มุมแหลมระหว่างเส้นตรง ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนเครื่องบิน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น มุมระหว่างเส้นตรง

การใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะทำให้คุณสามารถหามุมระหว่างเส้นตรงได้ มีการให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย ในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง ให้กำหนดขนาด (2 หากพิจารณาเส้นตรงบนระนาบ 3 หากพิจารณาเส้นตรงในอวกาศ) ใส่องค์ประกอบของสมการลงในเซลล์แล้วคลิกที่ "แก้ไข" ปุ่ม. ดูส่วนทางทฤษฎีด้านล่าง

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน ต้องป้อนเศษส่วนในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

1. มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

เส้นถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติ

1.1. การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ปล่อยให้เส้นในพื้นที่สองมิติ ล 1 และ ล

ดังนั้นจากสูตร (1.4) เราสามารถหามุมระหว่างเส้นตรงได้ ล 1 และ ล 2. ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 1 เส้นที่ตัดกันก่อให้เกิดมุมที่อยู่ติดกัน φ และ φ 1. หากมุมที่พบมากกว่า 90° คุณจะสามารถหามุมต่ำสุดระหว่างเส้นตรงได้ ล 1 และ ล 2: φ 1 =180-φ .

จากสูตร (1.4) เราสามารถหาเงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นได้

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดมุมระหว่างเส้น

มาลดความซับซ้อนและแก้โจทย์กัน:

1.2. เงื่อนไขของเส้นคู่ขนาน

อนุญาต φ =0. แล้ว cosφ=1. ในกรณีนี้ นิพจน์ (1.4) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

,

,

ตัวอย่างที่ 2: พิจารณาว่าเส้นขนานกันหรือไม่

มีความเท่าเทียมกัน (1.9) ดังนั้นเส้น (1.10) และ (1.11) จึงขนานกัน

คำตอบ. เส้น (1.10) และ (1.11) ขนานกัน

1.3. เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเส้น

อนุญาต φ =90°. แล้ว cosφ=0. ในกรณีนี้ นิพจน์ (1.4) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 3 พิจารณาว่าเส้นตั้งฉากหรือไม่

เป็นไปตามเงื่อนไข (1.13) ดังนั้นเส้น (1.14) และ (1.15) จึงตั้งฉากกัน

คำตอบ. เส้น (1.14) และ (1.15) ตั้งฉากกัน

เส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป

1.4. การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ให้เส้นตรงสองเส้น ล 1 และ ล 2 ได้มาจากสมการทั่วไป

จากนิยามผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว เราได้:

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหามุมระหว่างเส้นตรง

การทดแทนค่า ก 1 , บี 1 , ก 2 , บี 2 นิ้ว (1.23) เราได้รับ:

มุมนี้มากกว่า 90° ลองหามุมต่ำสุดระหว่างเส้นตรงกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบมุมนี้ออกจาก 180:

ในทางกลับกันสภาพของเส้นคู่ขนาน ล 1 และ ล 2 เทียบเท่ากับสภาวะคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ n 1 และ n 2 และสามารถแสดงได้ดังนี้:

มีความเท่าเทียมกัน (1.24) ดังนั้นเส้น (1.26) และ (1.27) จึงขนานกัน

คำตอบ. เส้น (1.26) และ (1.27) ขนานกัน

1.6. เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเส้น

เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเส้น ล 1 และ ล 2 สามารถสกัดได้จากสูตร (1.20) โดยการแทนที่ เพราะ(φ )=0. แล้วผลคูณสเกลาร์ ( n 1 ,n 2)=0. ที่ไหน

มีความเท่าเทียมกัน (1.28) เป็นที่พอใจ ดังนั้นเส้น (1.29) และ (1.30) จึงตั้งฉากกัน

คำตอบ. เส้น (1.29) และ (1.30) ตั้งฉากกัน

2. มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ

2.1. การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ให้มีเส้นตรงในอวกาศ ล 1 และ ล 2 ได้มาจากสมการบัญญัติ

ที่ไหน | ถาม 1 | และ | ถาม 2 | โมดูลเวกเตอร์ทิศทาง ถาม 1 และ ถาม 2 ตามลำดับ φ -มุมระหว่างเวกเตอร์ ถาม 1 และ ถาม 2 .

จากนิพจน์ (2.3) เราได้รับ:

.

มาลดความซับซ้อนและแก้โจทย์กัน:

.

มาหามุมกัน φ

มุมระหว่างระนาบ

พิจารณาระนาบสองระนาบ α 1 และ α 2 ซึ่งกำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างระนาบสองระนาบ เราจะเข้าใจมุมไดฮีดรัลอันใดอันหนึ่งที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติและระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุ หรือ . นั่นเป็นเหตุผล . เพราะ และ , ที่

.

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+4=0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ระนาบสองอัน α 1 และ α 2 จะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันขนานกัน ดังนั้น .

ดังนั้น ระนาบสองระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพตั้งฉากของระนาบ

เห็นได้ชัดว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากกัน และด้วยเหตุนี้ หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปในอวกาศ

สมการเวกเตอร์สำหรับเส้น

สมการทางตรงพาราเมตริก

ตำแหน่งของเส้นในช่องว่างถูกกำหนดโดยการระบุจุดคงที่ใดๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง คำแนะนำเวกเตอร์ของเส้นนี้

เลยปล่อยให้เป็นเส้นตรง ลผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเส้นขนานกับเวกเตอร์ .

พิจารณาจุดใดก็ได้ ม(x,y,z)บนเส้นตรง จากรูปก็ชัดเจนว่า .

เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว ที, อะไร , ตัวคูณอยู่ที่ไหน ทีสามารถรับค่าตัวเลขใดๆ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด มบนเส้นตรง ปัจจัย ทีเรียกว่าพารามิเตอร์ มีการกำหนดเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ มตามลำดับ ผ่าน และ เราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ทีสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง มนอนเป็นเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน สังเกตว่า และจากที่นี่

สมการผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีพิกัดเปลี่ยนไป x, ยและ zและช่วงเวลา มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการมาตรฐานของทางตรง

อนุญาต ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) – จุดที่วางอยู่บนเส้นตรง ล, และ คือเวกเตอร์ทิศทางของมัน ให้เราพิจารณาประเด็นตามอำเภอใจอีกครั้ง ม(x,y,z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่แน่ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– ตามบัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1.โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถได้รับจากสมการพาราเมตริกโดยการกำจัดพารามิเตอร์ ที. อันที่จริงจากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

มาแสดงกันเถอะ , จากที่นี่ x = 2 + 3ที, ย = –1 + 2ที, z = 1 –ที.

โน้ต 2.ปล่อยให้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เช่น แกน วัว. จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะตั้งฉาก วัว, เพราะฉะนั้น, ม=0. ดังนั้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ด้วย เราตกลงที่จะเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปแบบอย่างเป็นทางการ . ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

คล้ายกับสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัวและ เฮ้ยหรือขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเท่ากับเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในทุกเส้นตรงในอวกาศมีระนาบจำนวนนับไม่ถ้วน สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบใดๆ ที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการเลือกจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบพิกัด เช่น จุดตัดกับระนาบ xOyเราได้รับจากสมการของเส้นตรง โดยสมมติว่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบประเด็น ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันสมมติว่า ย= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง เราสามารถไปยังสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดจุดหนึ่ง ม 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

พิกัดจุด ม 1 ที่เราได้รับจากระบบสมการนี้ โดยให้ค่าพิกัดใดค่าหนึ่งตามอำเภอใจ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสองตัว และ . ดังนั้นเกินเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ลคุณสามารถหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติได้:

.

ตัวอย่าง.ให้สมการทั่วไปของเส้นตรง สู่รูปแบบบัญญัติ

ลองหาจุดนอนอยู่บนเส้นกัน ในการทำเช่นนี้ เราเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งตามอำเภอใจ เช่น ย= 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจะเป็นเส้นตรง

. เพราะฉะนั้น, ล: .

มุมระหว่างเส้นตรง

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

ให้เส้นตรงถูกกำหนดไว้ในอวกาศ ลและ ม. เราวาดเส้นตรงผ่านจุด A ของช่องว่าง ล 1 || ลและ ม 1 || ม(รูปที่ 138)

โปรดทราบว่าคุณสามารถเลือกจุด A ได้ตามใจชอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดนั้นสามารถอยู่บนเส้นใดเส้นหนึ่งเหล่านี้ได้ ถ้าตรง ลและ มตัดกัน จากนั้น A สามารถใช้เป็นจุดตัดของเส้นเหล่านี้ ( ล 1 = ลและ ม 1 = ม).

มุมระหว่างเส้นไม่ขนาน ลและ มคือค่าของมุมที่เล็กที่สุดที่อยู่ติดกันซึ่งเกิดจากเส้นตัดกัน ล 1 และ ม 1 (ล 1 || ล, ม 1 || ม). มุมระหว่างเส้นคู่ขนานถือว่าเท่ากับศูนย์

มุมระหว่างเส้นตรง ลและ มแสดงโดย \(\widehat((l;m))\) จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามว่าหากวัดเป็นองศาแล้วจะเป็น 0° < \(\หมวกกว้าง((l;m)) \) < 90° และถ้าเป็นเรเดียน ก็จะเป็น 0 < \(\หมวกกว้าง((l;m)) \) < π / 2 .

งาน.ให้ลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (รูปที่ 139)

ค้นหามุมระหว่างเส้นตรง AB และ DC 1

เส้นตรงตัดกัน AB และ DC 1 เนื่องจากเส้นตรง DC ขนานกับเส้นตรง AB มุมระหว่างเส้นตรง AB และ DC 1 ตามคำจำกัดความ จะเท่ากับ \(\หมวกกว้าง(C_(1)DC)\)

ดังนั้น \(\หมวกกว้าง((AB;DC_1))\) = 45°

โดยตรง ลและ มถูกเรียกว่า ตั้งฉาก, ถ้า \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. ตัวอย่างเช่นในลูกบาศก์

การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับในระนาบ ให้เราแสดงด้วย φ ขนาดของมุมระหว่างเส้น ล 1 และ ล 2 และถึง ψ - ขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ก และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ แน่นอน ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a และ b เท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้หารด้วยผลคูณของความยาว) เรามี

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

เพราะฉะนั้น,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

ให้เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของมัน

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; และ \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

จากนั้นมุม φ ระหว่างเส้นจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองเส้น) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่ใช่แบบบัญญัติ คุณจะต้องคำนวณมุมโดยต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ จากนั้นใช้สูตร (1)

ภารกิจที่ 1คำนวณมุมระหว่างเส้น

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;และ\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงมีพิกัด:

ก = (-√2 ; √2 ; -2), ข = (√3 ; √3 ; √6 ).

เราพบโดยใช้สูตร (1)

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้คือ 60°

ภารกิจที่ 2คำนวณมุมระหว่างเส้น

$$ \begin(กรณี)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(กรณี) และ \begin(กรณี)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(กรณี) $$

ด้านหลังเวกเตอร์นำทาง ก ในบรรทัดแรก เราใช้ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติ n 1 = (3; 0; -12) และ n 2 = (1; 1; -3) ระนาบที่กำหนดเส้นนี้ ใช้สูตร \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) ที่เราได้รับ

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

ในทำนองเดียวกัน เราจะพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นที่สอง:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

แต่การใช้สูตร (1) เราคำนวณโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้คือ 90°

ภารกิจที่ 3ในปิรามิดสามเหลี่ยม MABC ขอบ MA, MB และ MC ตั้งฉากกัน (รูปที่ 207)

ความยาวคือ 4, 3, 6 ตามลำดับ จุด D คือจุดกึ่งกลาง [MA] ค้นหามุม φ ระหว่างเส้น CA และ DB

ให้ CA และ DB เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง CA และ DB

สมมติว่าจุด M เป็นที่มาของพิกัด ตามเงื่อนไขของสมการ เรามี A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) ดังนั้น \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3) ลองใช้สูตร (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

จากการใช้ตารางโคไซน์ เราพบว่ามุมระหว่างเส้นตรง CA และ DB อยู่ที่ประมาณ 72°

โอ๊ะโอ๊ะโอ... ก็ยากนะ เหมือนอ่านประโยคให้ตัวเองฟัง =) อย่างไรก็ตาม ความผ่อนคลายจะช่วยได้ทีหลัง โดยเฉพาะวันนี้ที่ซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมมา เรามาต่อกันที่ส่วนแรกกันดีกว่า ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะคงอารมณ์ร่าเริงไว้ได้

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส เส้นตรงสองเส้นก็ได้:

1) การแข่งขัน;

2) ขนาน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ช่วยเหลือหุ่น : โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทางแยกทางคณิตศาสตร์จะปรากฎบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:

เส้นสองเส้นตรงกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ความเท่าเทียมกันมีความพึงพอใจ

ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ตัดด้วย 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน: .

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่จะพึงพอใจกับความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์ของคอลลิเนียริตีซึ่งเราดูในชั้นเรียนเป็นอย่างมาก แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ใน) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์. แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

สารละลายจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีป้ายไว้ตรงทางแยก:

ที่เหลือก็กระโดดข้ามหินแล้วเดินตามต่อไป ตรงไปที่ Kashchei the Immortal =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” มองเห็นได้ง่ายโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม สามารถพบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองข้อมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์จะเป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

เส้นจึงตรงกัน

คำตอบ:

ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือได้เรียนรู้แล้ว) เพื่อแก้ไขปัญหาที่พูดคุยกันด้วยวาจาอย่างแท้จริงในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ฉันไม่เห็นประเด็นใด ๆ ที่จะเสนอวิธีแก้ปัญหาแบบอิสระใด ๆ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ด้วยความไม่รู้ถึงงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber จึงลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่างที่ 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น

สารละลาย: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

คำตอบ:

ตัวอย่างเรขาคณิตดูเรียบง่าย:

การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่

ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ

ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์ เพราะคุณยังคงต้องแข่งขันกับบาบายากาและเธอก็รู้ว่าเธอเป็นผู้รักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า

มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผล วิธีที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายบทเรียน

เราทำงานเล็กน้อยกับเส้นคู่ขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นที่ตรงกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นลองพิจารณาปัญหาที่คุณคุ้นเคยมากจากหลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด แล้วพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

เอาล่ะ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว- นี่คือเส้นสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนเครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดกันของเส้น

สารละลาย: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดและค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง ซึ่งพวกมันควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราดูที่โซลูชันแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองสิ่งที่ไม่รู้

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดกันเองอาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงเป็นการสมควรมากกว่าที่จะค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง ให้เรียนบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

คำตอบ:

การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก และฉันจะเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก

เฉลยและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียน:

ไม่มีรองเท้าคู่ใดขาดเลยก่อนที่เราจะเข้าสู่ส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมากกันก่อน ในส่วนแรก เราได้เรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับอันนี้ และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะหมุน 90 องศา:

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด

สารละลาย: โดยเงื่อนไขเป็นที่รู้กันว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:

จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

คำตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:

อืม... ฟ้าสีส้ม ทะเลสีส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรามาถึงข้อสรุปว่าเส้นตั้งฉากกันจริงๆ: .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่างที่ 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง มีหลายการกระทำในปัญหา ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาแบบจุดต่อจุด

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ตรงหน้าเราเป็นแม่น้ำสายตรง หน้าที่ของเราคือไปให้ถึงแม่น้ำด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวางและเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ไปในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก "rho" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

สารละลาย: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง . ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ขั้นกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนเราพบ

เป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย

ความยากลำบากอาจเกิดขึ้นในการคำนวณที่นี่ แต่เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในหอคอย ทำให้คุณสามารถคำนวณเศษส่วนธรรมดาได้ ฉันเคยแนะนำคุณหลายครั้งแล้วและจะแนะนำคุณอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้อย่างไม่สิ้นสุด การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวเองดีกว่า ฉันคิดว่าความฉลาดของคุณได้รับการพัฒนาอย่างดี

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมเป็นวงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาหรือ มุ่งเน้นตรงกันข้ามมุม "ราสเบอร์รี่"

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถใช้เป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหามุมระหว่างเส้น

สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง

ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ให้เราใส่ใจกับตัวส่วนอย่างใกล้ชิด - ตรงนี้เอง ผลิตภัณฑ์สเกลาร์กำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:

ถ้า แล้วตัวหารของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และเวกเตอร์จะตั้งฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีข้อสงวนเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

การใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

คำตอบ:

ในคำตอบของคุณ เราจะระบุค่าที่แน่นอนตลอดจนค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้น นั่นคือ นำสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

คำนิยาม.หากให้เส้นตรงสองเส้น y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 มุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกันถ้า k 1 = -1/ k 2

ทฤษฎีบท.เส้น Ax + Bу + C = 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A 1 = แลม A, B 1 = แลมบ์เป็นสัดส่วน ถ้า C 1 = แลมซีด้วย แสดงว่าเส้นตรง พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นพบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด

ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม.เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้นตรง y = kx + b แสดงด้วยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ทฤษฎีบท.หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ดังนั้นระยะทางถึงเส้น Ax + Bу + C = 0 จะถูกกำหนดเป็น

.

การพิสูจน์.ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของจุดตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้โดยการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1

กิโล 1 = -3; เค 2 = 2; ทีจีφ = ; φ= พี /4.

ตัวอย่าง. แสดงว่าเส้นตรง 3x – 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y – 3 = 0 ตั้งฉากกัน

สารละลาย. เราพบว่า: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1 ดังนั้น เส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉากกัน

ตัวอย่าง. ให้เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ค้นหาสมการของความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

สารละลาย. เราพบสมการของด้าน AB: ; 4 x = 6 ปี – 6;

2 x – 3 ปี + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการมีรูปแบบ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b เค = . แล้ว ย = . เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการนี้: จากโดยที่ b = 17. รวม: .

คำตอบ: 3 x + 2 y – 34 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น สภาวะความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น การกำหนดจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้น

1. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด ก(x 1 , ย 1) ในทิศทางที่กำหนดซึ่งกำหนดโดยความชัน เค,

ย - ย 1 = เค(x - x 1). (1)

สมการนี้กำหนดเส้นดินสอที่ลากผ่านจุดหนึ่ง ก(x 1 , ย 1) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางลำแสง

2. สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุด: ก(x 1 , ย 1) และ บี(x 2 , ย 2) เขียนดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างเส้นตรง กและ บีคือมุมที่ต้องหมุนเส้นตรงเส้นแรก กบริเวณจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับเส้นที่สอง บี. ถ้าเส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน

ย = เค 1 x + บี 1 ,

ย = เค 2 x + บี 2 , (4)

จากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถูกกำหนดโดยสูตร

ควรสังเกตว่าในตัวเศษของเศษส่วนความชันของเส้นแรกจะถูกลบออกจากความชันของเส้นที่สอง

ถ้าให้สมการของเส้นในรูปทั่วไป

ก 1 x + บี 1 ย + ค 1 = 0,

ก 2 x + บี 2 ย + ค 2 = 0, (6)

มุมระหว่างพวกมันถูกกำหนดโดยสูตร

4. เงื่อนไขความขนานของสองบรรทัด:

ก) หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการ (4) ด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

เค 1 = เค 2 . (8)

b) สำหรับกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับพิกัดปัจจุบันที่สอดคล้องกันในสมการนั้นเป็นสัดส่วน เช่น

5. เงื่อนไขความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น:

ก) ในกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการ (4) ด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากคือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนั้นมีขนาดผกผันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม กล่าวคือ

เงื่อนไขนี้สามารถเขียนอยู่ในแบบฟอร์มได้เช่นกัน

เค 1 เค 2 = -1. (11)

b) หากสมการของเส้นถูกกำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขของการตั้งฉาก (จำเป็นและเพียงพอ) คือการตอบสนองความเท่าเทียมกัน

ก 1 ก 2 + บี 1 บี 2 = 0. (12)

6. พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นหาได้โดยการแก้ระบบสมการ (6) เส้น (6) ตัดกันก็ต่อเมื่อเท่านั้น

1. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M โดยเส้นหนึ่งขนานและอีกเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด l