วิธีคูณเศษส่วนด้วยส่วนจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน

17.10.2019

เนื้อหาบทเรียน

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การบวกเศษส่วนมีสองประเภท:

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ก่อนอื่น มาเรียนรู้การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันกันก่อน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น ลองบวกเศษส่วน และ เพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสี่ส่วน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 2เพิ่มเศษส่วนและ.

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน. เมื่องานสิ้นสุดลง เป็นเรื่องปกติที่จะต้องกำจัดเศษส่วนเกินออก หากต้องการกำจัดเศษส่วนเกิน คุณต้องเลือกเศษส่วนทั้งหมด ในกรณีของเรา แยกส่วนทั้งหมดออกได้ง่าย - สองหารด้วยสองเท่ากับหนึ่ง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าที่แบ่งออกเป็นสองส่วนได้ หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่าทั้งถาด:

ตัวอย่างที่ 3. เพิ่มเศษส่วนและ.

อีกครั้ง เรารวมตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสามส่วน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์

ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้าทุกประการ ต้องบวกตัวเศษและตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่าและเพิ่มพิซซ่าอีก คุณจะได้รับพิซซ่าทั้ง 1 ถาดและพิซซ่าอีก 1 ถาด

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะเข้าใจกฎต่อไปนี้:

หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณจะต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตอนนี้ เรามาเรียนรู้วิธีบวกเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างๆ กัน เมื่อบวกเศษส่วน ตัวส่วนของเศษส่วนจะต้องเท่ากัน แต่พวกเขาไม่ได้เหมือนกันเสมอไป

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถบวกได้เนื่องจากมีตัวส่วนเท่ากัน

แต่เศษส่วนไม่สามารถบวกได้ทันที เนื่องจากเศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ในกรณีเช่นนี้ เศษส่วนจะต้องถูกลดให้เหลือตัวส่วน (ร่วม) เท่ากัน

มีหลายวิธีในการลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน วันนี้เราจะดูเพียงวิธีเดียวเท่านั้น เนื่องจากวิธีอื่นอาจดูซับซ้อนสำหรับมือใหม่

สาระสำคัญของวิธีนี้คือค้นหา LCM ของตัวส่วนของทั้งสองเศษส่วนก่อน จากนั้น LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกเพื่อให้ได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก พวกเขาทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง - LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สอง

ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม จากการกระทำเหล่านี้ เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันจะกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีบวกเศษส่วนแล้ว.

ตัวอย่างที่ 1. ลองบวกเศษส่วนและ

ก่อนอื่น เราจะหาตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 2 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 6

LCM (2 และ 3) = 6

ทีนี้ลองกลับมาที่เศษส่วนและ. ขั้นแรก ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกแล้วได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก LCM คือเลข 6 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 หาร 6 ด้วย 3 เราได้ 2

ผลลัพธ์หมายเลข 2 คือตัวคูณเพิ่มเติมตัวแรก เราเขียนมันเป็นเศษส่วนแรก. โดยให้ลากเส้นเฉียงเล็กๆ เหนือเศษส่วนแล้วจดปัจจัยเพิ่มเติมที่พบด้านบนลงไป:

เราทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง. เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและรับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สอง LCM คือเลข 6 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 2 หาร 6 ด้วย 2 เราได้ 3

ผลลัพธ์หมายเลข 3 คือตัวคูณเพิ่มเติมตัวที่สอง เราเขียนมันเป็นเศษส่วนที่สอง. ขอย้ำอีกครั้ง เราสร้างเส้นเฉียงเล็กๆ เหนือเศษส่วนที่สอง และจดปัจจัยเพิ่มเติมที่พบด้านบนไว้:

ตอนนี้เรามีทุกอย่างพร้อมสำหรับการเพิ่มเติมแล้ว ยังคงต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

พิจารณาสิ่งที่เราได้มาอย่างละเอียดถี่ถ้วน เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีบวกเศษส่วนแล้ว. ลองใช้ตัวอย่างนี้จนจบ:

นี่เป็นการเสร็จสิ้นตัวอย่าง ปรากฎว่าเพิ่ม

เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่าหนึ่งถาดและอีกพิซซ่าหนึ่งในหกของพิซซ่า:

การลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน (ร่วม) ก็สามารถอธิบายได้โดยใช้รูปภาพ การลดเศษส่วนและเป็นตัวส่วนร่วม เราได้เศษส่วนและ เศษส่วนทั้งสองนี้จะแสดงด้วยพิซซ่าชิ้นเดียวกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือคราวนี้พวกเขาจะแบ่งออกเป็นหุ้นเท่า ๆ กัน (ลดให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน)

ภาพวาดแรกแทนเศษส่วน (สี่ชิ้นจากหกชิ้น) และภาพวาดที่สองแทนเศษส่วน (สามชิ้นจากหกชิ้น) เราได้เพิ่มชิ้นส่วนเหล่านี้ (เจ็ดชิ้นจากหกชิ้น) เศษส่วนนี้ไม่เหมาะสม เราจึงเน้นเศษส่วนทั้งหมด. เป็นผลให้เราได้ (พิซซ่าหนึ่งอันและพิซซ่าที่หกอีกอัน)

