Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.
Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.
Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.
Вкладываем деньги в банк
Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.
Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:
\[\frac{20}{3}=6,....\to 7\]
Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:
Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:
В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:
В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:
Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:
\[\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]
Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:
\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]
А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:
\[\begin{align}& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left(3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot {{1,15}^{3}}+3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left({{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} \right) \\\end{align}\]
Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.
Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:
Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.
Обратите внимание: формула n -го элемента звучит следующим образом:
\[{{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}\]
Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто n для суммы n- элементов, а сам n -й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:
\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1 \\& q=1,15 \\\end{align}\]
\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}\]
Посчитаем числитель отдельно:
\[{{1,15}^{4}}={{\left({{1,15}^{2}} \right)}^{2}}={{\left(1,3225 \right)}^{2}}=1,74900625\approx 1,75\]
Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:
\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{1,75-1}{0,15}=\frac{0,75}{0,15}=\frac{75}{15}=5\]
В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:
4 года → 5 раз
Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:
5 лет → 6,7 раз
Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:
Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.
Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.
К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.
А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:
\[\text{Vklad}=\text{platezh}\frac{{{\text{%}}^{n}}-1}{\text{%}-1}\]
Сам по себе % считается по следующей формуле:
Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.
Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?
У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.
Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.
Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.
Проценты по кредитам
С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.
Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.
Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.
Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:
Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:
В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:
Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:
\[\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]
И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.
Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:
\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]
И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:
\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]
Давайте решать:
\[\begin{align}& \left(2m\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}- x\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\cdot {{1,2}^{2}}+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\left({{1,2}^{2}}+1,2+1 \right) \\\end{align}\]
Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:
Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:
\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1; \\& q=1,2 \\\end{align}\]
Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:
\[{{S}_{3}}=1\cdot \frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}\]
Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $\left({{b}_{1}};q \right)$ считается по формуле:
\[{{S}_{n}}={{b}_{1}}\cdot \frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}\]
Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:
Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:
\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]
Переписываем наше выражение:
Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:
По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:
Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.
Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.
Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.
Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.
Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике
Пример № 1
Итак, первая задача:
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?
Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:
Кредит нам известен — 9282000 рублей.
С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:
Мы можем составить уравнение:
У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:
$\begin{align}& {{1,1}^{4}}={{\left({{1,1}^{2}} \right)}^{2}} \\& 1,1\cdot 1,1=1,21 \\& {{1,1}^{4}}=1,4641 \\\end{align}$
Теперь перепишем уравнение:
\[\begin{align}& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{1,4641-1}{0,1} \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{0,4641}{0,1}|:10000 \\& 9282000\cdot \frac{14641}{10000}=x\cdot \frac{4641}{1000} \\& \frac{9282\cdot 14641}{10}=x\cdot \frac{4641}{1000}|:\frac{4641}{1000} \\& x=\frac{9282\cdot 14641}{10}\cdot \frac{1000}{4641} \\& x=\frac{2\cdot 14641\cdot 1000}{10} \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end{align}\]\[\]
Все, наша задача с процентами решена.
Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.
Пример № 2
31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.
Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:
\[\]\
Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:
Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:
Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:
\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2\cdot {{1,2}^{2}} \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]
Переписываем наше выражение:
\[\begin{align}& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac{1,728-1}{0,2} \\& 4004000\cdot \frac{1728}{1000}=x\cdot \frac{728}{200}|:\frac{728}{200} \\& x=\frac{4004\cdot 1728\cdot 200}{728} \\& x=\frac{4004\cdot 216\cdot 200}{91} \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end{align}\]
Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:
Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.
Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:
\[\begin{align}& 4004000\cdot {{1,2}^{2}}=x\cdot \frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \\& 4004000\cdot \frac{144}{100}=x\cdot \frac{11}{5}|\cdot \frac{5}{11} \\& x=\frac{40040\cdot 144\cdot 5}{11} \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end{align}\]
Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:
Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:
Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.
Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.
Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.
Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.
Пример № 3
Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.
31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?
Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:
Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:
Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:
\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]
Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:
\[\begin{align}& x\cdot \frac{12769}{10000}=5107600\cdot \frac{1,2769-1}{0,13} \\& x\cdot \frac{12769}{10000}=\frac{5107600\cdot 2769}{1300}|:\frac{12769}{10000} \\& x=\frac{51076\cdot 2769}{13}\cdot \frac{10000}{12769} \\& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end{align}\]
Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.
Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.
В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.
Процент – это сотая доля числа.
Процент обозначается символом $%$.
Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.
$35%={35}/{100}=0.35$.
Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
$n%$ от $а={а⋅n}/{100}$
Сколько градусов содержит угол, если он составляет $5%$ от развернутого угла?
Развернутый угол равен $180°$.
Найдем $5%$ от $180°$, для этого ${180°⋅5}/{100}=9°$.
Ответ: $9°$.
Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.
Найдите число, $20%$ которого составляют $80$.
Число, $20%$ которого составляют $80$, находим так:
${80⋅100}/{20}=400$.
Ответ: $400$.
Задачи на скидки
Скидка - это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.
Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:
- Из $100%$ вычесть процент скидки.
- Найти полученный процент от полной стоимости товара.
Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки?
Найдем, какой процент от начальной стоимости будет составлять стоимость куртки со скидкой:
Посчитаем, сколько составляет $80%$ от $4500$ рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
${4500·80}/{100}=3600$ - стоимость куртки с учетом скидки.
Задачи на вклады, кредиты, наценки
Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:
- К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
- Найти полученный процент от изначального количества денег.
Клиент положил в банк 150000 рублей под $12%$ годовых. Какую сумму он сможет снять через год?
$100%+12%=112%$ - это процент, который составляет сумма денег клиента через год относительно первоначальной суммы.
Найдем $112%$ от $150000$ рублей:
${112⋅150000}/{100}=168000$ рублей.
Ответ: $168000$.
В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:
Мешок картошки стоил $200$ рублей. После повышения цены он стал стоить $250$ рублей. На сколько процентов была повышена цена на мешок картошки?
Возьмем за $100%$ изначальную стоимость товара (так как именно с ней мы будем сравнивать стоимость после повышения цены):
Пусть $х%$ - столько процентов составляет новая цена относительно старой.
С этими данными составим и решим пропорцию:
${100%}/{х%}={200}/{250}$.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:
$200⋅х=100⋅250$.
$х={100⋅250}/{200}=125%$.
Новая стоимость мешка с картошкой составляет $125%$ относительно начальной цены.
Цена увеличилась на $125%-100%=25%$.
Ответ: $25$.
Рабочая тетрадь по математике стоит $65$ рублей. Сколько тетрадей может купить ученик на $450$ рублей, если действует скидка $8%$?
Найдем, сколько процентов составляет стоимость тетради с учетом скидки:
Найдем $92%$ от $65$ рублей и получим стоимость $1$ тетради со скидкой:
${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$
Дробное число тетрадей мы купить не можем, на восемь тетрадей денег не хватит, поэтому ученик сможет купить только $7$ тетрадей.
Ответ: $7$.
Для решения некоторых задач необходимо быть знакомым с термином "сложные проценты" , который часто нужен для решения задач о вкладах, кредитах и пр. Простыми словами, "сложные проценты" возникают тогда, когда мы начисляем проценты на проценты. Давайте разберем на примере.
Допустим мы положили в банк $X$ рублей под $N%$ годовых. И оставили деньги в банке не на один, а на два года. Это значит, что в конце первого года мы смогли бы забрать $X + X*{N/100} = X(1+{N/100})$ рублей, но мы их не забираем, а оставляем на второй год. И теперь как бы сумма нашего "нового" вклада на второй год под $N%$ составляет уже не $X$, а $X(1+{N/100})$ рублей. То есть в течение второго года проценты будут начисляться в том числе на проценты, накопленные за первый год. Итого под конец второго года мы сможем забрать $X(1+{N/100}) + X(1+{N/100})*{N/100} = X(1+{N/100})(1+{N/100}) = X(1+{N/100})^2$.
Если бы мы сделали вклад не на два, а на $Y$ лет, то в конце получили бы $X(1+{N/100})^Y$ рублей.
Смотри также видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике" .
Текстовая задача - это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.
Начнем с задач на проценты. С этой темой мы уже познакомились в задаче 1 . В частности, сформулировали важное правило: за мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
Мы также вывели полезные формулы:
если величину увеличить на процентов, получим .
если величину уменьшить на процентов, получим .
если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на , получим .
если величину дважды увеличить на процентов, получим
если величину дважды уменьшить на процентов, получим
Воспользуемся ими для решения задач.
В году в городском квартале проживало человек. В году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в году - на по сравнению с годом. Сколько человек стало проживать в квартале в году?
По условию, в году число жителей выросло на , то есть стало равно человек.
А в году число жителей выросло на , теперь уже по сравнению с годом. Получаем, что в году в квартале стало проживать жителей.
Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре года. Она проста, но справились с ней немногие.
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:
| в понедельник утром | в понедельник вечером | во вторник вечером | |
| Стоимость акций |
По условию, акции в итоге подешевели на .
Получаем, что
Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.
По смыслу задачи, величина положительна.
Получаем, что .
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей.
Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна
Четыре рубашки дешевле куртки на . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет от цены куртки, то есть
.
Стоимость одной рубашки - в раза меньше:
,
а стоимость пяти рубашек:
Получили, что пять рубашек на дороже куртки.
Ответ: .
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация » и «ситуация ».
| муж | жена | дочь | Общий доход | |
| В реальности | ||||
| Ситуация | ||||
| Ситуация |
Осталось записать систему уравнений.
Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму . Получим:
Это значит, что зарплата мужа составляет от общего дохода семьи.
Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение , упростим и получим, что
Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет общего дохода.
Ответ: .
Следующий тип задач - задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Мы расскажем о самом простом способе их решения.
В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично - так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .
Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:
.
Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пусть масса первого раствора равна . Масса второго - тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.
Получаем:
Ответ: .
Виноград содержит влаги, а изюм - . Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?
Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог - знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда
От от
Составим уравнение:
и найдем .
Ответ: .
Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй - никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .
Запишем простую систему уравнений:
Первое уравнение - масса получившегося сплава, второе - масса никеля.
Решая, получим, что .
Ответ: .
Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.
Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.
Ответ: .
Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула . Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.
Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.
Запишем эти данные в таблицу:
| велосипедист | |||
| мотоциклист |
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.
| велосипедист | |||
| мотоциклист |
А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг - это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:
Решим получившуюся систему.
Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.
Ответ: .
Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение - взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в ..
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт - в .. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:
Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа - в третий, и еще через часа - в четвертый.
Значит, если старт был в ., то в четвертый раз стрелки поравняются через
часа.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)
На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:
,
где - средняя скорость, - общий путь, - общее время.
Если участков пути было два, то
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно . Общее время равно .
Средняя скорость равна км/ч.
Ответ: .
Покажем еще один эффектный прием, помогающий быстро решить систему уравнений в задаче 13.
Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей - за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Мы уже решали задачи на работу и производительность . Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть - производительность Андрея, - производительность Паши, а - производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за - ведь мы ничего не можем сказать о его размере.
| производительность | работа | |
| Андрей | ||
| Паша | ||
| Володя | ||
| Вместе |
Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
Аналогично,
Тогда
.
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.
Поговорим о задачах №19 ЕГЭУже два года во вторую часть добавлена задача c экономическим содержанием, т. е. задачи на сложные банковские проценты.
Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.
В конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%. Тогда в конце n -го этапа значение некоторой величины А , исходное значение которой равнялось А 0 , определяется формулой:
При увеличении и
При уменьшении
Зная, что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти
эквивалентную ей месячную процентную ставку.
Решение:
Если положить в банк A рублей, то через год получим: A 1 = A 0 (1 +0,12)
Если проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х , то по формуле сложных процентов через год (12 месяцев) А n = A 0 (1 + 0,01х) 12
Приравняв эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную процентную ставку A(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12
1.12 = (1 + 0,01x) 12
x = (-1)·100% ≈ 0.9488792934583046%
Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.
Из решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение:
Пусть сумма кредита равна а , ежегодный платеж равен х рублей, а годовые составляют k % . Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m =1+ 0,01 k . После первой выплаты сумма долга составит : а 1 = am - х. После второй выплаты сумма долга
составит:
а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому
откуда
При а = 9930000 и k =10 , получаем т =1,1 и
Ответ : 3993 000 рублей.
Теперь когда мы разобрались с этим предложенным во всех решебниках решением, давайте посмотрим на другое решение.
Пусть F = 9 930 000 – величина кредита, x – искомая величина ежегодного платежа.
Первый год:
Долг: 1,1F ;
Платеж: х ;
Остаток: 1,1F-х .
Второй год:
Долг: 1,1(1,1F-х) ;
Платеж: х ;
Остаток: 1,1(1,1F-х)-х .
Третий год:
Долг: 1,1(1,1F-х)-х );
Платеж: х ;
Остаток: 0, потому что по условию было всего три платежа.
Единственное уравнение
1,1(1,1(1,1F-х)-х)-х=0 . 1,331 F =3,31х, х=3993000
Ответ: 3 993 000 рублей.
Однако-1 ! Если предположить, что процентная ставка не красивые 10%, а страшные 13,66613%. Шансы где-то умереть по ходу умножений или сойти с ума при подробном расписывании множителя при величине долга за каждый год резко увеличились. Добавим к этому еще и не маленькие 3 года, а лет 25. Такое решение не сработает.
31 декабря 2014 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Решение.
Пусть а – искомая величина, k% – процентная ставка по кредиту, х – ежегодный платеж. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет умножаться на коэффициент m = 1 + 0,01k . После первой выплаты сумма долга составит: а 1 = аm – х . После второй выплаты сумма долга составит:
а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х
После третьей выплаты сумма оставшегося долга:
По условию Андрей выплатил долг за три года,
то есть а 3 = 0 , откуда.
При x = 3 460 600, k% = 10% , получаем: m = 1,1 и =8 606 000 (рублей).
Ответ: 8 606 000 рублей.
31 декабря 2013 года Игорь взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?
Решение
Пусть k % – искомая ставка по кредиту; m = (1 + 0,01 k ) – множитель оставшегося долга; a = 100 000 – сумма, взятая в банке; x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – размеры первого и последнего трáншей.
После первой выплаты сумма долга составит: a 1 = ma – x 1 .
После второй выплаты сумма долга составит: a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 – m x 1 – x 2 . По условию, a 2 = 0 . Уравнение надо будет решить сначала относительно m , разумеется взяв только положительный корень:
100 000m 2 – 51 000m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.
Вот где начинаются трудности.
D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .
Тогда.
Ответ: 11%.
31 декабря 2013 года Маша взяла в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Маша переводит очередной транш. Если она будет платить каждый год по 2 788 425 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 991 625, то за 2 года. Под какой процент Маша взяла деньги в банке?
Решение
После двух лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:
После четырех лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:
Откуда
тогда.
Ответ: 12,5%.
31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 9 009 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение
Воспользуемся результатом из задачи 2.
Искомая разность х 3 -х 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 рублей.
Ответ: 1 036 00 рублей.
1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?
Надо понять простую истину – чем больше будет платеж по кредиту, тем меньше будет долг. Меньше будет долг – быстрее его выплатишь. Максимальный ежемесячный платеж, который может себе позволить кредитор, равен 300 000 рублей согласно условию. Если Всеволод Ярославович будет платить максимальный платеж, то он быстрее всего погасит долг. Другими словами, сможет взять кредит на наименьший период времени, что и требуется условием.
Попробуем решать задачу в лоб.
Прошел месяц. 1 июля 2013 года: долг (1 + 0,01)900 000 – 300 000 = 609 000.
Прошел месяц. 1 августа 2013 года: долг (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.
Прошел месяц. 1 сентября 2013 года: долг (1 +0,01)315 090 – 300 000= 18 240,9. Прошел месяц. 1 октября 2013 года: долг (1 0,01)1 240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.
Ответ: 4 месяца.
Решим задачу стандартным методом.
Воспользуюсь результатами задачи 3 с учётом следующего рассуждения: неравенство оставшейся части долга имеет вид a x ≤ 0 .
Пусть x – искомая величина, a = 900 000 – сумма, взятая в банке, k% = 1% – ставка по кредиту, y = 300 000 – ежемесячный платеж, m = (1 + 0,01k) – ежемесячный множитель оставшегося долга. Тогда, по уже известной формуле, получим неравенство: ≤0 ;
Получили неприятное неравенство, но верное.
Целую часть числа берем потому, что число платежей не может быть числом не целым. Берем ближайшее большее целое, меньшее взять не можем (потому что тогда останется долг) и видно, что полученный логарифм число не целое. Получается 4 платежа, 4 месяца.
Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение:
Сумма кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).
Через год долг банку увеличится ровно в х раз и станет равным 4х рублей.
Поделим его на 4 части, вернём 3х рублей и останемся должны х рублей.
Известно, что к концу следующего года придётся выплатить 4·1,21 рублей.
Известно, что и сумма долга за год превратилась из числа х в число х 2 .
Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то
х 2 = 4·1,21 х = 2·1,1 х = 2,2
Коэффициент х означает то, что 100% за год превращаются в 220%.
А это означает, что процент годовых у банка такой: 220% - 100%
Ответ: 120%
В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Решение:
Пусть фиксированная вносимая сумма х рублей.
Тогда после проведения всех операций, попрошестию первого года, сумма на вкладе стала
+х
После 2 года
После 3 года
После 4 года
После 5 года
Так как к концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, то составим уравнение:
3900 ·8,25=3900·1,5 5 +х·(1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5
3900·5,5=3900·1,5 4 +х(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)
Ответ: 210рублей.
Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
Решение:
От суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4).
Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной 4p рублей.
Поделим её на 4 части, унесём домой p рублей, оставим в банке 3p рублей.
Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей.
Итак, число 3p превратилось в число 5,76. Во сколько раз оно увеличилось?
Таким образом, найден второй повышающий коэффициент x банка.
Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:
Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.
p · x = p ·( p +0,4)=1,92
Уже сейчас коэффициенты можно подобрать: 1,2 и 1,6.
Но продолжим, однако, решать уравнение:
10p ·(10p+4)=192 пусть 10p=k
k ·(k+4)=192
k =12, т.е. р=1,2; а х=1,6
Ответ: 60%
«Простые и сложные проценты »
Актуальность темы.
Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.
Материал актуален для всех, у кого в этом году есть 11 классы.
Когда Ященко, имеющий к составлению КИМов по математике непосредственное отношение, приезжал к нам на семинар в октябре, он сказал, что все прототипы задания 19 будут выложены в открытом банке, так как задание новое.
Задание, решаемое для моего не очень сильного класса, и натаскать на него можно, было бы на чём.
Немного теории…
“Проценты”.
Задание1
а) Что называется процентом? (Процентом называется одна сотая часть какого-либо числа )
б) Как обозначается 1%? ( 1%? = 0,01 )
в) Как называется 1% от центнера? (кг. ) Метра? (см. ) Гектара? (ар или сотый)
г) Что называется 1% процентом данного числа а? (Процентом данного числа а называется число 0,01 а, т.е. 1% (а) = 0,01*а )
д) Как определить р% от данного числа а? (найти число 0,01 р а, т.е. р% = 0,01*р*а )
е) Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить на 100 ). А как проценты в десятичную дробь? (разделить на сто, т.е. умножить на 0,01 )
ж) Как найти часть от числа в процентах? (Чтобы найти часть в от числа х в процентах, нужно эту часть разделить на число и умножить на 100, т.е. а(%)=(в/х)*100 )
д) Как находится число по его проценту? (Если известно, что а% числа х равно в, то х можно найти по формуле х = (в/а)*100 )
Задание 2
Представьте данные десятичные дроби в процентах:
А)1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.
б) Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%.
Задание 3
Найдите % от числа:
в) 0,1% от числа 1200? (1,2)
г) 15% от числа 2? (0,30)
Задание 4
Найдите число по его проценту:
д) Сколько центнеров весит мешок сахарного песка, если 13% составляет 6,5 кг.? (50 кг.= 0,5 ц.)
в) Сколько процентов от 10 составляет 9?
Ответы: а) 9%, б) 0,09%, в) 90%; г) 900%?
Простые и сложные проценты .
Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах.
Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.
На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.
При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках.
Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на начальном этапе . Так вычисляются простые проценты.
При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе . В этом случае имеем дело со “ сложными процентами ” (т.е. используются начисления “процентов на проценты”)
Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.
Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:
Таблица 1. Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.
На начало | 1-й год | 2-й год | 3-й год | 4-й год | 5-й год |
|
Простые проценты | ||||||
Сложные проценты |
Формулы простых и сложных процентов.
I. Пусть некоторая величина A увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.
Вводим обозначения: A 0 – первоначальное значение величины A;
р – постоянное количество процентов;
a процентная ставка; a=р/100 = 0,01*р
A n – накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле простых процентов;
S n - накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле сложных процентов.
Тогда ее значение A 1 для простых процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле: A 1 = A 0 + A 0 * (0,01р) = A 0 (1 + (0,01р) = A 0 (1 + p)
В конце второго этапа A 2 = A 1 + A 0 * (0,01р) = A 0 (1 + a ) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a ).
В конце третьего этапа A 3 = A 2 + A 0 * (0,01р) = A 0 (1 + 2 a ) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a ).
Тогда для простых процентов сумма по годам равна:
A n = A 0 (1 + 0.01р*n) или A n = A 0 (1 + ?* n) (1)
Для сложных процентов это выглядит иначе:
Пусть некоторая величина S 0 увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.
Тогда ее значение S 1 для сложных процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле:
S 1 = S 0 + S 0 (0,01р) = S 0 * (1 + 0,01р) = S 0 * (1 + ?).
В конце второго этапа S 2 = S 1 + S 1 (0,01р) = S 1 * (1 + 0,01р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2 .
В конце третьего этапа S 3 = S 2 + S 2 (0,01р) = S 2 * (1 +0,01р) = S 0 (1 +0,01р) 2 *(1 +0,01р)=S 0 (1 +0,01р) 3 = S 0 (1 + a ) 3 .
Тогда для сложных процентов сумма по годам равна:
S n = S 0 (1 + 0,01р) n или S n = S 0 (1 + a ) n (2)
Пример 1.
В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму если проценты:
а) простые; б) сложные.
Решение 1.
По формуле простых процентов
Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб. (отв. 68000 руб.)
По формуле простых процентов
Sn=(1+0.12) 3 *50 000 = 70246 руб. (отв. 70246 руб.)
Формула сложных процентов связывает четыре величины: начальный вклад, накопленную сумму (будущую стоимость вклада), годовую процентную ставку и время в годах. Поэтому, зная три величины, всегда можно найти четвертую:
S n = S 0 * (1+0,01р) n
Для определения количество процентов р необходимо:
р = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2.1)
Операция нахождения первоначального вклада S 0 , если известно что через n лет он должен составить сумму S n , называется дисконтированием:
S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n (2.2)
Сколько лет вклад S 0 должен пролежать в банке под р % годовых, чтобы достигнуть величины S n .
n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0,01р) (2.3)
В банковской практике проценты могут начисляться чаще чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:
S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)
где t – число реинвестиций процентов в году.
Пример 2.
В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму если проценты начисляются ежеквартально.
Решение 2.
n = 3
t = 4 (в году – 4 квартала)
По формуле сложных процентов
S 3 = (1+0.12/4) 3*4 *50000 = 1.03 12 *50000 = 71288 руб. Отв. 71288 руб.
Как следует из примеров 1 и 2, накопленная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты.
Приведем обобщение формулы (2), когда прирост величины S на каждом этапе свой. Пусть S о , первоначальное значение величины S, в конце первого этапа испытывает изменение на р 1 %, в конце второго на р 2 %, а в конце третьего этапа на р 3 % и т.д. В конце n-го этапа значение величины S определяется формулой
S n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )...(1 + 0,01р n ) (4)
Пример 3.
Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.
Решение 3.
Пусть первоначальная цена составляет S руб., тогда по формуле (4) имеем:
S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4
S 0 *1,3*1,2*0,9 = S 0 *1,404 = 140,4
S 0 = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)
Находим разность последней и первоначальной цены
140,4 – 100 = 40,4 Отв. 40,4 руб.
Примеры задач с решениями
Вариант 1
Задача 1. Владелец автозаправки повысил цену на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цену на 10 %. Как после этого изменилась начальная цена на бензин? (повысилась или понизилась и на сколько % -ов?)
Решение : Пусть S 0 – начальная цена, S 2 – конечная цена, х - искомое число процентов изменения, где х = (1 - S 2 /S 0 )*100% (*)
Тогда по формуле S n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )***(1 + 0,01р n ) (4), получим
S 2 = S 0 (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S 0 *1,1*0,9 = 0,99*S 0.
S 2 = 0,99*S 0; 0,99 = 99%, значение S 2 составляет 99% первоначальной стоимости, значит ниже на 100% - 99% = 1%.
Или по формуле (*) получаем: х = (1 – 0,99 )*100% = 1%.
Ответ: понизилась на 1%.
Задача 2 . В течении года предприятие дважды увеличивало выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года предприятие ежемесячно выпускало 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.
Решение : Пусть S 0 – начальная цена, S 2 – конечная цена, р – постоянное количество процентов.
По формуле (2.1) получаем: р = 100 * ((726 / 600 ) 1/2 – 1) = 10%.
Ответ: 10%
Задача 3. Цена на компьютерную технику были повышены на 44%. После этого в результате двух последовательных одинаковых процентных снижений цена на компьютеры оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов каждый раз понижали цену?
Решение: По формуле (4), составляем уравнение
S 3 = S 0 (1 + 0,01*44)(1 - 0,01р )(1 - 0,01р) = S 0 *1,44*(1 - 0,01р ) 2 = S 0 * (1-0,01*19). Решая уравнение, получаем 2 корня: 175 и 25, где 175 не подходит условию задачи. Поэтому р = 25%.
Ответ: 25%
Задача 4. Для определения оптимального режима повышения цен фирма решила с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца, во втором магазине?
Решение : Пусть S 0 – начальная цена, р – постоянное количество процентов.
Тогда через 6 месяцев (после шести повышений на 2%) в первом магазине цена на товар станет равна S 0 (1 + 0,01*2) 6 , а во втором магазине (после трех повышений на р%) цена товара будет равна S 0 (1 + 0,01р) 3 . Получаем уравнение S 0 (1 + 0,01*2) 6 = S 0 (1 + 0,01р) 3 . Решая его, получаем
(1 + 0,01*2) 2 = (1 + 0,01р); 1,02 2 = (1 + 0,01р); р = 4,04
Ответ: 4,04%
Вариант 2.
Задача 1. Автомобиль ехал по магистрали с определенной скоростью. Выезжая на проселочную дорогу, он снизил скорость на 20%, а затем на участке крутого подъема он уменьшил скорость на 30%. На сколько процентов эта новая скорость ниже первоначальной?
Решение : Пусть V 0 – начальная скорость, V – новая скорость, которая получается после двух разных изменений, р – искомое количество процента.
Тогда по формуле (4), составляем уравнение V 0 (1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V 0 (1 - 0,01р). Решая его получаем V 0 *0,8*0,7 = V 0 (1 - 0,01р); р = 44
Ответ: 44%
Задача 2. Предположим, что в комнатной температуре за день вода испаряется на 3%. Сколько литров воды останется через 2 дня от 100 литров? А сколько воды испарится?
Решение : n=2; р=3%; S 0 = 100л. Тогда по формуле (2), получаем
S 2 = S 0 (1 - 0,01р) 2 = 100*(1-0,01*3) 2 = 100*0,97 2 = 94,09; S 0 – S 2 = 100 - 94,09 = 5,91
Ответ: 94,09л.; 5,91л.
Задача 3 . Вклад, положенный в банк 2 года назад, достиг 11449 рублей. Каков был первоначальный вклад при 7% годовых? Какова прибыль?
Решение : n=2; р=7%; S 2 = 11449; S 0 = ?
В формулу (2.2) S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n подставляем данные значения, получаем:
S 0 = 11449* (1 + 0,01*7) –2 = 11449/ (1,07) 2 =11449/ 1,1449 = 10000.
11449 – 10000 = 1449
Ответ: 10000 руб.; 1449 руб.
Задача 4. Сберкасса начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится?
Решение: р=3%; S 0 – начальная сумма; n=?
Составим уравнение: 2*S 0 = S 0 (1 + 0,01р) n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0,03) n ; 2 = 1,03 n n=log 1,03 2; n ?23.
Самостоятельная работа
1-уровень. После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 10%, а после замены оборудования еще на 30%. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции?
(Ответ: на 43%)
2-уровень. Число 50 трижды увеличили на одно и то же число процентов, а потом уменьшили на это же число процентов. В результате получили число 69,12. На сколько процентов увеличивали, а потом уменьшали данное число?
(Ответ: на 20%)
3-уровень. Банк начисляет ежегодно 7% от суммы вклада. Найдите наименьшее число лет, за которое вклад вырастает более чем на 20%.
(Ответ: 3 года)
№1. Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 5,5% годовых. Вкладчик внес в банк 150 тысяч рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года?
(Ответ: 166953,75 руб.)
№3. Банк предлагает два варианта депозита
1) под 120% с начислением процентов в конце года;
2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.
Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.
Решение.
Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 руб.
По первому варианту накопленная сумма будет равна (1+1,2)*100 руб. = 220 руб.
По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала накопленная сумма равна (1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.
По окончании 2-го квартала (1+1,0/4) 2 *100 руб. = 156 руб.
За год накопленная сумма равна (1+1,0/4) 4 *100 руб. = 244 руб.
Как следует из расчетов второй вариант значительно выгоднее (244 > 220). Правда, только при условии применения сложных процентов.
Подборка прототипов задания №19 ЕГЭ по математике 2015 года профильного уровня.
19. 31 декабря 2012 года Екатерина взяла в банке 850000 рублей в кредит под 15% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 15%), затем Екатерина переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Екатерина выплатила долг тремя равными ежегодными платежами?
19. Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых.
Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%),
затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную
(фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать
кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им
банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000
рублей?
19. В 8-литровой колбе находится смесь азота и кислорода, содержащая 32% кислорода. Из колбы выпустили некоторое количество смеси и добавили столько же азота; затем снова выпустили такое же, как и в первый раз, количество новой смеси и добавили столько же азота. В итоге процентное содержание кислорода в смеси составило 12,5%. Сколько литров смеси выпускали каждый раз?
19. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
19. В первый рабочий день месяца с заводского конвейера сошло некоторое число тракторов. Каждый следующий рабочий день их выпуск возрастал на 3 трактора ежедневно, и месячный план 55 тракторов был выполнен досрочно, причем за целое число дней. После этого ежедневно выпускалось 11 тракторов. Определите, сколько тракторов было выпущено в первый рабочий день, и на сколько процентов был перевыполнен месячный план, если известно, что в месяце было 26 рабочих дней, а плановая работа длилась не менее 3 и не более 10 дней.
19. 8 марта Леня Голубков взял в банке 53 680 рублей в кредит на 4 года под 20% годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), а вечером того же дня Леня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова). Какую сумму сверх взятых 53 680 рублей должен будет выплатить банку Леня Голубков за эти четыре года?
19. Семён Кузнецов планировал вложить все свои сбережения на сберегательный счёт в банк «Навроде» под 500%, рассчитывая через год забрать А рублей. Однако крах банка «Навроде» изменил его планы, предотвратив необдуманный поступок. В результате часть денег г-н Кузнецов положил в банк «Первый Муниципальный», а остальные – в банку из-под макарон. Через год «Первый Муниципальный» повысил процент выплат в два с половиной раза, и г-н Кузнецов решил оставить вклад ещё на год. В итоге размер суммы, полученной в «Первом Муниципальном», составил А рублей. Определите, какой процент за первый год начислил банк «Первый Муниципальный», если в банку из-под макарон Семён «вложил» А рублей.
19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.