ระดับแรก

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?

หากต้องการเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา สิ่งที่จำเป็นสำหรับปริญญา และวิธีใช้ความรู้ในชีวิตประจำวัน โปรดอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับแรก

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง. เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาดเมตรหนึ่งเมตรลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับดูว่าลูกบาศก์เมตรต่อเมตรจะวัดได้กี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ระดับที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” จะอ่านว่า “ถึงระดับ” และเขียนดังนี้:

กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?

A-ไพรเออรี่:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ? อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการ กฎก็สามารถนำไปใช้ได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ

ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย ขอให้เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

เราก็คูณตัวเลขด้วย เราก็ได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:

จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:

ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

สรุป:

I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!

มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดเรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:

ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:

ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่

ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ

นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า แน่นอนว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายความได้: .

ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองบันทึกที่แตกต่างกันที่มีจำนวนเท่ากัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นหาก:

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

เลขชี้กำลังแบบตรรกยะมีประโยชน์มากในการแปลงนิพจน์ด้วยราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข

...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:

ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

คำตอบ: .

2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

การกำหนดระดับ

ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:

• — ฐานระดับ;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:

สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติขององศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

A-ไพรเออรี่:

ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

Q.E.D.

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลผลิตแห่งอำนาจเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด: !

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? ?

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป สามารถกำหนดกฎง่าย ๆ ต่อไปนี้ได้:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:

ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนยกกำลัง 0 เหมือนเดิมคือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียงค่าที่แน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่ององศาให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

1. มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำว่า...

คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีในการสอบ!

การแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน สมบัติพื้นฐานของดีกรีซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ สามารถนำมาสรุปเป็นผลคูณของกำลังสามตัวขึ้นไปที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่ากัน

3.a-3 คือ a0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน ตอนนี้เรามาดูพวกเขาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงแล้วลองพิสูจน์ดู

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าเมื่อหารสองกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของพวกมันจะต้องถูกลบออก หลังจากกำหนดระดับของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึงคุณสมบัติของระดับนั้น

ที่นี่เราจะแสดงหลักฐานคุณสมบัติทั้งหมดขององศา และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างไรในการแก้ตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน am·an=am+n มักจะใช้ในรูปแบบ am+n=am·an เมื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ให้เรายกตัวอย่างเพื่อยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ก่อนที่จะนำเสนอหลักฐานของคุณสมบัตินี้ ให้เราหารือเกี่ยวกับความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในสูตร

คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

มีการแนะนำเงื่อนไข m>n เพื่อที่เราจะได้ไม่ไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน am−n·an=am และจากความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการหาร จะได้ว่า am−n คือผลหารของกำลัง am และ an สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของกำลังหารที่มีฐานเหมือนกัน เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เรามายกตัวอย่างด้วยตัวเลขเฉพาะ: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10

การบวกและการลบเอกนาม

ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณบ่งบอกว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวกด้วย เห็นได้ชัดว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ n ที่มี a=0 ระดับของ an จะเป็นศูนย์ อันที่จริง 0n=0·0·…·0=0 ตัวอย่างเช่น 03=0 และ 0762=0 มาดูฐานลบของดีกรีกัน เริ่มต้นด้วยกรณีที่เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ลองเขียนเป็น 2·m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ

ให้เราดำเนินการพิสูจน์ทรัพย์สินนี้ต่อไป ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0 ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของคุณสมบัติ ดังนั้น am−an>0 และ am>an ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ การพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่างไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะใช้คำจำกัดความขององศากับเลขชี้กำลังธรรมชาติและจำนวนเต็มตลอดจนคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยจำนวนจริง

ถ้า p=0 เราจะได้ (a0)q=1q=1 และ a0·q=a0=1 โดยที่ (a0)q=a0·q เมื่อใช้หลักการเดียวกัน คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มซึ่งเขียนในรูปของความเท่ากันได้ เงื่อนไข p 0 ในกรณีนี้จะเทียบเท่ากับเงื่อนไข m 0 ตามลำดับ

ในกรณีนี้ เงื่อนไข p>q จะสอดคล้องกับเงื่อนไข m1>m2 ซึ่งเป็นไปตามกฎการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญที่มีตัวส่วนเท่ากัน ความไม่เท่าเทียมกันในคุณสมบัติของรากสามารถเขียนใหม่ได้ตาม และ และคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะช่วยให้เราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้และตามลำดับ

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การคำนวณค่ากำลังเรียกว่าการกระทำของการยกกำลัง นั่นคือเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บให้ดำเนินการขั้นที่สามก่อนจากนั้นขั้นที่สอง (การคูณและการหาร) และสุดท้ายขั้นแรก (การบวกและการลบ) การดำเนินการที่มีราก

การขยายแนวคิดเรื่องปริญญา จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณากำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น แต่การดำเนินการด้วยเลขยกกำลังและรากก็สามารถนำไปสู่เลขชี้กำลังที่เป็นลบ ศูนย์ และเศษส่วนได้เช่นกัน เลขชี้กำลังทั้งหมดนี้จำเป็นต้องมีคำจำกัดความเพิ่มเติม ถ้าเราต้องการให้สูตร a m: a n=a m - n ถูกต้องสำหรับ m = n เราจำเป็นต้องมีคำจำกัดความของระดับศูนย์

การคูณเลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเท่ากัน ต่อไป เราจะสร้างทฤษฎีบทเรื่องการหารยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน แก้ปัญหาเชิงอธิบาย และพิสูจน์ทฤษฎีบทในกรณีทั่วไป ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความของพลังเชิงลบกันดีกว่า คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยการแทนที่สูตรจากคำจำกัดความไปเป็นคุณสมบัติที่เหลือ ในการแก้ปัญหานี้ โปรดจำไว้ว่า: 49 = 7^2 และ 147 = 7^2 * 3^1 หากตอนนี้คุณใช้คุณสมบัติของกำลังอย่างระมัดระวัง (เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง ตัวยกกำลัง...

นั่นคือ จริง ๆ แล้วเลขชี้กำลังถูกลบออก แต่เนื่องจากเลขชี้กำลังมีเลขชี้กำลังเป็นลบในตัวส่วน เมื่อลบด้วยลบจะได้บวก และเลขยกกำลังก็บวกกัน โปรดจำไว้ว่าสิ่งที่เรียกว่า monomial และการดำเนินการใดที่สามารถทำได้ด้วย monomial โปรดจำไว้ว่าหากต้องการลด monomial ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน คุณต้องได้สัมประสิทธิ์ตัวเลขก่อนโดยการคูณตัวประกอบตัวเลขทั้งหมด จากนั้นจึงคูณกำลังที่สอดคล้องกัน

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

นั่นคือเราต้องเรียนรู้ที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่าง monomials ที่เหมือนกันและไม่เหมือนกัน ให้เราสรุป: monomials ที่คล้ายกันมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน และ monomials ดังกล่าวสามารถเพิ่มและลบได้

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ. หากคุณชอบโครงการของเราและพร้อมที่จะช่วยเหลือหรือมีส่วนร่วม โปรดส่งต่อข้อมูลเกี่ยวกับโครงการให้กับเพื่อนและเพื่อนร่วมงานของคุณ ในวิดีโอที่แล้ว มีการกล่าวว่าในตัวอย่างที่มี monomials สามารถคูณได้เท่านั้น: “ลองหาความแตกต่างระหว่างสำนวนเหล่านี้กับสำนวนก่อนหน้ากัน

แนวคิดเรื่อง monomial เป็นหน่วยทางคณิตศาสตร์หมายถึงการคูณตัวเลขและตัวแปรเท่านั้น หากมีการดำเนินการอื่น นิพจน์จะไม่เป็น monomial อีกต่อไป แต่ในขณะเดียวกัน ก็สามารถบวก ลบ หารกันเองได้... ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎของตัวเอง ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติพื้นฐาน

โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือบริเวณเดียวกัน หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้! เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

นั่นคือ คุณสมบัติของระดับธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ที่มีปัจจัย k เขียนเป็น (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn ไม่มีกฎเกณฑ์เกี่ยวกับการบวกและการลบเลขฐานเดียวกัน ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน 4. ลดเลขยกกำลังของ 2a4/5a3 และ 2/a4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม

บทความเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน

องศามีคุณสมบัติสามประการที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเหมือนกัน นี้

งาน ผลรวม

ส่วนตัวกำลังสองที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับนิพจน์ที่มีฐานเท่ากันและมีเลขชี้กำลังเป็น ความแตกต่างตัวชี้วัดปัจจัยเดิม

การยกจำนวนให้เป็นกำลังเท่ากับนิพจน์ที่ฐานเป็นจำนวนเดียวกันและมีเลขชี้กำลังเป็น งานสององศา

ระวัง! กฎเกณฑ์เกี่ยวกับ การบวกและการลบองศาที่มีฐานเดียวกัน ไม่ได้อยู่.