โปรดทราบว่าเราได้อธิบายตัวอย่างนี้โดยละเอียดมากเกินไป ในสถาบันการศึกษาไม่ใช่เรื่องปกติที่จะเขียนรายละเอียดดังกล่าว คุณต้องสามารถค้นหา LCM ของทั้งตัวส่วนและตัวประกอบเพิ่มเติมได้อย่างรวดเร็ว พร้อมทั้งคูณตัวประกอบเพิ่มเติมที่พบอย่างรวดเร็วด้วยตัวเศษและตัวส่วน ถ้าเราอยู่ที่โรงเรียนเราจะต้องเขียนตัวอย่างดังนี้:

แต่เหรียญก็มีอีกด้านหนึ่งเช่นกัน หากคุณไม่จดบันทึกอย่างละเอียดในช่วงแรกของการเรียนคณิตศาสตร์ คำถามประเภทนี้จะเริ่มปรากฏขึ้น “ตัวเลขนั้นมาจากไหน”, “เหตุใดเศษส่วนจึงกลายเป็นเศษส่วนที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง? «.

เพื่อให้ง่ายต่อการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณสามารถใช้คำแนะนำทีละขั้นตอนต่อไปนี้:

ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วน
หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนและรับตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน
คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม
บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน ให้เลือกทั้งเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ .

ลองใช้คำแนะนำที่ให้ไว้ข้างต้น

ขั้นตอนที่ 1 ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วน

ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลข 2, 3 และ 4

ขั้นตอนที่ 2. หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนและรับตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน

หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก. LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือ 2 หาร 12 ด้วย 2 เราได้ 6 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรกคือ 6 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก:

ตอนนี้เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 3 หาร 12 ด้วย 3 เราได้ 4 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สอง 4 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง:

ตอนนี้เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สาม LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สามคือเลข 4 หาร 12 ด้วย 4 เราได้ 3 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สาม 3 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สาม:

ขั้นตอนที่ 3 คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม

เราคูณตัวเศษและส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

ขั้นตอนที่ 4 บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน (ร่วม) สิ่งที่เหลืออยู่คือการบวกเศษส่วนเหล่านี้ เพิ่มมันขึ้นมา:

การเพิ่มไม่พอดีกับบรรทัดเดียว ดังนั้นเราจึงย้ายนิพจน์ที่เหลือไปยังบรรทัดถัดไป สิ่งนี้ได้รับอนุญาตในวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อนิพจน์ไม่พอดีกับบรรทัดหนึ่ง นิพจน์นั้นจะถูกย้ายไปยังบรรทัดถัดไป และจำเป็นต้องใส่เครื่องหมายเท่ากับ (=) ที่ท้ายบรรทัดแรกและที่จุดเริ่มต้นของบรรทัดใหม่ เครื่องหมายเท่ากับบนบรรทัดที่สองบ่งชี้ว่านี่คือความต่อเนื่องของนิพจน์ที่อยู่ในบรรทัดแรก

ขั้นตอนที่ 5 หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน ให้เลือกเศษส่วนทั้งหมด

คำตอบของเรากลายเป็นเศษส่วนเกิน. เราต้องเน้นบางส่วนทั้งหมด เราเน้น:

เราได้รับคำตอบ

การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การลบเศษส่วนมีสองประเภท:

การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ขั้นแรก เรามาเรียนรู้วิธีลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันกันก่อน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากต้องการลบอีกส่วนหนึ่งออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก แต่ปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าของนิพจน์ เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ลงมือทำกันเถอะ:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสี่ส่วน หากคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์

อีกครั้ง จากตัวเศษของเศษส่วนแรก ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสามส่วน หากคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์

ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้าทุกประการ จากตัวเศษของเศษส่วนแรกคุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่เหลือ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะเข้าใจกฎต่อไปนี้:

หากต้องการลบอีกอันหนึ่งออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง
หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องเน้นเศษส่วนนั้นทั้งหมด

การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถลบเศษส่วนออกจากเศษส่วนได้เนื่องจากเศษส่วนนั้นมีตัวส่วนเท่ากัน แต่คุณไม่สามารถลบเศษส่วนออกจากเศษส่วนได้ เนื่องจากเศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ในกรณีเช่นนี้ เศษส่วนจะต้องถูกลดให้เหลือตัวส่วน (ร่วม) เท่ากัน

ตัวส่วนร่วมพบได้โดยใช้หลักการเดียวกับที่เราใช้เมื่อบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่น หา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง จากนั้น LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกและรับตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรกซึ่งเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก ในทำนองเดียวกัน LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สองซึ่งเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง

จากนั้นเศษส่วนจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม จากการดำเนินการเหล่านี้ เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว.

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาความหมายของสำนวน:

เศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ดังนั้นคุณจึงต้องลดให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน (ร่วม)

อันดับแรก เราจะหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 4 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 12

LCM (3 และ 4) = 12

ทีนี้ กลับมาที่เศษส่วนและ

ลองหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 หาร 12 ด้วย 3 จะได้ 4 เขียนสี่ไว้เหนือเศษส่วนแรก:

เราทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง. หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง. LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 4 หาร 12 ด้วย 4 จะได้ 3 เขียนสามส่วนเศษส่วนที่สอง:

ตอนนี้เราพร้อมสำหรับการลบแล้ว ยังคงต้องคูณเศษส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว. ลองใช้ตัวอย่างนี้จนจบ:

เราได้รับคำตอบ

เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน ถ้าคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า

นี่คือเวอร์ชันโดยละเอียดของโซลูชัน ถ้าเราอยู่ที่โรงเรียน เราจะต้องแก้ตัวอย่างนี้ให้สั้นลง วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะมีลักษณะดังนี้:

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมก็สามารถแสดงโดยใช้รูปภาพได้เช่นกัน เมื่อลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้เศษส่วนและ เศษส่วนเหล่านี้จะแสดงด้วยชิ้นพิซซ่าชิ้นเดียวกัน แต่คราวนี้เศษส่วนจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน (ลดให้เหลือส่วนเดียวกัน):

ภาพแรกแสดงเศษส่วน (แปดชิ้นจากสิบสอง) และภาพที่สองแสดงเศษส่วน (สามในสิบสอง) โดยการตัดสามชิ้นจากแปดชิ้น เราจะได้ห้าชิ้นจากสิบสอง เศษส่วนอธิบายห้าชิ้นนี้

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์

เศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ดังนั้นก่อนอื่นคุณต้องลดให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน (ร่วม) ก่อน

มาหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้กัน

ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลข 10, 3 และ 5 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 30

คซเอ็ม(10, 3, 5) = 30

ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วนแล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน

ลองหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกกัน LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 10 หาร 30 ด้วย 10 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก 3 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก:

ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่สองแล้ว หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง. LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 3 หาร 30 ด้วย 3 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สองคือ 10 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง:

ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่สามแล้ว หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สาม. LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สามคือเลข 5 หาร 30 ด้วย 5 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สาม 6 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สาม:

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมสำหรับการลบแล้ว ยังคงต้องคูณเศษส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน (ร่วม) และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว. มาจบตัวอย่างนี้กัน

ความต่อเนื่องของตัวอย่างจะไม่พอดีกับบรรทัดเดียว ดังนั้นเราจึงย้ายความต่อเนื่องไปยังบรรทัดถัดไป อย่าลืมเครื่องหมายเท่ากับ (=) บนบรรทัดใหม่:

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติและทุกอย่างดูเหมือนจะเหมาะกับเรา แต่มันยุ่งยากและน่าเกลียดเกินไป เราควรทำให้มันง่ายขึ้น สิ่งที่สามารถทำได้? คุณสามารถย่อเศษส่วนนี้ให้สั้นลงได้

ในการลดเศษส่วน คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย (GCD) ของตัวเลข 20 และ 30

ดังนั้นเราจึงพบ gcd ของตัวเลข 20 และ 30:

ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวอย่างของเราและหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย gcd ที่พบ นั่นคือ 10

เราได้รับคำตอบ

การคูณเศษส่วนด้วยตัวเลข

หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยตัวเลข คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนดด้วยตัวเลขนั้นและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

ตัวอย่างที่ 1. คูณเศษส่วนด้วยเลข 1

คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยเลข 1

การบันทึกสามารถเข้าใจได้ว่าใช้เวลาเพียงครึ่งเดียว เช่น ถ้าคุณกินพิซซ่าครั้งเดียว คุณก็จะได้พิซซ่า

จากกฎการคูณ เรารู้ว่าถ้าสลับตัวคูณกับตัวประกอบ ผลคูณจะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้านิพจน์เขียนเป็น ผลคูณจะยังคงเท่ากับ ขอย้ำอีกครั้งว่ากฎสำหรับการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนใช้ได้ผล:

สัญกรณ์นี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการสละครึ่งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้ามีพิซซ่า 1 ถาดและเราแบ่งไปครึ่งหนึ่ง เราก็จะได้พิซซ่า:

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาค่าของนิพจน์

คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วย 4

คำตอบคือเศษส่วนเกิน. เรามาเน้นส่วนทั้งหมดกันดีกว่า:

สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าใช้เวลาสองในสี่ 4 ครั้ง เช่น ถ้าคุณกินพิซซ่า 4 ถาด คุณจะได้พิซซ่าทั้ง 2 ถาด

และถ้าเราสลับตัวคูณและตัวคูณ เราจะได้นิพจน์ มันจะเท่ากับ 2 ด้วย สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเอาพิซซ่าสองถาดจากพิซซ่าทั้งสี่ถาด:

การคูณเศษส่วน

ในการคูณเศษส่วน คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วย หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องเน้นเศษส่วนนั้นให้หมด

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์

เราได้รับคำตอบ ขอแนะนำให้ลดเศษส่วนนี้ลง เศษส่วนสามารถลดลงได้ 2 จากนั้นวิธีแก้ปัญหาสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการหยิบพิซซ่าจากพิซซ่าครึ่งหนึ่ง สมมติว่าเรามีพิซซ่าครึ่งถาด:

จะเอาสองในสามจากครึ่งนี้ได้อย่างไร? ก่อนอื่นคุณต้องแบ่งครึ่งนี้ออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน:

และนำสองจากสามชิ้นนี้:

เราจะทำพิซซ่า จำไว้ว่าพิซซ่าจะหน้าตาเป็นอย่างไรเมื่อแบ่งออกเป็นสามส่วน:

พิซซ่าหนึ่งชิ้นนี้และอีกสองชิ้นที่เราเอามาจะมีขนาดเท่ากัน:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำลังพูดถึงพิซซ่าที่มีขนาดเท่ากัน ดังนั้นค่าของนิพจน์คือ

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาค่าของนิพจน์

คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคูณด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง:

คำตอบคือเศษส่วนเกิน. เรามาเน้นส่วนทั้งหมดกันดีกว่า:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติ แต่จะย่อให้สั้นลงก็คงจะดี ในการลดเศษส่วนนี้ คุณต้องหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วยตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข 105 และ 450

เรามาค้นหา gcd ของตัวเลข 105 และ 450 กัน:

ตอนนี้เราหารทั้งเศษและส่วนของคำตอบด้วย gcd ที่เราพบตอนนี้ นั่นคือ 15

การแทนจำนวนเต็มเป็นเศษส่วน

จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เช่น เลข 5 สามารถแสดงเป็น สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนความหมายของห้า เนื่องจากสำนวนหมายถึง "จำนวนห้าหารด้วยหนึ่ง" และดังที่เราทราบนี้เท่ากับห้า:

ตัวเลขซึ่งกันและกัน

ตอนนี้เราจะมาทำความคุ้นเคยกับหัวข้อที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า "เลขกลับกัน"

คำนิยาม. ย้อนกลับไปยังหมายเลขก คือจำนวนที่เมื่อคูณด้วยก ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง

ลองแทนที่คำจำกัดความนี้แทนตัวแปร กหมายเลข 5 แล้วลองอ่านคำจำกัดความ:

ย้อนกลับไปยังหมายเลข 5 คือจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 5 ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 5 แล้วได้ 1 ตัว? ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ ลองจินตนาการว่าห้าเป็นเศษส่วน:

จากนั้นคูณเศษส่วนนี้ด้วยตัวมันเอง แค่สลับตัวเศษและส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองคูณเศษส่วนด้วยตัวมันเอง กลับหัวเท่านั้น:

จะเกิดอะไรขึ้นจากสิ่งนี้? หากเรายังคงแก้ตัวอย่างนี้ต่อไป เราจะได้สิ่งหนึ่ง:

ซึ่งหมายความว่าค่าผกผันของเลข 5 คือตัวเลข เนื่องจากเมื่อคุณคูณ 5 ด้วยคุณจะได้ 1

ส่วนกลับของจำนวนสามารถหาได้จากจำนวนเต็มอื่นๆ เช่นกัน

คุณยังสามารถหาส่วนกลับของเศษส่วนอื่นๆ ได้ด้วย ในการทำเช่นนี้เพียงแค่พลิกมัน

การหารเศษส่วนด้วยตัวเลข

สมมติว่าเรามีพิซซ่าครึ่งถาด:

ลองหารมันเท่าๆ กันระหว่างสอง. แต่ละคนจะได้พิซซ่าเท่าไหร่?

จะเห็นได้ว่าหลังจากแบ่งพิซซ่าไปครึ่งหนึ่งแล้ว จะได้สองชิ้นเท่าๆ กัน ซึ่งแต่ละชิ้นก็ถือเป็นพิซซ่า ดังนั้นทุกคนจะได้รับพิซซ่า

การหารเศษส่วนทำได้โดยใช้ส่วนกลับ ตัวเลขกลับทำให้คุณสามารถแทนที่การหารด้วยการคูณได้

หากต้องการหารเศษส่วนด้วยตัวเลข คุณต้องคูณเศษส่วนด้วยค่าผกผันของตัวหาร

เมื่อใช้กฎนี้ เราจะเขียนการแบ่งส่วนของพิซซ่าครึ่งหนึ่งออกเป็นสองส่วน

ดังนั้นคุณต้องหารเศษส่วนด้วยเลข 2 โดยที่เงินปันผลคือเศษส่วนและตัวหารคือเลข 2

หากต้องการหารเศษส่วนด้วยเลข 2 คุณต้องคูณเศษส่วนนี้ด้วยส่วนกลับของตัวหาร 2 ส่วนกลับของตัวหาร 2 คือเศษส่วน ดังนั้นคุณต้องคูณด้วย

เราจะพิจารณาการคูณเศษส่วนสามัญในหลายตัวเลือกที่เป็นไปได้

การคูณเศษส่วนร่วมด้วยเศษส่วน

นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุดที่คุณต้องใช้สิ่งต่อไปนี้ กฎสำหรับการคูณเศษส่วน.

ถึง คูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน, จำเป็น:

คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สองแล้วเขียนผลคูณของมันลงในตัวเศษของเศษส่วนใหม่
คูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองแล้วเขียนผลคูณของมันลงในส่วนของเศษส่วนใหม่

ก่อนที่จะคูณทั้งเศษและส่วน ให้ตรวจดูว่าเศษส่วนสามารถลดลงได้หรือไม่ การลดเศษส่วนในการคำนวณจะทำให้การคำนวณของคุณง่ายขึ้นมาก

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

เพื่อให้เป็นเศษส่วน คูณด้วยจำนวนธรรมชาติคุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ และปล่อยให้ตัวส่วนของเศษส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

หากผลการคูณเป็นเศษส่วนเกิน อย่าลืมแปลงเป็นจำนวนคละ นั่นคือ เน้นทั้งส่วน

การคูณจำนวนคละ

หากต้องการคูณจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินก่อนแล้วจึงคูณตามกฎการคูณเศษส่วนสามัญ

อีกวิธีหนึ่งในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

บางครั้งเมื่อทำการคำนวณจะสะดวกกว่าหากใช้วิธีอื่นในการคูณเศษส่วนร่วมด้วยตัวเลข

หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องหารตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ และปล่อยให้ตัวเศษเท่าเดิม

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง กฎเวอร์ชันนี้ใช้งานได้สะดวกกว่าหากตัวส่วนของเศษส่วนหารด้วยจำนวนธรรมชาติโดยไม่มีเศษ

การดำเนินการกับเศษส่วน

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การบวกเศษส่วนมีสองประเภท:

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างที่ 2เพิ่มเศษส่วนและ.

อีกครั้ง เรารวมตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างที่ 3. เพิ่มเศษส่วนและ.

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์

หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณจะต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องเน้นเศษส่วนนั้นทั้งหมด

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถบวกได้เนื่องจากมีตัวส่วนเท่ากัน

สาระสำคัญของวิธีนี้คือ ก่อนอื่นเราต้องหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง จากนั้น LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกเพื่อให้ได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก พวกเขาทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง - LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สอง

ตัวอย่างที่ 1. ลองบวกเศษส่วนและ

LCM (2 และ 3) = 6

นี่เป็นการเสร็จสิ้นตัวอย่าง ปรากฎว่าเพิ่ม

ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วน
หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนและรับตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน
คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม
บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน ให้เลือกทั้งเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ .

ลองใช้แผนภาพที่เราให้ไว้ด้านบน

ขั้นตอนที่ 1. ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วน

ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลข 2, 3 และ 4 คุณต้องค้นหา LCM สำหรับตัวเลขเหล่านี้:

ขั้นตอนที่ 3 คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม

เราคูณตัวเศษและส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:

ขั้นตอนที่ 4 บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ขั้นตอนที่ 5 หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน ให้เน้นเศษส่วนทั้งหมด

คำตอบของเรากลายเป็นเศษส่วนเกิน. เราต้องเน้นบางส่วนทั้งหมด เราเน้น:

เราได้รับคำตอบ

การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การลบเศษส่วนมีสองประเภท:

การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าของนิพจน์ เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม ลงมือทำกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์

อีกครั้ง จากตัวเศษของเศษส่วนแรก ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์

คำตอบคือเศษส่วนเกิน. หากตัวอย่างเสร็จสมบูรณ์แล้ว ก็เป็นเรื่องปกติที่จะต้องกำจัดเศษส่วนเกินออก ลองกำจัดเศษส่วนเกินในคำตอบออกไป. เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เลือกทั้งส่วน:

หากต้องการลบอีกอันหนึ่งออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องเน้นเศษส่วนนั้นทั้งหมด

การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาความหมายของสำนวน:

LCM (3 และ 4) = 12

ทีนี้ กลับมาที่เศษส่วนและ

เราได้รับคำตอบ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์

มาหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้กัน

คซเอ็ม(10, 3, 5) = 30

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติและทุกอย่างดูเหมือนจะเหมาะกับเรา แต่มันยุ่งยากและน่าเกลียดเกินไป จำเป็นต้องทำให้เรียบง่ายขึ้นและมีความสวยงามมากขึ้น สิ่งที่สามารถทำได้? คุณสามารถย่อเศษส่วนนี้ให้สั้นลงได้ จำไว้ว่าการลดเศษส่วนคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเศษและส่วน

หากต้องการลดเศษส่วนให้ถูกต้อง คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข 20 และ 30

ไม่ควรสับสน GCD กับ NOC ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของผู้เริ่มต้นหลายคน GCD คือตัวหารร่วมมาก เราพบว่ามันลดเศษส่วนลง.

และ LCM เป็นตัวคูณร่วมน้อย. เราค้นหามันเพื่อนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วน (ร่วม) ตัวเดียวกัน

ตอนนี้เราจะหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข 20 และ 30

ดังนั้นเราจึงพบ GCD สำหรับหมายเลข 20 และ 30:

GCD (20 และ 30) = 10

ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวอย่างของเราแล้วหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 10:

เราได้รับคำตอบที่สวยงาม

การคูณเศษส่วนด้วยตัวเลข

ตัวอย่างที่ 1. คูณเศษส่วนด้วยเลข 1

คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยเลข 1

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาค่าของนิพจน์

คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วย 4

การคูณเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์

และนำสองจากสามชิ้นนี้:

พิซซ่าหนึ่งชิ้นนี้และอีกสองชิ้นที่เราเอามาจะมีขนาดเท่ากัน:

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาค่าของนิพจน์

คำตอบคือเศษส่วนเกิน. เรามาเน้นส่วนทั้งหมดกันดีกว่า:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์

คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติ แต่จะย่อให้สั้นลงก็คงจะดี หากต้องการลดเศษส่วนนี้ ต้องหารด้วย gcd ของตัวเศษและตัวส่วน เรามาค้นหา gcd ของตัวเลข 105 และ 450 กัน:

GCD สำหรับ (105 และ 150) คือ 15

ตอนนี้เราหารทั้งเศษและส่วนของคำตอบด้วย gcd:

การแทนจำนวนเต็มเป็นเศษส่วน

ตัวเลขซึ่งกันและกัน

คำนิยาม. ย้อนกลับไปยังหมายเลข ก คือจำนวนที่เมื่อคูณด้วย ก ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง

ลองแทนที่คำจำกัดความนี้แทนตัวแปร กหมายเลข 5 แล้วลองอ่านคำจำกัดความ:

ย้อนกลับไปยังหมายเลข 5 คือจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 5 ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง

จากนั้นคูณเศษส่วนนี้ด้วยตัวมันเอง แค่สลับตัวเศษและส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้คูณเศษส่วนด้วยตัวมันเอง โดยกลับหัวเท่านั้น:

ส่วนกลับของจำนวนสามารถหาได้จากจำนวนเต็มอื่นๆ เช่นกัน

ส่วนกลับของ 3 คือเศษส่วน
ส่วนกลับของ 4 คือเศษส่วน

การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนไม่ใช่เรื่องยาก แต่มีรายละเอียดปลีกย่อยที่คุณอาจเข้าใจที่โรงเรียนแต่กลับลืมไปแล้ว

วิธีคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน - คำศัพท์ไม่กี่คำ

หากคุณจำได้ว่าตัวเศษและส่วนคืออะไร และเศษส่วนแท้แตกต่างจากเศษส่วนเกินอย่างไร ให้ข้ามย่อหน้านี้ไป มันมีไว้สำหรับผู้ที่ลืมทฤษฎีไปหมดแล้ว

ตัวเศษคือส่วนบนของเศษส่วน - สิ่งที่เราหารกัน ตัวส่วนจะต่ำกว่า นี่คือสิ่งที่เราหารด้วย
เศษส่วนแท้คือเศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน เศษส่วนเกินคือเศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน

วิธีคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

กฎการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนนั้นง่ายมาก - เราคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็ม แต่อย่าแตะต้องตัวส่วน ตัวอย่างเช่น: สองคูณด้วยหนึ่งในห้า - เราได้สองในห้า สี่คูณด้วยสามที่สิบหกเท่ากับสิบสองที่สิบหก

การลดน้อยลง

ในตัวอย่างที่สอง เศษส่วนผลลัพธ์สามารถลดลงได้
มันหมายความว่าอะไร? โปรดทราบว่าทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้หารด้วยสี่ลงตัว การหารตัวเลขทั้งสองด้วยตัวหารร่วมเรียกว่าการลดเศษส่วน เราได้สามในสี่

เศษส่วนเกิน

แต่สมมติว่าเราคูณสี่ด้วยสองในห้า. ปรากฏว่าเป็นเวลาแปดในห้า นี่คือเศษส่วนเกิน.
จะต้องนำมาในรูปแบบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องเลือกบางส่วนจากส่วนนั้น
ในที่นี้คุณต้องใช้การหารกับเศษ เราได้หนึ่งกับสามเป็นเศษเหลือ.
หนึ่งส่วนสามส่วนเป็นเศษส่วนแท้ของเรา.

การนำสามสิบห้าแปดมาในรูปแบบที่ถูกต้องนั้นยากขึ้นอีกนิด จำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับสามสิบเจ็ดที่หารด้วยแปดลงตัวคือสามสิบสอง เมื่อแบ่งออกเราจะได้สี่ ลบสามสิบสองจากสามสิบห้าแล้วเราได้สาม ผลลัพธ์: สี่ทั้งหมดและสามในแปด

ความเท่าเทียมกันของทั้งเศษและส่วน และที่นี่ทุกอย่างเรียบง่ายและสวยงามมาก หากตัวเศษและส่วนเท่ากัน ผลลัพธ์ก็จะมีเพียงตัวเดียว

หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนหรือเศษส่วนด้วยตัวเลขอย่างถูกต้อง คุณจำเป็นต้องรู้กฎง่ายๆ ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎเหล่านี้โดยละเอียด

การคูณเศษส่วนร่วมด้วยเศษส่วน

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคำนวณผลคูณของตัวเศษและผลิตภัณฑ์ของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้

$\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\$

ลองดูตัวอย่าง:
เราคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และเรายังคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย

$\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ คูณ 3)(7 \คูณ 3) = \frac(4)(7)\\$

เศษส่วน $\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\$ ลดลง 3

การคูณเศษส่วนด้วยตัวเลข

ก่อนอื่น เรามาจำกฎกันก่อน จำนวนใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นเศษส่วน $\bf n = \frac(n)(1)$ ได้

ลองใช้กฎนี้เมื่อคูณ

$5 \คูณ \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \คูณ \frac(4)(7) = \frac(5 \คูณ 4)(1 \คูณ 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\$

เศษส่วนเกิน $\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\$ แปลงเป็นเศษส่วนคละ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน เราจะคูณตัวเลขด้วยตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลงตัวอย่าง:

$\frac(2)(5) \คูณ 3 = \frac(2 \คูณ 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\$ $\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\$

การคูณเศษส่วนคละ

หากต้องการคูณเศษส่วนแบบผสม คุณต้องแทนเศษส่วนแบบผสมแต่ละส่วนเป็นเศษส่วนเกินก่อน แล้วจึงใช้กฎการคูณ เราคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และคูณตัวส่วนด้วยตัวส่วน.

