วิธีคูณเลขยกกำลังเท่ากัน การคูณและหารตัวเลขด้วยยกกำลัง

ในบทเรียนวิดีโอที่แล้ว เราได้เรียนรู้ว่าระดับของฐานหนึ่งๆ คือนิพจน์ที่แสดงถึงผลคูณของฐานด้วยตัวมันเอง ซึ่งคิดเป็นจำนวนเท่ากับเลขยกกำลัง ให้เราศึกษาคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดบางประการและการปฏิบัติการของอำนาจกัน

ตัวอย่างเช่น ลองคูณเลขยกกำลังสองตัวที่มีฐานเดียวกัน:

ขอนำเสนองานนี้อย่างครบถ้วน:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้แล้ว เราจะได้เลข 32 ในทางกลับกัน ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างเดียวกัน 32 สามารถแสดงเป็นผลคูณของฐานเดียวกัน (สอง) ได้ 5 ครั้ง และแท้จริงหากเจ้านับมันแล้ว

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้อย่างมั่นใจว่า:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

กฎนี้ใช้ได้ผลดีกับตัวบ่งชี้และเหตุผลใดก็ตาม คุณสมบัติของการคูณกำลังนี้เป็นไปตามกฎที่ว่าความหมายของนิพจน์จะถูกคงไว้ระหว่างการแปลงในผลิตภัณฑ์ สำหรับฐาน a ใดๆ ผลคูณของสองนิพจน์ (a)x และ (a)y จะเท่ากับ a(x + y) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อมีการสร้างนิพจน์ใดๆ ที่มีฐานเดียวกัน ผลลัพธ์ monomial จะมีดีกรีรวมที่เกิดขึ้นโดยการบวกดีกรีของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง

กฎที่นำเสนอยังใช้งานได้ดีเมื่อคูณหลายนิพจน์ เงื่อนไขหลักคือทุกคนมีพื้นฐานเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มองศา และแน่นอนว่าจะดำเนินการร่วมกันตามกำลังด้วยองค์ประกอบของนิพจน์สองรายการหากฐานต่างกัน
ดังที่วิดีโอของเราแสดงให้เห็น เนื่องจากความคล้ายคลึงกันของกระบวนการคูณและการหาร กฎสำหรับการเพิ่มกำลังในผลคูณจึงถูกถ่ายโอนไปยังขั้นตอนการหารอย่างสมบูรณ์แบบ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้:

ลองแปลงนิพจน์ทีละเทอมให้เป็นรูปแบบเต็มและลดองค์ประกอบเดียวกันในเงินปันผลและตัวหาร:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

ผลลัพธ์สุดท้ายของตัวอย่างนี้ไม่น่าสนใจนักเนื่องจากอยู่ในกระบวนการแก้ไขเป็นที่ชัดเจนว่าค่าของนิพจน์เท่ากับกำลังสองของสอง และเป็นสองที่ได้โดยการลบดีกรีของนิพจน์ที่สองจากดีกรีของนิพจน์แรก

ในการกำหนดระดับของผลหาร จำเป็นต้องลบระดับของตัวหารออกจากระดับของเงินปันผล กฎนี้ทำงานบนพื้นฐานเดียวกันสำหรับค่านิยมทั้งหมดและสำหรับพลังธรรมชาติทั้งหมด ในรูปแบบของนามธรรมเรามี:

(ก) x / (ก) y = (ก) x - y

จากกฎการแบ่งฐานที่เหมือนกันด้วยองศา คำจำกัดความของระดับศูนย์จะเป็นไปตามนี้ แน่นอนว่านิพจน์ต่อไปนี้มีลักษณะดังนี้:

(ก) x / (ก) x = (ก) (x - x) = (ก) 0

ในทางกลับกัน หากเราทำการหารในลักษณะที่ชัดเจนมากขึ้น เราจะได้:

(ก) 2 / (ก) 2 = (ก) (ก) / (ก) (ก) = 1

เมื่อลดองค์ประกอบที่มองเห็นได้ทั้งหมดของเศษส่วน จะได้นิพจน์ 1/1 เสมอ นั่นคือหนึ่ง ดังนั้นจึงเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าฐานใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

โดยไม่คำนึงถึงมูลค่าของ

อย่างไรก็ตาม คงเป็นเรื่องไร้สาระถ้า 0 (ซึ่งยังคงให้ 0 สำหรับการคูณใดๆ ก็ตาม) เท่ากับ 1 ดังนั้นการแสดงออกของรูปแบบ (0) 0 (กำลังจากศูนย์ถึงศูนย์) ก็ไม่สมเหตุสมผล และในการสูตร ( ก) 0 = 1 เพิ่มเงื่อนไข: “ถ้า a ไม่เท่ากับ 0”

มาแก้แบบฝึกหัดกันเถอะ มาหาค่าของนิพจน์กัน:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

เนื่องจากฐานจะเหมือนกันทุกแห่งและเท่ากับ 34 ค่าสุดท้ายจะมีฐานเดียวกันกับระดับ (ตามกฎข้างต้น):

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

คำตอบ: นิพจน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

บทเรียนในหัวข้อ: "กฎการคูณและการหารยกกำลังที่มีเลขยกกำลังเท่ากันและต่างกัน ตัวอย่าง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
คู่มือตำราเรียน Yu.N. คู่มือ Makarycheva สำหรับตำราเรียนโดย A.G. มอร์ดโควิช

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เรียนรู้การดำเนินการด้วยพลังของตัวเลข

ก่อนอื่น เรามาจำแนวคิดเรื่อง "พลังแห่งตัวเลข" กันก่อน นิพจน์ในรูปแบบ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ สามารถแสดงเป็น $a^n$

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า "การบันทึกระดับเป็นผลิตภัณฑ์" มันจะช่วยให้เรากำหนดวิธีคูณและแบ่งอำนาจ
จดจำ:
ก– พื้นฐานของปริญญา
n– เลขชี้กำลัง
ถ้า n=1ซึ่งหมายถึงตัวเลข กใช้เวลาหนึ่งครั้งและตามลำดับ: $a^n= 1$
ถ้า n= 0จากนั้น $a^0= 1$

เราจะรู้ได้ว่าเหตุใดจึงเกิดเหตุการณ์นี้ขึ้นเมื่อเราทำความคุ้นเคยกับกฎของการคูณและการหารยกกำลัง

กฎการคูณ

ก) ถ้าอำนาจที่มีฐานเดียวกันถูกคูณ
ในการรับ $a^n * a^m$ เราเขียนองศาเป็นผลคูณ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(ม.)$.
ในรูปแสดงว่าเป็นจำนวนนั้น กได้ดำเนินการแล้ว n+มคูณด้วย $a^n * a^m = a^(n + m)$

ตัวอย่าง.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

คุณสมบัตินี้สะดวกในการใช้เพื่อทำให้งานง่ายขึ้นเมื่อเพิ่มตัวเลขให้มีกำลังสูงขึ้น
ตัวอย่าง.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) ถ้าองศาที่มีฐานต่างกันแต่มีเลขยกกำลังเท่ากัน
ในการรับ $a^n * b^n$ เราเขียนองศาเป็นผลคูณ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(ม.)$.
หากเราสลับตัวประกอบและนับคู่ผลลัพธ์ เราจะได้: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

ดังนั้น $a^n * b^n= (a * b)^n$

ตัวอย่าง.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

กฎการแบ่ง

ก) พื้นฐานของการศึกษาระดับปริญญาจะเหมือนกัน แต่ตัวบ่งชี้จะแตกต่างกัน
ลองพิจารณาการหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่มากกว่าโดยการหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่น้อยกว่า

ดังนั้นเราจึงต้องการ $\frac(a^n)(a^m)$, ที่ไหน น>ม.

ลองเขียนองศาเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

เพื่อความสะดวก เราเขียนการหารเป็นเศษส่วนอย่างง่าย

ทีนี้มาลดเศษส่วนกัน.

ปรากฎว่า: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$
วิธี, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

คุณสมบัตินี้จะช่วยอธิบายสถานการณ์โดยการเพิ่มตัวเลขเป็นศูนย์ สมมุติว่า n=มจากนั้น $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$

ตัวอย่าง.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) ฐานของระดับนั้นแตกต่างกันตัวบ่งชี้จะเหมือนกัน
สมมติว่า $\frac(a^n)( b^n)$ เป็นสิ่งจำเป็น เขียนยกกำลังของตัวเลขเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

เพื่อความสะดวกลองจินตนาการดู

ด้วยการใช้คุณสมบัติของเศษส่วน เราจึงหารเศษส่วนขนาดใหญ่เป็นผลคูณของเศษส่วนเล็ก เราได้
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
ตาม: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$

ตัวอย่าง.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$

การบวกและการลบกำลัง

เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4

ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เหมือนกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2

เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a

แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสองของ a

ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6

การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6

ทวีคูณพลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้ เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) ด้วยกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

โดยที่ 5 คือกำลังของผลการคูณซึ่งเท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของกำลังของพจน์

ดังนั้น a n .a m = a m+n

สำหรับ n , a ถือเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;

และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง

ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa

2. y -n .y -m = y -n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

หากคุณคูณผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวที่ยกขึ้นมา สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8

การแบ่งองศา

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 เท่ากับ 3

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac $. แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว

เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac = a^n$

หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $

ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขยกกำลังลงด้วย $\frac $ คำตอบ: $\frac $

2. ลดเลขชี้กำลังลง $\frac$ คำตอบ: $\frac$ หรือ 2x

3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.

คุณสมบัติของปริญญา

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราจะเข้าใจ คุณสมบัติขององศาโดยมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติและเป็นศูนย์ กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะและคุณสมบัติของพวกมันจะพูดคุยกันในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

กำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นในตัวอย่างที่มีกำลัง

คุณสมบัติหมายเลข 1
ผลิตผลแห่งอำนาจ

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขยกกำลังจะถูกบวกเข้าด้วยกัน

a m · a n = a m + n โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังใช้กับผลคูณของพลังตั้งแต่สามตัวขึ้นไปด้วย

• ลดความซับซ้อนของนิพจน์
  ข 2 ข 3 ข 4 ข 5 = ข 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ข 15
• นำเสนอเป็นปริญญา
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• นำเสนอเป็นปริญญา
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุเรากำลังพูดถึงเฉพาะการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น. มันใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 ได้ นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

คุณสมบัติหมายเลข 2
องศาบางส่วน

เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

• เขียนผลหารเป็นกำลัง
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• คำนวณ.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ตัวอย่าง. แก้สมการ เราใช้คุณสมบัติของกำลังหาร
3 8: เสื้อ = 3 4

คำตอบ: เสื้อ = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 จะทำให้นิพจน์และคำนวณง่ายขึ้นได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 5ม. + 6 + ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 6ม. + 8 − 4ม. − 3 = 4 2ม. + 5

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

2 11 − 5 = 2 6 = 64

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 เราพูดถึงเพียงการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณไม่สามารถแทนที่ผลต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 ได้ เรื่องนี้เข้าใจได้ถ้าคุณคำนวณ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4

คุณสมบัติหมายเลข 3
การยกระดับไปสู่อำนาจ

เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ฐานของดีกรีจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

(a n) m = a n · m โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

เราขอเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงหัวข้อการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังโดยละเอียดในหน้าถัดไป

วิธีคูณพลัง

จะทวีคูณพลังได้อย่างไร? พลังใดสามารถคูณได้ และพลังใดไม่สามารถทวีคูณได้? จะคูณตัวเลขด้วยกำลังได้อย่างไร?

ในพีชคณิต คุณสามารถค้นหาผลคูณของกำลังได้สองกรณี:

1) ถ้าองศามีฐานเท่ากัน

2) ถ้าองศามีตัวชี้วัดเหมือนกัน

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะต้องคงเดิมและต้องบวกเลขชี้กำลังด้วย:

เมื่อคูณองศาด้วยตัวบ่งชี้เดียวกัน ตัวบ่งชี้โดยรวมสามารถนำออกจากวงเล็บได้:

เรามาดูวิธีการคูณกำลังโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะกัน

หน่วยไม่ได้เขียนเป็นเลขชี้กำลัง แต่เมื่อคูณกำลัง จะคำนึงถึง:

เมื่อคูณจะมีพลังจำนวนเท่าใดก็ได้ ควรจำไว้ว่าคุณไม่จำเป็นต้องเขียนเครื่องหมายคูณหน้าตัวอักษร:

ในนิพจน์ การยกกำลังจะดำเนินการก่อน

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยกำลัง คุณควรทำการยกกำลังก่อน จากนั้นจึงทำการคูณเท่านั้น:

การคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน

วิดีโอสอนนี้สามารถดูได้โดยการสมัครสมาชิก

สมัครสมาชิกแล้ว? ที่จะเข้ามา

ในบทนี้ เราจะศึกษาการคูณเลขยกกำลังด้วยฐานที่เหมือนกัน ขั้นแรก ให้เรานึกถึงคำจำกัดความของระดับและกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน . จากนั้นเราจะยกตัวอย่างการใช้งานกับตัวเลขเฉพาะและพิสูจน์ เราจะใช้ทฤษฎีบทในการแก้ปัญหาต่างๆ

หัวข้อ: ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติและคุณสมบัติของมัน

บทเรียน: การคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน (สูตร)

1. คำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความพื้นฐาน:

n- เลขชี้กำลัง

— nกำลังของตัวเลข

2. คำแถลงทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบท 1สำหรับหมายเลขใดๆ กและธรรมชาติใดๆ nและ เคความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ถ้า ก– หมายเลขใด ๆ nและ เคจำนวนธรรมชาติ แล้ว:

ดังนั้นกฎข้อที่ 1:

3. งานที่อธิบาย

บทสรุป:กรณีพิเศษยืนยันความถูกต้องของทฤษฎีบทที่ 1 ให้เราพิสูจน์ในกรณีทั่วไปนั่นคือเพื่ออะไรก็ตาม กและธรรมชาติใดๆ nและ เค

4. การพิสูจน์ทฤษฎีบท 1

แจกเบอร์ให้ ก- ใดๆ; ตัวเลข nและ เค –เป็นธรรมชาติ. พิสูจน์:

การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของระดับ

5. การแก้ตัวอย่างโดยใช้ทฤษฎีบทที่ 1

ตัวอย่างที่ 1:คิดว่ามันเป็นปริญญา

เพื่อแก้ตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะใช้ทฤษฎีบท 1

และ)

6. ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท 1

ลักษณะทั่วไปที่ใช้ที่นี่:

7. การแก้ตัวอย่างโดยใช้ทฤษฎีบทที่ 1 ลักษณะทั่วไป

8. การแก้ปัญหาต่างๆ โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 1

ตัวอย่างที่ 2:คำนวณ (คุณสามารถใช้ตารางพลังพื้นฐานได้)

ก) (ตามตาราง)

ข)

ตัวอย่างที่ 3:เขียนเป็นยกกำลังด้วยฐาน 2

ก)

ตัวอย่างที่ 4:กำหนดสัญลักษณ์ของตัวเลข:

, เอ -ลบ เนื่องจากเลขชี้กำลังที่ -13 เป็นเลขคี่

ตัวอย่างที่ 5:แทนที่ (·) ด้วยกำลังของตัวเลขด้วยฐาน ร:

เรามีนั่นคือ

9. สรุป

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่น ๆ พีชคณิต 7 ฉบับที่ 6 อ. : การตรัสรู้. 2010

1. ผู้ช่วยโรงเรียน (ที่มา)

1. นำเสนอเป็นพลัง:

ก บี ซี ดี อี)

3. เขียนเป็นกำลังด้วยฐาน 2:

4. กำหนดเครื่องหมายของตัวเลข:

ก)

5. แทนที่ (·) ด้วยกำลังของตัวเลขด้วยฐาน ร:

ก) r 4 · (·) = r 15; ข) (·) · r 5 = r 6

การคูณและการหารยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

ในบทนี้ เราจะศึกษาการคูณกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เท่ากัน ขั้นแรก เรามานึกถึงคำจำกัดความและทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการคูณและหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกันและยกกำลังเป็นฐาน จากนั้นเรากำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องการคูณและการหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน จากนั้นเราจะแก้ไขปัญหาทั่วไปจำนวนหนึ่งด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา

คำเตือนเกี่ยวกับคำจำกัดความและทฤษฎีบทพื้นฐาน

ที่นี่ ก- พื้นฐานของปริญญา

— nกำลังของตัวเลข

ทฤษฎีบท 1สำหรับหมายเลขใดๆ กและธรรมชาติใดๆ nและ เคความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกบวกเข้าไป ฐานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ทฤษฎีบท 2สำหรับหมายเลขใดๆ กและธรรมชาติใดๆ nและ เคดังนั้น n > เคความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกลบออก แต่ฐานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ทฤษฎีบท 3สำหรับหมายเลขใดๆ กและธรรมชาติใดๆ nและ เคความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

ทฤษฎีบททั้งหมดที่แสดงเป็นเรื่องเกี่ยวกับพลังเช่นเดียวกัน เหตุผลในบทเรียนนี้เราจะดูองศาด้วยเช่นเดียวกัน ตัวชี้วัด.

ตัวอย่างการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

มาเขียนสำนวนเพื่อกำหนดระดับกัน

บทสรุป:จากตัวอย่างจะเห็นได้ว่า แต่สิ่งนี้ยังคงต้องได้รับการพิสูจน์ ให้เรากำหนดทฤษฎีบทและพิสูจน์ในกรณีทั่วไปนั่นคือสำหรับค่าใดก็ได้ กและ ขและธรรมชาติใดๆ n.

การกำหนดและการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 4

สำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและธรรมชาติใดๆ nความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 4 .

ตามคำจำกัดความของปริญญา:

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้ว .

หากต้องการคูณเลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน ก็เพียงพอที่จะคูณฐานและปล่อยให้เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง

การกำหนดและการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 5

ให้เราสร้างทฤษฎีบทสำหรับการหารยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน

สำหรับหมายเลขใดๆ กและ ข() และธรรมชาติใดๆ nความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 5 .

ลองเขียนคำจำกัดความของปริญญา:

คำแถลงทฤษฎีบทเป็นคำพูด

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า

หากต้องการแบ่งเลขยกกำลังที่มีเลขยกกำลังเท่ากันให้กัน ก็เพียงพอที่จะแบ่งฐานหนึ่งด้วยอีกฐานหนึ่ง และปล่อยให้เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง

การแก้ปัญหาทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีบทที่ 4

ตัวอย่างที่ 1:นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ

เพื่อแก้ตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะใช้ทฤษฎีบทที่ 4

เพื่อแก้ตัวอย่างต่อไปนี้ ให้จำสูตร:

ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท 4

ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท 4:

การแก้ตัวอย่างโดยใช้ทฤษฎีบททั่วไป 4

ดำเนินการแก้ไขปัญหาทั่วไปต่อไป

ตัวอย่างที่ 2:เขียนเป็นพลังของผลิตภัณฑ์

ตัวอย่างที่ 3:เขียนเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลัง 2

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 4:คำนวณอย่างมีเหตุผลที่สุด

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 ม.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. และอื่นๆ พีชคณิต 7.ม.: ตรัสรู้. 2549

2. ผู้ช่วยโรงเรียน (ที่มา)

1. นำเสนอเป็นผลผลิตจากอำนาจ:

ก) ; ข) ; วี) ; ช) ;

2. เขียนเป็นพลังของผลิตภัณฑ์:

3. เขียนเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลัง 2:

4. คำนวณอย่างมีเหตุผลที่สุด

บทเรียนคณิตศาสตร์ในหัวข้อ “การคูณและการหารกำลัง”

ส่วน:คณิตศาสตร์

เป้าหมายการสอน:

นักเรียนจะได้เรียนรู้แยกแยะระหว่างคุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในกรณีที่มีฐานเดียวกัน

นักเรียนจะได้มีโอกาสสามารถแปลงองศาด้วยฐานที่ต่างกันได้ และสามารถทำการแปลงงานแบบรวมได้

งาน:

จัดระเบียบงานของนักเรียนโดยการทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้

ตรวจสอบระดับการสืบพันธุ์โดยทำแบบฝึกหัดประเภทต่างๆ

จัดให้มีการตรวจสอบการประเมินตนเองของนักเรียนผ่านการทดสอบ

หน่วยกิจกรรมการสอน:การกำหนดระดับด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ ส่วนประกอบระดับ คำจำกัดความของเอกชน กฎการรวมกันของการคูณ

I. จัดให้มีการสาธิตความเชี่ยวชาญของนักเรียนในความรู้ที่มีอยู่ (ขั้นตอนที่ 1)

ก) การอัพเดตความรู้:

2) กำหนดคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ

a n = a a a … a (n ครั้ง)

b k =b b b b a… b (k ครั้ง) ให้เหตุผลประกอบคำตอบ

ครั้งที่สอง การจัดประเมินตนเองตามระดับความสามารถของนักเรียนในประสบการณ์ปัจจุบัน (ขั้นตอนที่ 2)

การทดสอบตัวเอง: (งานเดี่ยวในสองเวอร์ชัน)

A1) นำเสนอผลคูณ 7 7 7 7 x x x ยกกำลัง:

A2) แทนกำลัง (-3) 3 x 2 เป็นผลคูณ

A3) คำนวณ: -2 3 2 + 4 5 3

ฉันเลือกจำนวนงานในการทดสอบตามการเตรียมระดับชั้นเรียน

ฉันให้กุญแจคุณในการทดสอบเพื่อทดสอบตัวเอง เกณฑ์: ผ่าน - ไม่ผ่าน

สาม. งานการศึกษาและการปฏิบัติ (ขั้นตอนที่ 3) + ขั้นตอนที่ 4 (ผู้เรียนจะเป็นผู้กำหนดคุณสมบัติเอง)

คำนวณ: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

ลดความซับซ้อน: a 2 a 20 = ? ข 30 ข 10 ข 15 = ?

ขณะแก้ปัญหา 1) และ 2) นักเรียนเสนอวิธีแก้ปัญหา และฉันในฐานะครู จัดชั้นเรียนเพื่อค้นหาวิธีลดความซับซ้อนของกำลังเมื่อคูณด้วยฐานเดียวกัน

ครู: คิดวิธีลดค่ายกกำลังเมื่อคูณด้วยฐานเดียวกัน

รายการปรากฏบนคลัสเตอร์:

มีการกำหนดหัวข้อของบทเรียน การคูณกำลัง

ครู : คิดกฎการแบ่งอำนาจให้เป็นฐานเดียวกัน

เหตุผล: การกระทำใดที่ใช้ในการตรวจสอบการแบ่ง? 5: 3 = ? ว่า 2 a 3 = 5

ฉันกลับไปที่ไดอะแกรม - คลัสเตอร์และเพิ่มลงในรายการ - .. เมื่อหารเราจะลบและเพิ่มหัวข้อของบทเรียน ...และการแบ่งระดับปริญญา

IV. การสื่อสารกับนักเรียนถึงขีดจำกัดของความรู้ (ขั้นต่ำและสูงสุด)

ครู: งานขั้นต่ำสำหรับบทเรียนวันนี้คือการเรียนรู้การใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน และงานสูงสุดคือการใช้การคูณและการหารร่วมกัน

เราเขียนบนกระดาน : a m a n = a m+n ; น: a n = a m-n

V. การจัดการศึกษาเนื้อหาใหม่ (ขั้นตอนที่ 5)

a) ตามตำราเรียน: หมายเลข 403 (a, c, e) งานที่มีถ้อยคำต่างกัน

งานอิสระหมายเลข 404 (a, d, f) จากนั้นฉันก็จัดการตรวจสอบร่วมกันมอบกุญแจให้

b) ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้สำหรับค่าใดของ m? 16.00 น. = 32.00 น. x สูง x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

การบ้าน: สร้างตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับการหาร

ค) หมายเลข 417 (ก) หมายเลข 418 (ก) กับดักสำหรับนักเรียน: x 3 xn = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; 16: 8 = 2

วี. สรุปสิ่งที่ได้เรียนรู้ ดำเนินงานวินิจฉัย (ซึ่งสนับสนุนให้นักเรียนศึกษาหัวข้อนี้ ไม่ใช่ครู) (ขั้นตอนที่ 6)

งานวินิจฉัย

ทดสอบ(วางกุญแจไว้ที่ด้านหลังของแป้ง)

ตัวเลือกงาน: แทนผลหาร x 15 เป็นกำลัง: x 3; แสดงถึงพลังของผลิตภัณฑ์ (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; m ใดคือความเท่าเทียมกัน a 16 a m = 32 ใช้ได้? ค้นหาค่าของนิพจน์ h 0: h 2 ที่ h = 0.2; คำนวณค่าของนิพจน์ (5 2 5 0) : 5 2

สรุปบทเรียน การสะท้อน.ฉันแบ่งชั้นเรียนออกเป็นสองกลุ่ม

ค้นหาข้อโต้แย้งในกลุ่ม I: เพื่อทราบคุณสมบัติของปริญญาและกลุ่ม II - ข้อโต้แย้งที่จะบอกว่าคุณสามารถทำได้โดยไม่มีคุณสมบัติ เรารับฟังคำตอบทั้งหมดและสรุปผล ในบทเรียนต่อๆ ไป คุณสามารถนำเสนอข้อมูลทางสถิติและเรียกรูบริกว่า "มันเกินความเชื่อ!"

คนทั่วไปกินแตงกวา 32 10 2 กิโลกรัมตลอดช่วงชีวิต

ตัวต่อสามารถบินต่อเนื่องได้ 3.2 10 2 กม.

เมื่อกระจกแตก รอยแตกจะแพร่กระจายด้วยความเร็วประมาณ 5 10 3 กม./ชม.

กบกินยุงมากกว่า 3 ตันในชีวิต ใช้ดีกรีเขียนเป็นกก.

ปลาที่อุดมสมบูรณ์ที่สุดถือเป็นปลาทะเล - ดวงจันทร์ (โมลาโมลา) ซึ่งวางไข่ได้มากถึง 300,000,000 ฟองเส้นผ่านศูนย์กลางประมาณ 1.3 มม. ในการวางไข่ครั้งเดียว เขียนตัวเลขนี้โดยใช้ยกกำลัง

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน.

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์ ตัวเลขใดที่เรียกว่าตัวเลขแฟร์มาต์

ป.19. หมายเลข 403, หมายเลข 408, หมายเลข 417

หนังสือมือสอง:

หนังสือเรียน "Algebra-7" โดยผู้เขียน Yu.N. มาคารีเชฟ, N.G. มินดุ๊ก และคณะ

สื่อการสอนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7, L.V. Kuznetsova, L.I. ซวาวิช, เอส.บี. ซูโวรอฟ

สารานุกรมคณิตศาสตร์.

นิตยสาร "ควานต์"

คุณสมบัติขององศา สูตร การพิสูจน์ ตัวอย่าง

หลังจากกำหนดกำลังของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ. ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของกำลังของตัวเลข พร้อมทั้งกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะแสดงหลักฐานคุณสมบัติทั้งหมดขององศา และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างไรในการแก้ตัวอย่าง

การนำทางหน้า

คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

ตามคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ กำลัง a n คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และยังใช้ คุณสมบัติของการคูณจำนวนจริงเราสามารถรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ:

คุณสมบัติหลักของระดับ a m ·a n =a m+n ลักษณะทั่วไปของมันคือ n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเท่ากัน a m:a n =a m−n ;

คุณสมบัติของระดับของผลิตภัณฑ์ (a·b) n =a n ·b n ส่วนขยาย (a 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n ;

คุณสมบัติของผลหารในระดับธรรมชาติ (a:b) n =a n:b n ;

การเพิ่มระดับของกำลัง (a m) n =a m·n ลักษณะทั่วไป (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

การเปรียบเทียบระดับกับศูนย์:

• ถ้า a>0 แล้ว n>0 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n;
• ถ้า a=0 ดังนั้น a n =0;
• ถ้า a 2·m >0 ถ้า a 2·m−1 n ;
• ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติในลักษณะที่ m>n ดังนั้นสำหรับ 0m n และสำหรับ a>0 อสมการ a m >a n จะเป็นจริง

ให้เราทราบทันทีว่าความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดนั้น เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด สามารถเปลี่ยนทั้งชิ้นส่วนด้านขวาและด้านซ้ายได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m ·a n =a m+n ด้วย ลดความซับซ้อนของการแสดงออกมักใช้ในรูปแบบ a m+n =a m ·a n

ทีนี้มาดูรายละเอียดแต่ละรายการกัน

เริ่มจากคุณสมบัติของผลคูณของกำลังสองที่มีฐานเดียวกันซึ่งเรียกว่า ทรัพย์สินหลักของปริญญา: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติหลักของดีกรี จากคำนิยามของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ผลคูณของกำลังที่มีฐานเหมือนกันในรูปแบบ a m ·a n สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ . เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณจึงสามารถเขียนนิพจน์ผลลัพธ์ได้เป็น และผลคูณนี้คือกำลังของจำนวน a โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m+n นั่นคือ m+n เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

ให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ลองหาองศาที่มีฐาน 2 และกำลังธรรมชาติ 2 และ 3 เท่ากัน โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานขององศา เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 มาตรวจสอบความถูกต้องโดยการคำนวณค่าของนิพจน์ 2 2 · 2 3 และ 2 5 . ในการยกกำลัง เรามี 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 และ 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 เนื่องจากเราได้ค่าเท่ากัน ดังนั้นจะเท่ากับ 2 2 ·2 3 =2 5 ถูกต้อง และยืนยันคุณสมบัติหลักของดีกรี

สมบัติพื้นฐานของดีกรีซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ สามารถนำมาสรุปเป็นผลคูณของกำลังสามตัวขึ้นไปที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่ากัน ดังนั้นสำหรับจำนวน k ใดๆ ของจำนวนธรรมชาติ n 1 , n 2 , …, n k ความเท่าเทียมกัน a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k เป็นจริง

ตัวอย่างเช่น (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

เราสามารถไปยังคุณสมบัติต่อไปของกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ – คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเดียวกัน: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ที่ตรงตามเงื่อนไข m>n ความเท่าเทียมกัน a m:a n =a m−n เป็นจริง

ก่อนที่จะนำเสนอหลักฐานของคุณสมบัตินี้ ให้เราหารือเกี่ยวกับความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในสูตร เงื่อนไข a≠0 เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ เนื่องจาก 0 n =0 และเมื่อเราคุ้นเคยกับการหาร เราก็ตกลงกันว่าเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ มีการแนะนำเงื่อนไข m>n เพื่อที่เราจะได้ไม่ไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ m>n เลขยกกำลัง m−n จะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m−n) หรือจำนวนลบ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m จากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน a m−n ·a n =a m และจากความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการหาร จะได้ว่า m−n คือผลหารของกำลัง a m และ n สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของผลหารของกำลังด้วย ฐานเดียวกัน

ลองยกตัวอย่าง ลองหาสององศาด้วยฐานเดียวกัน π และเลขชี้กำลังธรรมชาติ 5 และ 2 ความเท่าเทียมกัน π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 สอดคล้องกับคุณสมบัติของระดับที่พิจารณา

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน คุณสมบัติพลังงานของผลิตภัณฑ์: กำลังธรรมชาติ n ผลคูณของจำนวนจริงสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a·b) n =a n ·b n

แท้จริงแล้ว ตามนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่เรามี . ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้เป็น ซึ่งเท่ากับ a n · bn

นี่คือตัวอย่าง: .

คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงพลังของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยตั้งแต่สามตัวขึ้นไป นั่นคือ คุณสมบัติของระดับธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ที่มีปัจจัย k เขียนเป็น (a 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง สำหรับผลคูณของตัวประกอบ 3 ตัวยกกำลัง 7 เราได้

ทรัพย์สินดังต่อไปนี้คือ คุณสมบัติของผลหารชนิด: ผลหารของจำนวนจริง a และ b, b≠0 เทียบกับกำลังธรรมชาติ n เท่ากับผลหารของกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a:b) n =a n:b n

การพิสูจน์สามารถดำเนินการได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า ดังนั้น (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n และจากความเท่าเทียมกัน (a:b) n ·b n =a n จะตามมาว่า (a:b) n คือผลหารของ การหาร n บน bn

ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวเลขเฉพาะเป็นตัวอย่าง: .

ตอนนี้ขอเสียงมัน คุณสมบัติของการเพิ่มพลังให้เป็นพลัง: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n กำลังของ m ยกกำลัง n เท่ากับกำลังของจำนวน a ที่มีเลขยกกำลัง m·n นั่นคือ (a m) n =a m·n

เช่น (5 2) 3 =5 2·3 =5 6

การพิสูจน์คุณสมบัติกำลังต่อระดับคือสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: .

ทรัพย์สินที่พิจารณาสามารถขยายออกไปได้ระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง ฯลฯ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกัน . เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เรามายกตัวอย่างด้วยตัวเลขเฉพาะ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10

ยังคงต้องอาศัยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

เริ่มต้นด้วยการพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบศูนย์และกำลังกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ

ก่อนอื่น ลองพิสูจน์ว่า a n >0 สำหรับ a>0 ใดๆ

ผลคูณของจำนวนบวกสองตัวคือจำนวนบวก ตามนิยามของการคูณได้ดังนี้ ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณบ่งบอกว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวกด้วย และกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ตามนิยามแล้ว คือผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a อาร์กิวเมนต์เหล่านี้ทำให้เรายืนยันได้ว่าสำหรับฐานบวก a ใดๆ ระดับ a n จะเป็นจำนวนบวก เนื่องจากคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 และ .

เห็นได้ชัดว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ที่มี a=0 ระดับของ n จะเป็นศูนย์ แท้จริงแล้ว 0 n =0·0·…·0=0 ตัวอย่างเช่น 0 3 =0 และ 0 762 =0

มาดูฐานลบของดีกรีกัน

เริ่มต้นด้วยกรณีที่เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ลองเขียนเป็น 2·m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว . ตามกฎสำหรับการคูณจำนวนลบ แต่ละผลคูณของรูปแบบ a·a เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข a และ a ซึ่งหมายความว่ามันเป็นจำนวนบวก ดังนั้นสินค้าก็จะเป็นบวกเช่นกัน และองศา 2·ม. ลองยกตัวอย่าง: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 และ

สุดท้าย เมื่อฐาน a เป็นจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ 2 m−1 . ผลคูณทั้งหมด a·a เป็นจำนวนบวก ผลคูณของจำนวนบวกเหล่านี้ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน และการคูณด้วยจำนวนลบที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ เนื่องจากคุณสมบัตินี้ (−5) 3 17 n n คือผลคูณของด้านซ้ายและขวาของอสมการจริง a คุณสมบัติของอสมการ อสมการที่พิสูจน์ได้ของรูปแบบ a n ก็เป็นเรื่องจริงเช่นกัน ตัวอย่างเช่นเนื่องจากคุณสมบัตินี้ความไม่เท่าเทียมกัน 3 7 7 และ .

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของรายการพลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มากำหนดกัน ของกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและฐานบวกเหมือนกันน้อยกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังน้อยกว่าจะใหญ่กว่า และกำลังสองที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติและมีฐานเท่ากันมากกว่าหนึ่ง โดยที่เลขชี้กำลังมากกว่าจะใหญ่กว่า ให้เราดำเนินการพิสูจน์ทรัพย์สินนี้ต่อไป

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0m n ในการทำเช่นนี้ เราเขียนความแตกต่าง a m − a n แล้วเปรียบเทียบกับศูนย์ ความแตกต่างที่บันทึกไว้ หลังจากนำ n ออกจากวงเล็บแล้วจะอยู่ในรูปแบบ a n ·(a m−n−1) ผลคูณที่ได้จะเป็นลบเนื่องจากเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และจำนวนลบ a m−n −1 (a n เป็นบวกในฐานะพลังธรรมชาติของจำนวนบวก และผลต่าง m−n −1 เป็นลบ เนื่องจาก m−n >0 เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น m>n ดังนั้นเมื่อ 0m−n น้อยกว่าเอกภาพ) ดังนั้น a m −a n m n ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ เป็นตัวอย่าง เราให้อสมการที่ถูกต้อง

ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของทรัพย์สิน ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ a>1 a m >a n เป็นจริง ความแตกต่าง a m −a n หลังจากนำ n ออกจากวงเล็บจะมีรูปแบบ a n ·(a m−n −1) ผลคูณนี้เป็นค่าบวก เนื่องจากสำหรับ a>1 องศา a n เป็นจำนวนบวก และผลต่าง m−n −1 เป็นจำนวนบวก เนื่องจาก m−n>0 เนื่องจากสภาวะเริ่มต้น และสำหรับ a>1 องศา m−n มากกว่าหนึ่ง ดังนั้น a m −a n >0 และ a m >a n ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ คุณสมบัตินี้แสดงด้วยความไม่เท่าเทียมกัน 3 7 >3 2

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจึงตรงกันทุกประการกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติอยู่ในรายการและพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า

เรากำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยความเท่ากัน ยังคงใช้ได้ ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทั้งเลขชี้กำลังที่เป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นลบ ในขณะที่ฐานของกำลังนั้นแตกต่างจากศูนย์แน่นอน

ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ a และ b รวมถึงจำนวนเต็มใดๆ m และ n สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง: คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม:

• มี ม ·มี n =มี ม+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (ก·ข) n =a n ·b n ;
• (ก:ข) n =ก n:b n ;
• (ม.) n =ม.n ;
• ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนบวก และ a n n และ a −n >b −n ;
• ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ m>n ดังนั้นสำหรับ 0m n และสำหรับ a>1 ความไม่เท่าเทียมกัน a m >a n ยังคงอยู่

เมื่อ a=0 ยกกำลัง a m และ a n จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทั้ง m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งก็คือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติที่เพิ่งเขียนยังใช้ได้กับกรณีที่ a=0 และตัวเลข m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

การพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่างไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะใช้คำจำกัดความขององศากับเลขชี้กำลังธรรมชาติและจำนวนเต็มตลอดจนคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยจำนวนจริง ตามตัวอย่าง ขอให้เราพิสูจน์ว่าคุณสมบัติยกกำลังมีทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงว่าถ้า p เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ และ q เป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =a p·(−q) และ (a −p) −q =a (−p)·(−q) มาทำกัน.

สำหรับค่าบวกของ p และ q ความเท่าเทียมกัน (ap) q =a p·q ได้รับการพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า ถ้า p=0 เราจะได้ (a 0) q =1 q =1 และ 0·q =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) q =a 0·q ในทำนองเดียวกัน ถ้า q=0 แล้ว (ap) 0 =1 และ a p·0 =a 0 =1 ดังนั้น (ap) 0 =a p·0 ถ้าทั้ง p=0 และ q=0 ดังนั้น (a 0) 0 =1 0 =1 และ 0·0 =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) 0 =a 0·0

ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า (a −p) q =a (−p)·q โดยนิยามยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบแล้ว . โดยคุณสมบัติของผลหารต่อกำลังที่เรามี . ตั้งแต่ 1 p =1·1·…·1=1 และ จากนั้น . ตามนิยามแล้ว นิพจน์สุดท้ายคือกำลังที่อยู่ในรูป a −(p·q) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น (−p)·q เนื่องจากกฎการคูณ

เช่นเดียวกัน .

และ .

เมื่อใช้หลักการเดียวกัน คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งเขียนในรูปของความเท่ากันได้

ในช่วงสุดท้ายของคุณสมบัติที่บันทึกไว้ ควรพิจารณาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน a −n >b −n ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มลบใดๆ −n และค่าบวก a และ b ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข a . ให้เราเขียนและแปลงความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการนี้: . เนื่องจากตามเงื่อนไข ก n n ดังนั้น b n −a n >0 ผลคูณ a n · bn ยังเป็นผลบวกเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และ bn จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะเป็นค่าบวกเป็นผลหารของจำนวนบวก b n −a n และ a n ·b n ดังนั้น a −n >b −n จึงเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

คุณสมบัติสุดท้ายของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่คล้ายคลึงกัน

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยการขยายคุณสมบัติของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะมีคุณสมบัติเหมือนกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม กล่าวคือ:

1. คุณสมบัติของผลคูณกำลังที่มีฐานเดียวกัน สำหรับ a>0 และถ้า และ แล้วสำหรับ a≥0;
2. คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเดียวกัน สำหรับ>0 ;
3. คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ต่อกำลังเศษส่วน สำหรับ a>0 และ b>0 และถ้า และ แล้ว สำหรับ a≥0 และ (หรือ) b≥0;
4. คุณสมบัติของผลหารต่อกำลังเศษส่วน สำหรับ a>0 และ b>0 และ ถ้า แล้ว สำหรับ a≥0 และ b>0;
5. คุณสมบัติของระดับถึงระดับ สำหรับ a>0 และถ้า และ แล้วสำหรับ a≥0;
6. คุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับเลขชี้กำลังตรรกยะเท่ากัน: สำหรับจำนวนบวก a และ b, a 0 อสมการ a p p เป็นจริง และสำหรับ p p >b p ;
7. คุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับเลขชี้กำลังตรรกยะและฐานเท่ากัน: สำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q, p>q สำหรับ 0p q และสำหรับ a>0 – อสมการ a p >a q

การพิสูจน์คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของกำลังที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วน คุณสมบัติของรากเลขคณิตระดับที่ n และคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ให้เราแสดงหลักฐาน

โดยนิยามกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน และ แล้ว . คุณสมบัติของรากเลขคณิตช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เราได้รับ ซึ่งจากคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราได้ และตัวบ่งชี้ระดับที่ได้รับสามารถแปลงได้ดังนี้: เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

คุณสมบัติที่สองของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้รับการพิสูจน์ในลักษณะที่คล้ายกันอย่างยิ่ง:


ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์โดยใช้หลักการที่คล้ายกัน:


เรามาพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปกันดีกว่า ลองพิสูจน์ว่าสำหรับค่าบวก a และ b, a ใดๆ 0 อสมการ a p p เป็นจริง และสำหรับ p p >b p ลองเขียนจำนวนตรรกยะ p เป็น m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เงื่อนไข p 0 ในกรณีนี้จะเทียบเท่ากับเงื่อนไข m 0 ตามลำดับ สำหรับ m>0 และ am m จากความไม่เท่าเทียมกันนี้ด้วยคุณสมบัติของรากเรามีและเนื่องจาก a และ b เป็นจำนวนบวกดังนั้นตามคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจึงสามารถเขียนใหม่ได้เป็นนั่นคือ a p p .

ในทำนองเดียวกัน สำหรับ m m >b m ดังนั้น a p >b p

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายที่ระบุไว้ ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q, p>q สำหรับ 0p q และสำหรับ a>0 – อสมการ a p >a q เราสามารถลดจำนวนตรรกยะ p และ q ให้เป็นตัวส่วนร่วมได้เสมอ แม้ว่าเราจะได้เศษส่วนสามัญ และ โดยที่ m 1 และ m 2 เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ในกรณีนี้ เงื่อนไข p>q จะสอดคล้องกับเงื่อนไข m 1 >m 2 ซึ่งเป็นไปตามกฎการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญที่มีตัวส่วนเท่ากัน จากนั้น ด้วยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศาที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ สำหรับ 0m 1 m 2 และสำหรับ a>1 ความไม่เท่าเทียมกัน a m 1 >a m 2 ความไม่เท่าเทียมกันในคุณสมบัติของรากสามารถเขียนใหม่ได้ตามนั้น และ . และคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะช่วยให้เราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้และตามลำดับ จากที่นี่ เราได้ข้อสรุปสุดท้าย: สำหรับ p>q และ 0p q และสำหรับ a>0 – ความไม่เท่าเทียมกัน a p >a q

คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

จากวิธีการกำหนดดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบไม่ลงตัว เราสามารถสรุปได้ว่าปริญญามีคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับ a>0, b>0 และจำนวนอตรรกยะใดๆ p และ q สิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง คุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว:

1. a p ·a q = a p+q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (ก·ข) พี =เอ พี ·บี พี ;
4. (ก:ข) พี =เอ พี:บี พี ;
5. (ap) q = a p·q ;
6. สำหรับจำนวนบวกใดๆ a และ b, a 0 อสมการ a p p เป็นจริง และสำหรับ p p >b p ;
7. สำหรับจำนวนอตรรกยะ p และ q, p>q สำหรับ 0p q และสำหรับ a>0 – อสมการ a p >a q

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง p และ q สำหรับ a>0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน

• พีชคณิต - ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 สมการตรีโกณมิติบทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด" เนื้อหาเพิ่มเติม ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นวิจารณ์ข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมด […]
• เปิดการแข่งขันสำหรับตำแหน่ง "ผู้ขาย - ที่ปรึกษา": ความรับผิดชอบ: การขายโทรศัพท์มือถือและอุปกรณ์เสริมสำหรับการสื่อสารเคลื่อนที่, การบริการลูกค้าสำหรับสมาชิก Beeline, Tele2, MTS, การเชื่อมต่อแผนและบริการภาษี Beeline และ Tele2, การให้คำปรึกษา MTS [... ]
• สูตรรูปขนาน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้า 6 หน้า โดยแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทรงลูกบาศก์คือด้านที่มีด้านขนานกันแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นขนานใด ๆ มีลักษณะเป็น 3 […]
• การสะกด N และ NN ในส่วนต่าง ๆ ของคำพูด S.G. ZELINSKAYA วัสดุการสอน แบบฝึกหัดเชิงทฤษฎี 1. เมื่อใดที่ nn เขียนด้วยคำคุณศัพท์? 2. ตั้งชื่อข้อยกเว้นให้กับกฎเหล่านี้ 3. วิธีแยกแยะคำคุณศัพท์ทางวาจาด้วยคำต่อท้าย -n- จากกริยาที่มี […]
• การตรวจสอบ GOSTEKHNADZOR ของภูมิภาค BRIANSK ใบเสร็จรับเงินสำหรับการชำระภาษีของรัฐ (ดาวน์โหลด - 12.2 kb) แอปพลิเคชันสำหรับการลงทะเบียนสำหรับบุคคล (ดาวน์โหลด - 12 kb) แอปพลิเคชันสำหรับการลงทะเบียนสำหรับนิติบุคคล (ดาวน์โหลด - 11.4 kb) 1. เมื่อลงทะเบียนรถยนต์ใหม่ : 1.ใบสมัคร 2.หนังสือเดินทาง […]
• สมาคมเพื่อการคุ้มครองสิทธิผู้บริโภคอัสตานา ในการรับรหัสพินเพื่อเข้าถึงเอกสารนี้บนเว็บไซต์ของเรา ให้ส่งข้อความ SMS พร้อมข้อความ zan ไปยังหมายเลข สมาชิกของผู้ให้บริการระบบ GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) โดย ส่ง SMS ไปที่หมายเลข […]
• นำกฎหมายว่าด้วยที่ดินของครอบครัวมาใช้กฎหมายของรัฐบาลกลางเกี่ยวกับการจัดสรรที่ดินโดยเปล่าประโยชน์ให้กับพลเมืองที่เต็มใจของสหพันธรัฐรัสเซียหรือครอบครัวของพลเมืองแต่ละคนเพื่อการพัฒนาอสังหาริมทรัพย์ของครอบครัวโดยมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้: 1. โครงเรื่องคือ จัดสรรสำหรับ […]
• Pivoev V.M. ปรัชญาและระเบียบวิธีวิทยาศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับปริญญาโทและนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013 - 320 หน้า ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb หนังสือเรียนนี้มีไว้สำหรับนักศึกษาอาวุโส ปริญญาโท และนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา ของสังคมและ […]

บทความเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน

องศามีคุณสมบัติสามประการที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเหมือนกัน นี้

งาน ผลรวม

ส่วนตัวกำลังสองที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับนิพจน์ที่มีฐานเท่ากันและมีเลขชี้กำลังเป็น ความแตกต่างตัวชี้วัดปัจจัยเดิม

การยกจำนวนให้เป็นกำลังเท่ากับนิพจน์ที่ฐานเป็นจำนวนเดียวกันและมีเลขชี้กำลังเป็น งานสององศา

ระวัง! กฎเกณฑ์เกี่ยวกับ การบวกและการลบองศาที่มีฐานเดียวกัน ไม่ได้อยู่.

ให้เราเขียนกฎคุณสมบัติเหล่านี้ในรูปแบบของสูตร:

a m × a n = a m+n

a m ÷ a n = a m–n

(ม) n = หนึ่งนาที

ตอนนี้เรามาดูพวกเขาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงแล้วลองพิสูจน์ดู

5 2 × 5 3 = 5 5 - ที่นี่เราใช้กฎ ทีนี้ลองจินตนาการว่าเราจะแก้ตัวอย่างนี้อย่างไรถ้าเราไม่รู้กฎ:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - ห้ากำลังสองคือห้าคูณห้า และกำลังสามเป็นผลคูณของสามห้า ผลลัพธ์คือผลคูณของห้าห้า แต่นี่คืออย่างอื่นที่ไม่ใช่ห้ายกกำลังห้า: 5 5

3 9 ۞ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 ลองเขียนการหารเป็นเศษส่วน:

สามารถย่อให้สั้นลงได้:

เป็นผลให้เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าเมื่อหารสองกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของพวกมันจะต้องถูกลบออก

อย่างไรก็ตาม เมื่อหาร ตัวหารไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ (เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) นอกจากนี้ เนื่องจากเราพิจารณาองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น เราจึงไม่สามารถรับตัวเลขที่น้อยกว่า 1 เป็นผลจากการลบเลขยกกำลังได้ ดังนั้นจึงมีข้อจำกัดในสูตร a m ۞ a n = a m–n: a ≠ 0 และ m > n.

มาดูคุณสมบัติที่สามกันดีกว่า:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8

มาเขียนในรูปแบบขยาย:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

คุณสามารถสรุปได้ด้วยการให้เหตุผลอย่างมีเหตุผล คุณต้องคูณสองกำลังสองสี่ครั้ง แต่ในแต่ละช่องจะมีสองช่อง ซึ่งหมายความว่าจะมีทั้งหมดแปดช่อง

scienceland.info

คุณสมบัติของปริญญา

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราจะเข้าใจ คุณสมบัติขององศาโดยมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติและเป็นศูนย์ กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะและคุณสมบัติของพวกมันจะพูดคุยกันในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

กำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นในตัวอย่างที่มีกำลัง

คุณสมบัติหมายเลข 1
ผลิตผลแห่งอำนาจ

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขยกกำลังจะถูกบวกเข้าด้วยกัน

a m · a n = a m + n โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังใช้กับผลคูณของพลังตั้งแต่สามตัวขึ้นไปด้วย

ลดความซับซ้อนของนิพจน์
ข 2 ข 3 ข 4 ข 5 = ข 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ข 15

นำเสนอเป็นปริญญา
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

นำเสนอเป็นปริญญา
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุเรากำลังพูดถึงเฉพาะการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น. มันใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 ได้ นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

คุณสมบัติหมายเลข 2
องศาบางส่วน

เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

เขียนผลหารเป็นกำลัง
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

คำนวณ.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ตัวอย่าง. แก้สมการ เราใช้คุณสมบัติของกำลังหาร
3 8: เสื้อ = 3 4

คำตอบ: เสื้อ = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 จะทำให้นิพจน์และคำนวณง่ายขึ้นได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 5ม. + 6 + ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 6ม. + 8 − 4ม. − 3 = 4 2ม. + 5

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

2 11 − 5 = 2 6 = 64

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 เราพูดถึงเพียงการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณไม่สามารถแทนที่ผลต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 ได้ เรื่องนี้เข้าใจได้ถ้าคุณคำนวณ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4

คุณสมบัติหมายเลข 3
การยกระดับไปสู่อำนาจ

เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ฐานของดีกรีจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

(a n) m = a n · m โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นขององศาก็ถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับเช่นกัน

(a n · b n)= (a · b) n

นั่นคือ ในการคูณเลขยกกำลังด้วยเลขยกกำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานได้ แต่เลขยกกำลังไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง. คำนวณ.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

ตัวอย่าง. คำนวณ.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราแนะนำให้คุณทำดังต่อไปนี้

เช่น 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ตัวอย่างการเพิ่มทศนิยมให้เป็นกำลัง

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

คุณสมบัติ 5
กำลังของผลหาร (เศษส่วน)

หากต้องการเพิ่มผลหารยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกกันเป็นกำลังนี้ และหารผลลัพธ์แรกด้วยวินาที

(a: b) n = a n: bn โดยที่ “a”, “b” คือจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

ตัวอย่าง. นำเสนอนิพจน์เป็นผลหารของกำลัง.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

เราขอเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงหัวข้อการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังโดยละเอียดในหน้าถัดไป

การคูณและหารตัวเลขด้วยยกกำลัง

หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเฉพาะให้เป็นกำลัง คุณสามารถใช้ตารางยกกำลังของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 2 ถึง 25 ในพีชคณิตได้ ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า คุณสมบัติขององศา.

เลขชี้กำลังเปิดความเป็นไปได้ที่ยิ่งใหญ่ พวกมันช่วยให้เราแปลงการคูณเป็นการบวก และการบวกนั้นง่ายกว่าการคูณมาก

ตัวอย่างเช่น เราต้องคูณ 16 ด้วย 64 ผลคูณของการคูณตัวเลขสองตัวนี้คือ 1024 แต่ 16 คือ 4x4 และ 64 คือ 4x4x4 นั่นคือ 16 x 64 = 4x4x4x4x4 ซึ่งเท่ากับ 1,024 เช่นกัน

เลข 16 ยังสามารถแสดงเป็น 2x2x2x2 และ 64 แสดงเป็น 2x2x2x2x2x2 และถ้าเราคูณ เราจะได้ 1024 อีกครั้ง

ตอนนี้เราใช้กฎในการยกจำนวนให้เป็นกำลัง 16=4 2 หรือ 2 4, 64=4 3 หรือ 2 6 ในเวลาเดียวกัน 1024=6 4 =4 5 หรือ 2 10

ดังนั้น ปัญหาของเราจึงสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้: 4 2 x4 3 =4 5 หรือ 2 4 x2 6 =2 10 และทุกครั้งที่เราได้ 1,024

เราสามารถแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันได้จำนวนหนึ่งและพบว่าการคูณตัวเลขด้วยกำลังลดลง การเพิ่มเลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลังแน่นอน โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของตัวประกอบจะเท่ากัน

ดังนั้น หากไม่คูณ เราก็บอกได้ทันทีว่า 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20

กฎนี้ยังเป็นจริงเมื่อหารตัวเลขด้วยกำลัง แต่ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล. ดังนั้น 2 5:2 3 =2 2 ซึ่งในจำนวนสามัญจะเท่ากับ 32:8 = 4 นั่นคือ 2 2 สรุป:

a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม

เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าเป็นเช่นนี้ การคูณและหารตัวเลขด้วยกำลังไม่สะดวกนัก เพราะก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง การแสดงตัวเลข 8 และ 16 นั่นคือ 2 3 และ 2 4 ในรูปแบบนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลข 7 และ 17? หรือจะทำอย่างไรในกรณีที่สามารถแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ แต่ฐานของนิพจน์เลขชี้กำลังแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น 8x9 คือ 2 3 x 3 2 ซึ่งในกรณีนี้เราไม่สามารถหาผลรวมเลขยกกำลังได้ ทั้ง 2 5 และ 3 5 ไม่ใช่คำตอบ และคำตอบก็ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาระหว่างตัวเลขสองตัวนี้

ถ้าอย่างนั้นมันคุ้มค่าที่จะกังวลกับวิธีนี้เลยเหรอ? คุ้มค่าแน่นอน ให้ประโยชน์มหาศาล โดยเฉพาะการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลานาน

จนถึงตอนนี้เราเชื่อว่าเลขชี้กำลังคือจำนวนตัวประกอบที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ ค่าต่ำสุดของเลขชี้กำลังคือ 2 อย่างไรก็ตาม ถ้าเราดำเนินการหารตัวเลขหรือลบเลขชี้กำลัง เราก็จะได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 2 ได้เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความแบบเก่าไม่เหมาะกับเราอีกต่อไป อ่านเพิ่มเติมในบทความถัดไป

การบวก ลบ คูณ หารยกกำลัง

การบวกและการลบกำลัง

เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4

ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เหมือนกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2

เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a

แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสองของ a

ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6

การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6

ทวีคูณพลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้ เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) ด้วยกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

โดยที่ 5 คือกำลังของผลการคูณซึ่งเท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของกำลังของพจน์

ดังนั้น a n .a m = a m+n

สำหรับ n , a ถือเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;

และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง

ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa

2. y -n .y -m = y -n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

หากคุณคูณผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวที่ยกขึ้นมา สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8

การแบ่งองศา

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 เท่ากับ 3

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac $. แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว

เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac = a^n$

หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $

ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขยกกำลังลงด้วย $\frac $ คำตอบ: $\frac $

2. ลดเลขชี้กำลังลง $\frac$ คำตอบ: $\frac$ หรือ 2x

3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน ระดับเฉลี่ย.

คุณต้องการทดสอบความแข็งแกร่งของคุณและดูว่าคุณพร้อมแค่ไหนสำหรับการสอบ Unified State หรือ Unified State?

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

สม่ำเสมอปริญญา – หมายเลข เชิงบวก.

จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกปริญญา – หมายเลข เชิงลบ.

จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก

ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

กำลังของตัวเลขคืออะไร?

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาแก้ไขปัญหาดังกล่าวในหัว - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง. เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนช่องสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาดเมตรหนึ่งเมตรลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับดูว่าลูกบาศก์เมตรต่อเมตรจะวัดได้กี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

ข้อกำหนดและแนวคิด

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ระดับที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” จะอ่านว่า “ถึงระดับ” และเขียนดังนี้:

“กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ”

คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? สรุปก็คือ มันเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

ตัวเลขธรรมชาติ คือ ตัวเลขที่ใช้ในการนับ กล่าวคือ เป็นต้น

จำนวนเต็ม – จำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนธรรมชาติที่มีเครื่องหมายลบ และเลข 0

จำนวนเศษส่วนถือเป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะเป็นทศนิยมอนันต์

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การยกจำนวนขึ้นเป็นกำลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4

ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เหมือนกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2

เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a

แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสองของ a

ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6

การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6

ทวีคูณพลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้ เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) ด้วยกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

โดยที่ 5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของพลังของเทอม

ดังนั้น a n .a m = a m+n

สำหรับ n , a ถือเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;

และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง

ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa

2. y -n .y -m = y -n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

หากคุณคูณผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวที่ยกขึ้นมา สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8

การแบ่งองศา

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 เท่ากับ 3

หรือ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac(a^5)(a^3)$ แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว

เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac(yyy)(yy) = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac(aa^n)(a) = a^n$

หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(เอเอ)$

ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(5a^4)(3a^2)$ คำตอบ: $\frac(5a^2)(3)$

2. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(6x^6)(3x^5)$ คำตอบ: $\frac(2x)(1)$ หรือ 2x

3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.

9. หาร (h 3 - 1)/d 4 ด้วย (d n + 1)/h.