ให้เราเขียนกฎคุณสมบัติเหล่านี้ในรูปแบบของสูตร:

a m × a n = a m+n

a m ÷ a n = a m–n

(ม) n = หนึ่งนาที

ตอนนี้เรามาดูพวกเขาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงแล้วลองพิสูจน์ดู

5 2 × 5 3 = 5 5 - ที่นี่เราใช้กฎ ทีนี้ลองจินตนาการว่าเราจะแก้ตัวอย่างนี้อย่างไรถ้าเราไม่รู้กฎ:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - ห้ากำลังสองคือห้าคูณห้า และกำลังสามเป็นผลคูณของสามห้า ผลลัพธ์คือผลคูณของห้าห้า แต่นี่คืออย่างอื่นที่ไม่ใช่ห้ายกกำลังห้า: 5 5

3 9 ۞ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 ลองเขียนการหารเป็นเศษส่วน:

สามารถย่อให้สั้นลงได้:

เป็นผลให้เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าเมื่อหารสองกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของพวกมันจะต้องถูกลบออก

อย่างไรก็ตาม เมื่อหาร ตัวหารไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ (เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) นอกจากนี้ เนื่องจากเราพิจารณาองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น เราจึงไม่สามารถได้รับตัวเลขที่น้อยกว่า 1 เป็นผลจากการลบเลขชี้กำลัง ดังนั้นจึงมีข้อจำกัดในสูตร a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 และ m > n.

มาดูคุณสมบัติที่สามกันดีกว่า:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8

มาเขียนในรูปแบบขยาย:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

คุณสามารถสรุปได้ด้วยการให้เหตุผลอย่างมีเหตุผล คุณต้องคูณสองกำลังสองสี่ครั้ง แต่ในแต่ละช่องจะมีสองช่อง ซึ่งหมายความว่าจะมีทั้งหมดแปดช่อง

scienceland.info

คุณสมบัติของปริญญา

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราจะเข้าใจ คุณสมบัติขององศาโดยมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติและเป็นศูนย์ กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะและคุณสมบัติของพวกมันจะพูดคุยกันในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

กำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นในตัวอย่างที่มีกำลัง

คุณสมบัติหมายเลข 1
ผลิตผลแห่งอำนาจ

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขยกกำลังจะถูกบวกเข้าด้วยกัน

a m · a n = a m + n โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังใช้กับผลคูณของพลังตั้งแต่สามตัวขึ้นไปด้วย

ลดความซับซ้อนของนิพจน์
ข 2 ข 3 ข 4 ข 5 = ข 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ข 15

นำเสนอเป็นปริญญา
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

นำเสนอเป็นปริญญา
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุเรากำลังพูดถึงเฉพาะการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น. มันใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 ได้ นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

คุณสมบัติหมายเลข 2
องศาบางส่วน

เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

เขียนผลหารเป็นกำลัง
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

คำนวณ.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ตัวอย่าง. แก้สมการ เราใช้คุณสมบัติของกำลังหาร
3 8: เสื้อ = 3 4

คำตอบ: เสื้อ = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 จะทำให้นิพจน์และคำนวณง่ายขึ้นได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 5ม. + 6 + ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 6ม. + 8 − 4ม. − 3 = 4 2ม. + 5

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

2 11 − 5 = 2 6 = 64

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 เราพูดถึงเพียงการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณไม่สามารถแทนที่ผลต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 ได้ เรื่องนี้เข้าใจได้ถ้าคุณคำนวณ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4

คุณสมบัติหมายเลข 3
การยกระดับไปสู่อำนาจ

เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ฐานของดีกรีจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

(a n) m = a n · m โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นขององศาก็ถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับเช่นกัน

(a n · b n)= (a · b) n

นั่นคือ ในการคูณเลขยกกำลังด้วยเลขยกกำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานได้ แต่เลขยกกำลังไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง. คำนวณ.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

ตัวอย่าง. คำนวณ.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราแนะนำให้คุณทำดังต่อไปนี้

เช่น 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ตัวอย่างการเพิ่มทศนิยมให้เป็นกำลัง

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

คุณสมบัติ 5
กำลังของผลหาร (เศษส่วน)

หากต้องการเพิ่มผลหารยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกกันเป็นกำลังนี้ และหารผลลัพธ์แรกด้วยวินาที

(a: b) n = a n: bn โดยที่ “a”, “b” คือจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

ตัวอย่าง. นำเสนอนิพจน์เป็นผลหารของกำลัง.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

เราขอเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงหัวข้อการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังโดยละเอียดในหน้าถัดไป

การคูณและหารตัวเลขด้วยยกกำลัง

หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเฉพาะให้เป็นกำลัง คุณสามารถใช้ตารางยกกำลังของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 2 ถึง 25 ในพีชคณิตได้ ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า คุณสมบัติขององศา.

เลขชี้กำลังเปิดความเป็นไปได้ที่ยิ่งใหญ่ พวกมันช่วยให้เราแปลงการคูณเป็นการบวก และการบวกนั้นง่ายกว่าการคูณมาก

ตัวอย่างเช่น เราต้องคูณ 16 ด้วย 64 ผลคูณของการคูณตัวเลขสองตัวนี้คือ 1024 แต่ 16 คือ 4x4 และ 64 คือ 4x4x4 นั่นคือ 16 x 64 = 4x4x4x4x4 ซึ่งเท่ากับ 1,024 เช่นกัน

เลข 16 ยังสามารถแสดงเป็น 2x2x2x2 และ 64 แสดงเป็น 2x2x2x2x2x2 และถ้าเราคูณ เราจะได้ 1024 อีกครั้ง

ตอนนี้เราใช้กฎในการยกจำนวนให้เป็นกำลัง 16=4 2 หรือ 2 4, 64=4 3 หรือ 2 6 ในเวลาเดียวกัน 1024=6 4 =4 5 หรือ 2 10

ดังนั้น ปัญหาของเราจึงสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้: 4 2 x4 3 =4 5 หรือ 2 4 x2 6 =2 10 และทุกครั้งที่เราได้ 1,024

เราสามารถแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันได้จำนวนหนึ่งและพบว่าการคูณตัวเลขด้วยกำลังลดลง การเพิ่มเลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลังแน่นอน โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของตัวประกอบจะเท่ากัน

ดังนั้น หากไม่คูณ เราก็บอกได้ทันทีว่า 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20

กฎนี้ยังเป็นจริงเมื่อหารตัวเลขด้วยกำลัง แต่ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล. ดังนั้น 2 5:2 3 =2 2 ซึ่งในจำนวนสามัญจะเท่ากับ 32:8 = 4 นั่นคือ 2 2 สรุป:

a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม

เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าเป็นเช่นนี้ การคูณและหารตัวเลขด้วยกำลังไม่สะดวกนัก เพราะก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง การแสดงตัวเลข 8 และ 16 นั่นคือ 2 3 และ 2 4 ในรูปแบบนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลข 7 และ 17? หรือจะทำอย่างไรในกรณีที่สามารถแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ แต่ฐานของนิพจน์เลขชี้กำลังแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น 8x9 คือ 2 3 x 3 2 ซึ่งในกรณีนี้เราไม่สามารถหาผลรวมเลขยกกำลังได้ ทั้ง 2 5 และ 3 5 ไม่ใช่คำตอบ และคำตอบก็ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาระหว่างตัวเลขสองตัวนี้

ถ้าอย่างนั้นมันคุ้มค่าที่จะกังวลกับวิธีนี้เลยเหรอ? คุ้มค่าแน่นอน ให้ประโยชน์มหาศาล โดยเฉพาะการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลานาน

จนถึงตอนนี้เราเชื่อว่าเลขชี้กำลังคือจำนวนตัวประกอบที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ ค่าต่ำสุดของเลขชี้กำลังคือ 2 อย่างไรก็ตาม ถ้าเราดำเนินการหารตัวเลขหรือลบเลขยกกำลัง เราก็จะได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 2 ได้เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความแบบเก่าไม่เหมาะกับเราอีกต่อไป อ่านเพิ่มเติมในบทความถัดไป

การบวก ลบ คูณ หารยกกำลัง

การบวกและการลบกำลัง

เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4

ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เหมือนกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2

เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a

แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสองของ a

ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6

การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6

ทวีคูณพลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้ เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) ด้วยกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

โดยที่ 5 คือกำลังของผลการคูณซึ่งเท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของกำลังของพจน์

ดังนั้น a n .a m = a m+n

สำหรับ n , a ถือเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;

และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง

ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa

2. y -n .y -m = y -n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

หากคุณคูณผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวที่ยกขึ้นมา สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8

การแบ่งองศา

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 เท่ากับ 3

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac $. แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว

เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac = a^n$

หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $

ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขยกกำลังลงด้วย $\frac $ คำตอบ: $\frac $

2. ลดเลขชี้กำลังลง $\frac$ คำตอบ: $\frac$ หรือ 2x

3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน ระดับเฉลี่ย.

