จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร, หาอนุพันธ์ได้อย่างไร?ในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แต่ก่อนที่จะศึกษาหน้านี้ ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาเกี่ยวกับระเบียบวิธี สูตรเด็ดสำหรับคอร์สคณิตศาสตร์โรงเรียน. สามารถเปิดหรือดาวน์โหลดคู่มืออ้างอิงได้ที่หน้าเพจ สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง. จากนั้นเราจะต้อง ตารางอนุพันธ์จะดีกว่าถ้าพิมพ์ออกมา คุณมักจะต้องอ้างอิงถึงมัน ไม่ใช่แค่ตอนนี้ แต่ยังออฟไลน์ด้วย
กิน? มาเริ่มกันเลย. ฉันมีสองข่าวสำหรับคุณ: ดีและดีมาก ข่าวดีก็คือ หากต้องการเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ คุณไม่จำเป็นต้องรู้และเข้าใจว่าอนุพันธ์คืออะไร ยิ่งไปกว่านั้น เป็นการสมควรมากกว่าที่จะแยกแยะคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางคณิตศาสตร์ กายภาพ และเรขาคณิตของอนุพันธ์ในภายหลัง เนื่องจากในความคิดของฉัน การศึกษาทฤษฎีคุณภาพสูงจำเป็นต้องมีการศึกษาจำนวนหนึ่ง หัวข้ออื่นๆ ตลอดจนประสบการณ์เชิงปฏิบัติบางส่วน
และตอนนี้งานของเราคือฝึกฝนอนุพันธ์แบบเดียวกันนี้ในทางเทคนิค ข่าวดีก็คือการเรียนรู้ที่จะหาอนุพันธ์นั้นไม่ใช่เรื่องยาก มีอัลกอริธึมที่ค่อนข้างชัดเจนในการแก้ปัญหา (และอธิบาย) งานนี้ ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลหรือลิมิตนั้นยากกว่าที่จะเชี่ยวชาญ
ฉันขอแนะนำลำดับการศึกษาหัวข้อต่อไปนี้:: ก่อนอื่นบทความนี้ จากนั้นคุณจะต้องอ่านบทเรียนที่สำคัญที่สุด อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน. ชั้นเรียนพื้นฐานทั้งสองนี้จะยกระดับทักษะของคุณตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณสามารถทำความคุ้นเคยกับอนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นในบทความ อนุพันธ์เชิงซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม. ถ้าแถบสูงเกินไปให้อ่านสิ่งนี้ก่อน ปัญหาทั่วไปที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์. นอกเหนือจากเนื้อหาใหม่แล้ว บทเรียนยังครอบคลุมถึงอนุพันธ์ประเภทอื่นๆ ที่เรียบง่ายกว่า และเป็นโอกาสอันดีที่จะปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของคุณ นอกจากนี้ เอกสารทดสอบมักประกอบด้วยงานในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายหรือแบบพาราเมตริก นอกจากนี้ยังมีบทเรียนดังกล่าว: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายและแบบอิงพารามิเตอร์.
ฉันจะพยายามในรูปแบบที่เข้าถึงได้ทีละขั้นตอนเพื่อสอนวิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ข้อมูลทั้งหมดนำเสนออย่างละเอียดด้วยคำพูดง่ายๆ
จริงๆ แล้ว เรามาดูตัวอย่างกันทันที:
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย: 
นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ โปรดดูในตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐาน ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหาและวิเคราะห์ว่าเกิดอะไรขึ้น? และสิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น: เรามีฟังก์ชัน ซึ่งจากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา กลายเป็นฟังก์ชัน
พูดง่ายๆ ก็คือ เพื่อที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณต้องแปลงมันเป็นฟังก์ชันอื่นตามกฎบางอย่าง. ดูตารางอนุพันธ์อีกครั้ง - ฟังก์ชันต่างๆ เปลี่ยนเป็นฟังก์ชันอื่นๆ ข้อยกเว้นประการเดียวคือฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลซึ่งจะเปลี่ยนเป็นตัวมันเอง การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง .
การกำหนด: อนุพันธ์แสดงโดย หรือ .
ความสนใจเป็นสิ่งสำคัญ!ลืมขีดเส้น (เมื่อจำเป็น) หรือวาดเส้นพิเศษ (ในกรณีที่ไม่จำเป็น) - ความผิดพลาดครั้งใหญ่!ฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันคือสองฟังก์ชันที่ต่างกัน!
กลับไปที่ตารางอนุพันธ์ของเรากัน จากตารางนี้เป็นที่พึงปรารถนา จดจำ: กฎการแยกความแตกต่างและอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง โดยเฉพาะ:
อนุพันธ์ของค่าคงที่:
, โดยที่ เป็นจำนวนคงที่;
อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง:
, โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: , , .
ทำไมต้องจำ? ความรู้นี้เป็นความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับอนุพันธ์ และถ้าคุณไม่สามารถตอบคำถามของครูว่า "อนุพันธ์ของตัวเลขคืออะไร" การเรียนที่มหาวิทยาลัยก็อาจจบลงสำหรับคุณ (ฉันคุ้นเคยกับกรณีชีวิตจริงสองกรณีเป็นการส่วนตัว) นอกจากนี้สูตรเหล่านี้เป็นสูตรทั่วไปที่เราต้องใช้เกือบทุกครั้งที่เจออนุพันธ์
ในความเป็นจริง ตัวอย่างตารางง่ายๆ นั้นหาได้ยาก โดยปกติแล้ว เมื่อค้นหาอนุพันธ์ จะใช้กฎการหาอนุพันธ์ก่อน จากนั้นจึงใช้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน
ในเรื่องนี้เราจะพิจารณาต่อไป กฎความแตกต่าง:
1) จำนวนคงที่สามารถ (และควร) นำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้
จำนวนคงที่ (คงที่) อยู่ที่ไหน
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ลองดูที่ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของโคไซน์อยู่ตรงนี้ แต่เรามี
ถึงเวลาใช้กฎแล้ว เราจะนำตัวประกอบคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์:
ตอนนี้เราแปลงโคไซน์ตามตาราง:
ขอแนะนำให้ "หวี" ผลลัพธ์เล็กน้อย - ใส่เครื่องหมายลบเป็นอันดับแรกในขณะเดียวกันก็กำจัดวงเล็บออก:
2) อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
มาตัดสินใจกัน ดังที่คุณคงสังเกตเห็นแล้วว่า ขั้นตอนแรกที่ต้องทำเสมอเมื่อค้นหาอนุพันธ์คือ เราใส่นิพจน์ทั้งหมดไว้ในวงเล็บและใส่จำนวนเฉพาะที่มุมขวาบน:
ลองใช้กฎข้อที่สอง:
โปรดทราบว่าในการหาอนุพันธ์ รากและองศาทั้งหมดจะต้องแสดงในรูปแบบ และหากอยู่ในตัวส่วน ให้เลื่อนขึ้น วิธีการทำเช่นนี้มีการสนทนาอยู่ในสื่อการสอนของฉัน
ตอนนี้ เรามาจำกฎข้อแรกของการสร้างความแตกต่าง - เราใช้ปัจจัยคงที่ (ตัวเลข) นอกเครื่องหมายอนุพันธ์:
โดยปกติ ในระหว่างการแก้ปัญหา กฎทั้งสองนี้จะถูกนำมาใช้พร้อมกัน (เพื่อไม่ให้เขียนนิพจน์ยาวอีกครั้ง)
ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นขีดนั้นเป็นฟังก์ชั่นตารางเบื้องต้น โดยใช้ตารางที่เราทำการแปลง:
คุณสามารถปล่อยทุกอย่างไว้เหมือนเดิมได้ เนื่องจากไม่มีจังหวะอีกต่อไปแล้ว และพบอนุพันธ์แล้ว อย่างไรก็ตาม สำนวนเช่นนี้มักจะทำให้ง่ายขึ้น:
ขอแนะนำให้แสดงกำลังทั้งหมดของประเภทอีกครั้งในรูปของราก โดยยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบควรรีเซ็ตเป็นตัวส่วน แม้ว่าคุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่ก็ไม่ใช่ความผิดพลาด
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน) ผู้สนใจก็สามารถใช้งานได้เช่นกัน หลักสูตรเข้มข้นในรูปแบบ pdf ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่งหากคุณมีเวลาน้อยมาก
3) อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
ดูเหมือนว่าการเปรียบเทียบจะแนะนำสูตร .... แต่ที่น่าประหลาดใจก็คือ:
นี่เป็นกฎที่ไม่ธรรมดา (ตามความเป็นจริงแล้วคนอื่นๆ)ตามมาจาก คำจำกัดความอนุพันธ์. แต่เราจะระงับทฤษฎีไว้ก่อน ตอนนี้การเรียนรู้วิธีแก้ไขมีความสำคัญมากกว่า:
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่เรามีผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ
ขั้นแรก เราใช้กฎแปลกๆ ของเรา จากนั้นจึงแปลงฟังก์ชันโดยใช้ตารางอนุพันธ์:
ยาก? ไม่เลย ค่อนข้างเข้าถึงได้แม้แต่กับกาน้ำชา
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
ฟังก์ชันนี้ประกอบด้วยผลรวมและผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน - ตรีโนเมียลกำลังสองและลอการิทึม จากโรงเรียนเราจำได้ว่าการคูณและการหารมีความสำคัญมากกว่าการบวกและการลบ
มันก็เหมือนกันที่นี่ ตอนแรกเราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:
ตอนนี้สำหรับวงเล็บเราใช้กฎสองข้อแรก:
จากการใช้กฎการสร้างความแตกต่างภายใต้เส้นขีด เราเหลือเพียงฟังก์ชันพื้นฐานเท่านั้น โดยใช้ตารางอนุพันธ์เราเปลี่ยนให้เป็นฟังก์ชันอื่น:
พร้อม.
ด้วยประสบการณ์ในการค้นหาอนุพันธ์มาบ้างแล้ว อนุพันธ์อย่างง่ายจึงไม่จำเป็นต้องอธิบายรายละเอียดดังกล่าว โดยทั่วไปแล้ว พวกเขามักจะตัดสินใจด้วยวาจาและจะเขียนไว้ทันที 
.
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบท้ายบทเรียน)
4) อนุพันธ์ของฟังก์ชันผลหาร
ประตูเปิดบนเพดาน ไม่ต้องตกใจ มันเป็นความผิดพลาด
แต่นี่คือความจริงอันโหดร้าย: 
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สิ่งที่ขาดหายไปที่นี่ – ผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ เศษส่วน…. ควรเริ่มจากอะไรดี! มีข้อสงสัย ไม่มีข้อสงสัย แต่ ถึงอย่างไรขั้นแรก ให้วาดวงเล็บแล้วขีดเส้นที่มุมขวาบน:
ตอนนี้เราดูนิพจน์ในวงเล็บ แล้วเราจะทำให้มันง่ายขึ้นได้อย่างไร? ในกรณีนี้ เราสังเกตเห็นปัจจัยซึ่งตามกฎข้อแรก แนะนำให้วางไว้นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์
ตั้งแต่คุณมาที่นี่คุณคงเห็นสูตรนี้ในตำราเรียนแล้ว
และทำหน้าแบบนี้:
เพื่อนไม่ต้องกังวล! ในความเป็นจริงทุกอย่างเป็นเพียงอุกอาจ คุณจะเข้าใจทุกอย่างอย่างแน่นอน คำขอเดียว - อ่านบทความ ช้าพยายามทำความเข้าใจทุกขั้นตอน ฉันเขียนให้เรียบง่ายและชัดเจนที่สุด แต่คุณยังต้องเข้าใจแนวคิดนี้ และอย่าลืมแก้ไขงานจากบทความ
ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคืออะไร?
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังย้ายไปอพาร์ทเมนต์อื่นและบรรจุสิ่งของลงในกล่องขนาดใหญ่ สมมติว่าคุณจำเป็นต้องรวบรวมสิ่งของเล็กๆ น้อยๆ เช่น เครื่องเขียนของโรงเรียน หากคุณโยนมันลงในกล่องขนาดใหญ่ พวกมันจะหลงหายไปเหนือสิ่งอื่นใด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ คุณต้องใส่มันลงในถุงก่อน จากนั้นจึงใส่ลงในกล่องขนาดใหญ่ หลังจากนั้นจึงปิดผนึก กระบวนการ "ซับซ้อน" นี้แสดงอยู่ในแผนภาพด้านล่าง:
ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์เกี่ยวอะไรกับมัน? ใช่ แม้ว่าฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันก็ตาม! มีเพียงเราเท่านั้นที่ "แพ็ค" ไม่ใช่สมุดบันทึกและปากกา แต่ \(x\) ในขณะที่ "แพ็คเกจ" และ "กล่อง" นั้นแตกต่างกัน
ตัวอย่างเช่น ลองนำ x และ “pack” เข้าไปในฟังก์ชัน:
แน่นอนว่าเราได้ \(\cosx\) นี่คือ "ถุงใส่สิ่งของ" ของเรา ทีนี้มาใส่ไว้ใน "กล่อง" - บรรจุลงในฟังก์ชันลูกบาศก์
จะเกิดอะไรขึ้นในที่สุด? ใช่ ถูกต้อง จะมี "ถุงบรรจุสิ่งของในกล่อง" ซึ่งก็คือ "โคไซน์ของ X กำลังสาม"
การออกแบบที่ได้จึงเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน มันแตกต่างจากสิ่งธรรมดาตรงที่ “อิทธิพล” หลายอย่าง (แพ็คเกจ) ถูกนำไปใช้กับ X หนึ่งตัวติดต่อกันและปรากฎว่า "ฟังก์ชั่นจากฟังก์ชั่น" - "บรรจุภัณฑ์ภายในบรรจุภัณฑ์"
ในหลักสูตรของโรงเรียนมี “แพ็คเกจ” เหล่านี้น้อยมาก มีเพียงสี่ประเภทเท่านั้น:
ตอนนี้เรามา "รวม" X ลงในฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน 7 ก่อน แล้วจึงลงในฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับ:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
ทีนี้มา "รวม" x สองครั้งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ อันดับแรกเข้าแล้วใน:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
ง่ายใช่มั้ย?
ตอนนี้เขียนฟังก์ชันด้วยตัวเอง โดยที่ x:
- ขั้นแรกมันจะถูก "อัดแน่น" ลงในโคไซน์ จากนั้นจึงกลายเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน \(3\);
- ยกกำลังห้าก่อนแล้วจึงแทนเจนต์
- อันดับแรกถึงลอการิทึมถึงฐาน \(4\)
จากนั้นยกกำลัง \(-2\)
ค้นหาคำตอบสำหรับงานนี้ในตอนท้ายของบทความ
เราจะ “แพ็ค” X ไม่ใช่สอง แต่สามครั้งได้ไหม ไม่มีปัญหา! และสี่ ห้า และยี่สิบห้าครั้ง ตัวอย่างเช่น นี่คือฟังก์ชันที่ x เป็น "packed" \(4\) คูณ:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
แต่สูตรดังกล่าวจะไม่พบในแบบฝึกหัดของโรงเรียน (นักเรียนโชคดีกว่า - สูตรของพวกเขาอาจซับซ้อนกว่า☺)
"การแกะกล่อง" ฟังก์ชันที่ซับซ้อน
ดูฟังก์ชั่นก่อนหน้าอีกครั้ง คุณช่วยคิดลำดับ "การบรรจุ" ได้ไหม? สิ่งที่ X ถูกยัดเข้าไปก่อน สิ่งที่แล้ว และต่อๆ ไปจนกระทั่งถึงจุดสิ้นสุด นั่นคือฟังก์ชันใดที่ซ้อนอยู่ในฟังก์ชันใด หยิบกระดาษแผ่นหนึ่งแล้วเขียนสิ่งที่คุณคิด คุณสามารถทำเช่นนี้ได้ด้วยโซ่ที่มีลูกศรตามที่เราเขียนไว้ด้านบนหรือด้วยวิธีอื่นใด
ตอนนี้คำตอบที่ถูกต้องคือ ประการแรก x ถูก “อัดแน่น” ลงในกำลัง \(4\) th จากนั้นผลลัพธ์ก็อัดแน่นอยู่ในไซน์ ในทางกลับกัน ก็ถูกใส่เข้าไปในลอการิทึมที่ฐาน \(2\) และในท้ายที่สุด โครงสร้างทั้งหมดนี้ก็ถูกอัดแน่นไปด้วยพลังห้า
นั่นคือคุณต้องคลายลำดับตามลำดับย้อนกลับ และนี่คือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการทำให้ง่ายขึ้น: ดูที่ X ทันที – คุณควรเต้นจากมัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน
ตัวอย่างเช่น นี่คือฟังก์ชันต่อไปนี้: \(y=tg(\log_2x)\) เราดูที่ X - เกิดอะไรขึ้นกับมันก่อน? นำมาจากเขา แล้ว? นำค่าแทนเจนต์ของผลลัพธ์มา ลำดับจะเหมือนกัน:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
อีกตัวอย่างหนึ่ง: \(y=\cos((x^3))\) มาวิเคราะห์กัน - ก่อนอื่นเรายกกำลังสามของ X แล้วหาโคไซน์ของผลลัพธ์ ซึ่งหมายความว่าลำดับจะเป็น: \(x → x^3 → \cos((x^3))\) โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นดูเหมือนจะคล้ายกับฟังก์ชั่นแรก (ซึ่งมีรูปภาพ) แต่นี่เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: ในลูกบาศก์คือ x (นั่นคือ \(\cos((x·x·x)))\) และตรงนั้นในลูกบาศก์คือโคไซน์ \(x\) ( นั่นคือ \(\cos x·\cosx·\cosx\)) ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นจากลำดับ "การบรรจุ" ที่แตกต่างกัน
ตัวอย่างสุดท้าย (ที่มีข้อมูลสำคัญอยู่ในนั้น): \(y=\sin((2x+5))\) เห็นได้ชัดว่าในตอนแรกพวกเขาดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วย x จากนั้นจึงเอาไซน์ของผลลัพธ์: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\) และนี่คือจุดสำคัญ: แม้ว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะไม่ทำงานในตัวเอง แต่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ยังทำหน้าที่เป็นวิธี "บรรจุ" อีกด้วย มาเจาะลึกความละเอียดอ่อนนี้กันอีกหน่อย
ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นในฟังก์ชันง่าย ๆ x จะถูก "บรรจุ" หนึ่งครั้งและในฟังก์ชันที่ซับซ้อน - สองรายการขึ้นไป ยิ่งไปกว่านั้น การรวมกันของฟังก์ชันอย่างง่าย (ซึ่งได้แก่ ผลรวม ผลต่าง การคูณ หรือการหาร) ก็เป็นฟังก์ชันอย่างง่ายเช่นกัน ตัวอย่างเช่น \(x^7\) เป็นฟังก์ชันง่ายๆ และ \(ctg x\) ก็เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าชุดค่าผสมทั้งหมดเป็นฟังก์ชันง่ายๆ:
\(x^7+ ctg x\) - ง่าย
\(x^7· เปล x\) – ง่าย
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – ง่าย ฯลฯ
อย่างไรก็ตาม หากใช้อีกหนึ่งฟังก์ชันกับชุดค่าผสมดังกล่าว ก็จะกลายเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน เนื่องจากจะมี "แพ็คเกจ" สองชุด ดูแผนภาพ:
เอาล่ะไปข้างหน้าตอนนี้ เขียนลำดับของฟังก์ชัน "wrapping":
\(y=cos((บาปx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
คำตอบอยู่อีกครั้งในตอนท้ายของบทความ
ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก
ทำไมเราต้องเข้าใจ Function Nesting? สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง? ความจริงก็คือหากไม่มีการวิเคราะห์เราจะไม่สามารถค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กล่าวถึงข้างต้นได้อย่างน่าเชื่อถือ
และเพื่อที่จะก้าวต่อไป เราจำเป็นต้องมีแนวคิดอีกสองประการ: ฟังก์ชันภายในและภายนอก นี่เป็นสิ่งที่ง่ายมาก ยิ่งกว่านั้น เราได้วิเคราะห์ไปแล้วข้างต้น: หากเราจำการเปรียบเทียบของเราได้ตั้งแต่เริ่มต้น ฟังก์ชันภายในจะเป็น "แพ็คเกจ" และฟังก์ชันภายนอกจะเป็น "กล่อง" เหล่านั้น. สิ่งที่ X ถูก "ห่อ" ไว้เป็นอันดับแรกคือฟังก์ชันภายใน และฟังก์ชันภายในที่ "ห่อ" ไว้นั้นเป็นฟังก์ชันภายนอกอยู่แล้ว มันชัดเจนว่าทำไม - เธออยู่ข้างนอก นั่นหมายถึงภายนอก
ในตัวอย่างนี้: \(y=tg(log_2x)\) ฟังก์ชัน \(\log_2x\) เป็นแบบภายใน และ 
- ภายนอก
และในนี้: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) เป็นแบบภายใน และ 
- ภายนอก
ฝึกวิเคราะห์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนครั้งสุดท้ายให้เสร็จสิ้น และสุดท้ายเรามาดูสิ่งที่เราเริ่มต้นกัน - เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
กรอกข้อมูลลงในช่องว่างในตาราง:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ไชโยสำหรับเราในที่สุดเราก็ได้ไปถึง "หัวหน้า" ของหัวข้อนี้ - อันที่จริงอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและโดยเฉพาะกับสูตรที่แย่มากนั้นตั้งแต่ต้นบทความ☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
สูตรนี้อ่านได้ดังนี้:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกเทียบกับฟังก์ชันภายในคงที่และอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน
และดูแผนภาพการแยกวิเคราะห์ตามคำพูดทันทีเพื่อให้คุณเข้าใจว่าต้องทำอะไร:
ฉันหวังว่าคำว่า "อนุพันธ์" และ "ผลิตภัณฑ์" จะไม่ทำให้เกิดปัญหาใดๆ “ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน” - เราได้แยกมันออกไปแล้ว การจับอยู่ใน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันภายในคงที่" มันคืออะไร?
คำตอบ: นี่คืออนุพันธ์ตามปกติของฟังก์ชันภายนอก ซึ่งมีเพียงฟังก์ชันภายนอกเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง และฟังก์ชันภายในยังคงเหมือนเดิม ยังไม่ชัดเจน? เอาล่ะ ลองใช้ตัวอย่างกัน
ขอให้เรามีฟังก์ชัน \(y=\sin(x^3)\) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันภายในที่นี่คือ \(x^3\) และฟังก์ชันภายนอก 
. ตอนนี้ให้เราหาอนุพันธ์ของภายนอกเทียบกับภายในคงที่
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (x ยกกำลังของ a) พิจารณาอนุพันธ์จากรากของ x สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังลำดับที่สูงกว่า ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
อนุพันธ์ของ x กำลังของ a เท่ากับ a คูณ x กำลังของลบ 1:
(1)
.
อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x ยกกำลัง m คือ:
(2)
.
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง
กรณี x > 0
พิจารณาฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปร x พร้อมเลขชี้กำลัง a:
(3)
.
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม เรามาพิจารณากรณีนี้กันก่อน
ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.
ตอนนี้เราพบอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .
สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของรากของดีกรี n ของ x ถึงดีกรีของ m
ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรากของแบบฟอร์มต่อไปนี้:
(4)
.
ในการค้นหาอนุพันธ์ เราจะแปลงรากให้เป็นฟังก์ชันกำลัง:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.
ใช้สูตร (1) เราค้นหาอนุพันธ์:
(1)
;
;
(2)
.
ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) จะสะดวกกว่ามากในการแปลงรากเป็นฟังก์ชันกำลังก่อนแล้วจึงค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างท้ายหน้า)
กรณี x = 0
ถ้า แล้วฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = 0
. ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) ที่ x = 0
. ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.
แทน x = ได้เลย 0
:
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดทางขวาซึ่ง
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
จากนี้จะเห็นชัดเจนว่า สำหรับ , .
ที่ , .
ที่ , .
ผลลัพธ์นี้ได้มาจากสูตร (1):
(1)
.
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้กับ x = เช่นกัน 0
.
กรณีx< 0
พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:
(3)
.
สำหรับค่าบางค่าของค่าคงที่ a จะมีการกำหนดค่าสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย กล่าวคือ ให้ a เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นจึงสามารถแสดงเป็นเศษส่วนลดไม่ได้:
,
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม
ถ้า n เป็นเลขคี่แสดงว่าฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย เช่น เมื่อ n = 3
และ ม. = 1
เรามีรากที่สามของ x:
.
มันยังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย
ให้เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (3) สำหรับและสำหรับค่าตรรกยะของค่าคงที่ a ที่กำหนดไว้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาแทน x ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
แล้ว ,
.
เราค้นหาอนุพันธ์โดยวางค่าคงที่ไว้นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ และใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือสูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1)
.
อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น
ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันกำลังดู
(3)
.
เราได้พบอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งแล้ว:
.
เมื่อหาค่าคงที่ที่อยู่นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราจะพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของลำดับที่สามและสี่:
;
.
จากนี้ก็ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของลำดับที่ n โดยพลการมีแบบฟอร์มดังนี้
.
สังเกตว่า ถ้า a เป็นจำนวนธรรมชาติดังนั้นอนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .
ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
ตัวอย่าง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.
สารละลาย
มาแปลงรากเป็นพลังกัน:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.
การค้นหาอนุพันธ์ของพลัง:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.
คำนิยาม.ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีจุด \(x_0\) ลองเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ เรามาค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อย้ายจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\เดลต้า x) \) หากมีขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0\) ขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงถึง \(f"(x_0) \)
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ แต่โดยธรรมชาติแล้วจะเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่ทุกจุด x ซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้นอยู่ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x).
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เป็นดังนี้ หากเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกันบนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุดที่มี abscissa x=a ซึ่งไม่ขนานกับแกน y แล้ว f(a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัสกัน : :
\(k = ฉ"(ก)\)
เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tan(a) \) จึงเป็นจริง
ทีนี้มาตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์จากมุมมองของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่า เมื่อใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\) เช่น \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ เดลต้า x\) ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เกิดขึ้นมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2\) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างรอบคอบ เราจะพบว่ามันมีอัลกอริธึมในการค้นหา
มากำหนดกัน
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ได้อย่างไร?
1. แก้ไขค่าของ \(x\), หา \(f(x)\)
2. เพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(x\) \(\Delta x\) ไปที่จุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. สร้างความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = ฉ(x)
ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดที่เกี่ยวข้องกันเป็นอย่างไร
ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุด M(x; f(x)) และจำได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตกหัก" ที่จุด M นั่นคือ ฟังก์ชันจะต้องต่อเนื่องที่จุด x
สิ่งเหล่านี้เป็นข้อโต้แย้งแบบ "ลงมือปฏิบัติ" ให้เราให้เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ยังคงอยู่ หากในความเท่าเทียมกันนี้ \(\Delta x \) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีความต่อเนื่องที่จุดนั้น.
ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| มีความต่อเนื่องในทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดเชื่อมต่อ" (0; 0) หาก ณ จุดหนึ่งไม่สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันได้ แสดงว่าอนุพันธ์นั้นไม่มีอยู่ที่จุดนั้น
อีกตัวอย่างหนึ่ง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x)\) ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมถึงที่จุด x = 0 และค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมถึงที่จุด x = 0 แต่ ณ จุดนี้ แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y กล่าวคือ มันตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา สมการของมันมีรูปแบบ x = 0 เส้นตรงดังกล่าวไม่มีสัมประสิทธิ์มุม ซึ่งหมายความว่า \(f "(0)\) ไม่มีอยู่
ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - การหาอนุพันธ์ เราจะสรุปจากกราฟของฟังก์ชันว่ามันหาอนุพันธ์ได้อย่างไร
คำตอบได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มีความเป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ ถ้า ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
กฎของความแตกต่าง
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน รวมถึง "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการหาอนุพันธ์ที่ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x) g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง กฎความแตกต่าง:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$