สูตรคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สูตร

14.10.2019

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต- คุณลักษณะเชิงตัวเลขของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงขนาดของรูปนี้ (ส่วนหนึ่งของพื้นผิวถูกจำกัดด้วยเส้นขอบปิดของรูปนี้) ขนาดของพื้นที่แสดงด้วยจำนวนตารางหน่วยที่มีอยู่

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านละสูง
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของระดับความสูงที่ลากมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของเส้นรอบวงวงกลม
สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคูณความยาวด้าน
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวยาวแนวทแยง
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
ส= 1 2
2

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง
ข บาป α

สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านกับความยาวของความสูงลดลงมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวด้านและมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของกำลังสองของความยาวของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวของเส้นทแยงมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรของนกกระสาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ความรู้เกี่ยวกับวิธีการวัดโลกปรากฏในสมัยโบราณและค่อยๆ เป็นรูปเป็นร่างในศาสตร์แห่งเรขาคณิต คำนี้แปลมาจากภาษากรีกว่า "การสำรวจที่ดิน"

การวัดขอบเขตของพื้นที่เรียบของโลกในด้านความยาวและความกว้างคือพื้นที่ ในคณิตศาสตร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษรละติน S (จากภาษาอังกฤษ "สี่เหลี่ยม" - "พื้นที่", "สี่เหลี่ยม") หรือตัวอักษรกรีกσ (ซิกมา) S หมายถึงพื้นที่ของร่างบนระนาบหรือพื้นที่ผิวของร่างกายและ σ คือพื้นที่หน้าตัดของเส้นลวดในฟิสิกส์ เหล่านี้เป็นสัญลักษณ์หลักแม้ว่าอาจมีอย่างอื่นเช่นในด้านความแข็งแกร่งของวัสดุ A คือพื้นที่หน้าตัดของโปรไฟล์

สูตรการคำนวณ

เมื่อทราบพื้นที่ของตัวเลขอย่างง่าย คุณสามารถค้นหาพารามิเตอร์ของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้นได้. นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาสูตรที่สามารถใช้ในการคำนวณได้อย่างง่ายดาย ตัวเลขดังกล่าว ได้แก่ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม วงกลม

การหาพื้นที่ของรูปทรงระนาบเชิงซ้อนนั้นแบ่งออกเป็นรูปง่ายๆ หลายๆ รูป เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู หรือสี่เหลี่ยม จากนั้นใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์จะได้สูตรมาสำหรับพื้นที่ของรูปนี้ วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้ไม่เพียงแต่ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ด้วย เพื่อคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง

สามเหลี่ยม

เริ่มจากรูปที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยมกันก่อน เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หน้าจั่ว และด้านเท่ากันหมด นำสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ที่มีด้าน AB=a, BC=b และ AC=c (∆ ABC) หากต้องการหาพื้นที่ ให้เรานึกถึงทฤษฎีบทไซน์และโคไซน์ที่รู้จักจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เมื่อละทิ้งการคำนวณทั้งหมดเราจะได้สูตรต่อไปนี้:

S=√ - สูตรของนกกระสาที่ทุกคนรู้จัก โดยที่ p=(a+b+c)/2 คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม
S=a h/2 โดยที่ h คือความสูงลดลงไปทางด้าน a
S=a b (sin γ)/2 โดยที่ γ คือมุมระหว่างด้าน a และ b;
S=a b/2 ถ้า ∆ ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในที่นี้ a และ b คือขา)
S=b² (sin (2 β))/2 ถ้า ∆ ABC เป็นหน้าจั่ว (ในที่นี้ b คือหนึ่งใน “สะโพก” β คือมุมระหว่าง “สะโพก” ของรูปสามเหลี่ยม)
S=a² √∆ ถ้า ∆ ABC มีด้านเท่ากันหมด (โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยม)

จัตุรัส

ให้มีรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยมี AB=a, BC=b, CD=c, AD=d ในการหาพื้นที่ S ของรูป 4 เหลี่ยมใดๆ ก็ตาม คุณต้องหารมันด้วยเส้นทแยงมุมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งโดยทั่วไปแล้วพื้นที่ของ S1 และ S2 จะไม่เท่ากัน

จากนั้นใช้สูตรในการคำนวณและเพิ่มเข้าไป เช่น S=S1+S2 อย่างไรก็ตาม หากรูป 4 เหลี่ยมอยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่ง พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนั้นสามารถหาได้จากสูตรที่รู้จักก่อนหน้านี้:

S=(a+c) h/2=e h หากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (ในที่นี้ a และ c คือฐาน e คือเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู h คือความสูงที่ลดลงถึงฐานใดฐานหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ในที่นี้ φ คือมุมระหว่างด้าน a และ b, h คือความสูงที่ตกไปทางด้าน a, d1 และ d2 เป็นเส้นทแยงมุม)
S=a b=d²/2 ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (d คือเส้นทแยงมุม)
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 ถ้า ABCD คือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (a คือด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน φ คือมุมหนึ่งของมุมนั้น P คือเส้นรอบรูป)
S=a²=P²/16=d²/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปหลายเหลี่ยม

ในการค้นหาพื้นที่ของ n-gon นักคณิตศาสตร์จะแบ่งมันออกเป็นตัวเลขเท่ากันที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยม ค้นหาพื้นที่ของแต่ละรูปแล้วบวกเข้าด้วยกัน แต่ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่ในคลาสปกติ ให้ใช้สูตร:

S=a n h/2=a² n/=P²/ โดยที่ n คือจำนวนจุดยอด (หรือด้านข้าง) ของรูปหลายเหลี่ยม a คือด้านของ n-gon, P คือเส้นรอบวงของมัน, h คือเส้นตั้งฉาก กล่าวคือ a ส่วนที่ลากจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมไปทางด้านใดด้านหนึ่งด้วยมุม 90°

วงกลม

วงกลมคือรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบซึ่งมีจำนวนด้านเป็นอนันต์. เราจำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของนิพจน์ทางด้านขวาในสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้าน n มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมจะเปลี่ยนเป็นความยาวของวงกลมรัศมี R ซึ่งจะเป็นขอบเขตของวงกลม และจะเท่ากับ P=2 π R แทนนิพจน์นี้ลงในสูตรข้างต้น เราจะได้รับ:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n บาป (180°/n))

ลองหาลิมิตของนิพจน์นี้ว่า n→∞ เพื่อทำเช่นนี้ เราพิจารณาว่า lim (cos (180°/n)) สำหรับ n→∞ เท่ากับ cos 0°=1 (lim คือเครื่องหมายของขีดจำกัด) และ lim = lim สำหรับ n→∞ คือ เท่ากับ 1/π (เราแปลงหน่วยวัดระดับเป็นเรเดียน โดยใช้ความสัมพันธ์ π rad=180° และใช้ลิมิตที่น่าทึ่งตัวแรก (sin x)/x=1 ที่ x→∞) แทนที่ค่าที่ได้รับลงในนิพจน์สุดท้ายของ S เราจะได้สูตรที่รู้จักกันดี:

S=π² R² 1 (1/π)=π R²

หน่วย

มีการใช้หน่วยการวัดที่เป็นระบบและไม่ใช่ระบบ. หน่วยระบบเป็นของ SI (System International) นี่คือตารางเมตร (ตร.เมตร, ตร.ม.) และหน่วยที่ได้มาจาก: mm², cm², km²

ตัวอย่างเช่นในหน่วยตารางมิลลิเมตร (mm²) พวกเขาวัดพื้นที่หน้าตัดของสายไฟในวิศวกรรมไฟฟ้าในหน่วยตารางเซนติเมตร (cm²) - ส่วนตัดขวางของคานในกลศาสตร์โครงสร้างในหน่วยตารางเมตร (m²) - ในอพาร์ทเมนต์หรือบ้านในตารางกิโลเมตร (กม. ²) - ในภูมิศาสตร์ .

อย่างไรก็ตาม บางครั้งมีการใช้หน่วยการวัดที่ไม่เป็นระบบ เช่น ลายสาน ar (a) เฮกตาร์ (ฮ่า) และเอเคอร์ (ac) ให้เรานำเสนอความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

1 ร้อยตารางเมตร=1 a=100 ตรม.=0.01 เฮกตาร์
1 เฮกตาร์=100 ก=100 เอเคอร์=10,000 ตรม.=0.01 กม.²=2.471 กระแสสลับ;
1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 เอเคอร์ = 0.405 เฮกตาร์

ในการแก้ปัญหาเรขาคณิต คุณจำเป็นต้องรู้สูตรต่างๆ เช่น พื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รวมถึงเทคนิคง่ายๆ ที่เราจะกล่าวถึง

ขั้นแรก เรามาเรียนรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของตัวเลขกันก่อน เราได้รวบรวมไว้เป็นพิเศษในตารางที่สะดวก พิมพ์ เรียนรู้ และนำไปใช้!

แน่นอนว่าไม่มีสูตรเรขาคณิตทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา ตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและสามมิติในส่วนที่สองของโปรไฟล์ Unified State Exam ในวิชาคณิตศาสตร์จะใช้สูตรอื่นสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราจะบอกคุณเกี่ยวกับพวกเขาอย่างแน่นอน

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณต้องการค้นหาไม่ใช่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหรือสามเหลี่ยม แต่เป็นพื้นที่ของรูปร่างที่ซับซ้อนล่ะ? มีวิธีการที่เป็นสากล! เราจะแสดงให้พวกเขาดูโดยใช้ตัวอย่างจากคลังงาน FIPI

1. จะหาพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่นรูปสี่เหลี่ยมตามอำเภอใจ? เทคนิคง่ายๆ - ลองแบ่งตัวเลขนี้ออกเป็นส่วนที่เรารู้ทุกอย่างแล้วหาพื้นที่ของมัน - เป็นผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

แบ่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้ด้วยเส้นแนวนอนออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป โดยมีฐานร่วมเท่ากับ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับ และ จากนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสอง: .

คำตอบ: .

2. ในบางกรณีพื้นที่ของรูปสามารถแสดงเป็นผลต่างของบางพื้นที่ได้

มันไม่ง่ายเลยที่จะคำนวณว่าฐานและความสูงของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าใด! แต่เราสามารถพูดได้ว่าพื้นที่ของมันเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่งด้านกับสามเหลี่ยมมุมฉากสามรูป คุณเห็นพวกเขาในภาพไหม? เราได้รับ: .

คำตอบ: .

3. บางครั้งในงานคุณต้องค้นหาพื้นที่ที่ไม่ใช่ทั้งร่าง แต่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ โดยปกติแล้วเรากำลังพูดถึงพื้นที่ของเซกเตอร์ - ส่วนหนึ่งของวงกลม ค้นหาพื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมรัศมีที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับ .

ในภาพนี้เราเห็นส่วนหนึ่งของวงกลม พื้นที่ของวงกลมทั้งหมดเท่ากับ ยังคงต้องค้นหาว่าส่วนใดของวงกลมที่ปรากฎ เนื่องจากความยาวของวงกลมทั้งหมดเท่ากัน (ตั้งแต่) และความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์ที่กำหนดนั้นเท่ากัน ดังนั้น ความยาวของส่วนโค้งจึงเป็นปัจจัยที่น้อยกว่าความยาวของวงกลมทั้งหมด มุมที่ส่วนโค้งนี้วางอยู่ก็เป็นปัจจัยที่น้อยกว่าวงกลมเต็มวงด้วย (นั่นคือ องศา) ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของเซกเตอร์จะเล็กกว่าพื้นที่ของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นค่าตัวเลขที่แสดงขนาดในพื้นที่สองมิติ ค่านี้สามารถวัดได้ในยูนิตระบบและยูนิตที่ไม่ใช่ระบบ ตัวอย่างเช่น หน่วยพื้นที่ที่ไม่ใช่ระบบคือหนึ่งในร้อยหรือเฮกตาร์ ในกรณีนี้หากพื้นผิวที่จะวัดเป็นผืนดิน หน่วยระบบของพื้นที่คือกำลังสองของความยาว ในระบบ SI หน่วยของพื้นที่ผิวเรียบคือตารางเมตร ใน GHS หน่วยของพื้นที่จะแสดงเป็นตารางเซนติเมตร

สูตรเรขาคณิตและพื้นที่มีความเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก การเชื่อมต่อนี้อยู่ที่ความจริงที่ว่าการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขเครื่องบินนั้นขึ้นอยู่กับการใช้งานอย่างแม่นยำ สำหรับตัวเลขจำนวนมาก มีหลายตัวเลือกที่ได้มาจากการคำนวณขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากข้อมูลจากคำชี้แจงปัญหา เราสามารถระบุวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้ สิ่งนี้จะช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณและลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาพื้นที่หลักของตัวเลขในเรขาคณิต

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ มีหลายตัวเลือก:

1) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคำนวณจากฐาน a และความสูง h ฐานถือเป็นด้านของร่างที่ลดความสูงลง แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ:

2) พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจะคำนวณในลักษณะเดียวกันหากพิจารณาด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นฐาน ถ้าเราเอาขาเป็นฐาน พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลคูณของขาลดลงครึ่งหนึ่ง

สูตรการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ ไม่ได้จบเพียงแค่นั้น อีกนิพจน์หนึ่งประกอบด้วยด้าน a,b และฟังก์ชันไซน์ซอยด์ของมุม γ ระหว่าง a และ b ค่าไซน์มีอยู่ในตาราง คุณสามารถค้นหาได้โดยใช้เครื่องคิดเลข แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ:

เมื่อใช้ความเท่าเทียมกันนี้ คุณสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากถูกกำหนดผ่านความยาวของขา เพราะ มุม γ เป็นมุมฉาก ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจึงถูกคำนวณโดยไม่ต้องคูณด้วยฟังก์ชันไซน์

3) พิจารณากรณีพิเศษ - สามเหลี่ยมปกติซึ่งด้าน a ทราบตามเงื่อนไขหรือความยาวของมันเมื่อแก้โจทย์ปัญหา ยังไม่มีใครรู้อะไรเกี่ยวกับตัวเลขในปัญหาเรขาคณิตอีกต่อไป แล้วจะค้นหาพื้นที่ภายใต้เงื่อนไขนี้ได้อย่างไร? ในกรณีนี้จะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ:

สี่เหลี่ยมผืนผ้า

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมและใช้ขนาดของด้านที่มีจุดยอดร่วมได้อย่างไร? นิพจน์สำหรับการคำนวณคือ:

หากคุณจำเป็นต้องใช้ความยาวของเส้นทแยงมุมในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณจะต้องมีฟังก์ชันของไซน์ของมุมที่เกิดขึ้นเมื่อพวกมันตัดกัน สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมนี้คือ:

สี่เหลี่ยม

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกกำหนดให้เป็นกำลังสองของความยาวด้าน:

การพิสูจน์ตามมาจากคำจำกัดความที่ว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านทุกด้านที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีมิติเท่ากัน ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าวจึงลงมาเพื่อคูณกันนั่นคือยกกำลังสองของด้าน และสูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้รูปแบบที่ต้องการ

คุณสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ด้วยวิธีอื่น เช่น หากคุณใช้เส้นทแยงมุม:

จะคำนวณพื้นที่ของร่างที่เกิดจากส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมได้อย่างไร? ในการคำนวณพื้นที่ มีสูตรดังนี้

สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้ประกอบด้วยมิติเชิงเส้นของด้าน ความสูง และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ - การคูณ หากไม่ทราบความสูง จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างไร? มีวิธีการคำนวณอื่น จะต้องระบุค่าที่แน่นอนซึ่งจะถูกนำไปใช้โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่เกิดจากด้านที่อยู่ติดกันตลอดจนความยาวของมัน

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

จะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้อย่างไร? พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกกำหนดโดยใช้คณิตศาสตร์อย่างง่ายที่มีเส้นทแยงมุม การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนเส้นทแยงมุมใน d1 และ d2 ตัดกันที่มุมฉาก ตารางไซน์แสดงว่าสำหรับมุมฉากฟังก์ชันนี้จะเท่ากับความสามัคคี ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงคำนวณได้ดังนี้

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็สามารถพบได้ในอีกทางหนึ่ง การพิสูจน์ก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน เนื่องจากด้านของมันยาวเท่ากัน จากนั้นแทนที่ผลคูณของมันให้เป็นนิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ท้ายที่สุดแล้ว กรณีพิเศษของตัวเลขนี้คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยที่ γ คือมุมภายในของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกกำหนดดังนี้:

สี่เหลี่ยมคางหมู

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐาน (a และ b) ได้อย่างไรหากปัญหาระบุความยาวของมัน? ที่นี่หากไม่มีค่าความสูงความยาว h ที่ทราบจะไม่สามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวได้ เพราะ ค่านี้มีนิพจน์สำหรับการคำนวณ:

ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมสามารถคำนวณได้ในลักษณะเดียวกัน คำนึงถึงว่าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะรวมแนวคิดเรื่องความสูงและด้านข้างเข้าด้วยกัน ดังนั้น สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องระบุความยาวของด้านข้างแทนความสูง

ทรงกระบอกและขนานกัน

พิจารณาสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณพื้นผิวของทรงกระบอกทั้งหมด พื้นที่ของรูปนี้คือวงกลมคู่หนึ่งที่เรียกว่าฐานและพื้นผิวด้านข้าง วงกลมที่ประกอบเป็นวงกลมจะมีรัศมียาวเท่ากับ r สำหรับพื้นที่ทรงกระบอกจะมีการคำนวณดังต่อไปนี้:

จะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบด้วยใบหน้าสามคู่ได้อย่างไร? การวัดนั้นตรงกับคู่ที่ระบุ ใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามมีพารามิเตอร์เหมือนกัน ขั้นแรก หา S(1), S(2), S(3) - ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของใบหน้าที่ไม่เท่ากัน จากนั้นพื้นที่ผิวของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ:

แหวน

วงกลมสองวงที่มีศูนย์กลางร่วมกันประกอบกันเป็นวงแหวน อีกทั้งยังจำกัดพื้นที่ของวงแหวนด้วย ในกรณีนี้ สูตรการคำนวณทั้งสองจะคำนึงถึงมิติของแต่ละวงกลมด้วย ประการแรกซึ่งคำนวณพื้นที่ของวงแหวนประกอบด้วยรัศมี R ที่ใหญ่กว่าและรัศมี r ที่น้อยกว่า มักเรียกว่าภายนอกและภายใน ในนิพจน์ที่สอง พื้นที่วงแหวนคำนวณโดยใช้เส้นผ่านศูนย์กลาง D ที่ใหญ่กว่าและเส้นผ่านศูนย์กลาง d ที่น้อยกว่า ดังนั้นพื้นที่ของวงแหวนตามรัศมีที่ทราบจึงคำนวณดังนี้:

กำหนดพื้นที่ของวงแหวนโดยใช้ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางดังนี้:

รูปหลายเหลี่ยม

จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีรูปร่างไม่ปกติได้อย่างไร? ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าว แต่ถ้าแสดงบนระนาบพิกัด เช่น อาจเป็นกระดาษตารางหมากรุก แล้วจะหาพื้นที่ผิวในกรณีนี้ได้อย่างไร ในที่นี้ใช้วิธีการที่ไม่ต้องใช้การวัดตัวเลขโดยประมาณ พวกเขาทำสิ่งนี้: หากพวกเขาพบจุดที่ตกลงไปที่มุมของเซลล์หรือมีพิกัดทั้งหมด ระบบจะพิจารณาเฉพาะจุดเหล่านั้นเท่านั้น หากต้องการทราบว่าพื้นที่คือเท่าใด ให้ใช้สูตรที่พีคพิสูจน์แล้ว จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนคะแนนที่อยู่ภายในเส้นแบ่งโดยมีคะแนนครึ่งหนึ่งวางอยู่บนนั้นและลบหนึ่งจุดนั่นคือ คำนวณด้วยวิธีนี้:

โดยที่ B, G - จำนวนจุดที่อยู่ภายในและบนเส้นขาดทั้งหมดตามลำดับ

สูตรทั้งหมดสำหรับพื้นที่รูประนาบ

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

1. สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วโดยใช้ด้านและมุม

เอ - ฐานล่าง

ข - ฐานบน

c - ด้านเท่ากัน

α - มุมที่ฐานล่าง

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วผ่านด้านข้าง (S):

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วโดยใช้ด้านและมุม (S):

2. สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

R - รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

D - เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

O - ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

H - ความสูงสี่เหลี่ยมคางหมู

α, β - มุมสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (S):

FAIR สำหรับวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

3. สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วผ่านเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกมัน

d- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

α,β- มุมระหว่างเส้นทแยงมุม

สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วผ่านเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกมัน (S):

4. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วผ่านเส้นกึ่งกลาง ด้านข้าง และมุมที่ฐาน

ซี-ไซด์

ม. - เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

α, β - มุมที่ฐาน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วโดยใช้เส้นกึ่งกลาง ด้านข้าง และมุมฐาน

(ส):

5. สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วโดยใช้ฐานและส่วนสูง

เอ - ฐานล่าง

ข - ฐานบน

h - ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วโดยใช้ฐานและความสูง (S):

พื้นที่ของสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับด้านและสองมุม สูตร

a, b, c - ด้านของสามเหลี่ยม

α, β, γ - มุมตรงข้าม

พื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านด้านและสองมุม (S):

สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

เอ - ด้านของรูปหลายเหลี่ยม

n - จำนวนด้าน

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (S):

สูตร (นกกระสา) สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมผ่านเซมิเส้นรอบรูป (S):

พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ:

สูตรคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า

เอ - ด้านของสามเหลี่ยม

ชั่วโมง – ความสูง

จะคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร?

b - ฐานของรูปสามเหลี่ยม

เอ - ด้านเท่ากัน

ชั่วโมง – ความสูง

3. สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้ด้านทั้งสี่

เอ - ฐานล่าง

ข - ฐานบน

c, d - ด้าน

รัศมีของวงกลมรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้านข้างและแนวทแยง

เอ - ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ค - ฐานล่าง

ข - ฐานบน

ง - เส้นทแยงมุม

ชั่วโมง - ความสูง

สูตรเส้นรอบวงสี่เหลี่ยมคางหมู (R)

หาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยใช้ด้านข้าง

เมื่อรู้ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้ว คุณสามารถใช้สูตรหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ได้

a, b - ด้านของสามเหลี่ยม

เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (R):

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหกเหลี่ยม

เอ - ด้านของรูปหกเหลี่ยม

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหกเหลี่ยม (r):

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

r - รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

เอ - ด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

D, d - เส้นทแยงมุม

h - ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่า

ค - ฐานล่าง

ข - ฐานบน

เอ - ข้าง

ชั่วโมง - ความสูง

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

a, b - ขาของสามเหลี่ยม

ค - ด้านตรงข้ามมุมฉาก

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

a, b - ด้านของสามเหลี่ยม

พิสูจน์ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้คือ

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d)

โดยที่ p คือกึ่งเส้นรอบรูป และ a, b, c และ d คือด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

พิสูจน์ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมเท่ากับ

1/2 (ab + cb) · sin α โดยที่ a, b, c และ d เป็นด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และ α คือมุมระหว่างด้าน a และ b

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β) - อ่านเพิ่มเติมบน FB.ru:

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตามอำเภอใจ (รูปที่ 1.13) สามารถแสดงผ่านด้าน a, b, c และผลรวมของมุมตรงข้ามคู่หนึ่ง:

โดยที่ p คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม () (รูปที่ 1.14, ก) คำนวณโดยใช้สูตรของพรหมคุปต์

และอธิบายไว้ (รูปที่ 1.14, b) () - ตามสูตร

หากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกจารึกไว้และอธิบายในเวลาเดียวกัน (รูปที่ 1.14, c) สูตรจะง่ายมาก:

เลือกสูตร

ในการประมาณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนกระดาษตารางหมากรุกก็เพียงพอที่จะนับจำนวนเซลล์ที่รูปหลายเหลี่ยมนี้ครอบคลุม (เราใช้พื้นที่ของเซลล์เป็นหนึ่งเดียว) แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้า S คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม คือจำนวนเซลล์ที่อยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด และเป็นจำนวนเซลล์ที่มีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุดภายในรูปหลายเหลี่ยมนั้น

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นซึ่งมีจุดยอดอยู่ในจุดยอดของกระดาษตารางหมากรุก ซึ่งเป็นจุดที่เส้นตารางตัดกัน ปรากฎว่าสำหรับรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถระบุสูตรต่อไปนี้ได้:

พื้นที่อยู่ที่ไหน r คือจำนวนโหนดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมอย่างเคร่งครัด

สูตรนี้เรียกว่า "เลือกสูตร" - หลังจากที่นักคณิตศาสตร์ผู้ค้นพบมันในปี พ.ศ. 2442

ส=	1	2
	2