คุณต้องการทดสอบความแข็งแกร่งของคุณและดูว่าคุณพร้อมแค่ไหนสำหรับการสอบ Unified State หรือ Unified State?

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

สม่ำเสมอปริญญา – หมายเลข เชิงบวก.

จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกปริญญา – หมายเลข เชิงลบ.

จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก

ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

กำลังของตัวเลขคืออะไร?

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาแก้ไขปัญหาดังกล่าวในหัว - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง. เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนช่องสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาดเมตรหนึ่งเมตรลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับดูว่าลูกบาศก์เมตรต่อเมตรจะวัดได้กี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

ข้อกำหนดและแนวคิด

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ระดับที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” จะอ่านว่า “ถึงระดับ” และเขียนดังนี้:

“กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ”

คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

ตัวเลขธรรมชาติ คือ ตัวเลขที่ใช้ในการนับ กล่าวคือ เป็นต้น

จำนวนเต็ม – จำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนธรรมชาติที่มีเครื่องหมายลบ และเลข 0

จำนวนเศษส่วนถือเป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะเป็นทศนิยมอนันต์

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

ให้เรานิยามแนวคิดของดีกรี ซึ่งเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การยกจำนวนขึ้นเป็นกำลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

บทความเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน

องศามีคุณสมบัติสามประการที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเหมือนกัน นี้

• งาน ผลรวม
• ส่วนตัวกำลังสองที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับนิพจน์ที่มีฐานเท่ากันและมีเลขชี้กำลังเป็น ความแตกต่างตัวชี้วัดปัจจัยเดิม
• การยกจำนวนให้เป็นกำลังเท่ากับนิพจน์ที่ฐานเป็นจำนวนเดียวกันและมีเลขชี้กำลังเป็น งานสององศา

ระวัง! กฎเกณฑ์เกี่ยวกับ การบวกและการลบองศาที่มีฐานเดียวกัน ไม่ได้อยู่.

ให้เราเขียนกฎคุณสมบัติเหล่านี้ในรูปแบบของสูตร:

• เช้า ? n = a m+n
• เช้า ? n = a m–n
• (ม) n = หนึ่งนาที

ตอนนี้เรามาดูพวกเขาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงแล้วลองพิสูจน์ดู

5 2 ? 5 3 = 5 5 - ที่นี่เราใช้กฎ ทีนี้ลองจินตนาการว่าเราจะแก้ตัวอย่างนี้อย่างไรถ้าเราไม่รู้กฎ:

5 2 ? 5 3 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5 5 - ห้ากำลังสองคือห้าคูณห้า และยกกำลังสามเป็นผลคูณของสามห้า ผลลัพธ์คือผลคูณของห้าห้า แต่นี่คืออย่างอื่นที่ไม่ใช่ห้ายกกำลังห้า: 5 5

3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4. ลองเขียนการหารเป็นเศษส่วน:

สามารถย่อให้สั้นลงได้:

เป็นผลให้เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าเมื่อหารสองกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของพวกมันจะต้องถูกลบออก

อย่างไรก็ตาม เมื่อหาร ตัวหารไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ (เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) นอกจากนี้ เนื่องจากเราพิจารณาองศาด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น เราจึงไม่สามารถได้รับตัวเลขที่น้อยกว่า 1 เป็นผลจากการลบเลขชี้กำลัง ดังนั้น สูตร a m? a n = a m–n มีข้อจำกัด: a ? 0 และ ม. > n

มาดูคุณสมบัติที่สามกันดีกว่า:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

มาเขียนในรูปแบบขยาย:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

คุณสามารถสรุปได้ด้วยการให้เหตุผลอย่างมีเหตุผล คุณต้องคูณสองกำลังสองสี่ครั้ง แต่ในแต่ละช่องจะมีสองช่อง ซึ่งหมายความว่าจะมีทั้งหมดแปดช่อง

scienceland.info

กฎสำหรับการบวกและการลบ

1. การเปลี่ยนตำแหน่งของข้อกำหนดไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง (สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก)

13+25=38 เขียนได้เป็น: 25+13=38

2. ผลลัพธ์ของการบวกจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคำที่อยู่ติดกันถูกแทนที่ด้วยผลรวม (คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวก)

10+13+3+5=31 เขียนได้เป็น: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 เป็นต้น

3. หน่วยรวมกันเป็นหนึ่ง หลักสิบรวมกันเป็นสิบ ฯลฯ

34+11=45 (3 สิบบวก 1 อีกสิบ; 4 หน่วยบวก 1 หน่วย)

4. หน่วยถูกลบออกจากหลักสิบจากหลักสิบ ฯลฯ

53-12=41 (3 หน่วย ลบ 2 หน่วย; 5 สิบ ลบ 1 สิบ)

หมายเหตุ: 10 อันทำให้หนึ่งสิบ สิ่งนี้ต้องจำไว้เมื่อลบเพราะว่า หากจำนวนหน่วยของเครื่องหมายย่อยมากกว่าจำนวนหน่วยย่อย เราก็สามารถ “ยืม” หนึ่งสิบจากเครื่องหมายย่อยได้

41-12 = 29 (ในการที่จะลบ 1 จาก 2 เราต้องยืม 1 จากสิบก่อน จะได้ 11-2 = 9 จำไว้ว่าตัวที่ลดเหลือ 1 น้อยกว่า 10 จึงเหลือ 3 สิบ และจาก ลบ 1 สิบออกแล้ว ตอบ 29)

5. ถ้าคุณลบหนึ่งในนั้นออกจากผลรวมของสองเทอม คุณจะได้เทอมที่สอง

ซึ่งหมายความว่าสามารถตรวจสอบการบวกได้โดยใช้การลบ

หากต้องการตรวจสอบ ให้ลบพจน์ใดพจน์หนึ่งออกจากผลรวม: 49-7=42 หรือ 49-42=7

หากเป็นผลมาจากการลบคุณไม่ได้รับข้อกำหนดข้อใดข้อหนึ่งแสดงว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในการบวกของคุณ

6. หากคุณเพิ่มส่วนย่อยเข้ากับส่วนต่าง คุณจะได้ส่วนย่อย

ซึ่งหมายความว่าสามารถตรวจสอบการลบได้ด้วยการบวก

หากต้องการตรวจสอบ ให้เพิ่มส่วนย่อยเข้ากับส่วนต่าง: 19+50=69

หากคุณไม่ได้รับการลบตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น แสดงว่าการลบของคุณเกิดข้อผิดพลาด

การบวกและการลบจำนวนตรรกยะ

บทเรียนนี้ครอบคลุมถึงการบวกและการลบจำนวนตรรกยะ หัวข้อนี้จัดว่าซับซ้อน ที่นี่จำเป็นต้องใช้คลังแสงทั้งหมดของความรู้ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้

กฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนเต็มยังใช้กับจำนวนตรรกยะด้วย จำไว้ว่าจำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ ก –นี่คือตัวเศษของเศษส่วน ขเป็นตัวส่วนของเศษส่วน นอกจากนี้ ขไม่ควรจะเป็นศูนย์

ในบทเรียนนี้ เราจะเรียกเศษส่วนและจำนวนคละมากขึ้นด้วยวลีทั่วไปเพียงวลีเดียว - สรุปตัวเลข.

การนำทางบทเรียน:

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าเครื่องหมายบวกที่ระบุในนิพจน์นั้นเป็นเครื่องหมายการดำเนินการและไม่ได้ใช้กับเศษส่วน เศษส่วนนี้มีเครื่องหมายบวกของตัวเองซึ่งมองไม่เห็นเนื่องจากไม่ได้เขียนไว้ แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:

นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ในการเพิ่มจำนวนตรรกยะด้วยเครื่องหมายต่างๆ คุณต้องลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และนำหน้าคำตอบที่ได้ด้วยเครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่า และเพื่อที่จะเข้าใจว่าโมดูลัสใดมากกว่าและโมดูลใดเล็กกว่า คุณต้องสามารถเปรียบเทียบโมดูลัสของเศษส่วนเหล่านี้ได้ก่อนที่จะคำนวณ:

โมดูลัสของจำนวนตรรกยะมีค่ามากกว่าโมดูลัสของจำนวนตรรกยะ ดังนั้นเราจึงลบออกจาก เราได้รับคำตอบ จากนั้นเมื่อลดเศษส่วนนี้ลง 2 เราก็ได้คำตอบสุดท้าย

หากต้องการ คุณสามารถข้ามการดำเนินการพื้นฐานบางอย่าง เช่น การใส่ตัวเลขในวงเล็บและการเพิ่มโมดูลได้ ตัวอย่างนี้สามารถเขียนโดยย่อ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าลบที่ให้ไว้ในนิพจน์เป็นสัญญาณของการดำเนินการและไม่ได้ใช้กับเศษส่วน

เศษส่วนในกรณีนี้คือจำนวนตรรกยะบวกที่มีเครื่องหมายบวกซึ่งมองไม่เห็น แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก. เราขอเตือนคุณว่าในการดำเนินการนี้ คุณต้องเพิ่มจำนวนตรงข้ามที่จุดลบของเครื่องหมายย่อย:

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ หากต้องการบวกจำนวนตรรกยะลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์

ในนิพจน์นี้ เศษส่วนจะมีตัวส่วนต่างกัน เพื่อให้งานของเราง่ายขึ้น มาลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน (ร่วม) เราจะไม่พูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียด หากคุณประสบปัญหา อย่าลืมกลับไปที่บทเรียนเรื่องเศษส่วนและทำซ้ำอีกครั้ง

หลังจากลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่าและใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่าไว้หน้าคำตอบที่ได้:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์

เราได้ผลรวมของสามเทอม. ขั้นแรก มาหาค่าของนิพจน์ก่อน จากนั้นจึงบวกเข้ากับคำตอบที่ได้

การกระทำครั้งแรก:

การกระทำที่สอง:

ดังนั้นค่าของนิพจน์จึงเท่ากับ

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนได้สั้นๆ

ตัวอย่างที่ 5. ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองใส่ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะขยายจำนวนคละชั่วคราว

ลองคำนวณส่วนจำนวนเต็ม:

ในนิพจน์หลัก แทนที่จะเป็น มาเขียนหน่วยผลลัพธ์กัน:

มายุบนิพจน์ผลลัพธ์กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ละเว้นวงเล็บแล้วเขียนหน่วยและเศษส่วนเข้าด้วยกัน

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนสั้นๆ ได้:

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน. มาเขียนส่วนที่เหลือใหม่ดังนี้:

ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมาย:

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มารวมโมดูลของตัวเลขเหล่านี้เข้าด้วยกันแล้วใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:

ดังนั้น ค่าของนิพจน์คือ

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนสั้นๆ ได้:

ตัวอย่างที่ 7ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองเขียนจำนวนคละในรูปแบบขยาย. ลองเขียนส่วนที่เหลือใหม่ตามที่เป็นอยู่:

เราใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมาย

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

ลองคำนวณส่วนจำนวนเต็ม:

ในนิพจน์หลักแทนที่จะเขียนตัวเลขผลลัพธ์7

นิพจน์เป็นรูปแบบขยายของการเขียนจำนวนคละ คุณสามารถเขียนคำตอบได้ทันทีโดยจดตัวเลข 7 และเศษส่วนเข้าด้วยกัน (ซ่อนเศษส่วนนี้ไว้ด้วย)

ดังนั้นค่าของพจน์คือ

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนให้สั้นลงมาก หากเราข้ามรายละเอียดบางอย่างไปก็สามารถเขียนได้ดังนี้:

ตัวอย่างที่ 8ค้นหาค่าของนิพจน์

นิพจน์นี้สามารถคำนวณได้สองวิธี มาดูกันทีละอัน

วิธีแรก.ส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนของนิพจน์จะได้รับการประเมินแยกกัน

ขั้นแรก ให้เขียนจำนวนคละในรูปแบบขยาย:

ลองใส่ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมาย:

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

เราได้ผลรวมของเทอมหลายเทอม ตามกฎการบวกของการบวกรวมกัน หากนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์หลายคำ ผลรวมจะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำ สิ่งนี้จะทำให้เราสามารถจัดกลุ่มส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนแยกกัน:

ลองคำนวณส่วนจำนวนเต็ม:

ในนิพจน์หลักแทนที่จะเขียนตัวเลขผลลัพธ์3

มาคำนวณเศษส่วนกัน:

ในนิพจน์หลัก แทนที่จะเขียนผลลัพธ์เป็นจำนวนคละ

ในการประเมินนิพจน์ผลลัพธ์ คุณต้องขยายจำนวนคละชั่วคราว จากนั้นใส่วงเล็บล้อมรอบแต่ละตัวเลข และแทนที่การลบด้วยการบวก ต้องทำอย่างระมัดระวังเพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับสัญญาณของข้อกำหนด

หลังจากเปลี่ยนนิพจน์แล้ว เราก็ได้นิพจน์ใหม่ที่คำนวณได้ง่าย นิพจน์ที่คล้ายกันอยู่ในตัวอย่างที่ 7 ให้เราระลึกว่าเราเพิ่มส่วนจำนวนเต็มแยกจากกัน และปล่อยส่วนที่เป็นเศษส่วนไว้ดังนี้:

ดังนั้นค่าของพจน์คือ

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนได้สั้นๆ

วิธีแก้ปัญหาแบบสั้นข้ามขั้นตอนการใส่ตัวเลขในวงเล็บ แทนที่การลบด้วยการบวก และการเพิ่มโมดูล หากคุณอยู่ในโรงเรียนหรือสถาบันการศึกษาอื่น คุณจะต้องข้ามการดำเนินการเบื้องต้นเหล่านี้เพื่อประหยัดเวลาและพื้นที่ วิธีแก้ปัญหาแบบสั้นข้างต้นสามารถเขียนให้สั้นลงได้ มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

ดังนั้นเมื่อคุณอยู่ที่โรงเรียนหรือสถาบันการศึกษาอื่น ๆ ให้เตรียมพร้อมสำหรับความจริงที่ว่าจะต้องกระทำบางอย่างในใจ

วิธีที่สอง.นิพจน์จำนวนผสมจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนเกินและคำนวณเหมือนกับเศษส่วนธรรมดา

ให้เราใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

ทีนี้มาแปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน:

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของพวกเขาและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:

เราได้รับคำตอบเหมือนกับครั้งที่แล้ว

วิธีแก้ไขโดยละเอียดสำหรับวิธีที่สองมีดังนี้:

ตัวอย่างที่ 9ค้นหานิพจน์นิพจน์

วิธีแรก.ลองเพิ่มส่วนทั้งหมดและเศษส่วนแยกกัน

คราวนี้เราจะพยายามข้ามการกระทำดั้งเดิมบางอย่าง เช่น การเขียนนิพจน์ในรูปแบบขยาย การใส่ตัวเลขในวงเล็บ การแทนที่การลบด้วยการบวก และการเพิ่มโมดูล:

โปรดทราบว่าเศษส่วนได้ถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว

วิธีที่สอง.มาแปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วคำนวณเหมือนเศษส่วนธรรมดากัน

ตัวอย่างที่ 10ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

นิพจน์ผลลัพธ์ไม่มีตัวเลขติดลบซึ่งเป็นสาเหตุหลักของข้อผิดพลาด เนื่องจากไม่มีจำนวนลบ เราจึงสามารถลบเครื่องหมายบวกที่อยู่หน้าเครื่องหมายลบและลบวงเล็บออกได้ด้วย จากนั้นเราจะได้นิพจน์ที่ง่ายที่สุดซึ่งคำนวณได้ง่าย:

ในตัวอย่างนี้ ส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนได้รับการคำนวณแยกกัน

ตัวอย่างที่ 11ค้นหาค่าของนิพจน์

นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้เราลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่าและใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่าไว้หน้าตัวเลขผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 12ค้นหาค่าของนิพจน์

นิพจน์ประกอบด้วยพารามิเตอร์หลายตัว ตามลำดับการกระทำ คุณต้องดำเนินการในวงเล็บก่อน

ขั้นแรก เราคำนวณนิพจน์ จากนั้นจึงบวกคำตอบที่ได้

การกระทำครั้งแรก:

การกระทำที่สอง:

การกระทำที่สาม:

คำตอบ:ค่านิพจน์ เท่ากับ

ตัวอย่างที่ 13ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

หาได้จากการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ลองลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่าแล้วใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลใหญ่กว่าไว้หน้าคำตอบ แต่เรากำลังเผชิญกับตัวเลขคละ เพื่อทำความเข้าใจว่าโมดูลัสใดมากกว่าและโมดูลใดเล็กกว่า คุณต้องเปรียบเทียบโมดูลัสของจำนวนคละเหล่านี้ และเพื่อเปรียบเทียบโมดูลัสของจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วเปรียบเทียบเหมือนเศษส่วนธรรมดา

รูปต่อไปนี้แสดงทุกขั้นตอนของการเปรียบเทียบโมดูลัสของจำนวนคละ

เมื่อพบว่าโมดูลใดใหญ่กว่าและโมดูลใดเล็กกว่า เราสามารถคำนวณตัวอย่างของเราต่อไปได้:

ดังนั้นความหมายของสำนวนนี้ เท่ากับ

ลองดูการบวกและการลบเศษส่วนทศนิยมซึ่งเป็นของจำนวนตรรกยะด้วยและสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ

ตัวอย่างที่ 14ค้นหาค่าของนิพจน์?3.2 + 4.3

ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าเครื่องหมายบวกที่ระบุในนิพจน์เป็นเครื่องหมายการดำเนินการและไม่ได้ใช้กับเศษส่วนทศนิยม 4.3 เศษส่วนทศนิยมนี้มีเครื่องหมายบวกของตัวเอง ซึ่งมองไม่เห็นเนื่องจากไม่ได้เขียนลงไป แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:

นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ในการเพิ่มจำนวนตรรกยะด้วยเครื่องหมายต่างๆ คุณต้องลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และนำหน้าคำตอบที่ได้ด้วยเครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่า และเพื่อที่จะเข้าใจว่าโมดูลใดใหญ่กว่าและโมดูลใดเล็กกว่า คุณต้องสามารถเปรียบเทียบโมดูลของเศษส่วนทศนิยมเหล่านี้ก่อนคำนวณ:

โมดูลัสของเลข 4.3 มากกว่าโมดูลัสของเลข ?3.2 ดังนั้นเราจึงลบ 3.2 ออกจาก 4.3 เราได้รับคำตอบ 1.1. คำตอบคือค่าบวก เนื่องจากคำตอบต้องมีเครื่องหมายของโมดูลที่ใหญ่กว่า นั่นคือโมดูล |+4,3|

ดังนั้น ค่าของนิพจน์?3.2 + (+4.3) คือ 1.1

ตัวอย่างที่ 15ค้นหาค่าของนิพจน์ 3.5 + (?8.3)

นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้ลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่าไว้หน้าคำตอบ

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

ดังนั้น ค่าของนิพจน์ 3.5 + (?8.3) จึงเท่ากับ?4.8

ตัวอย่างนี้สามารถเขียนโดยย่อ:

ตัวอย่างที่ 16ค้นหาค่าของนิพจน์?7,2 + (?3,11)

นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะลบ หากต้องการบวกจำนวนตรรกยะลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้ คุณสามารถข้ามรายการด้วยโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

ดังนั้น ค่าของนิพจน์?7.2 + (?3.11) เท่ากับ?10.31

ตัวอย่างนี้สามารถเขียนโดยย่อ:

ตัวอย่างที่ 17ค้นหาค่าของนิพจน์?0.48 + (?2.7)

นี่คือการบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของพวกเขาและใส่เครื่องหมายลบหน้าคำตอบที่ได้ คุณสามารถข้ามรายการด้วยโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

ตัวอย่างที่ 18ค้นหาค่าของนิพจน์?4,9 ? 5.9

ลองใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน เราคำนึงว่าลบที่ระบุในนิพจน์เป็นสัญญาณของการดำเนินการและไม่ได้ใช้กับเศษส่วนทศนิยม 5.9 เศษส่วนทศนิยมนี้มีเครื่องหมายบวกของตัวเอง ซึ่งมองไม่เห็นเนื่องจากไม่ได้เขียนลงไป แต่เราจะเขียนไว้เพื่อความชัดเจน:

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ เพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบหน้าคำตอบที่ได้ คุณสามารถข้ามรายการด้วยโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

ดังนั้น ค่าของนิพจน์คือ ?4.9 ? 5.9 เท่ากับ?10.8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

ตัวอย่างที่ 19ค้นหาค่าของนิพจน์ 7? 9.3

ลองใส่ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ลองลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่าแล้วใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลใหญ่กว่าไว้หน้าคำตอบ คุณสามารถข้ามรายการด้วยโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

ดังนั้นค่าของนิพจน์ 7 ? 9.3 เท่ากับ?2.3

วิธีแก้ไขโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างนี้เขียนไว้ดังนี้:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ จะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 20ค้นหาค่าของนิพจน์?0.25 ? (?1,2)

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่าและใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่าไว้หน้าคำตอบ:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

วิธีแก้ไขโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างนี้เขียนไว้ดังนี้:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ จะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 21ค้นหาค่าของนิพจน์?3.5 + (4.1 ? 7.1)

ก่อนอื่น เรามาดำเนินการในวงเล็บแล้วบวกคำตอบที่ได้ด้วยตัวเลข?3.5 เราจะข้ามรายการที่มีโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ

การกระทำครั้งแรก:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

การกระทำที่สอง:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

คำตอบ:ค่าของนิพจน์?3.5 + (4.1 ? 7.1) เท่ากับ?6.5

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

ตัวอย่างที่ 22ค้นหาค่าของนิพจน์ (3.5 ? 2.9)? (3.7? 9.1)

เรามาดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นลบตัวเลขที่ได้รับจากการดำเนินการในวงเล็บปีกกาที่สองจากจำนวนที่ได้รับจากการดำเนินการในวงเล็บแรก เราจะข้ามรายการที่มีโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ

การกระทำครั้งแรก:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

การกระทำที่สอง:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

องก์ที่สาม

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

คำตอบ:ค่าของนิพจน์ (3.5 ? 2.9) ? (3.7 ? 9.1) เท่ากับ 6

วิธีแก้ไขสั้นๆ สำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

ตัวอย่างที่ 23ค้นหาค่าของนิพจน์?3.8 + 17.15 ? 6.2? 6.15

ให้เราใส่จำนวนตรรกยะแต่ละตัวไว้ในวงเล็บพร้อมกับเครื่องหมายของมัน

แทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้

นิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์หลายคำ ตามกฎการบวกของการบวกรวมกัน หากนิพจน์ประกอบด้วยพจน์หลายพจน์ ผลรวมจะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเพิ่มข้อกำหนดในลำดับใดก็ได้

อย่าสร้างวงล้อขึ้นมาใหม่ แต่รวมคำศัพท์ทั้งหมดจากซ้ายไปขวาตามลำดับที่ปรากฏ:

การกระทำครั้งแรก:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

การกระทำที่สอง:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

การกระทำที่สาม:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

คำตอบ:ค่าของนิพจน์?3.8 + 17.15 ? 6.2? 6.15 เท่ากับ 1

วิธีแก้ไขสั้นๆ สำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

วิธีแก้ปัญหาสั้นๆ จะสร้างปัญหาและความสับสนน้อยลง ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความคุ้นเคย

ตัวอย่างที่ 24ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแปลงเศษส่วนทศนิยม?1.8 เป็นจำนวนคละกัน เราจะเขียนส่วนที่เหลือใหม่ตามที่เป็นอยู่ หากคุณประสบปัญหาในการแปลงทศนิยมให้เป็นจำนวนคละ อย่าลืมทบทวนบทเรียนเรื่องทศนิยม

ตัวอย่างที่ 25ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก. ในเวลาเดียวกัน ลองแปลงเศษส่วนทศนิยม (?4,4) เป็นเศษส่วนเกินกัน

ไม่มีจำนวนลบในนิพจน์ผลลัพธ์ และเนื่องจากไม่มีจำนวนลบ เราจึงสามารถลบเครื่องหมายบวกหน้าเลขตัวที่สองออกและไม่ต้องใส่วงเล็บก็ได้ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ง่ายๆ สำหรับการบวก ซึ่งสามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างที่ 26ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน และเศษส่วนทศนิยม?0.85 เป็นเศษส่วนร่วม เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะลบ มาเพิ่มโมดูลของพวกเขาและใส่เครื่องหมายลบหน้าคำตอบที่ได้ คุณสามารถข้ามรายการด้วยโมดูลต่างๆ เพื่อไม่ให้นิพจน์เกะกะ:

ตัวอย่างที่ 27ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแปลงเศษส่วนทั้งสองให้เป็นเศษส่วนเกินกัน หากต้องการแปลงทศนิยม 2.05 เป็นเศษส่วนเกิน คุณสามารถแปลงเป็นจำนวนคละก่อนแล้วจึงแปลงเป็นเศษส่วนเกิน:

หลังจากแปลงเศษส่วนทั้งสองเป็นเศษส่วนเกินแล้ว เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

เราได้การบวกจำนวนตรรกยะที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้เราลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่าและใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่าไว้ข้างหน้าคำตอบที่ได้:

ตัวอย่างที่ 28ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก. ในเวลาเดียวกัน มาแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 29ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแปลงเศษส่วนทศนิยม ?0.25 และ ?1.25 เป็นเศษส่วนธรรมดา และปล่อยส่วนที่เหลือไว้ตามเดิม เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

ขั้นแรกคุณสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้ และเพิ่มจำนวนตรรกยะทีละตัว มีตัวเลือกที่สอง: ขั้นแรกให้เพิ่มจำนวนตรรกยะ และ แล้วลบจำนวนตรรกยะออกจากจำนวนผลลัพธ์ เราจะใช้ตัวเลือกนี้

การกระทำครั้งแรก:

การกระทำที่สอง:

คำตอบ:ค่านิพจน์ เท่ากับ?2.

ตัวอย่างที่ 30ค้นหาค่าของนิพจน์

ลองแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญ ปล่อยให้ส่วนที่เหลือเหมือนเดิม

เราได้ผลรวมของเทอมหลายเทอม หากผลรวมประกอบด้วยหลายพจน์ นิพจน์ก็สามารถประเมินได้ในลำดับใดก็ได้ สิ่งนี้ตามมาจากกฎการบวกแบบเชื่อมโยง

ดังนั้นเราจึงสามารถจัดทางเลือกที่สะดวกที่สุดสำหรับเราได้ ก่อนอื่น คุณสามารถเพิ่มพจน์แรกและพจน์สุดท้ายได้ เช่น จำนวนตรรกยะ และ ตัวเลขเหล่านี้มีส่วนเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่ต้องลดจำนวนลง

การกระทำครั้งแรก:

จำนวนผลลัพธ์บวกกับเทอมที่สองได้ กล่าวคือ จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะมีตัวส่วนที่เหมือนกันในส่วนของเศษส่วน ซึ่งเป็นข้อได้เปรียบสำหรับเราเช่นกัน

การกระทำที่สอง:

ทีนี้มาบวกเลขผลลัพธ์กัน 7 กับเทอมสุดท้ายคือจำนวนตรรกยะ สะดวกเมื่อคำนวณนิพจน์นี้ เซเว่นจะหายไปนั่นคือผลรวมของมันจะเท่ากับศูนย์เนื่องจากผลรวมของตัวเลขตรงข้ามเป็นศูนย์

การกระทำที่สาม:

คำตอบ:ค่าของนิพจน์คือ

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม VKontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

การบวกและการลบจำนวนเต็ม

ในบทเรียนนี้เราจะได้เรียนรู้ การบวกและการลบจำนวนเต็มตลอดจนกฎเกณฑ์สำหรับการบวกและการลบ

โปรดจำไว้ว่าจำนวนเต็มล้วนเป็นจำนวนบวกและลบ เช่นเดียวกับเลข 0 ตัวอย่างเช่น ตัวเลขต่อไปนี้เป็นจำนวนเต็ม:

จำนวนบวกนั้นง่ายต่อการบวกและลบคูณหาร น่าเสียดายที่ไม่สามารถพูดสิ่งเดียวกันเกี่ยวกับจำนวนลบได้ ซึ่งทำให้ผู้เริ่มต้นหลายคนสับสนกับเครื่องหมายลบที่อยู่หน้าตัวเลขแต่ละตัว ดังที่แบบฝึกหัดแสดงให้เห็น ข้อผิดพลาดที่เกิดจากตัวเลขติดลบจะทำให้นักเรียนหงุดหงิดมากที่สุด

ตัวอย่างการบวกและการลบจำนวนเต็ม

สิ่งแรกที่คุณควรเรียนรู้คือการบวกและลบจำนวนเต็มโดยใช้เส้นพิกัด ไม่จำเป็นต้องวาดเส้นพิกัดเลย ก็เพียงพอที่จะจินตนาการในความคิดของคุณและดูว่าจำนวนลบอยู่ที่ไหนและจำนวนบวกอยู่ที่ไหน

ลองพิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด: 1 + 3 ค่าของนิพจน์นี้คือ 4:

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้โดยใช้เส้นพิกัด ในการดำเนินการนี้จากจุดที่หมายเลข 1 อยู่คุณจะต้องเลื่อนไปทางขวาสามขั้นตอน ด้วยเหตุนี้เราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่เลข 4 อยู่ ในรูปคุณสามารถดูว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร:

เครื่องหมายบวกในนิพจน์ 1 + 3 บอกเราว่าเราควรย้ายไปทางขวาในทิศทางของจำนวนที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 2มาหาค่าของนิพจน์ 1 กัน? 3.

ค่าของนิพจน์นี้คือ?2

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้อีกครั้งโดยใช้เส้นพิกัด ในการทำเช่นนี้จากจุดที่หมายเลข 1 อยู่คุณจะต้องเลื่อนไปทางซ้ายสามขั้นตอน ผลก็คือ เราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่จำนวนลบ?2 อยู่ ในภาพคุณจะเห็นว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร:

เครื่องหมายลบในนิพจน์ 1? 3 บอกเราว่าเราควรเลื่อนไปทางซ้ายในทิศทางที่ตัวเลขลดลง

โดยทั่วไปคุณต้องจำไว้ว่าหากมีการบวกคุณจะต้องเลื่อนไปทางขวาในทิศทางที่เพิ่มขึ้น หากทำการลบคุณจะต้องเลื่อนไปทางซ้ายในทิศทางที่ลดลง

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์?2 + 4

ค่าของนิพจน์นี้คือ 2

ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้อีกครั้งโดยใช้เส้นพิกัด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จากจุดที่มีจำนวนลบ 2 อยู่ คุณต้องเลื่อนไปทางขวาสี่ขั้นตอน ผลก็คือเราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่มีจำนวนบวก 2 อยู่

จะเห็นได้ว่าเราได้ย้ายจากจุดที่เลขลบ 2 อยู่ทางด้านขวามือไป 4 ขั้น แล้วมาจบที่จุดที่เลขบวก 2 อยู่

เครื่องหมายบวกในนิพจน์ ?2 + 4 บอกเราว่าเราควรเลื่อนไปทางขวาในทิศทางของตัวเลขที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์?1 ? 3

ค่าของนิพจน์นี้คือ?4

ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้อีกครั้งโดยใช้เส้นพิกัด ในการทำเช่นนี้ จากจุดที่มีจำนวนลบ?1 คุณต้องเลื่อนไปทางซ้ายสามขั้นตอน ผลก็คือเราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่จำนวนลบอยู่?4

จะเห็นได้ว่าเราได้ย้ายจากจุดที่เลขลบ 1 อยู่ทางซ้ายไป 3 ขั้น แล้วไปจบตรงจุดที่เลขลบ 4 อยู่

เครื่องหมายลบในนิพจน์?1 ? 3 บอกเราว่าเราควรเลื่อนไปทางซ้ายในทิศทางที่ตัวเลขลดลง

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์?2 + 2

ค่าของนิพจน์นี้คือ 0

ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้เส้นพิกัด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จากจุดที่มีจำนวนลบ 2 อยู่ คุณต้องเลื่อนไปทางขวาสองขั้นตอน ด้วยเหตุนี้เราจะพบว่าตัวเองอยู่ตรงจุดที่มีเลข 0 อยู่

จะเห็นได้ว่าเราได้ย้ายจากจุดที่เลขลบ 2 อยู่ทางด้านขวาไป 2 ขั้น แล้วมาจบที่จุดที่เลข 0 อยู่

เครื่องหมายบวกในนิพจน์ ?2 + 2 บอกเราว่าเราควรเลื่อนไปทางขวาในทิศทางที่ตัวเลขเพิ่มขึ้น

กฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนเต็ม

ในการคำนวณนิพจน์นี้หรือนิพจน์นั้น ไม่จำเป็นต้องจินตนาการถึงเส้นพิกัดทุกครั้ง ไม่ต้องวาดเส้นดังกล่าวมากนัก การใช้กฎสำเร็จรูปจะสะดวกกว่า

เมื่อใช้กฎคุณต้องใส่ใจกับเครื่องหมายของการดำเนินการและเครื่องหมายของตัวเลขที่ต้องบวกหรือลบ นี่จะเป็นตัวกำหนดว่าจะใช้กฎใด

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์?2 + 5

ในที่นี้จำนวนบวกจะถูกบวกเข้ากับจำนวนลบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะถูกเพิ่มเข้าไป ?2 เป็นจำนวนลบ และ 5 เป็นจำนวนบวก ในกรณีดังกล่าว จะมีการกำหนดกฎเกณฑ์ต่อไปนี้:

มาดูกันว่าโมดูลใดใหญ่กว่า:

โมดูลัสของหมายเลข 5 มากกว่าโมดูลัสของตัวเลข?2. กฎกำหนดให้ลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า ดังนั้นเราจึงต้องลบ 2 จาก 5 และก่อนคำตอบที่ได้ ให้ใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลัสมากกว่า

เลข 5 มีโมดูลัสมากกว่า ดังนั้นเครื่องหมายของเลขนี้จะอยู่ในคำตอบ นั่นคือคำตอบจะเป็นค่าบวก:

ปกติจะเขียนสั้นกว่าใช่ไหม 2 + 5 = 3

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ 3 + (?2)

เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะถูกเพิ่มเข้าไป 3 เป็นจำนวนบวก และ ?2 เป็นลบ โปรดทราบว่าตัวเลข 2 อยู่ในวงเล็บเพื่อให้สำนวนชัดเจนและสวยงามยิ่งขึ้น สำนวนนี้เข้าใจง่ายกว่าสำนวน 3+?2 มาก

ลองใช้กฎในการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างๆ กัน เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราจะลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบ เราจะใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลที่ใหญ่กว่า:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

โมดูลัสของหมายเลข 3 มากกว่าโมดูลัสของหมายเลข 2 ดังนั้นเราจึงลบ 2 ออกจาก 3 และก่อนคำตอบที่ได้ เราใส่เครื่องหมายโมดูลัสที่มากกว่า เลข 3 มีโมดูลัสที่ใหญ่กว่า ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมคำตอบจึงรวมเครื่องหมายของตัวเลขนี้ด้วย นั่นคือคำตอบเป็นบวก

โดยปกติจะเขียนสั้นกว่า 3 + (?2) = 1

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ 3? 7

ในนิพจน์นี้ จำนวนที่มากกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่น้อยกว่า ในกรณีดังกล่าว มีการกำหนดกฎเกณฑ์ต่อไปนี้:

หากต้องการลบจำนวนที่มากกว่าจากจำนวนที่น้อยกว่า คุณต้องลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้

มีสำนวนนี้ที่จับใจได้เล็กน้อย ให้เราจำไว้ว่าเครื่องหมายเท่ากับ (=) จะถูกวางไว้ระหว่างปริมาณและนิพจน์เมื่อทั้งสองมีค่าเท่ากัน

ค่าของนิพจน์ 3? 7 เรารู้ได้อย่างไรว่ามันเท่ากัน?4. ซึ่งหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงใดๆ ที่เราจะดำเนินการในนิพจน์นี้จะต้องเท่ากัน?4

แต่เราเห็นว่าในระยะที่สองมีนิพจน์ 7? 3 ซึ่งไม่เท่ากับ?4.

เพื่อแก้ไขสถานการณ์นี้ นิพจน์ 7 ? ต้องใส่ 3 ในวงเล็บและต้องวางเครื่องหมายลบไว้หน้าวงเล็บนี้:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

ในกรณีนี้ จะสังเกตความเท่าเทียมกันในแต่ละขั้นตอน:

หลังจากประเมินนิพจน์แล้ว ก็สามารถลบวงเล็บออกได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำ

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

กฎนี้สามารถเขียนได้โดยใช้ตัวแปร มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

ก? ข = ? (ข?ก)

วงเล็บและเครื่องหมายการดำเนินการจำนวนมากอาจทำให้การแก้ปัญหาที่ดูเรียบง่ายซับซ้อนขึ้นได้ ดังนั้นจึงแนะนำให้เรียนรู้วิธีเขียนตัวอย่างสั้น ๆ เช่น 3 ? 7 = ? 4.

ที่จริงแล้ว การบวกและการลบจำนวนเต็มนั้นไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าการบวก สิ่งนี้หมายความว่า? ซึ่งหมายความว่าหากคุณต้องการลบตัวเลข การดำเนินการนี้สามารถแทนที่ได้ด้วยการบวก

มาทำความรู้จักกับกฎใหม่กันดีกว่า:

การลบจำนวนหนึ่งออกจากอีกจำนวนหนึ่งหมายถึงการบวกจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนที่ถูกลบออกตรงจุดลบ

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด 5? 3. ในช่วงเริ่มต้นของการเรียนคณิตศาสตร์ เราเพียงใส่เครื่องหมายเท่ากับแล้วจดคำตอบไว้:

แต่ตอนนี้เรากำลังก้าวหน้าในการศึกษาของเรา ดังนั้นเราจึงต้องปรับตัวให้เข้ากับกฎใหม่ กฎใหม่บอกว่าการลบจำนวนหนึ่งจากอีกจำนวนหนึ่งหมายถึงการบวกลบกับจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนที่ถูกลบ

ลองทำความเข้าใจกฎนี้โดยใช้ตัวอย่างนิพจน์ 5?3 เครื่องหมาย minuend ในนิพจน์นี้คือ 5 และเครื่องหมายลบคือ 3 กฎบอกว่าในการที่จะลบ 3 จาก 5 คุณต้องบวกตัวเลขที่ตรงข้ามกับ 3 เข้ากับ 5 ค่าตรงข้ามของ 3 คือตัวเลข?3 . มาเขียนนิพจน์ใหม่:

และเรารู้วิธีค้นหาความหมายของสำนวนดังกล่าวแล้ว นี่คือการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน ซึ่งเราได้กล่าวไว้ข้างต้น ในการเพิ่มตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน คุณจะต้องลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนที่คำตอบที่ได้จะต้องใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลมากกว่า:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

โมดูลัสของหมายเลข 5 มากกว่าโมดูลัสของตัวเลข?3. ดังนั้นเราจึงลบ 3 จาก 5 และได้ 2 จำนวน 5 มีโมดูลัสที่มากกว่า ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายของจำนวนนี้ในคำตอบ นั่นคือคำตอบเป็นบวก

ในตอนแรก ไม่ใช่ทุกคนจะสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกได้อย่างรวดเร็ว นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าตัวเลขบวกถูกเขียนโดยไม่มีเครื่องหมายบวก

ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3? เครื่องหมายลบ 1 ที่ระบุการลบคือเครื่องหมายการดำเนินการและไม่ได้อ้างอิงถึงเครื่องหมายใด หน่วยในกรณีนี้คือจำนวนบวกและมีเครื่องหมายบวกเป็นของตัวเอง แต่เราไม่เห็น เนื่องจากปกติแล้วเครื่องหมายบวกจะไม่เขียนก่อนจำนวนบวก

ดังนั้น เพื่อความชัดเจน จึงเขียนนิพจน์นี้ได้ดังนี้

เพื่อความสะดวก หมายเลขที่มีเครื่องหมายของตัวเองจะอยู่ในวงเล็บ ในกรณีนี้ การแทนที่การลบด้วยการบวกจะง่ายกว่ามาก จำนวนที่ลบในกรณีนี้คือตัวเลข (+1) และจำนวนตรงข้ามคือ (?1) ลองแทนที่การดำเนินการลบด้วยการบวกและแทนที่การลบ (+1) เราจะเขียนจำนวนตรงข้าม (?1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนไม่มีประโยชน์ในการเคลื่อนไหวพิเศษเหล่านี้ หากคุณสามารถใช้วิธีเก่าที่ดีในการใส่เครื่องหมายเท่ากับแล้วจดคำตอบ 2 ทันที อันที่จริง กฎนี้จะช่วยเรามากกว่าหนึ่งครั้ง

มาแก้ตัวอย่างก่อนหน้า 3 กัน? 7 โดยใช้กฎการลบ ขั้นแรก เรามานำนิพจน์มาสู่รูปแบบปกติ โดยกำหนดให้แต่ละหมายเลขมีเครื่องหมายของตัวเอง สามมีเครื่องหมายบวกเพราะเป็นจำนวนบวก เครื่องหมายลบที่แสดงการลบใช้ไม่ได้กับเจ็ด เซเว่นมีเครื่องหมายบวกเพราะเป็นจำนวนบวกด้วย:

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

การคำนวณเพิ่มเติมไม่ใช่เรื่องยาก:

ตัวอย่างที่ 7ค้นหาค่าของนิพจน์?4 ? 5

เรามีการดำเนินการลบอีกครั้ง การดำเนินการนี้จะต้องถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มเติม ที่เครื่องหมาย minuend (?4) เราจะเพิ่มตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายย่อย (+5) ตัวเลขตรงข้ามสำหรับเครื่องหมายย่อย (+5) คือตัวเลข (?5)

เรามาถึงสถานการณ์ที่ต้องบวกเลขลบ ในกรณีดังกล่าว จะมีการกำหนดกฎเกณฑ์ต่อไปนี้:

หากต้องการบวกจำนวนลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้

ดังนั้น เรามารวมโมดูลของตัวเลขเข้าด้วยกัน ตามกฎกำหนดให้เราต้องทำ และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

รายการที่มีโมดูลจะต้องอยู่ในวงเล็บและต้องวางเครื่องหมายลบไว้หน้าวงเล็บเหล่านี้ ด้วยวิธีนี้เราจะให้เครื่องหมายลบที่ควรปรากฏก่อนคำตอบ:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนสั้นๆ ได้:

ตัวอย่างที่ 8ค้นหาค่าของนิพจน์?3 ? 5 ? 7? 9

มานำสำนวนออกมาในรูปแบบที่ชัดเจนกันเถอะ ในที่นี้ ตัวเลขทั้งหมดยกเว้นหมายเลข 3 นั้นเป็นจำนวนบวก ดังนั้นพวกมันจึงจะมีเครื่องหมายบวก:

ให้เราแทนที่การดำเนินการลบด้วยการดำเนินการบวก เครื่องหมายลบทั้งหมด (ยกเว้นเครื่องหมายลบซึ่งอยู่ข้างหน้าเครื่องหมายทั้งสาม) จะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก และตัวเลขบวกทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม:

ทีนี้ลองใช้กฎสำหรับการบวกจำนวนลบกัน หากต้องการบวกจำนวนลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนสั้นๆ ได้:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

ตัวอย่างที่ 9ค้นหาค่าของนิพจน์?10 + 6? 15 + 11? 7

มาแสดงการแสดงออกในรูปแบบที่ชัดเจน:

มีการดำเนินการสองอย่างที่นี่: การบวกและการลบ เราคงการบวกไว้เหมือนเดิมและแทนที่การลบด้วยการบวก:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

ตามลำดับการกระทำ เราจะดำเนินการแต่ละอย่างตามลำดับตามกฎที่เรียนรู้ก่อนหน้านี้ รายการที่มีโมดูลสามารถข้ามได้:

การกระทำครั้งแรก:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

การกระทำที่สอง:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

การกระทำที่สาม:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

การกระทำที่สี่:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

ดังนั้นค่าของนิพจน์?10 + 6? 15 + 11? 7 เท่ากับ?15

บันทึก. ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องนำนิพจน์มาเป็นรูปแบบที่เข้าใจได้โดยใส่ตัวเลขไว้ในวงเล็บ เมื่อเกิดความคุ้นเคยต่อจำนวนลบ คุณสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้เนื่องจากใช้เวลานานและอาจสร้างความสับสนได้

ดังนั้นในการบวกและลบจำนวนเต็ม คุณต้องจำกฎต่อไปนี้:

ในการเพิ่มตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน คุณจะต้องลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนที่คำตอบที่ได้จะต้องใส่เครื่องหมายที่มีโมดูลที่ใหญ่กว่า

หากต้องการลบจำนวนที่มากกว่าจากจำนวนที่น้อยกว่า คุณต้องลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่าและใส่เครื่องหมายลบหน้าคำตอบที่ได้

การลบจำนวนหนึ่งจากอีกจำนวนหนึ่งหมายถึงการบวกจำนวนที่ลดจำนวนลงด้วยจำนวนตรงข้ามกับจำนวนที่ถูกลบ

หากต้องการบวกจำนวนลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบหน้าคำตอบที่ได้

กฎพีชคณิต 5-7 ลำดับตัวเลขซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากวินาทีมีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าบวกเข้ากับตัวเลข d เดียวกันสำหรับลำดับที่กำหนด เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตัวเลข d เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เช่น ใน […]

การแก้ปัญหาทางพันธุกรรมโดยใช้กฎข้อที่ 1 และ 2 ของ Mendel การบรรยายที่ 8 Julia Kjahrenova 1. - การนำเสนอ การนำเสนอถูกตีพิมพ์เมื่อ 3 ปีที่แล้วโดย Alina Artemyeva การนำเสนอที่คล้ายกัน การนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้ปัญหาทางพันธุกรรมโดยใช้กฎข้อที่ 1 และ 2 ของ Mendel การบรรยาย 8 Julia Kjahrenova 1 " […]

เรากำหนดอัตราภาษีการขนส่งสำหรับรถตู้และรถยนต์ที่ผิดปกติอื่น ๆ ในหมวด "B" เราจับข้อมูลที่จำเป็นจาก PTS สมมติว่าข้อมูลที่ระบุในบรรทัดที่ 4 "หมวดยานพาหนะ (A, B, C, D, รถพ่วง) ” ของหนังสือเดินทางยานพาหนะ (PTS) ) ไม่จำเป็นต้องนำมาพิจารณา ท้ายที่สุดแล้ว หมวดหมู่ “B” ไม่ได้หมายความว่า […]

การจัดอันดับ บริษัท ประกันภัย OSAGO OSAGO หมายถึงการประกันภัยภาคบังคับ ซึ่งไม่เพียงดำเนินการในรัสเซียเท่านั้น แต่ยังอยู่ในประเทศเพื่อนบ้านอื่น ๆ ด้วย กรมธรรม์เหล่านี้ออกโดยบริษัทประกันภัยหลายแห่งที่ได้รับใบอนุญาตที่เหมาะสมในการดำเนินกิจกรรมดังกล่าว อย่างไรก็ตาม, […]

ที่พัก โรงแรม Ufa Mini-hotel ใน Ufa 5 ห้อง เราขอเชิญแขกของเมืองหลวงมาพักที่โรงแรมที่สะดวกสบายและสะดวกสบายใจกลาง Ufa บนถนน Komsomolskaya 159/1 ในบริเวณใกล้เคียงโรงแรมมีโรงภาพยนตร์ Iskra IMAX ละครสัตว์ คลับร้านอาหาร ร้านกาแฟ ร้านอาหาร Beer Berry ศูนย์การค้า […]

กฎการใช้ Present Simple Tense ในภาษาอังกฤษ Present Simple Tense เป็นไวยากรณ์กาลที่ถือว่าเป็นหนึ่งในกาลที่เข้าใจง่ายที่สุด เนื่องจากปัจจุบันกาลง่ายมีอยู่ในทุกภาษา นี่เป็นเรื่องจริงในภาษาสลาฟ หากคุณกำลังอ่านบทความนี้ หมายความว่าคุณเพียง [...]

หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเฉพาะให้เป็นเลขยกกำลัง คุณสามารถใช้ . ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า คุณสมบัติขององศา.

เลขชี้กำลังเปิดความเป็นไปได้ที่ยิ่งใหญ่ พวกมันช่วยให้เราแปลงการคูณเป็นการบวก และการบวกนั้นง่ายกว่าการคูณมาก

ตัวอย่างเช่น เราต้องคูณ 16 ด้วย 64 ผลคูณของการคูณตัวเลขสองตัวนี้คือ 1024 แต่ 16 คือ 4x4 และ 64 คือ 4x4x4 นั่นคือ 16 x 64 = 4x4x4x4x4 ซึ่งเท่ากับ 1,024 เช่นกัน

เลข 16 ยังสามารถแสดงเป็น 2x2x2x2 และ 64 แสดงเป็น 2x2x2x2x2x2 และถ้าเราคูณ เราจะได้ 1024 อีกครั้ง

ทีนี้ลองใช้กฎกัน 16=4 2 หรือ 2 4, 64=4 3 หรือ 2 6 ในเวลาเดียวกัน 1024=6 4 =4 5 หรือ 2 10

ดังนั้น ปัญหาของเราจึงสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้: 4 2 x4 3 =4 5 หรือ 2 4 x2 6 =2 10 และทุกครั้งที่เราได้ 1,024

เราสามารถแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันได้จำนวนหนึ่งและพบว่าการคูณตัวเลขด้วยกำลังลดลง การเพิ่มเลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลังแน่นอน โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของตัวประกอบจะเท่ากัน

ดังนั้น หากไม่คูณ เราก็บอกได้ทันทีว่า 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20

กฎนี้ยังเป็นจริงเมื่อหารตัวเลขด้วยกำลัง แต่ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล. ดังนั้น 2 5:2 3 =2 2 ซึ่งในจำนวนสามัญจะเท่ากับ 32:8 = 4 นั่นคือ 2 2 สรุป:

a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม

เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าเป็นเช่นนี้ การคูณและหารตัวเลขด้วยกำลังไม่สะดวกนัก เพราะก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง การแสดงตัวเลข 8 และ 16 นั่นคือ 2 3 และ 2 4 ในรูปแบบนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลข 7 และ 17? หรือจะทำอย่างไรในกรณีที่สามารถแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ แต่ฐานของนิพจน์เลขชี้กำลังแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น 8x9 คือ 2 3 x 3 2 ซึ่งในกรณีนี้เราไม่สามารถหาผลรวมเลขยกกำลังได้ ทั้ง 2 5 และ 3 5 ไม่ใช่คำตอบ และคำตอบก็ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาระหว่างตัวเลขสองตัวนี้

ถ้าอย่างนั้นมันคุ้มค่าที่จะกังวลกับวิธีนี้เลยเหรอ? คุ้มค่าแน่นอน ให้ประโยชน์มหาศาล โดยเฉพาะการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลานาน