเต็ม ( ซี - โดยวิธีการแทนจดหมาย n สามารถใช้ตัวอักษรได้ดี เค ม ที ฯลฯ
สัญกรณ์นี้หมายความว่าคุณสามารถใช้จำนวนเต็มใดก็ได้ n - อย่างน้อย -3 อย่างน้อย 0 อย่างน้อย +55 สิ่งที่คุณต้องการ หากคุณแทนตัวเลขนี้เป็นคำตอบ คุณจะได้มุมเฉพาะ ซึ่งจะเป็นคำตอบของสมการที่รุนแรงของเราอย่างแน่นอน)
หรืออีกนัยหนึ่งคือ x = π /3 เป็นเพียงรากเดียวของเซตอนันต์ หากต้องการหารากอื่นๆ ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนรอบการหมุนทั้งหมดให้กับ π /3 ( n ) เป็นเรเดียน เหล่านั้น. 2π น เรเดียน.
ทั้งหมด? เลขที่ ฉันจงใจยืดเวลาความสุขออกไป เพื่อจะได้จำได้ดีขึ้น) เราได้รับคำตอบของสมการเพียงบางส่วนเท่านั้น ฉันจะเขียนส่วนแรกของวิธีแก้ปัญหาดังนี้:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x1 - ไม่ใช่แค่รากเดียว แต่เป็นรากทั้งชุดที่เขียนในรูปแบบย่อ
แต่ก็มีมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 ด้วย!
กลับไปที่รูปภาพที่เราจดคำตอบไว้ เธออยู่นี่:
วางเมาส์เหนือภาพและ ที่เราเห็นอีกมุมหนึ่งนั้น ให้โคไซน์เป็น 0.5 ด้วยคุณคิดว่ามันเท่ากับอะไร? สามเหลี่ยมก็เหมือนกัน...ใช่แล้ว! มันเท่ากับมุม เอ็กซ์ ล่าช้าไปในทิศทางลบเท่านั้น นี่คือมุม -เอ็กซ์ แต่เราคำนวณ x แล้ว π /3 หรือ 60° ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:
x 2 = - π /3
แน่นอนว่า เราบวกมุมทั้งหมดที่ได้รับจากการปฏิวัติแบบเต็ม:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
เท่านี้ก็เรียบร้อย) เราอยู่บนวงกลมตรีโกณมิติ เลื่อย(ใครเข้าใจแน่นอน)) ทั้งหมดมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 และเราเขียนมุมเหล่านี้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์สั้นๆ คำตอบทำให้เกิดรากสองชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง
หวัง, หลักการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติใช้วงกลมก็ชัดเจน เราทำเครื่องหมายโคไซน์ (ไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์) จากสมการที่กำหนดบนวงกลม วาดมุมที่สอดคล้องกับมันแล้วจดคำตอบแน่นอน เราต้องรู้ว่าเราอยู่มุมไหน เลื่อยบนวงกลม บางครั้งมันก็ไม่ได้ชัดเจนนัก ฉันบอกว่าต้องใช้ตรรกะที่นี่)
ตัวอย่างเช่น ลองดูสมการตรีโกณมิติอื่น:
โปรดทราบว่าเลข 0.5 ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่เป็นไปได้ในสมการ!) ฉันเขียนมันได้สะดวกกว่ารากและเศษส่วน
เราทำงานตามหลักการทั่วไป เราวาดวงกลมทำเครื่องหมาย (บนแกนไซน์แน่นอน!) 0.5 เราวาดมุมทั้งหมดที่สอดคล้องกับไซน์นี้ทันที เราได้รับภาพนี้:
มาจัดการกับมุมกันก่อน เอ็กซ์ ในไตรมาสแรก เราจำตารางไซน์และกำหนดค่าของมุมนี้ มันเป็นเรื่องง่ายๆ:
x = π /6
เราจำได้ประมาณผลัดกันเต็มและเขียนคำตอบชุดแรกด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
งานเสร็จไปครึ่งหนึ่งแล้ว แต่ตอนนี้เราต้องตัดสินใจ มุมที่สอง...มันยากกว่าการใช้โคไซน์ ใช่แล้ว... แต่ตรรกะจะช่วยเราได้! วิธีการกำหนดมุมที่สอง ผ่าน x? ใช่ง่าย! สามเหลี่ยมในภาพเหมือนกันและมุมสีแดง เอ็กซ์ เท่ากับมุม เอ็กซ์ - นับจากมุม π ไปในทิศทางลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงเป็นสีแดง) และสำหรับคำตอบ เราจำเป็นต้องมีมุมที่วัดได้อย่างถูกต้องจาก OX กึ่งแกนบวก เช่น จากมุม 0 องศา
