>

ทฤษฎีบทของเกอเดลเกี่ยวกับตรรกะทางการ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจและเคล็ดลับที่เป็นประโยชน์

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล- สองทฤษฎีบทของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับข้อจำกัดพื้นฐานของการคำนวณทางคณิตศาสตร์และผลที่ตามมาคือทฤษฎีลำดับที่หนึ่งที่แข็งแกร่งเพียงพอ

ทฤษฎีบทแรกระบุว่าหากเลขคณิตแบบเป็นทางการสอดคล้องกัน ก็จะมีสูตรที่หักล้างไม่ได้และหักล้างไม่ได้

ทฤษฎีบทที่สองระบุว่าหากเลขคณิตแบบเป็นทางการสอดคล้องกัน ก็จะมีสูตรบางอย่างที่ยืนยันความสอดคล้องของทฤษฎีนี้อย่างมีความหมาย

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกของเกอเดล

ข้อความของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกของเกอเดลสามารถระบุได้ดังต่อไปนี้:

ถ้าเป็นเลขคณิตแบบเป็นทางการส มีความสอดคล้องกัน จากนั้นจะมีสูตรปิด G โดยที่ทั้ง G หรือการปฏิเสธ ‚G ไม่สามารถหาได้มาจากส .

เมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท Gödel ได้สร้างสูตรขึ้นมา ชอย่างชัดเจน บางครั้งเรียกว่าสูตรที่ตัดสินใจไม่ได้ของ Gödelian ในการตีความมาตรฐานประโยค ชยืนยันการลดไม่ได้ของตัวเองใน S ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของโกเดล หากทฤษฎี S สอดคล้องกัน สูตรนี้จึงลดไม่ได้ใน S และด้วยเหตุนี้จึงเป็นจริงในการตีความมาตรฐาน ดังนั้น สำหรับจำนวนธรรมชาติ สูตร ชเป็นจริง แต่ไม่สามารถอนุพันธ์ได้ใน S

การพิสูจน์ของเกอเดลสามารถดำเนินการกับทฤษฎีใดๆ ที่ได้รับจาก S ได้โดยการเพิ่มสัจพจน์ใหม่ เช่น สูตร ชเป็นสัจพจน์ ดังนั้นทฤษฎีที่สอดคล้องกันใดๆ ที่เป็นส่วนขยายของเลขคณิตแบบเป็นทางการจะไม่สมบูรณ์

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรก เกอเดลได้กำหนดจำนวนเฉพาะให้กับแต่ละสัญลักษณ์ นิพจน์ และลำดับของนิพจน์ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากสูตรและทฤษฎีบทเป็นประโยคของเลขคณิต และการอนุมานอย่างเป็นทางการของทฤษฎีบทนั้นเป็นลำดับของสูตร จึงเป็นไปได้ที่จะพูดถึงทฤษฎีบทและการพิสูจน์ในรูปของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ให้สูตรที่ตัดสินใจไม่ได้ของGödelian ชมีหมายเลข มแล้วจึงเทียบเท่ากับข้อความต่อไปนี้ในภาษาเลขคณิต: “ไม่มีจำนวนธรรมชาติดังกล่าว n, อะไร nมีหมายเลขเอาต์พุตสูตรพร้อมตัวเลข ม" การเปรียบเทียบสูตรและจำนวนธรรมชาติดังกล่าวเรียกว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์และดำเนินการเป็นครั้งแรกโดยGödel ความคิดนี้ต่อมาได้กลายเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาที่สำคัญหลายประการของตรรกะทางคณิตศาสตร์

ร่างหลักฐาน

ให้เราแก้ไขระบบ PM อย่างเป็นทางการซึ่งสามารถแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์เบื้องต้นได้

เมื่อมองจากภายนอก การแสดงออกของระบบที่เป็นทางการนั้นเป็นลำดับอันจำกัดของสัญลักษณ์ดั้งเดิม (ตัวแปร ค่าคงที่เชิงตรรกะ และวงเล็บหรือจุด) และไม่ยากที่จะระบุอย่างเคร่งครัดว่าลำดับของสัญลักษณ์ดั้งเดิมใดเป็นสูตร และอะไรที่ไม่ใช่สูตร ในทำนองเดียวกัน จากมุมมองที่เป็นทางการ การพิสูจน์เป็นเพียงลำดับของสูตรที่มีขอบเขตจำกัด (โดยมีคุณสมบัติที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด) สำหรับการพิจารณาทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะใช้วัตถุใดเป็นสัญลักษณ์ดั้งเดิม และเราตัดสินใจที่จะใช้ตัวเลขธรรมชาติเพื่อจุดประสงค์เหล่านี้ ดังนั้น สูตรจึงเป็นลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ ส่วนสรุปของสูตรคือลำดับจำกัดของลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ แนวคิดทางคณิตศาสตร์ (ประโยค) จึงกลายเป็นแนวคิด (ประโยค) เกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติหรือลำดับของจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นจึงสามารถแสดงออกมาในรูปสัญลักษณ์ของระบบ PM ได้ (อย่างน้อยก็ในบางส่วน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าแนวคิด “สูตร”, “อนุพันธ์”, “สูตรอนุพันธ์” สามารถกำหนดได้ภายในระบบ PM กล่าวคือ สามารถเรียกคืนได้ เช่น สูตร เอฟ(โวลต์) ใน PM พร้อมด้วยตัวแปรอิสระหนึ่งตัว โวลต์(ชนิดที่เป็นลำดับตัวเลข) เช่นนั้น เอฟ(โวลต์) ในการตีความตามสัญชาตญาณหมายความว่า: โวลต์- สูตรที่ได้รับ ตอนนี้ให้เราสร้างประโยคที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ของระบบ PM ซึ่งก็คือประโยค กซึ่งทั้งสองอย่าง ก, ก็ไม่เช่นกัน ไม่ใช่กไม่สามารถอนุมานได้ดังต่อไปนี้:

สูตรใน PM ที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวซึ่งมีประเภทเป็นจำนวนธรรมชาติ (คลาสของคลาส) จะถูกเรียกว่าคลาสนิพจน์ ลองจัดเรียงนิพจน์คลาสเป็นลำดับด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งแทน n-e ผ่าน ร(n) และสังเกตว่าแนวคิดของ "การแสดงออกในชั้นเรียน" เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อ รสามารถกำหนดได้ในระบบ PM ให้ α เป็นนิพจน์คลาสตามอำเภอใจ ผ่าน [α; n] แสดงถึงสูตรที่สร้างขึ้นจากนิพจน์คลาส α โดยการแทนที่ตัวแปรอิสระด้วยสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติ n. ความสัมพันธ์แบบไตรภาค x = [ย;z] ก็ปรากฏว่าสามารถกำหนดได้ใน PM เช่นกัน ตอนนี้เราจะกำหนดชั้นเรียน เคจำนวนธรรมชาติดังนี้

n ∈ เค≡ ฌบิว[ ร(n);n] (*)

(ที่ไหน บิว xวิธี: x- สูตรที่ได้รับ) เนื่องจากแนวคิดทั้งหมดที่พบในคำจำกัดความนี้สามารถแสดงในรูปแบบ PM ได้ แนวคิดเดียวกันนี้จึงเป็นจริง เคซึ่งสร้างจากพวกมันนั่นคือมีคลาสนิพจน์ดังกล่าว สว่าสูตร [ ส;n] แปลตามสัญชาตญาณ หมายความว่าจำนวนธรรมชาติ nเป็นของ เค. ในฐานะคลาสนิพจน์ สเหมือนกับบางเรื่องโดยเฉพาะ ร(ถาม) ในการกำหนดหมายเลขของเรา นั่นก็คือ

ส = ร(ถาม)

ถือเป็นจำนวนธรรมชาติเฉพาะบางจำนวน ถาม. ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าประโยค [ ร(ถาม);ถาม] ตัดสินใจไม่ได้ใน PM. ดังนั้น หากประโยค [ ร(ถาม);ถาม] ถือว่าเป็นอนุพันธ์แล้วปรากฏว่าเป็นจริง กล่าวคือ เป็นไปตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ถามจะเป็นของ เคนั่นคือตาม (*), ‚Bew[ ร(ถาม);ถาม] จะถูกดำเนินการ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของเรา ในทางกลับกัน หากการปฏิเสธ [ ร(ถาม);ถาม] อนุมานได้ ดังนั้น ฌ n ∈ เคนั่นก็คือ บิว[ ร(ถาม);ถาม] จะเป็นความจริง เพราะฉะนั้น, [ ร(ถาม);ถาม] พร้อมกับการปฏิเสธก็จะสามารถอนุมานได้ซึ่งเป็นไปไม่ได้อีกแล้ว

รูปแบบพหุนาม

สำหรับทุกทฤษฎีที่สอดคล้องกันต เราสามารถระบุค่าจำนวนเต็มของพารามิเตอร์ K เพื่อให้สมการได้ (θ + 2 z − ข 5) 2 + (ยู + ทีθ − ล) 2 + (ย + มθ − จ) 2 + (n − ถาม 16) 2 + ((ก + จถาม 3 + ลถาม 5 + (2(จ − zแลมบ์ดา)(1 + ก) 4 + แล ข 5 + แล ข 5 ถาม 4)ถาม 4)(n 2 − n) + (ถาม 3 − ขล + ล + θλ ถาม 3 + (ข 5 − 2)ถาม 5)(n 2 − 1) − ร) 2 + (พี − 2วส 2 ร 2 n 2) 2 + (พี 2 เค 2 − เค 2 + 1 − τ 2) 2 + (4(ค − เคสn 2) 2 + η - เค 2) 2 + (ร + 1 + ชม.พี − ชม. − เค) 2 + (ก − (วn 2 + 1)รสn 2) 2 + (2ร+ 1 + φ - ค) 2 + (ขว + คก − 2ค+ 4αγ − 5γ − ง) 2 + ((ก 2 − 1)ค 2 + 1 − ง 2) 2 + ((ก 2 − 1)ฉัน 2 ค 4 + 1 − ฉ 2) 2 + (((ก + ฉ 2 (ง 2 − ก)) 2 − 1)(2ร + 1 + เจค) 2 + 1 − (ง + โอฉ) 2) 2 + (((z + ยู + ย) 2 + ยู) 2 + ย − เค) 2 = 0 ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แต่ความจริงข้อนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทางทฤษฎีต . ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับทุกทฤษฎีที่สอดคล้องกัน ชุดของค่าของพารามิเตอร์ K ที่มีคุณสมบัตินี้มีค่าอนันต์และไม่สามารถนับตามอัลกอริทึมได้

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ประการที่สองของเกอเดล

ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ S เราสามารถสร้างสูตรที่เป็นจริงในการตีความมาตรฐานได้ก็ต่อเมื่อทฤษฎี S มีความสอดคล้องกันเท่านั้น สำหรับสูตรนี้ ข้อความของทฤษฎีบทที่สองของโกเดลเป็นจริง:

ถ้าเป็นเลขคณิตแบบเป็นทางการส มีความสม่ำเสมอ จึงมีสูตรที่ลดไม่ได้ซึ่งยืนยันความสม่ำเสมอได้อย่างมีความหมายส .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสอดคล้องของเลขคณิตแบบเป็นทางการไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีนี้ อย่างไรก็ตาม มีการพิสูจน์ความสอดคล้องของเลขคณิตอย่างเป็นทางการโดยใช้วิธีการที่ไม่สามารถแสดงออกได้

ร่างหลักฐาน

ขั้นแรกให้สร้างสูตร คอนซึ่งแสดงออกอย่างมีความหมายถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะได้สูตรใดๆ ในทฤษฎี S พร้อมกับการปฏิเสธของมัน จากนั้นข้อความของทฤษฎีบทแรกของเกอเดลก็แสดงออกมาด้วยสูตร คอน ⊃ ช, ที่ไหน ช- สูตรแก้ไม่ได้ของโกเดล การให้เหตุผลทั้งหมดเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทแรกสามารถแสดงและดำเนินการได้โดยใช้ S นั่นคือสูตรสามารถอนุมานได้ใน S คอน ⊃ ช. ดังนั้น ถ้าใน S เป็นอนุพันธ์ได้ คอนแล้วมันก็อนุมานได้และ ช. อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีบทแรกของโกเดล ถ้า S มีความสอดคล้องกัน ชไม่สามารถอนุมานได้ในนั้น ดังนั้น หาก S มีความสอดคล้องกัน สูตรในนั้นก็จะลดทอนลงไม่ได้เช่นกัน คอน.

หมายเหตุ

ดูสิ่งนี้ด้วย

ลิงค์

  • วี.เอ. อุสเพนสกีทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล - อ.: Nauka, 2525. - 110 น. - (บรรยายยอดนิยมวิชาคณิตศาสตร์)
  • นักวิชาการ Yu. L. Ershov "การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์", โปรแกรม A. Gordon ลงวันที่ 16 มิถุนายน พ.ศ. 2546
  • เอ.บี. โซซินสกี้ทฤษฎีบทของโกเดล // โรงเรียนภาคฤดูร้อน "คณิตศาสตร์สมัยใหม่". - ดุบนา: 2006.
  • พี.เจ. โคเฮนบนรากฐานของทฤษฎีเซต // ความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์. - พ.ศ. 2517. - ต.29. - ลำดับที่ 5(179). - หน้า 169–176.
  • เอ็ม. คอร์ดอนสกี้จุดจบของความจริง. - ไอ 5-946448-001-04
  • วี.เอ. อุสเพนสกีทฤษฎีบทของโกเดลเรื่องความไม่สมบูรณ์และถนนสี่สายที่นำไปสู่มัน // โรงเรียนภาคฤดูร้อน "คณิตศาสตร์สมัยใหม่". - ดุบนา: 2007.
  • เซนคิน เอ.เอ.หลักการแบ่งเวลาและการวิเคราะห์เหตุผลที่เป็นไปได้กึ่งจำกัดระดับหนึ่ง (โดยใช้ตัวอย่างทฤษฎีบทของ G. Cantor เกี่ยวกับการนับไม่ได้) // แดน. - 2540. - ต. 356. - ลำดับ 6. - หน้า 733-735.
  • เชชูลิน วี.แอล.ในเวอร์ชันสั้นของการพิสูจน์ทฤษฎีบทของGödel // “ ปัญหาพื้นฐานของคณิตศาสตร์และวิทยาการสารสนเทศ” ซึ่งเป็นสื่อการสอนของ XXXIV Far Eastern Mathematical School-Seminar ซึ่งตั้งชื่อตามนักวิชาการ E.V. โซโลโตวา. - Khabarovsk, รัสเซีย: 2552. - หน้า 60-61.

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ดูว่า "ทฤษฎีบทของเกอเดลเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์" ในพจนานุกรมอื่นๆ มีอะไรบ้าง:

    คำนี้มีความหมายอื่น ดูทฤษฎีบทของโกเดล ทฤษฎีบทของเกอเดลเรื่องความไม่สมบูรณ์และทฤษฎีบทที่สองของเกอเดล [1] ทฤษฎีบทสองทฤษฎีของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับข้อจำกัดพื้นฐานของเลขคณิตที่เป็นทางการและผลที่ตามมาก็คือ ... ... Wikipedia

    ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลเป็นทฤษฎีบทสองทฤษฎีของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของระบบที่เป็นทางการบางประเภท สารบัญ 1 ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ประการแรกของเกอเดล 2 ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ประการที่สองของเกอเดล ... Wikipedia

    คำนี้มีความหมายอื่น ดูทฤษฎีบทของโกเดล ทฤษฎีบทของเกอเดลเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของแคลคูลัสภาคแสดงเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ โดยสร้างการเชื่อมโยงที่ชัดเจนระหว่างความจริงเชิงตรรกะ... ... Wikipedia

    ชื่อสามัญของทฤษฎีบทสองทฤษฎีที่ก่อตั้งโดย K. Gödel ครั้งแรก G. t. เกี่ยวกับ n. ระบุว่าในระบบที่เป็นทางการใดๆ ก็ตามที่มีเลขคณิตขั้นต่ำ (เครื่องหมายและกฎปกติในการจัดการกับสิ่งเหล่านั้น) จะไม่มีทางตัดสินใจอย่างเป็นทางการได้... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

แนวคิดของการพิสูจน์คือการสร้างนิพจน์ที่จะบ่งบอกถึงมัน

ความพิสูจน์ไม่ได้ของตัวเอง การก่อสร้างนี้สามารถทำได้ในสามขั้นตอน:

ขั้นตอนแรกคือการสร้างการติดต่อระหว่างเลขคณิตอย่างเป็นทางการและเซตของจำนวนเต็ม (Goedelization)

ขั้นตอนที่สองคือการสร้างคุณสมบัติพิเศษบางอย่างซึ่งไม่ทราบว่าเป็นทฤษฎีบทของเลขคณิตที่เป็นทางการหรือไม่

ขั้นตอนที่สามคือการแทนที่ x ของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวมันเอง นั่นคือ การแทนที่ทั้งหมดด้วยตัวเลขเหล่านี้

ขั้นแรก. การแปลงเลขคณิตแบบทางการ

เลขคณิตแบบเป็นทางการสามารถคำนวณได้ (เช่น Godelized) ด้วยวิธีต่อไปนี้: แต่ละทฤษฎีบทของมันเชื่อมโยงกับจำนวนที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากทุกจำนวนก็เป็นทฤษฎีบทด้วย ดังนั้น ในด้านหนึ่งทุกทฤษฎีบทจึงถือเป็นทฤษฎีบทของเลขคณิตแบบทางการ และในอีกด้านหนึ่งถือเป็นทฤษฎีบทเหนือเซตของทฤษฎีบทของเลขคณิตแบบทางการ นั่นคือ ก เมตาทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทบางอย่าง

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าระบบเลขคณิตแบบทางการก็มีระบบเมตาซิสเต็มของตัวเองเช่นกัน

ตอนนี้เราจะนำเสนอผลลัพธ์ที่ได้รับโดยเฉพาะและละเอียดยิ่งขึ้น

ประการแรก เราสามารถเชื่อมโยงกับแต่ละสัญลักษณ์และเลขคณิตอย่างเป็นทางการด้วยการกำหนดรหัสพิเศษ ในกรณีนี้เรียกว่าหมายเลข Gödel

ประการที่สอง เราเชื่อมโยงแต่ละลำดับของสัญลักษณ์กับหมายเลข Gödel เดียวกันโดยใช้ฟังก์ชันองค์ประกอบบางอย่าง อนุญาต ที่ไหน แทนลำดับของสัญลักษณ์ที่เกิดขึ้น

ประการที่สาม (และนี่เป็นสิ่งสำคัญ) การพิสูจน์แต่ละลำดับของสัจพจน์และกฎการทดแทน (หรือกฎการแทนที่) จะสัมพันธ์กับตัวเลขซึ่งแสดงถึงลำดับของทฤษฎีบทที่ใช้ในการพิสูจน์

ดังนั้น การพิสูจน์ทุกครั้งในเลขคณิตที่เป็นทางการจึงสอดคล้องกับจำนวนหนึ่ง - หมายเลข Gödel ของมัน การใช้เหตุผลใดๆ ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์จะถูกแปลงเป็นการคำนวณในชุดของจำนวนธรรมชาติ

ดังนั้น แทนที่จะบิดเบือนสัญลักษณ์ ทฤษฎีบท และการพิสูจน์ คุณสามารถใช้ได้

การคำนวณชุดจำนวนเต็ม นิพจน์ใด ๆ เช่นต่อไปนี้: "พิสูจน์ได้ในเลขคณิตแบบเป็นทางการ" ตอนนี้สอดคล้องกับตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งเราจะแสดงว่าเป็น

ให้เรากำหนดตำแหน่งต่อไปนี้

เมตาเลขคณิตอย่างเป็นทางการมีอยู่ในชุดของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งตัวมันเองมีอยู่ในการตีความเลขคณิตอย่างเป็นทางการ

สถานการณ์ที่มีเลขคณิตอย่างเป็นทางการนี้ชวนให้นึกถึงสถานการณ์ด้วยภาษาธรรมชาติ: ท้ายที่สุดแล้ว ไม่มีอะไรขัดขวางเราไม่ให้ใช้มันเพื่อกำหนดแนวคิดพื้นฐานและกฎเกณฑ์ในนั้น

การเลือกฟังก์ชันที่เหมาะสมช่วยให้เปลี่ยนจาก A ไปเป็นได้อย่างชัดเจน เช่น กำหนดตัวเลขสองตัวให้กับการพิสูจน์สองตัวที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เราสามารถเลือกตัวเลข Gödel ในลักษณะที่แต่ละสัญลักษณ์ของตัวอักษรของเลขคณิตแบบเป็นทางการสอดคล้องกับจำนวนเฉพาะของตัวเอง ดังที่แสดงในตาราง ตัวอย่างเช่น 3.2.

ตารางที่ 3.2

แต่ละสูตร (ประกอบด้วยสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันตั้งแต่ 1 ถึง จะถูกเข้ารหัสตามลำดับที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะตัวแรก เช่น ตัวเลข

จำนวนเฉพาะอยู่ที่ไหน

ในทางกลับกัน การพิสูจน์ เช่น ลำดับของสูตรจะถูกเข้ารหัสในลักษณะเดียวกันกับตัวเลข

และในทางกลับกัน ด้วยวิธีการสร้างตัวเลขนี้ มันจึงเป็นไปได้โดยเริ่มจากจำนวนหนึ่ง โดยใช้การสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะ (เนื่องจากลักษณะเฉพาะของการสลายตัวของจำนวนธรรมชาติเป็นผลคูณของเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะ) เพื่อส่งคืน ในสองขั้นตอนสู่เลขชี้กำลัง เช่น สัญลักษณ์ดั้งเดิมทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่านี่เป็นเพียงทฤษฎีเท่านั้น เนื่องจากตัวเลขมีมากเกินไปอย่างรวดเร็ว

เพื่อให้สามารถจัดการได้ อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าความเป็นไปได้พื้นฐานของการดำเนินการนี้เป็นสิ่งสำคัญ

ตัวอย่าง. ให้ระบุตัวเลข T ซึ่งสอดคล้องกับข้อพิสูจน์และเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ:

การขยายนี้หมายความว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทประกอบด้วยสองขั้นตอน: ขั้นตอนหนึ่งตรงกับหมายเลข 1981027125 253 และอีกขั้นตอนคือหมายเลข 1981027125 211 เมื่อแยกตัวประกอบของตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัวอีกครั้งให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ เราจะได้

จากตารางการเข้ารหัสตัวอักษรของเลขคณิตแบบเป็นทางการ (ตาราง 3.2) เราพบว่าตัวเลข Gödel ของเราสำหรับตัวเลขสองตัวนี้

หลักฐานต่อไปนี้จะสอดคล้องกัน:

จากสูตรเป็นไปตามสูตร

ดังนั้นในเมตาเลขคณิต ค่าของจำนวนเดิมจะได้มาจากเลขคณิตที่เป็นทางการ

ระยะที่สอง เล็มมาของเกอเดล

จำนวน T ทุกตัวที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์สอดคล้องกับทฤษฎีบทที่สามารถพิสูจน์ได้ในเลขคณิตแบบทางการ เลขคณิตแบบ "Goedelized" เรียกว่าเลขคณิตแบบเป็นทางการ เนื่องจากแต่ละสัจพจน์และแต่ละกฎของเลขคณิตอย่างเป็นทางการที่คำนวณทางคณิตศาสตร์นั้นสอดคล้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างดังนั้นการใช้การทดสอบอย่างเป็นระบบจึงเป็นไปได้ที่จะพิจารณาว่าหมายเลขที่กำหนด T สอดคล้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทบางข้อหรือไม่ ตัวเลข T และในกรณีนี้ก่อตัวเป็นคอนจูเกตคู่หนึ่ง ตัวเลข นิพจน์และคอนจูเกต” นำเสนอได้ภายในระบบเลขคณิตแบบทางการนั่นเอง ซึ่งหมายความว่ามีหมายเลข Gödel ที่แสดงข้อความนี้ในรูปแบบดิจิทัล

เรามาถึงจุดวิกฤติของการพิสูจน์ของเกอเดลแล้ว ให้ A เป็นนิพจน์ของเลขคณิตแบบเป็นทางการที่มีตัวแปรอิสระจำนวนหนึ่งอยู่ คุณสามารถทดแทนคำศัพท์บางคำแทนได้ คุณสามารถแทนที่นิพจน์ A ด้วยนิพจน์ A ได้ ในกรณีนี้ นิพจน์ตัวเลข A จะทำหน้าที่ที่แตกต่างกันสองบทบาทพร้อมกัน (ดูโครงสร้างด้านบน

คันทอร์และริชาร์ด): เป็นทั้งสำนวนที่แท้จริงสำหรับการทดแทนและผลลัพธ์ เราจะแสดงการทดแทนพิเศษนี้ว่า ดังนั้นสูตรหมายความว่าตัวเลขคือหมายเลขGödelที่ได้รับจากการทำการทดแทน - เพื่อนิพจน์ A:

จากนั้นโกเดลจึงสร้างนิพจน์ (ซึ่งไม่ทราบว่าเป็นทฤษฎีบทหรือไม่ใช่ทฤษฎีบท) ซึ่งเขาแนะนำการแทนที่นี้ นิพจน์มีลักษณะดังนี้:

ขั้นตอนที่สาม การทดแทนครั้งสุดท้าย

ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ นิพจน์นี้จะแสดงในรูปแบบดิจิทัล ให้ E เป็นเลขโกเดล เนื่องจากนิพจน์มีตัวแปรอิสระ เราจึงมีสิทธิ์ทำการทดแทน - แทนที่หมายเลข E และแทน - การทดแทน E:

เราแสดงนิพจน์ที่สองนี้ด้วย a และหมายเลข Gödel ของมันด้วย E ให้เราตีความนิพจน์ e กัน

การตีความครั้งแรก ไม่มีคู่ใดที่ค่าต่อไปนี้จะถือพร้อมๆ กัน ในด้านหนึ่ง T คือจำนวนการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทที่คำนวณได้ด้วยตัวเอง และในทางกลับกัน ก็จะมีการแทนที่ แต่เนื่องจากมี การเปลี่ยนแปลงเช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ สามารถแสดงได้ในแง่และในการกำหนดรหัส - หมายเลขGödelและดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าวอยู่ บางทีหมายเลข T ก็ไม่มีอยู่จริง

การตีความครั้งที่สอง ไม่มีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบท T ที่จะเป็นการแทนที่ E ดังนั้น หากไม่มีการพิสูจน์ ก็เป็นเพราะตัวมันเองไม่ใช่ทฤษฎีบท สิ่งนี้นำไปสู่การตีความครั้งที่สาม

การตีความที่สาม นิพจน์ที่มีจำนวน Gödel คือ -การแทนที่ E ไม่ใช่ทฤษฎีบทของเลขคณิตแบบทางการที่คำนวณทางคณิตศาสตร์ แต่นี่คือจุดที่ความขัดแย้งอยู่ เนื่องจากโดยการก่อสร้าง ตัวมันเองคือการแทนที่ E และตัวเลขโดยการก่อสร้าง ไม่มีอะไรอื่นนอกจากตัวเลข E เอง จากที่นี่จะเป็นการตีความขั้นสุดท้ายของ e

09ก.ย

ระบบสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่เริ่มต้นจากความซับซ้อนระดับหนึ่ง อาจขัดแย้งภายในหรือไม่สมบูรณ์

ในปี 1900 การประชุม World Conference of Mathematicians จัดขึ้นที่ปารีส เดวิด กิลเบิร์ต(เดวิด ฮิลเบิร์ต, 1862–1943) นำเสนอในรูปแบบของวิทยานิพนธ์เกี่ยวกับงานที่สำคัญที่สุด 23 ประการในความเห็นของเขา ซึ่งนักทฤษฎีแห่งศตวรรษที่ 20 ที่กำลังจะมาถึงต้องแก้ไข อันดับสองในรายการของเขาคือหนึ่งในปัญหาง่ายๆ เหล่านั้นซึ่งมีคำตอบที่ชัดเจนจนกว่าคุณจะเจาะลึกลงไปอีกเล็กน้อย ในแง่สมัยใหม่ นี่คือคำถาม: คณิตศาสตร์สามารถพึ่งพาตนเองได้หรือไม่ งานที่สองของฮิลเบิร์ตมุ่งไปที่ความจำเป็นในการพิสูจน์อย่างเคร่งครัดว่าระบบสัจพจน์ - ข้อความพื้นฐานที่ยอมรับในคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานโดยไม่มีการพิสูจน์ - นั้นสมบูรณ์แบบและครบถ้วนนั่นคือช่วยให้สามารถอธิบายทุกสิ่งที่มีอยู่ทางคณิตศาสตร์ได้ จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดระบบสัจพจน์ว่าประการแรกพวกเขาจะสอดคล้องกันและประการที่สองจากพวกเขาสามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับความจริงหรือความเท็จของข้อความใด ๆ

ลองยกตัวอย่างจากเรขาคณิตของโรงเรียน ในระนาบระนาบแบบยุคลิดมาตรฐาน (เรขาคณิตบนระนาบ) สามารถพิสูจน์ได้อย่างไม่ต้องสงสัยว่าข้อความ "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°" เป็นจริง และข้อความ "ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 137 °” เป็นเท็จ โดยพื้นฐานแล้ว หากพูดในเรขาคณิตแบบยุคลิด ข้อความใดๆ จะเป็นเท็จหรือจริง และไม่มีทางเลือกที่สาม และในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์เชื่ออย่างไร้เดียงสาว่าควรสังเกตสถานการณ์เดียวกันนี้ในระบบที่มีความสอดคล้องเชิงตรรกะ

จากนั้นในปี 1931 นักคณิตศาสตร์ชาวเวียนนาสวมแว่นบางคนก็สวมแว่นตา เคิร์ท โกเดล- รับและตีพิมพ์บทความสั้น ๆ ที่ทำให้โลกทั้งโลกของสิ่งที่เรียกว่า "ตรรกะทางคณิตศาสตร์" ไม่พอใจ หลังจากคำนำทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีที่ซับซ้อนและยาวนาน เขาได้กำหนดสิ่งต่อไปนี้อย่างแท้จริง ลองใช้ข้อความเช่น: “ข้อสันนิษฐานหมายเลข 247 ในระบบสัจพจน์นี้พิสูจน์ไม่ได้ในเชิงตรรกะ” และเรียกมันว่า “ข้อความ A” ดังนั้น Gödel เพียงพิสูจน์คุณสมบัติอันน่าทึ่งต่อไปนี้ของระบบสัจพจน์ใดๆ:

“ถ้าข้อ A สามารถพิสูจน์ได้ ข้อความที่ไม่ใช่ A ก็สามารถพิสูจน์ได้”

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากความจริงของข้อความ “สมมติฐาน 247 ไม่สามารถพิสูจน์ได้” สามารถพิสูจน์ได้ ความจริงของข้อความ “สมมติฐาน 247 นั้นพิสูจน์ได้” ก็สามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน นั่นคือการกลับไปสู่การกำหนดปัญหาที่สองของฮิลเบิร์ตหากระบบสัจพจน์สมบูรณ์ (นั่นคือข้อความใด ๆ ในนั้นสามารถพิสูจน์ได้) ก็แสดงว่าขัดแย้งกัน

วิธีเดียวที่จะออกจากสถานการณ์นี้คือการยอมรับระบบสัจพจน์ที่ไม่สมบูรณ์ นั่นคือเราต้องทนกับความจริงที่ว่าในบริบทของระบบตรรกะใด ๆ เราจะยังคงมีคำสั่ง "ประเภท A" ที่ชัดเจนว่าจริงหรือเท็จ - และเราสามารถตัดสินความจริงของพวกเขาได้เฉพาะนอกกรอบของสัจพจน์ที่เรามี ได้รับการยอมรับ หากไม่มีข้อความดังกล่าว สัจพจน์ของเราขัดแย้งกัน และภายในกรอบของมันจะมีสูตรที่สามารถพิสูจน์และหักล้างได้อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

ดังนั้น การกำหนดทฤษฎีบทแรกหรือทฤษฎีบทของโกเดลที่อ่อนแอเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์: "ระบบสัจพจน์ที่เป็นทางการใดๆ มีข้อสันนิษฐานที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข". แต่โกเดลไม่ได้หยุดอยู่แค่นั้น การสร้างและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สองหรือทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ที่แข็งแกร่งของโกเดล: “ความสมบูรณ์เชิงตรรกะ (หรือความไม่สมบูรณ์) ของระบบสัจพจน์ใดๆ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในกรอบของระบบนี้ ในการพิสูจน์หรือหักล้างนั้น จำเป็นต้องมีสัจพจน์เพิ่มเติม (การเสริมสร้างระบบ)

มันจะปลอดภัยกว่าถ้าคิดว่าทฤษฎีบทของGödelมีลักษณะเป็นนามธรรมและไม่เกี่ยวข้องกับเรา แต่เป็นเพียงพื้นที่ของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น แต่ในความเป็นจริงกลับกลายเป็นว่าพวกมันเกี่ยวข้องโดยตรงกับโครงสร้างของสมองมนุษย์ โรเจอร์ เพนโรส นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ (เกิด พ.ศ. 2474) แสดงให้เห็นว่า ทฤษฎีบทของเกอเดลสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่ามีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสมองมนุษย์และคอมพิวเตอร์ ความหมายของเหตุผลของเขานั้นเรียบง่าย คอมพิวเตอร์ดำเนินการตามหลักตรรกะอย่างเคร่งครัดและไม่สามารถระบุได้ว่าข้อความ A เป็นจริงหรือเท็จหากข้อความนั้นนอกเหนือไปจากสัจพจน์ และข้อความดังกล่าวตามทฤษฎีบทของ Gödel ก็มีอยู่อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ บุคคลที่ต้องเผชิญกับข้อความ A ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้และหักล้างไม่ได้ในเชิงตรรกะนั้นสามารถระบุความจริงหรือความเท็จได้ตลอดเวลาโดยอาศัยประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน อย่างน้อยที่สุดในแง่นี้ สมองของมนุษย์ก็เหนือกว่าคอมพิวเตอร์ที่ถูกจำกัดโดยวงจรตรรกะล้วนๆ สมองของมนุษย์สามารถเข้าใจความจริงอันลึกซึ้งที่มีอยู่ในทฤษฎีบทของโกเดลได้ แต่สมองของคอมพิวเตอร์ไม่เคยสามารถทำได้ ดังนั้นสมองของมนุษย์จึงเป็นอะไรก็ได้นอกจากคอมพิวเตอร์ เขาสามารถตัดสินใจได้และจะผ่านการทดสอบทัวริง

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเคิร์ต โกเดลเป็นจุดเปลี่ยนในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 และในต้นฉบับของเขาที่ตีพิมพ์หลังจากการตายของเขา ข้อพิสูจน์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่ของพระเจ้าได้รับการเก็บรักษาไว้ ในการอ่านคริสต์มาสครั้งล่าสุด รายงานที่น่าสนใจเกี่ยวกับมรดกที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักนี้จัดทำโดยรองศาสตราจารย์ของวิทยาลัยศาสนศาสตร์ Tobolsk ผู้สมัครสาขาวิชาเทววิทยา นักบวช Dimitry KIRYANOV “นส” ขอให้อธิบายแนวคิดหลักของนักวิทยาศาสตร์

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล: หลุมในวิชาคณิตศาสตร์

— มีวิธีที่ได้รับความนิยมในการอธิบายทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลหรือไม่? ช่างตัดผมจะโกนเฉพาะผู้ที่ไม่โกนเองเท่านั้น ช่างตัดผมโกนตัวเองหรือเปล่า? ความขัดแย้งอันโด่งดังนี้เกี่ยวข้องกับพวกเขาหรือไม่?

วิทยานิพนธ์หลักของข้อพิสูจน์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่ของพระเจ้า เสนอโดยเคิร์ต โกเดล: “พระเจ้าดำรงอยู่ในความคิด แต่การดำรงอยู่ในความเป็นจริงเป็นมากกว่าการดำรงอยู่ในความคิดเท่านั้น ดังนั้น พระเจ้าจึงต้องดำรงอยู่” ในภาพ: ผู้เขียนทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ เคิร์ต โกเดล กับเพื่อนของเขา ผู้เขียนทฤษฎีสัมพัทธภาพ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ พริสตัน. อเมริกา. 1950

- ใช่ แน่นอนมันเป็นเช่นนั้น ก่อน Gödel มีปัญหาเรื่องการทำให้เป็นจริงของคณิตศาสตร์และปัญหาของประโยคที่ขัดแย้งกันซึ่งสามารถเขียนอย่างเป็นทางการในภาษาใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น: “ข้อความนี้เป็นเท็จ” ความจริงของคำกล่าวนี้คืออะไร? ถ้ามันเป็นจริง มันก็เป็นเท็จ ถ้ามันเป็นเท็จ มันก็เป็นความจริง ส่งผลให้เกิดความขัดแย้งทางภาษา Gödel ศึกษาเลขคณิตและแสดงให้เห็นในทฤษฎีบทของเขาว่าความสอดคล้องของมันไม่สามารถพิสูจน์ได้ขึ้นอยู่กับหลักการที่เห็นได้ชัดในตัวเอง: สัจพจน์ของการบวก การลบ การหาร การคูณ ฯลฯ เราต้องการสมมติฐานเพิ่มเติมเพื่อพิสูจน์เหตุผล สิ่งนี้มีพื้นฐานอยู่บนทฤษฎีที่ง่ายที่สุด แต่เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับทฤษฎีที่ซับซ้อนกว่านี้ได้ (สมการฟิสิกส์ ฯลฯ)! เพื่อพิสูจน์ระบบการอนุมานใด ๆ เรามักจะถูกบังคับให้หันไปใช้การอนุมานเพิ่มเติมซึ่งไม่สมเหตุสมผลภายในกรอบของระบบ

ประการแรก สิ่งนี้บ่งบอกถึงข้อจำกัดของการอ้างสิทธิ์ของจิตใจมนุษย์ในความรู้แห่งความเป็นจริง นั่นคือเราไม่สามารถพูดได้ว่าเราจะสร้างทฤษฎีจักรวาลที่ครอบคลุมซึ่งจะอธิบายทุกสิ่ง - ทฤษฎีดังกล่าวไม่สามารถเป็นวิทยาศาสตร์ได้

— ตอนนี้นักคณิตศาสตร์รู้สึกอย่างไรกับทฤษฎีบทของเกอเดล? ไม่มีใครพยายามหักล้างพวกเขาหรือหลีกเลี่ยงพวกเขาใช่ไหม?

“มันเหมือนกับการพยายามหักล้างทฤษฎีบทพีทาโกรัส” ทฤษฎีบทมีการพิสูจน์เชิงตรรกะที่เข้มงวด ในเวลาเดียวกัน ก็มีความพยายามค้นหาข้อจำกัดในการบังคับใช้ทฤษฎีบทของโกเดล แต่การถกเถียงส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับผลกระทบทางปรัชญาของทฤษฎีบทของโกเดล

— หลักฐานการดำรงอยู่ของพระเจ้าของโกเดลได้รับการพัฒนาไปไกลแค่ไหน? เสร็จแล้วเหรอ?

“มันถูกทำอย่างละเอียด แม้ว่านักวิทยาศาสตร์เองก็ไม่กล้าตีพิมพ์จนกระทั่งเขาเสียชีวิต” Gödelพัฒนาภววิทยา (เลื่อนลอย - "เอ็นเอส") ข้อโต้แย้งที่เสนอครั้งแรกโดยแอนเซล์มแห่งแคนเทอร์เบอรี ในรูปแบบย่อ ข้อโต้แย้งนี้สามารถนำเสนอได้ดังนี้: “ตามคำจำกัดความแล้ว พระเจ้าคือผู้ที่ไม่มีอะไรยิ่งใหญ่กว่าที่จะคิดได้ พระเจ้าดำรงอยู่ในความคิด แต่การดำรงอยู่ในความเป็นจริงเป็นมากกว่าการดำรงอยู่ในความคิดเท่านั้น ดังนั้นพระเจ้าจึงต้องดำรงอยู่" ข้อโต้แย้งของ Anselm ได้รับการพัฒนาในภายหลังโดย René Descartes และ Gottfried Wilhelm Leibniz ดังนั้น ตามที่เดส์การตส์กล่าวไว้ การคิดถึงความเป็นอยู่ที่สมบูรณ์แบบสูงสุด ซึ่งขาดการดำรงอยู่ หมายถึงการตกอยู่ในความขัดแย้งทางตรรกะ ในบริบทของแนวคิดเหล่านี้ Gödel ได้พัฒนาข้อพิสูจน์ในเวอร์ชันของเขา ซึ่งมีขนาดพอดีกับสองหน้าอย่างแท้จริง น่าเสียดายที่เป็นไปไม่ได้ที่จะนำเสนอข้อโต้แย้งของเขาโดยไม่แนะนำพื้นฐานของโมดอลลอจิกที่ซับซ้อนมาก

แน่นอนว่าความไร้ที่ติเชิงตรรกะของข้อสรุปของGödelไม่ได้บังคับให้บุคคลหนึ่งกลายเป็นผู้เชื่อภายใต้แรงกดดันของพลังแห่งหลักฐาน เราไม่ควรไร้เดียงสาและเชื่อว่าเราสามารถโน้มน้าวบุคคลที่มีเหตุผลให้เชื่อในพระเจ้าได้โดยใช้ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับภววิทยาหรือหลักฐานอื่น ๆ ศรัทธาเกิดขึ้นเมื่อบุคคลเผชิญหน้ากันต่อหน้าการปรากฏที่ชัดเจนของความเป็นจริงสูงสุดของพระเจ้า แต่เราสามารถตั้งชื่อบุคคลได้อย่างน้อยหนึ่งคนที่การพิสูจน์ภววิทยานำไปสู่ศรัทธาทางศาสนา - นักเขียน Clive Staples Lewis เขาเองก็ยอมรับสิ่งนี้

อนาคตอันไกลโพ้นคืออดีตอันไกลโพ้น

— ผู้ร่วมสมัยปฏิบัติต่อGödelอย่างไร? เขาเป็นเพื่อนกับนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนใดหรือไม่?

— ผู้ช่วยของไอน์สไตน์ที่พรินซ์ตันเป็นพยานว่าบุคคลเพียงคนเดียวที่เขาเป็นเพื่อนด้วยในช่วงปีสุดท้ายของชีวิตคือเคิร์ต โกเดล พวกเขาแตกต่างกันเกือบทุกอย่าง - ไอน์สไตน์เป็นคนเข้ากับคนง่ายและร่าเริง ในขณะที่โกเดลเป็นคนจริงจังอย่างยิ่ง โดดเดี่ยวโดยสิ้นเชิงและไม่ไว้วางใจ แต่พวกเขามีคุณสมบัติที่เหมือนกัน: ทั้งคู่ตรงไปที่คำถามสำคัญของวิทยาศาสตร์และปรัชญาอย่างจริงใจ แม้ว่าเขาจะเป็นเพื่อนกับไอน์สไตน์ แต่โกเดลก็มีมุมมองต่อศาสนาโดยเฉพาะ เขาปฏิเสธความคิดของพระเจ้าในฐานะที่ไม่มีตัวตนเหมือนที่พระเจ้าทรงมีไว้สำหรับไอน์สไตน์ ในโอกาสนี้ เกอเดลกล่าวว่า “ศาสนาของไอน์สไตน์เป็นนามธรรมเกินไป เหมือนกับปรัชญาของสปิโนซาและอินเดีย พระเจ้าของสปิโนซานั้นน้อยกว่าบุคคล พระเจ้าของข้าพเจ้าทรงเป็นมากกว่าบุคคล เนื่องจากพระเจ้าสามารถมีบทบาทเป็นบุคลิกภาพได้” อาจมีวิญญาณที่ไม่มีร่างกายแต่สามารถสื่อสารกับเราและมีอิทธิพลต่อโลกได้”

— Gödelไปอยู่ที่อเมริกาได้อย่างไร? หนีจากพวกนาซีเหรอ?

— ใช่ เขาเดินทางมาจากเยอรมนีที่อเมริกาในปี 1940 แม้ว่าพวกนาซีจะจำเขาได้ว่าเป็นชาวอารยันและเป็นนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ แต่ก็ได้รับการยกเว้นจากการรับราชการทหาร เขาและอเดลภรรยาของเขาเดินทางผ่านรัสเซียไปตามเส้นทางรถไฟสายทรานส์ไซบีเรีย เขาไม่ทิ้งความทรงจำเกี่ยวกับการเดินทางครั้งนี้ อเดลจำได้แค่เพียงความกลัวในตอนกลางคืนที่พวกเขาจะหยุดเขาและหันหลังให้เขา หลังจากใช้ชีวิตในอเมริกามาแปดปี Gödel ก็กลายเป็นพลเมืองของสหรัฐอเมริกา เช่นเดียวกับผู้ยื่นขอสัญชาติทุกคน เขาต้องตอบคำถามเกี่ยวกับรัฐธรรมนูญของอเมริกา เนื่องจากเป็นคนรอบคอบ เขาจึงเตรียมการสอบนี้อย่างระมัดระวัง ในที่สุดเขาก็กล่าวว่าเขาพบความไม่สอดคล้องกันในรัฐธรรมนูญ: “ฉันได้ค้นพบความเป็นไปได้ที่ถูกต้องตามกฎหมายซึ่งสหรัฐอเมริกาสามารถกลายเป็นเผด็จการได้” เพื่อนของเขาตระหนักดีว่า ความเป็นไปได้นี้เป็นเพียงสมมุติฐานเท่านั้น โดยไม่คำนึงถึงข้อดีเชิงตรรกะของการโต้แย้งของ Gödel และเตือนไม่ให้พูดยาวเกี่ยวกับหัวข้อนี้ในการสอบ

— Gödel และ Einstein ใช้ความคิดของกันและกันในงานทางวิทยาศาสตร์หรือไม่?

— ในปี 1949 Gödel ได้แสดงแนวคิดเกี่ยวกับจักรวาลวิทยาของเขาในบทความทางคณิตศาสตร์ ซึ่งตามที่ Albert Einstein กล่าวว่ามีส่วนสนับสนุนที่สำคัญต่อทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป Gödel เชื่อว่าเวลานั้น “สิ่งลึกลับและในขณะเดียวกันก็ขัดแย้งในตัวเองซึ่งเป็นรากฐานของโลกและการดำรงอยู่ของเราเอง” จะกลายเป็นภาพลวงตาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในที่สุด “สักวันหนึ่ง” ก็จะสิ้นสุดลง และการดำรงอยู่รูปแบบอื่นจะเกิดขึ้น ซึ่งอาจเรียกได้ว่าเป็นนิรันดร์ ความคิดเรื่องเวลานี้ทำให้นักตรรกวิทยาผู้ยิ่งใหญ่ได้ข้อสรุปที่ไม่คาดคิด เขาเขียนว่า “ผมเชื่อมั่นในชีวิตหลังความตาย โดยไม่คำนึงถึงเทววิทยา หากโลกได้รับการออกแบบอย่างชาญฉลาด ชีวิตหลังความตายก็ต้องเกิดขึ้น"

- “เวลาเป็นสิ่งที่ขัดแย้งในตัวเอง” ฟังดูแปลก; สิ่งนี้มีความหมายทางกายภาพไหม?

— Gödel แสดงให้เห็นว่าภายในกรอบของสมการของไอน์สไตน์ เป็นไปได้ที่จะสร้างแบบจำลองทางจักรวาลวิทยาในเวลาปิด โดยที่อดีตอันไกลโพ้นและอนาคตอันไกลนั้นตรงกัน ในแบบจำลองนี้ การเดินทางข้ามเวลาเป็นไปได้ในทางทฤษฎี ฟังดูแปลก แต่สามารถแสดงออกได้ทางคณิตศาสตร์ นั่นคือประเด็น โมเดลนี้อาจมีหรือไม่มีผลจากการทดลองก็ได้ เป็นโครงสร้างทางทฤษฎีที่อาจมีประโยชน์ในการสร้างแบบจำลองทางจักรวาลวิทยาใหม่ หรืออาจกลายเป็นสิ่งไม่จำเป็น ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีสมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจักรวาลวิทยาควอนตัม มีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนจนเป็นเรื่องยากมากที่จะให้ความเข้าใจเชิงปรัชญาที่ชัดเจนกับโครงสร้างเหล่านี้ นอกจากนี้ การออกแบบทางทฤษฎีบางส่วนยังไม่สามารถทดสอบได้ด้วยการทดลอง ด้วยเหตุผลง่ายๆ ที่ว่าการตรวจสอบนั้นจำเป็นต้องมีการตรวจจับอนุภาคพลังงานสูงมาก โปรดจำไว้ว่าผู้คนต่างตื่นตระหนกเกี่ยวกับการเปิดตัว Large Hadron Collider: สื่อต่างๆ ต่างหวาดกลัวผู้คนอยู่ตลอดเวลาว่าอวสานของโลกกำลังใกล้เข้ามา อันที่จริง มีการทดลองทางวิทยาศาสตร์อย่างจริงจังเพื่อทดสอบแบบจำลองจักรวาลวิทยาควอนตัมและสิ่งที่เรียกว่า "ทฤษฎีรวมใหญ่" หากเป็นไปได้ที่จะตรวจจับสิ่งที่เรียกว่าอนุภาคฮิกส์ นี่จะเป็นอีกก้าวหนึ่งในความเข้าใจของเราเกี่ยวกับระยะแรกสุดของการดำรงอยู่ของจักรวาลของเรา แม้ว่าจะไม่มีข้อมูลการทดลอง แต่แบบจำลองจักรวาลวิทยาควอนตัมที่แข่งขันกันยังคงเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียว

ศรัทธาและสัญชาตญาณ

— “...พระเจ้าของฉันเป็นมากกว่าบุคคล ในเมื่อพระเจ้าทรงสามารถแสดงบทบาทของบุคคลได้...” ถึงกระนั้น ศรัทธาของโกเดลก็ยังห่างไกลจากคำสารภาพของชาวออร์โธดอกซ์ใช่ไหม

— คำกล่าวของเกอเดลเกี่ยวกับศรัทธาของเขาน้อยมากที่ยังคงอยู่ และถูกรวบรวมทีละน้อย แม้ว่าGödelจะร่างข้อโต้แย้งในเวอร์ชันของเขาเองเป็นครั้งแรกในปี 1941 จนถึงปี 1970 ด้วยกลัวเพื่อนร่วมงานจะเยาะเย้ย แต่เขาก็ไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้ ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2513 เมื่อสัมผัสได้ว่าความตายกำลังใกล้เข้ามา เขาจึงอนุญาตให้ผู้ช่วยคัดลอกหลักฐานฉบับหนึ่งของเขา หลังจากการเสียชีวิตของเกอเดลในปี พ.ศ. 2521 มีการค้นพบข้อโต้แย้งทางภววิทยาที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในเอกสารของเขา อเดล ภรรยาของเคิร์ต โกเดล กล่าวสองวันหลังจากสามีของเธอเสียชีวิตว่า โกเดล "แม้ว่าเขาจะไม่ได้ไปโบสถ์ แต่ยังคงเคร่งศาสนาและอ่านพระคัมภีร์บนเตียงทุกเช้าวันอาทิตย์"

เมื่อเราพูดถึงนักวิทยาศาสตร์อย่างโกเดล ไอน์สไตน์ หรือเช่น กาลิเลโอ หรือนิวตัน สิ่งสำคัญคือต้องเน้นว่าพวกเขาไม่ใช่พระเจ้า พวกเขาเห็นว่าเบื้องหลังจักรวาลนั้นมีจิตใจ ซึ่งเป็นพลังที่สูงกว่า สำหรับนักวิทยาศาสตร์หลายคน ความเชื่อมั่นในการดำรงอยู่ของจิตใจสูงสุดเป็นหนึ่งในผลที่ตามมาของการไตร่ตรองทางวิทยาศาสตร์ และการไตร่ตรองนี้ไม่ได้นำไปสู่การเกิดขึ้นของความสัมพันธ์ทางศาสนาที่ลึกซึ้งระหว่างบุคคลกับพระเจ้าเสมอไป ในความสัมพันธ์กับโกเดล เราสามารถพูดได้ว่าเขารู้สึกถึงความจำเป็นในการเชื่อมโยงนี้ เนื่องจากเขาเน้นย้ำว่าเขาเป็นคนไม่เชื่อและคิดว่าพระเจ้าเป็นบุคคล แต่แน่นอนว่าศรัทธาของเขาไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นออร์โธดอกซ์ พูดง่ายๆ ก็คือเขาเป็น "บ้านลูเธอรัน"

— คุณช่วยยกตัวอย่างทางประวัติศาสตร์ได้ไหม: นักวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ เชื่อในพระเจ้าได้อย่างไร? นี่คือนักพันธุศาสตร์ฟรานซิส คอลลินส์ ตามคำสารภาพของเขา การศึกษาโครงสร้างของ DNA ทำให้เขาศรัทธาในพระเจ้า...

— ความรู้ตามธรรมชาติของพระเจ้าในตัวมันเองไม่เพียงพอสำหรับความรู้เกี่ยวกับพระเจ้า การค้นพบพระเจ้าโดยการศึกษาธรรมชาตินั้นไม่เพียงพอ สิ่งสำคัญคือต้องเรียนรู้ที่จะรู้จักพระองค์ผ่านการเปิดเผยที่พระเจ้าประทานแก่มนุษย์ การมาสู่ศรัทธาของบุคคล ไม่ว่าเขาจะเป็นนักวิทยาศาสตร์หรือไม่ก็ตาม จะต้องอาศัยบางสิ่งที่นอกเหนือไปจากการโต้แย้งเชิงตรรกะหรือทางวิทยาศาสตร์เสมอ ฟรานซิส คอลลินส์เขียนว่าเขาเริ่มมีศรัทธาเมื่ออายุ 27 ปี หลังจากการถกเถียงทางปัญญากับตัวเองมายาวนาน และอยู่ภายใต้อิทธิพลของไคลฟ์ สเตเปิลส์ ลูอิส คนสองคนอยู่ในสถานการณ์ทางประวัติศาสตร์เดียวกัน ในเงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกัน คนหนึ่งกลายเป็นผู้ศรัทธา และอีกคนไม่เชื่อในพระเจ้า ประการแรก การศึกษา DNA นำไปสู่ความเชื่อในการมีอยู่จริงของพระเจ้า การศึกษาอื่นและไม่ได้ข้อสรุปนี้ คนสองคนดูภาพหนึ่ง คนหนึ่งคิดว่ามันสวยงาม และอีกคนหนึ่งพูดว่า: "พอใช้ได้ เป็นภาพธรรมดา!" คนหนึ่งมีรสนิยม มีสัญชาตญาณ และอีกคนไม่มี ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยมนุษยธรรมแห่งออร์โธดอกซ์ St. Tikhon Vladimir Nikolaevich Katasonov นักปรัชญาดุษฎีบัณฑิตนักคณิตศาสตร์จากการศึกษาครั้งแรกกล่าวว่า: "ไม่มีการพิสูจน์ในวิชาคณิตศาสตร์ที่เป็นไปไม่ได้หากไม่มีสัญชาตญาณ: นักคณิตศาสตร์เห็นภาพก่อนแล้วจึงกำหนดหลักฐาน"

คำถามเรื่องการมาสู่ศรัทธาของบุคคลนั้นเป็นคำถามที่นอกเหนือไปจากการใช้เหตุผลเชิงตรรกะเสมอ คุณจะอธิบายได้อย่างไรว่าอะไรทำให้คุณมีศรัทธา ชายคนนั้นตอบว่า: ฉันไปวัด คิด อ่านเรื่องนี้ เห็นความกลมกลืนของจักรวาล แต่สิ่งที่สำคัญที่สุด คือช่วงเวลาพิเศษที่สุดที่บุคคลรู้ทันทีว่าเขาได้พบกับการสถิตอยู่ของพระเจ้านั้นไม่สามารถแสดงออกมาได้ มันเป็นเรื่องลึกลับเสมอ

— คุณสามารถระบุปัญหาที่วิทยาศาสตร์สมัยใหม่ไม่สามารถแก้ไขได้หรือไม่?

— ท้ายที่สุดแล้ว วิทยาศาสตร์เป็นองค์กรที่มีความมั่นใจ เป็นอิสระ และก้าวหน้าไปมากพอที่จะพูดออกมาอย่างรุนแรงได้ มันเป็นเครื่องมือที่ดีและมีประโยชน์มากในมือมนุษย์ ตั้งแต่สมัยฟรานซิส เบคอน ความรู้ได้กลายเป็นพลังที่เปลี่ยนแปลงโลกอย่างแท้จริง วิทยาศาสตร์พัฒนาตามกฎภายใน: นักวิทยาศาสตร์มุ่งมั่นที่จะเข้าใจกฎของจักรวาลและไม่ต้องสงสัยเลยว่าการค้นหานี้จะนำไปสู่ความสำเร็จอย่างไม่ต้องสงสัย แต่ในขณะเดียวกันก็ต้องตระหนักถึงขอบเขตของวิทยาศาสตร์ด้วย เราไม่ควรสับสนระหว่างวิทยาศาสตร์กับคำถามเชิงอุดมการณ์ที่สามารถหยิบยกขึ้นมาเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ได้ ปัญหาสำคัญในปัจจุบันไม่เกี่ยวข้องกับวิธีการทางวิทยาศาสตร์มากนักในเรื่องคุณค่าของการวางแนว วิทยาศาสตร์ในช่วงศตวรรษที่ 20 อันยาวนานถูกมองว่าเป็นประโยชน์อย่างยิ่งต่อความก้าวหน้าของมนุษยชาติ และเราเห็นว่าศตวรรษที่ 20 กลายเป็นศตวรรษที่โหดร้ายที่สุดในแง่ของการบาดเจ็บล้มตายของมนุษย์ และนี่คือคำถามที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับคุณค่าของความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ ความรู้โดยทั่วไป ค่านิยมทางจริยธรรมไม่ได้ตามมาจากวิทยาศาสตร์นั่นเอง นักวิทยาศาสตร์ที่เก่งกาจสามารถประดิษฐ์อาวุธเพื่อทำลายมวลมนุษยชาติได้ และทำให้เกิดคำถามเกี่ยวกับความรับผิดชอบทางศีลธรรมของนักวิทยาศาสตร์ ซึ่งวิทยาศาสตร์ไม่สามารถตอบได้ วิทยาศาสตร์ไม่สามารถชี้ให้มนุษย์ทราบถึงความหมายและจุดประสงค์ของการดำรงอยู่ของเขาได้ วิทยาศาสตร์ไม่มีวันตอบคำถามได้ว่าทำไมเราถึงมาอยู่ที่นี่? ทำไมจักรวาลจึงมีอยู่? คำถามเหล่านี้ได้รับการแก้ไขในอีกระดับของความรู้ เช่น ปรัชญาและศาสนา

— นอกจากทฤษฎีบทของเกอเดลแล้ว มีหลักฐานอื่นใดที่แสดงว่าวิธีการทางวิทยาศาสตร์มีขีดจำกัดหรือไม่? นักวิทยาศาสตร์เองยอมรับเรื่องนี้หรือไม่?

— เมื่อต้นศตวรรษที่ 20 นักปรัชญา Bergson และ Husserl ชี้ให้เห็นถึงความสำคัญเชิงสัมพันธ์ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับธรรมชาติ ปัจจุบันนี้กลายเป็นความเชื่อสากลในหมู่นักปรัชญาวิทยาศาสตร์ที่ว่าทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เป็นตัวแทนของแบบจำลองสมมุติฐานในการอธิบายปรากฏการณ์ เออร์วิน ชโรดิงเงอร์ ผู้สร้างกลศาสตร์ควอนตัมคนหนึ่งกล่าวว่าอนุภาคมูลฐานเป็นเพียงภาพ แต่เราสามารถทำได้ง่ายๆ โดยไม่มีอนุภาคเหล่านั้น ตามที่นักปรัชญาและนักตรรกศาสตร์ Karl Popper กล่าว ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เป็นเหมือนตาข่ายที่เราพยายามจับโลกไว้ พวกมันไม่เหมือนรูปถ่าย ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์มีการพัฒนาและเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ผู้สร้างกลศาสตร์ควอนตัม เช่น เพาลี บอร์ และไฮเซนเบิร์ก พูดถึงขอบเขตของวิธีการทางวิทยาศาสตร์ เพาลีเขียนว่า: "...ฟิสิกส์และจิตใจถือได้ว่าเป็นแง่มุมเพิ่มเติมของความเป็นจริงเดียวกัน" - และมุ่งเน้นไปที่ความไม่สามารถลดทอนของการดำรงอยู่ในระดับที่สูงขึ้นไปยังระดับที่ต่ำกว่า คำอธิบายต่างๆ ครอบคลุมเพียงแง่มุมเดียวของสสารในแต่ละครั้ง แต่ทฤษฎีที่ครอบคลุมจะไม่มีวันบรรลุผลสำเร็จ

ความงามและความกลมกลืนของจักรวาลสันนิษฐานถึงความเป็นไปได้ของความรู้โดยวิธีการทางวิทยาศาสตร์ ในขณะเดียวกัน คริสเตียนก็เข้าใจอยู่เสมอถึงความลึกลับที่อยู่เบื้องหลังจักรวาลวัตถุนี้ที่ไม่อาจเข้าใจได้ จักรวาลไม่มีพื้นฐานในตัวเองและชี้ไปที่แหล่งที่มาของการดำรงอยู่ที่สมบูรณ์แบบซึ่งก็คือพระเจ้า

นิเวศวิทยาแห่งชีวิต วิทยาศาสตร์และการค้นพบ: ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ซึ่งเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดมีทั้งโชคดีและโชคร้าย ในที่นี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ ในด้านหนึ่ง เกือบทุกคนเคยได้ยินบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา จากการตีความอีกแบบหนึ่ง ทฤษฎีของไอน์สไตน์ “บอกว่าทุกสิ่งในโลกมีความเกี่ยวข้องกัน”

ทฤษฎีบท Gödelเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ซึ่งเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุด มีทั้งโชคดีและโชคร้ายในเวลาเดียวกัน ในที่นี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์

ในด้านหนึ่ง เกือบทุกคนเคยได้ยินบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา ในทางกลับกันในการตีความที่เป็นที่นิยม ทฤษฎีของไอน์สไตน์ดังที่ทราบกันดีว่า" บอกว่าทุกสิ่งในโลกล้วนสัมพันธ์กัน" ก ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล(ต่อไปนี้จะเรียกง่ายๆ ว่า TGN) ในกฎเกณฑ์พื้นบ้านเสรีเดียวกันโดยประมาณ “ พิสูจน์ว่ามีสิ่งที่จิตใจมนุษย์ไม่สามารถเข้าใจได้».

ดังนั้นบางคนจึงพยายามปรับใช้เพื่อเป็นการโต้แย้งต่อต้านการสบถลัทธิเรียลนิยม ในขณะที่คนอื่น ๆ พิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือว่าไม่มีพระเจ้า . สิ่งที่น่าตลกไม่ใช่เพียงว่าทั้งสองฝ่ายไม่สามารถถูกในเวลาเดียวกันได้เท่านั้น แต่ยังไม่มีใครสนใจที่จะคิดว่าทฤษฎีบทนี้กล่าวถึงอะไรจริงๆ

แล้วไงล่ะ? ด้านล่างฉันจะพยายามบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ "บนนิ้ว" แน่นอนว่าการนำเสนอของฉันจะต้องไม่เข้มงวดและเป็นไปตามสัญชาตญาณ แต่ฉันจะขอให้นักคณิตศาสตร์อย่าตัดสินฉันอย่างเคร่งครัด เป็นไปได้ว่าสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ซึ่งอันที่จริง ฉันเป็นคนหนึ่ง) จะมีสิ่งใหม่และมีประโยชน์ในสิ่งที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน และที่สำคัญที่สุดคือยังไม่คุ้นเคยมากนักต้องใช้ความระมัดระวังและกลยุทธ์ที่เข้มงวด ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนระหว่างสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์จริงกับสิ่งที่ "ชัดเจนอยู่แล้ว" อย่างไรก็ตาม ฉันหวังว่าเพื่อให้เข้าใจ "โครงร่างการพิสูจน์ TGN" ต่อไปนี้ ผู้อ่านจะต้องการความรู้ด้านคณิตศาสตร์/วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ระดับมัธยมปลาย ทักษะการคิดเชิงตรรกะ และเวลา 15-20 นาทีเท่านั้น

เพื่อให้ง่ายขึ้นบ้าง TGN ให้เหตุผลว่าในภาษาที่ซับซ้อนเพียงพอมีข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้แต่ในวลีนี้เกือบทุกคำต้องการคำอธิบาย

เริ่มต้นด้วยการพยายามหาว่าข้อพิสูจน์คืออะไรเรามาลองแก้โจทย์เลขคณิตของโรงเรียนกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรง่ายๆ ต่อไปนี้: “∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)” (ฉันขอเตือนคุณว่าสัญลักษณ์ ∀ อ่านอยู่ “สำหรับใดๆ” และเรียกว่า “ปริมาณสากล” ) คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยการแปลงมันเหมือนกัน เช่น:

    ∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)

    ∀xx2−3x+2−2=x2−3x

    ∀xx2−3x–x2+3x=0

    ∀x0=0

    จริง

การเปลี่ยนจากสูตรหนึ่งไปอีกสูตรหนึ่งเกิดขึ้นตามกฎเกณฑ์บางประการที่รู้จักกันดี การเปลี่ยนจากสูตรที่ 4 ไปเป็นสูตรที่ 5 เกิดขึ้นเพราะทุกจำนวนมีค่าเท่ากับตัวมันเอง - นี่คือสัจพจน์ของเลขคณิต และขั้นตอนการพิสูจน์ทั้งหมดจึงแปลสูตรเป็นค่าบูลีน TRUE ผลลัพธ์อาจเป็น LIE ก็ได้ หากเราหักล้างสูตรบางอย่าง ในกรณีนี้ เราจะพิสูจน์การปฏิเสธของมัน เราสามารถจินตนาการถึงโปรแกรม (และโปรแกรมดังกล่าวได้ถูกเขียนขึ้นจริง ๆ ) ที่จะพิสูจน์ข้อความที่คล้ายกัน (และซับซ้อนกว่า) โดยปราศจากการแทรกแซงของมนุษย์

เรามาระบุสิ่งเดียวกันอย่างเป็นทางการอีกหน่อยขอให้เรามีชุดที่ประกอบด้วยสตริงของอักขระของตัวอักษรบางตัว และมีกฎที่เราสามารถเลือกเซตย่อย S จากสตริงเหล่านี้ได้ คำสั่งที่เรียกว่า - นั่นคือวลีที่มีความหมายทางไวยากรณ์ซึ่งแต่ละวลีเป็นจริงหรือเท็จ. เราสามารถพูดได้ว่ามีฟังก์ชัน P ที่กำหนดคำสั่งจาก S หนึ่งในสองค่า: TRUE หรือ FALSE (นั่นคือ แมปพวกมันกับชุดบูลีน B ของสององค์ประกอบ)

เรียกคู่นี้ว่า.- เซตของคำสั่ง S และฟังก์ชัน P จาก >S ถึง B - “ภาษาแห่งถ้อยคำ”. โปรดทราบว่าในชีวิตประจำวัน แนวคิดเรื่องภาษาค่อนข้างกว้างกว่า เช่น วลีภาษารัสเซีย “ มานี่สิ!"ไม่เป็นความจริงหรือเท็จ กล่าวคือ จากมุมมองของตรรกะทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่ข้อความ

สำหรับสิ่งต่อไปนี้ เราต้องการแนวคิดของอัลกอริทึมฉันจะไม่ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการที่นี่ - นั่นจะทำให้เราหลงทางไปไกลมาก ฉันจะจำกัดตัวเองอยู่แค่แบบไม่เป็นทางการ: “อัลกอริทึม” คือลำดับของคำสั่งที่ชัดเจน (“โปรแกรม”) ซึ่งแปลงข้อมูลเริ่มต้นเป็นผลลัพธ์ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด

สิ่งที่เป็นตัวเอียงมีความสำคัญโดยพื้นฐาน - หากโปรแกรมวนซ้ำข้อมูลเริ่มต้นบางส่วน โปรแกรมจะไม่อธิบายอัลกอริทึม เพื่อความเรียบง่ายและการประยุกต์ใช้ในกรณีของเรา ผู้อ่านสามารถพิจารณาว่าอัลกอริธึมคือโปรแกรมที่เขียนด้วยภาษาการเขียนโปรแกรมใดๆ ที่เขารู้จัก ซึ่งสำหรับข้อมูลอินพุตใดๆ จากคลาสที่กำหนด รับประกันว่าจะทำงานให้เสร็จสิ้นโดยสร้างผลลัพธ์แบบบูลีน

ลองถามตัวเองดู: สำหรับทุกฟังก์ชัน P จะมี "อัลกอริธึมการพิสูจน์" (หรือเรียกสั้นๆ ว่า " นิรนัย") เทียบเท่ากับฟังก์ชันนี้ กล่าวคือ การแปลงแต่ละคำสั่งให้เป็นค่าบูลีนที่เหมือนกันทุกประการ คำถามเดียวกันนี้สามารถกำหนดให้กระชับยิ่งขึ้น: ทุกฟังก์ชันบนชุดคำสั่งสามารถคำนวณได้หรือไม่?

ดังที่คุณเดาแล้ว จากความถูกต้องของ TGN ตามมาว่าไม่ ไม่ใช่ทุกฟังก์ชัน - มีฟังก์ชันประเภทนี้ที่คำนวณไม่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ใช่ทุกข้อความที่แท้จริงที่สามารถพิสูจน์ได้

เป็นไปได้มากว่าข้อความนี้จะทำให้เกิดการประท้วงภายในตัวคุณ นี่เป็นเพราะสถานการณ์หลายประการ ประการแรก เมื่อเราสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียน บางครั้งเราเกิดความรู้สึกผิดๆ ว่าวลี “ทฤษฎีบท X เป็นจริง” และ “ทฤษฎีบท X สามารถพิสูจน์หรือตรวจสอบได้” นั้นแทบจะเหมือนกันทุกประการ

แต่ถ้าคุณลองคิดดูแล้ว มันก็ไม่ชัดเจนเลย ทฤษฎีบทบางทฤษฎีได้รับการพิสูจน์ค่อนข้างง่าย (เช่น โดยการลองใช้ตัวเลือกจำนวนเล็กน้อย) ในขณะที่บางทฤษฎีก็ยากมาก ให้เรานึกถึงมหาราชผู้โด่งดัง ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์:

ไม่มี x,y,z และ n>2 โดยธรรมชาติที่ xn+yn=zn

ข้อพิสูจน์นี้พบเพียงสามศตวรรษครึ่งหลังจากสูตรแรก (และยังห่างไกลจากระดับประถมศึกษา) กับ เราต้องแยกแยะระหว่างความจริงของข้อความและความพิสูจน์ได้ไม่ได้ติดตามจากทุกที่ว่าไม่มีข้อความที่เป็นความจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้ (และไม่สามารถตรวจสอบได้ทั้งหมด)

ข้อโต้แย้งตามสัญชาตญาณประการที่สองต่อ TGN นั้นละเอียดอ่อนกว่าสมมติว่าเรามีประโยคที่พิสูจน์ไม่ได้ (ภายในกรอบของประโยคนิรนัยนี้) อะไรขัดขวางไม่ให้เรายอมรับว่ามันเป็นสัจพจน์ใหม่ ดังนั้นเราจะทำให้ระบบหลักฐานของเราซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่ก็ไม่น่ากลัว

ข้อโต้แย้งนี้จะถูกต้องโดยสมบูรณ์หากมีข้อความที่พิสูจน์ไม่ได้จำนวนจำกัด ในทางปฏิบัติ สิ่งต่อไปนี้สามารถเกิดขึ้นได้: หลังจากตั้งหลักสัจพจน์ใหม่แล้ว คุณจะสะดุดกับข้อความใหม่ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้. หากคุณยอมรับว่าเป็นสัจพจน์อื่น คุณจะสะดุดกับสัจพจน์ที่สาม และไม่มีที่สิ้นสุด

พวกเขาพูดอย่างนั้น การหักเงินจะยังคงไม่สมบูรณ์. นอกจากนี้เรายังสามารถบังคับอัลกอริธึมการพิสูจน์ให้เสร็จสิ้นในจำนวนขั้นตอนที่จำกัดพร้อมกับผลลัพธ์บางอย่างสำหรับคำพูดของภาษาใดๆ ก็ตาม แต่ขณะเดียวกันเขาจะเริ่มโกหก - นำไปสู่ความจริงด้วยคำพูดที่ไม่ถูกต้องหรือโกหก - สำหรับผู้ศรัทธา

ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาบอกว่าการหักเงินขัดแย้งกัน ดังนั้นอีกสูตรหนึ่งของ TGN จึงมีเสียงดังนี้: “ มีภาษาเชิงประพจน์ซึ่งกระบวนการนิรนัยที่สอดคล้องกันโดยสมบูรณ์เป็นไปไม่ได้" - ดังนั้นชื่อของทฤษฎีบท

บางครั้งเรียกว่า "ทฤษฎีบทของเกอเดล" ข้อความก็คือว่าทฤษฎีใดๆ มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ภายในกรอบของทฤษฎีนั้นเอง และจำเป็นต้องมีการสรุปทั่วไป ในแง่หนึ่งนี่เป็นเรื่องจริง แม้ว่าการกำหนดนี้มีแนวโน้มที่จะปิดบังปัญหามากกว่าที่จะชี้แจงให้ชัดเจน

ฉันจะสังเกตด้วยว่าหากเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันที่คุ้นเคยซึ่งแมปชุดของจำนวนจริงเข้ากับมัน ดังนั้น "ความสามารถในการคำนวณไม่ได้" ของฟังก์ชันนี้จะไม่ทำให้ใครแปลกใจ (แต่อย่าสับสนระหว่าง "ฟังก์ชันที่คำนวณได้" และ "ตัวเลขที่คำนวณได้" " - สิ่งเหล่านี้ต่างกัน)

เคิร์ท โกเดล

เด็กนักเรียนคนใดรู้ว่าในกรณีของฟังก์ชัน sin⁡x คุณจะต้องโชคดีมากกับการโต้แย้งเพื่อให้กระบวนการคำนวณการแทนทศนิยมที่แน่นอนของค่าของฟังก์ชันนี้เสร็จสมบูรณ์ในจำนวนจำกัด ของขั้นตอน

แต่เป็นไปได้มากว่าคุณจะคำนวณโดยใช้อนุกรมอนันต์ และการคำนวณนี้จะไม่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่แน่นอน แม้ว่าจะใกล้เคียงกันเท่าที่คุณต้องการก็ตาม - เพียงเพราะว่าค่าไซน์ของอาร์กิวเมนต์ส่วนใหญ่นั้นไม่มีเหตุผล. TGN เพียงบอกเราว่าแม้ในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นสตริงและมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่ง แต่ก็ยังมีฟังก์ชันที่ไม่สามารถคำนวณได้แม้ว่าจะมีโครงสร้างที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

เพื่อวัตถุประสงค์เพิ่มเติม เราจะอธิบาย "ภาษาของเลขคณิตแบบเป็นทางการ"พิจารณาคลาสของสตริงข้อความที่มีความยาวจำกัดซึ่งประกอบด้วยตัวเลขอารบิก ตัวแปร (ตัวอักษรของอักษรละติน) ที่รับค่าธรรมชาติ การเว้นวรรค เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ ความเท่าเทียมกันและอสมการ ปริมาณ ∃ (“มีอยู่”) และ ∀ (“สำหรับใดๆ”) และบางทีอาจเป็นสัญลักษณ์อื่นๆ (จำนวนและองค์ประกอบที่แน่นอนนั้นไม่สำคัญสำหรับเรา)

เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกบรรทัดที่มีความหมาย (เช่น “12=+∀x>” เป็นเรื่องไร้สาระ) ชุดย่อยของนิพจน์ที่มีความหมายจากคลาสนี้ (นั่นคือ สตริงที่เป็นจริงหรือเท็จจากมุมมองของเลขคณิตธรรมดา) จะเป็นชุดคำสั่งของเรา

ตัวอย่างคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ:

    1=1

    2×2=5

    ∃xx>3

    ∀y∀zy×z>y+ z

ฯลฯ ตอนนี้ขอเรียก "สูตรที่มีพารามิเตอร์อิสระ" (FSP) ว่าสตริงที่กลายเป็นคำสั่งหากแทนที่จำนวนธรรมชาติเป็นพารามิเตอร์นี้ ตัวอย่างของ FSP (พร้อมพารามิเตอร์ x):

    x=0

    2×2=x

    ∃yx+y>x

ฯลฯ กล่าวอีกนัยหนึ่ง FSP เทียบเท่ากับฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติที่มีค่าบูลีน

ให้เราแสดงเซตของ FSP ทั้งหมดด้วยตัวอักษร F เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถเรียงลำดับได้ (เช่น ก่อนอื่นเราเขียนสูตรที่มีตัวอักษรตัวเดียวเรียงตามตัวอักษร ตามด้วยสูตรที่มีตัวอักษรสองตัว เป็นต้น ซึ่งไม่สำคัญเลย สำหรับเราว่าการสั่งซื้อจะเกิดขึ้นตามตัวอักษรใด) ดังนั้น FSP ใดๆ จะสอดคล้องกับหมายเลข k ในรายการเรียงลำดับ และเราจะแสดงว่าเป็น Fk

ตอนนี้เรามาดูภาพร่างการพิสูจน์ TGN ในสูตรต่อไปนี้:

สำหรับภาษาเชิงประพจน์ของเลขคณิตแบบทางการนั้นไม่มีระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์

เราจะพิสูจน์มันด้วยความขัดแย้ง

สมมติว่ามีระบบนิรนัยเช่นนั้นอยู่ ให้เราอธิบายอัลกอริทึมเสริมต่อไปนี้ A ซึ่งกำหนดค่าบูลีนให้กับจำนวนธรรมชาติ k ดังนี้:

1. ค้นหาสูตร k ในรายการ F

2. แทนตัวเลข k ลงไปเป็นอาร์กิวเมนต์

3. เราใช้อัลกอริธึมการพิสูจน์ของเรากับข้อความผลลัพธ์ (ตามสมมติฐานของเรา มันมีอยู่) ซึ่งแปลเป็น TRUE หรือ FALSE

4. ใช้การปฏิเสธเชิงตรรกะกับผลลัพธ์ที่ได้รับ

พูดง่ายๆ ก็คือ อัลกอริธึมจะให้ผลลัพธ์เป็นค่า TRUE ถ้าหากผลลัพธ์ของการแทนที่หมายเลขของตัวเองใน FSP ในรายการของเราให้ข้อความที่เป็นเท็จ

เรามาถึงที่เดียวที่ฉันจะขอให้ผู้อ่านเชื่อคำพูดของฉัน

เห็นได้ชัดว่า ภายใต้สมมติฐานข้างต้น FSP ใดๆ จาก F สามารถเชื่อมโยงกับอัลกอริธึมที่มีตัวเลขธรรมชาติที่อินพุตและค่าบูลีนที่เอาต์พุต

การสนทนาไม่ชัดเจน:

บทแทรก: อัลกอริธึมใดๆ ที่แปลงจำนวนธรรมชาติให้เป็นค่าบูลีนจะสอดคล้องกับ FSP บางตัวจากเซต F

การพิสูจน์บทแทรกนี้จะต้องมีการกำหนดแนวคิดของอัลกอริทึมที่เป็นทางการ แทนที่จะใช้สัญชาตญาณเป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม หากคุณลองคิดดูสักนิด มันก็ค่อนข้างเป็นไปได้

ในความเป็นจริงอัลกอริธึมถูกเขียนในภาษาอัลกอริธึมซึ่งมีภาษาที่แปลกใหม่เช่น Brainfuck ซึ่งประกอบด้วยคำที่มีอักขระเดี่ยวแปดคำซึ่งอย่างไรก็ตามสามารถใช้อัลกอริทึมใดก็ได้ คงจะแปลกถ้าภาษาที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นของสูตรเลขคณิตแบบทางการที่เราอธิบายไว้กลับกลายเป็นว่าแย่ลง - แม้ว่าจะไม่เหมาะกับการเขียนโปรแกรมทั่วไปอย่างไม่ต้องสงสัยก็ตาม

ผ่านที่ลื่นนี้ไปก็ถึงจุดสิ้นสุดอย่างรวดเร็ว

ดังนั้น ข้างต้น เราได้อธิบายอัลกอริทึม A แล้ว ตามบทแทรกที่ฉันขอให้คุณเชื่อ มี FSP ที่เทียบเท่ากัน มีตัวเลขอยู่ในรายการ F - พูด, n ลองถามตัวเองว่า Fn(n) คืออะไร? ให้นี่คือความจริง จากนั้น ตามการสร้างอัลกอริทึม A (และด้วยฟังก์ชัน Fn ที่เทียบเท่ากัน) นั่นหมายความว่าผลลัพธ์ของการแทนตัวเลข n ลงในฟังก์ชัน Fn จะเป็น FALSE

การย้อนกลับจะถูกตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน: จาก Fn(n)=FALSE จะตามมาด้วย Fn(n)=TRUE เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานเดิมนั้นไม่ถูกต้อง ดังนั้นจึงไม่มีระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันสำหรับการคำนวณแบบเป็นทางการ Q.E.D.

เป็นการเหมาะสมที่จะระลึกถึง Epimenides ซึ่งดังที่ทราบกันว่าชาว Cretan ทุกคนเป็นคนโกหกโดยตัวเขาเองเป็นชาว Cretan ในการกำหนดคำพูดของเขาที่กระชับมากขึ้น (เรียกว่า "ความขัดแย้งของคนโกหก")สามารถกำหนดได้ดังนี้ “ ฉันโกหก" มันเป็นข้อความประเภทนี้เองที่ประกาศความเท็จซึ่งเราใช้เพื่อการพิสูจน์

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่า TGN ไม่ได้อ้างว่ามีอะไรน่าประหลาดใจเป็นพิเศษ ท้ายที่สุดแล้วทุกคนคุ้นเคยมานานแล้วว่าไม่สามารถแสดงตัวเลขทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ (โปรดจำไว้ว่าคำสั่งนี้มีหลักฐานที่สวยงามมากซึ่งมีอายุมากกว่าสองพันปี?)และรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะไม่ใช่ตัวเลขทั้งหมดเช่นกัน . และตอนนี้ปรากฎว่าไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติจะคำนวณได้

ภาพร่างของการพิสูจน์ที่ให้ไว้มีไว้สำหรับเลขคณิตอย่างเป็นทางการ แต่ก็เห็นได้ง่ายว่า TGN สามารถใช้ได้กับภาษาเชิงประพจน์อื่นๆ อีกหลายภาษา แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกภาษาจะเป็นแบบนี้ ตัวอย่างเช่น ลองกำหนดภาษาดังต่อไปนี้:

“วลีใดๆ ในภาษาจีนถือเป็นข้อความจริงหากมีอยู่ในใบเสนอราคาของสหายเหมา เจ๋อตง และไม่ถูกต้องหากไม่มีอยู่”

จากนั้นอัลกอริธึมการพิสูจน์ที่สมบูรณ์และสอดคล้องกันที่สอดคล้องกัน (ใคร ๆ ก็สามารถเรียกมันว่า "นิรนัยแบบดันทุรัง") จะมีลักษณะดังนี้:

“พลิกดูใบเสนอราคาของสหายเหมาเจ๋อตุงจนกว่าคุณจะพบคำพูดที่คุณกำลังมองหา ถ้าพบก็จริงแต่ถ้าสมุดใบเสนอราคาหมดและไม่พบใบแจ้งยอดก็ถือว่าไม่ถูกต้อง”

สิ่งที่ช่วยให้เราประหยัดที่นี่คือสมุดใบเสนอราคาใดๆ ก็มีขอบเขตแน่นอน ดังนั้นกระบวนการ "พิสูจน์" จะต้องสิ้นสุดลงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้น TGN จึงใช้ไม่ได้กับภาษาของข้อความที่ดันทุรัง แต่เรากำลังพูดถึงภาษาที่ซับซ้อนใช่ไหม?ที่ตีพิมพ์