ตัวอย่าง:
$2\frac(1)(4) \คูณ 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \คูณ \frac(23)(6) = \frac(9 \คูณ 23) (4 \คูณ 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\$

การคูณเศษส่วนและจำนวนกลับกัน

เศษส่วน $\bf \frac(a)(b)$ คือค่าผกผันของเศษส่วน $\bf \frac(b)(a)$ โดยให้ a≠0,b≠0
เศษส่วน $\bf \frac(a)(b)$ และ $\bf \frac(b)(a)$ เรียกว่าเศษส่วนกลับ ผลคูณของเศษส่วนกลับเท่ากับ 1
$\bf \frac(a)(b) \time \frac(b)(a) = 1 \\$

ตัวอย่าง:
$\frac(5)(9) \time \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\$

คำถามที่เกี่ยวข้อง:
จะคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?
คำตอบ: ผลคูณของเศษส่วนสามัญคือการคูณระหว่างตัวเศษกับตัวเศษ ตัวส่วนกับตัวส่วน เพื่อให้ได้ผลคูณของเศษส่วนผสม คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วคูณตามกฎ

จะคูณเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกันได้อย่างไร?
คำตอบ: ไม่สำคัญว่าเศษส่วนจะมีตัวส่วนเท่ากันหรือต่างกัน การคูณเกิดขึ้นตามกฎการหาผลคูณของเศษกับตัวเศษ ตัวส่วนกับตัวส่วน

จะคูณเศษส่วนคละได้อย่างไร?
คำตอบ: ก่อนอื่น คุณต้องแปลงเศษส่วนผสมเป็นเศษส่วนเกินแล้วจึงหาผลคูณโดยใช้กฎการคูณ

จะคูณตัวเลขด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?
คำตอบ: เราคูณตัวเลขด้วยตัวเศษ แต่ปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม

ตัวอย่าง #1:
คำนวณผลคูณ: a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)$ b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

สารละลาย:
a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ $
b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( สีแดง) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)$

ตัวอย่าง #2:
คำนวณผลคูณของตัวเลขและเศษส่วน: a) $3 \times \frac(17)(23)$ b) $\frac(2)(3) \times 11$

สารละลาย:
a) $3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \คูณ 17)(1 \คูณ 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\$
b) $\frac(2)(3) \คูณ 11 = \frac(2)(3) \คูณ \frac(11)(1) = \frac(2 \คูณ 11)(3 \คูณ 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)$

ตัวอย่าง #3:
เขียนส่วนกลับของเศษส่วน $\frac(1)(3)$?
คำตอบ: $\frac(3)(1) = 3$

ตัวอย่าง #4:
คำนวณผลคูณของเศษส่วนผกผันระหว่างกัน: a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)$

สารละลาย:
ก) $\frac(104)(215) \ครั้ง \frac(215)(104) = 1$

ตัวอย่าง #5:
เศษส่วนกลับสามารถเป็น:
ก) พร้อมกับเศษส่วนที่เหมาะสม;
b) เศษส่วนเกินพร้อมกัน
c) จำนวนธรรมชาติพร้อมกัน?

สารละลาย:
ก) เพื่อตอบคำถามแรก เรามายกตัวอย่างกัน เศษส่วน $\frac(2)(3)$ เป็นเศษส่วนแท้ เศษส่วนผกผันจะเท่ากับ $\frac(3)(2)$ ซึ่งเป็นเศษส่วนเกิน คำตอบ: ไม่.

b) ในการแจงนับเศษส่วนเกือบทั้งหมดไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ แต่มีตัวเลขบางตัวที่ตรงตามเงื่อนไขของการเป็นเศษส่วนเกินพร้อมกัน ตัวอย่างเช่น เศษส่วนเกินคือ $\frac(3)(3)$ เศษส่วนผกผันจะเท่ากับ $\frac(3)(3)$ เราได้เศษส่วนเกินสองตัว. คำตอบ: ไม่ได้อยู่ในเงื่อนไขบางประการเสมอไปเมื่อตัวเศษและส่วนเท่ากัน

ค) ตัวเลขธรรมชาติ คือ ตัวเลขที่เราใช้ในการนับ เช่น 1, 2, 3, …. หากเราแทนจำนวน $3 = \frac(3)(1)$ แล้วเศษส่วนผกผันของมันจะเป็น $\frac(1)(3)$ เศษส่วน $\frac(1)(3)$ ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ หากเราอ่านตัวเลขทั้งหมด ส่วนกลับของจำนวนนั้นจะเป็นเศษส่วนเสมอ ยกเว้น 1 หากเราเลือกเลข 1 เศษส่วนกลับของมันจะเป็น $\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1$ หมายเลข 1 เป็นจำนวนธรรมชาติ คำตอบ: พวกเขาสามารถเป็นตัวเลขธรรมชาติพร้อมกันได้ในกรณีเดียวเท่านั้น ถ้านี่คือหมายเลข 1

ตัวอย่าง #6:
ทำผลคูณของเศษส่วนคละ: a) $4 \คูณ 2\frac(4)(5)$ b) \(1\frac(1)(4) \คูณ 3\frac(2)(7)\ )

สารละลาย:
a) $4 \คูณ 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \คูณ \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ $
b) $1\frac(1)(4) \คูณ 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \คูณ \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)$

ตัวอย่าง #7:
ส่วนกลับสองตัวสามารถผสมตัวเลขพร้อมกันได้หรือไม่?

ลองดูตัวอย่าง ลองใช้เศษส่วนผสม $1\frac(1)(2)$ หาเศษส่วนผกผัน เพื่อแปลงให้เป็นเศษส่วนเกิน $1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) $ . เศษส่วนผกผันของมันจะเท่ากับ $\frac(2)(3)$ เศษส่วน $\frac(2)(3)$ เป็นเศษส่วนแท้ คำตอบ: เศษส่วนสองตัวที่ผกผันกันไม่สามารถผสมตัวเลขพร้อมกันได้

การคูณเศษส่วนร่วม

ลองดูตัวอย่าง

ให้มีส่วน $\frac(1)(3)$ ของแอปเปิ้ลอยู่บนจาน เราจำเป็นต้องหา $\frac(1)(2)$ ส่วนหนึ่งของมัน ส่วนที่ต้องการคือผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วน $\frac(1)(3)$ และ $\frac(1)(2)$ ผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนร่วมสองตัวจะได้เศษส่วนร่วม

การคูณเศษส่วนสามัญสองตัว

กฎการคูณเศษส่วนสามัญ:

ผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนคือเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับผลคูณของตัวเศษของเศษส่วนที่กำลังคูณ และตัวส่วนเท่ากับผลคูณของตัวส่วน:

ตัวอย่างที่ 1

ทำการคูณเศษส่วนร่วม $\frac(3)(7)$ และ $\frac(5)(11)$

สารละลาย.

ลองใช้กฎในการคูณเศษส่วนสามัญ:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

คำตอบ:$\frac(15)(77)$

หากการคูณเศษส่วนส่งผลให้เศษส่วนที่ลดลงหรือไม่เหมาะสม คุณต้องลดรูปให้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

คูณเศษส่วน $\frac(3)(8)$ และ $\frac(1)(9)$

สารละลาย.

เราใช้กฎในการคูณเศษส่วนสามัญ:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ลดได้ (ตามการหารด้วย $3$ หารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย $3$ เราจะได้:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

คำตอบ:$\frac(1)(24).$

เมื่อคูณเศษส่วน คุณสามารถลดตัวเศษและส่วนได้จนกว่าคุณจะพบผลคูณ ในกรณีนี้ ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกแบ่งออกเป็นตัวประกอบอย่างง่าย หลังจากนั้นตัวประกอบที่ซ้ำกันจะถูกยกเลิกและผลลัพธ์ก็จะพบ

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณผลคูณของเศษส่วน $\frac(6)(75)$ และ $\frac(15)(24)$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรคูณเศษส่วนสามัญ:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

แน่นอนว่า ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลขที่สามารถลดจำนวนลงเป็นคู่ได้เป็น $2$, $3$ และ $5$ ลองแยกตัวเศษและส่วนออกเป็นตัวประกอบอย่างง่ายแล้วทำการลดลง:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

คำตอบ:$\frac(1)(20).$

เมื่อคูณเศษส่วน คุณสามารถใช้กฎการสับเปลี่ยนได้:

การคูณเศษส่วนร่วมด้วยจำนวนธรรมชาติ

กฎสำหรับการคูณเศษส่วนร่วมด้วยจำนวนธรรมชาติ:

ผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติคือเศษส่วนที่ตัวเศษเท่ากับผลคูณของตัวเศษของเศษส่วนที่คูณด้วยจำนวนธรรมชาติ และตัวส่วนจะเท่ากับตัวส่วนของเศษส่วนที่คูณ:

โดยที่ $\frac(a)(b)$ เป็นเศษส่วนธรรมดา $n$ เป็นจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 4

คูณเศษส่วน $\frac(3)(17)$ ด้วย $4$

สารละลาย.

ลองใช้กฎในการคูณเศษส่วนสามัญด้วยจำนวนธรรมชาติ:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

คำตอบ:$\frac(12)(17).$

อย่าลืมตรวจสอบผลลัพธ์ของการคูณด้วยการลดเศษส่วนหรือเศษส่วนเกิน

ตัวอย่างที่ 5

คูณเศษส่วน $\frac(7)(15)$ ด้วยตัวเลข $3$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

โดยการหารด้วยตัวเลข $3$) เราสามารถระบุได้ว่าเศษส่วนผลลัพธ์สามารถลดลงได้:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง มาเลือกส่วนทั้งหมดกัน:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

เศษส่วนสามารถลดลงได้ด้วยการแทนที่ตัวเลขในตัวเศษและตัวส่วนด้วยการแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ในกรณีนี้ สามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาได้ดังนี้:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

คำตอบ:$1\frac(2)(5).$

เมื่อคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณสามารถใช้กฎการสับเปลี่ยนได้:

การหารเศษส่วน

การดำเนินการหารคือการผกผันของการคูณ และผลลัพธ์ของมันคือเศษส่วนซึ่งจะต้องคูณเศษส่วนที่ทราบเพื่อให้ได้ผลคูณที่ทราบของเศษส่วนสองส่วน

การหารเศษส่วนสามัญสองตัว

กฎการหารเศษส่วนสามัญ:แน่นอนว่าตัวเศษและส่วนของผลลัพธ์สามารถแยกตัวประกอบและลดได้:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

เป็นผลให้เราได้รับเศษส่วนเกินซึ่งเราเลือกทั้งส่วน:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

คำตอบ:$1\frac(5)(9).$