ป้ายเปิดอยู่ในวงเล็บ การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ส่วนหนึ่งของสมการคือนิพจน์ในวงเล็บ หากต้องการเปิดวงเล็บ ให้ดูป้ายที่อยู่หน้าวงเล็บ หากมีเครื่องหมายบวก การเปิดวงเล็บในนิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลงใดๆ เพียงลบวงเล็บออก หากมีเครื่องหมายลบเมื่อเปิดวงเล็บคุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บให้ตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น -(2x-3)=-2x+3

การคูณสองวงเล็บ
หากสมการมีผลคูณของวงเล็บสองวงเล็บ ให้ขยายวงเล็บออกตามกฎมาตรฐาน แต่ละเทอมในวงเล็บแรกจะถูกคูณกับแต่ละเทอมในวงเล็บที่สอง ตัวเลขผลลัพธ์จะถูกสรุป ในกรณีนี้ ผลคูณของ "บวก" สองตัวหรือ "ลบ" สองอันจะให้คำว่า "บวก" และหากตัวประกอบมีเครื่องหมายต่างกัน ก็จะได้รับเครื่องหมาย "ลบ"
ลองพิจารณาดู
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

โดยการเปิดวงเล็บ บางครั้งอาจเพิ่มนิพจน์เป็น สูตรกำลังสองและกำลังสามต้องรู้และจดจำด้วยใจ
(ก+ข)^2=ก^2+2ab+ข^2
(ก-ข)^2=ก^2-2ab+ข^2
(ก+ข)^3=ก^3+3ก^2*ข+3ab^2+ข^3
(ก-ข)^3=ก^3-3a^2*ข+3ab^2-b^3
สูตรสำหรับสร้างนิพจน์ที่มากกว่า 3 สามารถทำได้โดยใช้สามเหลี่ยมปาสคาล

แหล่งที่มา:

• สูตรขยายวงเล็บ

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่อยู่ในวงเล็บสามารถมีตัวแปรและนิพจน์ที่มีระดับความซับซ้อนต่างกันได้ ในการคูณนิพจน์ดังกล่าว คุณจะต้องค้นหาวิธีแก้ไขในรูปแบบทั่วไป โดยเปิดวงเล็บและทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น หากวงเล็บมีการดำเนินการโดยไม่มีตัวแปรโดยมีค่าตัวเลขเท่านั้นก็ไม่จำเป็นต้องเปิดวงเล็บเนื่องจากหากคุณมีคอมพิวเตอร์ผู้ใช้จะสามารถเข้าถึงทรัพยากรการคำนวณที่สำคัญมากได้ - จะใช้งานได้ง่ายกว่าเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

คำแนะนำ

คูณแต่ละ (หรือลบด้วย ) ที่อยู่ในวงเล็บเดียวตามลำดับด้วยเนื้อหาของวงเล็บอื่นๆ ทั้งหมด หากคุณต้องการได้ผลลัพธ์ในรูปแบบทั่วไป ตัวอย่างเช่น ให้เขียนนิพจน์ดั้งเดิมดังนี้: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) จากนั้นการคูณตามลำดับ (นั่นคือ การเปิดวงเล็บ) จะให้ผลลัพธ์ดังนี้: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³

ลดความซับซ้อนของผลลัพธ์โดยย่อนิพจน์ให้สั้นลง ตัวอย่างเช่น นิพจน์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³

ใช้เครื่องคิดเลขหากคุณต้องการคูณค่าตัวเลขเท่านั้น โดยไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก ซอฟต์แวร์ในตัว

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. ขยายวงเล็บ ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. ระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
2. จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
3. สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย

ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดตามที่คุณเข้าใจแล้ว

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:

1. ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
2. เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ไม่ได้ผลเสมอไปมีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจที่ 1

ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ

ภารกิจที่ 2

เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ภารกิจที่ 3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บหลายอันที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แต่นำหน้าด้วยเครื่องหมายต่างกัน มาทำลายพวกเขากัน:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เราทราบอยู่แล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาทำคณิตศาสตร์กันดีกว่า:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:

• อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
• แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่งหรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณทำอะไรผิด

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม. จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลาและเป็นอันตรายในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อการกระทำเช่นนั้นถูกมองข้ามไป

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะถูกยกเลิกอย่างแน่นอน

ตัวอย่างหมายเลข 1

แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:

\[\varไม่มีอะไร\]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่างหมายเลข 2

เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นแรก:

มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:

\[\var ไม่มีอะไร\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณาสำนวนนี้:

ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม. ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่การไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ภารกิจที่ 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความเป็นส่วนตัวกันเถอะ:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง

ภารกิจที่ 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก 1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ คือ ลบ 7 จาก 1 ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป

ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ
2. แยกตัวแปร
3. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
4. หารด้วยอัตราส่วน.

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ แม้จะมีประสิทธิภาพทั้งหมด กลับกลายเป็นว่าไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอีกขั้นตอนหนึ่งให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังการดำเนินการครั้งแรก ได้แก่ การกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน.
2. เปิดวงเล็บ
3. แยกตัวแปร
4. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
5. หารด้วยอัตราส่วน.

“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองวงเล็บไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ตอนนี้เรามาขยาย:

เราแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• อย่ากังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง ส่วนใหญ่แล้ว ฟังก์ชันเหล่านี้จะลดลงในกระบวนการแปลงต่อไป
• สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!

วงเล็บขยายเป็นการแปลงนิพจน์ประเภทหนึ่ง ในส่วนนี้เราจะอธิบายกฎสำหรับการเปิดวงเล็บและดูตัวอย่างปัญหาที่พบบ่อยที่สุด

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

วงเล็บเปิดคืออะไร?

วงเล็บใช้เพื่อระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์ตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร สะดวกในการย้ายจากนิพจน์ที่มีวงเล็บไปเป็นนิพจน์ที่เหมือนกันโดยไม่มีเครื่องหมายวงเล็บ ตัวอย่างเช่น แทนที่นิพจน์ 2 · (3 + 4) ด้วยนิพจน์ของแบบฟอร์ม 2 3 + 2 4ไม่มีวงเล็บ เทคนิคนี้เรียกว่าวงเล็บเปิด

คำจำกัดความ 1

วงเล็บขยายหมายถึงเทคนิคในการกำจัดวงเล็บ และมักจะพิจารณาเกี่ยวกับสำนวนที่อาจมี:

• เครื่องหมาย “+” หรือ “-” หน้าวงเล็บที่มีผลรวมหรือผลต่าง
• ผลคูณของตัวเลข ตัวอักษร หรือตัวอักษรหลายตัว และผลรวมหรือผลต่างซึ่งอยู่ในวงเล็บ

นี่คือวิธีที่เราใช้ในการดูขั้นตอนการเปิดวงเล็บในหลักสูตรของโรงเรียน อย่างไรก็ตาม ไม่มีใครหยุดเราไม่ให้มองการกระทำนี้ในวงกว้างกว่านี้ เราสามารถเรียกวงเล็บเปิดการเปลี่ยนจากนิพจน์ที่มีจำนวนลบในวงเล็บไปเป็นนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เราสามารถไปจาก 5 + (− 3) − (− 7) ไปเป็น 5 − 3 + 7 อันที่จริงแล้ว นี่เป็นการเปิดวงเล็บด้วย

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแทนที่ผลคูณของนิพจน์ในวงเล็บรูปแบบ (a + b) · (c + d) ด้วยผลรวม a · c + a · d + b · c + b · d เทคนิคนี้ไม่ขัดแย้งกับความหมายของวงเล็บเปิด

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่านิพจน์ใดๆ สามารถใช้แทนตัวเลขและตัวแปรในนิพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x 2 · 1 a - x + sin (b) จะสอดคล้องกับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บในรูปแบบ x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b)

อีกประเด็นหนึ่งสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษซึ่งเกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะของการตัดสินใจในการบันทึกเมื่อเปิดวงเล็บ เราสามารถเขียนนิพจน์เริ่มต้นด้วยวงเล็บและผลลัพธ์ที่ได้รับหลังจากเปิดวงเล็บด้วยความเท่าเทียมกัน เช่น หลังจากขยายวงเล็บแทนนิพจน์ 3 − (5 − 7) เราได้รับการแสดงออก 3 − 5 + 7 . เราสามารถเขียนพจน์ทั้งสองนี้เป็นความเท่าเทียมกันได้ 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7

การดำเนินการกับนิพจน์ที่ยุ่งยากอาจต้องมีการบันทึกผลลัพธ์ระดับกลาง จากนั้นสารละลายจะมีรูปแบบเป็นลูกโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 หรือ 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

กฎการเปิดวงเล็บตัวอย่าง

เรามาเริ่มดูกฎการเปิดวงเล็บกันดีกว่า

สำหรับเลขเดี่ยวในวงเล็บ

ตัวเลขติดลบในวงเล็บมักพบในนิพจน์ ตัวอย่างเช่น (− 4) และ 3 + (− 4) ตัวเลขบวกในวงเล็บก็มีตำแหน่งเช่นกัน

