แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้เพื่อ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ รูปแบบและหลักการเป็นตัวแทนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ b เป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์- กระบวนการสร้างและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างยิ่งในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยแทนที่วัตถุจริงด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จากนั้นจึงศึกษาวัตถุชิ้นหลัง

คำจำกัดความ

ไม่มีคำจำกัดความใดที่สามารถครอบคลุมกิจกรรมที่แท้จริงของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความก็มีประโยชน์ตรงที่พยายามเน้นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุด

คำจำกัดความของแบบจำลองตาม A. A. Lyapunov: การสร้างแบบจำลองเป็นการศึกษาเชิงปฏิบัติหรือเชิงทฤษฎีทางอ้อมของวัตถุซึ่งไม่ใช่วัตถุที่เราสนใจซึ่งได้รับการศึกษาโดยตรง แต่เป็นระบบประดิษฐ์หรือธรรมชาติเสริมบางอย่าง:

ตั้งอยู่ในการติดต่อตามวัตถุประสงค์บางอย่างกับวัตถุที่รับรู้ได้

สามารถทดแทนได้ในบางประเด็น

ซึ่งเมื่อศึกษาแล้ว ก็จะให้ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองในท้ายที่สุด

ตามตำราของ Sovetov และ Yakovlev: "แบบจำลองคือวัตถุทดแทนสำหรับวัตถุดั้งเดิม ซึ่งให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ" “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยอีกวัตถุหนึ่งเพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” “โดยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราหมายถึงกระบวนการสร้างความสอดคล้องระหว่างวัตถุจริงที่กำหนดกับวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ ซึ่งทำให้สามารถรับลักษณะของวัตถุจริงภายใต้การพิจารณาได้ ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับลักษณะของวัตถุจริงและงานศึกษาวัตถุ ตลอดจนความน่าเชื่อถือและความแม่นยำที่ต้องการในการแก้ปัญหานี้”

จากข้อมูลของ Samarsky และ Mikhailov แบบจำลองทางคณิตศาสตร์นั้นเป็น "เทียบเท่า" ของวัตถุซึ่งสะท้อนให้เห็นในรูปแบบทางคณิตศาสตร์คุณสมบัติที่สำคัญที่สุด: กฎที่มันปฏิบัติตาม, การเชื่อมต่อที่มีอยู่ในส่วนที่เป็นส่วนประกอบ ฯลฯ มันมีอยู่ในกลุ่มสามกลุ่ม " โมเดลอัลกอริธึมโปรแกรม” หลังจากสร้าง "โปรแกรมอัลกอริธึมแบบจำลอง" ขึ้นมาสามกลุ่มแล้ว ผู้วิจัยจะได้รับเครื่องมือที่เป็นสากล ยืดหยุ่น และราคาไม่แพง ซึ่งได้รับการดีบั๊กและทดสอบครั้งแรกในการทดลองคำนวณเชิงทดลอง หลังจากที่สร้างความเพียงพอของทั้งสามกับวัตถุดั้งเดิมแล้ว "การทดลอง" ที่หลากหลายและละเอียดจะถูกดำเนินการกับแบบจำลอง โดยให้คุณสมบัติและคุณลักษณะเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณที่จำเป็นทั้งหมดของวัตถุ

ตามเอกสารของ Myshkis: “เรามาดูคำจำกัดความทั่วไปกันดีกว่า สมมติว่าเรากำลังจะสำรวจคุณสมบัติชุด S ของวัตถุจริง a ด้วย

โดยใช้คณิตศาสตร์ ในการทำเช่นนี้ เราเลือก "วัตถุทางคณิตศาสตร์" a" - ระบบสมการหรือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์หรือตัวเลขทางเรขาคณิตหรือทั้งสองอย่างรวมกัน ฯลฯ - การศึกษาซึ่งใช้คณิตศาสตร์ควรตอบคำถามที่ตั้งไว้ คุณสมบัติของ S ในเงื่อนไขเหล่านี้ a" เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุซึ่งสัมพันธ์กับเซต S ของคุณสมบัติของมัน"

ตามคำกล่าวของ Sevostyanov A.G.: “แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือชุดของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ สมการ อสมการ ฯลฯ ที่อธิบายรูปแบบพื้นฐานที่มีอยู่ในกระบวนการ วัตถุ หรือระบบที่กำลังศึกษา”

คำจำกัดความทั่วไปที่ค่อนข้างน้อยกว่าของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนอุดมคติของอินพุต-เอาต์พุต-สถานะที่ยืมมาจากทฤษฎีออโตมาตา ให้ไว้โดยวิกิพจนานุกรม: "การแทนค่าทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของกระบวนการ อุปกรณ์ หรือแนวคิดทางทฤษฎี โดยจะใช้ชุดของตัวแปรเพื่อแสดงอินพุต เอาท์พุต และสถานะภายใน และชุดของสมการและอสมการเพื่ออธิบายปฏิสัมพันธ์ของตัวแปรเหล่านั้น”

สุดท้ายนี้ คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือ "สมการที่แสดงออกถึงแนวคิด"

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างเป็นรูปขั้วคู่ ตัวอย่างเช่น หนึ่งในชุดไดโคโทมียอดนิยม:

โมเดลเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ระบบแบบรวมศูนย์หรือแบบกระจาย กำหนดหรือสุ่ม; คงที่หรือไดนามิก ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง

และอื่น ๆ โมเดลที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดไว้หรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว โมเดลแบบผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: เน้นในแง่หนึ่ง กระจายในอีกประการหนึ่ง ฯลฯ

จำแนกตามวิธีการนำเสนอวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทอย่างเป็นทางการแล้ว โมเดลยังแตกต่างกันในลักษณะที่เป็นตัวแทนของวัตถุ:

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุในฐานะระบบที่มีโครงสร้างและกลไกการทำงานเป็นของตัวเอง โมเดลเชิงฟังก์ชันไม่ได้ใช้การนำเสนอดังกล่าวและสะท้อนเฉพาะพฤติกรรมการรับรู้จากภายนอกของวัตถุเท่านั้น ในการแสดงออกที่รุนแรงจะเรียกว่าโมเดล "กล่องดำ" นอกจากนี้ยังสามารถรวมโมเดลประเภทต่างๆ เข้าด้วยกัน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าโมเดล "กล่องสีเทา"

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าก่อนอื่นโครงสร้างในอุดมคติพิเศษซึ่งเป็นแบบจำลองที่มีความหมายได้ถูกสร้างขึ้น ไม่มีคำศัพท์ที่กำหนดไว้ในที่นี้ และผู้เขียนคนอื่นๆ เรียกวัตถุในอุดมคตินี้ว่าแบบจำลองแนวความคิด แบบจำลองการเก็งกำไร หรือแบบจำลองล่วงหน้า ในกรณีนี้ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายเรียกว่าแบบจำลองที่เป็นทางการหรือเพียงแค่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการทำให้แบบจำลองที่มีความหมายนี้เป็นระเบียบ การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถทำได้โดยใช้ชุดอุดมคติสำเร็จรูป เช่นเดียวกับในกลไก โดยที่สปริงในอุดมคติ วัตถุแข็ง ลูกตุ้มในอุดมคติ ตัวกลางที่ยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในด้านความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีอย่างเป็นทางการที่สมบูรณ์ การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายจะยากขึ้นอย่างมาก

งานของ R. Peierls ให้การจำแนกประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในฟิสิกส์ และในวงกว้างมากขึ้นในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ในหนังสือของ A. N. Gorban และ R. G. Khlebopros การจำแนกประเภทนี้ได้รับการวิเคราะห์และขยายออกไป การจำแนกประเภทนี้มุ่งเน้นไปที่ขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองที่มีความหมายเป็นหลัก

แบบจำลองเหล่านี้ “แสดงถึงคำอธิบายเบื้องต้นของปรากฏการณ์ และผู้เขียนเชื่อในความเป็นไปได้ของมันหรือแม้กระทั่งคิดว่ามันเป็นความจริง” ตามข้อมูลของ R. Peierls สิ่งเหล่านี้คือแบบจำลองของระบบสุริยะตามแบบจำลองของปโตเลมีและแบบจำลองโคเปอร์นิกัน แบบจำลองอะตอมของรัทเทอร์ฟอร์ด และแบบจำลองบิ๊กแบง

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้เพียงครั้งเดียวและตลอดไป Richard Feynman กำหนดสิ่งนี้ไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีโอกาสที่จะหักล้างทฤษฎีอยู่เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณได้ตั้งสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ โดยคำนวณว่าสมมติฐานนั้นนำไปสู่จุดใด และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันเพียงหมายความว่าคุณล้มเหลวในการปฏิเสธมัน”

หากแบบจำลองประเภทแรกถูกสร้างขึ้น หมายความว่าแบบจำลองนั้นได้รับการยอมรับว่าเป็นความจริงชั่วคราว และเราสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นเพียงการหยุดชั่วคราวเท่านั้น: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถเป็นเพียงชั่วคราวเท่านั้น

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาประกอบด้วยกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันได้อย่างเพียงพอด้วยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่สอดคล้องกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุนั้น ดังนั้นแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบ และการค้นหา “กลไกที่แท้จริง” จะต้องดำเนินต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls รวมถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของแบบจำลองในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา อาจเกิดขึ้นได้ว่าข้อมูลและทฤษฎีใหม่ ๆ ยืนยันแบบจำลองทางปรากฏการณ์วิทยาและได้รับการอัพเกรดเป็น

สถานะสมมุติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง-สมมติฐานประเภทแรก และสามารถแปลเป็นความรู้ประเภทที่สองได้ ดังนั้นแบบจำลองควาร์กจึงค่อย ๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมนิยมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีการแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์มันจึงกลายเป็นประเภทแรก แต่แบบจำลองอีเทอร์ได้เดินทางจากประเภท 1 ไปเป็นประเภท 2 และขณะนี้อยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์แล้ว

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างแบบจำลอง แต่การทำให้เข้าใจง่ายมาในรูปแบบที่แตกต่างกัน Peierls ระบุการลดความซับซ้อนสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

หากเป็นไปได้ที่จะสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะสามารถแก้ไขได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณค่า หนึ่งในนั้นคือแบบจำลองการตอบสนองเชิงเส้น สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

หากเราใช้แบบจำลองก๊าซในอุดมคติเพื่ออธิบายก๊าซที่ทำให้บริสุทธิ์อย่างเพียงพอ นี่ก็จะเป็นแบบจำลองประเภท 3 ที่ความหนาแน่นของก๊าซที่สูงขึ้น การจินตนาการถึงสถานการณ์ที่ง่ายกว่าด้วยก๊าซในอุดมคติสำหรับความเข้าใจและการประมาณเชิงคุณภาพก็มีประโยชน์เช่นกัน แต่นี่คือ พิมพ์ 4 แล้ว

ในโมเดลประเภทที่ 4 รายละเอียดที่อาจส่งผลต่อผลลัพธ์อย่างมีนัยสำคัญและไม่สามารถควบคุมได้เสมอไปจะถูกละทิ้งไป สมการเดียวกันนี้สามารถใช้เป็นแบบจำลองประเภท 3 หรือ 4 ได้ ขึ้นอยู่กับปรากฏการณ์ที่แบบจำลองใช้ในการศึกษา ดังนั้น หากใช้แบบจำลองการตอบสนองเชิงเส้นโดยไม่มีแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่านี้ แบบจำลองเหล่านี้ก็เป็นแบบจำลองเชิงเส้นเชิงปรากฏการณ์วิทยาอยู่แล้ว และเป็นของประเภทที่ 4 ต่อไปนี้

ตัวอย่าง: การประยุกต์แบบจำลองก๊าซในอุดมคติกับก๊าซที่ไม่เหมาะ สมการสถานะแวนเดอร์วาลส์ แบบจำลองส่วนใหญ่ของฟิสิกส์สถานะของแข็ง ของเหลว และนิวเคลียร์ เส้นทางจากคำอธิบายขนาดเล็กไปจนถึงคุณสมบัติของวัตถุที่ประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมากนั้นยาวมาก ต้องละทิ้งรายละเอียดมากมาย นำไปสู่รูปแบบที่ 4

แบบจำลองการศึกษาสำนึกยังคงรักษาความคล้ายคลึงเชิงคุณภาพกับความเป็นจริงเท่านั้น และคาดการณ์ได้เพียง "ตามลำดับความสำคัญ" ตัวอย่างทั่วไปคือการประมาณค่าเส้นทางอิสระเฉลี่ยในทฤษฎีจลน์ศาสตร์ โดยให้สูตรง่ายๆ สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ความหนืด การแพร่ และการนำความร้อน ซึ่งสอดคล้องกับความเป็นจริงตามขนาด

แต่เมื่อสร้างฟิสิกส์ใหม่ เป็นไปไม่ได้ทันทีที่จะได้รับแบบจำลองที่ให้คำอธิบายเชิงคุณภาพของวัตถุเป็นอย่างน้อย - แบบจำลองประเภทที่ห้า ในกรณีนี้ แบบจำลองมักใช้โดยการเปรียบเทียบ ซึ่งสะท้อนความเป็นจริงในรายละเอียดอย่างน้อยบางส่วน

R. Peierls ให้ประวัติการใช้การเปรียบเทียบในบทความแรกของ W. Heisenberg เกี่ยวกับธรรมชาติของกองกำลังนิวเคลียร์ “สิ่งนี้เกิดขึ้นหลังจากการค้นพบนิวตรอน และถึงแม้ว่าดับเบิลยู. ไฮเซนเบิร์กจะเข้าใจว่านิวเคลียสประกอบด้วยนิวตรอนและโปรตอนสามารถอธิบายได้ แต่เขาก็ยังไม่สามารถกำจัดความคิดที่ว่าท้ายที่สุดแล้วนิวตรอนจะต้องประกอบด้วยโปรตอนและ อิเล็กตรอน ในกรณีนี้ มีการเปรียบเทียบเกิดขึ้นระหว่างอันตรกิริยาในระบบนิวตรอน-โปรตอนกับอันตรกิริยาของอะตอมไฮโดรเจนกับโปรตอน การเปรียบเทียบนี้ทำให้เขาสรุปได้ว่าจะต้องมีแรงแลกเปลี่ยนระหว่างนิวตรอนกับโปรตอน ซึ่งคล้ายกับแรงแลกเปลี่ยนในระบบ H - H ที่เกิดจากการเปลี่ยนอิเล็กตรอนระหว่างโปรตอนสองตัว ... ต่อมาการมีอยู่ของแรงแลกเปลี่ยนของอันตรกิริยาระหว่างนิวตรอนและโปรตอนก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว แม้ว่าพวกมันจะยังไม่หมดสิ้นไปโดยสิ้นเชิงก็ตาม

ปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคทั้งสอง... แต่จากการเปรียบเทียบเดียวกัน W. Heisenberg ได้ข้อสรุปว่าไม่มีแรงนิวเคลียร์ในการมีปฏิสัมพันธ์ระหว่างโปรตอนสองตัว และเพื่อยืนยันแรงผลักระหว่างนิวตรอนสองตัว การค้นพบครั้งหลังทั้งสองนี้ขัดแย้งกับการศึกษาล่าสุด"

ก. ไอน์สไตน์เป็นหนึ่งในปรมาจารย์ด้านการทดลองทางความคิดผู้ยิ่งใหญ่ นี่คือหนึ่งในการทดลองของเขา มันถูกประดิษฐ์ขึ้นในวัยหนุ่มของเขาและในที่สุดก็นำไปสู่การสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ สมมติว่าในฟิสิกส์คลาสสิก เรากำลังเคลื่อนที่ตามหลังคลื่นแสงด้วยความเร็วแสง เราจะสังเกตเห็นสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะในอวกาศและคงที่ในเวลา ตามสมการของแมกซ์เวลล์ สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น เด็กหนุ่มไอน์สไตน์จึงสรุปว่า กฎธรรมชาติเปลี่ยนแปลงเมื่อระบบอ้างอิงเปลี่ยนแปลง หรือความเร็วแสงไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบอ้างอิง เขาเลือกตัวเลือกที่สอง - สวยงามกว่า การทดลองทางความคิดของไอน์สไตน์ที่มีชื่อเสียงอีกประการหนึ่งคือ Einstein-Podolsky-Rosen Paradox

มาแล้วประเภทที่ 8 ซึ่งแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบชีววิทยา

สิ่งเหล่านี้ยังเป็นการทดลองทางความคิดกับเอนทิตีในจินตนาการ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าปรากฏการณ์ที่คาดคะเนนั้นสอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและสอดคล้องกันภายใน นี่คือความแตกต่างที่สำคัญจากรุ่นประเภท 7 ซึ่งเผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

หนึ่งในการทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเรขาคณิตของ Lobachevsky อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลน์ศาสตร์อย่างเป็นทางการของการสั่นสะเทือนทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของไอน์สไตน์-โพโดลสกี-โรเซนถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภท 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ด้วยวิธีที่ไม่ได้วางแผนไว้โดยสิ้นเชิง ในที่สุดมันก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลควอนตัม

พิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงติดอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและมีมวล m ติดอยู่ที่ปลายอิสระของสปริง เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ไปในทิศทางของแกนสปริงเท่านั้น เรามาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้กัน เราจะอธิบายสถานะของระบบตามระยะทาง x จากศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ลองอธิบายอันตรกิริยาของสปริงและโหลดโดยใช้กฎของฮุค จากนั้นใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่ หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของ x เทียบกับเวลา..

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบฟิสิคัลที่พิจารณา รุ่นนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจำแนกอย่างเป็นทางการ โมเดลนี้เป็นแบบเชิงเส้น กำหนดได้ ไดนามิก มีความเข้มข้น ต่อเนื่อง ในระหว่างการก่อสร้าง เราได้ตั้งสมมติฐานหลายประการที่อาจไม่เป็นไปตามความเป็นจริง

เมื่อสัมพันธ์กับความเป็นจริง นี่เป็นรูปแบบการทำให้เข้าใจง่ายประเภทที่ 4 บ่อยที่สุด เนื่องจากคุณลักษณะสากลที่สำคัญบางประการถูกละเว้น ในการประมาณค่า แบบจำลองดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจาก

ปัจจัยที่ถูกละทิ้งมีผลกระทบเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของเธอ อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้สามารถปรับแต่งได้โดยคำนึงถึงปัจจัยบางประการเหล่านี้ ซึ่งจะนำไปสู่โมเดลใหม่ที่มีขอบเขตการใช้งานที่กว้างขึ้น

อย่างไรก็ตาม เมื่อปรับแต่งแบบจำลอง ความซับซ้อนของการวิจัยทางคณิตศาสตร์อาจเพิ่มขึ้นอย่างมาก และทำให้แบบจำลองนั้นไร้ประโยชน์อย่างแท้จริง บ่อยครั้งที่แบบจำลองที่เรียบง่ายกว่าช่วยให้สามารถสำรวจระบบจริงได้ดีขึ้นและลึกซึ้งมากกว่าแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ห่างไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่สำคัญของมันอาจจะแตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา แบบจำลองนี้น่าจะจัดอยู่ในประเภทการเปรียบเทียบประเภท 6

รุ่นที่แข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างหนึ่งของโมเดลที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการมีอุดมคติอันแข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง เพื่อแก้ไขปัญหาการบังคับใช้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำเป็นต้องศึกษาแบบจำลอง "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของแบบจำลอง "แข็ง" สามารถกำหนดได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:

ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันบางอย่างที่สามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการขึ้นต่อกันของค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืดตัวของมัน ε คือพารามิเตอร์ขนาดเล็กบางตัว เราไม่สนใจรูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชัน f ในขณะนี้ ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองแบบอ่อนไม่ได้แตกต่างโดยพื้นฐานจากพฤติกรรมของแบบจำลองแบบแข็ง ปัญหาก็จะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองแบบแข็งเท่านั้น มิฉะนั้นการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น การแก้สมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

นั่นคือการแกว่งที่มีแอมพลิจูดคงที่ ต่อจากนั้นออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งอย่างไม่มีกำหนดด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากเมื่อพิจารณาถึงระบบที่มีแรงเสียดทานน้อยตามอำเภอใจ เราจะได้รับการสั่นสะเทือนแบบหน่วง พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบรักษาพฤติกรรมเชิงคุณภาพไว้ภายใต้การรบกวนเล็กน้อย ระบบจะถือว่ามีความเสถียรทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบที่มีโครงสร้างไม่เสถียร อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในระยะเวลาที่จำกัดได้

ความเก่งกาจของรุ่น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญของความเป็นสากล กล่าวคือ ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่เพียงอธิบายพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังอธิบายกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ด้วย ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม ความผันผวนของระดับของเหลวในภาชนะรูปตัวยู หรือการเปลี่ยนแปลงความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น โดยการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจะศึกษาปรากฏการณ์ทั้งกลุ่มที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นได้ทันที มันเป็นมอร์ฟิสซึ่มของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ ที่เป็นแรงบันดาลใจให้ลุดวิก ฟอน แบร์ทาลันฟฟี่สร้าง "ทฤษฎีทั่วไปของระบบ"

ปัญหาทางตรงและทางผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ขั้นแรก คุณต้องสร้างไดอะแกรมพื้นฐานของวัตถุแบบจำลองขึ้นมา และทำซ้ำภายในกรอบของอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้นขบวนรถจึงกลายเป็นระบบจานและซับซ้อนมากขึ้น

ร่างกายจากวัสดุที่แตกต่างกัน แต่ละวัสดุจะถูกระบุเป็นอุดมคติเชิงกลมาตรฐาน หลังจากนั้นสมการจะถูกวาดขึ้น ระหว่างทางที่รายละเอียดบางส่วนถูกละทิ้งว่าไม่สำคัญ มีการคำนวณ เมื่อเปรียบเทียบกับการวัด โมเดลจะได้รับการปรับปรุง และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะมีประโยชน์ที่จะแยกกระบวนการนี้ออกเป็นส่วนประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาสองประเภทหลักที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ทางตรงและทางผกผัน

งานโดยตรง: ถือว่าทราบโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมดแล้ว งานหลักคือการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานจะรับน้ำหนักคงที่ได้เท่าใด มันจะตอบสนองต่อโหลดไดนามิกอย่างไร เครื่องบินจะเอาชนะกำแพงเสียงได้อย่างไร ไม่ว่ามันจะหลุดจากการกระพือปีกหรือไม่ก็ตาม นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของปัญหาโดยตรง การตั้งค่าปัญหาโดยตรงให้ถูกต้องต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ได้ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานก็อาจพังทลายลงได้ แม้ว่าจะได้สร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของมันแล้วก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 สะพานโลหะข้ามแม่น้ำ Tay จึงพังทลายลงในบริเตนใหญ่ นักออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานโดยคำนวณว่าจะมีอัตราความปลอดภัย 20 เท่าสำหรับการกระทำของน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมเรื่องลม พัดอยู่ในสถานที่เหล่านั้นอย่างต่อเนื่อง และผ่านไปหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ใน ในกรณีที่ง่ายที่สุด ปัญหาโดยตรงนั้นง่ายมากและลดลงเหลือเพียงคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: ทราบแบบจำลองที่เป็นไปได้หลายแบบ จำเป็นต้องเลือกแบบจำลองเฉพาะโดยพิจารณาจากข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุ บ่อยครั้งที่ทราบโครงสร้างของแบบจำลอง และจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติม หรือข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ข้อมูลเพิ่มเติมอาจมาถึงโดยไม่ขึ้นกับกระบวนการแก้ไขปัญหาผกผันหรือเป็นผลมาจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษระหว่างการแก้ปัญหา

หนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของการแก้ปัญหาผกผันอย่างเชี่ยวชาญโดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่คือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton เพื่อสร้างแรงเสียดทานขึ้นใหม่จากการสั่นแบบหน่วงที่สังเกตได้

ใน อีกตัวอย่างหนึ่งคือสถิติทางคณิตศาสตร์ หน้าที่ของวิทยาศาสตร์นี้คือการพัฒนาวิธีการบันทึก อธิบาย และวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสังเกตและการทดลอง เพื่อสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่มมวล เหล่านั้น. ชุดของแบบจำลองที่เป็นไปได้นั้นจำกัดอยู่เพียงแบบจำลองความน่าจะเป็น ในงานเฉพาะ ชุดโมเดลจะถูกจำกัดมากขึ้น

ระบบการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์

เพื่อรองรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนา เช่น Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim เป็นต้น ซึ่งช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการและแบบบล็อกของกระบวนการและอุปกรณ์ทั้งแบบง่ายและซับซ้อน และเปลี่ยนพารามิเตอร์ของโมเดลได้อย่างง่ายดายระหว่าง การสร้างแบบจำลอง โมเดลบล็อกจะแสดงด้วยบล็อก ชุดและการเชื่อมต่อที่ระบุโดยไดอะแกรมโมเดล

ตัวอย่างเพิ่มเติม

อัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนกับขนาดประชากรในปัจจุบัน มันถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์

โดยที่ α เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนดโดยความแตกต่างระหว่างอัตราการเกิดและอัตราการตาย วิธีแก้สมการนี้คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง x = x0 e หากอัตราการเกิดเกินอัตราการตาย ขนาดประชากรจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดและรวดเร็วมาก เป็นที่ชัดเจนว่าในความเป็นจริงสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากข้อจำกัด

ทรัพยากร. เมื่อถึงขนาดประชากรวิกฤติ แบบจำลองจะไม่เพียงพอ เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัด การปรับแต่งแบบจำลอง Malthus อาจเป็นแบบจำลองลอจิสติกส์ ซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ Verhulst

โดยที่ xs คือขนาดประชากร "สมดุล" ซึ่งอัตราการเกิดได้รับการชดเชยด้วยอัตราการเสียชีวิตอย่างแน่นอน ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะมีค่าสมดุล xs และพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

สมมติว่ามีสัตว์สองประเภทอาศัยอยู่ในพื้นที่หนึ่ง: กระต่ายและสุนัขจิ้งจอก ให้จำนวนกระต่ายเป็น x จำนวนสุนัขจิ้งจอกเป็น y เมื่อใช้แบบจำลอง Malthus พร้อมการแก้ไขที่จำเป็นโดยคำนึงถึงการกินกระต่ายโดยสุนัขจิ้งจอก เรามาถึงระบบต่อไปนี้ซึ่งมีชื่อของแบบจำลอง Lotka-Volterra:

ระบบนี้มีสถานะสมดุลเมื่อจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอกคงที่ การเบี่ยงเบนไปจากสถานะนี้ทำให้เกิดความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ เช่นเดียวกับในกรณีของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่เสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลองสามารถนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรมได้ ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลอาจคงที่ และความผันผวนของตัวเลขจะหายไป สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลที่ตามมาที่เป็นหายนะ จนถึงการสูญพันธุ์อย่างสมบูรณ์ของสายพันธุ์ใดสายพันธุ์หนึ่ง แบบจำลอง Volterra-Lotka ไม่ได้ตอบคำถามว่าสถานการณ์ใดที่เกิดขึ้นเหล่านี้: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - opi โดยประมาณความหมายของวัตถุการสร้างแบบจำลองที่แสดงโดยใช้ของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้นพร้อมกับคณิตศาสตร์เมื่อหลายศตวรรษก่อน การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์เป็นแรงผลักดันอย่างมากต่อการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การใช้คอมพิวเตอร์ทำให้สามารถวิเคราะห์และประยุกต์ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำนวนมากในทางปฏิบัติซึ่งก่อนหน้านี้ไม่คล้อยตามการวิจัยเชิงวิเคราะห์ ใช้งานบนคอมพิวเตอร์ทางคณิตศาสตร์โมเดลท้องฟ้าเรียกว่า แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์, ก ดำเนินการคำนวณเป้าหมายโดยใช้แบบจำลองคอมพิวเตอร์เรียกว่า การทดลองทางคอมพิวเตอร์.

ขั้นตอนของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์แผนกจะแสดงในรูป อันดับแรกเวที - การกำหนดเป้าหมายการสร้างแบบจำลองเป้าหมายเหล่านี้อาจแตกต่างกัน:

1. จำเป็นต้องมีแบบจำลองเพื่อทำความเข้าใจว่าวัตถุนั้นทำงานอย่างไร โครงสร้างของมันคืออะไร คุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุ กฎแห่งการพัฒนาและการโต้ตอบ
   กับโลกภายนอก (ความเข้าใจ)
2. จำเป็นต้องมีแบบจำลองเพื่อเรียนรู้วิธีจัดการวัตถุ (หรือกระบวนการ) และกำหนดวิธีการจัดการที่ดีที่สุดสำหรับเป้าหมายและเกณฑ์ที่กำหนด (การจัดการ)
3. จำเป็นต้องใช้แบบจำลองเพื่อทำนายผลทั้งทางตรงและทางอ้อมของการใช้วิธีการที่กำหนดและรูปแบบของอิทธิพลต่อวัตถุ (การพยากรณ์)

ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง ให้วัตถุประสงค์ของการศึกษาคือปฏิสัมพันธ์ของการไหลของของเหลวหรือก๊าซกับวัตถุที่เป็นอุปสรรคต่อการไหลนี้ ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าแรงต้านการไหลบนส่วนของร่างกายจะเพิ่มขึ้นตามความเร็วการไหลที่เพิ่มขึ้น แต่ที่ความเร็วสูงพอสมควร แรงนี้จะลดลงอย่างกะทันหันเพื่อที่จะเพิ่มขึ้นอีกครั้งด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นอีก อะไรทำให้แรงต้านทานลดลง? การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราได้รับคำตอบที่ชัดเจน: ในขณะที่ความต้านทานลดลงอย่างกะทันหันกระแสน้ำวนที่เกิดขึ้นในการไหลของของเหลวหรือก๊าซที่อยู่ด้านหลังร่างกายที่เพรียวบางจะเริ่มแยกตัวออกจากมันและถูกพัดพาไปโดยการไหล

ตัวอย่างจากพื้นที่ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง: ประชากรของบุคคลสองสายพันธุ์ที่อยู่ร่วมกันอย่างสงบด้วยจำนวนที่มั่นคงและมีแหล่งอาหารร่วมกัน "ทันใดนั้น" เริ่มเปลี่ยนจำนวนอย่างรวดเร็ว และที่นี่การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ช่วยให้ (ด้วยความน่าเชื่อถือในระดับหนึ่ง) สามารถระบุสาเหตุได้ (หรืออย่างน้อยก็หักล้างสมมติฐานบางอย่าง)

การพัฒนาแนวคิดในการจัดการวัตถุเป็นอีกหนึ่งเป้าหมายที่เป็นไปได้ของการสร้างแบบจำลอง ฉันควรเลือกโหมดการบินของเครื่องบินแบบใดเพื่อให้แน่ใจว่าเที่ยวบินนั้นปลอดภัยและให้ผลกำไรทางเศรษฐกิจมากที่สุด จะกำหนดเวลางานหลายร้อยประเภทในการก่อสร้างโรงงานขนาดใหญ่เพื่อให้แล้วเสร็จภายในเวลาที่สั้นที่สุดได้อย่างไร? ปัญหาดังกล่าวมากมายเกิดขึ้นอย่างเป็นระบบต่อหน้านักเศรษฐศาสตร์ นักออกแบบ และนักวิทยาศาสตร์

ท้ายที่สุด การทำนายผลที่ตามมาของผลกระทบบางอย่างต่อวัตถุอาจเป็นได้ทั้งเรื่องที่ค่อนข้างง่ายในระบบทางกายภาพที่เรียบง่าย และซับซ้อนอย่างยิ่ง - ใกล้จะเป็นไปได้ - ในระบบทางชีววิทยา เศรษฐกิจ และสังคม แม้ว่าจะค่อนข้างง่ายที่จะตอบคำถามเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในโหมดการกระจายความร้อนในแท่งบาง ๆ เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของโลหะผสมที่เป็นส่วนประกอบ แต่ก็ยากที่จะติดตาม (ทำนาย) ผลที่ตามมาจากสิ่งแวดล้อมและภูมิอากาศของการก่อสร้างขนาดใหญ่อย่างไม่มีใครเทียบได้ สถานีไฟฟ้าพลังน้ำหรือผลทางสังคมจากการเปลี่ยนแปลงกฎหมายภาษี บางทีวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจให้ความช่วยเหลือที่สำคัญมากขึ้นในอนาคตเช่นกัน

ระยะที่สอง:การกำหนดพารามิเตอร์อินพุตและเอาต์พุตของแบบจำลอง การแบ่งพารามิเตอร์อินพุตตามระดับความสำคัญของอิทธิพลของการเปลี่ยนแปลงที่มีต่อเอาต์พุต กระบวนการนี้เรียกว่าการจัดอันดับหรือการแยกตามอันดับ (ดู “การทำให้เป็นทางการtion และการสร้างแบบจำลอง").

ขั้นตอนที่สาม:การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในขั้นตอนนี้ มีการเปลี่ยนแปลงจากการกำหนดนามธรรมของแบบจำลองไปเป็นการกำหนดที่มีการแทนทางคณิตศาสตร์เฉพาะ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ สมการ ระบบสมการ ระบบสมการ สมการเชิงอนุพันธ์ หรือระบบสมการดังกล่าว เป็นต้น

ขั้นตอนที่สี่:การเลือกวิธีการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่มักจะใช้วิธีการเชิงตัวเลขที่นี่ ซึ่งช่วยในการเขียนโปรแกรมได้ดี ตามกฎแล้วมีหลายวิธีที่เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาเดียวกันซึ่งมีความแม่นยำความเสถียร ฯลฯ ต่างกัน ความสำเร็จของกระบวนการสร้างแบบจำลองทั้งหมดมักขึ้นอยู่กับการเลือกวิธีการที่ถูกต้อง

ขั้นตอนที่ห้า:การพัฒนาอัลกอริธึม การคอมไพล์และดีบั๊กโปรแกรมคอมพิวเตอร์เป็นกระบวนการที่ยากต่อการทำให้เป็นทางการ ในบรรดาภาษาการเขียนโปรแกรม มืออาชีพหลายคนชอบ FORTRAN สำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ทั้งเนื่องมาจากประเพณีและเนื่องจากประสิทธิภาพที่ไม่มีใครเทียบได้ของคอมไพเลอร์ (สำหรับงานคำนวณ) และความพร้อมใช้งานของไลบรารีขนาดใหญ่ ดีบั๊กอย่างระมัดระวังและปรับให้เหมาะสมของโปรแกรมมาตรฐานสำหรับวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่เขียนอยู่ในนั้น . นอกจากนี้ยังมีการใช้ภาษาเช่น PASCAL, BASIC, C ขึ้นอยู่กับลักษณะของงานและความโน้มเอียงของโปรแกรมเมอร์

ขั้นตอนที่หก:การทดสอบโปรแกรม การทำงานของโปรแกรมได้รับการทดสอบกับปัญหาการทดสอบด้วยคำตอบที่ทราบก่อนหน้านี้ นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของขั้นตอนการทดสอบที่ยากจะอธิบายในลักษณะที่ครอบคลุมอย่างเป็นทางการ โดยปกติแล้ว การทดสอบจะสิ้นสุดเมื่อผู้ใช้พิจารณาว่าโปรแกรมถูกต้องตามคุณลักษณะทางวิชาชีพของตน

ขั้นตอนที่เจ็ด:การทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกิดขึ้นจริง ในระหว่างนั้นจะมีการพิจารณาว่าแบบจำลองนั้นสอดคล้องกับวัตถุจริง (กระบวนการ) หรือไม่ แบบจำลองนี้เพียงพอต่อกระบวนการจริงหากคุณลักษณะบางประการของกระบวนการที่ได้รับบนคอมพิวเตอร์ตรงกับคุณลักษณะที่ได้รับจากการทดลองด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนด หากแบบจำลองไม่สอดคล้องกับกระบวนการจริง เราจะกลับไปยังขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งก่อนหน้านี้

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจขึ้นอยู่กับหลักการต่างๆ คุณสามารถจำแนกแบบจำลองตามสาขาวิทยาศาสตร์ (แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในสาขาฟิสิกส์ ชีววิทยา สังคมวิทยา ฯลฯ) สามารถจำแนกได้ตามเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ (แบบจำลองตามการใช้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย วิธีสุ่ม การแปลงพีชคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง ฯลฯ) สุดท้ายนี้ หากเราดำเนินการต่อจากปัญหาทั่วไปของการสร้างแบบจำลองในวิทยาศาสตร์ต่างๆ โดยไม่คำนึงถึงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ การจำแนกประเภทต่อไปนี้จะเป็นไปตามธรรมชาติมากที่สุด:

• แบบจำลองเชิงพรรณนา (เชิงพรรณนา);
• โมเดลการปรับให้เหมาะสม
• แบบจำลองหลายเกณฑ์
• โมเดลเกม

ลองอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

แบบจำลองเชิงพรรณนา (เชิงพรรณนา). ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่ของดาวหางที่บุกรุกระบบสุริยะจะดำเนินการเพื่อทำนายเส้นทางการบินของมัน ระยะทางที่มันจะเคลื่อนผ่านจากโลก เป็นต้น ในกรณีนี้ เป้าหมายของการสร้างแบบจำลองมีลักษณะเป็นคำอธิบาย เนื่องจากไม่มีทางที่จะมีอิทธิพลต่อการเคลื่อนที่ของดาวหางหรือเปลี่ยนแปลงสิ่งใดๆ ในนั้นได้

โมเดลการเพิ่มประสิทธิภาพใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่สามารถมีอิทธิพลต่อความพยายามที่จะบรรลุเป้าหมายที่กำหนด ในกรณีนี้ โมเดลจะมีพารามิเตอร์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่อาจได้รับผลกระทบ ตัวอย่างเช่น เมื่อเปลี่ยนระบบการระบายความร้อนในยุ้งฉาง คุณสามารถกำหนดเป้าหมายในการเลือกระบบที่จะบรรลุความปลอดภัยของเมล็ดพืชสูงสุด เช่น เพิ่มประสิทธิภาพกระบวนการจัดเก็บข้อมูล

แบบจำลองหลายเกณฑ์. บ่อยครั้งจำเป็นต้องปรับกระบวนการให้เหมาะสมตามพารามิเตอร์หลายตัวพร้อมกัน และเป้าหมายก็ค่อนข้างขัดแย้งกัน ตัวอย่างเช่นเมื่อทราบราคาอาหารและความต้องการอาหารของบุคคลจำเป็นต้องจัดโภชนาการสำหรับคนกลุ่มใหญ่ (ในกองทัพค่ายฤดูร้อนสำหรับเด็ก ฯลฯ ) อย่างถูกต้องทางสรีรวิทยาและในเวลาเดียวกันก็มีราคาถูกเท่ากับ เป็นไปได้. เป็นที่ชัดเจนว่าเป้าหมายเหล่านี้ไม่ตรงกันเลย กล่าวคือ เมื่อสร้างแบบจำลอง จะใช้เกณฑ์หลายประการ ซึ่งระหว่างนั้นจะต้องค้นหาความสมดุล

โมเดลเกมอาจเกี่ยวข้องกับไม่เพียงแต่กับเกมคอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสิ่งที่จริงจังมากด้วย ตัวอย่างเช่น ก่อนการรบ ผู้บังคับบัญชาหากมีข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับกองทัพฝ่ายตรงข้าม จะต้องจัดทำแผน: เพื่อที่จะแนะนำหน่วยใดหน่วยหนึ่งเข้าสู่การรบ ฯลฯ โดยคำนึงถึงปฏิกิริยาที่เป็นไปได้ของศัตรู มีสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ - ทฤษฎีเกม - ที่ศึกษาวิธีการตัดสินใจภายใต้เงื่อนไขของข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์

ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์ของโรงเรียน นักเรียนจะได้รับความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรพื้นฐาน ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถศึกษาเชิงลึกได้ในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปสำหรับชั้นเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ รวมถึงเป็นส่วนหนึ่งของวิชาเลือกเฉพาะทาง

รูปแบบหลักของการสอนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ในโรงเรียนมัธยม ได้แก่ ชั้นเรียนบรรยาย ห้องปฏิบัติการ และชั้นเรียนทดสอบ โดยปกติงานสร้างและเตรียมการศึกษาโมเดลใหม่แต่ละรุ่นจะใช้เวลา 3-4 บทเรียน ในระหว่างการนำเสนอเนื้อหา ปัญหาต่างๆ จะถูกกำหนดไว้ซึ่งนักเรียนจะต้องแก้ไขโดยอิสระในอนาคต และวิธีแก้ปัญหานั้นจะมีการสรุปไว้ในรูปแบบทั่วไป มีการตั้งคำถามซึ่งจะต้องได้รับคำตอบเมื่อทำงานให้เสร็จ มีการระบุวรรณกรรมเพิ่มเติมที่ช่วยให้คุณได้รับข้อมูลเสริมเพื่อให้งานสำเร็จลุล่วงมากขึ้น

รูปแบบการจัดชั้นเรียนเมื่อศึกษาเนื้อหาใหม่มักเป็นการบรรยาย หลังจากคุยเรื่องรุ่นต่อไปเสร็จแล้ว นักเรียนมีข้อมูลทางทฤษฎีที่จำเป็นและชุดงานสำหรับงานต่อไป ในการเตรียมตัวทำงานให้สำเร็จ นักเรียนเลือกวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมและทดสอบโปรแกรมที่พัฒนาขึ้นโดยใช้วิธีแก้ปัญหาส่วนตัวที่รู้จักกันดี ในกรณีที่ค่อนข้างเป็นไปได้ยากเมื่อทำงานให้เสร็จจะมีการให้คำปรึกษาและมีข้อเสนอเพื่อศึกษาส่วนเหล่านี้โดยละเอียดในแหล่งวรรณกรรม

วิธีโครงงานที่เหมาะสมที่สุดสำหรับภาคปฏิบัติในการสอนการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์คือ งานนี้จัดทำขึ้นสำหรับนักเรียนในรูปแบบของโครงงานการศึกษาและดำเนินการในหลายบทเรียน โดยรูปแบบองค์กรหลักคืองานห้องปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ การสร้างแบบจำลองการสอนโดยใช้วิธีโครงงานการศึกษาสามารถนำไปใช้ได้ในระดับต่างๆ ประการแรกคือการนำเสนอที่มีปัญหาเกี่ยวกับกระบวนการทำโครงงานให้สำเร็จซึ่งนำโดยครู ประการที่สองคือการดำเนินโครงการโดยนักเรียนภายใต้การแนะนำของครู ประการที่สามสำหรับนักเรียนที่จะทำโครงการวิจัยทางการศึกษาโดยอิสระ

