ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม

ในบรรดาคุณสมบัติเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม สิ่งแรกที่จำเป็นต้องทราบคือคุณสมบัติที่กำหนดลักษณะของตัวแปรสุ่มบนแกนตัวเลข เช่น ระบุค่าเฉลี่ยโดยประมาณซึ่งมีการจัดกลุ่มค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มคือตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งเสมือนเป็น "ค่าตัวแทน" และแทนที่ด้วยการคำนวณโดยประมาณโดยประมาณ เมื่อเราพูดว่า: “เวลาใช้งานหลอดไฟโดยเฉลี่ยคือ 100 ชั่วโมง” หรือ “จุดกระแทกโดยเฉลี่ยจะเลื่อนสัมพันธ์กับเป้าหมายไปทางขวา 2 ม.” เรากำลังระบุลักษณะตัวเลขที่แน่นอนของตัวแปรสุ่มที่อธิบายตำแหน่งของหลอดไฟ บนแกนตัวเลขเช่น "ลักษณะตำแหน่ง"

จากลักษณะของตำแหน่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น บทบาทที่สำคัญที่สุดคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

ลองพิจารณาตัวแปรสุ่มแบบแยกที่มีค่าที่เป็นไปได้พร้อมความน่าจะเป็น เราจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่มบนแกน x ด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน เพื่อจุดประสงค์นี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สิ่งที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" ของค่าต่างๆ และแต่ละค่าในระหว่างการหาค่าเฉลี่ยควรนำมาพิจารณาด้วย "น้ำหนัก" ที่เป็นสัดส่วนกับความน่าจะเป็นของค่านี้ ดังนั้น เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มซึ่งเราจะแสดงโดย:

หรือด้วยเหตุนี้

. (5.6.1)

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นเราจึงนำแนวคิดที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นมาพิจารณา - แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

โปรดทราบว่าในสูตรข้างต้น คำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นถูกต้อง กล่าวอย่างเคร่งครัด เฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ด้านล่างนี้เราจะสรุปแนวคิดนี้ในกรณีของปริมาณต่อเนื่อง

เพื่อให้แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เรามาดูการตีความเชิงกลของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกัน ให้มีจุดที่มีจุด Abscissa บนแกน Abscissa ซึ่งมีมวลเข้มข้น ตามลำดับ และ . เห็นได้ชัดว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตร (5.6.1) นั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าค่า Abscissa ของจุดศูนย์ถ่วงของระบบจุดวัสดุที่กำหนด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นเชื่อมโยงกันด้วยการพึ่งพาที่แปลกประหลาดกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก การพึ่งพานี้เป็นประเภทเดียวกับการพึ่งพาระหว่างความถี่และความน่าจะเป็นกล่าวคือ: ด้วยการทดลองจำนวนมากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ จากการมีความเชื่อมโยงระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น เราสามารถสรุปได้ว่ามีความเชื่อมโยงที่คล้ายกันระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

อันที่จริง ให้พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีลักษณะเป็นอนุกรมการแจกแจง:

ที่ไหน .

ปล่อยให้ทำการทดลองอิสระ โดยในแต่ละปริมาณจะมีค่าที่แน่นอน สมมติว่าค่าปรากฏหนึ่งครั้ง ค่าปรากฏหนึ่งครั้ง และค่าปรากฏขึ้นครั้งเดียว อย่างชัดเจน,

ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของปริมาณซึ่งตรงกันข้ามกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เราแสดงว่า:

แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่าความถี่ (หรือความน่าจะเป็นทางสถิติ) ของเหตุการณ์ สามารถกำหนดความถี่นี้ได้ แล้ว

,

เหล่านั้น. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความถี่ของค่าเหล่านี้

เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่จะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) ไปสู่ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) สู่ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น

การเชื่อมโยงระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ร่างไว้ข้างต้นถือเป็นเนื้อหารูปแบบหนึ่งของกฎจำนวนมาก เราจะให้ข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดของกฎหมายนี้ในบทที่ 13

เรารู้อยู่แล้วว่ากฎจำนวนมากทุกรูปแบบระบุถึงความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยบางค่ามีเสถียรภาพในการทดลองจำนวนมาก ที่นี่เรากำลังพูดถึงความเสถียรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสังเกตหลายๆ ชุดที่มีปริมาณเท่ากัน ด้วยการทดลองจำนวนน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์จะเป็นแบบสุ่ม ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างเพียงพอ มันจะกลายเป็น "เกือบจะไม่สุ่ม" และเมื่อเสถียรแล้วจะเข้าใกล้ค่าคงที่ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความเสถียรของค่าเฉลี่ยจากการทดลองจำนวนมากสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ด้วยการทดลอง ตัวอย่างเช่น เมื่อชั่งน้ำหนักร่างกายในห้องปฏิบัติการด้วยเครื่องชั่งที่แม่นยำ จากการชั่งน้ำหนัก เราก็จะได้ค่าใหม่ทุกครั้ง เพื่อลดข้อผิดพลาดในการสังเกต เราชั่งน้ำหนักร่างกายหลายครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น (การชั่งน้ำหนัก) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะตอบสนองต่อการเพิ่มขึ้นนี้น้อยลงเรื่อยๆ และเมื่อมีการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ในทางปฏิบัติก็หยุดการเปลี่ยนแปลง

สูตร (5.6.1) สำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สอดคล้องกับกรณีของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง สำหรับปริมาณต่อเนื่อง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ได้แสดงเป็นผลรวมตามธรรมชาติ แต่เป็นอินทิกรัล:

, (5.6.2)

ความหนาแน่นของการกระจายของปริมาณอยู่ที่ไหน

สูตร (5.6.2) ได้มาจากสูตร (5.6.1) หากแต่ละค่าในนั้นถูกแทนที่ด้วยพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง x ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน - โดยองค์ประกอบความน่าจะเป็นและผลรวมสุดท้าย - ด้วยอินทิกรัล ในอนาคต เรามักจะใช้วิธีนี้ในการขยายสูตรที่ได้มาจากปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องไปเป็นปริมาณต่อเนื่อง

ในการตีความทางกล ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องยังคงมีความหมายเหมือนเดิม นั่นคือ abscissa ของจุดศูนย์ถ่วงในกรณีที่มวลถูกกระจายไปตาม abscissa อย่างต่อเนื่องโดยมีความหนาแน่น การตีความนี้มักจะทำให้สามารถค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยไม่ต้องคำนวณอินทิกรัล (5.6.2) จากการพิจารณาเชิงกลอย่างง่าย

ข้างต้น เราได้แนะนำสัญลักษณ์สำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณ ในหลายกรณี เมื่อมีการรวมปริมาณไว้ในสูตรเป็นตัวเลขเฉพาะ จะสะดวกกว่าหากแสดงด้วยตัวอักษรตัวเดียว ในกรณีเหล่านี้ เราจะแสดงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าโดย:

สัญกรณ์และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะใช้ควบคู่กันไปในอนาคต ขึ้นอยู่กับความสะดวกในการบันทึกสูตรเฉพาะ ให้เราตกลงกันหากจำเป็น เพื่อย่อคำว่า "ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์" ด้วยตัวอักษร mo.

ควรสังเกตว่าคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่ง - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ไม่มีอยู่ในตัวแปรสุ่มทั้งหมด เป็นไปได้ที่จะเขียนตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่ไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากผลรวมหรือปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีอนุกรมการแจกแจง:

มันง่ายที่จะตรวจสอบนั่นคือ ซีรีย์การจัดจำหน่ายนั้นสมเหตุสมผล อย่างไรก็ตาม ผลรวมในกรณีนี้แตกต่างออกไป ดังนั้นจึงไม่มีการคาดหวังค่าทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม กรณีดังกล่าวไม่เป็นประโยชน์อย่างมากต่อการปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มที่เราจัดการจะมีช่วงค่าที่เป็นไปได้ที่จำกัด และแน่นอนว่ามีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วย

ข้างต้นเราได้ให้สูตร (5.6.1) และ (5.6.2) เพื่อแสดงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตามลำดับ สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

หากปริมาณเป็นของปริมาณประเภทผสม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณนั้นจะแสดงเป็นสูตรในรูปแบบ:

, (5.6.3)

โดยที่ผลรวมขยายไปยังทุกจุดที่ฟังก์ชันการกระจายไม่ต่อเนื่อง และอินทิกรัลขยายไปยังทุกพื้นที่ที่ฟังก์ชันการกระจายต่อเนื่อง

นอกเหนือจากคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่ง - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ในทางปฏิบัติแล้ว บางครั้งมีการใช้คุณลักษณะอื่น ๆ ของตำแหน่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งโหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม

โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด คำว่า "มูลค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด" หากพูดอย่างเคร่งครัดใช้เฉพาะกับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น สำหรับปริมาณต่อเนื่อง โหมดคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด ให้เราตกลงที่จะแสดงถึงโหมดด้วยตัวอักษร . ในรูป 5.6.1 และ 5.6.2 แสดงโหมดสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามลำดับ

หากรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (เส้นโค้งการกระจาย) มีมากกว่าหนึ่งค่าสูงสุด การแจกแจงจะเรียกว่า "หลายรูปแบบ" (รูปที่ 5.6.3 และ 5.6.4)

บางครั้งมีการแจกแจงที่มีค่าต่ำสุดตรงกลางมากกว่าค่าสูงสุด (รูปที่ 5.6.5 และ 5.6.6) การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า "การต่อต้านกิริยา" ตัวอย่างของการกระจายแบบแอนติโมดัลคือการกระจายที่ได้รับในตัวอย่างที่ 5, n° 5.1

ในกรณีทั่วไป โหมดและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มไม่ตรงกัน ในกรณีเฉพาะ เมื่อการแจกแจงเป็นแบบสมมาตรและเป็นกิริยาช่วย (เช่น มีโหมด) และมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การแจกแจงจะสอดคล้องกับโหมดและศูนย์กลางของสมมาตรของการแจกแจง

มักใช้คุณลักษณะตำแหน่งอื่น - สิ่งที่เรียกว่าค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปคุณลักษณะนี้จะใช้เฉพาะกับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเท่านั้น แม้ว่าจะสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการสำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องก็ตาม

ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มคือค่าของตัวแปรสุ่ม

เหล่านั้น. มีโอกาสเท่ากันที่ตัวแปรสุ่มจะน้อยกว่าหรือมากกว่า ในเชิงเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือจุดสิ้นสุดของจุดที่พื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งการกระจายถูกแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง (รูปที่ 5.6.7)

แฟชั่น- ค่าในชุดการสังเกตที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

โดยที่ X Mo คือขอบเขตด้านซ้ายของช่วงโมดอล h Mo คือความยาวของช่วงโมดอล f Mo-1 คือความถี่ของช่วงพรีโมดัล f Mo คือความถี่ของช่วงโมดอล f Mo+1 คือ ความถี่ของช่วงเวลาหลังโมดอล

รูปแบบการกระจายตัวแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์คือจุดใดๆ ของความหนาแน่นการกระจายสูงสุดในพื้นที่ สำหรับการแจกแจงแบบแยกส่วน โหมดจะถือเป็นค่าใดๆ ที่ i ซึ่งความน่าจะเป็น p i มากกว่าความน่าจะเป็นของค่าข้างเคียง

ค่ามัธยฐานตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกค่า Me ซึ่งมีความเป็นไปได้เท่ากันว่าตัวแปรสุ่มจะน้อยกว่าหรือมากกว่า เอิ่ม., เช่น.

ม อี =(n+1)/2 พี(เอ็กซ์ < ฉัน) = P(X > เอิ่ม.)

กระจาย NSV อย่างสม่ำเสมอ

กระจายสม่ำเสมอ.ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่าการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนเซ็กเมนต์ () หากฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจง (รูปที่ 1.6, ก) มีรูปแบบ:

การกำหนด: – SW มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบน .

ดังนั้นฟังก์ชันการกระจายในส่วนนั้น (รูปที่ 1.6, ข):

ข้าว. 1.6. ฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มกระจายสม่ำเสมอบน [ ก,ข]: ก– ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x); ข– การแจกแจง เอฟ(x)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของ SV ที่กำหนดถูกกำหนดโดยนิพจน์:

เนื่องจากความสมมาตรของฟังก์ชันความหนาแน่น จึงเกิดขึ้นพร้อมกับค่ามัธยฐาน โหมดไม่มีการกระจายที่สม่ำเสมอ

ตัวอย่างที่ 4 เวลารอรับสายโทรศัพท์เป็นตัวแปรสุ่มที่ปฏิบัติตามกฎการกระจายเครื่องแบบสม่ำเสมอในช่วง 0 ถึง 2 นาที ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรสุ่มนี้

27.กฎปกติของการแจกแจงความน่าจะเป็น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง x มีการแจกแจงแบบปกติพร้อมพารามิเตอร์: m,s > 0 หากความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นมีรูปแบบดังนี้

โดยที่: ม. – ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์, s – ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การแจกแจงแบบปกติเรียกอีกอย่างว่าเกาส์เซียนตามชื่อเกาส์ของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ความจริงที่ว่าตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบปกติด้วยพารามิเตอร์: m, , จะแสดงได้ดังนี้: N (m,s) โดยที่: m=a=M[X];

บ่อยครั้งในสูตร ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแสดงด้วย ก - หากมีการแจกแจงตัวแปรสุ่มตามกฎ N(0,1) จะเรียกว่าตัวแปรปกติหรือตัวแปรปกติที่เป็นมาตรฐาน ฟังก์ชันการแจกแจงมีรูปแบบดังนี้

กราฟความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติซึ่งเรียกว่าเส้นโค้งปกติหรือเส้นโค้งเกาส์เซียนจะแสดงในรูปที่ 5.4

ข้าว. 5.4. ความหนาแน่นของการกระจายปกติ

คุณสมบัติตัวแปรสุ่มที่มีกฎการแจกแจงแบบปกติ

1. ถ้า แล้วเพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของค่านี้ที่ตกอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด ( x 1; x 2) ใช้สูตรดังนี้:

2. ความน่าจะเป็นที่ความเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะไม่เกินค่า (ในค่าสัมบูรณ์) เท่ากับ:

3. “กฎสามซิกมา”- หากตัวแปรสุ่มเป็น แสดงว่าเกือบจะแน่ใจว่าค่าของตัวแปรนั้นอยู่ในช่วง () (ความน่าจะเป็นที่จะเกินขอบเขตเหล่านี้คือ 0.0027) กฎอนุญาตให้ทราบพารามิเตอร์ ( และ ) เพื่อกำหนดช่วงเวลาของค่าเชิงปฏิบัติของตัวแปรสุ่มโดยประมาณ

การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์หากความหนาแน่นมีรูปแบบ

เมื่อรวมความหนาแน่นเข้าด้วยกัน เราได้รับฟังก์ชันการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล:

ลักษณะสำคัญของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล:

แผนภาพความหนาแน่นและฟังก์ชันของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่เป็นผลลัพธ์

มูลค่าที่คาดหวัง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์โดยรับค่าจำนวนจำกัด เอ็กซ์ฉันด้วยความน่าจะเป็น รฉันจำนวนเงินเรียกว่า:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกว่าอินทิกรัลของผลคูณของค่าของมัน เอ็กซ์เรื่องความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น ฉ(x):

(6ข)

อินทิกรัลไม่เหมาะสม (6 ข) ถือว่ามาบรรจบกันอย่างแน่นอน (ไม่อย่างนั้นก็จะบอกว่าเป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม(เอ็กซ์) ไม่ได้อยู่). ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีลักษณะเฉพาะ ค่าเฉลี่ยตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- มิติของมันเกิดขึ้นพร้อมกับมิติของตัวแปรสุ่ม

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

การกระจายตัว ความแปรปรวนตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์หมายเลขนี้เรียกว่า:

ความแปรปรวนคือ ลักษณะการกระเจิงค่าตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เทียบกับมูลค่าเฉลี่ยของมัน ม(เอ็กซ์- มิติของความแปรปรวนเท่ากับมิติของตัวแปรสุ่มกำลังสอง จากคำจำกัดความของความแปรปรวน (8) และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (5) สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และ (6) สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เราได้นิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับความแปรปรวน:

(9)

ที่นี่ ม = ม(เอ็กซ์).

คุณสมบัติการกระจายตัว:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

(11)

เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีมิติเดียวกันกับตัวแปรสุ่ม จึงมักใช้เป็นหน่วยวัดการกระจายมากกว่าความแปรปรวน

ช่วงเวลาแห่งการแจกจ่าย แนวคิดเรื่องความคาดหวังและการกระจายทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษของแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม – ช่วงเวลาการกระจาย- โมเมนต์ของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มถูกนำมาใช้เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันง่ายๆ ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นช่วงเวลาแห่งการสั่งซื้อ เคสัมพันธ์กับประเด็น เอ็กซ์ 0 เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม(เอ็กซ์–เอ็กซ์ 0 )เค- ช่วงเวลาเกี่ยวกับต้นกำเนิด เอ็กซ์= 0 ถูกเรียก ช่วงเวลาเริ่มต้นและถูกกำหนด:

(12)

ช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับแรกคือจุดศูนย์กลางของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่กำลังพิจารณา:

(13)

ช่วงเวลาเกี่ยวกับศูนย์กลางการกระจายสินค้า เอ็กซ์= มถูกเรียกว่า จุดศูนย์กลางและถูกกำหนด:

(14)

จาก (7) ตามมาว่าโมเมนต์ศูนย์กลางอันดับหนึ่งจะเท่ากับศูนย์เสมอ:

โมเมนต์ศูนย์กลางไม่ได้ขึ้นอยู่กับที่มาของค่าของตัวแปรสุ่มเนื่องจากเมื่อเลื่อนด้วยค่าคงที่ กับศูนย์กระจายสินค้าจะเปลี่ยนไปตามค่าเดียวกัน กับและการเบี่ยงเบนจากศูนย์กลางไม่เปลี่ยนแปลง: เอ็กซ์ – ม = (เอ็กซ์ – กับ) – (ม – กับ).
ตอนนี้ก็ชัดเจนว่า การกระจายตัว- นี้ ลำดับที่สอง ช่วงเวลากลาง:

ความไม่สมมาตร ช่วงเวลาสำคัญอันดับสาม:

(17)

ทำหน้าที่ในการประเมินผล ความไม่สมดุลในการกระจาย- ถ้าการกระจายตัวมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดนั้น เอ็กซ์= มจากนั้นโมเมนต์กลางลำดับที่สามจะเท่ากับศูนย์ (เหมือนกับโมเมนต์กลางทั้งหมดของคำสั่งคี่) ดังนั้น หากโมเมนต์ศูนย์กลางอันดับสามแตกต่างจากศูนย์ การกระจายตัวจะไม่สามารถสมมาตรได้ ขนาดของความไม่สมมาตรถูกประเมินโดยใช้สิ่งไร้มิติ ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมดุล:

(18)

เครื่องหมายของค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร (18) บ่งบอกถึงความไม่สมมาตรด้านขวาหรือด้านซ้าย (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ประเภทของการกระจายไม่สมมาตร

ส่วนเกิน. ช่วงเวลาศูนย์กลางลำดับที่สี่:

(19)

ทำหน้าที่ประเมินสิ่งที่เรียกว่า ส่วนเกินซึ่งกำหนดระดับความชัน (จุดสูงสุด) ของเส้นโค้งการกระจายใกล้กับศูนย์กลางของการกระจายที่สัมพันธ์กับเส้นโค้งการกระจายแบบปกติ เนื่องจากการแจกแจงแบบปกติ ค่าที่ถือเป็นเคอร์โทซิสคือ:

(20)

ในรูป รูปที่ 3 แสดงตัวอย่างเส้นโค้งการกระจายที่มีค่าเคอร์โทซิสต่างกัน เพื่อการแจกแจงแบบปกติ อี= 0 เส้นโค้งที่แหลมกว่าปกติมีความโด่งเป็นบวก ส่วนโค้งที่มียอดแบนมากกว่าจะมีความโด่งเป็นลบ

ข้าว. 3. เส้นโค้งการกระจายที่มีระดับความชันต่างกัน (เคอร์โทซิส)

โดยปกติแล้วช่วงเวลาลำดับที่สูงกว่าจะไม่ถูกนำมาใช้ในการประยุกต์ใช้สถิติทางวิศวกรรมทางวิศวกรรม

แฟชั่น ไม่ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มคือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด แฟชั่น อย่างต่อเนื่องตัวแปรสุ่มคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด (รูปที่ 2) หากเส้นโค้งการกระจายมีค่าสูงสุดหนึ่งเส้น การแจกแจงจะถูกเรียก ยูนิโมดัล- หากเส้นโค้งการกระจายมีค่าสูงสุดมากกว่าหนึ่งเส้น การแจกแจงจะถูกเรียก ต่อเนื่องหลายรูปแบบ- บางครั้งมีการแจกแจงที่มีเส้นโค้งมีค่าต่ำสุดมากกว่าค่าสูงสุด การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า ต่อต้านกิริยา- ในกรณีทั่วไป โหมดและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มไม่ตรงกัน ในกรณีพิเศษ สำหรับ เป็นกิริยาช่วย, เช่น. มีโหมดการแจกแจงแบบสมมาตรและมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ โหมดหลังจะเกิดขึ้นพร้อมกับโหมดและศูนย์กลางของสมมาตรของการแจกแจง

ค่ามัธยฐาน ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- นี่คือความหมายของมัน เอิ่ม.ซึ่งมีความเท่าเทียมกัน: กล่าวคือ มีความเป็นไปได้เท่ากันว่าตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จะน้อยหรือมากกว่านั้น เอิ่ม.- ทางเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือค่าขาดของจุดที่พื้นที่ใต้เส้นโค้งการกระจายแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง (รูปที่ 2) ในกรณีของการแจกแจงแบบโมดอลแบบสมมาตร ค่ามัธยฐาน โหมด และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเหมือนกัน