ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลในแง่ง่ายๆ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจและเคล็ดลับที่เป็นประโยชน์

นิเวศวิทยาแห่งชีวิต วิทยาศาสตร์และการค้นพบ: ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ซึ่งเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดมีทั้งโชคดีและโชคร้าย ในที่นี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ ในด้านหนึ่ง เกือบทุกคนเคยได้ยินบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา จากการตีความอีกแบบหนึ่ง ทฤษฎีของไอน์สไตน์ “บอกว่าทุกสิ่งในโลกมีความเกี่ยวข้องกัน”

ทฤษฎีบท Gödelเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ซึ่งเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุด มีทั้งโชคดีและโชคร้ายในเวลาเดียวกัน ในที่นี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์

ในด้านหนึ่ง เกือบทุกคนเคยได้ยินบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา ในทางกลับกันในการตีความที่เป็นที่นิยม ทฤษฎีของไอน์สไตน์ดังที่ทราบกันดีว่า" บอกว่าทุกสิ่งในโลกล้วนสัมพันธ์กัน- ก ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล(ต่อไปนี้จะเรียกง่ายๆ ว่า TGN) ในกฎเกณฑ์พื้นบ้านเสรีเดียวกันโดยประมาณ “ พิสูจน์ว่ามีสิ่งที่จิตใจมนุษย์ไม่สามารถเข้าใจได้».

ดังนั้นบางคนจึงพยายามปรับใช้เพื่อเป็นการโต้แย้งต่อต้านการสบถลัทธิเรียลนิยม ในขณะที่คนอื่น ๆ พิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือว่าไม่มีพระเจ้า - สิ่งที่น่าตลกไม่ใช่เพียงว่าทั้งสองฝ่ายไม่สามารถทำถูกในเวลาเดียวกันได้เท่านั้น แต่ยังไม่มีใครสนใจที่จะคิดว่าทฤษฎีบทนี้กล่าวถึงอะไรจริงๆ

แล้วไงล่ะ? ด้านล่างนี้ฉันจะพยายามบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วยนิ้วของฉัน แน่นอนว่าการนำเสนอของฉันจะต้องไม่เข้มงวดและเป็นไปตามสัญชาตญาณ แต่ฉันจะขอให้นักคณิตศาสตร์อย่าตัดสินฉันอย่างเคร่งครัด เป็นไปได้ว่าสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ซึ่งอันที่จริงฉันเป็นคนหนึ่ง) จะมีสิ่งใหม่และมีประโยชน์ในสิ่งที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน และที่สำคัญที่สุดคือยังไม่คุ้นเคยมากนักต้องใช้ความระมัดระวังและกลยุทธ์ที่เข้มงวด ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนระหว่างสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์จริงกับสิ่งที่ "ชัดเจนอยู่แล้ว" อย่างไรก็ตาม ฉันหวังว่าเพื่อให้เข้าใจ "โครงร่างการพิสูจน์ TGN" ต่อไปนี้ ผู้อ่านจะต้องการความรู้ด้านคณิตศาสตร์/วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ระดับมัธยมปลาย ทักษะการคิดเชิงตรรกะ และเวลา 15-20 นาทีเท่านั้น

เพื่อให้ง่ายขึ้นบ้าง TGN ให้เหตุผลว่าในภาษาที่ซับซ้อนเพียงพอมีข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้แต่ในวลีนี้เกือบทุกคำต้องการคำอธิบาย

เริ่มต้นด้วยการพยายามหาว่าข้อพิสูจน์คืออะไรเรามาลองแก้โจทย์เลขคณิตของโรงเรียนกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรง่ายๆ ต่อไปนี้: “∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)” (ฉันขอเตือนคุณว่าสัญลักษณ์ ∀ อ่านอยู่ “สำหรับใดๆ” และเรียกว่า “ปริมาณสากล” ) คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยการแปลงมันเหมือนกัน เช่น:

∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)

∀xx2−3x+2−2=x2−3x

∀xx2−3x–x2+3x=0

∀x0=0

จริง

การเปลี่ยนจากสูตรหนึ่งไปอีกสูตรหนึ่งเกิดขึ้นตามกฎเกณฑ์บางประการที่รู้จักกันดี การเปลี่ยนจากสูตรที่ 4 ไปเป็นสูตรที่ 5 เกิดขึ้นเพราะทุกจำนวนมีค่าเท่ากับตัวมันเอง - นี่คือสัจพจน์ของเลขคณิต และขั้นตอนการพิสูจน์ทั้งหมดจึงแปลสูตรเป็นค่าบูลีน TRUE ผลลัพธ์อาจเป็น LIE ก็ได้ หากเราหักล้างสูตรบางอย่าง ในกรณีนี้ เราจะพิสูจน์การปฏิเสธของมัน เราสามารถจินตนาการถึงโปรแกรม (และโปรแกรมดังกล่าวได้ถูกเขียนขึ้นจริง ๆ ) ที่จะพิสูจน์ข้อความที่คล้ายกัน (และซับซ้อนกว่า) โดยปราศจากการแทรกแซงของมนุษย์

เรามาระบุสิ่งเดียวกันอย่างเป็นทางการอีกหน่อยขอให้เรามีชุดที่ประกอบด้วยสตริงของอักขระของตัวอักษรบางตัว และมีกฎที่เราสามารถเลือกเซตย่อย S จากสตริงเหล่านี้ได้ คำสั่งที่เรียกว่า - นั่นคือวลีที่มีความหมายทางไวยากรณ์ซึ่งแต่ละวลีเป็นจริงหรือเท็จ- เราสามารถพูดได้ว่ามีฟังก์ชัน P ที่กำหนดคำสั่งจาก S หนึ่งในสองค่า: TRUE หรือ FALSE (นั่นคือ แมปพวกมันกับชุดบูลีน B ของสององค์ประกอบ)

เรียกคู่นี้ว่า.- เซตของคำสั่ง S และฟังก์ชัน P จาก >S ถึง B - “ภาษาแห่งถ้อยคำ”- โปรดทราบว่าในชีวิตประจำวัน แนวคิดเรื่องภาษาค่อนข้างกว้างกว่า เช่น วลีภาษารัสเซีย “ มานี่สิ!"ไม่เป็นความจริงหรือเท็จ กล่าวคือ จากมุมมองของตรรกะทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่ข้อความ

สำหรับสิ่งต่อไปนี้ เราต้องการแนวคิดของอัลกอริทึมฉันจะไม่ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการที่นี่ - นั่นจะทำให้เราหลงทางไปไกลมาก ฉันจะจำกัดตัวเองอยู่แค่แบบไม่เป็นทางการ: “อัลกอริทึม” คือลำดับของคำสั่งที่ชัดเจน (“โปรแกรม”) ซึ่งแปลงข้อมูลเริ่มต้นเป็นผลลัพธ์ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด

สิ่งที่เป็นตัวเอียงมีความสำคัญโดยพื้นฐาน - หากโปรแกรมวนซ้ำข้อมูลเริ่มต้นบางส่วน โปรแกรมจะไม่อธิบายอัลกอริทึม เพื่อความเรียบง่ายและการประยุกต์ใช้ในกรณีของเรา ผู้อ่านสามารถพิจารณาว่าอัลกอริธึมคือโปรแกรมที่เขียนด้วยภาษาการเขียนโปรแกรมใดๆ ที่เขารู้จัก ซึ่งสำหรับข้อมูลอินพุตใดๆ จากคลาสที่กำหนด รับประกันว่างานจะเสร็จสมบูรณ์โดยได้ผลลัพธ์แบบบูลีน

ลองถามตัวเองดู: สำหรับทุกฟังก์ชัน P จะมี "อัลกอริธึมการพิสูจน์" (หรือเรียกสั้นๆ ว่า " นิรนัย") เทียบเท่ากับฟังก์ชันนี้ กล่าวคือ การแปลงแต่ละคำสั่งให้เป็นค่าบูลีนที่เหมือนกันทุกประการ คำถามเดียวกันนี้สามารถกำหนดให้กระชับยิ่งขึ้น: ทุกฟังก์ชันบนชุดคำสั่งสามารถคำนวณได้หรือไม่?

ดังที่คุณเดาแล้ว จากความถูกต้องของ TGN ตามมาว่าไม่ ไม่ใช่ทุกฟังก์ชัน - มีฟังก์ชันประเภทนี้ที่คำนวณไม่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ใช่ทุกข้อความที่แท้จริงที่สามารถพิสูจน์ได้

เป็นไปได้มากว่าข้อความนี้จะทำให้เกิดการประท้วงภายในตัวคุณ นี่เป็นเพราะสถานการณ์หลายประการ ประการแรก เมื่อเราสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียน บางครั้งเราเกิดความรู้สึกผิดๆ ว่าวลี “ทฤษฎีบท X เป็นจริง” และ “ทฤษฎีบท X สามารถพิสูจน์หรือตรวจสอบได้” นั้นแทบจะเหมือนกันทุกประการ

แต่ถ้าคุณลองคิดดูมันก็ไม่ชัดเจนเลย ทฤษฎีบทบางทฤษฎีได้รับการพิสูจน์ค่อนข้างง่าย (เช่น โดยการลองใช้ตัวเลือกจำนวนเล็กน้อย) ในขณะที่บางทฤษฎีก็ยากมาก ให้เรานึกถึงมหาราชผู้โด่งดัง ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์:

ไม่มีจำนวนธรรมชาติ x,y,z และ n>2 ที่ทำให้ xn+yn=zn

ข้อพิสูจน์นี้พบหลังจากสูตรแรกเพียงสามศตวรรษครึ่งเท่านั้น (และยังห่างไกลจากระดับประถมศึกษา) กับ เราต้องแยกแยะระหว่างความจริงของข้อความและความพิสูจน์ได้ไม่ได้ติดตามจากทุกที่ว่าไม่มีข้อความที่เป็นความจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้ (และไม่สามารถตรวจสอบได้ทั้งหมด)

ข้อโต้แย้งตามสัญชาตญาณประการที่สองต่อ TGN นั้นละเอียดอ่อนกว่าสมมติว่าเรามีประโยคที่พิสูจน์ไม่ได้ (ภายในกรอบของประโยคนิรนัยนี้) อะไรขัดขวางไม่ให้เรายอมรับว่ามันเป็นสัจพจน์ใหม่ ดังนั้นเราจะทำให้ระบบหลักฐานของเราซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่ก็ไม่น่ากลัว

ข้อโต้แย้งนี้จะถูกต้องโดยสมบูรณ์หากมีข้อความที่พิสูจน์ไม่ได้จำนวนจำกัด ในทางปฏิบัติ สิ่งต่อไปนี้สามารถเกิดขึ้นได้: หลังจากตั้งหลักสัจพจน์ใหม่แล้ว คุณจะสะดุดกับข้อความใหม่ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้- หากคุณยอมรับว่าเป็นสัจพจน์อื่น คุณจะสะดุดกับสัจพจน์ที่สาม และไม่มีที่สิ้นสุด

พวกเขาพูดอย่างนั้น การหักเงินจะยังคงไม่สมบูรณ์- นอกจากนี้เรายังสามารถบังคับอัลกอริธึมการพิสูจน์ให้เสร็จสิ้นในจำนวนขั้นตอนที่จำกัดพร้อมกับผลลัพธ์บางอย่างสำหรับคำพูดของภาษาใดก็ตาม แต่ขณะเดียวกันเขาจะเริ่มโกหก - นำไปสู่ความจริงด้วยคำพูดที่ไม่ถูกต้องหรือโกหก - สำหรับผู้ที่ซื่อสัตย์

ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาบอกว่าการหักเงินขัดแย้งกัน ดังนั้นอีกสูตรหนึ่งของ TGN จึงมีเสียงดังนี้: “ มีภาษาเชิงประพจน์ซึ่งกระบวนการนิรนัยที่สอดคล้องกันโดยสมบูรณ์เป็นไปไม่ได้" - ดังนั้นชื่อของทฤษฎีบท

บางครั้งเรียกว่า "ทฤษฎีบทของเกอเดล" ข้อความก็คือว่าทฤษฎีใดๆ มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ภายในกรอบของทฤษฎีนั้นเอง และจำเป็นต้องมีการสรุปทั่วไป ในแง่หนึ่งนี่เป็นเรื่องจริง แม้ว่าการกำหนดนี้มีแนวโน้มที่จะปิดบังปัญหามากกว่าที่จะชี้แจงให้ชัดเจน

ฉันจะสังเกตด้วยว่าหากเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันที่คุ้นเคยซึ่งแมปชุดของจำนวนจริงเข้ากับมัน ดังนั้น "ความสามารถในการคำนวณไม่ได้" ของฟังก์ชันนี้จะไม่ทำให้ใครแปลกใจ (แต่อย่าสับสนระหว่าง "ฟังก์ชันที่คำนวณได้" และ "ตัวเลขที่คำนวณได้" " - สิ่งเหล่านี้แตกต่าง)

เคิร์ท โกเดล

เด็กนักเรียนคนใดรู้ว่าในกรณีของฟังก์ชัน sin⁡x คุณจะต้องโชคดีมากกับการโต้แย้งเพื่อให้กระบวนการคำนวณการแทนทศนิยมที่แน่นอนของค่าของฟังก์ชันนี้เสร็จสมบูรณ์ในจำนวนจำกัด ของขั้นตอน

แต่เป็นไปได้มากว่าคุณจะคำนวณโดยใช้อนุกรมอนันต์ และการคำนวณนี้จะไม่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่แน่นอน แม้ว่าจะใกล้เคียงกันเท่าที่คุณต้องการก็ตาม - เพียงเพราะว่าค่าไซน์ของอาร์กิวเมนต์ส่วนใหญ่นั้นไม่มีเหตุผล- TGN เพียงบอกเราว่าแม้ในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นสตริงและมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่ง แต่ก็ยังมีฟังก์ชันที่ไม่สามารถคำนวณได้แม้ว่าจะมีโครงสร้างที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

เพื่อวัตถุประสงค์เพิ่มเติม เราจะอธิบาย "ภาษาของเลขคณิตแบบเป็นทางการ"พิจารณาคลาสของสตริงข้อความที่มีความยาวจำกัดซึ่งประกอบด้วยตัวเลขอารบิก ตัวแปร (ตัวอักษรของอักษรละติน) ที่รับค่าธรรมชาติ การเว้นวรรค เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ ความเท่าเทียมกันและอสมการ ปริมาณ ∃ (“มีอยู่”) และ ∀ (“สำหรับใดๆ”) และบางทีอาจเป็นสัญลักษณ์อื่นๆ (จำนวนและองค์ประกอบที่แน่นอนนั้นไม่สำคัญสำหรับเรา)

เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกบรรทัดที่มีความหมาย (เช่น “12=+∀x>” เป็นเรื่องไร้สาระ) ชุดย่อยของนิพจน์ที่มีความหมายจากคลาสนี้ (นั่นคือ สตริงที่เป็นจริงหรือเท็จจากมุมมองของเลขคณิตธรรมดา) จะเป็นชุดคำสั่งของเรา

ตัวอย่างของคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ:

1=1

2×2=5

∃xx>3

∀y∀zy×z>y+ z

ฯลฯ ตอนนี้ขอเรียก "สูตรที่มีพารามิเตอร์อิสระ" (FSP) ว่าสตริงที่กลายเป็นคำสั่งหากแทนที่จำนวนธรรมชาติเป็นพารามิเตอร์นี้ ตัวอย่างของ FSP (พร้อมพารามิเตอร์ x):

x=0

2×2=x

∃yx+y>x

ฯลฯ กล่าวอีกนัยหนึ่ง FSP เทียบเท่ากับฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติที่มีค่าบูลีน

ให้เราแสดงเซตของ FSP ทั้งหมดด้วยตัวอักษร F เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถเรียงลำดับได้ (เช่น ก่อนอื่นเราเขียนสูตรที่มีตัวอักษรตัวเดียวเรียงตามตัวอักษร ตามด้วยสูตรที่มีตัวอักษรสองตัว เป็นต้น ซึ่งไม่สำคัญเลย สำหรับเราว่าการสั่งซื้อจะเกิดขึ้นตามตัวอักษรใด) ดังนั้น FSP ใดๆ จะสอดคล้องกับหมายเลข k ในรายการเรียงลำดับ และเราจะแสดงว่าเป็น Fk

ตอนนี้เรามาดูภาพร่างการพิสูจน์ TGN ในสูตรต่อไปนี้:

สำหรับภาษาเชิงประพจน์ของเลขคณิตแบบทางการนั้นไม่มีระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์

เราจะพิสูจน์มันด้วยความขัดแย้ง

สมมติว่ามีระบบนิรนัยเช่นนั้นอยู่ ให้เราอธิบายอัลกอริทึมเสริมต่อไปนี้ A ซึ่งกำหนดค่าบูลีนให้กับจำนวนธรรมชาติ k ดังนี้:

1. ค้นหาสูตร k ในรายการ F

2. แทนตัวเลข k ลงไปเป็นอาร์กิวเมนต์

3. เราใช้อัลกอริธึมการพิสูจน์ของเรากับข้อความผลลัพธ์ (ตามสมมติฐานของเรา มันมีอยู่) ซึ่งแปลเป็น TRUE หรือ FALSE

4. ใช้การปฏิเสธเชิงตรรกะกับผลลัพธ์ที่ได้รับ

พูดง่ายๆ ก็คือ อัลกอริธึมจะให้ผลลัพธ์เป็นค่า TRUE ถ้าหากผลลัพธ์ของการแทนที่หมายเลขของตัวเองใน FSP ในรายการของเราให้ข้อความที่เป็นเท็จ

เรามาถึงที่เดียวที่ฉันจะขอให้ผู้อ่านเชื่อคำพูดของฉัน

เห็นได้ชัดว่า ภายใต้สมมติฐานข้างต้น FSP ใดๆ จาก F สามารถเชื่อมโยงกับอัลกอริธึมที่มีตัวเลขธรรมชาติที่อินพุตและค่าบูลีนที่เอาต์พุต

การสนทนาไม่ชัดเจน:

บทแทรก: อัลกอริธึมใดๆ ที่แปลงจำนวนธรรมชาติให้เป็นค่าบูลีนจะสอดคล้องกับ FSP บางตัวจากเซต F

การพิสูจน์บทแทรกนี้จะต้องมีการกำหนดแนวคิดของอัลกอริทึมที่เป็นทางการ แทนที่จะเป็นไปตามสัญชาตญาณเป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม หากคุณลองคิดดูสักนิด มันก็ค่อนข้างเป็นไปได้

ในความเป็นจริงอัลกอริธึมถูกเขียนในภาษาอัลกอริธึมซึ่งมีภาษาที่แปลกใหม่เช่น Brainfuck ซึ่งประกอบด้วยคำที่มีอักขระเดี่ยวแปดคำซึ่งอย่างไรก็ตามสามารถใช้อัลกอริทึมใดก็ได้ คงจะแปลกถ้าภาษาที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นของสูตรเลขคณิตแบบทางการที่เราอธิบายไว้กลับกลายเป็นว่าแย่ลง - แม้ว่าจะไม่เหมาะกับการเขียนโปรแกรมทั่วไปอย่างไม่ต้องสงสัยก็ตาม

ผ่านที่ลื่นนี้ไปก็ถึงจุดสิ้นสุดอย่างรวดเร็ว

ดังนั้น ข้างต้น เราได้อธิบายอัลกอริทึม A แล้ว ตามบทแทรกที่ฉันขอให้คุณเชื่อ มี FSP ที่เทียบเท่ากัน มีตัวเลขอยู่ในรายการ F - พูด, n ลองถามตัวเองว่า Fn(n) คืออะไร? ให้นี่คือความจริง จากนั้น ตามการสร้างอัลกอริทึม A (และด้วยฟังก์ชัน Fn ที่เทียบเท่ากัน) นั่นหมายความว่าผลลัพธ์ของการแทนตัวเลข n ลงในฟังก์ชัน Fn จะเป็น FALSE

การย้อนกลับจะถูกตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน: จาก Fn(n)=FALSE จะตามมาด้วย Fn(n)=TRUE เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานดั้งเดิมนั้นไม่ถูกต้อง ดังนั้นจึงไม่มีระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันสำหรับการคำนวณแบบเป็นทางการ Q.E.D.

เป็นการเหมาะสมที่จะระลึกถึงเอพิเมนิเดสซึ่งดังที่ทราบกันดีว่าชาวครีตันทุกคนเป็นคนโกหกโดยตัวเขาเองเป็นชาวเครตัน ในการกำหนดคำพูดของเขาที่กระชับมากขึ้น (เรียกว่า "ความขัดแย้งของคนโกหก")สามารถกำหนดได้ดังนี้ “ ฉันโกหก- มันเป็นข้อความประเภทนี้เองที่ประกาศความเท็จซึ่งเราใช้เพื่อการพิสูจน์

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่า TGN ไม่ได้อ้างว่ามีอะไรน่าประหลาดใจเป็นพิเศษ ท้ายที่สุดแล้วทุกคนคุ้นเคยมานานแล้วว่าไม่สามารถแสดงตัวเลขทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ (โปรดจำไว้ว่าคำสั่งนี้มีหลักฐานที่สวยงามมากซึ่งมีอายุมากกว่าสองพันปี?)และรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะไม่ใช่ตัวเลขทั้งหมดเช่นกัน - และตอนนี้ปรากฎว่าไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติจะคำนวณได้

ภาพร่างของการพิสูจน์ที่ให้ไว้นั้นเป็นการคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ แต่ก็เห็นได้ง่ายว่า TGN สามารถใช้ได้กับภาษาเชิงประพจน์อื่นๆ อีกหลายภาษา แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกภาษาจะเป็นแบบนี้ ตัวอย่างเช่น ลองกำหนดภาษาดังต่อไปนี้:

“วลีใดๆ ในภาษาจีนถือเป็นข้อความจริงหากมีอยู่ในใบเสนอราคาของสหายเหมา เจ๋อตง และไม่ถูกต้องหากไม่มีอยู่”

จากนั้นอัลกอริธึมการพิสูจน์ที่สมบูรณ์และสอดคล้องกันที่สอดคล้องกัน (ใคร ๆ ก็สามารถเรียกมันว่า "นิรนัยแบบดันทุรัง") จะมีลักษณะดังนี้:

“พลิกดูใบเสนอราคาของสหายเหมาเจ๋อตุงจนกว่าคุณจะพบคำพูดที่คุณกำลังมองหา ถ้าพบก็จริงแต่ถ้าสมุดใบเสนอราคาหมดและไม่พบใบแจ้งยอดก็ถือว่าไม่ถูกต้อง”

สิ่งที่ช่วยให้เราประหยัดที่นี่คือสมุดใบเสนอราคาใดๆ ก็มีขอบเขตแน่นอน ดังนั้นกระบวนการ "พิสูจน์" จะต้องสิ้นสุดลงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้น TGN จึงใช้ไม่ได้กับภาษาของข้อความที่ดันทุรัง แต่เรากำลังพูดถึงภาษาที่ซับซ้อนใช่ไหม?ที่ตีพิมพ์

1. ทฤษฎีสัจพจน์อย่างเป็นทางการและจำนวนธรรมชาติ

2. เลขคณิตอย่างเป็นทางการและคุณสมบัติของมัน

3. ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

4. Gödel และบทบาทของเขาในตรรกะทางคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 20

ทฤษฎีบทนี้ซึ่งเราพบมาหลายครั้งแล้ว ระบุว่าทฤษฎีสัจพจน์ที่เป็นทางการใดๆ ก็ตามที่ทำให้เลขคณิตของจำนวนธรรมชาติเป็นระเบียบนั้นยังไม่สมบูรณ์ (อย่างแน่นอน) ในส่วนนี้จะเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ โดยอิงตามแนวคิดและวิธีการของทฤษฎีอัลกอริทึม สิ่งนี้จะแสดงให้เห็นอีกครั้งในระดับสูงสุดถึงความเชื่อมโยงที่ใกล้เคียงที่สุดระหว่างตรรกะทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีอัลกอริทึม - สาขาวิชาคณิตศาสตร์สองสาขาที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ทั้งหมด การนำเสนอของเราจะขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ที่พัฒนาโดย M. Arbib

หลังจากการพิสูจน์ทฤษฎีบท 35.7 ว่ามีชุดของจำนวนธรรมชาตินับไม่ถ้วนแต่ตัดสินใจไม่ได้ ก็อ้างว่าจริงๆ แล้วชุดนี้ได้รวมทฤษฎีบทของเกอเดลไว้โดยปริยายในเรื่องความไม่สมบูรณ์ของเลขคณิตแบบทางการด้วย วัตถุประสงค์ของย่อหน้านี้คือเพื่อยืนยันข้อเรียกร้องนี้ ดังนั้นภายในกรอบของทฤษฎีทั่วไปของอัลกอริธึมนอกเหนือจากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์ในสองย่อหน้าก่อนหน้าแล้วความก้าวหน้าของทฤษฎีอัลกอริธึมในทิศทางของการแก้ปัญหาเชิงตรรกะล้วนๆ จะถูกแสดงให้เห็น ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราต้องเชื่อมโยงคำศัพท์เฉพาะทางของปัญหาเชิงตรรกะเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของเลขคณิตที่เป็นทางการกับคำศัพท์เชิงระเบียบวิธีของทฤษฎีทั่วไปของอัลกอริทึม ซึ่งวิธีการดังกล่าวจะช่วยแก้ปัญหานี้ได้ ในกรณีนี้ ข้อความของทฤษฎีบท 35.7 เกี่ยวกับการมีอยู่ของเซตของจำนวนธรรมชาติที่นับได้แต่ตัดสินใจไม่ได้จะเป็นข้อกำหนดพื้นฐานสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเกอเดล ซึ่งเราจะพิสูจน์ในสูตรต่อไปนี้: “เลขคณิตอย่างเป็นทางการที่สอดคล้องกันทุกรายการเพียงพอ ไม่สมบูรณ์” ต่อไป เราจะอธิบายความหมายของเลขคณิตแบบเป็นทางการ และยังให้นิยามและอธิบายแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดทฤษฎีบทของโกเดลข้างต้นด้วย เริ่มต้นด้วยทฤษฎีสัจพจน์ที่เป็นทางการ

ทฤษฎีสัจพจน์อย่างเป็นทางการและจำนวนธรรมชาติ

แนวคิดของทฤษฎีสัจพจน์อย่างเป็นทางการถูกกำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ในการกำหนดทฤษฎี T คุณต้องระบุตัวอักษร (ชุดสัญลักษณ์ที่นับได้) ในชุดของคำทั้งหมดที่ประกอบด้วยตัวอักษรของตัวอักษรที่กำหนดให้เลือกชุดย่อยองค์ประกอบที่จะเรียกว่าสูตร (หรือสำนวนที่สร้างขึ้นอย่างถูกต้อง) ของทฤษฎีที่กำหนด ในชุดสูตรให้เลือกสูตรที่จะเรียกว่าสัจพจน์ของทฤษฎี ในที่สุด จะต้องระบุความสัมพันธ์ระหว่างสูตรจำนวนจำกัด ที่เรียกว่ากฎการอนุมาน ในกรณีนี้ จะต้องมีขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพ (อัลกอริธึม) ในการพิจารณาว่าคำที่ให้มา (นิพจน์) เป็นสูตร (เช่น นิพจน์ที่สร้างขึ้นอย่างถูกต้อง) ว่าสูตรเหล่านี้เป็นสัจพจน์หรือไม่ และสุดท้าย ไม่ว่าสูตรใดที่กำหนดจะได้มาจากจำนวน สูตรที่กำหนดอื่นๆ โดยใช้กฎการอนุมานนี้ ซึ่งหมายความว่าเซตของสูตรทั้งหมดสามารถตัดสินใจได้ และเซตของสัจพจน์ทั้งหมดสามารถตัดสินใจได้ ดังนั้นแต่ละชุดจึงสามารถนับได้

แนวคิดของการได้มาและทฤษฎีบทในทฤษฎีสัจพจน์อย่างเป็นทางการมีให้ไว้ในคำจำกัดความ 28.2

ทฤษฎีบททั้งหมดที่ให้ในการบรรยายนี้ตามคำศัพท์เฉพาะของเรา แท้จริงแล้วคือทฤษฎีบท กล่าวคือ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของทฤษฎีสัจพจน์ (เป็นทางการ) แต่เนื่องจากเราไม่ได้พิจารณาทฤษฎีสัจพจน์ใดๆ ในที่นี้ เราจึงไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทใดๆ ของทฤษฎีดังกล่าว เช่น จะไม่มีทฤษฎีบทในที่นี้ยกเว้นเมตาทฤษฎีบท จากนั้นเราจะเรียกง่ายๆ ว่าทฤษฎีบทเมตาทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 37.1 เซตของทฤษฎีบททั้งหมดของทฤษฎีสัจพจน์อย่างเป็นทางการ T สามารถนับได้

การพิสูจน์.เราได้ตั้งข้อสังเกตแล้วว่าชุดของสัจพจน์ของทฤษฎีที่เป็นทางการนั้นมีมากมายนั่นคือเราสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ A_1,A_2,A_3,\lจุด- เนื่องจากสูตรทั้งหมดประกอบด้วยตัวอักษร (สัญลักษณ์) จำนวนจำกัด การอนุมานทั้งหมดจึงมีจำนวนสูตรจำกัด และการอนุมานแต่ละครั้งใช้จำนวนสัจพจน์ที่มีจำกัดเท่านั้น จึงชัดเจนว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติแต่ละตัว n มีเพียงจำนวนจำกัดของ การหักเงินที่มีสูตรไม่เกิน n สูตร (ขั้นตอน) และใช้เพียงสัจพจน์เท่านั้น \(A_1,A_2,\ldots,A_n\)- ดังนั้น การย้ายจาก n=1 ไปเป็น n=2, ~ n=3 เป็นต้น เราสามารถกำหนดหมายเลขทฤษฎีบททั้งหมดของทฤษฎีที่กำหนดใหม่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งหมายความว่าเซตของทฤษฎีบทสามารถนับได้

ตอนนี้เราจะย้ายจากทฤษฎีที่เป็นทางการตามอำเภอใจไปสู่ทฤษฎีที่จัดการกับจำนวนธรรมชาติไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง หากในทฤษฎีของเรา เราต้องการพูดถึงเซตย่อย Q ของเซตของจำนวนธรรมชาติ เราก็จะต้องมีวิธีที่มีประสิทธิภาพในการเขียนจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวด้วยสูตร W_n ซึ่งหมายความว่า n\ใน Q ยิ่งไปกว่านั้น หากเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสูตร W_n เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎี T ก็ต่อเมื่อ n\in Q แล้วเราจะบอกว่าทฤษฎี T เป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับ Q (หรือ T มีคำอธิบายแบบกึ่งสมบูรณ์ของ Q ) แม่นยำยิ่งขึ้นเราจะกำหนดคำจำกัดความนี้ดังนี้

คำนิยาม 37.2กล่าวกันว่าทฤษฎี T เป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติ Q\ชุดย่อย\mathbb(N)ถ้ามีชุดสูตรนับได้ W_0,W_1,\lจุด,W_n,\ldots, ดังนั้น .

คำนิยาม 37.3ทฤษฎี T ถูกกล่าวว่าสมบูรณ์สำหรับ Q หากเป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับ Q และเรายังมีสูตร \lไม่ใช่ W_n ซึ่งแปลเป็น n\notin Q และเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า \lไม่ใช่ W_n เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎี T ถ้า และ เฉพาะในกรณีที่ n\ notin Q. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎี T จะสมบูรณ์สำหรับ Q ถ้าทุกๆ n ใน T เราสามารถระบุได้ว่ามันเป็นของ Q หรือไม่ แม่นยำยิ่งขึ้น นี่หมายความว่าทฤษฎี T ได้รับการกล่าวขานว่าสมบูรณ์สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติ T หากเป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับ Q และกึ่งสมบูรณ์สำหรับส่วนเสริม \overline(Q)

ทฤษฎีบท 37.4 หากทฤษฎี T เป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับเซต Q แล้ว Q ก็สามารถนับได้

การพิสูจน์.ตามคำจำกัดความของความสมบูรณ์กึ่ง T สำหรับ Q เซต Q คือเซตของตัวเลขของสูตรเหล่านั้นจากเซตที่นับได้บางเซต \(W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\)สูตรที่เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎี T เช่น เป็นของหลาย ๆ คน \ชื่อผู้ดำเนินการ(Th)(T)- ดังนั้น Q คือเซตของตัวเลขของสูตรทั้งหมดจากเซตนั้น \ชื่อผู้ดำเนินการ(Th)(T)\cap \(W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\)- ชุดที่ตัดกันแต่ละชุดสามารถนับได้ ชุดแรก - ตามทฤษฎีบท 37.1 ก่อนหน้า ชุดที่สอง - ตามสิ่งที่กล่าวไว้ในตอนต้นของการพิสูจน์ ด้วยเหตุนี้ จุดตัดกันตามทฤษฎีบท 35.5 จึงนับได้ แต่แล้วเซตของตัวเลขของสูตรเหล่านั้นที่รวมอยู่ในจุดตัดนี้ก็ถูกรวมเข้าด้วยกันอีกครั้ง

ข้อพิสูจน์ 37.5ถ้า Q เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติที่นับได้แต่ตัดสินใจไม่ได้ ก็ไม่มีทฤษฎีที่เป็นทางการใดที่จะสมบูรณ์สำหรับ Q ได้

การพิสูจน์.ถ้าเซต Q นับได้แต่ตัดสินใจไม่ได้ ดังนั้นตามทฤษฎีบท 35.6 ส่วนเสริม \overline(Q) ก็นับไม่ได้ จากนั้น ตามทฤษฎีบท 37.4 ไม่มีทฤษฎีใดที่ T จะเป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับ \overline(Q) ดังนั้นจึงไม่มีทฤษฎี T ที่สมบูรณ์สำหรับ Q

จากข้อพิสูจน์นี้ถึงทฤษฎีบทของเกอเดล มีความใกล้เคียงกันมาก ในการทำเช่นนี้ โดยใช้ทฤษฎีที่เป็นทางการบางทฤษฎี T จำเป็นต้องพัฒนาทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติ และในลักษณะที่สามารถตีความความเป็นเจ้าของของตัวเลขในเซต Q ที่ให้มาได้อย่างเพียงพอ (กล่าวคือ ตัวเลข n อยู่ในกลุ่มเดียวกัน) ถึง Q ถ้าหากสูตรของทฤษฎี T ที่เกี่ยวข้องกันอย่างมีประสิทธิผลเป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีนี้) สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ Q อย่างน้อยก็นับได้

เลขคณิตอย่างเป็นทางการและคุณสมบัติของมัน

เลขคณิตอย่างเป็นทางการในฐานะทฤษฎีสัจพจน์อย่างเป็นทางการถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของแคลคูลัสภาคแสดงอย่างเป็นทางการที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ ในที่นี้เราจะเรียกตัวแปรหัวเรื่องว่าเป็นตัวเลข เนื่องจากเราจะแทนที่ตัวเลขธรรมชาติแทน

ตัวแปรอ็อบเจ็กต์จะเรียกว่าว่างในสูตร หากไม่ได้อยู่ภายใต้เครื่องหมายของปริมาณ (ลักษณะทั่วไปหรือการมีอยู่) และผูกมัดเป็นอย่างอื่น สูตรจะเรียกว่าปิดหากตัวแปรหัวเรื่องทั้งหมดเชื่อมต่อกัน และจะเรียกว่าเปิดหากมีตัวแปรอิสระ การปิดสูตร F คือสูตร C(F) ที่ได้มาจาก F โดยการเพิ่มตัวระบุลักษณะทั่วไปไว้ด้านหน้าเหนือตัวแปรทั้งหมดที่ว่างใน F เห็นได้ชัดว่าสำหรับ F ใดๆ สูตร C(F) ปิดอยู่ ถ้า F ปิดอยู่ ดังนั้น C(F)=F

ฟังก์ชัน C(F) สามารถคำนวณได้ เป็นไปตามนั้นว่าคลาสของสูตรปิดนั้นสามารถตัดสินใจได้ เนื่องจาก Rem จะอยู่ในกรณีที่ C(F)=F เท่านั้น และมีขั้นตอนการคำนวณเพื่อรับรู้ถึงความเท่าเทียมกันนี้

เราคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องการทดแทนในสูตรอยู่แล้ว หากในสูตร F แทนที่จะเป็นสัญลักษณ์ (คำ) X ไม่ว่าจะปรากฏใน F ให้ใส่คำ (สูตร) ​​H แล้วเราจะได้คำใหม่ (สูตร) ​​แสดงแทน S_X^HF และเรียกผลลัพธ์ของการแทนที่คำนั้น H เป็น F แทนคำว่า X แล้วมันชัดเจนว่า

\begin(รวบรวม)S_X^H(\lไม่ใช่ F)\equiv \lไม่ใช่ S_X^HF;\qquad S_X^H(F\to G)\equiv S_X^HF\to S_X^HG;\\ \text(esli) ~ ฉัน\ne j,~ \text(ถึง)~ S_(x_i)^N(\forall x_j)(F)\equiv (\forall x_j)S_(x_i)^NF,~ S_(x_i)^N(\ มีอยู่ x_j)(F)\equiv (\มีอยู่ x_j)S_(x_i)^NF \end(รวบรวม)

เมื่อต้องจัดการกับจำนวนธรรมชาติ เราอยากจะสามารถแทนที่พวกมันเป็นสูตรของทฤษฎีที่เป็นทางการ (เลขคณิต) ได้ เช่น สามารถพูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขในภาษาของทฤษฎีทางการของเราได้ เพื่อจุดประสงค์นี้ ตามทฤษฎีที่เป็นทางการ จำเป็นต้องมีคำที่ใช้เป็นชื่อตัวเลขธรรมชาติ คำดังกล่าวเรียกว่าตัวเลข ตัวเลขของ n เขียนแทนด้วย n^(\ast) ข้อกำหนดสำหรับชื่อเหล่านี้ (ชื่อ) ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ: ควรเรียกหมายเลขที่แตกต่างกันด้วยชื่อที่แตกต่างกันเช่น ถ้า m\ne n แล้ว ม^(\ast)\ne n^(\ast)- (แนวคิดในการแนะนำตัวเลขคือการแยกสิ่งของและชื่อของสิ่งของเหล่านั้น)

ดังนั้นในสูตรเลขคณิตเราจะทดแทนตัวแปรตัวเลขแทน x_1,x_2,x_3,\lจุดไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติเอง m,n,k,\ldots แต่เป็นตัวเลข (ชื่อ) m^(\ast),n^(\ast),k^(\ast),\ldotsตามลำดับ

สุดท้ายนี้ เราสามารถกำหนดข้อกำหนดสุดท้าย (สัจพจน์) ที่เรากำหนดให้กับเลขคณิตอย่างเป็นทางการได้ ลองเรียกมันว่าสัจพจน์ของเลขคณิต: ถ้าตัวแปรวัตถุ jc ไม่ได้เชื่อมต่อกับ F แล้ว

\text((AA))\colon~ S_(x_i)^(n^(\ast))F\to (\มีอยู่ x_i)(F)

หากเข้ามาเพื่อ S_(x_i)^(n^(\ast))Fการกำหนด F(n^(\ast)) จากนั้นสัจพจน์นี้อยู่ในรูปแบบ:

\text((AA))\colon~ F(n^(\ast))\to (\มีอยู่ x_i)(F)

นี่เป็นข้อกำหนดตามธรรมชาติโดยเฉพาะ: หากสูตร F กลายเป็นข้อความจริงเมื่อแทนที่ตัวแปร x_i ด้วยจำนวนธรรมชาติ n^(\ast) ข้อความนั้น (\exists x_i)(F) ก็เป็นจริงเช่นกัน

ไม่มีข้อจำกัดอื่นใดในการกำหนดเลขคณิตอย่างเป็นทางการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่สำคัญว่าจะนิยามการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติอย่างไร ความสัมพันธ์ลำดับถูกนำมาใช้อย่างไร ซึ่งเราทำอย่างพิถีพิถันในการสร้างทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติตามระบบสัจพจน์ของพีอาโน แม้จะมีสมมติฐานทั่วไปส่วนใหญ่เกี่ยวกับการจัดรูปแบบทางคณิตศาสตร์ แต่การจัดรูปแบบนี้จะเป็นไปตามทฤษฎีบทของโกเดล: ถ้ามันสอดคล้องกัน ก็จะไม่สมบูรณ์

ดังนั้น เมื่อกำหนดแนวคิดของเลขคณิตแบบเป็นทางการแล้ว เราจะอุทิศส่วนที่เหลือของย่อหน้านี้ให้กับแนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอ ความเพียงพอ และความสมบูรณ์ของทฤษฎีที่เป็นทางการนี้ ซึ่งมีส่วนร่วมในการกำหนดทฤษฎีบทของโกเดลที่แน่นอน

เริ่มจากแนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอกันก่อน เช่นเดียวกับทฤษฎีสัจพจน์ใดๆ เลขคณิตที่เป็นทางการจะถูกเรียกว่าสอดคล้องกัน หากไม่สามารถพิสูจน์ข้อความใดๆ และการปฏิเสธของมันได้ เช่น หากไม่มีสูตร F ซึ่งทั้ง \vdash F และ \vdash\lnot F

ตอนนี้ให้เราสมมติว่าสำหรับสูตรบางสูตร G(x) ที่มีตัวแปรวัตถุประสงค์เดียว x อย่างอิสระ กำหนดได้ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด n=0,1,2,3,\ldots แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ด้วยเลขคณิตแบบเป็นทางการก็ตาม \vdash (\forall x)(G(x))แน่นอนว่าเราสามารถพิจารณาข้อความนี้ว่าเป็นผลมาจากรายการทฤษฎีบทที่กำหนด ดังนั้น หากในทางทฤษฎีมีความเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าว เลขคณิตที่เป็นทางการดังกล่าวก็ควรได้รับการพิจารณาว่าขัดแย้งกัน

คำนิยาม 37.6เลขคณิตแบบเป็นทางการเรียกว่า ω สอดคล้องกัน หากไม่มีสูตร G(x) โดยมีตัวแปรวัตถุประสงค์อิสระตัวเดียว x เพื่อให้ทฤษฎีบทใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด n \vdash G(n^(\ast))และ \vdash\lไม่ (\forall x)(G(x)).

ทฤษฎีบท 37.7 ถ้าเลขคณิตอย่างเป็นทางการ ^-สอดคล้องกัน แสดงว่าสอดคล้องกัน

การพิสูจน์.อันที่จริง หากมันไม่สอดคล้องกัน ตามที่พิสูจน์แล้วในมาตรา 27 หลังจากคำจำกัดความ 27.1 สูตรทั้งหมดของมันจะเป็นทฤษฎีบท รวมถึงสูตรที่สร้างความไม่สอดคล้องกันของเลขคณิตแบบทางการ และสูตรหลังจะเป็น ω-ไม่สอดคล้องกัน

คำนิยาม 37.8 ขอให้เราเรียกภาคแสดง n-ary P(x_1,\ldots,x_n) บนเซตของจำนวนธรรมชาติ N ที่สามารถแทนค่าได้อย่างสมบูรณ์ในเลขคณิตแบบทางการ ถ้ามีสูตร F(x_1,\ldots,x_n) ซึ่งมีตัวแปรหัวเรื่องอิสระเป็นตัวแปร n ตัว x_1,\ldots ,x_n (และเฉพาะพวกเขาเท่านั้น) ที่:

a) สำหรับแต่ละชุดของจำนวนธรรมชาติ n จำนวน (a_1,\ldots,a_n) ซึ่งภาคแสดง P เปลี่ยนเป็นข้อความที่เป็นจริง P(a_1,\ldots,a_n) เป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปนี้: \vdash F(a_1^(\ast),\ldots,a_n^(\ast));

b) สำหรับแต่ละชุดของจำนวนธรรมชาติ n จำนวน (a_1,\ldots,a_n) ซึ่งภาคแสดง P เปลี่ยนเป็นข้อความเท็จ P(a_1,\ldots,a_n) ทฤษฎีบทมีอยู่: \vdash\lไม่ใช่ F(a_1^(\ast),\ldots,a_n^(\ast)).

ดังนั้น การแสดงแทนได้อย่างสมบูรณ์ของภาคแสดงในเลขคณิตที่เป็นทางการ หมายความว่าโดยอาศัยทฤษฎีที่เป็นทางการนี้ เราสามารถตัดสินใจได้เสมอว่ามันจะกลายเป็นข้อความจริงหรือเท็จ เมื่อเราแทนที่จำนวนธรรมชาติบางตัวแทนตัวแปรวัตถุประสงค์ทั้งหมด

ตอนนี้ให้เราอธิบายแนวคิดเรื่องความเพียงพอของเลขคณิตแบบทางการซึ่งเกี่ยวข้องกับการกำหนดทฤษฎีบทของโกเดล เราอยากจะตอบคำถามเกี่ยวกับเซตนับได้ในเลขคณิตดังกล่าว ในทฤษฎีบท 37.4 เราแสดงให้เห็นว่าเฉพาะชุดตัวเลขนับได้เท่านั้นที่สามารถมีคำอธิบายแบบกึ่งสมบูรณ์ในทฤษฎีที่เป็นทางการได้ กล่าวคือ มีชุดสูตรมากมายนับไม่ถ้วน W_0,W_1,W_2,\lจุด, ดังนั้น Q=\(n\โคลอน \vdash W_n\)- ความเพียงพอของทฤษฎีที่เป็นทางการของเรา (เลขคณิต) อาจหมายถึงว่ามันเป็นเซตกึ่งสมบูรณ์สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน เช่น ในนั้นมีคำอธิบายแบบกึ่งสมบูรณ์ของทุกชุดที่โดยทั่วไปสามารถมีคำอธิบายดังกล่าวได้อย่างน้อยก็ในบางทฤษฎี

ในทฤษฎีบท 37.1 เราได้กำหนดเซตของทฤษฎีบทฟอร์ทั้งหมดขึ้นมา ของทฤษฎีเล็กๆ น้อยๆ ก็มีนับไม่ถ้วน กล่าวคือ ทฤษฎีบททั้งหมดและดังนั้นข้อสรุป (ข้อพิสูจน์) ที่นำไปสู่ทฤษฎีเหล่านี้สามารถจัดลำดับใหม่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ขอให้เราใช้เซต Q และเซตทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน \(W_0,W_1,W_2,\ldots\)- พิจารณาภาคแสดงต่อไปนี้ P(x,y)\colon " y คือจำนวนการพิสูจน์ทฤษฎีบท W_x " ถ้าข้อความ P(m,n) เป็นจริง นั่นหมายความว่า n คือจำนวนข้อสรุปของทฤษฎีบท W_m ซึ่งในทางกลับกันก็หมายความว่า m\in Q กล่าวคือ n คือจำนวนเอาต์พุตที่ m\in Q ในทางกลับกัน การใช้ตัวเลขเฉพาะ m และ n เราสามารถสร้างทฤษฎีบท (สูตร) ​​W_m ได้อย่างมีประสิทธิภาพ และสร้างข้อสรุปที่ n ได้อย่างมีประสิทธิภาพ หลังจากนั้น เราก็สามารถระบุได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าข้อสรุปที่สร้างขึ้นนั้นเป็นบทสรุปของทฤษฎีบท W_m หรือไม่ กล่าวคือ ทราบได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าคำสั่ง P(m,n) เป็นจริงหรือไม่ ดังนั้น P(x,y) จึงเป็นเพรดิเคตที่สามารถคำนวณได้ในลักษณะที่

ตอนนี้เรามากำหนดคำจำกัดความกัน

คำนิยาม 37.9 กล่าวกันว่าเลขคณิตแบบเป็นทางการนั้นเพียงพอแล้ว ถ้าสำหรับแต่ละเซต Q ของจำนวนธรรมชาติที่นับได้ จะมีภาคแสดง P(x,y) ที่สามารถแทนค่าได้อย่างสมบูรณ์ในเลขคณิตนี้ โดยที่ Q=\bigl\(x\colon (\มี y)(\lambda =1)\bigr\).

ด้วยความสมบูรณ์ของเลขคณิตอย่างเป็นทางการ เราหมายถึงความสมบูรณ์สัมบูรณ์ กล่าวคือ ถ้าสูตรปิดทุกสูตร F ของทฤษฎีนี้ตัวมันเองหรือการปฏิเสธของมันคือทฤษฎีบทของทฤษฎีนี้: \vdash F หรือ \vdash\lnot F

ตอนนี้เราสามารถไปที่สูตรและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของโกเดลได้โดยตรง

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

ทฤษฎีบทระบุไว้ดังต่อไปนี้ เลขคณิตอย่างเป็นทางการใดๆ ที่สอดคล้องและเพียงพอจะไม่สมบูรณ์

▼หลักฐาน

ตามทฤษฎีบท 35.7 เราเลือกเซต Q ของจำนวนธรรมชาติที่สามารถนับได้แต่ตัดสินใจไม่ได้ เนื่องจากเลขคณิตอย่างเป็นทางการของเราเพียงพอแล้ว จึงมีเพอริดิเคต P(x,y) ที่สามารถแทนค่าได้อย่างสมบูรณ์ในนั้น โดยที่

Q= \bigl\(x\colon\, (\มี y)\bigl(\lambda =1\bigr)\bigr\)

การแสดงแทนได้อย่างสมบูรณ์ของเพรดิเคต P(x,y) ในเลขคณิตแบบเป็นทางการ หมายความว่า มีสูตร F(x,y) ของทฤษฎีนี้ที่ประกอบด้วยตัวแปรวัตถุประสงค์อิสระเพียงสองตัวเท่านั้น ซึ่งสำหรับคู่ของจำนวนธรรมชาติ (a,b) สำหรับ ซึ่งมีทฤษฎีบทสถานที่: \vdash F(a^(\ast),b^(\ast))และสำหรับจำนวนธรรมชาติแต่ละคู่ (a,b) \แลมบ์ดา =1ทฤษฎีบทถือได้ว่า: \vdash\lไม่ใช่ F(a^(ast),b^(\ast)).

ให้เราใช้ปริมาณทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร y กับสูตร F(x,y) เราได้รับสูตรที่มีตัวแปรหัวเรื่องอิสระเพียงตัวเดียว x\โคลอน\, G(x)\equiv (\มี y)(F(x,y))- มาแสดงกันเถอะ

Q= \bigl\(x\colon\, \vdash G(x^(\ast))\bigr\)

สมมติว่า m\in Q จากนั้น (ตาม (*)) จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ข้อความ P(m,n) เป็นจริง ดังนั้นทฤษฎีบทจึงถือว่า: \vdash F(m^(\ast),n^(\ast))โดยอาศัยสัจพจน์ของเลขคณิต \text(AA) เรามีทฤษฎีบท:

\vdash F(m^(\ast),n^(\ast))\to (\มี y)\bigl(F(m^(\ast),y)\bigr)

จากสองทฤษฎีบทสุดท้ายตามกฎ MR เราได้ข้อสรุปว่า:

\vdash (\มี y)\bigl(F(m^(\ast),y)\bigr), นั่นคือ .

มันหมายความว่าอย่างนั้น m\in \bigl\(x\colon \vdash G(x^(\ast))\bigr\)- ดังนั้น, Q \ชุดย่อย \bigl\(x\colon\vdash G(x^(\ast))\bigr\).

ในทางกลับกัน สมมุติว่า m\in \bigl\(x\colon\vdash G(x^(\ast))\bigr\), นั่นคือ \vdash G(m^(\ast)), นั่นคือ \vdash (\มีอยู่ y)(F(m^(\ast),y))- ดังนั้น โดยอาศัยการแสดงออกที่รู้จักกันดี (ตามกฎของ De Morgan) ของปริมาณการดำรงอยู่ผ่านปริมาณทั่วไป เราจึงสรุปได้ว่า

\vdash\lnot (\forall y)\bigl(\lไม่ใช่ F(m^(\ast),y)\bigr)

เนื่องจากเลขคณิตอย่างเป็นทางการของเรามีความสอดคล้องร่วมกัน ดังนั้น เนื่องจากมีทฤษฎีบทสุดท้ายอยู่ในนั้น จึงต้องมีจำนวนธรรมชาติ n_0 ที่ทำให้สูตรเป็น \lไม่ใช่ F(m^(\ast),n^(\ast)_0)ไม่ใช่ทฤษฎีบทของเลขคณิตนี้ และถ้าเป็นเช่นนั้น ข้อความ P(m,n_0) เป็นจริง (ถ้าเป็นเท็จ เราก็จะได้ทฤษฎีบท \vdash\lไม่ใช่ F(m^(\ast),n^(\ast)_0), มีอะไรผิดปกติ) ตามคำจำกัดความ (*) ของเซต Q นี่หมายความว่า m\in Q ดังนั้น, \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\subseteq Q- ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (**) จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเซต \overline(Q) (ส่วนเสริม Q ) และมีความสัมพันธ์กันอย่างไร \(x\โคลอน\vdash G(x^(\ast))\)- ให้ฉัน m\in \(x\colon\vdash\lไม่ใช่ G(x^(\ast))\), นั่นคือ \vdash\lไม่ใช่ G(x^(\ast))- จากนั้น m\in \overline(Q) เพราะถ้า m\in Q แล้วโดยอาศัยอำนาจตาม (**) เราจะมี \vdash G(m^(\ast))และเลขคณิตอย่างเป็นทางการของเราจะขัดแย้งกัน แต่ไม่เป็นเช่นนั้นเนื่องจากความสอดคล้อง © (ตามเงื่อนไข) และทฤษฎีบท 37.7 ดังนั้น, \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\subseteq \overline(Q).

ให้เราแสดงให้เห็นว่าการรวมครั้งสุดท้ายนั้นเข้มงวด จำได้ว่าเราเลือกเซต Q ให้นับได้แต่ตัดสินใจไม่ได้ จากนั้น ตามข้อพิสูจน์ 37.5 จากทฤษฎีบท 37.4 ไม่มีทฤษฎีที่เป็นทางการใดจะสมบูรณ์สำหรับ Q ความเท่าเทียมกัน (**) บอกว่าเลขคณิตอย่างเป็นทางการของเราเป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับ Q หากมีความเท่าเทียม \overline(Q)= \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)นี่ก็หมายความว่าเลขคณิตอย่างเป็นทางการของเราเป็นแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับ \overline(Q) และด้วยเหตุนี้ มันจะสมบูรณ์สำหรับ Q อย่างหลังเป็นไปไม่ได้เนื่องจากข้อพิสูจน์ 37.5 จาก Theorem_37.4 เพราะฉะนั้น, \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\ne \overline(Q).

ดังนั้น, \(x\colon\vdash\lไม่ใช่ G(x^(\ast))\)\subset \overline(Q)- จึงมีตัวเลขดังกล่าว m_0\in \overline(Q), อะไร m_0\notin \(x\colon\vdash\lไม่ใช่ G(x^(\ast))\)กล่าวคือมันไม่เป็นความจริงเลย \vdash\lไม่ใช่ G(m_0^(\ast))- ในขณะเดียวกันก็ไม่เป็นความจริงเช่นกัน \vdash G(m_0^(\ast))เนื่องจากสิ่งนี้โดยอาศัยอำนาจตาม (**) จะหมายถึงว่า m_0\in Q แต่นี่ไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้นเราจึงพบสูตร G(m_0^(\ast)) โดยที่ตัวมันเองและการปฏิเสธไม่ใช่ทฤษฎีบทของเลขคณิตอย่างเป็นทางการของเรา ซึ่งหมายความว่าเลขคณิตอย่างเป็นทางการนี้ไม่สมบูรณ์

ทฤษฎีบทของเกอเดลได้รับการพิสูจน์แล้วอย่างสมบูรณ์

ลองดูที่แถลงการณ์อีกครั้ง \ไม่ใช่ G(m_0^(\ast))- ตามความเท่าเทียมกัน (**) ก็สามารถตีความได้ว่า m_0\on\overline(Q)และดังนั้นจึงจำเป็นต้องเป็นข้อความที่ "จริง" แต่อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ทฤษฎีบทของเลขคณิตอย่างเป็นทางการของเรา หากเราเพิ่มสูตร G(m_0^(\ast)) ในรายการสัจพจน์และพิจารณาเลขคณิตอย่างเป็นทางการใหม่ สถานการณ์จะไม่เปลี่ยนแปลง: สำหรับเลขคณิตอย่างเป็นทางการที่ได้รับใหม่ สถานที่ทั้งหมดที่นำเราไปสู่ทฤษฎีบทของโกเดลนั้นเป็นความจริง . ซึ่งหมายความว่าเราจะพบตัวเลข m_1 อีกครั้งซึ่งเป็นคำสั่งนั้น \lไม่ใช่ G(m_1^(\ast))จริง แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทของเลขคณิตแบบทางการใหม่ เป็นต้น

เกอเดลและบทบาทของเขาในตรรกะทางคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 20

Kurt Gödel เกิดเมื่อวันที่ 28 เมษายน พ.ศ. 2449 ในเมืองบรูนน์ (ปัจจุบันคือเบอร์โนในสาธารณรัฐเช็ก) เขาสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยเวียนนา ซึ่งเขาปกป้องวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขา และเป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ในช่วงปี พ.ศ. 2476-2481 หลังจากการยึดครองออสเตรียโดยนาซีเยอรมนี เขาจึงอพยพไปยังสหรัฐอเมริกา ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2483 ถึง พ.ศ. 2506 Gödel ทำงานที่ Princeton Institute for Advanced Studies (ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2496 เขาเป็นศาสตราจารย์ในสถาบันนี้) Gödel เป็นปริญญาเอกกิตติมศักดิ์จากมหาวิทยาลัย Yale และ Harvard ซึ่งเป็นสมาชิกของ US National Academy of Sciences และ American Philosophical Society ในปี 1951 Gödel ได้รับรางวัลวิทยาศาสตร์สูงสุดในสหรัฐอเมริกา - รางวัล Einstein Prize ในบทความที่อุทิศให้กับเหตุการณ์นี้ นักคณิตศาสตร์คนสำคัญในยุคของเราอีกคนหนึ่ง จอห์น ฟอน นอยมันน์ เขียนว่า "การมีส่วนร่วมของเคิร์ต โกเดลในด้านตรรกะสมัยใหม่ถือเป็นสิ่งที่ยิ่งใหญ่อย่างแท้จริง นี่เป็นมากกว่าอนุสรณ์สถาน แต่เป็นเหตุการณ์สำคัญที่แยกสองยุค... หากไม่มีการพูดเกินจริงใดๆ เราสามารถพูดได้ว่างานของเกอเดลได้เปลี่ยนแปลงหัวข้อของตรรกะในฐานะวิทยาศาสตร์ไปอย่างสิ้นเชิง" Gödel วางรากฐานสำหรับส่วนต่างๆ ทั้งหมดของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ทฤษฎีแบบจำลอง (1930), ตรรกะเชิงสร้างสรรค์ (1932-1933), เลขคณิตที่เป็นทางการ (1932-1933), ทฤษฎีของอัลกอริทึมและฟังก์ชันเวียนเกิด (1934), ทฤษฎีเซตสัจพจน์ (1938) Gödelเสียชีวิตในพรินซ์ตัน (สหรัฐอเมริกา) เมื่อวันที่ 14 มกราคม พ.ศ. 2521

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
หากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!

ฉันสนใจมานานแล้วว่าทฤษฎีบทโกเดลที่น่าตื่นเต้นคืออะไร และมีประโยชน์ต่อชีวิตอย่างไร และในที่สุดฉันก็สามารถคิดออกได้

สูตรทฤษฎีบทที่ได้รับความนิยมมากที่สุดมีลักษณะดังนี้:
“ระบบสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ทุกระบบ เริ่มต้นจากความซับซ้อนในระดับหนึ่ง มีความขัดแย้งภายในหรือไม่สมบูรณ์”

ผมจะแปลเป็นภาษามนุษย์ที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ดังนี้ (สัจพจน์คือตำแหน่งเริ่มต้นของทฤษฎี ซึ่งเป็นที่ยอมรับว่าเป็นจริงภายใต้กรอบของทฤษฎีนี้ โดยไม่ต้องมีการพิสูจน์ และใช้เป็นพื้นฐานในการพิสูจน์บทบัญญัติอื่นๆ) . ในชีวิต สัจพจน์คือหลักการที่บุคคล สังคม ทิศทางทางวิทยาศาสตร์ และสภาวะต่างๆ ตามมา ตัวแทนของศาสนาเรียกสัจพจน์หลักคำสอน ด้วยเหตุนี้ หลักการใด ๆ ของเรา ระบบทัศนคติใด ๆ ที่เริ่มต้นจากระดับหนึ่ง จึงมีความขัดแย้งภายในหรือไม่สมบูรณ์ เพื่อที่จะมั่นใจในความจริงของข้อความบางคำ คุณจะต้องก้าวข้ามกรอบของระบบความเชื่อนี้และสร้างระบบความเชื่อใหม่ขึ้นมา แต่ก็จะไม่สมบูรณ์เช่นกัน นั่นคือกระบวนการรับรู้นั้นไม่มีที่สิ้นสุด โลกไม่สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์จนกว่าเราจะไปถึงแหล่งดั้งเดิม

"...ถ้าเราพิจารณาความสามารถในการให้เหตุผลอย่างมีเหตุผลว่าเป็นคุณลักษณะหลักของจิตใจมนุษย์หรืออย่างน้อยก็เป็นเครื่องมือหลักของมัน ทฤษฎีบทของเกอเดลก็บ่งบอกถึงความสามารถที่จำกัดของสมองของเราโดยตรง ยอมรับว่าเป็นเรื่องยากมากสำหรับบุคคลหนึ่ง เติบโตขึ้นมาเพื่อเชื่อในวิทยานิพนธ์พลังความคิดอันไม่มีที่สิ้นสุดเกี่ยวกับขีดจำกัดของพลังของมัน... ผู้เชี่ยวชาญหลายคนเชื่อว่ากระบวนการ "อริสโตเตเลียน" ที่ใช้คอมพิวเตอร์อย่างเป็นทางการและเป็นระบบที่อยู่ภายใต้การคิดเชิงตรรกะนั้นเป็นเพียงส่วนหนึ่งของจิตสำนึกของมนุษย์ในขณะที่อีกพื้นที่หนึ่งของ โดยพื้นฐานแล้ว "ไม่ใช่การคำนวณ" มีหน้าที่รับผิดชอบในการแสดงสัญชาตญาณ ความเข้าใจที่ลึกซึ้งและสร้างสรรค์ และหากครึ่งแรกของจิตใจตกอยู่ภายใต้ข้อจำกัดของ Gödelian ครึ่งหลังก็จะเป็นอิสระจากกรอบดังกล่าว... นักฟิสิกส์ โรเจอร์ เพนโรส ก้าวไปไกลกว่านี้ เขาเสนอแนะการมีอยู่ของผลกระทบควอนตัมบางอย่างที่มีลักษณะที่ไม่ใช่การคำนวณเพื่อให้แน่ใจว่ามีการดำเนินการสร้างสรรค์ของจิตสำนึก.. หนึ่งในผลที่ตามมาหลายประการของสมมติฐานของเพนโรสอาจเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อสรุปว่ามันเป็นพื้นฐาน เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างปัญญาประดิษฐ์โดยใช้อุปกรณ์คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ แม้ว่าการเกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์ควอนตัมจะนำไปสู่ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในสาขาคอมพิวเตอร์ก็ตาม ความจริงก็คือคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องสามารถสร้างแบบจำลองในรายละเอียดมากขึ้นเรื่อย ๆ เกี่ยวกับการทำงานของกิจกรรม "การคำนวณ" ที่เป็นทางการและตรรกะของจิตสำนึกของมนุษย์ แต่ความสามารถ "ที่ไม่ใช่การคำนวณ" ของสติปัญญานั้นไม่สามารถเข้าถึงได้

ผลที่ตามมาที่สำคัญอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทของโกเดลก็คือข้อสรุปที่เราไม่สามารถคิดแบบสุดขั้วได้ ภายในกรอบของทฤษฎีที่มีอยู่ จะมีข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้เสมอ หรืออีกนัยหนึ่ง สำหรับข้อความบางข้อความก็จะมีคู่ที่ปฏิเสธคำนั้นเสมอ

ข้อสรุปต่อไป. ความดีและความชั่วเป็นเพียง 2 ด้านของเหรียญเดียวกัน ถ้าไม่มีมันคงอยู่ไม่ได้ และมาจากหลักการที่ว่าในจักรวาลมีแหล่งที่มาของทุกสิ่งเพียงแหล่งเดียวเท่านั้น คือ ความดีและความชั่ว ความรักและความเกลียดชัง ชีวิตและความตาย

การประกาศความสมบูรณ์ของระบบใด ๆ ถือเป็นเท็จ คุณไม่สามารถพึ่งพาหลักคำสอนได้เพราะไม่ช้าก็เร็วพวกเขาจะถูกหักล้าง

ในแง่นี้ ศาสนาสมัยใหม่อยู่ในสถานการณ์วิกฤติ: หลักคำสอนของคริสตจักรต่อต้านการพัฒนาความคิดของเราเกี่ยวกับโลก พวกเขาพยายามบีบทุกอย่างให้อยู่ในกรอบของแนวคิดที่เข้มงวด แต่สิ่งนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าจากลัทธิเอกเทวนิยมจากแหล่งเดียวของกระบวนการทางธรรมชาติทั้งหมด พวกเขาเคลื่อนไปสู่ลัทธินอกรีต ที่ซึ่งมีกองกำลังแห่งความดีและพลังแห่งความชั่วร้าย มีเทพเจ้าแห่งความดีอยู่ที่ไหนสักแห่งในสวรรค์ไกลออกไป และมี ปีศาจ (เทพเจ้าแห่งความชั่วร้าย) ซึ่งวางอุ้งเท้าบนทุกสิ่งที่อยู่บนโลกมานานแล้ว แนวทางนี้นำไปสู่การแบ่งผู้คนทั้งหมดออกเป็นเพื่อนและศัตรู เป็นคนชอบธรรมและคนบาป เป็นผู้ศรัทธาและคนนอกรีต เป็นมิตรและศัตรู

นี่เป็นข้อความสั้นอีกฉบับที่เปิดเผยแก่นแท้ที่ตามมาจากทฤษฎีบทของโกเดลอย่างแพร่หลาย:
“สำหรับฉันดูเหมือนว่าทฤษฎีบทนี้มีความหมายทางปรัชญาที่สำคัญ มีเพียงสองทางเลือกเท่านั้น:

ก) ทฤษฎียังไม่สมบูรณ์ เช่น ในแง่ของทฤษฎี มีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดคำถามที่ไม่สามารถอนุมานได้ทั้งคำตอบเชิงบวกและเชิงลบจากสัจพจน์/สมมุติฐานของทฤษฎี ยิ่งไปกว่านั้น คำตอบสำหรับคำถามดังกล่าวทั้งหมดสามารถให้ไว้ได้ภายใต้กรอบของทฤษฎีที่ครอบคลุมมากขึ้น ซึ่งทฤษฎีเก่าจะเป็นกรณีพิเศษ แต่ทฤษฎีใหม่นี้จะมี "คำถามที่ยังไม่มีคำตอบ" ของตัวเองและไม่มีที่สิ้นสุด

b) สมบูรณ์ แต่ขัดแย้งกัน ทุกคำถามสามารถตอบได้ แต่บางคำถามก็สามารถตอบได้ทั้งเชิงบวกและเชิงลบในเวลาเดียวกัน

ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์อยู่ในประเภทแรก มีความสอดคล้องกัน แต่นั่นหมายความว่าไม่ได้ครอบคลุมทุกอย่าง ไม่สามารถมีทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ "ขั้นสุดท้าย" ได้ ทฤษฎีใด ๆ ที่ไม่สมบูรณ์และไม่ได้อธิบายบางสิ่งบางอย่างแม้ว่าเราจะยังไม่รู้ว่าอะไรกันแน่ก็ตาม เราสามารถสร้างทฤษฎีที่ครอบคลุมมากขึ้นเท่านั้น สำหรับฉันเป็นการส่วนตัว นี่คือเหตุผลของการมองโลกในแง่ดี เพราะมันหมายความว่าการขับเคลื่อนของวิทยาศาสตร์ไปข้างหน้าจะไม่มีวันหยุดนิ่ง

"พระเจ้าผู้ทรงอำนาจ" อยู่ในประเภทที่สอง พระเจ้าผู้ทรงมหิทธิฤทธิ์ทรงเป็นคำตอบสำหรับทุกคำถาม และนี่ก็หมายความว่าจะนำไปสู่ความไร้สาระเชิงตรรกะโดยอัตโนมัติ ความขัดแย้งเช่น "หินที่ท่วมท้น" สามารถประดิษฐ์ขึ้นเป็นชุดได้

โดยทั่วไปความรู้ทางวิทยาศาสตร์นั้นถูกต้อง (สม่ำเสมอ) แต่ไม่ได้อธิบายทุกสิ่งในเวลาใดก็ตาม ในเวลาเดียวกัน ไม่มีอะไรขัดขวางเราจากการผลักดันขอบเขตของสิ่งที่รู้ไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด และไม่ช้าก็เร็ว สิ่งไม่รู้ก็กลายเป็นที่รู้จัก ศาสนาอ้างว่าเป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์ของโลก “ในขณะนี้” แต่ในขณะเดียวกัน มันก็ไม่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ (ไร้สาระ)

ครั้งหนึ่ง ตอนที่ฉันเพิ่งเริ่มต้นชีวิตในวัยผู้ใหญ่ ฉันมีส่วนร่วมในการเขียนโปรแกรม และมีหลักการเช่นนี้: หากมีการแก้ไขโปรแกรมจำนวนมากจะต้องเขียนใหม่อีกครั้ง ในความคิดของฉัน หลักการนี้สอดคล้องกับทฤษฎีบทของโกเดล หากโปรแกรมมีความซับซ้อนมากขึ้น โปรแกรมจะไม่สอดคล้องกัน และมันจะทำงานไม่ถูกต้อง

อีกตัวอย่างหนึ่งจากชีวิต เราอยู่ในยุคที่เจ้าหน้าที่ประกาศว่าหลักการสำคัญของการดำรงอยู่ควรเป็นกฎหมาย นั่นก็คือระบบกฎหมาย แต่ทันทีที่กฎหมายเริ่มมีความซับซ้อนมากขึ้นและการสร้างกฎเริ่มเฟื่องฟู กฎหมายก็เริ่มขัดแย้งกัน นี่คือสิ่งที่เราเห็นอยู่ตอนนี้ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะสร้างระบบกฎหมายที่จะควบคุมทุกด้านของชีวิต และในทางกลับกัน มันก็จะยุติธรรมสำหรับทุกคน เพราะข้อจำกัดของความเข้าใจโลกของเรามักจะปรากฏออกมาเสมอ และกฎของมนุษย์จะเริ่มขัดแย้งกับกฎแห่งจักรวาล ณ จุดหนึ่ง เราเข้าใจหลายสิ่งอย่างสังหรณ์ใจ เราต้องตัดสินการกระทำของผู้อื่นด้วยสัญชาตญาณ รัฐมีรัฐธรรมนูญก็พอแล้ว และตามมาตราของรัฐธรรมนูญนี้ กำหนดความสัมพันธ์ในสังคม แต่ไม่ช้าก็เร็วรัฐธรรมนูญจะต้องมีการเปลี่ยนแปลง

การสอบ Unified State เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของความเข้าใจผิดเกี่ยวกับแนวคิดของเราเกี่ยวกับความสามารถของมนุษย์ เรากำลังพยายามทดสอบความสามารถในการคำนวณของสมองในข้อสอบ แต่ความสามารถทางสัญชาตญาณไม่ได้รับการพัฒนาที่โรงเรียนอีกต่อไป แต่บุคคลนั้นไม่ใช่ biorobot เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างระบบการให้คะแนนที่สามารถระบุความเป็นไปได้ทั้งหมดที่มีอยู่ในตัวบุคคล ในจิตสำนึกของเขา ในจิตใต้สำนึกและในจิตใจของเขา

เกือบ 100 ปีที่แล้ว Gödel มีความก้าวหน้าอย่างไม่น่าเชื่อในการทำความเข้าใจกฎของจักรวาล แต่เรายังคงไม่สามารถใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ได้ เมื่อพิจารณาทฤษฎีบทนี้ว่าเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีความเชี่ยวชาญสูงสำหรับคนในวงแคบที่ต้องจัดการกับหัวข้อนามธรรมในแวดวงของพวกเขา เมื่อใช้ร่วมกับทฤษฎีควอนตัมและคำสอนของพระคริสต์ ทฤษฎีบทของโกเดลช่วยให้เราหลุดพ้นจากการถูกจองจำจากหลักคำสอนเท็จ เพื่อเอาชนะวิกฤติที่ยังคงมีอยู่ในโลกทัศน์ของเรา และมีเวลาเหลือน้อยลงเรื่อยๆ

09ก.ย

ระบบสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่เริ่มต้นจากความซับซ้อนระดับหนึ่ง อาจขัดแย้งภายในหรือไม่สมบูรณ์

ในปี 1900 การประชุม World Conference of Mathematicians จัดขึ้นที่ปารีส เดวิด กิลเบิร์ต(เดวิด ฮิลเบิร์ต, 1862–1943) นำเสนอในรูปแบบของวิทยานิพนธ์เกี่ยวกับงานที่สำคัญที่สุด 23 ประการในความเห็นของเขา ซึ่งนักทฤษฎีแห่งศตวรรษที่ 20 ที่กำลังจะมาถึงต้องแก้ไข อันดับสองในรายการของเขาคือหนึ่งในปัญหาง่ายๆ เหล่านั้นซึ่งมีคำตอบที่ชัดเจนจนกว่าคุณจะเจาะลึกลงไปอีกเล็กน้อย ในแง่สมัยใหม่ นี่คือคำถาม: คณิตศาสตร์สามารถพึ่งพาตนเองได้หรือไม่ งานที่สองของฮิลเบิร์ตมุ่งไปที่ความจำเป็นในการพิสูจน์อย่างเคร่งครัดว่าระบบสัจพจน์ - ข้อความพื้นฐานที่ยอมรับในคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานโดยไม่มีการพิสูจน์ - นั้นสมบูรณ์แบบและสมบูรณ์นั่นคือช่วยให้สามารถอธิบายทุกสิ่งที่มีอยู่ทางคณิตศาสตร์ได้ จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดระบบสัจพจน์ว่าประการแรกพวกเขาจะสอดคล้องกันและประการที่สองจากพวกเขาสามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับความจริงหรือความเท็จของข้อความใด ๆ

ลองยกตัวอย่างจากเรขาคณิตของโรงเรียน ในระนาบระนาบแบบยุคลิดมาตรฐาน (เรขาคณิตบนระนาบ) สามารถพิสูจน์ได้อย่างไม่ต้องสงสัยว่าข้อความ "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°" เป็นจริง และข้อความ "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 137 °” เป็นเท็จ โดยพื้นฐานแล้ว หากพูดในเรขาคณิตแบบยุคลิด ข้อความใดๆ จะเป็นเท็จหรือจริง และไม่มีทางเลือกที่สาม และในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์เชื่ออย่างไร้เดียงสาว่าควรสังเกตสถานการณ์เดียวกันนี้ในระบบที่มีความสอดคล้องเชิงตรรกะ

จากนั้นในปี 1931 นักคณิตศาสตร์ชาวเวียนนาสวมแว่นบางคนก็สวมแว่นตา เคิร์ท โกเดล- รับและตีพิมพ์บทความสั้น ๆ ที่ทำให้โลกทั้งใบที่เรียกว่า "ตรรกะทางคณิตศาสตร์" ไม่พอใจ หลังจากคำนำทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีที่ซับซ้อนและยาวนาน เขาได้กำหนดสิ่งต่อไปนี้อย่างแท้จริง ลองใช้ข้อความเช่น: “ข้อสันนิษฐานหมายเลข 247 ในระบบสัจพจน์นี้พิสูจน์ไม่ได้ในเชิงตรรกะ” และเรียกมันว่า “ข้อความ A” ดังนั้น Gödel เพียงพิสูจน์คุณสมบัติอันน่าทึ่งต่อไปนี้ของระบบสัจพจน์ใดๆ:

“ถ้าคุณสามารถพิสูจน์คำสั่ง A ได้ คุณก็จะสามารถพิสูจน์คำสั่งที่ไม่ใช่ A ได้”

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความ “อัสสัมชัญ 247 นั้นพิสูจน์ไม่ได้” ก็สามารถพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความ “อัสสัมชัญ 247 นั้นพิสูจน์ได้” ด้วยเช่นกัน นั่นคือการกลับไปสู่การกำหนดปัญหาที่สองของฮิลเบิร์ตหากระบบสัจพจน์สมบูรณ์ (นั่นคือข้อความใด ๆ ในนั้นสามารถพิสูจน์ได้) ก็แสดงว่าขัดแย้งกัน

วิธีเดียวที่จะออกจากสถานการณ์นี้คือการยอมรับระบบสัจพจน์ที่ไม่สมบูรณ์ นั่นคือเราต้องทนกับความจริงที่ว่าในบริบทของระบบตรรกะใด ๆ เราจะยังคงมีคำสั่ง "ประเภท A" ที่ชัดเจนว่าจริงหรือเท็จ - และเราสามารถตัดสินความจริงของพวกเขาได้เฉพาะนอกกรอบของสัจพจน์ที่เรามี ได้รับการยอมรับ หากไม่มีข้อความดังกล่าว สัจพจน์ของเราขัดแย้งกัน และภายในกรอบของมันจะมีสูตรที่สามารถพิสูจน์และหักล้างได้อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

ดังนั้น การกำหนดทฤษฎีบทแรกหรือทฤษฎีบทของโกเดลที่อ่อนแอเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์: "ระบบสัจพจน์ที่เป็นทางการใดๆ มีข้อสันนิษฐานที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข"- แต่โกเดลไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น โดยกำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สองหรือทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ที่แข็งแกร่งของโกเดล: “ความสมบูรณ์เชิงตรรกะ (หรือความไม่สมบูรณ์) ของระบบสัจพจน์ใดๆ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในกรอบของระบบนี้ เพื่อพิสูจน์หรือหักล้างมัน จำเป็นต้องมีสัจพจน์เพิ่มเติม (การเสริมสร้างความเข้มแข็งของระบบ)”

มันจะปลอดภัยกว่าถ้าคิดว่าทฤษฎีบทของGödelมีลักษณะเป็นนามธรรมและไม่เกี่ยวข้องกับเรา แต่เป็นเพียงส่วนหนึ่งของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น แต่ในความเป็นจริงกลับกลายเป็นว่าพวกมันเกี่ยวข้องโดยตรงกับโครงสร้างของสมองมนุษย์ โรเจอร์ เพนโรส นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ (เกิด พ.ศ. 2474) แสดงให้เห็นว่า ทฤษฎีบทของเกอเดลสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่ามีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสมองมนุษย์และคอมพิวเตอร์ ความหมายของเหตุผลของเขานั้นเรียบง่าย คอมพิวเตอร์ดำเนินการตามหลักตรรกะอย่างเคร่งครัดและไม่สามารถระบุได้ว่าข้อความ A เป็นจริงหรือเท็จหากข้อความนั้นนอกเหนือไปจากสัจพจน์ และข้อความดังกล่าวตามทฤษฎีบทของ Gödel ก็มีอยู่อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ บุคคลที่ต้องเผชิญกับข้อความ A ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้และหักล้างไม่ได้ในเชิงตรรกะนั้นสามารถระบุความจริงหรือความเท็จได้ตลอดเวลาโดยอาศัยประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน อย่างน้อยที่สุดในแง่นี้ สมองของมนุษย์ก็เหนือกว่าคอมพิวเตอร์ที่ถูกจำกัดโดยวงจรตรรกะล้วนๆ สมองของมนุษย์สามารถเข้าใจความจริงเชิงลึกที่มีอยู่ในทฤษฎีบทของโกเดลได้ แต่สมองของคอมพิวเตอร์ไม่มีทางเข้าใจได้ ดังนั้นสมองของมนุษย์จึงเป็นอะไรก็ได้นอกจากคอมพิวเตอร์ เขาสามารถตัดสินใจได้และจะผ่านการทดสอบทัวริง

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเคิร์ต โกเดลเป็นจุดเปลี่ยนในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 และในต้นฉบับของเขาที่ตีพิมพ์หลังจากการตายของเขา ข้อพิสูจน์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่ของพระเจ้าได้รับการเก็บรักษาไว้ ในการอ่านคริสต์มาสครั้งล่าสุด รายงานที่น่าสนใจเกี่ยวกับมรดกที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักนี้จัดทำโดยรองศาสตราจารย์ของวิทยาลัยศาสนศาสตร์ Tobolsk ผู้สมัครสาขาวิชาเทววิทยา นักบวช Dimitry KIRYANOV “นส” ขอให้อธิบายแนวคิดหลักของนักวิทยาศาสตร์

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล: หลุมในวิชาคณิตศาสตร์

— มีวิธีที่ได้รับความนิยมในการอธิบายทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลหรือไม่? ช่างตัดผมจะโกนเฉพาะผู้ที่ไม่โกนเองเท่านั้น ช่างตัดผมโกนตัวเองหรือเปล่า? ความขัดแย้งอันโด่งดังนี้เกี่ยวข้องกับพวกเขาหรือไม่?

วิทยานิพนธ์หลักของข้อพิสูจน์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่ของพระเจ้า เสนอโดยเคิร์ต โกเดล: “พระเจ้าดำรงอยู่ในความคิด แต่การดำรงอยู่ในความเป็นจริงเป็นมากกว่าการดำรงอยู่ในความคิดเท่านั้น ดังนั้น พระเจ้าจึงต้องดำรงอยู่” ในภาพ: ผู้เขียนทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ Kurt Gödel กับเพื่อนของเขาซึ่งเป็นผู้เขียนทฤษฎีสัมพัทธภาพ Albert Einstein พริสตัน. อเมริกา. 1950

- ใช่ แน่นอนมันเป็นเช่นนั้น ก่อน Gödel มีปัญหาเรื่องการทำให้เป็นจริงของคณิตศาสตร์และปัญหาของประโยคที่ขัดแย้งกันซึ่งสามารถเขียนอย่างเป็นทางการในภาษาใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น: “ข้อความนี้เป็นเท็จ” ความจริงของคำกล่าวนี้คืออะไร? ถ้ามันเป็นจริง มันก็เป็นเท็จ ถ้ามันเป็นเท็จ มันก็เป็นความจริง ส่งผลให้เกิดความขัดแย้งทางภาษา Gödel ศึกษาเลขคณิตและแสดงให้เห็นในทฤษฎีบทของเขาว่าความสอดคล้องของมันไม่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของหลักการที่เห็นได้ชัดในตัวเอง: สัจพจน์ของการบวก การลบ การหาร การคูณ ฯลฯ เราต้องการสมมติฐานเพิ่มเติมเพื่อพิสูจน์เหตุผล สิ่งนี้มีพื้นฐานอยู่บนทฤษฎีที่ง่ายที่สุด แต่เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับทฤษฎีที่ซับซ้อนกว่านี้ได้ (สมการฟิสิกส์ ฯลฯ)! เพื่อพิสูจน์ระบบการอนุมาน เรามักจะถูกบังคับให้หันไปใช้การอนุมานเพิ่มเติมบางอย่าง ซึ่งไม่สมเหตุสมผลภายในกรอบของระบบ

ประการแรก สิ่งนี้บ่งบอกถึงข้อจำกัดของการอ้างสิทธิ์ของจิตใจมนุษย์ในความรู้แห่งความเป็นจริง นั่นคือเราไม่สามารถพูดได้ว่าเราจะสร้างทฤษฎีจักรวาลที่ครอบคลุมซึ่งจะอธิบายทุกสิ่ง - ทฤษฎีดังกล่าวไม่สามารถเป็นวิทยาศาสตร์ได้

— นักคณิตศาสตร์ตอนนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของเกอเดลอย่างไร? ไม่มีใครพยายามหักล้างพวกเขาหรือหลีกเลี่ยงพวกเขาใช่ไหม?

“มันเหมือนกับการพยายามหักล้างทฤษฎีบทพีทาโกรัส” ทฤษฎีบทมีการพิสูจน์เชิงตรรกะที่เข้มงวด ในเวลาเดียวกัน ก็มีความพยายามค้นหาข้อจำกัดในการบังคับใช้ทฤษฎีบทของโกเดล แต่การถกเถียงส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับผลกระทบทางปรัชญาของทฤษฎีบทของโกเดล

— หลักฐานการดำรงอยู่ของพระเจ้าของโกเดลได้รับการพัฒนาไปไกลแค่ไหน? เสร็จแล้วเหรอ?

“มันถูกทำอย่างละเอียด แม้ว่านักวิทยาศาสตร์เองก็ไม่กล้าตีพิมพ์จนกระทั่งเขาเสียชีวิต” Gödelพัฒนาภววิทยา (เลื่อนลอย - "เอ็นเอส") ข้อโต้แย้งที่เสนอครั้งแรกโดยแอนเซล์มแห่งแคนเทอร์เบอรี ในรูปแบบย่อ ข้อโต้แย้งนี้สามารถนำเสนอได้ดังนี้: “ตามคำจำกัดความแล้ว พระเจ้าคือผู้ที่ไม่มีอะไรยิ่งใหญ่กว่าที่จะคิดได้ พระเจ้าดำรงอยู่ในความคิด แต่การดำรงอยู่ในความเป็นจริงเป็นมากกว่าการดำรงอยู่เพียงในความคิดเท่านั้น ดังนั้นพระเจ้าจึงต้องดำรงอยู่" ข้อโต้แย้งของ Anselm ได้รับการพัฒนาในเวลาต่อมาโดย René Descartes และ Gottfried Wilhelm Leibniz ดังนั้น ตามที่เดส์การตส์กล่าวไว้ การคิดถึงความเป็นอยู่ที่สมบูรณ์แบบสูงสุด ซึ่งขาดการดำรงอยู่ หมายถึงการตกอยู่ในความขัดแย้งทางตรรกะ ในบริบทของแนวคิดเหล่านี้ Gödel ได้พัฒนาข้อพิสูจน์ในเวอร์ชันของเขา ซึ่งพอดีกับสองหน้าอย่างแท้จริง น่าเสียดายที่เป็นไปไม่ได้ที่จะนำเสนอข้อโต้แย้งของเขาโดยไม่แนะนำพื้นฐานของตรรกะกิริยาที่ซับซ้อนมาก

แน่นอนว่าความไม่มีที่ติเชิงตรรกะของข้อสรุปของGödelไม่ได้บังคับให้บุคคลหนึ่งกลายเป็นผู้เชื่อภายใต้แรงกดดันของพลังของหลักฐาน เราไม่ควรไร้เดียงสาและเชื่อว่าเราสามารถโน้มน้าวบุคคลที่มีเหตุผลให้เชื่อในพระเจ้าได้โดยใช้ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับภววิทยาหรือหลักฐานอื่น ๆ ศรัทธาเกิดขึ้นเมื่อบุคคลเผชิญหน้ากันต่อหน้าการปรากฏที่ชัดเจนของความเป็นจริงสูงสุดของพระเจ้า แต่เราสามารถตั้งชื่อบุคคลได้อย่างน้อยหนึ่งคนที่การพิสูจน์ภววิทยานำไปสู่ศรัทธาทางศาสนา - นักเขียน Clive Staples Lewis เขาเองก็ยอมรับสิ่งนี้

อนาคตอันไกลโพ้นคืออดีตอันไกลโพ้น

— ผู้ร่วมสมัยปฏิบัติต่อGödelอย่างไร? เขาเป็นเพื่อนกับนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนใดหรือไม่?

— ผู้ช่วยของไอน์สไตน์ที่พรินซ์ตันเป็นพยานว่าบุคคลเพียงคนเดียวที่เขาเป็นเพื่อนด้วยในช่วงปีสุดท้ายของชีวิตคือเคิร์ต โกเดล พวกเขาแตกต่างกันเกือบทุกอย่าง - ไอน์สไตน์เป็นคนเข้ากับคนง่ายและร่าเริง ในขณะที่โกเดลเป็นคนจริงจังมาก โดดเดี่ยวโดยสิ้นเชิงและไม่ไว้วางใจ แต่พวกเขามีคุณสมบัติที่เหมือนกัน: ทั้งคู่ตรงไปที่คำถามกลางของวิทยาศาสตร์และปรัชญาโดยตรงและจริงใจ แม้ว่าเขาจะเป็นเพื่อนกับไอน์สไตน์ แต่โกเดลก็มีมุมมองต่อศาสนาโดยเฉพาะ เขาปฏิเสธความคิดของพระเจ้าในฐานะที่ไม่มีตัวตนเหมือนที่พระเจ้าทรงมีไว้สำหรับไอน์สไตน์ ในโอกาสนี้ โกเดลกล่าวว่า “ศาสนาของไอน์สไตน์เป็นนามธรรมเกินไป เหมือนกับปรัชญาของสปิโนซาและอินเดีย พระเจ้าของสปิโนซานั้นน้อยกว่าบุคคล พระเจ้าของข้าพเจ้าทรงเป็นมากกว่าบุคคล เนื่องจากพระเจ้าสามารถมีบทบาทเป็นบุคลิกภาพได้” อาจมีวิญญาณที่ไม่มีร่างกายแต่สามารถสื่อสารกับเราและมีอิทธิพลต่อโลกได้”

— Gödelไปอยู่ที่อเมริกาได้อย่างไร? หนีจากพวกนาซีเหรอ?

— ใช่ เขาเดินทางมาจากเยอรมนีที่อเมริกาในปี 1940 แม้ว่าพวกนาซีจะจำเขาได้ว่าเป็นชาวอารยันและเป็นนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ แต่ก็ได้รับการยกเว้นจากการรับราชการทหาร เขาและอเดลภรรยาของเขาเดินทางผ่านรัสเซียไปตามเส้นทางรถไฟสายทรานส์ไซบีเรีย เขาไม่ทิ้งความทรงจำเกี่ยวกับการเดินทางครั้งนี้ อเดลจำได้เพียงความกลัวในตอนกลางคืนว่าพวกเขาจะหยุดยั้งเขาและหันหลังให้เขา หลังจากใช้ชีวิตในอเมริกามาแปดปี Gödel ก็กลายเป็นพลเมืองของสหรัฐอเมริกา เช่นเดียวกับผู้ยื่นขอสัญชาติทุกคน เขาต้องตอบคำถามเกี่ยวกับรัฐธรรมนูญของอเมริกา ด้วยความเป็นคนรอบคอบ เขาจึงเตรียมการสอบนี้อย่างระมัดระวัง ในที่สุดเขาก็กล่าวว่าเขาพบความไม่สอดคล้องกันในรัฐธรรมนูญ: “ฉันได้ค้นพบความเป็นไปได้ที่ถูกต้องตามกฎหมายซึ่งสหรัฐอเมริกาสามารถกลายเป็นเผด็จการได้” เพื่อนของเขาตระหนักดีว่า ความเป็นไปได้นี้เป็นเพียงสมมุติฐานเท่านั้น โดยไม่คำนึงถึงข้อดีเชิงตรรกะของการโต้แย้งของ Gödel และเตือนไม่ให้พูดยาวเกี่ยวกับหัวข้อนี้ในการสอบ

— Gödel และ Einstein ใช้ความคิดของกันและกันในงานทางวิทยาศาสตร์หรือไม่?

— ในปี 1949 Gödel ได้แสดงแนวคิดเกี่ยวกับจักรวาลวิทยาของเขาในบทความทางคณิตศาสตร์ ซึ่งตามที่ Albert Einstein กล่าวว่ามีส่วนสนับสนุนที่สำคัญต่อทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป Gödel เชื่อว่าเวลานั้น “สิ่งลึกลับและในขณะเดียวกันก็ขัดแย้งในตัวเองซึ่งเป็นรากฐานของโลกและการดำรงอยู่ของเราเอง” จะกลายเป็นภาพลวงตาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในที่สุด “สักวันหนึ่ง” ก็จะสิ้นสุดลง และการดำรงอยู่รูปแบบอื่นจะเกิดขึ้น ซึ่งอาจเรียกได้ว่าเป็นนิรันดร์ ความคิดเรื่องเวลานี้ทำให้นักตรรกวิทยาผู้ยิ่งใหญ่ได้ข้อสรุปที่ไม่คาดคิด เขาเขียนว่า “ผมเชื่อมั่นในชีวิตหลังความตาย โดยไม่คำนึงถึงเทววิทยา หากโลกได้รับการออกแบบอย่างชาญฉลาด ชีวิตหลังความตายก็ต้องเกิดขึ้น"

- “เวลาเป็นสิ่งที่ขัดแย้งในตัวเอง” ฟังดูแปลก; สิ่งนี้มีความหมายทางกายภาพไหม?

— Gödel แสดงให้เห็นว่าภายในกรอบสมการของไอน์สไตน์ เป็นไปได้ที่จะสร้างแบบจำลองทางจักรวาลวิทยาในเวลาปิด โดยที่อดีตอันไกลโพ้นและอนาคตอันไกลนั้นตรงกัน ในแบบจำลองนี้ การเดินทางข้ามเวลาเป็นไปได้ในทางทฤษฎี ฟังดูแปลก แต่สามารถแสดงออกได้ทางคณิตศาสตร์ นั่นคือประเด็น โมเดลนี้อาจมีหรือไม่มีผลจากการทดลองก็ได้ เป็นโครงสร้างทางทฤษฎีที่อาจมีประโยชน์ในการสร้างแบบจำลองทางจักรวาลวิทยาใหม่ หรืออาจกลายเป็นสิ่งไม่จำเป็น ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีสมัยใหม่ โดยเฉพาะจักรวาลวิทยาควอนตัม มีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนจนเป็นเรื่องยากมากที่จะให้ความเข้าใจเชิงปรัชญาที่ชัดเจนกับโครงสร้างเหล่านี้ นอกจากนี้ การออกแบบทางทฤษฎีบางส่วนยังไม่สามารถทดสอบได้ด้วยการทดลอง ด้วยเหตุผลง่ายๆ ที่ว่าการตรวจสอบนั้นจำเป็นต้องมีการตรวจจับอนุภาคพลังงานสูงมาก โปรดจำไว้ว่าผู้คนตื่นตระหนกเกี่ยวกับการเปิดตัว Large Hadron Collider: สื่อต่างๆ ต่างหวาดกลัวผู้คนอยู่ตลอดเวลาว่าอวสานของโลกกำลังใกล้เข้ามา อันที่จริง มีการทดลองทางวิทยาศาสตร์อย่างจริงจังเพื่อทดสอบแบบจำลองจักรวาลวิทยาควอนตัมและสิ่งที่เรียกว่า "ทฤษฎีรวมใหญ่" หากเป็นไปได้ที่จะตรวจจับสิ่งที่เรียกว่าอนุภาคฮิกส์ นี่จะเป็นอีกก้าวหนึ่งในความเข้าใจของเราเกี่ยวกับระยะแรกสุดของการดำรงอยู่ของจักรวาลของเรา แม้ว่าจะไม่มีข้อมูลการทดลอง แต่แบบจำลองจักรวาลวิทยาควอนตัมที่แข่งขันกันยังคงเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียว

ศรัทธาและสัญชาตญาณ

— “...พระเจ้าของฉันเป็นมากกว่าบุคคล ในเมื่อพระเจ้าทรงสามารถแสดงบทบาทของบุคคลได้...” ถึงกระนั้น ศรัทธาของโกเดลก็ยังห่างไกลจากคำสารภาพของชาวออร์โธดอกซ์ใช่ไหม

— คำกล่าวของเกอเดลเกี่ยวกับศรัทธาของเขาน้อยมากที่ยังคงหลงเหลืออยู่ และถูกรวบรวมทีละน้อย แม้ว่าGödelจะร่างข้อโต้แย้งในเวอร์ชันของเขาเองเป็นครั้งแรกในปี 1941 จนถึงปี 1970 ด้วยกลัวเพื่อนร่วมงานจะเยาะเย้ย แต่เขาก็ไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้ ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2513 เมื่อสัมผัสได้ว่าความตายกำลังใกล้เข้ามา เขาจึงอนุญาตให้ผู้ช่วยคัดลอกหลักฐานฉบับหนึ่งของเขา หลังจากการเสียชีวิตของเกอเดลในปี พ.ศ. 2521 มีการค้นพบข้อโต้แย้งทางภววิทยาที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในเอกสารของเขา อเดล ภรรยาของเคิร์ต โกเดล กล่าวสองวันหลังจากสามีของเธอเสียชีวิตว่า โกเดล "แม้ว่าเขาจะไม่ได้ไปโบสถ์ แต่ยังคงเคร่งศาสนาและอ่านพระคัมภีร์บนเตียงทุกเช้าวันอาทิตย์"

เมื่อเราพูดถึงนักวิทยาศาสตร์อย่างโกเดล ไอน์สไตน์ หรือเช่น กาลิเลโอ หรือนิวตัน สิ่งสำคัญคือต้องเน้นว่าพวกเขาไม่ใช่พระเจ้า พวกเขาเห็นว่าเบื้องหลังจักรวาลนั้นมีจิตใจ ซึ่งเป็นพลังที่สูงกว่า สำหรับนักวิทยาศาสตร์หลายคน ความเชื่อมั่นในการดำรงอยู่ของจิตใจสูงสุดเป็นหนึ่งในผลที่ตามมาของการไตร่ตรองทางวิทยาศาสตร์ และการไตร่ตรองนี้ไม่ได้นำไปสู่การเกิดขึ้นของความสัมพันธ์ทางศาสนาที่ลึกซึ้งระหว่างบุคคลกับพระเจ้าเสมอไป ในความสัมพันธ์กับโกเดล เราสามารถพูดได้ว่าเขารู้สึกถึงความจำเป็นในการเชื่อมโยงนี้ เนื่องจากเขาเน้นย้ำว่าเขาเป็นคนไม่เชื่อและคิดว่าพระเจ้าเป็นบุคคล แต่แน่นอนว่าศรัทธาของเขาไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นออร์โธดอกซ์ พูดง่ายๆ ก็คือเขาเป็น "บ้านลูเธอรัน"

— คุณช่วยยกตัวอย่างทางประวัติศาสตร์ได้ไหม: นักวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ เชื่อในพระเจ้าได้อย่างไร? นี่คือนักพันธุศาสตร์ฟรานซิส คอลลินส์ ตามคำสารภาพของเขา การศึกษาโครงสร้างของ DNA ทำให้เขาศรัทธาในพระเจ้า...

— ความรู้ตามธรรมชาติของพระเจ้าในตัวมันเองไม่เพียงพอสำหรับความรู้เกี่ยวกับพระเจ้า การค้นพบพระเจ้าโดยการศึกษาธรรมชาตินั้นไม่เพียงพอ สิ่งสำคัญคือต้องเรียนรู้ที่จะรู้จักพระองค์ผ่านวิวรณ์ที่พระเจ้าประทานแก่มนุษย์ การมาสู่ศรัทธาของบุคคล ไม่ว่าเขาจะเป็นนักวิทยาศาสตร์หรือไม่ก็ตาม จะต้องอาศัยบางสิ่งที่นอกเหนือไปจากการโต้แย้งเชิงตรรกะหรือทางวิทยาศาสตร์เสมอ ฟรานซิส คอลลินส์เขียนว่าเขาเริ่มมีศรัทธาเมื่ออายุ 27 ปี หลังจากการถกเถียงทางปัญญากับตัวเองมายาวนาน และอยู่ภายใต้อิทธิพลของไคลฟ์ สเตเปิลส์ ลูอิส คนสองคนอยู่ในสถานการณ์ทางประวัติศาสตร์เดียวกัน ในเงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกัน คนหนึ่งกลายเป็นผู้ศรัทธา และอีกคนไม่เชื่อในพระเจ้า ประการแรก การศึกษา DNA นำไปสู่ความเชื่อในการมีอยู่จริงของพระเจ้า การศึกษาอื่นและไม่ได้ข้อสรุปนี้ คนสองคนดูภาพหนึ่ง คนหนึ่งคิดว่ามันสวยงาม และอีกคนหนึ่งพูดว่า: "พอใช้ได้ เป็นภาพธรรมดา!" คนหนึ่งมีรสนิยม มีสัญชาตญาณ และอีกคนไม่มี ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยมนุษยธรรมแห่งออร์โธดอกซ์ St. Tikhon Vladimir Nikolaevich Katasonov นักปรัชญาดุษฎีบัณฑิตนักคณิตศาสตร์จากการศึกษาครั้งแรกกล่าวว่า: "ไม่มีการพิสูจน์ในวิชาคณิตศาสตร์ที่เป็นไปไม่ได้หากไม่มีสัญชาตญาณ: นักคณิตศาสตร์เห็นภาพก่อนแล้วจึงกำหนดหลักฐาน"

คำถามเรื่องการมาสู่ศรัทธาของบุคคลนั้นเป็นคำถามที่นอกเหนือไปจากการใช้เหตุผลเชิงตรรกะเสมอ คุณจะอธิบายได้อย่างไรว่าอะไรทำให้คุณมีศรัทธา ชายคนนั้นตอบว่า: ฉันไปวัด คิด อ่านเรื่องนี้ เห็นความกลมกลืนของจักรวาล แต่สิ่งที่สำคัญที่สุด คือช่วงเวลาพิเศษที่สุดที่บุคคลรู้ทันทีว่าเขาได้พบกับการสถิตอยู่ของพระเจ้านั้นไม่สามารถแสดงออกมาได้ มันเป็นเรื่องลึกลับเสมอ

— คุณสามารถระบุปัญหาที่วิทยาศาสตร์สมัยใหม่ไม่สามารถแก้ไขได้หรือไม่?

— ท้ายที่สุดแล้ว วิทยาศาสตร์เป็นองค์กรที่มีความมั่นใจ เป็นอิสระ และก้าวหน้าไปมากพอที่จะพูดออกมาอย่างรุนแรงได้ มันเป็นเครื่องมือที่ดีและมีประโยชน์มากในมือมนุษย์ ตั้งแต่สมัยฟรานซิส เบคอน ความรู้ได้กลายเป็นพลังที่เปลี่ยนแปลงโลกอย่างแท้จริง วิทยาศาสตร์พัฒนาตามกฎภายใน: นักวิทยาศาสตร์มุ่งมั่นที่จะเข้าใจกฎของจักรวาลและไม่ต้องสงสัยเลยว่าการค้นหานี้จะนำไปสู่ความสำเร็จอย่างไม่ต้องสงสัย แต่ในขณะเดียวกันก็ต้องตระหนักถึงขอบเขตของวิทยาศาสตร์ด้วย เราไม่ควรสับสนระหว่างวิทยาศาสตร์กับคำถามเชิงอุดมการณ์ที่สามารถหยิบยกขึ้นมาเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ได้ ปัญหาสำคัญในปัจจุบันไม่เกี่ยวข้องกับวิธีการทางวิทยาศาสตร์มากนักในเรื่องคุณค่าของการวางแนว วิทยาศาสตร์ในช่วงศตวรรษที่ 20 อันยาวนานถูกมองว่าเป็นประโยชน์อย่างยิ่งต่อความก้าวหน้าของมนุษยชาติ และเราเห็นว่าศตวรรษที่ 20 กลายเป็นศตวรรษที่โหดร้ายที่สุดในแง่ของการบาดเจ็บล้มตายของมนุษย์ และนี่คือคำถามที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับคุณค่าของความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ ความรู้โดยทั่วไป ค่านิยมทางจริยธรรมไม่ได้ตามมาจากวิทยาศาสตร์นั่นเอง นักวิทยาศาสตร์ที่เก่งกาจสามารถประดิษฐ์อาวุธเพื่อทำลายมวลมนุษยชาติได้ และทำให้เกิดคำถามเกี่ยวกับความรับผิดชอบทางศีลธรรมของนักวิทยาศาสตร์ ซึ่งวิทยาศาสตร์ไม่สามารถตอบได้ วิทยาศาสตร์ไม่สามารถชี้ให้มนุษย์ทราบถึงความหมายและจุดประสงค์ของการดำรงอยู่ของเขาได้ วิทยาศาสตร์ไม่มีวันตอบคำถามได้ว่าทำไมเราถึงมาอยู่ที่นี่? ทำไมจักรวาลจึงมีอยู่? คำถามเหล่านี้ได้รับการแก้ไขในอีกระดับของความรู้ เช่น ปรัชญาและศาสนา

— นอกจากทฤษฎีบทของเกอเดลแล้ว มีหลักฐานอื่นอีกไหมที่แสดงว่าวิธีการทางวิทยาศาสตร์มีขีดจำกัด? นักวิทยาศาสตร์เองก็ยอมรับเรื่องนี้หรือไม่?

— เมื่อต้นศตวรรษที่ 20 นักปรัชญา Bergson และ Husserl ชี้ให้เห็นถึงความสำคัญเชิงสัมพันธ์ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับธรรมชาติ ปัจจุบันนี้กลายเป็นความเชื่อสากลในหมู่นักปรัชญาวิทยาศาสตร์ที่ว่าทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เป็นตัวแทนของแบบจำลองสมมุติฐานในการอธิบายปรากฏการณ์ เออร์วิน ชโรดิงเงอร์ ผู้สร้างกลศาสตร์ควอนตัมคนหนึ่งกล่าวว่าอนุภาคมูลฐานเป็นเพียงภาพ แต่เราสามารถทำได้ง่ายๆ โดยไม่มีอนุภาคเหล่านั้น ตามที่นักปรัชญาและนักตรรกศาสตร์ Karl Popper กล่าว ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เป็นเหมือนตาข่ายที่เราพยายามจับโลกไว้ พวกมันไม่เหมือนรูปถ่าย ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์มีการพัฒนาและเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา ผู้สร้างกลศาสตร์ควอนตัม เช่น เพาลี บอร์ และไฮเซนเบิร์ก พูดถึงขอบเขตของวิธีการทางวิทยาศาสตร์ เปาลีเขียนว่า: "...ฟิสิกส์และจิตใจถือได้ว่าเป็นแง่มุมเพิ่มเติมของความเป็นจริงเดียวกัน" - และมุ่งเน้นไปที่ความไม่สามารถลดทอนของการดำรงอยู่ในระดับที่สูงขึ้นไปยังระดับที่ต่ำกว่า คำอธิบายต่างๆ ครอบคลุมเพียงแง่มุมเดียวของสสารในแต่ละครั้ง แต่ทฤษฎีที่ครอบคลุมจะไม่มีวันบรรลุผลสำเร็จ

ความงามและความกลมกลืนของจักรวาลสันนิษฐานถึงความเป็นไปได้ของความรู้โดยวิธีการทางวิทยาศาสตร์ ในขณะเดียวกัน คริสเตียนก็เข้าใจอยู่เสมอถึงความลึกลับที่อยู่เบื้องหลังจักรวาลวัตถุนี้ที่ไม่อาจเข้าใจได้ จักรวาลไม่มีพื้นฐานในตัวเองและชี้ไปที่แหล่งที่มาของการดำรงอยู่ที่สมบูรณ์แบบซึ่งก็คือพระเจ้า