วิธีการแก้สมการลอการิทึมพร้อมตัวอย่าง การแก้สมการลอการิทึม คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

13.10.2019

การเตรียมตัวสำหรับการทดสอบครั้งสุดท้ายทางคณิตศาสตร์มีส่วนสำคัญ - "ลอการิทึม" งานจากหัวข้อนี้จำเป็นต้องมีอยู่ในการตรวจสอบ Unified State ประสบการณ์จากหลายปีที่ผ่านมาแสดงให้เห็นว่าสมการลอการิทึมทำให้เด็กนักเรียนหลายคนลำบาก ดังนั้นนักเรียนที่มีระดับการฝึกอบรมต่างกันจึงต้องเข้าใจวิธีการหาคำตอบที่ถูกต้องและรับมือกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

ผ่านการทดสอบการรับรองสำเร็จโดยใช้พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo!

เมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายต้องการแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ซึ่งให้ข้อมูลที่ครบถ้วนและถูกต้องที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาการทดสอบได้สำเร็จ อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ในมือเสมอไป และการค้นหากฎและสูตรที่จำเป็นบนอินเทอร์เน็ตมักต้องใช้เวลา

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo ช่วยให้คุณเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ได้ทุกที่ทุกเวลา เว็บไซต์ของเราเสนอแนวทางที่สะดวกที่สุดในการทำซ้ำและดูดซับข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับลอการิทึม เช่นเดียวกับข้อมูลที่ไม่ทราบหนึ่งหรือหลายรายการ เริ่มต้นด้วยสมการง่ายๆ หากคุณรับมือกับพวกมันได้โดยไม่ยาก ให้ไปยังสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้ หากคุณประสบปัญหาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน คุณสามารถเพิ่มลงในรายการโปรดเพื่อกลับมาดูในภายหลังได้

คุณสามารถค้นหาสูตรที่จำเป็นในการทำงานให้เสร็จสิ้น ทำซ้ำกรณีพิเศษและวิธีการคำนวณรากของสมการลอการิทึมมาตรฐานโดยดูที่ส่วน "ความช่วยเหลือทางทฤษฎี" ครูของ Shkolkovo รวบรวมจัดระบบและนำเสนอสื่อการสอนทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการส่งผ่านที่ประสบความสำเร็จในรูปแบบที่ง่ายที่สุดและเข้าใจได้มากที่สุด

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานที่ซับซ้อนได้อย่างง่ายดาย บนพอร์ทัลของเรา คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคำตอบของสมการลอการิทึมมาตรฐานบางรายการได้ โดยไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" เรามีตัวอย่างจำนวนมาก รวมถึงสมการที่มีระดับโปรไฟล์ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

นักเรียนจากโรงเรียนทั่วรัสเซียสามารถใช้พอร์ทัลของเราได้ หากต้องการเริ่มชั้นเรียน เพียงลงทะเบียนในระบบและเริ่มแก้สมการ เพื่อรวบรวมผลลัพธ์ เราขอแนะนำให้คุณกลับไปที่เว็บไซต์ Shkolkovo ทุกวัน

นักเรียนหลายคนติดอยู่กับสมการประเภทนี้ ในขณะเดียวกันงานเองก็ไม่ได้ซับซ้อนแต่อย่างใด เพียงแค่ทำการแทนที่ตัวแปรที่มีความสามารถก็เพียงพอแล้ว ซึ่งคุณควรเรียนรู้ที่จะระบุนิพจน์ที่เสถียร

นอกจากบทเรียนนี้แล้ว คุณจะพบกับงานอิสระที่ค่อนข้างใหญ่โต ซึ่งประกอบด้วยสองตัวเลือก โดยแต่ละปัญหามี 6 ข้อ

วิธีการจัดกลุ่ม

วันนี้เราจะวิเคราะห์สมการลอการิทึมสองสมการ สมการหนึ่งไม่สามารถแก้ได้ทันทีและต้องมีการแปลงพิเศษ และสมการที่สอง... อย่างไรก็ตาม ฉันจะไม่บอกคุณทุกอย่างในคราวเดียว ดูวิดีโอ ดาวน์โหลดงานอิสระ - และเรียนรู้การแก้ปัญหาที่ซับซ้อน

ดังนั้น การจัดกลุ่มและนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ นอกจากนี้ ผมจะบอกคุณว่าโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมมีข้อผิดพลาดอะไร และข้อสังเกตเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับโดเมนของคำจำกัดความสามารถเปลี่ยนแปลงทั้งรากและผลเฉลยทั้งหมดได้อย่างมีนัยสำคัญ

เริ่มจากการจัดกลุ่มกันก่อน เราจำเป็นต้องแก้สมการลอการิทึมต่อไปนี้:

บันทึก 2 x บันทึก 2 (x − 3) + 1 = บันทึก 2 (x 2 − 3x )

ก่อนอื่น โปรดทราบว่า x 2 − 3x สามารถแยกตัวประกอบได้:

บันทึก 2 x (x − 3)

จากนั้นจำสูตรที่ยอดเยี่ยม:

บันทึก a fg = บันทึก a f + บันทึก a g

หมายเหตุสั้นๆ: สูตรนี้ใช้งานได้ดีเมื่อ a, f และ g เป็นจำนวนสามัญ แต่เมื่อถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชัน นิพจน์เหล่านี้ก็จะไม่เท่ากัน ลองนึกภาพสถานการณ์สมมตินี้:

ฉ< 0; g < 0

ในกรณีนี้ ผลคูณ fg จะเป็นค่าบวก ดังนั้น log a (fg) จึงมีอยู่ แต่ log a f และ log a g จะไม่มีแยกกัน และเราจะไม่สามารถดำเนินการแปลงดังกล่าวได้

การเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงนี้จะนำไปสู่การจำกัดขอบเขตของคำจำกัดความและผลที่ตามมาคือการสูญเสียราก ดังนั้น ก่อนที่จะทำการแปลง คุณต้องแน่ใจล่วงหน้าว่าฟังก์ชัน f และ g เป็นบวก

ในกรณีของเรา ทุกอย่างเรียบง่าย เนื่องจากสมการดั้งเดิมมีบันทึกฟังก์ชัน 2 x จากนั้น x > 0 (ท้ายที่สุดแล้ว ตัวแปร x อยู่ในอาร์กิวเมนต์) นอกจากนี้ยังมีบันทึก 2 (x − 3) ดังนั้น x − 3 > 0

ดังนั้นในบันทึกฟังก์ชัน 2 x (x − 3) แต่ละปัจจัยจะมากกว่าศูนย์ ดังนั้นคุณสามารถย่อยสลายผลิตภัณฑ์ได้อย่างปลอดภัยตามจำนวน:

บันทึก 2 x บันทึก 2 (x − 3) + 1 = บันทึก 2 x + บันทึก 2 (x − 3)

บันทึก 2 x บันทึก 2 (x − 3) + 1 − บันทึก 2 x − บันทึก 2 (x − 3) = 0

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าสิ่งต่างๆ จะไม่ง่ายไปกว่านี้แล้ว ตรงกันข้าม: จำนวนเทอมเพิ่มขึ้นเท่านั้น! เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีดำเนินการ เรามาแนะนำตัวแปรใหม่กัน:

บันทึก 2 x = ก

บันทึก 2 (x − 3) = b

ก · ข + 1 − ก − ข = 0

ตอนนี้เรามาจัดกลุ่มเทอมที่สามกับเทอมแรก:

(ก · ข − ก ) + (1 − ข ) = 0

a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

โปรดทราบว่าทั้งวงเล็บตัวแรกและตัวที่สองจะมี b − 1 (ในกรณีที่สอง คุณจะต้องเอา "เครื่องหมายลบ" ออกจากวงเล็บ) เรามาแยกตัวประกอบการก่อสร้างของเรากัน:

a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(ก 1 − 1) = 0

และตอนนี้ เรามาจำกฎอันมหัศจรรย์ของเรากัน: ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์:

ข − 1 = 0 ⇒ ข = 1;

a - 1 = 0 ⇒ a = 1

จำไว้ว่า b กับ a คืออะไร เราได้สมการลอการิทึมง่ายๆ สองสมการ ซึ่งเหลือเพียงการกำจัดเครื่องหมายบันทึกและหาข้อโต้แย้งให้เท่ากัน:

บันทึก 2 x = 1 ⇒ บันทึก 2 x = บันทึก 2 2 ⇒ x 1 =2;

บันทึก 2 (x − 3) = 1 ⇒ บันทึก 2 (x − 3) = บันทึก 2 2 ⇒ x 2 = 5

เรามีรากสองอัน แต่นี่ไม่ใช่คำตอบของสมการลอการิทึมดั้งเดิม แต่เป็นเพียงคำตอบที่เป็นตัวเลือกเท่านั้น ทีนี้ลองตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความกัน สำหรับอาร์กิวเมนต์แรก:

x > 0

รากทั้งสองเป็นไปตามข้อกำหนดแรก เรามาดูข้อโต้แย้งที่สองกันดีกว่า:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

แต่ที่นี่ x = 2 ไม่พอใจเรา แต่ x = 5 เหมาะกับเราค่อนข้างดี ดังนั้นคำตอบเดียวคือ x = 5

มาดูสมการลอการิทึมที่สองกัน เมื่อมองแวบแรกมันง่ายกว่ามาก อย่างไรก็ตามในกระบวนการแก้ไขเราจะพิจารณาประเด็นที่ละเอียดอ่อนที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตของคำจำกัดความซึ่งการเพิกเฉยซึ่งทำให้ชีวิตของนักเรียนที่เริ่มต้นมีความซับซ้อนอย่างมาก

บันทึก 0.7 (x 2 − 6x + 2) = บันทึก 0.7 (7 − 2x)

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม ไม่จำเป็นต้องแปลงอะไรเลย แม้แต่ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงถือเอาข้อโต้แย้ง:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

เรามีสมการกำลังสองอยู่ข้างหน้าเราด้านล่างนี้ สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x - 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1

แต่รากเหล่านี้ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย มีความจำเป็นต้องค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ เนื่องจากสมการดั้งเดิมมีสองลอการิทึม นั่นคือ โดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่ง

ลองเขียนโดเมนของนิยามออกมา ในด้านหนึ่ง อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกต้องมากกว่าศูนย์:

x 2 − 6x + 2 > 0

ในทางกลับกัน อาร์กิวเมนต์ที่สองจะต้องมากกว่าศูนย์ด้วย:

7 − 2x > 0

ต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อมกัน และนี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก แน่นอนว่าเราสามารถแก้อสมการเหล่านี้ได้ แล้วตัดกันและค้นหาโดเมนของสมการทั้งหมด แต่ทำไมชีวิตถึงทำให้ตัวเองลำบากขนาดนี้?

ลองสังเกตความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่ง การกำจัดสัญญาณบันทึกถือเป็นการโต้แย้ง เป็นไปตามข้อกำหนด x 2 − 6x + 2 > 0 และ 7 − 2x > 0 เทียบเท่ากัน ด้วยเหตุนี้จึงสามารถขจัดความไม่เท่าเทียมกันอย่างใดอย่างหนึ่งในทั้งสองได้ ลองตัดส่วนที่ยากที่สุดออกไปแล้วทิ้งตัวเราไว้กับอสมการเชิงเส้นตามปกติ:

−2x > −7

x< 3,5

เนื่องจากเราหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายอสมการจึงเปลี่ยนไป

ดังนั้นเราจึงพบ ODZ โดยไม่มีอสมการกำลังสอง การแบ่งแยก และทางแยกใดๆ ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือเพียงเลือกรากที่อยู่ในช่วงเวลานี้ แน่นอนว่ามีเพียง x = −1 เท่านั้นที่เหมาะกับเรา เพราะ x = 5 > 3.5

เราสามารถเขียนคำตอบได้: x = 1 เป็นคำตอบเดียวของสมการลอการิทึมดั้งเดิม

ข้อสรุปจากสมการลอการิทึมนี้มีดังนี้:

อย่ากลัวที่จะแยกตัวประกอบลอการิทึม แล้วแยกตัวประกอบด้วยผลรวมของลอการิทึม อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่าการแบ่งผลคูณออกเป็นผลรวมของลอการิทึมสองตัว จะทำให้ขอบเขตของคำจำกัดความแคบลง ดังนั้น ก่อนดำเนินการแปลงดังกล่าว โปรดตรวจสอบข้อกำหนดขอบเขตก่อน ส่วนใหญ่มักจะไม่มีปัญหาเกิดขึ้น แต่การอยู่ในด้านความปลอดภัยก็ไม่เสียหาย
เมื่อกำจัดรูปแบบ Canonical ให้พยายามปรับการคำนวณให้เหมาะสม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเราจำเป็นต้องมี f > 0 และ g > 0 แต่ในสมการนั้นเอง f = g เราก็สามารถขีดฆ่าอสมการอันใดอันหนึ่งได้อย่างปลอดภัย เหลือเพียงอันที่ง่ายที่สุด ขอบเขตของคำจำกัดความและคำตอบจะไม่ได้รับผลกระทบ แต่อย่างใด แต่จำนวนการคำนวณจะลดลงอย่างมาก

โดยพื้นฐานแล้วฉันอยากจะบอกคุณเกี่ยวกับกลุ่มนี้ :)

ข้อผิดพลาดทั่วไปเมื่อแก้ไข

วันนี้เราจะมาดูสมการลอการิทึมทั่วไปสองสมการที่นักเรียนหลายคนสะดุด เมื่อใช้สมการเหล่านี้เป็นตัวอย่างเราจะดูว่าข้อผิดพลาดใดเกิดขึ้นบ่อยที่สุดในกระบวนการแก้ไขและแปลงนิพจน์ดั้งเดิม

สมการตรรกยะเศษส่วนพร้อมลอการิทึม

ควรสังเกตทันทีว่านี่เป็นสมการประเภทที่ค่อนข้างร้ายกาจซึ่งไม่มีเศษส่วนที่มีลอการิทึมอยู่ในตัวส่วนเสมอไป อย่างไรก็ตามในกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงเศษส่วนดังกล่าวจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

ในเวลาเดียวกัน ระวัง: ในระหว่างกระบวนการแปลง โดเมนเดิมของคำจำกัดความของลอการิทึมสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างมาก!

เราก้าวไปสู่สมการลอการิทึมที่เข้มงวดยิ่งขึ้นซึ่งประกอบด้วยเศษส่วนและตัวแปรฐาน เพื่อให้ทำงานได้มากขึ้นในบทเรียนสั้นๆ บทเรียนเดียว ฉันจะไม่บอกคุณถึงทฤษฎีเบื้องต้น มาเริ่มงานกันดีกว่า:

4 ล็อก 25 (x − 1) − ล็อก 3 27 + 2 ล็อก x − 1 5 = 1

เมื่อดูสมการนี้ จะมีคนถามว่า “สิ่งนี้เกี่ยวอะไรกับสมการตรรกยะเศษส่วน? เศษส่วนในสมการนี้อยู่ที่ไหน? ลองใช้เวลาของเราและพิจารณาแต่ละภาคเรียนอย่างละเอียด

เทอมแรก: 4 log 25 (x − 1) ฐานของลอการิทึมคือตัวเลข แต่อาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x เรายังไม่สามารถทำอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ ไปข้างหน้า.

เทอมถัดไปคือ: log 3 27 จำได้ว่า 27 = 3 3 ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนลอการิทึมทั้งหมดใหม่ได้ดังนี้:

บันทึก 3 27 = 3 3 = 3

เทอมที่สองก็แค่สาม. เทอมที่สาม: 2 log x − 1 5 ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายเช่นกัน ฐานคือฟังก์ชัน ส่วนอาร์กิวเมนต์เป็นตัวเลขธรรมดา ฉันเสนอให้กลับลอการิทึมทั้งหมดโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

บันทึก a b = 1/บันทึก b a

การแปลงดังกล่าวสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ b ≠ 1 มิฉะนั้นลอการิทึมที่กลายเป็นตัวส่วนของเศษส่วนที่สองก็จะไม่มีอยู่จริง ในกรณีของเรา b = 5 ดังนั้นทุกอย่างก็โอเค:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

มาเขียนสมการดั้งเดิมใหม่โดยคำนึงถึงการแปลงผลลัพธ์:

4 บันทึก 25 (x − 1) − 3 + 2/ บันทึก 5 (x − 1) = 1

ในตัวส่วนของเศษส่วนเรามีบันทึก 5 (x − 1) และในระยะแรกเรามีบันทึก 25 (x − 1) แต่ 25 = 5 2 ดังนั้นเราจึงนำกำลังสองจากฐานของลอการิทึมตามกฎ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังที่ฐานของลอการิทึมจะกลายเป็นเศษส่วนที่อยู่ด้านหน้า และนิพจน์จะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

4 1/2 บันทึก 5 (x − 1) − 3 + 2/ บันทึก 5 (x − 1) − 1 = 0

เราได้สมการยาวที่มีลอการิทึมเหมือนกันหลายตัว ขอแนะนำตัวแปรใหม่:

ลอก 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

แต่นี่คือสมการเศษส่วน-ตรรกยะ ซึ่งแก้ได้โดยใช้พีชคณิตเกรด 8-9 ก่อนอื่นให้หารทุกอย่างด้วยสอง:

เสื้อ − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แน่นอนในวงเล็บ มายุบกัน:

(t − 1) 2 /t = 0

เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ อย่าลืมข้อเท็จจริงนี้:

(t - 1) 2 = 0

เสื้อ = 1

เสื้อ ≠ 0

จำไว้ว่า t คืออะไร:

ล็อก 5 (x − 1) = 1

บันทึก 5 (x − 1) = บันทึก 5 5

เรากำจัดสัญญาณบันทึก เทียบข้อโต้แย้ง และรับ:

x - 1 = 5 ⇒ x = 6

ทั้งหมด. ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว แต่ลองกลับไปที่สมการเดิมแล้วจำไว้ว่ามีลอการิทึมสองตัวที่มีตัวแปร x ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเขียนขอบเขตของคำจำกัดความ เนื่องจาก x − 1 อยู่ในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม นิพจน์นี้จึงต้องมากกว่าศูนย์:

x - 1 > 0

ในทางกลับกัน x − 1 เดียวกันก็ปรากฏที่ฐานเช่นกัน ดังนั้นจึงต้องแตกต่างจากความสามัคคี:

x - 1 ≠ 1

จากที่นี่เราสรุป:

x > 1; x ≠ 2

ต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อมกัน ค่า x = 6 เป็นไปตามข้อกำหนดทั้งสอง ดังนั้น x = 6 จึงเป็นคำตอบสุดท้ายของสมการลอการิทึม

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ลองใช้เวลาของเราอีกครั้งและดูแต่ละเทอม:

บันทึก 4 (x + 1) - ฐานคือสี่ มันเป็นตัวเลขปกติและคุณไม่จำเป็นต้องแตะมัน แต่ครั้งที่แล้วเราเจอกำลังสองตรงฐาน ซึ่งจะต้องนำออกจากใต้เครื่องหมายลอการิทึม มาทำเช่นเดียวกันตอนนี้:

บันทึก 4 (x + 1) = 1/2 บันทึก 2 (x + 1)

เคล็ดลับก็คือ เรามีลอการิทึมที่มีตัวแปร x อยู่แล้ว แม้ว่าจะอยู่ในฐาน แต่กลับเป็นค่าผกผันของลอการิทึมที่เราเพิ่งพบ:

8 บันทึก x + 1 2 = 8 (1/บันทึก 2 (x + 1)) = 8/บันทึก 2 (x + 1)

เทอมถัดไปคือบันทึก 2 8 ซึ่งเป็นค่าคงที่ เนื่องจากทั้งอาร์กิวเมนต์และฐานมีตัวเลขธรรมดา มาหาค่ากัน:

บันทึก 2 8 = บันทึก 2 2 3 = 3

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับลอการิทึมสุดท้าย:

ทีนี้ลองเขียนสมการดั้งเดิมใหม่:

1/2 บันทึก 2 (x + 1) + 8/บันทึก 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

บันทึก 2 (x + 1)/2 + 8/บันทึก 2 (x + 1) − 4 = 0

ลองนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม:

เรามีสมการตรรกยะเศษส่วนอีกครั้ง ขอแนะนำตัวแปรใหม่:

เสื้อ = บันทึก 2 (x + 1)

ลองเขียนสมการใหม่โดยคำนึงถึงตัวแปรใหม่:

ระวัง: ในขั้นตอนนี้ฉันได้สลับเงื่อนไข ตัวเศษของเศษส่วนประกอบด้วยกำลังสองของผลต่าง:

เช่นเคย เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์:

(t - 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

เสื้อ ≠ 0

เราได้รับหนึ่งรูทที่ตรงตามความต้องการทั้งหมด ดังนั้นเราจึงกลับไปที่ตัวแปร x:

บันทึก 2 (x + 1) = 4;

บันทึก 2 (x + 1) = บันทึก 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

แค่นั้นแหละ เราได้แก้สมการแล้ว แต่เนื่องจากสมการเดิมมีหลายลอการิทึม จึงจำเป็นต้องเขียนโดเมนของคำจำกัดความลงไป

ดังนั้น นิพจน์ x + 1 อยู่ในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม ดังนั้น x + 1 > 0 ในทางกลับกัน x + 1 ก็ปรากฏอยู่ในฐานเช่นกัน กล่าวคือ x + 1 ≠ 1. รวม:

0 ≠ x > −1

รูทที่พบเป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้หรือไม่ ไม่ต้องสงสัยเลย ดังนั้น x = 15 จึงเป็นคำตอบของสมการลอการิทึมดั้งเดิม

สุดท้ายนี้ ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้: หากคุณดูสมการและเข้าใจว่าคุณต้องแก้ไขสิ่งที่ซับซ้อนและไม่ได้มาตรฐาน ให้พยายามระบุโครงสร้างที่มั่นคงซึ่งจะถูกกำหนดโดยตัวแปรอื่นในภายหลัง ถ้าบางพจน์ไม่มีตัวแปร x เลย ก็มักจะคำนวณง่ายๆ ได้

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะพูดถึงในวันนี้ ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยคุณในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อน ชมวิดีโอบทช่วยสอนอื่นๆ ดาวน์โหลดและแก้ไขปัญหาของคุณเอง แล้วพบกันในวิดีโอหน้า!

วันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด โดยไม่จำเป็นต้องแปลงหรือเลือกรากเบื้องต้น แต่ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้สมการดังกล่าว มันจะง่ายกว่ามาก

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบบันทึก a f (x) = b โดยที่ a, b คือตัวเลข (a > 0, a ≠ 1), f (x) เป็นฟังก์ชันเฉพาะ

คุณลักษณะที่โดดเด่นของสมการลอการิทึมทั้งหมดคือการมีตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม หากนี่คือสมการที่ให้ไว้ในโจทย์ตั้งแต่แรก เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมอื่นๆ จะถูกลดทอนให้เหลือค่าที่ง่ายที่สุดโดยการแปลงแบบพิเศษ (ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม") อย่างไรก็ตาม ต้องคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยหลายประการ: อาจมีรากเพิ่มเติม ดังนั้นสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนจะถูกพิจารณาแยกกัน

จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? ก็เพียงพอที่จะแทนที่ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับด้วยลอการิทึมในฐานเดียวกันกับทางด้านซ้าย จากนั้นคุณก็สามารถกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมได้ เราได้รับ:

บันทึก a f (x) = b ⇒ บันทึก a f (x) = บันทึก a a b ⇒ f (x) = a b

เราได้สมการปกติ รากของมันคือรากของสมการดั้งเดิม

การออกปริญญา

บ่อยครั้งที่สมการลอการิทึมซึ่งภายนอกดูซับซ้อนและเป็นอันตราย จะแก้ได้ภายในสองสามบรรทัดโดยไม่เกี่ยวข้องกับสูตรที่ซับซ้อน วันนี้เราจะดูปัญหาดังกล่าวโดยที่สิ่งที่คุณต้องทำคือลดสูตรให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานอย่างระมัดระวังและไม่สับสนเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

วันนี้ ดังที่คุณคงเดาได้จากชื่อเรื่อง เราจะมาแก้สมการลอการิทึมโดยใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นรูปแบบมาตรฐาน “เคล็ดลับ” หลักของบทเรียนวิดีโอนี้คือการใช้องศาหรืออนุมานระดับจากพื้นฐานและการโต้แย้ง ลองดูกฎ:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถรับระดับจากฐานได้:

ดังที่เราเห็น หากเมื่อเราลบดีกรีออกจากอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เราก็มีปัจจัยเพิ่มเติมอยู่ข้างหน้า แล้วเมื่อเราลบดีกรีออกจากฐาน เราจะไม่ได้เป็นเพียงตัวประกอบเท่านั้น แต่ยังเป็นปัจจัยกลับด้านอีกด้วย สิ่งนี้จะต้องมีการจดจำ

สุดท้ายสิ่งที่น่าสนใจที่สุด สามารถรวมสูตรเหล่านี้เข้าด้วยกันได้ จากนั้นเราจะได้:

แน่นอนว่า เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ มีข้อผิดพลาดบางประการที่เกี่ยวข้องกับการขยายขอบเขตคำจำกัดความที่เป็นไปได้ หรือในทางกลับกัน การลดขอบเขตคำจำกัดความให้แคบลง ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 x

หากในกรณีแรก x อาจเป็นตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 นั่นคือข้อกำหนด x ≠ 0 ดังนั้นในกรณีที่สอง เราจะพอใจกับ x เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เท่ากัน แต่ยังมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด เนื่องจากโดเมนของ คำจำกัดความของลอการิทึมคืออาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น ฉันจะเตือนคุณถึงสูตรที่ยอดเยี่ยมจากหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8-9:

นั่นคือเราต้องเขียนสูตรของเราดังนี้:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 |x |

แล้วจะไม่มีการจำกัดขอบเขตคำจำกัดความให้แคบลง

อย่างไรก็ตาม วิดีโอสอนวันนี้จะไม่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส หากคุณดูที่งานของเรา คุณจะเห็นเพียงรากเหง้าเท่านั้น ดังนั้น เราจะไม่ใช้กฎนี้ แต่คุณยังต้องจำไว้เพื่อว่าในเวลาที่เหมาะสม เมื่อคุณเห็นฟังก์ชันกำลังสองในการโต้แย้งหรือฐานของลอการิทึม คุณจะจำกฎนี้และดำเนินการทั้งหมด การเปลี่ยนแปลงอย่างถูกต้อง

ดังนั้นสมการแรกคือ:

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ฉันขอเสนอให้พิจารณาแต่ละเงื่อนไขที่มีอยู่ในสูตรอย่างละเอียด

ลองเขียนเทอมแรกใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

เราดูเทอมที่สอง: log 3 (1 − x) ไม่จำเป็นต้องทำอะไรที่นี่ ทุกอย่างเปลี่ยนแปลงไปแล้วที่นี่

สุดท้าย 0, 5 ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทเรียนที่แล้ว เมื่อแก้สมการและสูตรลอการิทึม ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนสามัญ ลงมือทำกันเถอะ:

0,5 = 5/10 = 1/2

มาเขียนสูตรดั้งเดิมของเราใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขผลลัพธ์:

ล็อก 3 (1 − x ) = 1

ตอนนี้เรามาดูรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก 3 (1 − x ) = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมโดยทำให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน:

1 - x = 3

-x = 2

x = −2

นั่นแหละ เราได้แก้สมการแล้ว อย่างไรก็ตาม เรายังคงเล่นอย่างปลอดภัยและค้นหาขอบเขตของคำจำกัดความ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ กลับไปที่สูตรดั้งเดิมแล้วดู:

1 - x > 0

-x > −1

x< 1

รากของเรา x = −2 เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ ดังนั้น x = −2 จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม ตอนนี้เราได้รับเหตุผลที่เข้มงวดและชัดเจนแล้ว แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ลองดูแต่ละเทอมแยกกัน

มาเขียนอันแรกกัน:

เราได้เปลี่ยนเทอมแรกแล้ว เราทำงานกับเทอมที่สอง:

สุดท้าย เทอมสุดท้ายซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ:

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทนคำศัพท์ในสูตรผลลัพธ์:

บันทึก 3 x = 1

มาดูรูปแบบบัญญัติกันดีกว่า:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมออกไป โดยให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน และเราจะได้:

x = 3

ย้ำอีกครั้ง เพื่อความปลอดภัย ลองกลับไปที่สมการเดิมแล้วดูกัน ในสูตรดั้งเดิม ตัวแปร x ปรากฏอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ดังนั้น

x > 0

ในลอการิทึมที่สอง x อยู่ใต้รูท แต่อีกครั้งอยู่ในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น รูทต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ นิพจน์รากต้องมากกว่า 0 เราดูที่รูทของเรา x = 3 แน่นอนว่ามัน ตอบสนองความต้องการนี้ ดังนั้น x = 3 จึงเป็นคำตอบของสมการลอการิทึมดั้งเดิม แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

มีสองประเด็นสำคัญในวิดีโอสอนวันนี้:

1) อย่ากลัวที่จะแปลงลอการิทึมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอย่ากลัวที่จะดึงกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมในขณะที่จำสูตรพื้นฐานของเรา: เมื่อลบกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์มันก็จะถูกลบออกโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง เป็นตัวคูณ และเมื่อถอดกำลังออกจากฐาน พลังนี้จะกลับด้าน

2) จุดที่สองเกี่ยวข้องกับรูปแบบบัญญัติเอง เราทำการเปลี่ยนแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานที่ส่วนท้ายสุดของการเปลี่ยนแปลงสูตรสมการลอการิทึม ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรต่อไปนี้:

a = บันทึก b b a

แน่นอนโดยนิพจน์ "จำนวน b ใด ๆ " ฉันหมายถึงตัวเลขเหล่านั้นที่เป็นไปตามข้อกำหนดที่กำหนดบนฐานของลอการิทึมเช่น

1 ≠ ข > 0

สำหรับ b ดังกล่าว และเนื่องจากเรารู้พื้นฐานแล้ว ข้อกำหนดนี้จะถูกปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ แต่สำหรับ b ใดๆ ที่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถดำเนินการได้ และเราจะได้รูปแบบมาตรฐานซึ่งเราสามารถกำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมได้

การขยายขอบเขตของคำจำกัดความและรากเพิ่มเติม

ในกระบวนการแปลงสมการลอการิทึม อาจมีการขยายขอบเขตคำจำกัดความโดยนัย บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สังเกตเห็นสิ่งนี้ด้วยซ้ำ ซึ่งนำไปสู่ข้อผิดพลาดและคำตอบที่ไม่ถูกต้อง

เริ่มจากการออกแบบที่ง่ายที่สุดกันก่อน สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = b

โปรดทราบว่า x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียวเท่านั้น เราจะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? เราใช้รูปแบบบัญญัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึงตัวเลข b = log a a b และสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

รายการนี้เรียกว่ารูปแบบตามรูปแบบบัญญัติ ด้วยเหตุนี้คุณควรลดสมการลอการิทึมใด ๆ ที่คุณจะพบไม่เพียง แต่ในบทเรียนของวันนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานอิสระและงานทดสอบด้วย

วิธีที่จะได้รูปแบบ Canonical และเทคนิคที่จะใช้เป็นเรื่องของการปฏิบัติ สิ่งสำคัญที่ต้องทำความเข้าใจคือทันทีที่คุณได้รับบันทึกดังกล่าว คุณสามารถพิจารณาแก้ไขปัญหาได้ เพราะขั้นตอนต่อไปคือการเขียน:

ฉ (x) = ข

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและเพียงแค่เปรียบเทียบข้อโต้แย้ง

ทำไมต้องพูดทั้งหมดนี้? ความจริงก็คือรูปแบบมาตรฐานนั้นสามารถใช้ได้ไม่เพียงกับปัญหาที่ง่ายที่สุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาอื่น ๆ ด้วย โดยเฉพาะบรรดาผู้ที่เราจะตัดสินใจกันในวันนี้ มาดูกันดีกว่า

งานแรก:

สมการนี้มีปัญหาอะไร? ความจริงก็คือฟังก์ชันนี้มีอยู่ในลอการิทึมสองตัวพร้อมกัน ปัญหาสามารถลดลงให้เหลือน้อยที่สุดได้โดยการลบลอการิทึมหนึ่งออกจากอีกลอการิทึม แต่ปัญหาเกิดขึ้นกับพื้นที่คำจำกัดความ: รากเพิ่มเติมอาจปรากฏขึ้น ลองย้ายลอการิทึมตัวหนึ่งไปทางขวา:

รายการนี้คล้ายกับรูปแบบ Canonical มากกว่ามาก แต่มีความแตกต่างอีกอย่างหนึ่ง: ในรูปแบบบัญญัติข้อโต้แย้งจะต้องเหมือนกัน ทางซ้ายเรามีลอการิทึมในฐาน 3 และทางขวาในฐาน 1/3 เขารู้ดีว่าต้องนำฐานเหล่านี้มาให้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น จำไว้ว่าพลังเชิงลบคืออะไร:

จากนั้นเราจะใช้เลขชี้กำลัง “−1” นอกบันทึกเป็นตัวคูณ:

โปรดทราบ: องศาที่อยู่ตรงฐานจะกลับด้านและกลายเป็นเศษส่วน เราได้สัญกรณ์ที่เกือบจะเป็นที่ยอมรับโดยการกำจัดฐานที่แตกต่างกัน แต่ในทางกลับกัน เราได้ตัวประกอบ "−1" ทางด้านขวา ลองแยกปัจจัยนี้เข้าในการโต้แย้งโดยเปลี่ยนให้เป็นกำลัง:

แน่นอนว่าเมื่อได้รับรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับแล้ว เราก็ขีดฆ่าเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างกล้าหาญและถือเอาข้อโต้แย้ง ในเวลาเดียวกัน ฉันขอเตือนคุณว่าเมื่อยกกำลัง "−1" เศษส่วนจะถูกพลิกกลับ - จะได้สัดส่วน

ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนแล้วคูณตามขวาง:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

เรามีสมการกำลังสองข้างต้นอยู่ตรงหน้าเรา ดังนั้นเราจึงแก้มันโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณคิดว่าสมการได้รับการแก้ไขหรือไม่? เลขที่! สำหรับคำตอบดังกล่าว เราจะได้รับ 0 คะแนน เนื่องจากสมการดั้งเดิมมีลอการิทึมสองตัวที่มีตัวแปร x ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความด้วย

และนี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก นักเรียนส่วนใหญ่สับสน: โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมคืออะไร? แน่นอนว่า อาร์กิวเมนต์ทั้งหมด (เรามีสองข้อ) จะต้องมากกว่าศูนย์:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

อสมการเหล่านี้แต่ละอย่างจะต้องได้รับการแก้ไข ทำเครื่องหมายเป็นเส้นตรง ตัดกัน และจากนั้นจึงดูว่ารากใดอยู่ที่จุดตัด

พูดตามตรง: เทคนิคนี้มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่ เชื่อถือได้ และคุณจะได้รับคำตอบที่ถูกต้อง แต่มีขั้นตอนที่ไม่จำเป็นมากเกินไป มาดูวิธีแก้ปัญหาของเราอีกครั้งแล้วดูว่าเราจำเป็นต้องใช้ขอบเขตตรงไหนกันแน่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าเมื่อใดที่มีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น

เริ่มแรกเรามีลอการิทึมสองตัว จากนั้นเราย้ายอันใดอันหนึ่งไปทางขวา แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อพื้นที่คำจำกัดความ
จากนั้นเราก็ลบกำลังออกจากฐาน แต่ยังมีลอการิทึมสองตัวและในแต่ละลอการิทึมจะมีตัวแปร x
ในที่สุด เราก็ขีดฆ่าเครื่องหมายของบันทึกแล้วได้สมการตรรกยะเศษส่วนแบบคลาสสิก

มาถึงขั้นตอนสุดท้ายที่ขยายขอบเขตคำจำกัดความ! ทันทีที่เราเปลี่ยนมาใช้สมการเศษส่วน-ตรรกยะ โดยกำจัดเครื่องหมายบันทึก ข้อกำหนดสำหรับตัวแปร x ก็เปลี่ยนไปอย่างมาก!

ดังนั้น ขอบเขตของคำจำกัดความจึงไม่สามารถพิจารณาได้ตั้งแต่ตอนเริ่มต้นของการแก้ปัญหา แต่เฉพาะในขั้นตอนที่กล่าวถึงเท่านั้น ก่อนที่จะเปรียบเทียบอาร์กิวเมนต์โดยตรง

นี่คือจุดที่โอกาสในการเพิ่มประสิทธิภาพอยู่ ในด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้อาร์กิวเมนต์ทั้งสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ในทางกลับกัน เรายังถือเอาข้อโต้แย้งเหล่านี้เพิ่มเติมอีกด้วย ดังนั้น หากอย่างน้อยหนึ่งอันเป็นบวก อันที่สองก็จะเป็นบวกด้วย!

ปรากฎว่าการต้องบรรลุความไม่เท่าเทียมกันสองประการพร้อมกันนั้นเกินความจำเป็น ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเศษส่วนเพียงตัวเดียวเท่านั้น อันไหน? อันที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น ลองดูที่เศษส่วนทางขวา:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

นี่คือความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะแบบเศษส่วนทั่วไป เราแก้มันโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

วางป้ายอย่างไร? ลองหาจำนวนที่มากกว่ารากทั้งหมดของเราอย่างเห็นได้ชัด. เช่น 1 พันล้าน. และเราแทนเศษส่วนของมัน. เราได้จำนวนบวกนั่นคือ ทางด้านขวาของรูท x = 5 จะมีเครื่องหมายบวก

จากนั้นสัญญาณจะสลับกัน เนื่องจากไม่มีรากของความหลากหลายแม้แต่ที่ใดก็ได้ เราสนใจช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นบวก ดังนั้น x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞)

ตอนนี้ เรามาจำคำตอบกัน: x = 8 และ x = 2 พูดอย่างเคร่งครัด สิ่งเหล่านี้ยังไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นเพียงผู้มีสิทธิ์ชิงคำตอบเท่านั้น ตัวไหนอยู่ในชุดที่ระบุ? แน่นอน x = 8 แต่ x = 2 ไม่เหมาะกับเราในแง่ของขอบเขตคำจำกัดความ

โดยรวมแล้วคำตอบของสมการลอการิทึมแรกคือ x = 8 ตอนนี้เรามีวิธีแก้ปัญหาที่มีความสามารถและมีพื้นฐานมาอย่างดี โดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ

เรามาดูสมการที่สองกันดีกว่า:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 0.5 4 − ล็อก 5 (x − 5) + 3

ฉันขอเตือนคุณว่าหากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการ คุณควรกำจัดมันออกไป กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียน 0.5 ใหม่เป็นเศษส่วนร่วมกัน เราสังเกตได้ทันทีว่าลอการิทึมที่มีฐานนี้คำนวณได้ง่าย:

นี่เป็นช่วงเวลาที่สำคัญมาก! เมื่อเรามีองศาทั้งในฐานและอาร์กิวเมนต์ เราสามารถหาตัวบ่งชี้ขององศาเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร:

กลับไปที่สมการลอการิทึมเดิมของเราแล้วเขียนใหม่:

ล็อก 5 (x − 9) = 1 − ล็อก 5 (x − 5)

เราได้รับการออกแบบที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับรูปแบบมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม เราสับสนกับคำศัพท์และเครื่องหมายลบทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ลองแทนค่าหนึ่งเป็นลอการิทึมของฐาน 5:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5 1 − ล็อก 5 (x − 5)

ลบลอการิทึมทางด้านขวา (ในกรณีนี้อาร์กิวเมนต์จะถูกแบ่งออก):

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5/(x − 5)

มหัศจรรย์. ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ! เราขีดฆ่าสัญญาณบันทึกและถือเอาข้อโต้แย้ง:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

นี่คือสัดส่วนที่แก้ได้ง่ายๆ ด้วยการคูณตามขวาง:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

แน่นอนว่า เรามีสมการกำลังสองลดลง สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

เรามีสองราก แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย แต่เป็นเพียงคำตอบเท่านั้น เนื่องจากสมการลอการิทึมจำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความด้วย

ฉันเตือนคุณว่า: ไม่จำเป็นต้องค้นหาเมื่อใด ทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จะมากกว่าศูนย์ ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้อาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่ง—ทั้ง x − 9 หรือ 5/(x − 5)—มีค่ามากกว่าศูนย์ พิจารณาข้อโต้แย้งแรก:

x - 9 > 0

x > 9

แน่นอนว่ามีเพียง x = 10 เท่านั้นที่ตรงตามข้อกำหนดนี้ นี่คือคำตอบสุดท้าย ปัญหาทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้ว

อีกครั้งหนึ่ง แนวคิดสำคัญของบทเรียนวันนี้:

ทันทีที่ตัวแปร x ปรากฏในลอการิทึมหลายตัว สมการจะสิ้นสุดลงเป็นระดับประถมศึกษาและจะต้องคำนวณโดเมนของคำจำกัดความ มิฉะนั้น คุณสามารถเขียนรากเพิ่มเติมในคำตอบได้อย่างง่ายดาย
การทำงานกับโดเมนนั้นอาจง่ายขึ้นอย่างมากหากเราเขียนความไม่เท่าเทียมกันไม่ใช่ในทันที แต่ในช่วงเวลาที่เรากำจัดสัญญาณบันทึกออก ท้ายที่สุด เมื่ออาร์กิวเมนต์ถูกเทียบเคียงกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้มีเพียงข้อโต้แย้งเดียวเท่านั้นที่มากกว่าศูนย์

แน่นอน เราเองก็เลือกข้อโต้แย้งที่จะใช้เพื่อสร้างความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะเลือกข้อโต้แย้งที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น ในสมการที่สอง เราเลือกอาร์กิวเมนต์ (x − 9) ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งตรงข้ามกับอาร์กิวเมนต์ที่สองที่เป็นตรรกศาสตร์เศษส่วน เห็นด้วย การแก้อสมการ x − 9 > 0 นั้นง่ายกว่า 5/(x − 5) > 0 มาก แม้ว่าผลลัพธ์จะเหมือนเดิมก็ตาม

ข้อสังเกตนี้ทำให้การค้นหา ODZ ง่ายขึ้นอย่างมาก แต่ต้องระวัง: คุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันหนึ่งรายการแทนสองได้ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์นั้นแม่นยำ มีความเท่าเทียมกัน!

แน่นอนว่าตอนนี้คงมีคนถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นที่แตกต่างออกไป? ใช่บางเวลา. ตัวอย่างเช่น ในขั้นตอนนี้ เมื่อเราคูณสองอาร์กิวเมนต์ที่มีตัวแปร อาจมีความเสี่ยงที่รากที่ไม่จำเป็นจะปรากฏขึ้น

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ขั้นแรกจำเป็นต้องให้แต่ละอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าศูนย์ แต่หลังจากการคูณก็เพียงพอแล้วที่ผลคูณของพวกมันจะมากกว่าศูนย์ เป็นผลให้เกิดกรณีที่เศษส่วนแต่ละตัวเป็นลบหายไป

ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มเข้าใจสมการลอการิทึมที่ซับซ้อน ไม่ว่าจะในสถานการณ์ใดก็ตาม ห้ามคูณลอการิทึมที่มีตัวแปร x ซึ่งมักจะทำให้เกิดรากที่ไม่จำเป็น เป็นการดีกว่าที่จะดำเนินการขั้นตอนพิเศษหนึ่งขั้น ย้ายคำหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง และสร้างแบบฟอร์มตามรูปแบบบัญญัติ

จะทำอย่างไรถ้าคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องคูณลอการิทึมเราจะพูดถึงในบทเรียนวิดีโอหน้า :)

อีกครั้งเกี่ยวกับพลังในสมการ

วันนี้เราจะมาตรวจสอบหัวข้อที่ค่อนข้างลื่นเกี่ยวกับสมการลอการิทึม หรือถ้าให้เจาะจงกว่านั้นคือการถอดกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ฉันจะพูดด้วยซ้ำว่าเราจะพูดถึงการลบกำลังคู่ออก เพราะด้วยกำลังคู่นั้น ปัญหาส่วนใหญ่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง

เริ่มจากรูปแบบบัญญัติกันก่อน สมมติว่าเรามีสมการของรูปแบบ log a f (x) = b ในกรณีนี้ เราเขียนตัวเลข b ใหม่โดยใช้สูตร b = log a a b ปรากฎดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

จากนั้นเราถือเอาข้อโต้แย้ง:

ฉ (x) = ข

สูตรสุดท้ายเรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงพยายามลดสมการลอการิทึมใด ๆ ไม่ว่ามันจะดูซับซ้อนและน่ากลัวเพียงใดเมื่อมองแวบแรกก็ตาม

เรามาลองดูกัน เริ่มจากงานแรกกันก่อน:

หมายเหตุเบื้องต้น: อย่างที่ฉันบอกไปแล้ว เศษส่วนทศนิยมทั้งหมดในสมการลอการิทึมจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้ดีกว่า:

0,5 = 5/10 = 1/2

ลองเขียนสมการของเราใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ โปรดทราบว่าทั้ง 1/1000 และ 100 เป็นกำลังของ 10 แล้วลองเอากำลังออกไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็ตาม จากอาร์กิวเมนต์และแม้กระทั่งจากฐานของลอการิทึม:

และนักเรียนหลายคนมีคำถามว่า “โมดูลทางด้านขวามาจากไหน” จริงๆ แล้วทำไมไม่เขียน (x − 1) ล่ะ? แน่นอน ตอนนี้เราจะเขียน (x − 1) แต่เมื่อคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความแล้ว ทำให้เรามีสิทธิ์ใช้สัญลักษณ์ดังกล่าว ท้ายที่สุดแล้ว มีลอการิทึมอื่นอยู่แล้ว (x − 1) และนิพจน์นี้ต้องมากกว่าศูนย์

แต่เมื่อเราลบกำลังสองออกจากฐานของลอการิทึม เราต้องปล่อยให้โมดูลอยู่ที่ฐานอย่างแน่นอน ให้ฉันอธิบายว่าทำไม

ความจริงก็คือ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ การได้รับปริญญาก็เท่ากับการหยั่งราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเรายกกำลังสองนิพจน์ (x − 1) 2 เรากำลังหารากที่สองเป็นหลัก แต่รากที่สองนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าโมดูลัส อย่างแน่นอน โมดูลเพราะแม้ว่านิพจน์ x − 1 จะเป็นลบ แต่เมื่อยกกำลังสองแล้ว “เครื่องหมายลบ” ก็จะยังคงอยู่ การสกัดรากเพิ่มเติมจะทำให้เราได้จำนวนบวกโดยไม่มีข้อเสียใด ๆ

โดยทั่วไป เพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่น่ารังเกียจ โปรดจำไว้เสมอว่า:

รากของกำลังคู่ของฟังก์ชันใด ๆ ที่ถูกยกให้เป็นกำลังเดียวกันนั้นไม่เท่ากับตัวฟังก์ชันเอง แต่เป็นโมดูลัสของมัน:

ลองกลับไปที่สมการลอการิทึมของเรากัน เมื่อพูดถึงโมดูล ฉันแย้งว่าเราสามารถลบมันออกได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเรื่องจริง ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม พูดอย่างเคร่งครัด เราต้องพิจารณาสองทางเลือก:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

แต่ละตัวเลือกเหล่านี้จะต้องได้รับการแก้ไข แต่มีสิ่งหนึ่งที่เข้าใจได้: สูตรดั้งเดิมมีฟังก์ชัน (x − 1) อยู่แล้วโดยไม่มีโมดูลัสใดๆ และตามขอบเขตของนิยามลอการิทึม เรามีสิทธิ์เขียน x − 1 > 0 ได้ทันที

ข้อกำหนดนี้ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดโดยไม่คำนึงถึงโมดูลและการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ที่เราทำในกระบวนการโซลูชัน ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะต้องพิจารณาตัวเลือกที่สอง - มันจะไม่มีวันเกิดขึ้น แม้ว่าเราจะได้ตัวเลขมาบ้างเมื่อแก้ไขสาขาของความไม่เท่าเทียมกันนี้ แต่ก็ยังไม่รวมอยู่ในคำตอบสุดท้าย

ตอนนี้เราอยู่ห่างจากรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึมไปหนึ่งก้าวแล้ว ลองเป็นตัวแทนของหน่วยดังต่อไปนี้:

1 = บันทึก x − 1 (x − 1) 1

นอกจากนี้ เรายังแนะนำตัวประกอบ −4 ซึ่งอยู่ทางขวาเข้าสู่อาร์กิวเมนต์:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึม:

10 −4 = x − 1

แต่เนื่องจากฐานเป็นฟังก์ชัน (ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) เราจึงกำหนดให้ฟังก์ชันนี้มีค่ามากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่งด้วย ระบบผลลัพธ์จะเป็น:

เนื่องจากข้อกำหนด x − 1 > 0 เป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ (ท้ายที่สุดแล้ว x − 1 = 10 −4) จึงสามารถลบหนึ่งในอสมการออกจากระบบของเราได้ เงื่อนไขที่สองสามารถขีดฆ่าออกได้ เนื่องจาก x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

นี่เป็นรากเดียวที่ตอบสนองข้อกำหนดทั้งหมดของโดเมนคำจำกัดความของลอการิทึมโดยอัตโนมัติ (อย่างไรก็ตาม ข้อกำหนดทั้งหมดถูกกำจัดออกไปตามที่เห็นได้ชัดเจนในเงื่อนไขของปัญหาของเรา)

ดังนั้นสมการที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 บันทึก 9 x x 2

สมการนี้แตกต่างโดยพื้นฐานจากสมการก่อนหน้าอย่างไร หากเพียงเพราะฐานของลอการิทึม - 3x และ 9x - ไม่ใช่พลังธรรมชาติของกันและกัน ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงที่เราใช้ในโซลูชันก่อนหน้านี้จึงไม่สามารถทำได้

อย่างน้อยก็กำจัดองศากันเถอะ ในกรณีของเรา ระดับเดียวอยู่ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9 x |x |

อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายโมดูลัสสามารถลบออกได้ เนื่องจากตัวแปร x อยู่ที่ฐานเช่นกัน กล่าวคือ x > 0 ⇒ |x| = x ลองเขียนสมการลอการิทึมของเราใหม่:

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

เราได้รับลอการิทึมซึ่งอาร์กิวเมนต์เหมือนกัน แต่ฐานต่างกัน จะทำอย่างไรต่อไป? มีตัวเลือกมากมายที่นี่ แต่เราจะพิจารณาเพียงสองตัวเลือกเท่านั้นซึ่งสมเหตุสมผลที่สุดและที่สำคัญที่สุดคือเทคนิคเหล่านี้เป็นเทคนิคที่รวดเร็วและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่

เราได้พิจารณาตัวเลือกแรกแล้ว: ในสถานการณ์ที่ไม่ชัดเจน ให้แปลงลอการิทึมที่มีฐานแปรผันให้เป็นฐานคงที่บางค่า ตัวอย่างเช่นเพื่อผีสาง สูตรการเปลี่ยนแปลงนั้นง่าย:

แน่นอนว่าบทบาทของตัวแปร c ควรเป็นจำนวนปกติ: 1 ≠ c > 0 สมมุติว่าในกรณีของเรา c = 2 ตอนนี้เรามีสมการตรรกยะเศษส่วนธรรมดาตรงหน้าเราแล้ว เรารวบรวมองค์ประกอบทั้งหมดทางด้านซ้าย:

แน่นอนว่า เป็นการดีกว่าที่จะลบตัวประกอบ log 2 x เนื่องจากมีอยู่ในเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สอง

บันทึก 2 x = 0;

3 บันทึก 2 9x = 4 บันทึก 2 3x

เราแบ่งแต่ละบันทึกออกเป็นสองเงื่อนไข:

บันทึก 2 9x = บันทึก 2 9 + บันทึก 2 x = 2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x;

บันทึก 2 3x = บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x

มาเขียนความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้:

3 (2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x ) = 4 (บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x )

6 บันทึก 2 3 + 3 บันทึก 2 x = 4 บันทึก 2 3 + 4 บันทึก 2 x

2 บันทึก 2 3 = บันทึก 2 x

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการป้อนสองภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม (มันจะกลายเป็นกำลัง: 3 2 = 9):

บันทึก 2 9 = บันทึก 2 x

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานที่ยอมรับได้ เราจะกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับ:

ตามที่คาดไว้ รูทนี้กลายเป็นมากกว่าศูนย์ ยังคงต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความ ลองดูสาเหตุ:

แต่รูท x = 9 เป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ ดังนั้นจึงถือเป็นการตัดสินใจครั้งสุดท้าย