เราวางเคอร์เซอร์ไว้เหนือภาพวาดแล้วดูทุกอย่าง ฉันลบมุมแรกออกเพื่อไม่ให้ภาพซับซ้อน มุมที่เราสนใจ (วาดด้วยสีเขียว) จะเท่ากับ:
π - x
เอ็กซ์ เรารู้เรื่องนี้ พาย /6 - ดังนั้นมุมที่สองจะเป็น:
π - π /6 = 5π /6
เราจำอีกครั้งเกี่ยวกับการเพิ่มการปฏิวัติเต็มรูปแบบและเขียนคำตอบชุดที่สอง:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบที่สมบูรณ์ประกอบด้วยรากสองชุด:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
สมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้หลักการทั่วไปเดียวกันในการแก้สมการตรีโกณมิติ แน่นอน หากคุณรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ
ในตัวอย่างข้างต้น ฉันใช้ค่าตารางของไซน์และโคไซน์: 0.5 เหล่านั้น. ความหมายหนึ่งที่นักเรียนรู้ ต้อง.ตอนนี้เรามาขยายขีดความสามารถของเราไปที่ ค่าอื่นๆ ทั้งหมดตัดสินใจแล้วตัดสินใจ!)
สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการตรีโกณมิตินี้:
ไม่มีค่าโคไซน์ดังกล่าวในตารางแบบสั้น เราเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงอันเลวร้ายนี้อย่างเย็นชา วาดวงกลม ทำเครื่องหมาย 2/3 บนแกนโคไซน์ แล้ววาดมุมที่สอดคล้องกัน เราได้ภาพนี้มา
มาดูมุมในไตรมาสแรกกันก่อน ถ้าเรารู้ว่า x เท่ากับอะไร เราก็จะเขียนคำตอบทันที! เราไม่รู้...ล้มเหลว!? เงียบสงบ! คณิตศาสตร์ไม่ทำให้คนเดือดร้อน! เธอคิดอาร์คโคไซน์ในกรณีนี้ได้ ไม่ทราบ? เปล่าประโยชน์. ค้นหาว่ามันง่ายกว่าที่คุณคิดมาก ลิงก์นี้ไม่มีคาถาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน"... สิ่งนี้ไม่จำเป็นในหัวข้อนี้
หากคุณรู้อยู่แล้ว เพียงพูดกับตัวเองว่า “X คือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ 2/3” และในทันทีโดยนิยามของอาร์คโคไซน์ เราสามารถเขียนได้:
เราจำเกี่ยวกับการปฏิวัติเพิ่มเติมและเขียนรากชุดแรกของสมการตรีโกณมิติของเราอย่างใจเย็น:
x 1 = ส่วนโค้ง 2/3 + 2π n, n ∈ Z
รากชุดที่สองของมุมที่สองเกือบจะเขียนลงไปโดยอัตโนมัติ ทุกอย่างเหมือนกัน มีเพียง X (arccos 2/3) เท่านั้นที่จะมีเครื่องหมายลบ:
x 2 = - ส่วนโค้ง 2/3 + 2π n, n ∈ Z
แค่นั้นแหละ! นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง ง่ายกว่าด้วยค่าตาราง ไม่จำเป็นต้องจำอะไรเลย) อย่างไรก็ตาม ผู้ใส่ใจมากที่สุดจะสังเกตเห็นว่าภาพนี้แสดงคำตอบผ่านอาร์คโคไซน์ โดยพื้นฐานแล้วไม่ต่างจากในรูปของสมการ cosx = 0.5
อย่างแน่นอน! หลักการทั่วไปก็แค่นั้นแหละ! ฉันจงใจวาดภาพที่เกือบจะเหมือนกันสองภาพ วงกลมแสดงให้เราเห็นมุม เอ็กซ์ โดยโคไซน์ของมัน ไม่ว่ามันจะเป็นโคไซน์แบบตารางหรือไม่ก็ตามนั้นทุกคนไม่ทราบ มุมนี้เป็นมุมแบบไหน π /3 หรือส่วนโค้งโคไซน์เป็นเท่าใด ขึ้นอยู่กับเราที่จะตัดสินใจ
เพลงเดียวกันกับไซน์ ตัวอย่างเช่น:
วาดวงกลมอีกครั้ง ทำเครื่องหมายไซน์เท่ากับ 1/3 วาดมุม นี่คือภาพที่เราได้รับ:
และอีกครั้งที่ภาพเกือบจะเหมือนกับสมการ บาปx = 0.5อีกครั้งเราเริ่มจากมุมในควอเตอร์แรก X จะเท่ากับอะไรถ้าไซน์ของมันคือ 1/3? ไม่มีปัญหา!
ตอนนี้รูทชุดแรกพร้อมแล้ว:
x 1 = อาร์คซิน 1/3 + 2π n, n ∈ Z
มาจัดการกับมุมที่สองกันดีกว่า ในตัวอย่างที่มีค่าตาราง 0.5 จะเท่ากับ:
π - x
ที่นี่ก็จะเหมือนกันทุกประการ! ต่างกันแค่ x อาร์คซิน 1/3 แล้วไง!? คุณสามารถจดรากชุดที่สองได้อย่างปลอดภัย:
x 2 = π - ส่วนโค้ง 1/3 + 2π n, n ∈ Z
นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์ ถึงแม้จะดูไม่ค่อยคุ้นเคยก็ตาม แต่ฉันหวังว่ามันชัดเจน)
นี่คือวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลม เส้นทางนี้ชัดเจนและเข้าใจได้ เขาคือผู้ที่บันทึกสมการตรีโกณมิติด้วยการเลือกรากในช่วงเวลาที่กำหนดในอสมการตรีโกณมิติ - โดยทั่วไปแล้วจะได้รับการแก้ไขเป็นวงกลมเกือบตลอดเวลา กล่าวโดยสรุปก็คือ ในงานใดก็ตามที่ยากกว่างานมาตรฐานเล็กน้อย
เรามาประยุกต์ความรู้ในทางปฏิบัติกันไหม?)
แก้สมการตรีโกณมิติ:
ขั้นแรก ง่ายกว่า ตรงจากบทเรียนนี้
ตอนนี้มันซับซ้อนมากขึ้น
คำแนะนำ: ที่นี่คุณจะต้องคิดถึงวงกลม ส่วนตัว.)
และตอนนี้ภายนอกก็เรียบง่าย... เรียกอีกอย่างว่ากรณีพิเศษ
บาป = 0
บาป = 1
คอกซ์ = 0
คอกซ์ = -1
คำแนะนำ: ในที่นี้ คุณต้องหาคำตอบในวงกลมว่ามีคำตอบสองชุดและมีคำตอบเดียว... และจะเขียนคำตอบได้อย่างไรแทนที่จะเขียนคำตอบสองชุด ใช่ เพื่อไม่ให้สูญเสียรากเดียวจากจำนวนอนันต์!)
ง่ายมาก):
บาป = 0,3
คอกซ์ = π
ทีจีเอ็กซ์ = 1,2
ซีทีจีเอ็กซ์ = 3,7
คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องรู้ว่าอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์คืออะไร? อาร์กแทนเจนต์ อาร์กโคแทนเจนต์ คืออะไร? คำจำกัดความที่ง่ายที่สุด แต่คุณไม่จำเป็นต้องจำค่าตารางใดๆ เลย!)
แน่นอนว่าคำตอบคือความยุ่งเหยิง):
x1= ส่วนโค้งซิน0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - ส่วนโค้งซิน0.3 + 2
ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม? เกิดขึ้น อ่านบทเรียนอีกครั้ง เท่านั้น รอบคอบ(มีคำล้าสมัยซะด้วย...) และตามลิงค์ครับ ลิงค์หลักเกี่ยวกับวงกลม หากไม่มีสิ่งนี้ ตรีโกณมิติก็เหมือนกับการปิดตาข้ามถนน บางครั้งก็ได้ผล)
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!
หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา
ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาด่วน ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์
หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน
งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State
เมื่อแก้ได้หลายอย่าง ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้นก่อนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีการกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่เป้าหมายอย่างชัดเจน ปัญหาดังกล่าวได้แก่ สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง อสมการเชิงเส้นและกำลังสอง สมการเศษส่วนและสมการที่ลดขนาดเป็นกำลังสอง หลักการแก้ปัญหาแต่ละอย่างให้ประสบความสำเร็จมีดังนี้: คุณต้องกำหนดประเภทของปัญหาที่คุณกำลังแก้ไข จำลำดับการกระทำที่จำเป็นที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ เช่น ตอบและทำตามขั้นตอนเหล่านี้
เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวในการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดประเภทของสมการที่กำลังแก้อย่างถูกต้องและวิธีการสร้างลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหาอย่างถูกต้องเพียงใด แน่นอน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีทักษะในการดำเนินการแปลงและการคำนวณที่เหมือนกัน
สถานการณ์จะแตกต่างออกไปด้วย สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะระบุความจริงที่ว่าสมการนี้เป็นวิชาตรีโกณมิติ ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง
บางครั้งเป็นการยากที่จะกำหนดประเภทของมันตามลักษณะของสมการ และหากไม่ทราบประเภทของสมการ ก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสมการที่ถูกต้องจากสูตรตรีโกณมิติหลายสิบสูตร
ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องลอง:
1. นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมาสู่ "มุมเดียวกัน"
2. นำสมการมาสู่ "ฟังก์ชันเหมือนกัน"
3. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ฯลฯ
ลองพิจารณาดู วิธีพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ
I. การลดสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ขององค์ประกอบที่ทราบ
ขั้นตอนที่ 2.ค้นหาอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร:
คอส x = ก; x = ±อาร์คคอส a + 2πn, n ЄZ
บาป x = ก; x = (-1) n อาร์คซิน a + πn, n Є Z
สีแทน x = ก; x = อาร์คแทน a + πn, n Є Z
ซีทีจี x = ก; x = ส่วนโค้ง a + πn, n Є Z
ขั้นตอนที่ 3ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก
ตัวอย่าง.
2 คอส(3x – π/4) = -√2
สารละลาย.
1) คอส(3x – π/4) = -√2/2
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z
คำตอบ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z
ครั้งที่สอง การแทนที่ตัวแปร
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.ลดสมการให้อยู่ในรูปพีชคณิตโดยเทียบกับหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ขั้นตอนที่ 2.แสดงฟังก์ชันผลลัพธ์ด้วยตัวแปร t (หากจำเป็น ให้กำหนดข้อจำกัดของ t)
ขั้นตอนที่ 3เขียนและแก้สมการพีชคณิตที่ได้
ขั้นตอนที่ 4ทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ
ขั้นตอนที่ 5แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ตัวอย่าง.
2คอส 2 (x/2) – 5ซิน (x/2) – 5 = 0
สารละลาย.
1) 2(1 – บาป 2 (x/2)) – 5ซิน (x/2) – 5 = 0;
2ซิน 2 (x/2) + 5ซิน (x/2) + 3 = 0
2) ให้บาป (x/2) = t โดยที่ |t| ≤ 1
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 หรือ e = -3/2 ไม่ตรงตามเงื่อนไข |t| ≤ 1
4) บาป(x/2) = 1
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z
คำตอบ: x = π + 4πn, n Є Z
สาม. วิธีการลดลำดับสมการ
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.แทนที่สมการนี้ด้วยสมการเชิงเส้นโดยใช้สูตรลดระดับ:
บาป 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
คอส 2 x = 1/2 · (1 + คอส 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)
ขั้นตอนที่ 2.แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ I และ II
ตัวอย่าง.
คอส 2x + คอส 2 x = 5/4
สารละลาย.
1) คอส 2x + 1/2 · (1 + คอส 2x) = 5/4
2) คอส 2x + 1/2 + 1/2 · คอส 2x = 5/4;
3/2 คอส 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z
คำตอบ: x = ±π/6 + πn, n Є Z
IV. สมการเอกพันธ์
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.ลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบ
ก) a sin x + b cos x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก)
หรือเพื่อชมวิว
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง)
ขั้นตอนที่ 2.หารทั้งสองข้างของสมการด้วย
ก) cos x ≠ 0;
ข) cos 2 x ≠ 0;
และรับสมการของ tan x:
ก) สีน้ำตาล x + b = 0;
b) สีน้ำตาล 2 x + b arctan x + c = 0
ขั้นตอนที่ 3แก้สมการโดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง.
5ซิน 2 x + 3ซิน x คอส x – 4 = 0
สารละลาย.
1) 5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4(ซิน 2 x + cos 2 x) = 0;
5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
บาป 2 x + 3ซิน x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0
2) ทีจี 2 x + 3ทีจี x – 4 = 0
3) ให้ tg x = t แล้ว
เสื้อ 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 หรือ t = -4 ซึ่งหมายถึง
tg x = 1 หรือ tg x = -4
จากสมการแรก x = π/4 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
คำตอบ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z
V. วิธีการแปลงสมการโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.ใช้สูตรตรีโกณมิติที่เป็นไปได้ทั้งหมด ลดสมการนี้ให้เป็นสมการที่แก้ได้โดยวิธีที่ I, II, III, IV
ขั้นตอนที่ 2.แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง.
บาป x + บาป 2x + บาป 3x = 0
สารละลาย.
1) (บาป x + บาป 3x) + บาป 2x = 0;
2ซิน 2x คอส x + บาป 2x = 0
2) บาป 2x (2cos x + 1) = 0;
บาป 2x = 0 หรือ 2cos x + 1 = 0;
จากสมการแรก 2x = π/2 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง cos x = -1/2
เรามี x = π/4 + πn/2, n Є Z; จากสมการที่สอง x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z
ผลลัพธ์ก็คือ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z
คำตอบ: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z
ความสามารถและทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเป็นอย่างมาก ที่สำคัญการพัฒนาต้องใช้ความพยายามอย่างมากทั้งในส่วนของนักเรียนและในส่วนของครู
ปัญหาหลายประการของสามมิติ ฟิสิกส์ ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการตรีโกณมิติ กระบวนการในการแก้ปัญหาดังกล่าวรวบรวมความรู้และทักษะมากมายที่ได้รับจากการศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ
สมการตรีโกณมิติมีบทบาทสำคัญในกระบวนการเรียนรู้คณิตศาสตร์และการพัฒนาตนเองโดยทั่วไป
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
แนวคิดของการแก้สมการตรีโกณมิติ
- หากต้องการแก้สมการตรีโกณมิติ ให้แปลงสมการนั้นเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐานหนึ่งรายการขึ้นไป การแก้สมการตรีโกณมิติในท้ายที่สุดต้องอาศัยการแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งสี่เท่านั้น
การแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
- สมการตรีโกณมิติพื้นฐานมี 4 ประเภท:
- บาป x = ก; คอส x = ก
- สีแทน x = ก; ซีทีจี x = ก
- การแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานเกี่ยวข้องกับการดูตำแหน่ง x ต่างๆ บนวงกลมหนึ่งหน่วย เช่นเดียวกับการใช้ตารางแปลง (หรือเครื่องคิดเลข)
- ตัวอย่างที่ 1 บาป x = 0.866 เมื่อใช้ตารางแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = π/3 วงกลมหน่วยให้คำตอบอีกข้อ: 2π/3 ข้อควรจำ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นระยะซึ่งหมายความว่าค่าจะซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น คาบของ sin x และ cos x คือ 2πn และคาบของ tg x และ ctg x คือ πn ดังนั้น จึงเขียนคำตอบได้ดังนี้
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn
- ตัวอย่างที่ 2 cos x = -1/2 เมื่อใช้ตารางแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = 2π/3 วงกลมหน่วยให้คำตอบอีกข้อ: -2π/3
- x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π
- ตัวอย่างที่ 3 tg (x - π/4) = 0
- คำตอบ: x = π/4 + πn
- ตัวอย่างที่ 4.ctg 2x = 1.732
- คำตอบ: x = π/12 + πn
การแปลงที่ใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติ
- ในการแปลงสมการตรีโกณมิติ จะใช้การแปลงพีชคณิต (การแยกตัวประกอบ การลดเงื่อนไขที่เป็นเนื้อเดียวกัน ฯลฯ) และอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ
- ตัวอย่างที่ 5: การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 จะถูกแปลงเป็นสมการ 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 ดังนั้น สมการตรีโกณมิติพื้นฐานต่อไปนี้ จำเป็นต้องแก้ไข: cos x = 0; บาป(3x/2) = 0; คอส(x/2) = 0
-
การหามุมโดยใช้ค่าฟังก์ชันที่ทราบ
- ก่อนที่จะเรียนรู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องเรียนรู้วิธีค้นหามุมโดยใช้ค่าฟังก์ชันที่ทราบก่อน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ตารางการแปลงหรือเครื่องคิดเลข
- ตัวอย่าง: cos x = 0.732 เครื่องคิดเลขจะให้คำตอบ x = 42.95 องศา วงกลมหน่วยจะให้มุมเพิ่มเติม โดยมีโคไซน์เท่ากับ 0.732 เช่นกัน
-
วางสารละลายไว้บนวงกลมหนึ่งหน่วย
- คุณสามารถพล็อตคำตอบของสมการตรีโกณมิติบนวงกลมหน่วยได้ คำตอบของสมการตรีโกณมิติบนวงกลมหน่วยคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
- ตัวอย่าง: ผลเฉลย x = π/3 + πn/2 บนวงกลมหนึ่งหน่วยแทนจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- ตัวอย่าง: ผลเฉลย x = π/4 + πn/3 บนวงกลมหนึ่งหน่วยแทนจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติ
-
วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ
- ถ้าสมการตรีโกณมิติที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว ให้แก้สมการนั้นเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน หากสมการที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป จะมี 2 วิธีในการแก้สมการดังกล่าว (ขึ้นอยู่กับความเป็นไปได้ของการแปลง)
- วิธีที่ 1
- แปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: f(x)*g(x)*h(x) = 0 โดยที่ f(x), g(x), h(x) คือสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
- ตัวอย่างที่ 6 2cos x + sin 2x = 0 (0< x < 2π)
- สารละลาย. ใช้สูตรมุมคู่ sin 2x = 2*sin x*cos x แทนที่ sin 2x
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0 ทีนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos x = 0 และ (sin x + 1) = 0
- ตัวอย่างที่ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0 (0< x < 2π)
- วิธีแก้: ใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ แปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: cos 2x(2cos x + 1) = 0 ทีนี้ แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2cos x + 1) = 0
- ตัวอย่างที่ 8 บาป x - บาป 3x = cos 2x (0< x < 2π)
- วิธีแก้: ใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ แปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 ทีนี้ แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2sin x + 1) = 0 .
- วิธีที่ 2
- แปลงสมการตรีโกณมิติที่กำหนดให้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว จากนั้นแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก เช่น t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t ฯลฯ)
- ตัวอย่างที่ 9 3ซิน^2 x - 2cos^2 x = 4ซิน x + 7 (0< x < 2π).
- สารละลาย. ในสมการนี้ ให้แทนที่ (cos^2 x) ด้วย (1 - sin^2 x) (ตามเอกลักษณ์) สมการที่แปลงแล้วคือ:
- 3ซิน^2 x - 2 + 2ซิน^2 x - 4ซิน x - 7 = 0 แทนที่บาป x ด้วย t ตอนนี้สมการจะเป็นดังนี้: 5t^2 - 4t - 9 = 0 นี่คือสมการกำลังสองที่มีรากสองตัว: t1 = -1 และ t2 = 9/5 รูตที่สอง t2 ไม่เป็นไปตามช่วงฟังก์ชัน (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- ตัวอย่างที่ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- สารละลาย. แทนที่ tg x ด้วย t เขียนสมการเดิมใหม่ดังนี้: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0 ตอนนี้หา t แล้วหา x สำหรับ t = tan x
- ถ้าสมการตรีโกณมิติที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว ให้แก้สมการนั้นเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน หากสมการที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป จะมี 2 วิธีในการแก้สมการดังกล่าว (ขึ้นอยู่กับความเป็นไปได้ของการแปลง)