ดังที่คุณอาจจำได้จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน สามเหลี่ยมคือรูปร่างที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมประกอบขึ้นเป็นสามมุม จึงเป็นที่มาของชื่อรูปนั้น คำจำกัดความอาจแตกต่างกัน สามเหลี่ยมสามารถเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุมได้คำตอบก็จะถูกต้องเช่นกัน สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งตามจำนวนด้านที่เท่ากันและขนาดของมุมในรูป ดังนั้น สามเหลี่ยมจึงถูกจำแนกเป็นหน้าจั่ว ด้านเท่ากันหมด และด้านไม่เท่ากัน เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยม เฉียบพลัน และป้าน ตามลำดับ

มีสูตรคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมมากมาย เลือกวิธีการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม เช่น จะใช้สูตรไหนก็ขึ้นอยู่กับคุณ แต่ก็น่าสังเกตเพียงสัญลักษณ์บางส่วนที่ใช้ในหลายสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น จำไว้ว่า:

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

h คือความสูงของสามเหลี่ยม

R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

p คือกึ่งปริมณฑล

ต่อไปนี้เป็นสัญลักษณ์พื้นฐานที่อาจเป็นประโยชน์สำหรับคุณหากคุณลืมวิชาเรขาคณิตไปโดยสิ้นเชิง ด้านล่างนี้เป็นตัวเลือกที่เข้าใจได้และไม่ซับซ้อนที่สุดสำหรับการคำนวณพื้นที่ที่ไม่รู้จักและลึกลับของรูปสามเหลี่ยม ไม่ใช่เรื่องยากและจะเป็นประโยชน์ทั้งต่อความต้องการในครัวเรือนและช่วยเหลือลูก ๆ ของคุณ จำวิธีคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมให้ง่ายที่สุด:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ: S = ½ * 2.2 ซม. * 2.5 ซม. = 2.75 ตร.ซม. โปรดจำไว้ว่าพื้นที่มีหน่วยเป็นตารางเซนติเมตร (ตร.ซม.)

สามเหลี่ยมมุมฉากและพื้นที่ของมัน

สามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา (จึงเรียกว่ามุมฉาก) มุมฉากเกิดจากเส้นตั้งฉากสองเส้น (ในกรณีของสามเหลี่ยม เส้นตั้งฉากสองส่วน) ในสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมฉากได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น เพราะ... ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับ 180 องศา ปรากฎว่าอีก 2 มุมควรหาร 90 องศาที่เหลือ เช่น 70 กับ 20, 45 และ 45 เป็นต้น ดังนั้นคุณจำสิ่งสำคัญได้สิ่งที่เหลืออยู่คือค้นหาวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองจินตนาการว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ตรงหน้า และเราจำเป็นต้องหาพื้นที่ S ของมัน

1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ: S = 2.5 ซม. * 3 ซม. / 2 = 3.75 ตร.ซม.

โดยหลักการแล้วไม่จำเป็นต้องตรวจสอบพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีอื่นอีกต่อไปเพราะว่า เพียงเท่านี้ก็จะมีประโยชน์และจะช่วยในชีวิตประจำวัน แต่ยังมีตัวเลือกในการวัดพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านมุมแหลมอีกด้วย

2. สำหรับวิธีคำนวณอื่นๆ คุณต้องมีตารางโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตัดสินด้วยตัวคุณเองต่อไปนี้เป็นตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ยังสามารถใช้ได้:

เราตัดสินใจใช้สูตรแรกและมีจุดเล็กๆ น้อยๆ (เราวาดมันในสมุดบันทึกและใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์เก่า) แต่เราได้รับการคำนวณที่ถูกต้อง:

ส = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2) เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: 3.6=3.7 แต่เมื่อคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของเซลล์ เราสามารถให้อภัยความแตกต่างเล็กน้อยนี้ได้

สามเหลี่ยมหน้าจั่วและพื้นที่ของมัน

หากคุณกำลังเผชิญกับงานคำนวณสูตรสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ววิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้หลักและสิ่งที่ถือเป็นสูตรคลาสสิกสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม

แต่ก่อนอื่น ก่อนที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เรามาดูกันว่านี่คือรูปประเภทใด สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ทั้งสองด้านเรียกว่าด้านข้าง ด้านที่สามเรียกว่าฐาน อย่าสับสนระหว่างสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับสามเหลี่ยมด้านเท่า เช่น สามเหลี่ยมปกติที่มีด้านทั้งสามด้านเท่ากัน ในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่มีแนวโน้มพิเศษกับมุมหรือขนาดของมัน อย่างไรก็ตาม มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน แต่แตกต่างจากมุมระหว่างด้านที่เท่ากัน คุณรู้สูตรแรกและสูตรหลักแล้ว แต่ยังต้องหาสูตรอื่นในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

คำแนะนำ

ภาคีและมุมถือเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน ก. รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยองค์ประกอบพื้นฐานใดๆ ต่อไปนี้: ด้านสามด้านหรือด้านเดียวและสองมุม หรือสองด้านและมุมระหว่างสองด้าน เพื่อการดำรงอยู่ สามเหลี่ยมกำหนดให้ด้าน a, b, c ทั้งสามด้าน จำเป็นและเพียงพอที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่เรียกว่าอสมการ สามเหลี่ยม:
ก+ข > ค,
ก+ค > ข
ข+ค > ก

สำหรับการก่อสร้าง สามเหลี่ยมทั้งสามด้าน a, b, c จำเป็นจากจุด C ของส่วน CB = a เพื่อวาดวงกลมรัศมี b ด้วยเข็มทิศ ในทำนองเดียวกัน ให้วาดวงกลมจากจุด B โดยมีรัศมีเท่ากับด้าน c จุดตัด A คือจุดยอดที่สามของจุดที่ต้องการ สามเหลี่ยม ABC โดยที่ AB=c, CB=a, CA=b - ด้านข้าง สามเหลี่ยม. ปัญหาคือ ถ้าด้าน a, b, c เป็นไปตามอสมการ สามเหลี่ยมระบุไว้ในขั้นตอนที่ 1

พื้นที่ S สร้างขึ้นในลักษณะนี้ สามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านที่ทราบ a, b, c คำนวณโดยใช้สูตรของ Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
โดยที่ a, b, c เป็นด้าน สามเหลี่ยม, p – กึ่งปริมณฑล.
พี = (ก+ข+ค)/2

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด กล่าวคือ ด้านทุกด้านเท่ากัน (a=b=c)พื้นที่ สามเหลี่ยมคำนวณโดยสูตร:
S=(ก^2 ว3)/4

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีมุมฉาก นั่นคือมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 90° และด้านที่เป็นขา ด้านที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของขาหารด้วยสอง
เอส=เอบี/2

การค้นหา สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมคุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งได้ เลือกสูตรขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบอยู่แล้ว

คุณจะต้องการ

• ความรู้เรื่องสูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

หากคุณทราบขนาดของด้านใดด้านหนึ่งและค่าของความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้จากมุมตรงข้าม คุณจะพบพื้นที่โดยใช้ดังนี้: S = a*h/2 โดยที่ S คือพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยม a คือด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และ h คือความสูงด้าน a

มีวิธีการที่ทราบกันดีอยู่แล้วในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหากทราบด้านทั้งสามของมัน มันเป็นสูตรของเฮรอน เพื่อให้การบันทึกง่ายขึ้น จึงมีการแนะนำค่ากลาง - กึ่งปริมณฑล: p = (a+b+c)/2 โดยที่ a, b, c - . ดังนั้น สูตรของเฮรอนจะเป็นดังนี้: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ การยกกำลัง

สมมติว่าคุณรู้ด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและมุมสามมุม จากนั้นจึงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ง่าย: S = a²sinα sinγ / (2sinβ) โดยที่ β คือมุมตรงข้ามกับด้าน a และ α และ γ เป็นมุมที่อยู่ติดกับด้านข้าง

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

สูตรทั่วไปที่เหมาะกับทุกกรณีคือสูตรของเฮรอน

แหล่งที่มา:

เคล็ดลับ 3: วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสาม

การค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในการวางแผนแผนผังของโรงเรียน การรู้ด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมก็เพียงพอที่จะกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ ในกรณีพิเศษของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านสองด้านและด้านหนึ่งตามลำดับ

คุณจะต้องการ

• ความยาวของด้านของสามเหลี่ยม สูตรของเฮรอน ทฤษฎีบทโคไซน์

คำแนะนำ

สูตรของนกกระสาสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมีดังนี้ S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) ถ้าเราเขียน p กึ่งเส้นรอบรูป เราจะได้: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4

คุณสามารถหาสูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้จากการพิจารณา เช่น โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์

ตามทฤษฎีบทโคไซน์ AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC) การใช้สัญลักษณ์ที่แนะนำสามารถเขียนในรูปแบบ: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC) ดังนั้น cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

พื้นที่ของสามเหลี่ยมยังหาได้จากสูตร S = a*c*sin(ABC)/2 โดยใช้สองด้านและมุมระหว่างสองด้าน ไซน์ของมุม ABC สามารถแสดงได้โดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) โดยการแทนที่ไซน์ลงในสูตรสำหรับพื้นที่แล้วเขียนมันออกมา ก็สามารถหาสูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC ได้

วิดีโอในหัวข้อ

ในการทำงานซ่อมแซมอาจจำเป็นต้องมีการวัดผล สี่เหลี่ยมผนัง ทำให้คำนวณปริมาณสีหรือวอลเปเปอร์ที่ต้องการได้ง่ายขึ้น สำหรับการวัด วิธีที่ดีที่สุดคือใช้สายวัดหรือสายวัด ควรทำการวัดหลังจากนั้น ผนังถูกปรับระดับ

คุณจะต้องการ

• -รูเล็ต;
• -บันไดปีน.

คำแนะนำ

ที่จะนับ สี่เหลี่ยมผนังคุณจำเป็นต้องทราบความสูงที่แน่นอนของเพดานและวัดความยาวตามแนวพื้นด้วย ทำได้ดังนี้: ใช้เซนติเมตรแล้ววางไว้บนกระดานข้างก้น โดยปกติแล้วเซนติเมตรหนึ่งจะไม่เพียงพอสำหรับความยาวทั้งหมด ดังนั้นให้ยึดไว้ตรงมุมแล้วคลายออกจนสุดความยาวสูงสุด ณ จุดนี้ ให้ทำเครื่องหมายด้วยดินสอ เขียนผลลัพธ์ที่ได้ และทำการวัดเพิ่มเติมในลักษณะเดียวกัน โดยเริ่มจากจุดการวัดสุดท้าย

เพดานมาตรฐานมีขนาด 2 เมตร 80 เซนติเมตร 3 เมตร และ 3 เมตร 20 เซนติเมตร แล้วแต่บ้าน หากบ้านถูกสร้างขึ้นก่อนทศวรรษที่ 50 ความสูงจริงน่าจะต่ำกว่าที่ระบุไว้เล็กน้อย หากคุณกำลังคำนวณ สี่เหลี่ยมสำหรับงานซ่อมแซมอุปทานเล็กน้อยจะไม่เสียหาย - พิจารณาตามมาตรฐาน หากคุณยังต้องการทราบส่วนสูงที่แท้จริง ให้ทำการวัด หลักการคล้ายกับการวัดความยาว แต่คุณจะต้องมีบันได

คูณตัวบ่งชี้ผลลัพธ์ - นี่คือ สี่เหลี่ยมของคุณ ผนัง. จริงอยู่ที่เมื่อทาสีหรือทาสีจำเป็นต้องลบออก สี่เหลี่ยมการเปิดประตูและหน้าต่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วางเซนติเมตรตามแนวช่องเปิด หากเรากำลังพูดถึงประตูที่คุณจะเปลี่ยนในภายหลังให้ดำเนินการถอดกรอบประตูออกโดยคำนึงถึงเท่านั้น สี่เหลี่ยมตรงไปที่ช่องเปิดนั่นเอง พื้นที่ของหน้าต่างคำนวณตามเส้นรอบวงของกรอบ หลังจาก สี่เหลี่ยมคำนวณหน้าต่างและทางเข้าประตูแล้วลบผลลัพธ์ออกจากพื้นที่ผลลัพธ์รวมของห้อง

โปรดทราบว่าการวัดความยาวและความกว้างของห้องนั้นดำเนินการโดยคนสองคนทำให้ง่ายต่อการแก้ไขเซนติเมตรหรือเทปวัดและดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ทำการวัดแบบเดียวกันหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นแม่นยำ

วิดีโอในหัวข้อ

การหาปริมาตรของรูปสามเหลี่ยมเป็นงานที่ไม่สำคัญเลย ความจริงก็คือสามเหลี่ยมเป็นรูปสองมิตินั่นคือ มันอยู่ในระนาบเดียว ซึ่งหมายความว่ามันไม่มีปริมาตร แน่นอนว่าคุณไม่สามารถหาสิ่งที่ไม่มีอยู่ได้ แต่อย่ายอมแพ้! เราสามารถยอมรับสมมติฐานต่อไปนี้: ปริมาตรของรูปสองมิติคือพื้นที่ของมัน เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คุณจะต้องการ

• แผ่นกระดาษ ดินสอ ไม้บรรทัด เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

วาดบนกระดาษโดยใช้ไม้บรรทัดและดินสอ เมื่อตรวจสอบสามเหลี่ยมอย่างละเอียด คุณจะแน่ใจได้ว่าสามเหลี่ยมนั้นไม่มีรูปสามเหลี่ยมจริงๆ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมนั้นวาดบนเครื่องบิน เขียนกำกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม: ให้ด้านหนึ่งเป็นด้าน "a" อีกด้านเป็น "b" และด้านที่สามเป็น "c" ติดป้ายกำกับจุดยอดของสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร "A", "B" และ "C"

วัดด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลลัพธ์ไว้ หลังจากนั้นให้คืนค่าตั้งฉากกับด้านที่วัดจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับจุดนั้น ซึ่งตั้งฉากดังกล่าวจะเป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยม ในกรณีที่แสดงในรูป ค่าตั้งฉาก "h" จะกลับคืนสู่ด้าน "c" จากจุดยอด "A" วัดความสูงผลลัพธ์ด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลการวัด

อาจเป็นเรื่องยากสำหรับคุณที่จะคืนค่าตั้งฉากที่แน่นอน ในกรณีนี้ คุณควรใช้สูตรอื่น วัดทุกด้านของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัด หลังจากนั้น ให้คำนวณกึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม “p” โดยบวกความยาวผลลัพธ์ของด้านแล้วหารผลรวมเป็นครึ่งหนึ่ง เมื่อทราบค่ากึ่งเส้นรอบรูปแล้ว คุณสามารถใช้สูตรของเฮรอนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหาค่ารากที่สองของค่าต่อไปนี้: p(p-a)(p-b)(p-c)

คุณได้พื้นที่สามเหลี่ยมที่ต้องการแล้ว ปัญหาในการหาปริมาตรของสามเหลี่ยมยังไม่ได้รับการแก้ไข แต่ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ปริมาตรไม่ได้ได้รับการแก้ไข คุณสามารถหาปริมาตรที่เป็นรูปสามเหลี่ยมได้ในโลกสามมิติ หากเราจินตนาการว่าสามเหลี่ยมเดิมของเรากลายเป็นปิรามิดสามมิติ ปริมาตรของปิรามิดนั้นจะเป็นผลคูณของความยาวของฐานคูณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เราได้รับ

บันทึก

ยิ่งคุณวัดได้ละเอียดมากเท่าไร การคำนวณของคุณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

แหล่งที่มา:

• เครื่องคิดเลข "ทุกอย่างถึงทุกสิ่ง" - พอร์ทัลสำหรับค่าอ้างอิง
• ปริมาณสามเหลี่ยมในปี 2562

จุดสามจุดที่กำหนดสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยเฉพาะคือจุดยอด เมื่อทราบตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดแต่ละแกนแล้ว คุณสามารถคำนวณพารามิเตอร์ใดๆ ของรูปแบนนี้ได้ รวมถึงพารามิเตอร์ที่ถูกจำกัดด้วยเส้นรอบวงด้วย สี่เหลี่ยม. ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

ใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยม. มันเกี่ยวข้องกับขนาดของด้านทั้งสามของรูป ดังนั้นให้เริ่มการคำนวณด้วย ความยาวของแต่ละด้านจะต้องเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของความยาวของเส้นโครงลงบนแกนพิกัด หากเราแสดงพิกัด A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) และ C(X₃,Y₃,Z₃) ความยาวของด้านสามารถแสดงได้ดังนี้: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ให้แนะนำตัวแปรเสริม - เซมิเส้นรอบวง (P) จากข้อเท็จจริงที่ว่านี่คือผลรวมครึ่งหนึ่งของความยาวของทุกด้าน: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²)

สามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด ซึ่งประกอบด้วยด้านสามด้านและจุดยอดสามจุด เนื่องจากความเรียบง่าย รูปสามเหลี่ยมจึงถูกนำมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในการวัดต่างๆ และในปัจจุบัน รูปนี้มีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติและในชีวิตประจำวัน

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม

ตัวเลขดังกล่าวถูกนำมาใช้ในการคำนวณมาตั้งแต่สมัยโบราณ เช่น นักสำรวจภาคพื้นดินและนักดาราศาสตร์ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมในการคำนวณพื้นที่และระยะทาง มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงพื้นที่ของ n-gon ใดๆ ผ่านพื้นที่ของรูปนี้ และนักวิทยาศาสตร์โบราณใช้คุณสมบัตินี้เพื่อหาสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม การทำงานกับสามเหลี่ยมอย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉาก กลายเป็นพื้นฐานสำหรับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด - ตรีโกณมิติ

เรขาคณิตสามเหลี่ยม

มีการศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตมาตั้งแต่สมัยโบราณ: ข้อมูลแรกสุดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมพบในปาปิรุสของอียิปต์เมื่อ 4,000 ปีก่อน จากนั้นมีการศึกษาร่างนี้ในสมัยกรีกโบราณและ Euclid, Pythagoras และ Heron มีส่วนสนับสนุนเรขาคณิตของสามเหลี่ยมมากที่สุด การศึกษาเรื่องสามเหลี่ยมไม่เคยหยุดนิ่ง และในศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แนะนำแนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของรูปและวงกลมออยเลอร์ ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 เมื่อดูเหมือนว่าทุกอย่างรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับสามเหลี่ยมแล้ว แฟรงก์ มอร์ลีย์ได้กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมไตรเซกเตอร์ และวาคลอว์ เซียร์ปินสกี้เสนอสามเหลี่ยมแฟร็กทัล

มีสามเหลี่ยมแบนหลายประเภทที่เราคุ้นเคยจากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน:

• เฉียบพลัน - ทุกมุมของร่างเป็นแบบเฉียบพลัน
• ป้าน - รูปมีมุมป้านหนึ่งมุม (มากกว่า 90 องศา)
• สี่เหลี่ยม - รูปมีมุมฉากหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา
• หน้าจั่ว - สามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน
• ด้านเท่ากันหมด - สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทั้งหมด
• ในชีวิตจริงมีสามเหลี่ยมหลายประเภท และในบางกรณี เราอาจจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่คือการประมาณจำนวนเครื่องบินที่ล้อมรอบ หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้ 6 วิธี โดยใช้ด้านข้าง ความสูง มุม รัศมีของวงกลมที่ขีดไว้หรือที่วงกลมล้อมรอบไว้ ตลอดจนใช้สูตรของนกกระสาหรือการคำนวณอินทิกรัลสองเท่าตามเส้นที่ล้อมรอบระนาบ สูตรที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ:

โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยม h คือความสูง

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การหาความสูงของรูปทรงเรขาคณิตอาจไม่สะดวกเสมอไป อัลกอริธึมของเครื่องคิดเลขของเราช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่โดยรู้:

• สามด้าน;
• สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
• ด้านหนึ่งและสองมุม

ในการกำหนดพื้นที่ผ่านสามด้าน เราใช้สูตรของนกกระสา:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))

โดยที่ p คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ทั้งสองด้านและมุมคำนวณโดยใช้สูตรคลาสสิก:

S = a × b × sin(อัลฟ่า)

โดยที่อัลฟ่าคือมุมระหว่างด้าน a และ b

ในการหาพื้นที่ในรูปของด้านหนึ่งและสองมุม เราใช้ความสัมพันธ์ที่:

a / sin(อัลฟ่า) = b / sin(เบต้า) = c / sin(แกมมา)

ใช้สัดส่วนง่ายๆ เพื่อกำหนดความยาวของด้านที่สอง หลังจากนั้นเราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร S = a × b × sin(alfa) อัลกอริธึมนี้เป็นแบบอัตโนมัติเต็มรูปแบบ และคุณเพียงแค่ต้องป้อนตัวแปรที่ระบุและรับผลลัพธ์ ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างจากชีวิต

แผ่นพื้นปู

สมมติว่าคุณต้องการปูพื้นด้วยกระเบื้องสามเหลี่ยมและเพื่อกำหนดปริมาณวัสดุที่ต้องการคุณต้องรู้พื้นที่ของกระเบื้องหนึ่งและพื้นที่ของพื้น สมมติว่าคุณต้องประมวลผลพื้นผิว 6 ตารางเมตรโดยใช้กระเบื้องที่มีขนาด a = 20 ซม., b = 21 ซม., c = 29 ซม. เห็นได้ชัดว่าในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมเครื่องคิดเลขใช้สูตรของนกกระสาและให้ ผลลัพธ์:

ดังนั้นพื้นที่ขององค์ประกอบกระเบื้องหนึ่งจะเท่ากับ 0.021 ตารางเมตร และคุณจะต้องมีสามเหลี่ยม 6/0.021 = 285 รูปในการปรับปรุงพื้น ตัวเลข 20, 21 และ 29 รวมกันเป็นตัวเลขสามตัวของพีทาโกรัสที่เป็นไปตาม ถูกต้อง เครื่องคิดเลขของเราคำนวณมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมด้วย และมุมแกมมาคือ 90 องศาพอดี

งานโรงเรียน

ในโจทย์ปัญหาของโรงเรียน คุณต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยรู้ว่าด้าน a = 5 ซม. และมุมอัลฟ่าและเบตาคือ 30 และ 50 องศา ตามลำดับ ในการแก้ปัญหานี้ด้วยตนเอง อันดับแรกเราจะหาค่าของด้าน b โดยใช้สัดส่วนของอัตราส่วนกว้างยาวและไซน์ของมุมตรงข้าม จากนั้นหาพื้นที่โดยใช้สูตรง่ายๆ S = a × b × sin(alfa) มาประหยัดเวลาป้อนข้อมูลลงในแบบฟอร์มเครื่องคิดเลขและรับคำตอบทันที

เมื่อใช้เครื่องคิดเลข จำเป็นต้องระบุมุมและด้านให้ถูกต้อง มิฉะนั้นผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง

บทสรุป

สามเหลี่ยมเป็นตัวเลขเฉพาะที่พบได้ทั้งในชีวิตจริงและในการคำนวณเชิงนามธรรม ใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเราเพื่อกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมชนิดใดก็ได้

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม - สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหา

ด้านล่างนี้คือ สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมตามอำเภอใจซึ่งเหมาะสำหรับการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าจะมีคุณสมบัติ มุม หรือขนาดเท่าใด สูตรจะแสดงเป็นรูปภาพพร้อมคำอธิบายการใช้งานหรือเหตุผลเพื่อความถูกต้อง นอกจากนี้ รูปภาพที่แยกต่างหากยังแสดงความสอดคล้องกันระหว่างสัญลักษณ์ตัวอักษรในสูตรและสัญลักษณ์กราฟิกในรูปวาด

บันทึก . หากรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติพิเศษ (หน้าจั่ว สี่เหลี่ยม ด้านเท่า) คุณสามารถใช้สูตรที่ให้ไว้ด้านล่าง รวมถึงสูตรพิเศษเพิ่มเติมที่ใช้ได้เฉพาะกับรูปสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเหล่านี้เท่านั้น:

• “สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า”

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

คำอธิบายสำหรับสูตร:
ก ข ค- ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่เราอยากหาพื้นที่
ร- รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม
ร- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
ชม.- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมลดลงไปด้านข้าง
พี- กึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม 1/2 ผลรวมของด้าน (เส้นรอบรูป)
α - มุมตรงข้ามกับด้าน a ของรูปสามเหลี่ยม
β - มุมตรงข้ามกับด้าน b ของรูปสามเหลี่ยม
γ - มุมตรงข้ามกับด้าน c ของรูปสามเหลี่ยม
ชม. ก, ชม. ข , ชม. ค- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมลดลงเหลือด้าน a, b, c

โปรดทราบว่าสัญกรณ์ที่ให้มานั้นสอดคล้องกับรูปด้านบน ดังนั้นเมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตจริง คุณจะมองเห็นการแทนที่ค่าที่ถูกต้องในตำแหน่งที่ถูกต้องในสูตรได้ง่ายขึ้น

• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของด้านที่ความสูงนี้ลดลง(สูตร 1). ความถูกต้องของสูตรนี้สามารถเข้าใจได้อย่างมีเหตุผล ความสูงที่ลดลงถึงฐานจะแบ่งสามเหลี่ยมตามอำเภอใจออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน หากคุณสร้างแต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาด b และ h เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมอย่างแน่นอน (Spr = bh)
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของทั้งสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง(สูตรที่ 2) (ดูตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรนี้ด้านล่าง) แม้จะดูแตกต่างไปจากครั้งก่อน แต่ก็สามารถแปลงร่างเป็นมันได้อย่างง่ายดาย ถ้าเราลดความสูงจากมุม B ลงด้าน b ปรากฎว่าผลคูณของด้าน a และไซน์ของมุม γ ตามคุณสมบัติของไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่เราวาด ซึ่งให้สูตรก่อนหน้าแก่เรา
• สามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดก็ได้ ผ่าน งานครึ่งหนึ่งของรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในนั้นด้วยผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด(สูตร 3) พูดง่ายๆ คือคุณต้องคูณกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้วยรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ (ซึ่งจำง่ายกว่า)
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้โดยการหารผลคูณของทุกด้านด้วยรัศมี 4 รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ (สูตร 4)
• สูตรที่ 5 คือการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านความยาวของด้านและกึ่งปริมณฑล (ครึ่งหนึ่งของผลรวมด้านทั้งหมด)
• สูตรของนกกระสา(6) เป็นการแทนสูตรเดียวกันโดยไม่ต้องใช้แนวคิดแบบกึ่งเส้นรอบรูปผ่านความยาวของด้านเท่านั้น
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจเท่ากับผลคูณของกำลังสองของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับด้านนี้หารด้วยไซน์คู่ของมุมตรงข้ามกับด้านนี้ (สูตร 7)
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้จากผลคูณของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยไซน์ของแต่ละมุม (สูตร 8)
• หากทราบความยาวของด้านหนึ่งและค่าของมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมก็หาได้จากกำลังสองของด้านนี้หารด้วยผลรวมสองเท่าของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ (สูตร 9)
• หากทราบเพียงความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละอัน (สูตร 10) พื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวจะแปรผกผันกับความยาวของความสูงเหล่านี้ตามสูตรของนกกระสา
• สูตร 11 ให้คุณคำนวณได้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมตามพิกัดของจุดยอดซึ่งระบุเป็นค่า (x;y) สำหรับแต่ละจุดยอด โปรดทราบว่าค่าผลลัพธ์จะต้องเป็นแบบโมดูโล เนื่องจากพิกัดของจุดยอดแต่ละจุด (หรือทั้งหมด) อาจอยู่ในขอบเขตของค่าลบ

บันทึก. ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการแก้ปัญหาเรขาคณิตเพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม หากคุณต้องการแก้ปัญหาเรขาคณิตที่ไม่เหมือนกัน โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม ในการแก้ปัญหา แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "รากที่สอง" สามารถใช้ฟังก์ชัน sqrt() ได้ โดยที่ sqrt คือสัญลักษณ์รากที่สอง และนิพจน์รากจะแสดงอยู่ในวงเล็บ.บางครั้งสำหรับนิพจน์รากอย่างง่ายก็สามารถใช้สัญลักษณ์ได้ √

งาน. ค้นหาพื้นที่ที่กำหนดด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง

ด้านข้างของสามเหลี่ยมคือ 5 และ 6 ซม. มุมระหว่างพวกเขาคือ 60 องศา หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม.

สารละลาย.

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากส่วนทางทฤษฎีของบทเรียน
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากความยาวของด้านทั้งสองและไซน์ของมุมระหว่างด้านทั้งสองและจะเท่ากับ
S=1/2 AB ซิน γ

เนื่องจากเรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหา (ตามสูตร) ​​เราจึงสามารถแทนที่ค่าจากเงื่อนไขของปัญหาลงในสูตรได้เท่านั้น:
S = 1/2 * 5 * 6 * บาป 60

ในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะค้นหาและแทนที่ค่าไซน์ 60 องศาลงในนิพจน์ มันจะเท่ากับรากของสามคูณสอง.
ส = 15 √3 / 2

คำตอบ: 7.5 √3 (แล้วแต่อาจารย์กำหนดอาจจะทิ้ง 15 √3/2 ก็ได้)

งาน. ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน 3 ซม.

สารละลาย .

สามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้โดยใช้สูตรของนกกระสา:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

เนื่องจาก a = b = c สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงมีรูปแบบ:

ส = √3 / 4 * ก 2

ส = √3 / 4 * 3 2

คำตอบ: 9 √3 / 4.

งาน. เปลี่ยนพื้นที่เมื่อเปลี่ยนความยาวของด้าน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นกี่เท่าถ้าด้านเพิ่มขึ้น 4 เท่า?

สารละลาย.

เนื่องจากเราไม่ทราบขนาดของด้านของสามเหลี่ยม เพื่อแก้ปัญหา เราจะถือว่าความยาวของด้านนั้นเท่ากับตัวเลข a, b, c ตามลำดับ จากนั้น เพื่อตอบคำถามของปัญหา เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนด จากนั้นเราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านใหญ่กว่าสี่เท่า อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะให้คำตอบแก่เรา

ด้านล่างนี้เราจะให้คำอธิบายที่เป็นข้อความเกี่ยวกับวิธีแก้ไขปัญหาทีละขั้นตอน อย่างไรก็ตาม ในตอนท้ายสุด โซลูชันเดียวกันนี้จะถูกนำเสนอในรูปแบบกราฟิกที่สะดวกกว่า ผู้สนใจสามารถลงแนวทางแก้ไขปัญหาได้ทันที

ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรของ Heron (ดูด้านบนในส่วนทางทฤษฎีของบทเรียน) ดูเหมือนว่านี้:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดแรกของภาพด้านล่าง)

ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถูกกำหนดโดยตัวแปร a, b, c
หากด้านข้างเพิ่มขึ้น 4 เท่า พื้นที่ของสามเหลี่ยมใหม่ c จะเป็น:

S 2 = 1/4 ตร.ร.ต.((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ดูบรรทัดที่สองในภาพด้านล่าง)

อย่างที่คุณเห็น 4 เป็นตัวประกอบทั่วไปที่สามารถนำออกจากวงเล็บจากนิพจน์ทั้งสี่ได้ตามกฎทั่วไปของคณิตศาสตร์
แล้ว

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - บนบรรทัดที่สามของภาพ
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - บรรทัดที่สี่

รากที่สองของเลข 256 ถูกแยกออกมาอย่างสมบูรณ์แล้ว เรามาเอามันออกจากใต้รากกันดีกว่า
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดที่ห้าของภาพด้านล่าง)

เพื่อตอบคำถามที่ถามในปัญหาเราเพียงแค่ต้องแบ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ตามพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม
ให้เรากำหนดอัตราส่วนพื้นที่โดยการหารนิพจน์ด้วยกันและลดเศษส่วนผลลัพธ์

แนวคิดของพื้นที่

แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมจะสัมพันธ์กับรูปเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำหรับพื้นที่หน่วยของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 เพื่อความสมบูรณ์ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานสองประการสำหรับแนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

คุณสมบัติ 1:หากรูปทรงเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากันด้วย

คุณสมบัติ 2:ตัวเลขใด ๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นหลาย ๆ ร่างได้ ยิ่งกว่านั้น พื้นที่ของรูปดั้งเดิมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปประกอบทั้งหมด

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แน่นอนว่าด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งมีความยาว $5$ (เนื่องจากมีเซลล์ $5$) และอีกด้านคือ $6$ (เนื่องจากมีเซลล์ $6$) ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมดังกล่าว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคือ

แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ

คำตอบ: $15$.

ต่อไปเราจะพิจารณาหลายวิธีในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม คือ การใช้ความสูงและฐาน โดยใช้สูตรของนกกระสา และพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐานของมัน

ทฤษฎีบท 1

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งและความสูงด้านนั้น

ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะเช่นนี้

$S=\frac(1)(2)αh$

โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากไป

การพิสูจน์.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AC=α$ ความสูง $BH$ ถูกลากมาทางด้านนี้ ซึ่งเท่ากับ $h$ มาสร้างมันขึ้นมาเป็นสี่เหลี่ยม $AXYC$ ดังในรูปที่ 2 กัน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 จึงเท่ากับ

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่างหากเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

ฐานของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $9$ (เนื่องจาก $9$ คือ $9$ กำลังสอง) ส่วนสูงก็ $9$ เช่นกัน จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

คำตอบ: $40.5$.

สูตรของนกกระสา

ทฤษฎีบท 2

หากเราได้รับด้านสามด้านของสามเหลี่ยม $α$, $β$ และ $γ$ แล้ว พื้นที่ของมันจะเป็นดังนี้

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

โดยที่ $ρ$ หมายถึง กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้

การพิสูจน์.

พิจารณารูปต่อไปนี้:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ ที่เราได้รับ

จากสามเหลี่ยม $CBH$ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

เนื่องจาก $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ซึ่งหมายถึง

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

จากทฤษฎีบท 1 เราได้

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$