ให้เรากำหนดกฎสำหรับการเปิดวงเล็บที่มีจำนวนบวกเพียงตัวเดียว สมมติว่า a เป็นจำนวนบวกใดๆ จากนั้นเราสามารถแทนที่ (a) ด้วย a, + (a) ด้วย + a, - (a) ด้วย –a หากเราใช้ตัวเลขเฉพาะแทนตามกฎ: ตัวเลข (5) จะถูกเขียนเป็น 5 นิพจน์ 3 + (5) ที่ไม่มีวงเล็บจะอยู่ในรูปแบบ 3 + 5 เนื่องจาก + (5) ถูกแทนที่ด้วย + 5 และนิพจน์ 3 + (− 5) เทียบเท่ากับนิพจน์ 3 − 5 , เพราะ + (− 5) ถูกแทนที่ด้วย − 5 .

โดยปกติแล้วตัวเลขบวกจะเขียนโดยไม่ใช้วงเล็บ เนื่องจากในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องใช้วงเล็บ

ตอนนี้ให้พิจารณากฎสำหรับวงเล็บเปิดที่มีจำนวนลบเพียงตัวเดียว + (- ก)เราแทนที่ด้วย − ก, − (− a) ถูกแทนที่ด้วย + a หากนิพจน์เริ่มต้นด้วยจำนวนลบ (-ก)ซึ่งเขียนอยู่ในวงเล็บ จากนั้นจึงละเว้นวงเล็บเหลี่ยมแทน (-ก)ยังคงอยู่ − ก.

นี่คือตัวอย่างบางส่วน: (− 5) สามารถเขียนเป็น − 5, (− 3) + 0, 5 กลายเป็น − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) กลายเป็น 4 − 3 และ − (− 4) − (− 3) หลังจากเปิดวงเล็บจะมีรูปแบบ 4 + 3 เนื่องจาก − (− 4) และ − (− 3) ถูกแทนที่ด้วย + 4 และ + 3

ควรเข้าใจว่านิพจน์ 3 · (- 5) ไม่สามารถเขียนเป็น 3 · − 5 ได้ ซึ่งจะกล่าวถึงในย่อหน้าต่อไปนี้

เรามาดูกันว่ากฎสำหรับการเปิดวงเล็บนั้นมีพื้นฐานมาจากอะไร

ตามกฎแล้ว ความแตกต่าง a − b เท่ากับ a + (− b) จากคุณสมบัติของการกระทำกับตัวเลข เราสามารถสร้างห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกันได้ (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aซึ่งจะยุติธรรม ห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกันนี้พิสูจน์ได้ว่านิพจน์ a + (- b) มีความแตกต่าง ก - ข.

จากคุณสมบัติของจำนวนตรงข้ามและกฎเกณฑ์ในการลบจำนวนลบ เราสามารถระบุได้ว่า − (− a) = a, a − (− b) = a + b

มีนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข เครื่องหมายลบ และวงเล็บหลายคู่ การใช้กฎข้างต้นช่วยให้คุณสามารถกำจัดวงเล็บเหลี่ยมตามลำดับ โดยย้ายจากวงเล็บด้านในไปด้านนอกหรือไปในทิศทางตรงกันข้าม ตัวอย่างของการแสดงออกดังกล่าวจะเป็น − (− ((− (5)))) มาเปิดวงเล็บโดยย้ายจากภายในสู่ภายนอก: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 ตัวอย่างนี้สามารถวิเคราะห์ไปในทิศทางตรงกันข้ามได้: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

ภายใต้ กและ b สามารถเข้าใจได้ไม่เพียงแต่เป็นตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ตัวเลขหรือตัวอักษรตามอำเภอใจที่มีเครื่องหมาย "+" อยู่ข้างหน้าซึ่งไม่ใช่ผลรวมหรือผลต่าง ในกรณีทั้งหมดนี้ คุณสามารถใช้กฎในลักษณะเดียวกับที่เราทำกับตัวเลขเดี่ยวในวงเล็บได้

ตัวอย่างเช่น หลังจากเปิดวงเล็บแล้วนิพจน์ − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)จะอยู่ในรูปแบบ 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z เราทำมันได้อย่างไร? เรารู้ว่า − (− 2 x) คือ + 2 x และเนื่องจากนิพจน์นี้มาก่อน ดังนั้น + 2 x จึงสามารถเขียนเป็น 2 x ได้ − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x และ − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

ในผลคูณของตัวเลขสองตัว

เริ่มจากกฎในการเปิดวงเล็บในผลคูณของตัวเลขสองตัวกันก่อน

สมมุติว่า กและ b เป็นจำนวนบวกสองตัว ในกรณีนี้เป็นผลคูณของจำนวนลบสองตัว − กและ − b ของรูปแบบ (− a) · (− b) เราสามารถแทนที่ด้วย (a · b) และผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันของรูปแบบ (− a) · b และ a · (− b) สามารถแทนที่ด้วย (- ก ข). การคูณลบด้วยลบจะได้ค่าบวก และการคูณลบด้วยค่าบวก เช่น การคูณบวกด้วยลบจะได้ค่าลบ

ความถูกต้องของส่วนแรกของกฎการเขียนได้รับการยืนยันโดยกฎสำหรับการคูณจำนวนลบ เพื่อยืนยันส่วนที่สองของกฎ เราสามารถใช้กฎในการคูณตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันได้

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1

ลองพิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการเปิดวงเล็บในผลคูณของจำนวนลบสองตัว - 4 3 5 และ - 2 ในรูปแบบ (- 2) · - 4 3 5 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่นิพจน์เดิมด้วย 2 · 4 3 5 เปิดวงเล็บแล้วได้ 2 · 4 3 5 .

และถ้าเราหาผลหารของจำนวนลบ (- 4) : (- 2) รายการหลังจากเปิดวงเล็บจะมีลักษณะเป็น 4: 2

แทนที่จำนวนลบ − กและ − b อาจเป็นนิพจน์ใดๆ ที่มีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าซึ่งไม่ใช่ผลรวมหรือผลต่าง ตัวอย่างเช่น สิ่งเหล่านี้อาจเป็นผลคูณ ผลหาร เศษส่วน กำลัง ราก ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นต้น

ลองเปิดวงเล็บในนิพจน์ - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . ตามกฎแล้ว เราสามารถแปลงค่าได้ดังต่อไปนี้: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5

การแสดงออก (- 3) 2สามารถแปลงเป็นนิพจน์ได้ (− 3 2) หลังจากนั้นคุณสามารถขยายวงเล็บได้: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

การหารตัวเลขด้วยเครื่องหมายต่างกันอาจต้องมีการขยายวงเล็บเบื้องต้นด้วย: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 และ 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5

กฎนี้สามารถใช้ในการคูณและหารนิพจน์ที่มีเครื่องหมายต่างกันได้ ลองยกตัวอย่างสองตัวอย่าง

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

บาป (x) (- x 2) = (- บาป (x) x 2) = - บาป (x) x 2

ในผลคูณของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

มาดูผลิตภัณฑ์และผลหารซึ่งมีตัวเลขมากกว่ากัน หากต้องการเปิดวงเล็บ จะใช้กฎต่อไปนี้ที่นี่ หากมีจำนวนลบเป็นจำนวนคู่ คุณสามารถละวงเล็บออกและแทนที่ตัวเลขนั้นด้วยจำนวนที่ตรงกันข้ามได้ หลังจากนี้คุณจะต้องใส่นิพจน์ผลลัพธ์ไว้ในวงเล็บใหม่ หากมีจำนวนลบเป็นจำนวนคี่ ให้ละเว้นวงเล็บและแทนที่ตัวเลขนั้นด้วยจำนวนที่ตรงกันข้าม หลังจากนั้นจะต้องวางนิพจน์ผลลัพธ์ไว้ในวงเล็บใหม่และต้องวางเครื่องหมายลบไว้ข้างหน้า

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ 5 · (− 3) · (− 2) ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลขสามตัว มีจำนวนลบสองตัว ดังนั้นเราจึงเขียนนิพจน์ได้เป็น (5 · 3 · 2) จากนั้นจึงเปิดวงเล็บออกในที่สุด จะได้นิพจน์ 5 · 3 · 2

ในผลคูณ (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) ตัวเลขห้าตัวเป็นลบ ดังนั้น (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . ในที่สุดเราก็ได้เปิดวงเล็บออก −2.5 3:2 4:1.25:1.

กฎข้างต้นสามารถให้เหตุผลได้ดังนี้ ประการแรก เราสามารถเขียนนิพจน์ดังกล่าวใหม่เป็นผลคูณ โดยแทนที่การหารด้วยการคูณด้วยจำนวนกลับ เราแทนจำนวนลบแต่ละตัวเป็นผลคูณของจำนวนคูณ และแทนที่ - 1 หรือ - 1 ด้วย (- 1) ก.

เมื่อใช้สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ เราจะสลับตัวประกอบและโอนตัวประกอบทั้งหมดให้เท่ากับ − 1 ไปที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์ ผลคูณของเลขคู่ลบหนึ่งเท่ากับ 1 และผลิตภัณฑ์ของเลขคี่เท่ากับ − 1 ซึ่งช่วยให้เราใช้เครื่องหมายลบได้

หากเราไม่ได้ใช้กฎ ลูกโซ่ของการกระทำเพื่อเปิดวงเล็บในนิพจน์ - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 จะมีลักษณะดังนี้:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

สามารถใช้กฎข้างต้นเมื่อเปิดวงเล็บในนิพจน์ที่แสดงถึงผลคูณและผลหารด้วยเครื่องหมายลบที่ไม่ใช่ผลรวมหรือผลต่าง ลองยกตัวอย่างการแสดงออก

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

สามารถลดเป็นนิพจน์โดยไม่มีวงเล็บ x 2 · x: 1 x · x - 3: 2

วงเล็บขยายนำหน้าด้วยเครื่องหมาย +

พิจารณากฎที่สามารถนำไปใช้กับวงเล็บขยายที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก และ "เนื้อหา" ของวงเล็บเหล่านั้นจะไม่คูณหรือหารด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ใดๆ

ตามกฎแล้วจะละเว้นวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้าในขณะที่เครื่องหมายของคำศัพท์ทั้งหมดในวงเล็บจะยังคงอยู่ หากไม่มีเครื่องหมายอยู่หน้าเทอมแรกในวงเล็บ คุณจะต้องใส่เครื่องหมายบวก

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างเช่น เราให้นิพจน์ (12 − 3 , 5) − 7 . หากละเว้นวงเล็บ เราจะเก็บเครื่องหมายของคำศัพท์ไว้ในวงเล็บและใส่เครื่องหมายบวกไว้หน้าเทอมแรก รายการจะมีลักษณะดังนี้ (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7 ในตัวอย่างที่ให้มา ไม่จำเป็นต้องติดเครื่องหมายหน้าเทอมแรก เนื่องจาก + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7

ตัวอย่างที่ 4

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง ลองใช้นิพจน์ x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x และดำเนินการกับมัน x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 ก - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของวงเล็บขยาย:

ตัวอย่างที่ 5

2 + x 2 + 1 x - xy z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - xy z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

เครื่องหมายลบที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายลบขยายอย่างไร

ลองพิจารณากรณีที่มีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ และไม่ได้คูณ (หรือหาร) ด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ใดๆ ตามกฎสำหรับการเปิดวงเล็บเหลี่ยมที่นำหน้าด้วยเครื่องหมาย "-" วงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมาย "-" จะถูกละไว้ และเครื่องหมายของคำศัพท์ทั้งหมดในวงเล็บจะกลับกัน

ตัวอย่างที่ 6

เช่น:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

นิพจน์ที่มีตัวแปรสามารถแปลงได้โดยใช้กฎเดียวกัน:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

เราได้ x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

วงเล็บเปิดเมื่อคูณตัวเลขด้วยวงเล็บ นิพจน์ด้วยวงเล็บ

ที่นี่เราจะดูกรณีที่คุณต้องการขยายวงเล็บที่คูณหรือหารด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ สูตรของรูปแบบ (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) หรือ ข · (ก 1 ± ก 2 ± … ± ก n) = (ข · ก 1 ± ข · ก 2 ± … ± ข · ก), ที่ไหน ก 1 , 2 , … , นและ b คือตัวเลขหรือนิพจน์บางตัว

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างเช่น ลองขยายวงเล็บในนิพจน์ดู (3 - 7) 2. ตามกฎแล้ว เราสามารถทำการแปลงดังต่อไปนี้: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . เราได้ 3 · 2 − 7 · 2 .

การเปิดวงเล็บในนิพจน์ 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 เราจะได้ 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2

การคูณวงเล็บด้วยวงเล็บ

พิจารณาผลคูณของวงเล็บสองตัวที่อยู่ในรูปแบบ (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) สิ่งนี้จะช่วยให้เราได้รับกฎสำหรับการเปิดวงเล็บเมื่อทำการคูณแบบวงเล็บเหลี่ยม

เพื่อที่จะแก้ตัวอย่างที่ให้มา เราจะแสดงนิพจน์ (ข 1 + ข 2)เหมือนข สิ่งนี้จะทำให้เราสามารถใช้กฎในการคูณวงเล็บด้วยนิพจน์ได้ เราได้ (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b โดยดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ ขโดย (b 1 + b 2) ใช้กฎการคูณนิพจน์ด้วยวงเล็บอีกครั้ง: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (ก 1 ข 1 + 1 ข 2) + (ก 2 ข 1 + 2 ข 2) = = ก 1 ข 1 + 1 ข 2 + 2 ข 1 + 2 ข 2

ด้วยเทคนิคง่ายๆ หลายๆ เทคนิค เราสามารถหาผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละเทอมจากวงเล็บที่สอง กฎสามารถขยายไปยังเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้ภายในวงเล็บ

ให้เรากำหนดกฎสำหรับการคูณวงเล็บด้วยวงเล็บ: ในการคูณสองผลรวมเข้าด้วยกัน คุณต้องคูณแต่ละเงื่อนไขของผลรวมแรกด้วยแต่ละเงื่อนไขของผลรวมที่สองแล้วบวกผลลัพธ์

สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

(ก 1 + ก 2 + . . . + ม) · (ข 1 + ข 2 + . . . + ข n) = = ก 1 ข 1 + 1 ข 2 + . . . + ก 1 ข n + + 2 ข 1 + 2 ข 2 + . . . + ก 2 ข n + + . . . + + มข 1 + มข 1 + . . . ฉันบีเอ็น

ลองขยายวงเล็บในนิพจน์ (1 + x) · (x 2 + x + 6) เป็นผลคูณของผลรวมสองตัว มาเขียนวิธีแก้ปัญหากัน: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

เป็นเรื่องที่ควรกล่าวถึงแยกกันในกรณีที่มีเครื่องหมายลบในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายบวก ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3)

ขั้นแรก นำเสนอนิพจน์ในวงเล็บเป็นผลรวม: (1 + (- x)) · (3 · x · y + (- 2 · x · y 3)). ตอนนี้เราสามารถใช้กฎนี้ได้: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

เปิดวงเล็บกันดีกว่า: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3

วงเล็บขยายในผลคูณของวงเล็บและนิพจน์หลายรายการ

หากมีสามนิพจน์ขึ้นไปในวงเล็บในนิพจน์ จะต้องเปิดวงเล็บตามลำดับ คุณต้องเริ่มการแปลงโดยใส่ปัจจัยสองตัวแรกในวงเล็บ ภายในวงเล็บเหล่านี้ เราสามารถดำเนินการแปลงตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้นได้ ตัวอย่างเช่น วงเล็บในนิพจน์ (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8)

นิพจน์ประกอบด้วยสามปัจจัยพร้อมกัน (2 + 4) , 3 และ (5 + 7 8) . เราจะเปิดวงเล็บตามลำดับ เราจะใส่ปัจจัยสองตัวแรกไว้ในวงเล็บอื่น ซึ่งเราจะกำหนดให้เป็นสีแดงเพื่อความชัดเจน: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

ตามกฎสำหรับการคูณวงเล็บด้วยตัวเลข เราสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

คูณวงเล็บด้วยวงเล็บ: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8

ยึดตามชนิด

องศา ซึ่งเป็นนิพจน์บางนิพจน์ที่เขียนอยู่ในวงเล็บ โดยมีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติถือได้ว่าเป็นผลคูณของวงเล็บหลายตัว ยิ่งไปกว่านั้น ตามกฎจากสองย่อหน้าก่อนหน้า สามารถเขียนได้โดยไม่ต้องใช้วงเล็บเหล่านี้

พิจารณากระบวนการเปลี่ยนนิพจน์ (ก + ข + ค) 2 . สามารถเขียนเป็นผลคูณของวงเล็บสองอันได้ (ก + ข + ค) · (ก + ข + ค). ลองคูณวงเล็บด้วยวงเล็บแล้วได้ a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c

ลองดูตัวอย่างอื่น:

ตัวอย่างที่ 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

การหารวงเล็บด้วยตัวเลขและวงเล็บด้วยวงเล็บ

การหารวงเล็บด้วยตัวเลขนั้น เงื่อนไขทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บจะต้องหารด้วยตัวเลข ตัวอย่างเช่น (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4

ขั้นแรกสามารถแทนที่การหารได้ด้วยการคูณ หลังจากนั้นคุณสามารถใช้กฎที่เหมาะสมสำหรับการเปิดวงเล็บในผลิตภัณฑ์ได้ ใช้กฎเดียวกันนี้เมื่อแบ่งวงเล็บด้วยวงเล็บ

ตัวอย่างเช่น เราต้องเปิดวงเล็บในนิพจน์ (x + 2) : 2 3 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่การหารด้วยการคูณด้วยจำนวนกลับ (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3 คูณวงเล็บด้วยตัวเลข (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการหารด้วยวงเล็บ:

ตัวอย่างที่ 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

ลองแทนที่การหารด้วยการคูณ: 1 x + x + 1 · 1 x + 2

มาคูณกัน: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

ลำดับการเปิดวงเล็บเหลี่ยม

ตอนนี้ลองพิจารณาลำดับการใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้นในนิพจน์ทั่วไปเช่น ในนิพจน์ที่มีผลรวมที่มีผลต่าง ผลคูณหาร วงเล็บในระดับธรรมชาติ

ขั้นตอน:

• ขั้นตอนแรกคือการยกวงเล็บให้เป็นพลังธรรมชาติ
• ในขั้นตอนที่สองจะมีการเปิดวงเล็บในงานและผลหาร
• ขั้นตอนสุดท้ายคือการเปิดวงเล็บด้วยผลรวมและผลต่าง

ลองพิจารณาลำดับของการกระทำโดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . ให้เราแปลงจากนิพจน์ 3 · (− 2) : (− 4) และ 6 · (− 7) ซึ่งควรจะอยู่ในรูปแบบ (3 2:4)และ (- 6 · 7) เมื่อแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นนิพจน์ดั้งเดิม เราจะได้: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (- 6 · 7) . เปิดวงเล็บ: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7

เมื่อต้องรับมือกับนิพจน์ที่มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ จะสะดวกที่จะดำเนินการแปลงโดยเริ่มจากภายในสู่ภายนอก

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

“วงเล็บเปิด” - หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.6 (Vilenkin)

คำอธิบายสั้น:

ในส่วนนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีขยายวงเล็บในตัวอย่าง มีไว้เพื่ออะไร? ทุกอย่างเป็นเหมือนเดิม - เพื่อให้คุณนับได้ง่ายขึ้นและง่ายขึ้น ทำผิดพลาดน้อยลง และในอุดมคติแล้ว (ความฝันของครูคณิตศาสตร์ของคุณ) เพื่อที่จะแก้ปัญหาทุกอย่างโดยไม่มีข้อผิดพลาด
คุณรู้อยู่แล้วว่าวงเล็บถูกวางไว้ในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์หากมีเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์สองตัวปรากฏเรียงกัน หากเราต้องการแสดงการรวมกันของตัวเลข การจัดกลุ่มใหม่ วงเล็บขยายหมายถึงการกำจัดอักขระที่ไม่จำเป็น ตัวอย่างเช่น: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2 คุณจำคุณสมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการบวกได้ไหม? ในตัวอย่างนี้ เราได้ลบวงเล็บออกเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณสมบัติที่มีชื่อของการคูณยังสามารถนำไปใช้กับเงื่อนไขสี่, สาม, ห้าหรือมากกว่านั้นได้ ตัวอย่างเช่น: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390 คุณสังเกตไหมว่าเมื่อคุณเปิดวงเล็บ ตัวเลขในวงเล็บจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายหากตัวเลขที่อยู่หน้าวงเล็บเป็นบวก ท้ายที่สุดแล้ว สิบห้าก็เป็นจำนวนบวก และถ้าคุณแก้ตัวอย่างนี้: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. เรามีเลขลบลบสิบห้าอยู่หน้าวงเล็บ เมื่อเราเปิดวงเล็บ ตัวเลขทั้งหมดเริ่มเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นอีกเครื่องหมายหนึ่ง - ตรงกันข้าม - จากบวกเป็นลบ
จากตัวอย่างข้างต้น สามารถระบุกฎพื้นฐานสองข้อสำหรับการเปิดวงเล็บได้:
1. หากคุณมีจำนวนบวกอยู่หน้าวงเล็บ หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว สัญญาณทั้งหมดของตัวเลขในวงเล็บจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเหมือนเดิมทุกประการ
2. หากคุณมีจำนวนลบอยู่หน้าวงเล็บ หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว เครื่องหมายลบจะไม่ถูกเขียนอีกต่อไป และเครื่องหมายของจำนวนสัมบูรณ์ทั้งหมดในวงเล็บจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้ามทันที
ตัวอย่างเช่น: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. เรามาทำให้ตัวอย่างซับซ้อนขึ้นอีกหน่อย: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23 คุณสังเกตเห็นว่าเมื่อเปิดวงเล็บที่สอง เราคูณด้วย 2 แต่เครื่องหมายยังคงเหมือนเดิม ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9 ในตัวอย่างนี้ ตัวเลขที่สองเป็นลบ โดยอยู่ก่อน วงเล็บมีเครื่องหมายลบ ดังนั้นเมื่อเปิดออก เราจึงเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเลขเป็นเครื่องหมายตรงข้าม (เก้ามีเครื่องหมายบวก กลายเป็นลบ แปดมีเครื่องหมายลบ กลายเป็นเครื่องหมายบวก)

ในบทนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีแปลงนิพจน์ที่มีวงเล็บให้เป็นนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ คุณจะได้เรียนรู้วิธีเปิดวงเล็บที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบ เราจะจำวิธีเปิดวงเล็บโดยใช้กฎการกระจายของการคูณ ตัวอย่างที่พิจารณาจะช่วยให้คุณสามารถเชื่อมโยงเนื้อหาใหม่และการศึกษาก่อนหน้านี้เป็นเนื้อหาเดียว

หัวข้อ: การแก้สมการ

บทเรียน: วงเล็บขยาย

วิธีขยายวงเล็บที่นำหน้าด้วยเครื่องหมาย “+” การใช้กฎการบวกแบบเชื่อมโยง

หากคุณต้องการบวกผลรวมของตัวเลขสองตัวเข้ากับตัวเลข คุณสามารถเพิ่มเทอมแรกให้กับตัวเลขนี้ก่อน แล้วตามด้วยเทอมที่สอง

ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับคือนิพจน์ที่มีวงเล็บ และทางด้านขวาคือนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าเมื่อย้ายจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันไปทางขวาจะเกิดการเปิดวงเล็บขึ้น

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อเปิดวงเล็บ เราได้เปลี่ยนลำดับการดำเนินการ การนับก็สะดวกยิ่งขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างที่ 3

โปรดทราบว่าในทั้งสามตัวอย่างนี้ เราเพียงแค่ลบวงเล็บออก มาสร้างกฎกัน:

ความคิดเห็น

หากเทอมแรกในวงเล็บไม่ได้ลงนาม จะต้องเขียนด้วยเครื่องหมายบวก

คุณสามารถทำตามตัวอย่างทีละขั้นตอน ขั้นแรกให้บวก 445 ถึง 889 การกระทำนี้สามารถทำได้ด้วยจิตใจ แต่ก็ไม่ใช่เรื่องง่าย ลองเปิดวงเล็บแล้วดูว่าขั้นตอนที่เปลี่ยนแปลงจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก

หากคุณทำตามขั้นตอนที่ระบุคุณต้องลบ 345 จาก 512 ก่อนแล้วจึงบวก 1345 เข้ากับผลลัพธ์ เมื่อเปิดวงเล็บเราจะเปลี่ยนขั้นตอนและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก

ยกตัวอย่างและกฎเกณฑ์

ลองดูตัวอย่าง: . คุณสามารถค้นหาค่าของนิพจน์ได้โดยการเพิ่ม 2 และ 5 จากนั้นนำตัวเลขผลลัพธ์ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม เราได้ -7

ในทางกลับกัน ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถทำได้โดยการบวกตัวเลขที่ตรงกันข้ามกับตัวเลขดั้งเดิม

มาสร้างกฎกัน:

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

กฎจะไม่เปลี่ยนแปลงหากไม่มีสองคำ แต่มีสามคำขึ้นไปในวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 3

ความคิดเห็น ป้ายจะกลับกันเฉพาะหน้าเงื่อนไขเท่านั้น

เพื่อที่จะเปิดวงเล็บ ในกรณีนี้ เราต้องจำคุณสมบัติการแจกแจง

ขั้นแรก คูณวงเล็บแรกด้วย 2 และวงเล็บที่สองคูณ 3

วงเล็บแรกนำหน้าด้วยเครื่องหมาย “+” ซึ่งหมายความว่าจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงเครื่องหมายใดๆ เครื่องหมายที่สองนำหน้าด้วยเครื่องหมาย "-" ดังนั้นจึงต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งหมดเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

บรรณานุกรม

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. คณิตศาสตร์ ป.6. - โรงยิม, 2549.
3. เดปแมน ไอ.ยา., วิเลนคิน เอ็น.ยา. ด้านหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ - การตรัสรู้ พ.ศ. 2532.
4. Ruukin A.N., Tchaikovsky I.V. งานมอบหมายสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์ ระดับ 5-6 - ZSh MEPhI, 2011
5. Ruukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. คณิตศาสตร์ 5-6 คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนโต้ตอบ MEPhI - ซช เมพี, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนคู่สนทนาสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 ห้องสมุดครูคณิตศาสตร์ - การตรัสรู้ พ.ศ. 2532.

1. การทดสอบออนไลน์ทางคณิตศาสตร์ ()
2. คุณสามารถดาวน์โหลดสิ่งที่ระบุไว้ในข้อ 1.2 หนังสือ()

การบ้าน

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012. (ลิงค์ดู 1.2)
2. การบ้าน: หมายเลข 1254, หมายเลข 1255, หมายเลข 1256 (ข, ง)
3. งานอื่นๆ: หมายเลข 1258(c) หมายเลข 1248