>

Dokaži vzporedne premice. Ravna črta. Vzporedne črte. Osnovni pojmi

Znaki vzporednosti dveh premic

Izrek 1. Če se dve premici sekata s sekanto:

    prekrižani koti so enaki, oz

    ustrezna kota enaka oz

    vsota enostranskih kotov je 180°, torej

črte so vzporedne(slika 1).

Dokaz. Omejili smo se na dokazovanje primera 1.

Naj bosta premici a in b navzkrižni in kota AB enaka. Na primer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo, da je a || b.

Recimo, da premici a in b nista vzporedni. Nato se sekata v neki točki M in zato bo eden od kotov 4 ali 6 zunanji kot trikotnika ABM. Za določnost naj bo ∠ 4 zunanji kot trikotnika ABM, ∠ 6 pa notranji. Iz izreka o zunanjem kotu trikotnika sledi, da je ∠ 4 večji od ∠ 6, to pa je v nasprotju s pogojem, kar pomeni, da se premici a in 6 ne moreta sekat, torej sta vzporedni.

Posledica 1. Dve različni premici v ravnini, pravokotni na isto premico, sta vzporedni(slika 2).

Komentiraj. Način, kako smo pravkar dokazali primer 1 izreka 1, se imenuje metoda dokaza s protislovjem ali redukcija na absurd. Ta metoda je dobila svoje prvo ime, ker je na začetku argumenta podana predpostavka, ki je v nasprotju (nasprotju) s tem, kar je treba dokazati. Imenuje se privedba do absurda zaradi dejstva, da z razmišljanjem na podlagi postavljene predpostavke pridemo do absurdnega zaključka (do absurda). Prejem takega sklepa nas prisili, da zavrnemo prvotno predpostavko in sprejmemo tisto, ki jo je bilo treba dokazati.

Naloga 1. Konstruirajte premico, ki poteka skozi dano točko M in je vzporedna z dano premico a, ne pa skozi točko M.

rešitev. Skozi točko M narišemo premico p pravokotno na premico a (slika 3).

Nato skozi točko M narišemo premico b pravokotno na premico p. Premica b je vzporedna s premico a glede na posledico izreka 1.

Iz obravnavanega problema sledi pomemben sklep:
skozi točko, ki ne leži na dani premici, je vedno mogoče narisati premico, ki je vzporedna z dano.

Glavna lastnost vzporednih črt je naslednja.

Aksiom vzporednih premic. Skozi dano točko, ki ne leži na dani premici, teče samo ena premica, vzporedna z dano premico.

Oglejmo si nekaj lastnosti vzporednih premic, ki izhajajo iz tega aksioma.

1) Če premica seka eno od dveh vzporednih premic, potem seka tudi drugo (slika 4).

2) Če sta dve različni premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni (slika 5).

Prav tako velja naslednji izrek.

Izrek 2. Če dve vzporedni premici seka prečnica, velja:

    navzkrižni koti so enaki;

    ustrezna kota sta enaka;

    vsota enostranskih kotov je 180°.

Posledica 2. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo(glej sliko 2).

Komentiraj. Izrek 2 se imenuje inverz izreka 1. Zaključek izreka 1 je pogoj izreka 2. In pogoj izreka 1 je sklep izreka 2. Vsak izrek nima inverza, to je, če je dani izrek res, potem je inverzni izrek lahko napačen.

Razložimo to na primeru izreka o navpičnih kotih. Ta izrek je mogoče formulirati na naslednji način: če sta dva kota navpična, potem sta enaka. Obratni izrek bi bil: če sta dva kota enaka, potem sta navpična. In to seveda ne drži. Ni nujno, da sta dva enaka kota navpična.

Primer 1. Dve vzporedni črti seka tretja. Znano je, da je razlika med dvema notranjima enostranskima kotoma 30°. Poišči te kote.

rešitev. Naj slika 6 izpolnjuje pogoj.

V tem članku bomo govorili o vzporednih premicah, podali definicije ter opisali znake in pogoje vzporednosti. Za večjo preglednost teoretične snovi bomo uporabili ilustracije in rešitve tipičnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Vzporedne premice na ravnini– dve premici na ravnini, ki nimata skupnih točk.

Definicija 2

Vzporedne črte v tridimenzionalnem prostoru– dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki ležita v isti ravnini in nimata skupnih točk.

Upoštevati je treba, da je za določanje vzporednih premic v prostoru izjemno pomembno pojasnilo »leži v isti ravnini«: dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki nimata skupnih točk in ne ležita v isti ravnini, nista vzporedni. , vendar se križajo.

Za označevanje vzporednih črt je običajno uporabiti simbol ∥. To pomeni, da če sta dani premici a in b vzporedni, je treba ta pogoj na kratko zapisati takole: a ‖ b. Verbalno vzporednost premic označimo takole: premici a in b sta vzporedni ali premica a je vzporedna s premico b ali premica b vzporedna s premico a.

Oblikujmo izjavo, ki igra pomembno vlogo v obravnavani temi.

Aksiom

Skozi točko, ki ne pripada dani premici, poteka edina premica, ki je vzporedna z dano premico. Te trditve ni mogoče dokazati na podlagi znanih aksiomov planimetrije.

V primeru, ko govorimo o prostoru, velja izrek:

1. izrek

Skozi vsako točko v prostoru, ki ne pripada dani premici, bo potekala ena sama premica, vzporedna z dano.

Ta izrek je enostavno dokazati na podlagi zgornjega aksioma (program geometrije za 10.–11. razred).

Kriterij vzporednosti je zadosten pogoj, katerega izpolnjevanje zagotavlja vzporednost premic. Z drugimi besedami, izpolnitev tega pogoja zadostuje za potrditev dejstva vzporednosti.

Predvsem obstajajo potrebni in zadostni pogoji za vzporednost premic na ravnini in v prostoru. Naj pojasnimo: nujno pomeni pogoj, katerega izpolnitev je nujna za vzporedne premice; če ni izpolnjeno, premice niso vzporedne.

Če povzamemo, nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic je pogoj, katerega upoštevanje je potrebno in zadostno, da so premice med seboj vzporedne. Po eni strani je to znak vzporednosti, po drugi strani pa lastnost vzporednih črt.

Preden podamo natančno formulacijo nujnega in zadostnega pogoja, si opomnimo še nekaj dodatnih pojmov.

Definicija 3

Sekantna črta– premica, ki seka vsako od dveh danih nesovpadajočih premic.

Prečnica, ki seka dve ravni črti, tvori osem nerazvitih kotov. Za oblikovanje potrebnega in zadostnega pogoja bomo uporabili takšne vrste kotov, kot so prekrižani, ustrezni in enostranski. Predstavimo jih na sliki:

2. izrek

Če sta dve premici v ravnini sekani s prečnico, je za vzporednost danih premic nujno in zadostno, da sta seka kota enaka ali da sta pripadajoča kota enaka ali da je vsota enostranskih kotov enaka 180 stopinj.

Grafično ponazorimo nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini:

Dokaz teh pogojev je prisoten v programu geometrije za 7. - 9. razred.

Na splošno veljajo ti pogoji tudi za tridimenzionalni prostor, pod pogojem, da dve premici in sekanta pripadata isti ravnini.

Naj navedemo še nekaj izrekov, ki se pogosto uporabljajo za dokazovanje dejstva, da so premice vzporedne.

Izrek 3

Na ravnini sta dve premici, vzporedni s tretjo, med seboj vzporedni. Ta lastnost je dokazana na podlagi zgoraj navedenega aksioma paralelizma.

Izrek 4

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, vzporedni s tretjo, vzporedni druga z drugo.

Dokaz znaka se preučuje v učnem načrtu geometrije za 10. razred.

Naj ponazorimo te izreke:

Naj navedemo še en par izrekov, ki dokazujejo vzporednost premic.

Izrek 5

Na ravnini sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Formulirajmo podobno stvar za tridimenzionalni prostor.

Izrek 6

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Naj ponazorimo:

Vsi zgornji izreki, znaki in pogoji omogočajo priročno dokazovanje vzporednosti črt z metodami geometrije. To pomeni, da lahko za dokaz vzporednosti črt pokažemo, da so ustrezni koti enaki, ali dokažemo dejstvo, da sta dve dani črti pravokotni na tretjo itd. Vendar upoštevajte, da je pogosto bolj priročno uporabiti koordinatno metodo za dokazovanje vzporednosti črt na ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru.

Vzporednost daljic v pravokotnem koordinatnem sistemu

V danem pravokotnem koordinatnem sistemu je premica določena z enačbo premice na ravnini ene od možnih vrst. Podobno premica, definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu v tridimenzionalnem prostoru, ustreza nekaterim enačbam za premico v prostoru.

Zapišimo potrebne in zadostne pogoje za vzporednost premic v pravokotnem koordinatnem sistemu glede na vrsto enačbe, ki opisuje dane premice.

Začnimo s pogojem vzporednosti premic na ravnini. Temelji na definicijah smernega vektorja premice in normalnega vektorja premice na ravnini.

Izrek 7

Da sta dve neskladni premici vzporedni na ravnini, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja danih premic kolinearna, normalna vektorja danih premic kolinearna ali da je smerni vektor ene premice pravokoten na normalni vektor druge premice.

Očitno postane, da pogoj vzporednosti premic na ravnini temelji na pogoju kolinearnosti vektorjev oziroma na pogoju pravokotnosti dveh vektorjev. To je, če sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja premic a in b ;

in n b → = (n b x , n b y) sta normalna vektorja premic a in b, potem zgornji nujni in zadostni pogoj zapišemo takole: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ali n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ali a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kjer je t neko realno število. Koordinate vodil ali ravnih vektorjev so določene z danimi enačbami ravnih črt. Oglejmo si glavne primere.

  1. Premica a v pravokotnem koordinatnem sistemu je določena s splošno enačbo premice: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; premica b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potem bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (A 1, B 1) oziroma (A 2, B 2). Pogoj vzporednosti zapišemo takole:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

  1. Premica a je opisana z enačbo premice z naklonom oblike y = k 1 x + b 1 . Premica b - y = k 2 x + b 2. Takrat bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (k 1, - 1) oziroma (k 2, - 1), pogoj vzporednosti pa bomo zapisali takole:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Torej, če so vzporedne premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu podane z enačbami s kotnimi koeficienti, bodo kotni koeficienti danih premic enaki. In nasprotna trditev velja: če so nesovpadajoče premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu določene z enačbami premice z enakimi kotnimi koeficienti, potem so te dane premice vzporedne.

  1. Premici a in b v pravokotnem koordinatnem sistemu sta podani s kanoničnimi enačbami premice na ravnini: x - x 1 a x = y - y 1 a y in x - x 2 b x = y - y 2 b y ali s parametričnimi enačbami premica na ravnini: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y in x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Potem bodo smerni vektorji danih premic: a x, a y oziroma b x, b y, pogoj vzporednosti pa bomo zapisali takole:

a x = t b x a y = t b y

Poglejmo si primere.

Primer 1

Podani sta dve premici: 2 x - 3 y + 1 = 0 in x 1 2 + y 5 = 1. Ugotoviti je treba, ali sta vzporedni.

rešitev

Zapišimo enačbo ravne črte v segmentih v obliki splošne enačbe:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo, da je n a → = (2, - 3) normalni vektor premice 2 x - 3 y + 1 = 0 in n b → = 2, 1 5 normalni vektor premice x 1 2 + y 5 = 1.

Nastali vektorji niso kolinearni, ker ni take vrednosti tat, da bi bila enakost resnična:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Tako nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini ni izpolnjen, kar pomeni, da dani premici nista vzporedni.

odgovor: dani premici nista vzporedni.

Primer 2

Podani sta premici y = 2 x + 1 in x 1 = y - 4 2. Ali sta vzporedna?

rešitev

Pretvorimo kanonično enačbo premice x 1 = y - 4 2 v enačbo premice z naklonom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo, da enačbi premic y = 2 x + 1 in y = 2 x + 4 nista enaki (če bi bilo drugače, bi premice sovpadale) in da sta kotna koeficienta premic enaka, kar pomeni, da dane premice so vzporedne.

Poskusimo problem rešiti drugače. Najprej preverimo, ali dani premici sovpadata. Uporabimo katero koli točko na premici y = 2 x + 1, na primer (0, 1), koordinate te točke ne ustrezajo enačbi premice x 1 = y - 4 2, kar pomeni, da premice ne sovpadajo.

Naslednji korak je ugotoviti, ali je pogoj vzporednosti danih premic izpolnjen.

Normalni vektor premice y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , smerni vektor druge dane premice pa je b → = (1 , 2) . Skalarni produkt teh vektorjev je enak nič:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektorja sta torej pravokotna: to nam dokazuje izpolnjevanje nujnega in zadostnega pogoja za vzporednost prvotnih premic. Tisti. dani premici sta vzporedni.

odgovor: te črte so vzporedne.

Za dokaz vzporednosti premic v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora uporabimo naslednji nujni in zadostni pogoj.

Izrek 8

Da sta dve neskladni premici v tridimenzionalnem prostoru vzporedni, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja teh premic kolinearna.

Tisti. glede na enačbe premic v tridimenzionalnem prostoru odgovor na vprašanje, ali so vzporedne ali ne, najdemo z določitvijo koordinat smernih vektorjev danih premic ter preverjanjem pogoja njihove kolinearnosti. Z drugimi besedami, če sta a → = (a x, a y, a z) in b → = (b x, b y, b z) smerni vektorji premic a oziroma b, potem, da bi bili vzporedni, obstoj takega realnega števila t je potrebno, tako da velja enakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primer 3

Podani sta premici x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 in x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Treba je dokazati vzporednost teh premic.

rešitev

Pogoji problema so podani s kanoničnimi enačbami ene premice v prostoru in parametričnimi enačbami druge premice v prostoru. Vodilni vektorji a → in b → dani premici imata koordinate: (1, 0, - 3) in (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , potem je a → = 1 2 · b → .

Posledično je izpolnjen nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic v prostoru.

odgovor: vzporednost danih premic je dokazana.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ki ležijo v isti ravnini in bodisi sovpadajo bodisi se ne sekajo. V nekaterih šolskih definicijah se sovpadajoče črte ne štejejo za vzporedne; taka definicija tukaj ni upoštevana.

Lastnosti

  1. Paralelizem je binarno ekvivalenčno razmerje, zato razdeli celotno množico črt v razrede črt, ki so med seboj vzporedne.
  2. Skozi poljubno točko lahko narišete točno eno ravno črto, ki je vzporedna z dano. To je značilna lastnost evklidske geometrije; v drugih geometrijah je številka 1 nadomeščena z drugimi (v geometriji Lobačevskega sta vsaj dve taki črti)
  3. 2 vzporedni premici v prostoru ležita v isti ravnini.
  4. Ko se 2 vzporedni premici sekata, nastane tretja, imenovana sekant:
    1. Sekanta nujno seka obe premici.
    2. Pri sekanju nastane 8 kotov, od katerih imajo nekateri značilni pari posebna imena in lastnosti:
      1. Leži navzkrižno kota sta enaka.
      2. Relevantno kota sta enaka.
      3. Enostransko seštevek kotov znaša 180°.

V geometriji Lobačevskega

V geometriji Lobačevskega v ravnini skozi točko Ni mogoče razčleniti izraza (leksikalna napaka): Czunaj te vrstice AB

Obstaja neskončno število ravnih črt, ki se ne sekajo AB. Od teh, vzporedno z AB imenovana sta samo dva.

Naravnost CE imenujemo enakostranična (vzporedna) črta AB v smeri od A Za B, Če:

  1. točke B in E ležijo na eni strani ravne črte AC ;
  2. naravnost CE ne seka črte AB, ampak vsak žarek, ki poteka znotraj kota ACE, prečka žarek AB .

Ravna črta je definirana podobno AB v smeri od B Za A .

Vse druge premice, ki ne sekajo te, se imenujejo ultraparalelen oz divergenten.

Poglej tudi


Fundacija Wikimedia. 2010.

  • Prečkati mejo
  • Nesterihin, Jurij Efremovič

Oglejte si, kaj so "vzporedne črte" v drugih slovarjih:

    VZPOREDNO NEPOSREDNO- VZPOREDNE PREMICE, premice, ki se ne sekajo v isti ravnini... Sodobna enciklopedija

    VZPOREDNO NEPOSREDNO Veliki enciklopedični slovar

    Vzporedne črte- VZPOREDNE PREMICE, premice, ki se ne sekajo in ležijo v isti ravnini. ... Ilustrirani enciklopedični slovar

    Vzporedne črte- v evklidski geometriji premice, ki ležijo v isti ravnini in se ne sekajo. V absolutni geometriji (glej Absolutna geometrija) poteka skozi točko, ki ne leži na dani premici, vsaj ena premica skozi točko, ki ne seka dane premice. V…… Velika sovjetska enciklopedija

    vzporedne črte- premice, ki se ne sekajo, ležijo v isti ravnini. * * * VZPOREDNE PREMICE VZPOREDNE PREMICE, premice, ki se ne sekajo v isti ravnini... enciklopedični slovar

    VZPOREDNO NEPOSREDNO- v evklidski geometriji premice ležijo v isti ravnini in se ne sekajo. V absolutni geometriji gre skozi točko, ki ne leži na dani premici, vsaj ena premica, ki ne seka dane premice. V evklidski geometriji je samo ena... ... Matematična enciklopedija

    VZPOREDNO NEPOSREDNO- premice, ki se ne sekajo, ležijo v isti ravnini... Naravoslovje. enciklopedični slovar

    Vzporedni svetovi v leposlovju- Ta članek lahko vsebuje izvirno raziskavo. Dodajte povezave do virov, sicer je lahko nastavljeno za brisanje. Več informacij je lahko na pogovorni strani. Ta ... Wikipedia

    Paralelni svetovi- Vzporedni svet (v fikciji) je realnost, ki nekako obstaja sočasno z našo, vendar neodvisno od nje. Ta avtonomna realnost je lahko različnih velikosti: od majhnega geografskega območja do celega vesolja. Vzporedno ... Wikipedia

    Vzporedno- daljice Ravne črte imenujemo P., če se niti same niti njihovi podaljški ne sekajo. Novice iz ene od teh vrstic so na enaki razdalji od druge. Vendar je običajno reči: dve P. ravni črti se sekata v neskončnosti. Takšna…… Enciklopedija Brockhausa in Efrona

knjige

  • Set miz. Matematika. 6. razred. 12 tabel + metodologija, . Tabele so natisnjene na debelem tiskanem kartonu dimenzij 680 x 980 mm. Komplet vsebuje brošuro z učnimi smernicami za učitelje. Izobraževalni album 12 listov. Deljivost…

1. Če sta dve premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni:

če a||c in b||c, To a||b.

2. Če sta dve premici pravokotni na tretjo premico, potem sta vzporedni:

če a⊥c in b⊥c, To a||b.

Preostali znaki vzporednosti črt temeljijo na kotih, ki nastanejo, ko se dve ravni črti sekata s tretjo.

3. Če je vsota notranjih enostranskih kotov 180°, sta premici vzporedni:

Če je ∠1 + ∠2 = 180°, potem a||b.

4. Če sta ustrezna kota enaka, sta premici vzporedni:

Če je ∠2 = ∠4, potem a||b.

5. Če sta notranji navzkrižni koti enaki, sta premici vzporedni:

Če je ∠1 = ∠3, potem a||b.

Lastnosti vzporednih premic

Izjave, inverzne lastnostim vzporednih premic, so njihove lastnosti. Temeljijo na lastnostih kotov, ki jih tvori presečišče dveh vzporednih premic s tretjo premico.

1. Ko dve vzporedni premici sekata tretjo premico, je vsota notranjih enostranskih kotov, ki jih tvorita, enaka 180°:

če a||b, potem je ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Ko dve vzporedni črti sekata tretjo črto, sta ustrezna kota, ki ju tvorita, enaka:

če a||b, potem je ∠2 = ∠4.

3. Ko dve vzporedni premici sekata tretjo premico, sta navzkrižna kota, ki ju tvorita, enaka:

če a||b, potem je ∠1 = ∠3.

Naslednja lastnost je poseben primer za vsako prejšnjo:

4. Če je premica na ravnini pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo:

če a||b in c⊥a, To c⊥b.

Peta lastnost je aksiom vzporednih premic:

5. Skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko narišemo samo eno premico, vzporedno z dano premico.

Navodila

Preden začnemo z dokazom, se prepričajmo, da premice ležijo v isti ravnini in jih nanjo lahko narišemo. Najpreprosteje to dokažemo z merjenjem z ravnilom. Če želite to narediti, uporabite ravnilo za merjenje razdalje med ravnimi črtami na več mestih, kolikor je mogoče oddaljenih. Če razdalja ostane nespremenjena, sta dani premici vzporedni. Toda ta metoda ni dovolj natančna, zato je bolje uporabiti druge metode.

Narišite tretjo črto tako, da seka obe vzporedni črti. Z njimi tvori štiri zunanje in štiri notranje kote. Upoštevajte notranje vogale. Tiste, ki ležijo skozi sekanto, imenujemo križno ležeče. Tisti, ki ležijo na eni strani, se imenujejo enostranski. S kotomerjem izmerite dva notranja sečna kota. Če sta med seboj enaki, bosta črti vzporedni. Če ste v dvomih, izmerite enostranske notranje kote in dodajte dobljene vrednosti. Premici bosta vzporedni, če je vsota enostranskih notranjih kotov enaka 180º.

Če nimate kotomera, uporabite 90º kvadrat. Z njim zgradite pravokotno na eno od črt. Nato nadaljujte s to navpičnico, tako da seka drugo črto. Z istim kvadratom preveri, pod kakšnim kotom ga seka ta navpičnica. Če je tudi ta kot 90º, sta premici med seboj vzporedni.

Če so premice podane v kartezičnem koordinatnem sistemu, poiščite njihovo smer oziroma normalne vektorje. Če sta ta vektorja kolinearna drug z drugim, sta premici vzporedni. Zmanjšajte enačbo premic na splošno obliko in poiščite koordinate normalnega vektorja vsake premice. Njegove koordinate so enake koeficientoma A in B. Če je razmerje ustreznih koordinat normalnih vektorjev enako, sta kolinearna in premici vzporedni.

Na primer, ravne črte so podane z enačbami 4x-2y+1=0 in x/1=(y-4)/2. Prva enačba je splošne oblike, druga je kanonične. Pripeljite drugo enačbo v splošno obliko. Za to uporabite pravilo pretvorbe deležev, rezultat bo 2x=y-4. Po redukciji na splošno obliko dobite 2x-y+4=0. Ker je splošna enačba za poljubno premico zapisana Ax+By+C=0, potem je za prvo premico: A=4, B=2, za drugo premico pa A=2, B=1. Za prvo direktno koordinato normalnega vektorja (4;2), za drugo pa (2;1). Poiščite razmerje ustreznih koordinat normalnih vektorjev 4/2=2 in 2/1=2. Ti številki sta enaki, kar pomeni, da sta vektorja kolinearna. Ker sta vektorja kolinearna, sta premici vzporedni.