พิสูจน์เส้นขนาน. เส้นตรง. เส้นขนาน. แนวคิดพื้นฐาน

สัญญาณของความขนานของเส้นสองเส้น

ทฤษฎีบท 1. ถ้าอยู่ที่การตัดกันของเส้นสองเส้น:

มุมนอนในแนวทแยงมีค่าเท่ากันหรือ

มุมที่ตรงกันมีค่าเท่ากัน หรือ

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180° แล้ว

เส้นขนานกัน(รูปที่ 1)

การพิสูจน์. เราจำกัดตนเองไว้เฉพาะการพิสูจน์กรณีที่ 1

สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b โดย secant AB ที่ตัดกันของมุมนอนจะเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ∠ 4 = ∠ 6 ให้เราพิสูจน์ว่า a || ข.

สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน จากนั้นจึงตัดกันที่จุด M และมุม 4 หรือ 6 มุมใดมุมหนึ่งจะเป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABM เพื่อความชัดเจน ให้ ∠ 4 เป็นมุมด้านนอกของสามเหลี่ยม ABM และ ∠ 6 เป็นมุมด้านใน มันเป็นไปตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกของสามเหลี่ยมที่ ∠ 4 มากกว่า ∠ 6 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ 6 ไม่สามารถตัดกันได้ ดังนั้นจึงขนานกัน

ข้อโต้แย้ง 1. เส้นสองเส้นในระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นเดียวกันขนานกัน(รูปที่ 2)

ความคิดเห็น วิธีที่เราเพิ่งพิสูจน์กรณีที่ 1 ของทฤษฎีบทที่ 1 เรียกว่าวิธีการพิสูจน์โดยความขัดแย้งหรือการลดความไร้เหตุผล วิธีการนี้ได้ชื่อมาเพราะในตอนต้นของการให้เหตุผล มีการสันนิษฐานที่ตรงกันข้าม (ตรงกันข้าม) กับสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ เรียกว่าการลดลงสู่ความไร้เหตุผลเนื่องจากการโต้เถียงบนพื้นฐานของสมมติฐานที่ทำขึ้น เราได้ข้อสรุปที่ไร้สาระ (ความไร้เหตุผล) การได้รับข้อสรุปดังกล่าวทำให้เราต้องปฏิเสธข้อสันนิษฐานที่มีขึ้นในตอนต้นและยอมรับข้อสันนิษฐานที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ภารกิจที่ 1สร้างเส้นตรงผ่านจุด M ที่กำหนดให้และขนานกับเส้นที่กำหนด a โดยไม่ผ่านจุด M

สารละลาย. เราลากเส้น p ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้น a (รูปที่ 3)

จากนั้นเราลากเส้น b ผ่านจุด M ที่ตั้งฉากกับเส้น p เส้น b ขนานกับเส้น a ตามทฤษฎีบทที่ 1

ข้อสรุปที่สำคัญตามมาจากปัญหาที่พิจารณา:
ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้เสมอ.

คุณสมบัติหลักของเส้นคู่ขนานมีดังนี้

สัจพจน์ของเส้นขนาน ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนด

พิจารณาคุณสมบัติบางประการของเส้นขนานที่ต่อจากสัจพจน์นี้

1) ถ้าเส้นหนึ่งตัดกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เส้นนั้นจะตัดอีกเส้นหนึ่ง (รูปที่ 4)

2) ถ้าเส้นสองเส้นที่ต่างกันขนานกับเส้นที่สาม แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน (รูปที่ 5)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท 2 ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกัน แล้ว:

มุมนอนเท่ากัน

มุมที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากัน

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180°

ผลที่ตามมา 2. ถ้าเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เส้นนั้นก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย(ดูรูปที่ 2)

ความคิดเห็น ทฤษฎีบท 2 เรียกว่าอินเวอร์สของทฤษฎีบท 1 ข้อสรุปของทฤษฎีบท 1 คือเงื่อนไขของทฤษฎีบท 2 และเงื่อนไขของทฤษฎีบท 1 คือข้อสรุปของทฤษฎีบท 2 ไม่ใช่ทุกทฤษฎีบทที่มีการผกผัน กล่าวคือ ถ้าทฤษฎีบทที่กำหนดเป็นจริง ดังนั้นทฤษฎีบทผกผันอาจเป็นเท็จ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแนวตั้ง ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้ ถ้ามุมสองมุมอยู่ในแนวตั้ง ก็จะเท่ากัน ทฤษฎีบทผกผันจะเป็นดังนี้ ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมทั้งสองจะเป็นแนวตั้ง และแน่นอนว่าไม่เป็นความจริง มุมที่เท่ากันสองมุมไม่จำเป็นต้องอยู่ในแนวตั้งเลย

ตัวอย่างที่ 1เส้นคู่ขนานสองเส้นตัดกันโดยหนึ่งในสาม เป็นที่ทราบกันดีว่าความแตกต่างระหว่างมุมด้านเดียวภายในสองมุมคือ 30° ค้นหามุมเหล่านั้น

สารละลาย. ให้รูปที่ 6 ตรงตามเงื่อนไข

ในบทความนี้เราจะพูดถึงเส้นขนาน ให้คำจำกัดความ กำหนดสัญญาณและเงื่อนไขของการขนาน เพื่อความชัดเจนของเนื้อหาทางทฤษฎี เราจะใช้ภาพประกอบและคำตอบของตัวอย่างทั่วไป

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

เส้นขนานในระนาบคือเส้นตรงสองเส้นในระนาบที่ไม่มีจุดร่วมกัน

คำจำกัดความ 2

เส้นขนานในพื้นที่ 3 มิติ- เส้นตรงสองเส้นในพื้นที่สามมิติที่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วมกัน

ควรสังเกตว่าในการกำหนดเส้นคู่ขนานในอวกาศ การชี้แจงว่า "อยู่ในระนาบเดียวกัน" มีความสำคัญอย่างยิ่ง: เส้นสองเส้นในพื้นที่สามมิติที่ไม่มีจุดร่วมและไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน ขนานกันแต่ตัดกัน

ในการแสดงเส้นขนาน เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญลักษณ์ ∥ นั่นคือ ถ้าเส้นที่กำหนด a และ b ขนานกัน เงื่อนไขนี้ควรเขียนโดยย่อดังนี้ a ‖ b . ทางวาจา ความขนานของเส้นแสดงไว้ดังนี้ เส้น a และ b ขนานกัน หรือเส้น a ขนานกับเส้น b หรือเส้น b ขนานกับเส้น a

ให้เรากำหนดข้อความที่มีบทบาทสำคัญในหัวข้อที่กำลังศึกษาอยู่

สัจพจน์

ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนด ข้อความนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ที่รู้จักของการวัดระนาบ

ในกรณีของอวกาศ ทฤษฎีบทจะเป็นจริง:

ทฤษฎีบท 1

ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด จะมีเส้นขนานเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนด

ทฤษฎีบทนี้ง่ายต่อการพิสูจน์บนพื้นฐานของสัจพจน์ข้างต้น (โปรแกรมเรขาคณิตสำหรับเกรด 10-11)

สัญลักษณ์ของการขนานเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอภายใต้การรับประกันเส้นขนาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง การปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะยืนยันข้อเท็จจริงของความเท่าเทียม

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานของเส้นในระนาบและในอวกาศ ให้เราอธิบาย: จำเป็น หมายถึงเงื่อนไขการปฏิบัติตามที่จำเป็นสำหรับเส้นคู่ขนาน ถ้าไม่พอใจเส้นก็ไม่ขนานกัน

สรุป เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานของเส้นคือเงื่อนไขดังกล่าว การปฏิบัติตามที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นที่จะขนานกัน ในแง่หนึ่งนี่เป็นสัญลักษณ์ของความเท่าเทียม ในทางกลับกัน คุณสมบัติที่มีอยู่ในเส้นขนาน

ก่อนที่จะให้การกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพออย่างแม่นยำ เราจำแนวคิดเพิ่มเติมอีกสองสามข้อ

นิยาม 3

เส้นแบ่งเป็นเส้นที่ตัดกันระหว่างสองเส้นที่ไม่ประจวบเหมาะ

ตัดกันของเส้นตรงสองเส้น รอยตัดจะสร้างมุมที่ไม่ขยายออกแปดมุม ในการกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ เราจะใช้มุมประเภทต่างๆ เช่น การนอนขวาง มุมที่สอดคล้องกัน และมุมด้านเดียว เรามาสาธิตกันในภาพประกอบ:

ทฤษฎีบท 2

ถ้าเส้นสองเส้นบนระนาบตัดกันเป็นเส้นตัด ดังนั้นสำหรับเส้นที่กำหนดให้ขนานกัน จำเป็นและเพียงพอที่มุมวางตามขวางจะเท่ากัน หรือมุมที่สอดคล้องกันจะต้องเท่ากัน หรือผลรวมของมุมด้านเดียวจะเท่ากับ 180 องศา

ให้เราแสดงกราฟิกที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นขนานบนระนาบ:

การพิสูจน์เงื่อนไขเหล่านี้มีอยู่ในโปรแกรมเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9

โดยทั่วไป เงื่อนไขเหล่านี้ใช้ได้กับปริภูมิสามมิติด้วย โดยมีเงื่อนไขว่าเส้นสองเส้นและเส้นตัดอยู่ในระนาบเดียวกัน

ให้เราชี้ให้เห็นทฤษฎีบทอีกสองสามข้อที่มักจะใช้ในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นขนานกัน

ทฤษฎีบท 3

ในระนาบ เส้นสองเส้นที่ขนานกับเส้นที่สามจะขนานกัน คุณลักษณะนี้ได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานของสัจพจน์ของการขนานที่กล่าวถึงข้างต้น

ทฤษฎีบท 4

ในปริภูมิสามมิติ เส้นสองเส้นที่ขนานกับเส้นที่สามจะขนานกัน

การพิสูจน์แอตทริบิวต์ได้รับการศึกษาในโปรแกรมเรขาคณิตเกรด 10

เราให้ภาพประกอบของทฤษฎีบทเหล่านี้:

ให้เราระบุทฤษฎีบทอีกหนึ่งคู่ที่พิสูจน์ความขนานของเส้น

ทฤษฎีบท 5

ในระนาบ เส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่สามจะขนานกัน

ให้เรากำหนดสิ่งที่คล้ายกันสำหรับพื้นที่สามมิติ

ทฤษฎีบท 6

ในปริภูมิสามมิติ เส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกับหนึ่งในสามจะขนานกัน

ลองอธิบาย:

ทฤษฎีบท เครื่องหมาย และเงื่อนไขข้างต้นทั้งหมดทำให้สามารถพิสูจน์ความขนานของเส้นได้โดยสะดวกโดยวิธีการทางเรขาคณิต นั่นคือ เพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้น เราสามารถแสดงให้เห็นว่ามุมที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากัน หรือแสดงให้เห็นว่าเส้นตรงสองเส้นนั้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม เป็นต้น แต่เราทราบว่าการใช้วิธีพิกัดเพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้นในระนาบหรือในปริภูมิสามมิติมักจะสะดวกกว่า

ความขนานของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการของเส้นตรงบนระนาบประเภทใดประเภทหนึ่งที่เป็นไปได้ ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในปริภูมิสามมิติจะสอดคล้องกับสมการของเส้นตรงในปริภูมิ

ให้เราเขียนเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการที่อธิบายเส้นที่กำหนด

เริ่มจากเงื่อนไขของเส้นขนานในระนาบ มันขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นและเวกเตอร์ปกติของเส้นในระนาบ

ทฤษฎีบท 7

สำหรับเส้นที่ไม่บังเอิญสองเส้นที่จะขนานกันบนระนาบ มีความจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนดจะต้องเป็นแนวร่วม หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดจะเป็นแนวร่วม หรือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นหนึ่งตั้งฉากกับ เวกเตอร์ตั้งฉากของอีกเส้นหนึ่ง

เห็นได้ชัดว่าเงื่อนไขของเส้นขนานบนระนาบนั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของเวกเตอร์คอลลิเนียร์หรือเงื่อนไขของการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว นั่นคือ ถ้า a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a และ b ;

และ n b → = (n b x , n b y) เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น a และ b จากนั้นเราเขียนเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอข้างต้นดังนี้ a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y หรือ n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y หรือ a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 โดยที่ t คือจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง พิกัดของเวกเตอร์กำกับหรือเวกเตอร์ตรงถูกกำหนดโดยสมการที่กำหนดของเส้น ลองพิจารณาตัวอย่างหลัก

1. เส้น a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปของเส้น: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; บรรทัด b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดจะมีพิกัด (A 1 , B 1) และ (A 2 , B 2) ตามลำดับ เราเขียนเงื่อนไขของการขนานดังนี้:

A 1 = เสื้อ A 2 B 1 = เสื้อ B 2

1. เส้นตรง a อธิบายโดยสมการของเส้นตรงที่มีความชันในรูปแบบ y = k 1 x + b 1 . เส้นตรง b - y \u003d k 2 x + b 2. จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดจะมีพิกัด (k 1 , - 1) และ (k 2 , - 1) ตามลำดับ และเราเขียนเงื่อนไขการขนานได้ดังนี้

k 1 = เสื้อ k 2 - 1 = เสื้อ (- 1) ⇔ k 1 = เสื้อ k 2 เสื้อ = 1 ⇔ k 1 = k 2

ดังนั้น ถ้าเส้นขนานบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน ค่าสัมประสิทธิ์ความชันของเส้นที่กำหนดจะเท่ากัน และประโยคตรงกันข้ามก็เป็นจริง: หากเส้นที่ไม่ตรงกันบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการของเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน เส้นที่กำหนดเหล่านี้จะขนานกัน

1. เส้น a และ b ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมกำหนดโดยสมการมาตรฐานของเส้นบนระนาบ: x - x 1 a x = y - y 1 a y และ x - x 2 b x = y - y 2 b y หรือสมการพาราเมตริก ของเส้นบนระนาบ: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y และ x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนดจะเป็น: a x , a y และ b x , b y ตามลำดับ และเราเขียนเงื่อนไขการขนานดังนี้:

ก x = เสื้อ ข x ก y = เสื้อ ข y

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ให้สองบรรทัด: 2 x - 3 y + 1 = 0 และ x 1 2 + y 5 = 1 คุณต้องพิจารณาว่าขนานกันหรือไม่

สารละลาย

เราเขียนสมการของเส้นตรงเป็นส่วน ๆ ในรูปแบบของสมการทั่วไป:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

เราเห็นว่า n a → = (2 , - 3) เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น 2 x - 3 y + 1 = 0 และ n b → = 2 , 1 5 เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น x 1 2 + y 5 = 1 .

เวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์จะไม่เป็นเส้นตรง เนื่องจาก ไม่มีค่า t ที่ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

2 = เสื้อ 2 - 3 = เสื้อ 1 5 ⇔ เสื้อ = 1 - 3 = เสื้อ 1 5 ⇔ เสื้อ = 1 - 3 = 1 5

ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอของการขนานของเส้นบนระนาบจึงไม่เป็นที่น่าพอใจ ซึ่งหมายความว่าเส้นที่กำหนดไม่ขนานกัน

คำตอบ:เส้นที่กำหนดไม่ขนานกัน

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดเส้น y = 2 x + 1 และ x 1 = y - 4 2 พวกเขาขนานกันหรือไม่?

สารละลาย

ลองแปลงสมการมาตรฐานของเส้นตรง x 1 \u003d y - 4 2 เป็นสมการของเส้นตรงที่มีความชัน:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

เราจะเห็นว่าสมการของเส้นตรง y = 2 x + 1 และ y = 2 x + 4 ไม่เหมือนกัน (หากเป็นอย่างอื่น เส้นจะเท่ากัน) และความชันของเส้นเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า เส้นที่กำหนดนั้นขนานกัน

ลองแก้ปัญหาแตกต่างกัน ก่อนอื่น เราตรวจสอบว่าบรรทัดที่กำหนดตรงกันหรือไม่ เราใช้จุดใดก็ได้บนเส้น y \u003d 2 x + 1 เช่น (0, 1) พิกัดของจุดนี้ไม่สอดคล้องกับสมการของเส้น x 1 \u003d y - 4 2 ซึ่งหมายความว่า เส้นไม่ตรงกัน

ขั้นตอนต่อไปคือการพิจารณาการปฏิบัติตามเงื่อนไขการขนานสำหรับเส้นที่กำหนด

เวกเตอร์ปกติของเส้น y = 2 x + 1 คือเวกเตอร์ n a → = (2 , - 1) และเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่สองคือ b → = (1 , 2) ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นศูนย์:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉาก: นี่แสดงให้เราเห็นว่าเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นเดิมที่จะขนานกัน เหล่านั้น. เส้นที่กำหนดขนานกัน

คำตอบ:เส้นเหล่านี้ขนานกัน

ในการพิสูจน์ความขนานของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ จะใช้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 8

เพื่อให้เส้นตรงที่ไม่บังเอิญสองเส้นในปริภูมิสามมิติขนานกัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้จะเป็นแนวเดียวกัน

เหล่านั้น. สำหรับสมการของเส้นที่กำหนดในพื้นที่สามมิติ คำตอบสำหรับคำถาม: พวกมันขนานกันหรือไม่ พบได้โดยการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด เช่นเดียวกับการตรวจสอบสภาพของคอลลิเนียริตี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a → = (a x, a y, a z) และ b → = (b x, b y, b z) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a และ b ตามลำดับ เพื่อให้พวกมันขนานกัน การมีอยู่ ของจำนวนจริง t นั้นจำเป็น เพื่อความเสมอภาคจะคงอยู่:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดเส้น x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 และ x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ จำเป็นต้องพิสูจน์ความขนานของเส้นเหล่านี้

สารละลาย

เงื่อนไขของปัญหาคือสมการมาตรฐานของเส้นตรงเส้นหนึ่งในอวกาศและสมการพาราเมทริกของเส้นตรงอีกเส้นในอวกาศ เวกเตอร์ทิศทาง ก → และ b → เส้นที่กำหนดมีพิกัด: (1 , 0 , - 3) และ (2 , 0 , - 6) .

1 = เสื้อ 2 0 = เสื้อ 0 - 3 = เสื้อ - 6 ⇔ เสื้อ = 1 2 แล้ว a → = 1 2 b → .

ดังนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นคู่ขนานในอวกาศ

คำตอบ:ความขนานของเส้นที่กำหนดได้รับการพิสูจน์แล้ว

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันและตรงกันหรือไม่ตัดกัน ในคำจำกัดความของโรงเรียนบางแห่ง เส้นที่ตรงกันไม่ถือว่าขนานกัน คำจำกัดความดังกล่าวจะไม่ถูกพิจารณาที่นี่

คุณสมบัติ

1. การขนานเป็นความสัมพันธ์สมมูลฐานสอง ดังนั้นจึงแบ่งชุดของเส้นทั้งหมดออกเป็นคลาสของเส้นที่ขนานกัน
2. ผ่านจุดที่กำหนดสามารถมีเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดได้ นี่เป็นคุณสมบัติที่โดดเด่นของเรขาคณิตแบบยุคลิดในรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ เลข 1 จะถูกแทนที่ด้วยเลขอื่น (ในเรขาคณิตของ Lobachevsky มีเส้นดังกล่าวอย่างน้อยสองเส้น)
3. เส้นขนาน 2 เส้นในอวกาศอยู่ในระนาบเดียวกัน
4. เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกัน จะเรียกเส้นที่สาม แบ่ง:
   1. รอยตัดต้องตัดกันทั้งสองเส้น
   2. เมื่อข้ามจะเกิด 8 มุม ลักษณะเฉพาะบางคู่มีชื่อและคุณสมบัติพิเศษ:
      1. ข้ามโกหกมุมเท่ากัน
      2. ตามลำดับมุมเท่ากัน
      3. ฝ่ายเดียวมุมรวมกันได้ถึง 180°

ในเรขาคณิตของ Lobachevsky

ในเรขาคณิต Lobachevsky ในระนาบผ่านจุด ไม่สามารถแยกวิเคราะห์นิพจน์ (ข้อผิดพลาดเกี่ยวกับคำศัพท์): Cนอกบรรทัดนี้ $เอบี$

เส้นตรงที่ไม่ตัดกันมีจำนวนนับไม่ถ้วน กข. เหล่านี้ขนานไปกับ กขมีเพียงสองคนเท่านั้นที่มีชื่อ

ตรง คอีเรียกว่าเส้นหน้าจั่ว (ขนาน) กขในทิศทางจาก กถึง ข, ถ้า:

1. คะแนน ขและ อีนอนตะแคงเป็นเส้นตรง กค ;
2. ตรง คอีไม่ข้ามเส้น กขแต่รังสีใดๆ ที่ผ่านไปภายในมุม กคอีข้ามคาน กข .

ในทำนองเดียวกัน เส้นตรง หน้าจั่ว กขในทิศทางจาก ขถึง ก .

เส้นอื่นทั้งหมดที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนดจะถูกเรียก ขนานกันเป็นพิเศษหรือ แตกต่าง.

ดูสิ่งนี้ด้วย

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

• ข้ามเส้น
• เนสเตอริคิน, ยูริ เอฟเรโมวิช

ดูว่า "เส้นขนาน" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

เส้นขนาน- เส้นขนาน เส้นที่ไม่ตัดกันอยู่ในระนาบเดียวกัน ... สารานุกรมสมัยใหม่

เส้นขนาน พจนานุกรมสารานุกรมเล่มใหญ่

เส้นขนาน- เส้นขนาน เส้นที่ไม่ตัดกันอยู่ในระนาบเดียวกัน … พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

เส้นขนาน- ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน ในรูปทรงเรขาคณิตสัมบูรณ์ (ดูรูปทรงเรขาคณิตสัมบูรณ์) ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นผ่านอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด ใน… … สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

เส้นขนานเป็นเส้นที่ไม่ตัดกันซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน * * * เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นที่ไม่ตัดกันอยู่ในระนาบเดียวกัน ... พจนานุกรมสารานุกรม

เส้นขนาน- ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน ในเรขาคณิตสัมบูรณ์ ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นอย่างน้อยหนึ่งเส้นผ่านที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด ในเรขาคณิตแบบยุคลิดมีเพียงหนึ่งเดียว ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

เส้นขนานเส้นที่ไม่ตัดกันซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

โลกคู่ขนานในจินตนาการ- บทความนี้อาจมีงานวิจัยต้นฉบับ เพิ่มลิงก์ไปยังแหล่งที่มา มิฉะนั้นอาจถูกลบทิ้ง ข้อมูลเพิ่มเติมอาจอยู่ในหน้าพูดคุย นี่คือ ... วิกิพีเดีย

โลกคู่ขนาน- โลกคู่ขนาน (ในจินตนาการ) เป็นความจริงที่เกิดขึ้นพร้อมกันกับเรา แต่เป็นอิสระจากมัน ความเป็นจริงในตัวเองนี้สามารถมีขนาดตั้งแต่พื้นที่ทางภูมิศาสตร์ขนาดเล็กไปจนถึงจักรวาลทั้งหมด ควบคู่กันไป ... วิกิพีเดีย

ขนาน- เส้น เส้นตรงเรียกว่าเส้นตรง ถ้าทั้งเส้นตรงและส่วนต่อขยายไม่ตัดกัน ข่าวของเส้นตรงเส้นหนึ่งเหล่านี้อยู่ห่างจากอีกเส้นหนึ่งในระยะเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องปกติที่จะกล่าวว่าเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่ระยะอนันต์ เช่น… … สารานุกรมของ Brockhaus และ Efron

หนังสือ

• ชุดโต๊ะ. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 12 ตาราง + วิธีการ, . ตารางพิมพ์บนกระดาษแข็งโพลีกราฟิกหนาขนาด 680 x 980 มม. ชุดประกอบด้วยโบรชัวร์พร้อมคำแนะนำเกี่ยวกับระเบียบวิธีสำหรับครู อัลบั้มการศึกษา 12 แผ่น การหาร…

1. ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน:

ถ้า ก||คและ ข||ค, ที่ ก||ข.

2. ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน:

ถ้า ก⊥คและ ข⊥ค, ที่ ก||ข.

สัญญาณที่เหลือของความขนานของเส้นจะขึ้นอยู่กับมุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นโดยหนึ่งในสาม

3. ถ้าผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° เส้นจะขนานกัน:

ถ้า ∠1 + ∠2 = 180° แล้ว ก||ข.

4. ถ้ามุมที่ตรงกันเท่ากัน เส้นจะขนานกัน:

ถ้า ∠2 = ∠4 แล้ว ก||ข.

5. หากมุมตัดขวางภายในเท่ากัน แสดงว่าเส้นขนานกัน:

ถ้า ∠1 = ∠3 แล้ว ก||ข.

คุณสมบัติของเส้นขนาน

ข้อความที่ตรงกันข้ามกับสัญญาณของการขนานของเส้นคือคุณสมบัติของมัน ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของมุมที่เกิดจากการตัดกันของเส้นคู่ขนานสองเส้นด้วยเส้นที่สาม

1. เมื่อเส้นคู่ขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในที่เกิดจากเส้นตรงเหล่านั้นคือ 180°:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠1 + ∠2 = 180°

2. เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม มุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นจากเส้นเหล่านั้นจะเท่ากัน:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠2 = ∠4

3. ที่จุดตัดของเส้นคู่ขนานสองเส้นกับเส้นที่สาม มุมนอนที่เกิดจากเส้นขนานจะเท่ากัน:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠1 = ∠3

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นกรณีพิเศษของแต่ละรายการก่อนหน้า:

4. หากเส้นบนระนาบตั้งฉากกับหนึ่งในสองเส้นขนาน มันก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย:

ถ้า ก||ขและ ค⊥ก, ที่ ค⊥ข.

คุณสมบัติที่ห้าคือสัจพจน์ของเส้นขนาน:

5. ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด สามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

คำแนะนำ

ก่อนเริ่มการพิสูจน์ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเส้นอยู่ในระนาบเดียวกันและสามารถวาดได้ วิธีการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดคือวิธีการวัดด้วยไม้บรรทัด ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้ไม้บรรทัดวัดระยะห่างระหว่างเส้นตรงในหลายๆ แห่งให้ห่างกันมากที่สุด ถ้าระยะทางยังคงเท่าเดิม เส้นที่กำหนดจะขนานกัน แต่วิธีนี้ไม่แม่นยำพอดังนั้นจึงควรใช้วิธีอื่น

ลากเส้นที่สามเพื่อตัดเส้นขนานทั้งสองเส้น สร้างมุมด้านนอกสี่มุมและมุมด้านในทั้งสี่มุม พิจารณามุมภายใน ผู้ที่อยู่ในแนวขวางเรียกว่าการนอนขวาง ผู้ที่อยู่ด้านเดียวเรียกว่าด้านเดียว ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมทแยงด้านในทั้งสอง ถ้าเท่ากันเส้นจะขนานกัน หากมีข้อสงสัย ให้วัดมุมภายในด้านเดียวแล้วบวกค่าที่ได้ เส้นจะขนานกันถ้าผลรวมของมุมภายในด้านเดียวเท่ากับ 180º

หากคุณไม่มีไม้โปรแทรกเตอร์ ให้ใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 90º ใช้เพื่อสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นใดเส้นหนึ่ง หลังจากนั้นให้ตั้งฉากต่อไปในลักษณะที่ตัดกับอีกเส้นหนึ่ง ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกัน ตรวจสอบว่าเส้นตั้งฉากนี้ตัดกับมุมใด หากมุมนี้เท่ากับ90º เส้นจะขนานกัน

ในกรณีที่กำหนดเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ให้หาเส้นบอกแนวหรือเวกเตอร์ตั้งฉาก หากเวกเตอร์เหล่านี้เรียงชิดกันตามลำดับ เส้นนั้นจะขนานกัน นำสมการของเส้นมาอยู่ในรูปทั่วไปแล้วหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของแต่ละเส้น พิกัดของมันจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ A และ B ในกรณีที่อัตราส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ปกติเท่ากัน พวกมันจะเป็นเส้นตรงและเส้นตรงขนานกัน

ตัวอย่างเช่น เส้นตรงกำหนดโดยสมการ 4x-2y+1=0 และ x/1=(y-4)/2 สมการแรกเป็นรูปแบบทั่วไป ส่วนสมการที่สองเป็นแบบบัญญัติ นำสมการที่สองมาอยู่ในรูปทั่วไป ใช้กฎการแปลงสัดส่วนสำหรับสิ่งนี้ และคุณจะได้ 2x=y-4 หลังจากลดขนาดเป็นรูปแบบทั่วไป จะได้ 2x-y + 4 = 0 เนื่องจากสมการทั่วไปสำหรับเส้นตรงใดๆ เขียนไว้ว่า Ax+By+C=0 ดังนั้นสำหรับเส้นตรงแรก: A=4, B=2 และสำหรับเส้นตรงที่สอง A=2, B=1 สำหรับพิกัดแรกโดยตรงของเวกเตอร์ปกติ (4;2) และสำหรับพิกัดที่สอง - (2;1) ค้นหาอัตราส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ปกติ 4/2=2 และ 2/1=2 จำนวนเหล่านี้เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์นั้นเรียงกันเป็นเส้นตรง เนื่องจากเวกเตอร์เป็นเส้นตรง เส้นตรงจึงขนานกัน