ผลงานต้องนำเสนอในรูปแบบตัวเลข กราฟ และไดอะแกรม หากเป็นไปได้ กระบวนการนี้จะแสดงบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ในรูปแบบไดนามิก เมื่อเสร็จสิ้นการคำนวณและรับผลลัพธ์แล้ว จะมีการวิเคราะห์เมื่อเปรียบเทียบกับข้อเท็จจริงที่ทราบจากทฤษฎี ความน่าเชื่อถือจะได้รับการยืนยันและการตีความที่มีความหมายจะดำเนินการ ซึ่งจะสะท้อนให้เห็นในรายงานที่เป็นลายลักษณ์อักษรในภายหลัง

หากผลงานเป็นที่พอใจของนักเรียนและอาจารย์ก็แสดงว่าผลงาน นับเสร็จสิ้นและขั้นตอนสุดท้ายคือการจัดทำรายงาน รายงานประกอบด้วยข้อมูลทางทฤษฎีโดยย่อในหัวข้อที่กำลังศึกษาอยู่ การกำหนดทางคณิตศาสตร์ของปัญหา อัลกอริธึมการแก้ปัญหาและเหตุผล โปรแกรมคอมพิวเตอร์ ผลลัพธ์ของโปรแกรม การวิเคราะห์ผลลัพธ์และข้อสรุป และรายการข้อมูลอ้างอิง

เมื่อรวบรวมรายงานทั้งหมดแล้ว ในระหว่างบทเรียนทดสอบ นักเรียนจะรายงานสั้นๆ เกี่ยวกับงานที่ทำเสร็จแล้วและปกป้องโครงงานของตน ซึ่งเป็นรูปแบบการรายงานที่มีประสิทธิภาพจากกลุ่มที่ดำเนินโครงการต่อชั้นเรียน ได้แก่ การตั้งปัญหา การสร้างแบบจำลองอย่างเป็นทางการ การเลือกวิธีการทำงานกับแบบจำลอง การใช้แบบจำลองบนคอมพิวเตอร์ การทำงานกับแบบจำลองที่เสร็จสมบูรณ์ การตีความ ผลลัพธ์และการคาดการณ์ เป็นผลให้นักเรียนสามารถรับสองเกรด: ครั้งแรก - สำหรับการทำโครงการอย่างละเอียดและความสำเร็จของการป้องกัน, ที่สอง - สำหรับโปรแกรม, การเพิ่มประสิทธิภาพของอัลกอริทึม, อินเทอร์เฟซ ฯลฯ นักเรียนยังได้รับคะแนนในระหว่างแบบทดสอบภาคทฤษฎีอีกด้วย

คำถามสำคัญคือ เครื่องมือใดที่จะใช้ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์ของโรงเรียนสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การใช้งานคอมพิวเตอร์ของแบบจำลองสามารถทำได้:

• ใช้โปรเซสเซอร์สเปรดชีต (โดยปกติคือ MS Excel)
• โดยการสร้างโปรแกรมในภาษาโปรแกรมแบบดั้งเดิม (Pascal, BASIC ฯลฯ ) รวมถึงในเวอร์ชันสมัยใหม่ (Delphi, Visual
  พื้นฐานในการสมัคร ฯลฯ );
• การใช้แพ็คเกจแอปพลิเคชันพิเศษสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (MathCAD ฯลฯ )

ในระดับโรงเรียนขั้นพื้นฐาน วิธีแรกดูเหมือนจะดีกว่า อย่างไรก็ตาม ในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อการเขียนโปรแกรมเป็นหัวข้อสำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ควบคู่ไปกับการสร้างแบบจำลอง ขอแนะนำให้ใช้เป็นเครื่องมือในการสร้างแบบจำลอง ในระหว่างขั้นตอนการเขียนโปรแกรม รายละเอียดของขั้นตอนทางคณิตศาสตร์จะมีให้สำหรับนักเรียน ยิ่งไปกว่านั้น พวกเขายังถูกบังคับให้เชี่ยวชาญ และสิ่งนี้ยังมีส่วนช่วยในการศึกษาคณิตศาสตร์อีกด้วย สำหรับการใช้ชุดซอฟต์แวร์พิเศษ เหมาะสมกับหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์เฉพาะทางเพื่อเสริมกับเครื่องมืออื่นๆ

ออกกำลังกาย :

• สร้างไดอะแกรมของแนวคิดหลัก

หมายเหตุการบรรยาย

ตามอัตรา

“การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเครื่องจักรและระบบขนส่ง”

หลักสูตรนี้จะตรวจสอบประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ รูปแบบและหลักการเป็นตัวแทนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ พิจารณาวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาระบบไม่เชิงเส้นมิติเดียว ครอบคลุมประเด็นของการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ พิจารณาวิธีการประมวลผลข้อมูลที่ได้รับจากการทดลองทางวิทยาศาสตร์หรืออุตสาหกรรม การวิจัยกระบวนการต่างๆ การระบุรูปแบบพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ และระบบ พิจารณาวิธีการประมาณค่าและการประมาณข้อมูลการทดลอง พิจารณาประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์และวิธีแก้ปัญหาระบบไดนามิกไม่เชิงเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะพิจารณาวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขและการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่หนึ่ง ลำดับที่สอง และลำดับที่สูงกว่า

การบรรยาย: การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. รูปแบบและหลักการเป็นตัวแทนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การบรรยายอภิปรายประเด็นทั่วไปของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ มีการจำแนกประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

คอมพิวเตอร์เข้ามาในชีวิตของเราอย่างมั่นคงและในทางปฏิบัติไม่มีกิจกรรมของมนุษย์ที่ไม่ได้ใช้คอมพิวเตอร์ ขณะนี้คอมพิวเตอร์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในกระบวนการสร้างและค้นคว้าเครื่องจักรใหม่ กระบวนการทางเทคโนโลยีใหม่และการค้นหาตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด เมื่อแก้ไขปัญหาเศรษฐกิจเมื่อแก้ไขปัญหาการวางแผนและการจัดการการผลิตในระดับต่างๆ การสร้างวัตถุขนาดใหญ่ในเทคโนโลยีจรวด การผลิตเครื่องบิน การต่อเรือ รวมถึงการออกแบบเขื่อน สะพาน ฯลฯ โดยทั่วไปแล้วจะเป็นไปไม่ได้หากไม่ใช้คอมพิวเตอร์

การใช้คอมพิวเตอร์ในการแก้ปัญหาประยุกต์ ประการแรกปัญหาที่ใช้ต้องได้รับการ “แปล” เป็นภาษาคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ กล่าวคือ สำหรับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง จะต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นมา

คำว่า "Model" มาจากรูปแบบภาษาละติน (copy, image, outline) การสร้างแบบจำลองคือการแทนที่วัตถุ A บางตัวด้วยวัตถุ B อีกชิ้นหนึ่ง วัตถุ A ที่ถูกแทนที่เรียกว่าวัตถุดั้งเดิมหรือวัตถุการสร้างแบบจำลอง และการแทนที่ B เรียกว่าแบบจำลอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง แบบจำลองคือวัตถุทดแทนสำหรับวัตถุต้นฉบับ ซึ่งให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ

วัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองคือการได้รับ ประมวลผล นำเสนอ และใช้ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างกันและสภาพแวดล้อมภายนอก และแบบจำลองนี้ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการทำความเข้าใจคุณสมบัติและรูปแบบของพฤติกรรมของวัตถุ

การสร้างแบบจำลองถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในกิจกรรมของมนุษย์ในด้านต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านการออกแบบและการจัดการ ซึ่งกระบวนการในการตัดสินใจที่มีประสิทธิผลโดยอิงจากข้อมูลที่ได้รับนั้นมีความพิเศษ

แบบจำลองถูกสร้างขึ้นโดยมีวัตถุประสงค์เฉพาะเสมอ ซึ่งมีอิทธิพลต่อคุณสมบัติของปรากฏการณ์วัตถุประสงค์ที่มีนัยสำคัญและสิ่งใดไม่มีนัยสำคัญ แบบจำลองนี้เปรียบเสมือนการฉายภาพความเป็นจริงตามวัตถุประสงค์จากมุมหนึ่ง บางครั้ง คุณสามารถได้รับการฉายภาพความเป็นจริงตามวัตถุประสงค์จำนวนหนึ่งที่ทำให้เกิดความขัดแย้ง ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับเป้าหมาย ตามกฎแล้ว นี่เป็นเรื่องปกติสำหรับระบบที่ซับซ้อน ซึ่งการฉายภาพแต่ละครั้งจะเลือกสิ่งที่จำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์เฉพาะจากชุดของสิ่งที่ไม่จำเป็น

ทฤษฎีการสร้างแบบจำลองเป็นสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาวิธีศึกษาคุณสมบัติของวัตถุดั้งเดิมโดยอาศัยการแทนที่วัตถุเหล่านั้นด้วยวัตถุแบบจำลองอื่นๆ ทฤษฎีการสร้างแบบจำลองมีพื้นฐานอยู่บนทฤษฎีความคล้ายคลึงกัน เมื่อทำการสร้างแบบจำลอง ความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิงจะไม่เกิดขึ้นและเพียงแต่พยายามให้แน่ใจว่าแบบจำลองนั้นสะท้อนแง่มุมของการทำงานของวัตถุที่กำลังศึกษาได้ดีเพียงพอ ความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิงสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะเมื่อวัตถุหนึ่งถูกแทนที่ด้วยวัตถุอื่นที่เหมือนกันทุกประการเท่านั้น

ทุกรุ่นสามารถแบ่งออกเป็นสองคลาส:

1. จริง

2. อุดมคติ.

ในทางกลับกัน โมเดลจริงสามารถแบ่งออกเป็น:

1. เต็มรูปแบบ

2. ทางร่างกาย

3. คณิตศาสตร์

โมเดลในอุดมคติสามารถแบ่งออกเป็น:

1. ภาพ

2. สัญลักษณ์,

3. คณิตศาสตร์

แบบจำลองขนาดเต็มจริงคือวัตถุ กระบวนการ และระบบจริงที่ทำการทดลองทางวิทยาศาสตร์ เทคนิค และอุตสาหกรรม

แบบจำลองทางกายภาพจริงคือแบบจำลอง หุ่นจำลองที่สร้างคุณสมบัติทางกายภาพของต้นฉบับขึ้นมาใหม่ (แบบจำลองจลนศาสตร์ ไดนามิก ไฮดรอลิก ความร้อน ไฟฟ้า แสง)

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงคือแบบจำลองแอนะล็อก โครงสร้าง เรขาคณิต กราฟิก ดิจิทัล และไซเบอร์เนติกส์

แบบจำลองภาพในอุดมคติคือ ไดอะแกรม แผนที่ ภาพวาด กราฟ กราฟ แอนะล็อก แบบจำลองโครงสร้างและเรขาคณิต

แบบจำลองสัญลักษณ์ในอุดมคติ ได้แก่ สัญลักษณ์ ตัวอักษร ภาษาการเขียนโปรแกรม สัญลักษณ์เรียงลำดับ สัญลักษณ์ทอพอโลยี การแสดงเครือข่าย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติคือแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ เชิงฟังก์ชัน แบบจำลอง และแบบจำลองรวม

ในการจำแนกประเภทข้างต้น บางรุ่นมีการตีความซ้ำซ้อน (เช่น แอนะล็อก) โมเดลทั้งหมด ยกเว้นโมเดลขนาดเต็ม สามารถรวมเป็นโมเดลทางจิตประเภทเดียวได้ เพราะ มันเป็นผลผลิตของการคิดเชิงนามธรรมของมนุษย์

ให้เราอาศัยอยู่ในการสร้างแบบจำลองที่เป็นสากลที่สุดประเภทหนึ่ง - คณิตศาสตร์ซึ่งจับคู่กระบวนการทางกายภาพจำลองกับระบบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งวิธีแก้ปัญหาช่วยให้เราได้รับคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับพฤติกรรมของวัตถุโดยไม่ต้องสร้าง แบบจำลองทางกายภาพซึ่งมักจะมีราคาแพงและไม่มีประสิทธิภาพ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริงโดยแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สะดวกกว่าสำหรับการวิจัยเชิงทดลองโดยใช้คอมพิวเตอร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการแสดงโดยประมาณของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง โดยแสดงออกมาเป็นเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์และคงคุณลักษณะที่สำคัญของต้นฉบับไว้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบเชิงปริมาณโดยใช้โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์ อธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุ กระบวนการหรือระบบ พารามิเตอร์ การเชื่อมต่อภายในและภายนอก

โดยทั่วไป แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริงจะแสดงเป็นระบบของฟังก์ชัน

Ф ฉัน (X,Y,Z,t)=0,

โดยที่ X คือเวกเตอร์ของตัวแปรอินพุต X= t

Y - เวกเตอร์ของตัวแปรเอาท์พุต Y= เสื้อ

Z - เวกเตอร์ของอิทธิพลภายนอก Z= เสื้อ

t - พิกัดเวลา

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยการกำหนดความเชื่อมโยงระหว่างกระบวนการและปรากฏการณ์บางอย่าง การสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้เราสามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างกระบวนการและปรากฏการณ์บางอย่างในเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่ผู้เชี่ยวชาญสนใจ และปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อ ผลลัพธ์สุดท้าย

โดยปกติแล้วจะมีจำนวนมากจนเป็นไปไม่ได้ที่จะแนะนำทั้งชุดลงในโมเดล เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ภารกิจวิจัยคือการระบุและแยกปัจจัยการพิจารณาที่ไม่ส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อผลลัพธ์สุดท้ายออกจากปัจจัยการพิจารณา (แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะมีปัจจัยจำนวนน้อยกว่าความเป็นจริงอย่างมาก) จากข้อมูลการทดลอง มีการหยิบยกสมมติฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แสดงผลลัพธ์สุดท้ายกับปัจจัยที่นำมาใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ความเชื่อมโยงดังกล่าวมักแสดงโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (ตัวอย่างเช่น ในปัญหากลศาสตร์ของของแข็ง ของเหลว และก๊าซ ทฤษฎีการกรอง การนำความร้อน ทฤษฎีสนามไฟฟ้าสถิตและสนามพลศาสตร์ไฟฟ้า)

เป้าหมายสูงสุดของขั้นตอนนี้คือการกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งการแก้ปัญหาซึ่งแสดงผลลัพธ์ที่เป็นที่สนใจของผู้เชี่ยวชาญด้วยความแม่นยำที่จำเป็น

รูปแบบและหลักการของการเป็นตัวแทนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นั้นขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย

ตามหลักการก่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

1. วิเคราะห์;

2. การเลียนแบบ

ในแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ กระบวนการการทำงานของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริงจะถูกเขียนในรูปแบบของการพึ่งพาการทำงานที่ชัดเจน

แบบจำลองการวิเคราะห์แบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ขึ้นอยู่กับปัญหาทางคณิตศาสตร์:

1. สมการ (พีชคณิต, เหนือธรรมชาติ, อนุพันธ์, อินทิกรัล)

2. ปัญหาการประมาณ (การประมาณค่า การประมาณค่า การปริพันธ์เชิงตัวเลข และการหาความแตกต่าง)

3. ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ

4. ปัญหาสุ่ม

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากออบเจ็กต์การสร้างแบบจำลองมีความซับซ้อนมากขึ้น การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์จะกลายเป็นปัญหาที่แก้ไขได้ยาก จากนั้นผู้วิจัยจะถูกบังคับให้ใช้การสร้างแบบจำลองจำลอง

ในการสร้างแบบจำลองการจำลอง การทำงานของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจะอธิบายโดยชุดอัลกอริธึม อัลกอริธึมจำลองปรากฏการณ์พื้นฐานจริงที่ประกอบขึ้นเป็นกระบวนการหรือระบบ ขณะเดียวกันก็รักษาโครงสร้างและลำดับเชิงตรรกะไว้เมื่อเวลาผ่านไป การสร้างแบบจำลองการจำลองช่วยให้สามารถรับข้อมูลเกี่ยวกับสถานะของกระบวนการหรือระบบ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากแหล่งข้อมูลได้ แต่การคาดการณ์พฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบเป็นเรื่องยากในที่นี้ เราสามารถพูดได้ว่าแบบจำลองการจำลองเป็นการทดลองทางคอมพิวเตอร์โดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เลียนแบบพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง

ขึ้นอยู่กับลักษณะของกระบวนการและระบบจริงที่กำลังศึกษา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจเป็น:

1. กำหนดไว้

2. สุ่ม.

ในแบบจำลองที่กำหนด สันนิษฐานว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่ม องค์ประกอบของแบบจำลอง (ตัวแปร การเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์) ได้รับการสร้างขึ้นอย่างแม่นยำ และสามารถกำหนดพฤติกรรมของระบบได้อย่างแม่นยำ เมื่อสร้างแบบจำลองที่กำหนดขึ้น มักใช้สมการพีชคณิต สมการอินทิกรัล และพีชคณิตเมทริกซ์

แบบจำลองสุ่มคำนึงถึงลักษณะสุ่มของกระบวนการในวัตถุและระบบที่กำลังศึกษา ซึ่งอธิบายโดยวิธีทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

ขึ้นอยู่กับประเภทของข้อมูลอินพุต โมเดลจะแบ่งออกเป็น:

1. ต่อเนื่อง

2. ไม่ต่อเนื่อง.

หากข้อมูลและพารามิเตอร์มีความต่อเนื่อง และการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์มีความเสถียร แสดงว่าแบบจำลองมีความต่อเนื่อง และในทางกลับกัน หากข้อมูลและพารามิเตอร์แยกจากกัน และการเชื่อมต่อไม่เสถียร แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก็จะแยกจากกัน

ตามพฤติกรรมของแบบจำลองในช่วงเวลาต่างๆ แบ่งออกเป็น:

1. คงที่

2. ไดนามิก

แบบจำลองคงที่อธิบายพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ ณ เวลาใดก็ได้ โมเดลไดนามิกสะท้อนถึงพฤติกรรมของออบเจ็กต์ กระบวนการ หรือระบบในช่วงเวลาหนึ่ง

ขึ้นอยู่กับระดับความสอดคล้องระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

1. isomorphic (มีรูปร่างเหมือนกัน)

2. โฮโมมอร์ฟิก (มีรูปร่างต่างกัน)

แบบจำลองเรียกว่า isomorphic ถ้ามีความสอดคล้องกันแบบองค์ประกอบต่อองค์ประกอบโดยสมบูรณ์ระหว่างโมเดลกับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง Homomorphic - หากมีการติดต่อกันระหว่างส่วนประกอบที่สำคัญที่สุดของวัตถุและแบบจำลองเท่านั้น

ในอนาคต เพื่อกำหนดประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยย่อในการจำแนกประเภทข้างต้น เราจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้:

จดหมายฉบับแรก:

D - กำหนดไว้

C - สุ่ม

จดหมายฉบับที่สอง:

N - ต่อเนื่อง

D - ไม่ต่อเนื่อง

ตัวอักษรที่สาม:

เอ - วิเคราะห์

และ - การเลียนแบบ

1. ไม่มี (แม่นยำกว่านั้นไม่ได้คำนึงถึง) อิทธิพลของกระบวนการสุ่มเช่น แบบจำลองที่กำหนด (D)

2. ข้อมูลและพารามิเตอร์มีความต่อเนื่องเช่น รุ่น - ต่อเนื่อง (N)

3. การทำงานของแบบจำลองกลไกข้อเหวี่ยงอธิบายไว้ในรูปแบบของสมการเหนือธรรมชาติแบบไม่เชิงเส้น เช่น แบบ-วิเคราะห์ (A)

2. การบรรยาย: คุณลักษณะของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การบรรยายบรรยายถึงกระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ มีการกำหนดอัลกอริทึมทางวาจาของกระบวนการ

การใช้คอมพิวเตอร์ในการแก้ปัญหาประยุกต์ ประการแรกปัญหาที่ใช้ต้องได้รับการ “แปล” เป็นภาษาคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ กล่าวคือ สำหรับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง จะต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นมา

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบเชิงปริมาณโดยใช้โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์ อธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุ กระบวนการหรือระบบ พารามิเตอร์ การเชื่อมต่อภายในและภายนอก

ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คุณต้องมี:

1. วิเคราะห์วัตถุจริงหรือกระบวนการอย่างรอบคอบ

2. เน้นคุณสมบัติและคุณสมบัติที่สำคัญที่สุด

3. กำหนดตัวแปร ได้แก่ พารามิเตอร์ที่มีค่าส่งผลต่อคุณสมบัติหลักและคุณสมบัติของวัตถุ

4. อธิบายการพึ่งพาคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุกระบวนการหรือระบบกับค่าของตัวแปรโดยใช้ความสัมพันธ์เชิงตรรกะ - คณิตศาสตร์ (สมการความเท่าเทียมกันอสมการโครงสร้างเชิงตรรกะ - คณิตศาสตร์)

5. เน้นการเชื่อมโยงภายในของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบโดยใช้ข้อจำกัด สมการ ความเท่าเทียมกัน อสมการ โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์

6. ระบุความเชื่อมโยงภายนอกและอธิบายโดยใช้ข้อจำกัด สมการ ความเสมอภาค อสมการ การสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ และร่างคำอธิบายทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังรวมถึง:

1. การสร้างอัลกอริธึมที่สร้างแบบจำลองพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ

2. การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองและวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจากการทดลองทางคอมพิวเตอร์และเต็มรูปแบบ

3. การปรับโมเดล

4.การใช้แบบจำลอง

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการและระบบที่กำลังศึกษาขึ้นอยู่กับ:

1. ธรรมชาติของกระบวนการหรือระบบจริง และรวบรวมบนพื้นฐานของกฎฟิสิกส์ เคมี กลศาสตร์ อุณหพลศาสตร์ อุทกพลศาสตร์ วิศวกรรมไฟฟ้า ทฤษฎีพลาสติก ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ

2. ความน่าเชื่อถือและความถูกต้องที่ต้องการของการศึกษาและการวิจัยกระบวนการและระบบจริง

ในขั้นตอนของการเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สิ่งต่อไปนี้จะถูกสร้างขึ้น: ความเป็นเส้นตรงและไม่เชิงเส้นของวัตถุ กระบวนการหรือระบบ ไดนามิสซึมหรือความคงตัว ความคงที่หรือไม่คงที่ รวมถึงระดับของการกำหนดของวัตถุหรือกระบวนการที่กำลังศึกษา ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ คนจงใจสรุปลักษณะทางกายภาพเฉพาะของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ และมุ่งเน้นไปที่การศึกษาการพึ่งพาเชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่อธิบายกระบวนการเหล่านี้เป็นหลัก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะไม่เหมือนกับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณาโดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับการทำให้เข้าใจง่ายและการทำให้เป็นอุดมคติ มันเป็นคำอธิบายโดยประมาณของวัตถุ ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จากการวิเคราะห์แบบจำลองจึงเป็นค่าประมาณ ความแม่นยำถูกกำหนดโดยระดับความเพียงพอ (การปฏิบัติตาม) ระหว่างแบบจำลองกับวัตถุ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเริ่มต้นด้วยการสร้างและการวิเคราะห์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดและหยาบที่สุดของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังพิจารณา ในอนาคต หากจำเป็น โมเดลจะได้รับการปรับปรุงและทำให้การโต้ตอบกับวัตถุมีความสมบูรณ์มากขึ้น

ลองยกตัวอย่างง่ายๆ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ผิวของโต๊ะ โดยทั่วไปทำได้โดยการวัดความยาวและความกว้าง แล้วคูณตัวเลขผลลัพธ์ ขั้นตอนเบื้องต้นนี้แท้จริงแล้วหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: วัตถุจริง (พื้นผิวตาราง) ถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม - สี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาดที่ได้จากการวัดความยาวและความกว้างของพื้นผิวโต๊ะถูกกำหนดให้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้า และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าวจะถูกประมาณว่าเป็นพื้นที่ที่ต้องการของตาราง

อย่างไรก็ตาม โมเดลสี่เหลี่ยมสำหรับโต๊ะนั้นเป็นโมเดลที่ง่ายที่สุดและหยาบที่สุด หากคุณใช้แนวทางแก้ไขปัญหาที่จริงจังกว่านี้ ก่อนที่จะใช้แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อกำหนดพื้นที่ของตาราง จะต้องตรวจสอบแบบจำลองนี้ก่อน การตรวจสอบสามารถทำได้ดังนี้: วัดความยาวของด้านตรงข้ามของโต๊ะตลอดจนความยาวของเส้นทแยงมุมแล้วเปรียบเทียบกัน หากด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ ความยาวของด้านตรงข้ามและความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากันเป็นคู่ พื้นผิวของโต๊ะก็ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจริงๆ มิฉะนั้น โมเดลสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะต้องถูกปฏิเสธและแทนที่ด้วยโมเดลรูปสี่เหลี่ยมทั่วไป ด้วยข้อกำหนดด้านความแม่นยำที่สูงขึ้น อาจจำเป็นต้องปรับแต่งแบบจำลองเพิ่มเติมอีก เช่น โดยคำนึงถึงการปัดเศษของมุมโต๊ะ

จากตัวอย่างง่ายๆ นี้ แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกกำหนดโดยวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษาโดยเฉพาะ สำหรับตารางเดียวกัน เราสามารถใช้แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั่วไป หรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมโค้งมนก็ได้ การเลือกรุ่นใดรุ่นหนึ่งขึ้นอยู่กับข้อกำหนดด้านความแม่นยำ ด้วยความแม่นยำที่เพิ่มขึ้น แบบจำลองจึงต้องมีความซับซ้อน โดยคำนึงถึงคุณลักษณะใหม่และใหม่ของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษา

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: ศึกษาการเคลื่อนที่ของกลไกข้อเหวี่ยง (รูปที่ 2.1)

ข้าว. 2.1.

สำหรับการวิเคราะห์จลนศาสตร์ของกลไกนี้ ประการแรก จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองจลนศาสตร์ของมัน สำหรับสิ่งนี้:

1. เราแทนที่กลไกด้วยแผนภาพจลน์ศาสตร์ โดยที่ลิงก์ทั้งหมดจะถูกแทนที่ด้วยการเชื่อมต่อแบบแข็ง

2. จากแผนภาพนี้ เราได้สมการการเคลื่อนที่ของกลไกมา

3. การแยกความแตกต่างอย่างหลังเราได้สมการของความเร็วและความเร่งซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 1 และ 2

ลองเขียนสมการเหล่านี้:

โดยที่ C 0 คือตำแหน่งขวาสุดของแถบเลื่อน C:

r – รัศมีข้อเหวี่ยง AB;

ล. - ความยาวก้านสูบ BC;

– มุมการหมุนข้อเหวี่ยง

สมการเหนือธรรมชาติที่ได้จะแสดงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของกลไกข้อเหวี่ยงแนวแกนเรียบ โดยยึดตามสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นดังต่อไปนี้:

1. เราไม่สนใจรูปแบบโครงสร้างและการจัดเรียงของมวลที่รวมอยู่ในกลไกของร่างกาย และเราแทนที่ร่างกายทั้งหมดของกลไกด้วยส่วนตรง ในความเป็นจริงการเชื่อมโยงทั้งหมดของกลไกมีมวลและรูปร่างค่อนข้างซับซ้อน ตัวอย่างเช่นก้านสูบเป็นชุดประกอบที่ซับซ้อนซึ่งแน่นอนว่ารูปร่างและขนาดจะส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของกลไก

2. เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนไหวของกลไกที่พิจารณา เราไม่ได้คำนึงถึงความยืดหยุ่นของร่างกายที่รวมอยู่ในกลไกด้วยเช่น ลิงก์ทั้งหมดถือเป็นเนื้อหาที่แข็งทื่อแบบนามธรรม ในความเป็นจริง วัตถุทั้งหมดที่รวมอยู่ในกลไกนี้เป็นวัตถุที่ยืดหยุ่น เมื่อกลไกเคลื่อนที่กลไกเหล่านี้จะเสียรูปและอาจเกิดการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นได้ แน่นอนว่าทั้งหมดนี้ก็จะส่งผลต่อการเคลื่อนไหวของกลไกด้วย

3. เราไม่ได้คำนึงถึงข้อผิดพลาดในการผลิตของข้อต่อ ช่องว่างในคู่คิเนเมติกส์ A, B, C ฯลฯ

ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องเน้นอีกครั้งว่ายิ่งข้อกำหนดสำหรับความแม่นยำของผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาสูงขึ้นเท่าใด ความจำเป็นในการคำนึงถึงคุณลักษณะของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษามากขึ้นเมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคือต้องหยุดให้ตรงเวลา เนื่องจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอาจกลายเป็นปัญหาที่แก้ไขได้ยาก

แบบจำลองจะถูกสร้างขึ้นได้ง่ายที่สุดเมื่อกฎที่กำหนดพฤติกรรมและคุณสมบัติของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว และมีประสบการณ์ในทางปฏิบัติอย่างกว้างขวางในการใช้งาน

สถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นเกิดขึ้นเมื่อความรู้ของเราเกี่ยวกับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังศึกษาไม่เพียงพอ ในกรณีนี้ เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมซึ่งเป็นไปตามธรรมชาติของสมมติฐาน แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าสมมุติ ข้อสรุปที่ได้รับจากการศึกษาแบบจำลองสมมุติฐานดังกล่าวนั้นมีเงื่อนไข ในการตรวจสอบข้อสรุปจำเป็นต้องเปรียบเทียบผลการศึกษาแบบจำลองบนคอมพิวเตอร์กับผลการทดลองเต็มรูปแบบ ดังนั้น คำถามของการประยุกต์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางอย่างกับการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังพิจารณาจึงไม่ใช่คำถามทางคณิตศาสตร์และไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์

เกณฑ์หลักของความจริงคือการทดลอง การฝึกฝนในความหมายที่กว้างที่สุดของคำ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในปัญหาประยุกต์ถือเป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนและสำคัญที่สุดขั้นตอนหนึ่งของงาน ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในหลายกรณี การเลือกรุ่นที่ถูกต้องหมายถึงการแก้ปัญหามากกว่าครึ่งหนึ่ง ความยากของขั้นตอนนี้คือต้องอาศัยการผสมผสานระหว่างความรู้ทางคณิตศาสตร์และความรู้พิเศษ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่เมื่อแก้ไขปัญหาประยุกต์ นักคณิตศาสตร์มีความรู้พิเศษเกี่ยวกับวัตถุ และคู่ค้า ผู้เชี่ยวชาญ มีวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์การวิจัยในสาขาของตน ความรู้เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรม

การบรรยายครั้งที่ 3 การสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ การแก้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์เป็นวิธีการวิจัยทางวิทยาศาสตร์แบบใหม่มีพื้นฐานมาจาก:

1. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายกระบวนการที่กำลังศึกษา

2. ใช้คอมพิวเตอร์รุ่นล่าสุดที่มีความเร็วสูง (ล้านครั้งต่อวินาที) และสามารถทำการสนทนากับบุคคลได้

สาระสำคัญของการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์มีดังนี้: ตามแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ชุดการทดลองทางคอมพิวเตอร์ดำเนินการโดยใช้คอมพิวเตอร์เช่น มีการศึกษาคุณสมบัติของวัตถุหรือกระบวนการ พบพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดและโหมดการทำงาน และแบบจำลองได้รับการปรับปรุง ตัวอย่างเช่น การมีสมการที่อธิบายเส้นทางของกระบวนการหนึ่งๆ คุณสามารถเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์ เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต และศึกษาว่าวัตถุจะมีพฤติกรรมอย่างไร นอกจากนี้ยังสามารถทำนายพฤติกรรมของวัตถุภายใต้สภาวะต่างๆ ได้อีกด้วย

การทดลองเชิงคำนวณช่วยให้คุณสามารถแทนที่การทดลองเต็มรูปแบบที่มีราคาแพงด้วยการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ ช่วยให้สามารถศึกษาตัวเลือกจำนวนมากสำหรับวัตถุหรือกระบวนการที่ออกแบบสำหรับโหมดการทำงานต่างๆ ได้ในระยะเวลาอันสั้นและไม่มีค่าใช้จ่ายด้านวัสดุที่สำคัญ ซึ่งจะช่วยลดเวลาที่ต้องใช้ในการพัฒนาระบบที่ซับซ้อนและการนำไปใช้ในการผลิตได้อย่างมาก .

การสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ซึ่งเป็นวิธีใหม่ของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ทำให้สามารถปรับปรุงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้ และช่วยให้ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่อชี้แจงและทำให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซับซ้อนขึ้นได้ สิ่งที่มีแนวโน้มมากที่สุดสำหรับการดำเนินการทดลองทางคอมพิวเตอร์คือการใช้เพื่อแก้ไขปัญหาทางวิทยาศาสตร์ เทคนิค และเศรษฐกิจสังคมที่สำคัญในยุคของเรา (การออกแบบเครื่องปฏิกรณ์สำหรับโรงไฟฟ้านิวเคลียร์ การออกแบบเขื่อนและสถานีไฟฟ้าพลังน้ำ เครื่องแปลงพลังงานแมกนีโตไฮโดรไดนามิก และในสาขาเศรษฐศาสตร์ - จัดทำแผนสมดุลสำหรับอุตสาหกรรม ภูมิภาค สำหรับประเทศ ฯลฯ)

ในบางกระบวนการที่การทดลองทางธรรมชาติเป็นอันตรายต่อชีวิตและสุขภาพของมนุษย์ การทดลองทางคอมพิวเตอร์เป็นเพียงการทดลองเดียวที่เป็นไปได้ (เทอร์โมนิวเคลียร์ฟิวชั่น การสำรวจอวกาศ การออกแบบและการวิจัยทางเคมีและอุตสาหกรรมอื่นๆ)

เพื่อตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง ผลการวิจัยทางคอมพิวเตอร์จะถูกนำมาเปรียบเทียบกับผลการทดลองในแบบจำลองขนาดเต็มต้นแบบ ผลการทดสอบใช้เพื่อปรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรือคำถามเกี่ยวกับการบังคับใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นกับการออกแบบหรือการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่ระบุได้รับการแก้ไข

โดยสรุป เราเน้นย้ำอีกครั้งว่าการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ทำให้สามารถลดการศึกษาวัตถุที่ "ไม่ใช่คณิตศาสตร์" ไปสู่การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ นี่เป็นการเปิดโอกาสให้ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดีร่วมกับเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อันทรงพลังเพื่อศึกษามัน นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการใช้คณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์เพื่อทำความเข้าใจกฎของโลกแห่งความเป็นจริงและนำไปใช้ในทางปฏิบัติ

ในปัญหาของการออกแบบหรือการศึกษาพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักไม่เป็นเชิงเส้น เพราะ พวกเขาจะต้องสะท้อนถึงกระบวนการไม่เชิงเส้นทางกายภาพที่แท้จริงที่เกิดขึ้นในพวกเขา นอกจากนี้ พารามิเตอร์ (ตัวแปร) ของกระบวนการเหล่านี้ยังเชื่อมโยงกันด้วยกฎไม่เชิงเส้นทางกายภาพ ดังนั้นในปัญหาของการออกแบบหรือศึกษาพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง จึงมักใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เช่น DNA บ่อยที่สุด

ตามการจำแนกประเภทที่ให้ไว้ในบรรยายที่ 1:

D – แบบจำลองถูกกำหนดไว้ อิทธิพลของกระบวนการสุ่มหายไป (อย่างแม่นยำมากขึ้น มันไม่ได้ถูกนำมาพิจารณา)

N – โมเดล ข้อมูล และพารามิเตอร์ต่อเนื่องกัน

A – แบบจำลองเชิงวิเคราะห์ การทำงานของแบบจำลองอธิบายไว้ในรูปแบบของสมการ (เชิงเส้น, ไม่เชิงเส้น, ระบบสมการ, สมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์)

ดังนั้นเราจึงได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังพิจารณาอยู่ เช่น นำเสนอปัญหาที่ประยุกต์เป็นโจทย์ทางคณิตศาสตร์ หลังจากนั้นขั้นตอนที่สองของการแก้ปัญหาที่ประยุกต์จะเริ่มต้นขึ้น - การค้นหาหรือการพัฒนาวิธีการในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด วิธีการนี้จะต้องสะดวกสำหรับการใช้งานบนคอมพิวเตอร์และรับรองคุณภาพของโซลูชันที่ต้องการ

วิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม:

1. วิธีการแก้ไขปัญหาที่แน่นอน

2. วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหา

ในวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอน สามารถหาคำตอบได้ในรูปของสูตร

ตัวอย่างเช่น การคำนวณรากของสมการกำลังสอง:

หรือตัวอย่าง การคำนวณฟังก์ชันอนุพันธ์:

หรือคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต:

อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่ตัวเลขลงในสูตรเป็นเศษส่วนทศนิยมจำกัด เรายังคงได้ค่าผลลัพธ์โดยประมาณ

สำหรับปัญหาส่วนใหญ่ที่พบในในทางปฏิบัติ วิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอนนั้นไม่เป็นที่รู้จักหรือมีสูตรที่ยุ่งยากมาก อย่างไรก็ตามก็ไม่จำเป็นเสมอไป ปัญหาที่ใช้นั้นถือได้ว่าแก้ไขได้จริงหากเราสามารถแก้ไขได้ด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว จึงมีการพัฒนาวิธีการเชิงตัวเลขโดยลดการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนลงเป็นการดำเนินการตามลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายจำนวนมาก การพัฒนาวิธีเชิงตัวเลขโดยตรงเป็นของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ

ตัวอย่างของวิธีการเชิงตัวเลขคือวิธีการสี่เหลี่ยมสำหรับปริพันธ์โดยประมาณ ซึ่งไม่จำเป็นต้องคำนวณแอนติเดริเวทีฟสำหรับปริพันธ์ แทนที่จะคำนวณอินทิกรัล ผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสุดท้ายจะถูกคำนวณ:

x 1 =a – ขีดจำกัดล่างของการรวม;

x n+1 =b – ขีดจำกัดบนของอินทิเกรต

n – จำนวนเซ็กเมนต์ที่มีการแบ่งช่วงการรวม (a,b)

– ความยาวของส่วนประถมศึกษา

f(x i) – ค่าของปริพันธ์ที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ปริพันธ์เบื้องต้น

ยิ่งจำนวนเซ็กเมนต์ n ที่แบ่งช่วงการรวมเข้าด้วยกันมากขึ้นเท่าใด วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณก็จะยิ่งใกล้เคียงกับค่าจริงมากขึ้นเท่านั้น เช่น ผลลัพธ์ก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ดังนั้นในปัญหาที่ประยุกต์ใช้ ทั้งเมื่อใช้วิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอนและเมื่อใช้วิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข ผลการคำนวณจึงเป็นค่าโดยประมาณ สิ่งสำคัญคือต้องแน่ใจว่าข้อผิดพลาดนั้นสอดคล้องกับความแม่นยำที่ต้องการเท่านั้น

วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็นที่รู้จักกันมานานแล้วแม้กระทั่งก่อนการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ แต่ก็ไม่ค่อยมีใครใช้และเฉพาะในกรณีที่ค่อนข้างง่ายเท่านั้นเนื่องจากความซับซ้อนในการคำนวณอย่างมาก การใช้วิธีเชิงตัวเลขอย่างกว้างขวางเกิดขึ้นได้เนื่องจากคอมพิวเตอร์

ตามตำราเรียนของ Sovetov และ Yakovlev: "แบบจำลอง (lat. modulus - การวัด) เป็นวัตถุทดแทนสำหรับวัตถุดั้งเดิมซึ่งช่วยให้มั่นใจในการศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ" (หน้า 6) “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยอีกวัตถุหนึ่งเพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” (หน้า 6) “โดยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราเข้าใจกระบวนการสร้างความสอดคล้องกับวัตถุจริงที่กำหนดกับวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ซึ่งทำให้เราได้รับคุณลักษณะของวัตถุจริงที่แท้จริง วัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับลักษณะของวัตถุจริงและงานศึกษาวัตถุ ตลอดจนความน่าเชื่อถือและความแม่นยำที่ต้องการในการแก้ปัญหานี้”

สุดท้ายนี้ คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: “สมการที่แสดงความคิด».

การจำแนกรุ่น

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างเป็นรูปขั้วคู่ ตัวอย่างเช่น หนึ่งในชุดไดโคโทมียอดนิยม:

และอื่น ๆ โมเดลที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดไว้หรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว ประเภทผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: มีความเข้มข้นในแง่หนึ่ง (ในแง่ของพารามิเตอร์) กระจายในอีกประการหนึ่ง ฯลฯ

จำแนกตามวิธีการนำเสนอวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทอย่างเป็นทางการแล้ว โมเดลยังแตกต่างกันในลักษณะที่เป็นตัวแทนของวัตถุ:

• แบบจำลองโครงสร้างหรือฟังก์ชัน

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุเป็นระบบที่มีโครงสร้างและกลไกการทำงานของตัวเอง โมเดลการทำงานอย่าใช้การนำเสนอดังกล่าวและสะท้อนเฉพาะพฤติกรรมการรับรู้ภายนอก (การทำงาน) ของวัตถุ ในการแสดงออกถึงขีดสุด พวกเขาเรียกอีกอย่างว่ารุ่น "กล่องดำ" ประเภทของโมเดลแบบรวมก็เป็นไปได้เช่นกัน ซึ่งบางครั้งเรียกว่า “ กล่องสีเทา».

เนื้อหาและรูปแบบที่เป็นทางการ

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าโครงสร้างในอุดมคติพิเศษจะถูกสร้างขึ้นก่อน โมเดลเนื้อหา. ไม่มีคำศัพท์เฉพาะที่นี่ และผู้เขียนคนอื่นๆ เรียกสิ่งนี้ว่าวัตถุในอุดมคติ รูปแบบความคิด , โมเดลเก็งกำไรหรือ รุ่นก่อน. ในกรณีนี้จะเรียกว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้าย โมเดลอย่างเป็นทางการหรือเพียงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการทำให้แบบจำลองมีความหมายที่กำหนดอย่างเป็นทางการ (แบบจำลองก่อน) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถทำได้โดยใช้ชุดอุดมคติสำเร็จรูป เช่นเดียวกับในกลไก โดยที่สปริงในอุดมคติ วัตถุแข็ง ลูกตุ้มในอุดมคติ ตัวกลางที่ยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในสาขาความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีอย่างเป็นทางการที่สมบูรณ์ (สาขาฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา จิตวิทยา และสาขาอื่นๆ ส่วนใหญ่) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายจะยากขึ้นอย่างมาก

การจำแนกเนื้อหาของแบบจำลอง

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้เพียงครั้งเดียวและตลอดไป Richard Feynman กำหนดสิ่งนี้ไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีโอกาสที่จะหักล้างทฤษฎีอยู่เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณได้ตั้งสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ โดยคำนวณว่าสมมติฐานนั้นนำไปสู่จุดใด และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันเพียงหมายความว่าคุณล้มเหลวในการปฏิเสธมัน”

ถ้าแบบจำลองแบบแรกถูกสร้างขึ้นก็หมายความว่าแบบจำลองนั้นเป็นที่ยอมรับชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นเพียงการหยุดชั่วคราวเท่านั้น: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถเป็นเพียงชั่วคราวเท่านั้น

ประเภทที่ 2: แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยา (เราประพฤติตนราวกับว่า…)

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาประกอบด้วยกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันได้อย่างเพียงพอด้วยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่สอดคล้องกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุนั้น ดังนั้นแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบ และการค้นหา “กลไกที่แท้จริง” จะต้องดำเนินต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls รวมถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของแบบจำลองในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา และอาจเกิดขึ้นได้ว่าข้อมูลและทฤษฎีใหม่ ๆ ยืนยันแบบจำลองเชิงปรากฏการณ์วิทยา และพวกเขาได้รับการส่งเสริมให้เป็นสถานะของสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง-สมมติฐานประเภทแรก และสามารถแปลเป็นความรู้ประเภทที่สองได้ ดังนั้นแบบจำลองควาร์กจึงค่อย ๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมนิยมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีการแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์มันจึงกลายเป็นประเภทแรก แต่แบบจำลองอีเทอร์ได้เดินทางจากประเภท 1 ไปเป็นประเภท 2 และขณะนี้อยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์แล้ว

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างแบบจำลอง แต่การทำให้เข้าใจง่ายมาในรูปแบบที่แตกต่างกัน Peierls ระบุการลดความซับซ้อนสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

ประเภทที่ 3: การประมาณ (เราพิจารณาบางสิ่งที่ใหญ่หรือเล็กมาก)

หากเป็นไปได้ที่จะสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะสามารถแก้ไขได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ (แบบจำลองประเภท 3) ในหมู่พวกเขา โมเดลการตอบสนองเชิงเส้น. สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

มาแล้วประเภทที่ 8 ซึ่งแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบชีววิทยา

ประเภทที่ 8: การสาธิตคุณสมบัติ (สิ่งสำคัญคือการแสดงความสอดคล้องภายในของความเป็นไปได้)

สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองทางความคิดด้วยโดยมีตัวตนในจินตนาการแสดงให้เห็นสิ่งนั้น น่าจะเป็นปรากฏการณ์สอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและสอดคล้องกันภายใน นี่คือความแตกต่างที่สำคัญจากรุ่นประเภท 7 ซึ่งเผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

การทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดอย่างหนึ่งคือเรขาคณิตของ Lobachevsky (Lobachevsky เรียกมันว่า "เรขาคณิตในจินตนาการ") อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลน์ศาสตร์อย่างเป็นทางการของการสั่นสะเทือนทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของไอน์สไตน์-โพโดลสกี-โรเซนถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภท 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ด้วยวิธีที่ไม่ได้วางแผนไว้โดยสิ้นเชิง ในที่สุดมันก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลควอนตัม

ตัวอย่าง

พิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงซึ่งจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและมีมวลของมวลติดอยู่ที่ปลายอิสระของสปริง เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้ในทิศทางของแกนสปริงเท่านั้น (เช่น การเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวแกน) เรามาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้กัน เราจะอธิบายสถานะของระบบตามระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ให้เราอธิบายปฏิสัมพันธ์ของสปริงและโหลดที่ใช้ กฎของฮุค() จากนั้นใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่ หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของเทียบกับเวลา: .

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบฟิสิคัลที่พิจารณา รุ่นนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจำแนกอย่างเป็นทางการ โมเดลนี้เป็นแบบเชิงเส้น กำหนดได้ ไดนามิก มีความเข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการก่อสร้าง เราได้ตั้งสมมติฐานหลายประการ (เกี่ยวกับการไม่มีแรงภายนอก การไม่มีแรงเสียดทาน การเบี่ยงเบนเล็กน้อย ฯลฯ) ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่เป็นไปตามนั้น

เมื่อเทียบกับความเป็นจริง ส่วนใหญ่มักเป็นโมเดลประเภทที่ 4 ลดความซับซ้อน(“เราจะละรายละเอียดบางส่วนเพื่อความชัดเจน”) เนื่องจากคุณสมบัติสากลที่สำคัญบางประการ (เช่น การกระจาย) จะถูกละเว้น ในการประมาณค่าบางอย่าง (เช่น แม้ว่าความเบี่ยงเบนของโหลดจากสมดุลจะมีน้อย โดยมีแรงเสียดทานต่ำ โดยใช้เวลาไม่นานเกินไปและขึ้นอยู่กับเงื่อนไขอื่นๆ บางประการ) แบบจำลองดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจากปัจจัยที่ละทิ้งมี ผลกระทบเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้สามารถปรับแต่งได้โดยคำนึงถึงปัจจัยบางประการเหล่านี้ สิ่งนี้จะนำไปสู่รูปแบบใหม่ที่มีขอบเขตการบังคับใช้ที่กว้างขึ้น (แม้ว่าจะถูกจำกัดอีกครั้ง)

อย่างไรก็ตาม เมื่อปรับแต่งแบบจำลอง ความซับซ้อนของการวิจัยทางคณิตศาสตร์อาจเพิ่มขึ้นอย่างมาก และทำให้แบบจำลองนั้นไร้ประโยชน์อย่างแท้จริง บ่อยครั้งที่แบบจำลองที่เรียบง่ายกว่าช่วยให้สามารถสำรวจระบบจริงได้ดีขึ้นและลึกกว่าแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า (และอย่างเป็นทางการ "ถูกต้องมากกว่า")

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ห่างไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่สำคัญของมันอาจจะแตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา แบบจำลองนี้น่าจะจัดอยู่ในประเภท 6 การเปรียบเทียบ(“มาพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติบางอย่างเท่านั้น”)

รุ่นที่แข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างหนึ่งของโมเดลที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการมีอุดมคติอันแข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง เพื่อแก้ไขปัญหาการบังคับใช้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำเป็นต้องศึกษาแบบจำลอง "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของแบบจำลอง "แข็ง" สามารถกำหนดได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:

ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันบางอย่างที่สามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการขึ้นต่อกันของค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืดตัวของสปริง - พารามิเตอร์เล็กๆ น้อยๆ เราไม่สนใจรูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชันในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ได้ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองแบบอ่อนไม่ได้แตกต่างโดยพื้นฐานจากพฤติกรรมของแบบจำลองแบบแข็ง (โดยไม่คำนึงถึงปัจจัยก่อกวนที่ชัดเจน หากมีขนาดเล็กเพียงพอ) ปัญหาก็จะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองแบบยากเท่านั้น มิฉะนั้นการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น การแก้สมการของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกคือฟังก์ชันในรูปแบบ ซึ่งก็คือการออสซิลเลเตอร์ที่มีแอมพลิจูดคงที่ ต่อจากนั้นออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งอย่างไม่มีกำหนดด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากเมื่อพิจารณาถึงระบบที่มีแรงเสียดทานน้อยตามอำเภอใจ (จะมีอยู่ในระบบจริงเสมอ) เราจึงได้รับการสั่นสะเทือนแบบหน่วง พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบรักษาพฤติกรรมเชิงคุณภาพไว้ภายใต้การรบกวนเล็กน้อย ระบบจะถือว่ามีความเสถียรทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบที่มีโครงสร้างไม่เสถียร (ไม่หยาบ) อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในระยะเวลาที่จำกัดได้

ความเก่งกาจของรุ่น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญ ความเก่งกาจ: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่เพียงอธิบายพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังอธิบายกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ด้วย ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม ความผันผวนของระดับของเหลวในภาชนะรูปตัว A หรือการเปลี่ยนแปลงความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น โดยการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจะศึกษาปรากฏการณ์ทั้งกลุ่มที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นได้ทันที มันเป็นมอร์ฟิสซึ่มของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ ที่เป็นแรงบันดาลใจให้ลุดวิก ฟอน แบร์ทาลันฟฟี่สร้าง "ทฤษฎีทั่วไปของระบบ"

ปัญหาทางตรงและทางผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ขั้นแรก คุณต้องสร้างไดอะแกรมพื้นฐานของวัตถุแบบจำลองขึ้นมา และทำซ้ำภายในกรอบของอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้นตู้รถไฟจึงกลายเป็นระบบของเพลทและตัวถังที่ซับซ้อนมากขึ้นจากวัสดุที่แตกต่างกัน แต่ละวัสดุจะถูกระบุให้เป็นอุดมคติเชิงกลมาตรฐาน (ความหนาแน่น โมดูลัสยืดหยุ่น ลักษณะความแข็งแรงมาตรฐาน) หลังจากนั้นจึงร่างสมการขึ้นมาและตลอดทาง รายละเอียดบางส่วนถูกละทิ้งเนื่องจากไม่สำคัญ มีการคำนวณ เมื่อเปรียบเทียบกับการวัด โมเดลจะได้รับการปรับปรุง และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะมีประโยชน์ที่จะแยกกระบวนการนี้ออกเป็นส่วนประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาสองประเภทหลักที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ทางตรงและทางผกผัน

งานตรง: ถือว่าทราบโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมดแล้ว ภารกิจหลักคือดำเนินการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานจะรับน้ำหนักคงที่ได้เท่าใด มันจะตอบสนองต่อภาระแบบไดนามิกอย่างไร (เช่น การเดินทัพของกองทหาร หรือต่อเส้นทางของรถไฟด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน) วิธีที่เครื่องบินจะเอาชนะกำแพงกั้นเสียง ไม่ว่ามันจะพังทลายจากการกระพือปีกก็ตาม - นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของปัญหาโดยตรง การตั้งค่าปัญหาโดยตรงที่ถูกต้อง (การถามคำถามที่ถูกต้อง) ต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ได้ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานก็อาจพังทลายลงได้ แม้ว่าจะได้สร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของมันแล้วก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์พังทลายลงในบริเตนใหญ่ นักออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานโดยคำนวณว่าจะมีปัจจัยด้านความปลอดภัย 20 เท่าสำหรับการกระทำของน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมเรื่องลมไป พัดอยู่ในสถานที่เหล่านั้นอย่างต่อเนื่อง และผ่านไปหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (เช่น สมการออสซิลเลเตอร์ตัวหนึ่ง) ปัญหาโดยตรงนั้นง่ายมากและลดลงเหลือเพียงคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: ทราบแบบจำลองที่เป็นไปได้หลายแบบ ต้องเลือกแบบจำลองเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุ บ่อยครั้งที่ทราบโครงสร้างของแบบจำลอง และจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติม หรือข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ( ปัญหาการออกแบบ). ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถมาถึงได้โดยไม่คำนึงถึงกระบวนการแก้ไขปัญหาผกผัน ( การสังเกตแบบพาสซีฟ) หรือเป็นผลจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษระหว่างการแก้ปัญหา ( การเฝ้าระวังอย่างแข็งขัน).

หนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของการแก้ปัญหาผกผันอย่างเชี่ยวชาญโดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่คือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton เพื่อสร้างแรงเสียดทานขึ้นใหม่จากการสั่นแบบหน่วงที่สังเกตได้

อีกตัวอย่างหนึ่งคือสถิติทางคณิตศาสตร์ หน้าที่ของวิทยาศาสตร์นี้คือการพัฒนาวิธีการบันทึก อธิบาย และวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสังเกตและการทดลอง เพื่อสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่มมวล เหล่านั้น. ชุดของแบบจำลองที่เป็นไปได้นั้นจำกัดอยู่เพียงแบบจำลองความน่าจะเป็น ในงานเฉพาะ ชุดโมเดลจะถูกจำกัดมากขึ้น

ระบบจำลองคอมพิวเตอร์

เพื่อรองรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนา เช่น Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim เป็นต้น ซึ่งช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการและแบบบล็อกของกระบวนการและอุปกรณ์ทั้งแบบง่ายและซับซ้อน และเปลี่ยนพารามิเตอร์ของโมเดลได้อย่างง่ายดายระหว่าง การสร้างแบบจำลอง บล็อกโมเดลแสดงด้วยบล็อก (ส่วนใหญ่มักเป็นกราฟิก) ชุดและการเชื่อมต่อที่ระบุโดยไดอะแกรมโมเดล

ตัวอย่างเพิ่มเติม

แบบจำลองของมัลธัส

อัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนกับขนาดประชากรในปัจจุบัน มันถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์

โดยที่พารามิเตอร์บางอย่างถูกกำหนดโดยความแตกต่างระหว่างอัตราการเกิดและอัตราการตาย การแก้สมการนี้คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หากอัตราการเกิดเกินอัตราการเสียชีวิต () ขนาดประชากรจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดและรวดเร็วมาก เป็นที่ชัดเจนว่าในความเป็นจริงสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากมีทรัพยากรที่จำกัด เมื่อถึงขนาดประชากรวิกฤติ แบบจำลองจะไม่เพียงพอ เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัด การปรับแต่งแบบจำลอง Malthus อาจเป็นแบบจำลองลอจิสติกส์ ซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ Verhulst

ขนาดประชากร "สมดุล" อยู่ที่ไหน ซึ่งอัตราการเกิดจะได้รับการชดเชยด้วยอัตราการเสียชีวิตอย่างแน่นอน ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะมีค่าสมดุล และพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

ระบบล่าเหยื่อ

สมมติว่ามีสัตว์สองประเภทอาศัยอยู่ในพื้นที่หนึ่ง: กระต่าย (กินพืช) และสุนัขจิ้งจอก (กินกระต่าย) ให้จำนวนกระต่ายจำนวนสุนัขจิ้งจอก การใช้แบบจำลอง Malthus พร้อมการแก้ไขที่จำเป็นเพื่อคำนึงถึงการกินกระต่ายโดยสุนัขจิ้งจอก เรามาถึงระบบต่อไปนี้ชื่อ ถาดรุ่น - Volterra:

ระบบนี้มีสถานะสมดุลเมื่อจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอกคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้ส่งผลให้เกิดความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ เช่นเดียวกับฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่เสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลอง (เช่น โดยคำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัดซึ่งกระต่ายต้องการ) สามารถนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรมได้ ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลอาจคงที่ และความผันผวนของตัวเลขจะหายไป สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลที่ตามมาที่เป็นหายนะ จนถึงการสูญพันธุ์อย่างสมบูรณ์ของสายพันธุ์ใดสายพันธุ์หนึ่ง แบบจำลอง Volterra-Lotka ไม่ได้ตอบคำถามว่าสถานการณ์ใดที่เกิดขึ้นเหล่านี้: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

หมายเหตุ

1. “การเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง” (สารานุกรมบริตานิกา)
2. โนวิก ไอ.บี., ในประเด็นทางปรัชญาของการสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ ม., ความรู้, 2507.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ฉบับที่ 3 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2544 - 343 น. ไอ 5-06-003860-2
4. Samarsky A.A. , มิคาอิลอฟ A.P.การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไอเดีย วิธีการ ตัวอย่าง. - ฉบับที่ 2, ฉบับที่. - อ.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. มิชคิส เอ.ดี.,องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ฉบับที่ 3, ฉบับที่. - อ.: คมคนิกา, 2550 - 192 กับ ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. การสร้างแบบจำลองกระบวนการทางเทคโนโลยี: หนังสือเรียน / A.G. Sevostyanov, P.A. เซโวสยานอฟ – อ.: อุตสาหกรรมเบาและอาหาร พ.ศ. 2527 - 344 หน้า
7. วิกิพจนานุกรม: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
8. CliffsNotes.com อภิธานศัพท์วิทยาศาสตร์โลก 20 กันยายน 2553
9. แนวทางการลดแบบจำลองและการทำให้หยาบหยาบสำหรับปรากฏการณ์หลายระดับ, สปริงเกอร์, ซีรีส์ความซับซ้อน, เบอร์ลิน-ไฮเดลเบิร์ก-นิวยอร์ก, 2549. XII+562 หน้า ไอ 3-540-35885-4
10. “ทฤษฎีถือเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ - เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นชนิดใดที่ใช้ ...โดยไม่ปฏิเสธอย่างหลัง หากเขาต้องสร้างคำจำกัดความของเอนทิตีที่สำคัญดังกล่าวขึ้นมาใหม่ นักฟิสิกส์ยุคใหม่ก็คือความไม่เชิงเส้น ก็มีแนวโน้มว่าจะกระทำการที่แตกต่างออกไป และหากให้ความสำคัญกับความไม่เชิงเส้นมากกว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามสองประการจะมีความสำคัญและแพร่หลายมากกว่า จะนิยามความเป็นเชิงเส้นว่า “ไม่ ความไม่เชิงเส้น” ดานิลอฟ ยู.เอ.,บรรยายเรื่องพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น. การแนะนำเบื้องต้น ซีรีส์ “Synergetics: จากอดีตสู่อนาคต” ฉบับที่ 2 - อ.: URSS, 2549 - 208 หน้า ไอ 5-484-00183-8
11. “ระบบไดนามิกที่สร้างแบบจำลองโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจำนวนจำกัดเรียกว่าระบบเข้มข้นหรือระบบจุด พวกมันถูกอธิบายโดยใช้สเปซเฟสที่มีขอบเขตจำกัด และมีลักษณะเฉพาะด้วยระดับความอิสระจำนวนจำกัด ระบบเดียวกันภายใต้เงื่อนไขที่ต่างกันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นแบบรวมศูนย์หรือแบบกระจาย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบแบบกระจาย ได้แก่ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการอินทิกรัล หรือสมการหน่วงเวลาธรรมดา จำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบแบบกระจายนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และจำเป็นต้องมีข้อมูลจำนวนอนันต์เพื่อกำหนดสถานะของระบบ” อนิชเชนโก้ วี.เอส., ระบบไดนามิก, วารสารการศึกษาของโซรอส, 1997, ฉบับที่ 11, หน้า. 77-84.
12. “ขึ้นอยู่กับลักษณะของกระบวนการที่กำลังศึกษาในระบบ S การสร้างแบบจำลองทุกประเภทสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและสุ่ม คงที่และไดนามิก ไม่ต่อเนื่อง ต่อเนื่อง และต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่อง การสร้างแบบจำลองเชิงกำหนดสะท้อนถึงกระบวนการที่กำหนดขึ้น กล่าวคือ กระบวนการที่ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่มใดๆ การสร้างแบบจำลองสุ่มแสดงให้เห็นกระบวนการและเหตุการณ์ความน่าจะเป็น ... การสร้างแบบจำลองแบบคงที่ทำหน้าที่อธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ณ เวลาใดก็ได้ และการสร้างแบบจำลองแบบไดนามิกสะท้อนถึงพฤติกรรมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง การสร้างแบบจำลองแบบแยกส่วนใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่ถือว่าแยกส่วน ตามลำดับ การสร้างแบบจำลองแบบต่อเนื่องช่วยให้เราสามารถสะท้อนกระบวนการที่ต่อเนื่องในระบบได้ และการสร้างแบบจำลองแบบต่อเนื่องแบบแยกส่วนใช้สำหรับกรณีที่ต้องการเน้นการมีอยู่ของกระบวนการทั้งแบบแยกส่วนและแบบต่อเนื่อง ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A.ไอ 5-06-003860-2
13. โดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะสะท้อนถึงโครงสร้าง (อุปกรณ์) ของวัตถุแบบจำลอง คุณสมบัติและความสัมพันธ์ของส่วนประกอบของวัตถุนี้ซึ่งจำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของการวิจัย แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง หากแบบจำลองสะท้อนเฉพาะวิธีที่วัตถุทำงาน - ตัวอย่างเช่นวิธีที่วัตถุตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอก - สิ่งนั้นเรียกว่าการทำงานหรือในเชิงเปรียบเทียบว่าเป็นกล่องดำ สามารถรวมโมเดลเข้าด้วยกันได้ มิชคิส เอ.ดี.ไอ 978-5-484-00953-4
14. “ขั้นตอนเริ่มต้นที่ชัดเจน แต่สำคัญที่สุดของการสร้างหรือการเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการได้ภาพที่ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองและปรับแต่งแบบจำลองที่มีความหมายของมัน โดยอาศัยการอภิปรายอย่างไม่เป็นทางการ คุณไม่ควรสละเวลาและความพยายามในขั้นตอนนี้ความสำเร็จของการศึกษาทั้งหมดขึ้นอยู่กับมันเป็นหลัก มันเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งที่งานสำคัญที่ใช้ไปในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลหรือสูญเปล่าเนื่องจากความสนใจในด้านนี้ไม่เพียงพอ” มิชคิส เอ.ดี.,องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ฉบับที่ 3, ฉบับที่. - M.: KomKniga, 2007. - 192 กับ ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « คำอธิบายของแบบจำลองแนวคิดของระบบในขั้นตอนย่อยของการสร้างแบบจำลองระบบนี้: ก) โมเดลเชิงแนวคิด M ได้รับการอธิบายด้วยคำศัพท์และแนวคิดเชิงนามธรรม; b) คำอธิบายของแบบจำลองถูกกำหนดโดยใช้โครงร่างทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน c) สมมติฐานและสมมติฐานได้รับการยอมรับในที่สุด d) การเลือกขั้นตอนสำหรับการประมาณกระบวนการจริงเมื่อสร้างแบบจำลองนั้นสมเหตุสมผล” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ฉบับที่ 3 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2544 - 343 น. ไอ 5-06-003860-2, น. 93.
16. เบลคมาน ไอ. ไอ., มิชคิส เอ. ดี., ปานอฟโก เอ็น. จี., คณิตศาสตร์ประยุกต์: หัวเรื่อง, ตรรกะ, คุณลักษณะของแนวทาง พร้อมตัวอย่างจากช่างกล : หนังสือเรียน. - ฉบับที่ 3, ฉบับที่. และเพิ่มเติม - อ.: URSS, 2549. - 376 หน้า ISBN 5-484-00163-3 บทที่ 2

เวกเตอร์ของตัวแปรอินพุต X=เสื้อ,

Y - เวกเตอร์ของตัวแปรเอาต์พุต ย=ที,

Z คือเวกเตอร์ของอิทธิพลภายนอก Z= เสื้อ,

t - พิกัดเวลา

การก่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยการกำหนดความเชื่อมโยงระหว่างกระบวนการและปรากฏการณ์บางอย่าง การสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้เราสามารถแสดงความเชื่อมโยงระหว่างกระบวนการและปรากฏการณ์บางอย่างในเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่ผู้เชี่ยวชาญสนใจ และปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อผลลัพธ์สุดท้าย

โดยปกติแล้วจะมีจำนวนมากจนเป็นไปไม่ได้ที่จะแนะนำทั้งชุดลงในโมเดล เมื่อก่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก่อนการศึกษางานจะเกิดขึ้นเพื่อระบุและแยกออกจากปัจจัยการพิจารณาที่ไม่ส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อผลลัพธ์สุดท้าย ( แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะมีปัจจัยจำนวนน้อยกว่าความเป็นจริงอย่างมาก) จากข้อมูลการทดลอง มีการหยิบยกสมมติฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แสดงผลลัพธ์สุดท้ายกับปัจจัยที่นำมาใช้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์. การเชื่อมต่อดังกล่าวมักแสดงโดยระบบดิฟเฟอเรนเชียล สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย(ตัวอย่างเช่น ในปัญหากลศาสตร์ของของแข็ง ของเหลว และก๊าซ ทฤษฎีการกรอง การนำความร้อน ทฤษฎีสนามไฟฟ้าสถิตและพลศาสตร์ไฟฟ้า)

เป้าหมายสูงสุดของขั้นตอนนี้คือการกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งการแก้ปัญหาซึ่งแสดงผลลัพธ์ที่เป็นที่สนใจของผู้เชี่ยวชาญด้วยความแม่นยำที่จำเป็น

รูปแบบและหลักการนำเสนอ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย

ตามหลักการก่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

1. วิเคราะห์;
2. การเลียนแบบ.

ในแบบจำลองการวิเคราะห์ กระบวนการทำงานของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริงจะถูกเขียนในรูปแบบที่ชัดเจน การพึ่งพาการทำงาน.

แบบจำลองการวิเคราะห์แบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ขึ้นอยู่กับปัญหาทางคณิตศาสตร์:

1. สมการ (พีชคณิต เหนือธรรมชาติ อนุพันธ์ อินทิกรัล)
2. ปัญหาการประมาณ (การประมาณค่า, การประมาณค่า, การบูรณาการเชิงตัวเลขและ ความแตกต่าง),
3. ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ
4. ปัญหาสุ่ม

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากออบเจ็กต์การสร้างแบบจำลองมีความซับซ้อนมากขึ้น การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์จะกลายเป็นปัญหาที่แก้ไขได้ยาก จากนั้นผู้วิจัยจะถูกบังคับให้ใช้ การจำลอง.

ใน การสร้างแบบจำลองการจำลองการทำงานของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบอธิบายโดยชุดอัลกอริธึม อัลกอริทึมจำลองปรากฏการณ์พื้นฐานจริงที่ประกอบขึ้นเป็นกระบวนการหรือระบบในขณะที่ยังคงรักษาไว้ โครงสร้างเชิงตรรกะและลำดับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป การสร้างแบบจำลองการจำลองช่วยให้คุณได้รับข้อมูลเกี่ยวกับแหล่งข้อมูล สถานะของกระบวนการหรือระบบ ณ จุดใดจุดหนึ่ง แต่การทำนายพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบเป็นเรื่องยากที่นี่ ก็สามารถพูดได้ว่า แบบจำลอง- สิ่งเหล่านี้ดำเนินการบนคอมพิวเตอร์ การทดลองทางคอมพิวเตอร์กับ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์การจำลองพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง

ขึ้นอยู่กับลักษณะของกระบวนการและระบบจริงที่กำลังศึกษาอยู่ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้:

1. กำหนดไว้,
2. สุ่ม

ในแบบจำลองที่กำหนด สันนิษฐานว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่ม องค์ประกอบของแบบจำลอง (ตัวแปร การเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์) ได้รับการสร้างขึ้นอย่างแม่นยำ และสามารถกำหนดพฤติกรรมของระบบได้อย่างแม่นยำ เมื่อสร้างแบบจำลองที่กำหนดขึ้น มักใช้สมการพีชคณิต สมการอินทิกรัล และพีชคณิตเมทริกซ์

โมเดลสุ่มคำนึงถึงลักษณะสุ่มของกระบวนการในวัตถุและระบบที่กำลังศึกษาซึ่งอธิบายโดยวิธีทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

ขึ้นอยู่กับประเภทของข้อมูลอินพุต โมเดลจะแบ่งออกเป็น:

1. ต่อเนื่อง,
2. ไม่ต่อเนื่อง

หากข้อมูลและพารามิเตอร์มีความต่อเนื่อง และการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์มีความเสถียร แสดงว่าแบบจำลองมีความต่อเนื่อง และในทางกลับกัน หากข้อมูลและพารามิเตอร์ไม่ต่อเนื่องกัน และการเชื่อมต่อไม่เสถียร แบบจำลองทางคณิตศาสตร์- ไม่ต่อเนื่อง

ตามพฤติกรรมของแบบจำลองในช่วงเวลาต่างๆ แบ่งออกเป็น:

1. คงที่,
2. พลวัต.

แบบจำลองคงที่อธิบายพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ ณ เวลาใดก็ได้ โมเดลไดนามิกสะท้อนถึงพฤติกรรมของออบเจ็กต์ กระบวนการ หรือระบบในช่วงเวลาหนึ่ง

ตามระดับการติดต่อสื่อสารระหว่าง