ข้อสรุปจากโซลูชันนี้ง่ายมาก: อย่ากลัวการคำนวณที่ยาว! ในตอนแรกเราเลือกฐานใหม่โดยการสุ่ม - และกระบวนการนี้ซับซ้อนมาก

แต่แล้วคำถามก็เกิดขึ้น: พื้นฐานคืออะไร เหมาะสมที่สุด? ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ในวิธีที่สอง

กลับไปที่สมการดั้งเดิมของเรา:

3 บันทึก 3x x = 2 บันทึก 9x x 2

3 บันทึก 3x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

ทีนี้ลองคิดดูหน่อย: ตัวเลขหรือฟังก์ชันใดจะเป็นพื้นฐานที่เหมาะสมที่สุด? แน่นอนว่าตัวเลือกที่ดีที่สุดคือ c = x - สิ่งที่มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์อยู่แล้ว ในกรณีนี้ สูตร log a b = log c b /log c a จะอยู่ในรูปแบบ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์จะกลับรายการเพียงอย่างเดียว ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์และพื้นฐานจะเปลี่ยนไป

สูตรนี้มีประโยชน์มากและมักใช้ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม มีข้อผิดพลาดร้ายแรงประการหนึ่งเมื่อใช้สูตรนี้ หากเราแทนที่ตัวแปร x แทนฐาน จะมีการกำหนดข้อจำกัดที่ไม่เคยสังเกตมาก่อน:

ไม่มีข้อจำกัดดังกล่าวในสมการดั้งเดิม ดังนั้น เราควรตรวจสอบกรณีแยกกันเมื่อ x = 1 แทนค่านี้ลงในสมการของเรา:

3 บันทึก 3 1 = 4 บันทึก 9 1

เราได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x = 1 คือราก เราพบรากที่เหมือนกันทุกประการในวิธีการก่อนหน้านี้ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา

แต่ตอนนี้เมื่อเราพิจารณากรณีนี้แยกกัน เราก็ถือว่า x ≠ 1 ได้อย่างปลอดภัย จากนั้นสมการลอการิทึมของเราจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3 บันทึก x 9x = 4 บันทึก x 3x

เราขยายลอการิทึมทั้งสองโดยใช้สูตรเดียวกันกับเมื่อก่อน โปรดทราบว่าบันทึก x x = 1:

3 (บันทึก x 9 + บันทึก x x ) = 4 (บันทึก x 3 + บันทึก x x )

3 บันทึก x 9 + 3 = 4 บันทึก x 3 + 4

3 บันทึก x 3 2 − 4 บันทึก x 3 = 4 − 3

2 บันทึก x 3 = 1

ดังนั้นเราจึงมาถึงรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก x 9 = บันทึก x x 1

x=9

เราได้รากที่สอง เป็นไปตามข้อกำหนด x ≠ 1 ดังนั้น x = 9 พร้อมด้วย x = 1 จึงเป็นคำตอบสุดท้าย

อย่างที่คุณเห็นปริมาณการคำนวณลดลงเล็กน้อย แต่เมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง จำนวนขั้นตอนจะน้อยกว่ามากเนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องอธิบายแต่ละขั้นตอนโดยละเอียด

กฎสำคัญของบทเรียนวันนี้มีดังต่อไปนี้: หากปัญหามีดีกรีเลขคู่ ซึ่งรากของดีกรีเดียวกันถูกแยกออกมา ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นโมดูลัส อย่างไรก็ตาม โมดูลนี้สามารถลบออกได้หากคุณใส่ใจกับโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

แต่ระวัง: หลังจากบทเรียนนี้ นักเรียนส่วนใหญ่คิดว่าตนเข้าใจทุกอย่างแล้ว แต่เมื่อแก้ไขปัญหาจริง พวกเขาไม่สามารถสร้างสายโซ่ลอจิคัลทั้งหมดได้ เป็นผลให้สมการได้มาซึ่งรากที่ไม่จำเป็นและคำตอบกลับกลายเป็นว่าไม่ถูกต้อง

การแก้สมการลอการิทึม ส่วนที่ 1.

สมการลอการิทึมเป็นสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม (โดยเฉพาะในฐานของลอการิทึม)

ที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมมีรูปแบบ:

การแก้สมการลอการิทึมใดๆเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้สัญลักษณ์ลอการิทึม อย่างไรก็ตามการกระทำนี้จะขยายช่วงของค่าที่อนุญาตของสมการและอาจนำไปสู่การปรากฏตัวของรากที่ไม่เกี่ยวข้อง เพื่อหลีกเลี่ยงการปรากฏตัวของรากต่างประเทศคุณสามารถดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งจากสามวิธี:

1. ทำการเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกันจากสมการเดิมไปสู่ระบบได้แก่

ขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกันหรือง่ายกว่า

หากสมการมีค่าไม่ทราบอยู่ในฐานของลอการิทึม:

จากนั้นเราไปที่ระบบ:

2. ค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการแยกจากกันจากนั้นแก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบที่พบเป็นไปตามสมการหรือไม่

3. แก้สมการแล้ว ตรวจสอบ:แทนที่คำตอบที่พบลงในสมการดั้งเดิมแล้วตรวจสอบว่าเราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องหรือไม่

สมการลอการิทึมของระดับความซับซ้อนใดๆ มักจะลดลงเหลือสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดเสมอ

สมการลอการิทึมทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภท:

1 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังแรกเท่านั้น ด้วยความช่วยเหลือจากการเปลี่ยนแปลงและการใช้งาน พวกมันจึงถูกนำมาสู่รูปแบบ

ตัวอย่าง. มาแก้สมการกัน:

ลองเปรียบเทียบนิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึม:

ตรวจสอบว่ารากของสมการของเราเป็นไปตามนั้นหรือไม่:

ใช่มันน่าพอใจ

คำตอบ: x=5

2 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังอื่นที่ไม่ใช่ 1 (โดยเฉพาะในตัวส่วนของเศษส่วน) สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร.

ตัวอย่าง.มาแก้สมการกัน:

มาหาสมการ ODZ กัน:

สมการนี้มีลอการิทึมกำลังสอง ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

สำคัญ! ก่อนที่จะแนะนำสิ่งทดแทน คุณต้อง "ดึง" ลอการิทึมที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการออกเป็น "อิฐ" โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

เมื่อ "แยก" ลอการิทึม สิ่งสำคัญคือต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึมอย่างระมัดระวัง:

นอกจากนี้ ยังมีจุดที่ละเอียดอ่อนอีกจุดหนึ่งที่นี่ และเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดทั่วไป เราจะใช้ความเท่าเทียมกันระดับกลาง: เราจะเขียนระดับของลอการิทึมในรูปแบบนี้:

เช่นเดียวกัน,

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิม เราได้รับ:

ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าสิ่งที่ไม่ทราบมีอยู่ในสมการซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ เรามาแนะนำการเปลี่ยนกัน: . เนื่องจากสามารถรับค่าจริงใดๆ ได้ เราจึงไม่กำหนดข้อจำกัดใดๆ กับตัวแปร

คุณสมบัติหลัก.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

บริเวณที่เหมือนกัน

ล็อก6 4 + ล็อก6 9.

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและคำนวณค่าของพวกเขา

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)

จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

และลอการิทึมสำคัญอีกตัวหนึ่งของฐานสองเขียนแทนด้วย

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจากหลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี

3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎหลายข้อ

การค้นหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย

เราบันทึกไว้และไว้อาลัย

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน

ลอการิทึม ระดับแรก.

ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม หลังจากศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้ว เราจะขยายความรู้ของคุณไปยังหัวข้ออื่นที่สำคัญไม่แพ้กัน - อสมการลอการิทึม...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม