1. Наименьшее число ребер имеет тетраэдр - 6.
2. Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?
(n - 2) - угольник.
3. Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
Да, является.
4. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?
В прямой призме.
5. Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?
Нет, она может быть и не прямой.
6. Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?
Да, если эта грань перпендикулярна основаниям.
7. Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?
а) да. б) нет.
8. Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?
По теореме п. 27 получаем, что боковые поверхности относятся, как 5: 3
9. Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?
10. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
11. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
Нет, иначе бы через вершину пирамиды проходили бы как минимум две прямые, перпендикулярные основаниям.
12. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
Да (рис 183).
Многоугольники ABCDE
и FHKMP
, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, перпендикуляр OO 1
, опущенный из любой точки основания на плоскость другого, называется высотой призмы. Параллелограммы ABHF
, BCKH
и т.д. называются боковыми гранями призмы, а их стороны СК
, DM
и т.д., соединяющие соответственные вершины оснований, - боковыми ребрами. У призмы все боковые ребра равны между собой как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.
Призма называется прямой (фиг.282,б
) или наклонной (фиг.282,в
) в зависимости от того, будут ли ее боковые ребра перпендикулярны или наклонны к основаниям. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. За высоту такой призмы можно принять боковое ребро.
Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники.
Для изображения на комплексном чертеже призмы надо знать и уметь изображать элементы, из которых она состоит (точку, прямую, плоскую фигуру).
и их изображение на комплексном чертеже (фиг.283, а - и)
а)
Комплексный чертеж призмы. Основание призмы расположено на плоскости проекций П 1
; одна из боковых граней призмы параллельна плоскости проекций П 2
.
б)
Ниокнее основание призмы DEF
- плоская фигура - правильный треугольник, расположенный в плоскости П 1
; сторона треугольника DE
параллельна оси х 12
- Горизонтальная проекция сливается с данным основанием и, следовательно, равна его натуральной величине; фронтальная проекция сливается с осью х 12
и равна стороне основания призмы.
в)
Верхнее основание призмы АВС
- плоская фигура - треугольник, расположенный в горизонтальной плоскости. Горизонтальная проекция сливается с проекцией нижнего основания и закрывает собой ее, так как призма прямая; фронтальная проекция - прямая, параллельная оси х 12
, на расстоянии высоты призмы.
г)
Боковая грань призмы ABED
- плоская фигура - прямоугольник, лежащий во фронтальной плоскости. Фронтальная проекция - прямоугольник, равный натуральной величине грани; горизонтальная проекция - прямая, равная стороне основания призмы.
д)
и е)
Боковые грани призмы ACFD
и CBEF
- плоские фигуры - прямоугольники, лежащие в горизонтально - проектирующих плоскостях, расположенных под углом 60°
к плоскости проекций П 2
. Горизонтальные проекции - прямые, расположенные к оси х 12
под углом 60°
, и равны натуральной величине сторон основания призмы; фронтальные проекции - прямоугольники, изображение которых меньше натуральной величины: две стороны каждого прямоугольника равны высоте призмы.
ж)
Ребро AD
призмы - прямая, перпендикулярная к плоскости проекций П 1
. Горизонтальная проекция - точка; фронтальная - прямая, перпендикулярная оси х 12
, равная боковому ребру призмы (высоте призмы).
з)
Сторона АВ
верхнего основания - прямая, параллельная плоскостям П 1
и П 2
. Горизонтальная и фронтальная проекции - прямые, параллельные оси х 12
и равные стороне данного основания призмы. Фронтальная проекция отстоит от оси х 12
на расстоянии, равном высоте призмы.
и)
Вершины призмы. Точка Е
- вершина нижнего основания расположена на плоскости П 1
. Горизонтальная проекция совпадает с самой точкой; фронтальная - лежит на оси x 12
.Точка С
- вершина верхнего основания - расположена в пространстве. Горизонтальная проекция имеет глубину; фронтальная - высоту, равную высоте данной призмы.
Отсюда следует: проектируя всякий многогранник, надо мысленно расчленить его на составные элементы и определить порядок их изображения, состоящий из последовательных графических операций.
На (фиг.284 и фиг.285) приведены примеры последовательных графических операций при выполнении комплексного чертежа и наглядного изображения (аксонометрии) призм.
(фиг.284).
Дано:
1.
Основание расположено на плоскости проекций П 1
.
2.
Ни одна из сторон основания не параллельна оси х 12
.
I. Комплексный чертеж.
I, а.
Проектируем нижнее основание - многоугольник, по условию лежащий в плоскости П 1
.
I, б.
Проектируем верхнее основание - многоугольник, равный нижнему основанию с соответственно параллельными нижнему основанию сторонами, отстоящий от нижнего основания на высоту H
данной призмы.
I, в.
Проектируем боковые ребра призмы - отрезки, расположенные параллельно; их горизонтальные проекции - точки, сливающиеся с проекциями вершин оснований; фронтальные - отрезки (параллельные), полученные от соединения прямыми одноименных проекций вершин оснований. Фронтальные проекции ребер, проведенные из проекций вершин В
и С
нижнего основания, изображаем штриховыми линиями, как невидимые.
I, г
. Даны: горизонтальная проекция F 1
точки F
на верхнем основании и фронтальная проекция К 2
точки К
на боковой грани. Требуется определить места их вторых проекций.
Для точки F
. Вторая (фронтальная) проекция F 2
точки F
будет совпадать с проекцией верхнего основания, как точка, лежащая в плоскости этого основания; ее место определяется вертикальной линией связи.
Для точки К
- Вторая (горизонтальная) проекция K 1
точки К
будет совпадать с горизонтальной проекцией боковой грани, как точка, лежащая в плоскости грани; ее место определяется вертикальной линией связи.
II. Развертка поверхности призмы
- плоская фигура, составленная из боковых граней - прямоугольников, у которых по две стороны равны высоте призмы, а другие две равны соответствующим сторонам основания, и из двух равных между собой оснований - неправильных многоугольников.
Натуральные размеры оснований и сторон граней, необходимые для построения развертки, выявлены на проекциях; по ним и производим построение; на прямой последовательно откладываем стороны АВ
, ВС
, CD
, DE
и ЕA
многоугольника - основания призмы, взятые из горизонтальной проекции. На перпендикулярах, проведенных из точек А, В, С, D, Е
и А,
откладываем взятую из фронтальной проекции высоту Н
данной призмы и через отметки проводим прямую. В результате получаем развертку боковых граней призмы.
Если к этой развертке пристроить основания призмы, получим развертку полной поверхности призмы. Основания призмы следует пристраивать к соответствующей боковой грани, пользуясь методом триангуляции.
На верхнем основании призмы при помощи радиусов R
и R 1
определяем место точки F
, а на боковой грани при помощи радиуса R 3
и Н 1
- точку K
.
III. Наглядное изображение призмы в диметрии.
III, а.
Изображаем нижнее основание призмы по координатам точек А, В, С, D
и Е
(фиг.284 I, a).
III, б.
Изображаем верхнее основание параллельно нижнему, отстоящее от него на высоту Н
призмы.
III, в.
Изображаем боковые ребра, для чего соединяем прямыми соответствующие вершины оснований. Определяем видимые и невидимые элементы призмы и обводим их соответствующими линиями,
III, г.
Определяем на поверхности призмы точки F
и К
- Точку F
- на верхнем основании определяем при помощи размеров i
и е
; точку К
- на боковой грани при помощи i 1
и H"
.
Для изометрического изображения призмы и определения мест точек F
и К
следует придерживаться той же последовательности.
фиг.285 ).
Дано:
1.
Основание расположено на плоскости П 1
.
2.
Боковые ребра параллельны плоскости П 2
.
3. Ни одна из сторон основания не параллельна оси x 12
I. Комплексный чертеж.
I, а.
Проектируем по данному условию: нижнее основание - многоугольник, лежащий в плоскости П 1
, и боковое ребро - отрезок, параллельный плоскости П 2
и наклонный к к плоскости П 1
.
I, б.
Проектируем остальные боковые ребра - отрезки, равные и параллельные первому ребру СЕ
.
I, в.
Проектируем верхнее основание призмы как многоугольник, равный и параллельный нижнему основанию, получаем комплексный чертеж призмы.
Выявляем на проекциях невидимые элементы. Фронтальную проекцию ребра ВМ
и горизонтальную проекцию стороны основания CD
изображаем штриховыми линиями как невидимые.
I, г.
Дана фронтальная проекция Q 2
точки Q
на проекции A 2 K 2 F 2 D 2
боковой грани; требуется найти ее горизонтальную проекцию. Для этого проводим через точку Q 2
в проекции A 2 K 2 F 2 D 2
грани призмы вспомогательную прямую, параллельную боковым ребрам этой грани. Находим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой и на ней при помощи вертикальной линии связи определяем место искомой горизонтальной проекции Q 1
точки Q
.
II. Развертка поверхности призмы.
Имея на горизонтальной проекции натуральные размеры сторон основания, а на фронтальной - размеры ребер, можно построить полную развертку поверхности данной призмы.
Будем катить призму, повертывая ее каждый раз вокруг бокового ребра, тогда каждая боковая грань призмы на плоскости будет оставлять след (параллелограмм), равный ее натуральной величине. Построение боковой развертки будем производить в следующем порядке:
а)
из точек А 2 , В 2 , D 2 . . . Е 2
(фронтальных проекций вершин оснований) проводим вспомогательные прямые, перпендикулярные к проекциям ребер;
б)
радиусом R
(равным стороне основания CD
) делаем на вспомогательной прямой, проведенной из точки D 2
, засечку в точке D
; соединив прямой точки С 2
и D
и проведя прямые, параллельные E 2 С 2
и C 2 D
, получим боковую грань CEFD
;
в)
затем, аналогично пристроив следующие боковые грани, получим развертку боковых граней призмы. Для получения полной развертки поверхности данной призмы пристраиваем к соответствующим граням основания.
III. Наглядное изображение призмы в изометрии.
III, а.
Изображаем нижнее основание призмы и ребро СЕ
, пользуясь координатами согласно (
Многогранники
Основным объектом изучения стереометрии являются пространственные тела. Тело представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью.
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называется ребрами многогранника , а вершины – вершинами многогранника .
Например, куб состоит из шести квадратов, являющихся его гранями. Он содержит 12 ребер (стороны квадратов) и 8 вершин (вершины квадратов).
Простейшими многогранниками являются призмы и пирамиды, изучением которых и займемся далее.
Призма
Определение и свойства призмы
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины многоугольников, – боковыми ребрами призмы .
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований (). Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы (). Призма называется n-угольной , если в ее основании лежит n-угольник.
Любая призма обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания призмы совмещаются параллельным переносом:
1. Основания призмы равны.
2. Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности . Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов (это следует из свойств призмы). Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.
Прямая призма
Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной .
Гранями прямой призмы являются прямоугольники. Высота прямой призмы равна ее боковым граням.
Полной поверхностью призмы называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.
Правильной призмой называется прямая призма с правильным многоугольником в основании.
Теорема 13.1 . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра на высоту призмы (или, что то же самое, на боковое ребро).
Доказательство. Боковые грани прямой призмы есть прямоугольники, основания которых являются сторонами многоугольников в основаниях призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Тогда по определению площадь боковой поверхности:
,
где – периметр основания прямой призмы.
Параллелепипед
Если в основаниях призмы лежат параллелограммы, то она называется параллелепипедом . У параллелепипеда все грани – параллелограммы. При этом противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Теорема 13.2 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Рассмотрим две произвольные диагонали, например, и . Т.к. гранями параллелепипеда являются параллелограммы, то и , а значит по Т о двух прямых параллельных третьей . Кроме того это означает, что прямые и лежат в одной плоскости (плоскости ). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым и . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм, а по свойству параллелограмма его диагонали и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). Таких размеров три (ширина, высота, длина).
Теорема 13.3
. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений 
(доказывается с помощью двукратного применения Т Пифагора).
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .
Задачи
13.1Сколько диагоналей имеет n -угольная призма
13.2В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37, 13 и 40. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
13.3Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми . Найти угол наклона этой плоскости к основанию призмы.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Определение. Призма - это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.
Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1) .
Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы .
Все боковые грани призмы являются параллелограммами.
Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 ).
Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).
Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы .
Обозначение: ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке - вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом - с индексом)
Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой
. Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник
(2 грани - основания призмы, 5 граней - параллелограммы, - ее боковые грани)
Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.
Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.
Параллелепипед
Параллелепипед - это четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (наклонный параллелепипед).Прямой параллелепипед - параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
Свойства и теоремы:
Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называются кубом
.У куба все грани равные квадраты.Квадрат диагонали, равен сумме квадратов трех его измерений 
,
где d - диагональ квадрата;
a - сторона квадрата.
Представление о призме дают:
- различные архитектурные сооружения;
- детские игрушки;
- упаковочные коробки;
- дизайнерские предметы и т.д.
Площадь полной и боковой поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее гранейПлощадь боковой поверхности называется сумма площадей ее боковых гранейТ.к. основания призмы - равные многоугольник, то их площади равны. ПоэтомуS полн = S бок + 2S осн ,
где S полн - площадь полной поверхности,S бок -площадь боковой поверхности, S осн - площадь основания
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы .
S бок = P осн * h,
где S бок -площадь боковой поверхности прямой призмы,
P осн - периметр основания прямой призмы,
h - высота прямой призмы, равная боковому ребру.
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.