Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
- множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;
- треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости;
- губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
- примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции ;
- кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
- кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;
- траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум [ ] .
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть - сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) {\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}
Можно показать, что отображение Ψ {\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа . Следовательно, по теореме Банаха , это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψ i , i = 1 , … , n {\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} - отображения подобия, а n {\displaystyle n} - число звеньев генератора.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z n {\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n {\displaystyle n} , при котором | z n | {\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A {\displaystyle A} ).
Биоморфы - фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
- траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
- граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
- эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики , например, в модели Изинга и перколяции .
- различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма - пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами
Природные объекты (квазифракталы ) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы , …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул .
- В живой природе:
- Морские звезды и ежи
- Цветы и растения (брокколи , капуста)
- Кроны деревьев и листья растений
- Плоды (ананас)
- Система кровообращения и бронхи людей и животных
- В неживой природе:
- Границы географических объектов (стран, областей, городов)
- Морозные узоры на оконных стёклах
- Сталактиты , сталагмиты , геликтиты .
Применение
Естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии -адсорбции , пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
Радиотехника
Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании
Cтраница 1
Теория фракталов позволяет с единых позиций решить задачу описания всей иерархии структурных уровней в сложных материалах. Более подробно эти вопросы рассматриваются в гл.
Теория фракталов позволяет одним параметром однозначно охарактеризовать структуру ячеистого композита на микроуровне.
Теория фракталов в существующем виде предназначена главным образом для описания процессов структурообра - зования в самом обобщенном смысле. Имеющиеся отдельные работы по использованию ее методов в механике разрушения посвящены проблемам трещиностойкости и кинетики разрушения и связаны с представлениями об агрегации системы растущих трещин во фрактальные кластеры. При этом рассматриваются в основном гомогенные среды и материалы. Использование такого подхода для описания прочности пористых случайно - неоднородных композиционных материалов в настоящее время весьма проблематично.
В теории фракталов используется понятие кластера для описания объекта, состоящего из большого числа твердых частиц, жестко связанных между собой, и имеющего рыхлую и ветвистую структуру. Фрактальный кластер отличается от нефрактального тем, что он обладает свойством самоподобия. Понятие фрактального кластера универсально и поэтому применимо к системам различной природы. Обширная информация о свойствах фрактальных кластеров получена при изучении их поведения путем компьютерного моделирования с использованием различных моделей формирования кластеров.
Методы теории фракталов, как правило, применяются в самых сложных разделах теоретической физики - квантовой теории поля, статистической физике, теории фазовых переходов и критических явлений. Цель монографии - показать, что идеи н методы теории фракталов могут быть эффективно использованы в традиционном, классическом разделе механики - механике материалов. Круг рассмотренных материалов достаточно широк: дисперсные материалы от металлических порошков до оксидной керамики, полимеры, композиционные материалы с различными матрицами и наполнителями, полиграфические материалы. Построена статистическая теория структуры и упруго-прочностных свойств фрактальных дисперсных систем. Разработан фрактальный подход к описанию процессов консолидации дисперсных систем. Развита самосогласованная теория эффективного модуля упругости дисперсно-армированных композитов стохастической структуры в полном диапазоне изменения объемной доли наполнителя. Теория обобщена на композиты с бимодальной упаковкой наполнителей, а также на композиционные материалы с арми - рованием по сложным комбинированным схемам. Рассматривается применение теории фракталов для исследования микроструктуры и физико - механических свойств полиграфических материалов и технологии печатных процессов.
Указанная особенность теории фракталов обусловливает необходимость развития подхода, основанного на ее синтезе как теории, обеспечивающей эффективное описание структур, и одной из классических теорий прочности, для описания их прочностных свойств. Использование для этих целей структурных теорий , в которых исходят из предположений, что прочность дисперсной структуры аддитивно складывается из прочности отдельных контактов, не совсем корректно для структур, наблюдающихся у пористых случайно - неоднородных композитов, особенно в области, близкой к максимуму плотности.
Возможности методов теории фракталов применительно к механике полиграфических материалов и технологии печатных процессов продемонстрированы в гл.
В приложениях теории фракталов к физическим проблемам важную роль играет представление о самоподобии фракталов. Множество G называется самоподобным, если получающееся из него при изменении длин в г 1 раз множество G покрывает без пересечений исходное множество G. Величина г в этом случае называется коэффициентом подобия. В простых случаях самоподобие очевидно.
Математические основы теории фракталов были заложены в самом начале XX в.
Методологическая ценность теории фракталов заключается в существовании не только математического аппарата, но и в возможности философского осмысления и систематизации эмпирических данных при формировании математических фрактальных моделей, интерпретации получаемых с их помощью сведений.
Теория фракталов
Странные аттракторы всегда имеют фрактальную размерность. Поэтому для описания хаотических аттракторов используется аппарат геометрии фракталов, описывающей «структуры хаоса».
Термин «фрактал» принадлежит Бенуа Мандельброту. В трех своих книгах («Фрактальные объекты: форма, случай и размерность», 1975; «Фракталы: форма, случай и размерность», 1977; «Фрактальная геометрия природы», 1977) Мандельброт предложил неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных, изъеденных ходами и отверстиями, шершавых и т.п. объектов. Именно «неправильные» объекты составляют подавляющее большинство объектов в природе. Сам Б. Мандельброт охарактеризовал созданную им теорию как морфологию бесформенного.
«Фрактальная геометрия природы» Б. Мандельброта открывается следующими словами: «Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярные и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом - термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно» Данилов Ю.А. Красота фракталов. Web: http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm.
Евклид свел природу к чистым и симметричным объектам: точка, одномерная линия, двумерная плоскость, трехмерное тело. Ни одни из этих объектов не имеет в себе отверстий и внешних неровностей. У каждого правильная гладкая форма. Природные объекты огрубленных форм не являются разновидностями чистых евклидовых структур. Большинство природных форм и временных рядов наилучшим образом описываются фракталами.
Мандельброт ввел в употребление термин фрактал (от латинского слова «fractus» - дробный, фрагментированный), основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Безиковича-Хаусдорфа, предложенной в 1919 году.
Размерность Безиковича-Хаусдорфа совпадает с евклидовой для регулярных геометрических объектов (для кривых, поверхностей и тел, изучаемых в современном учебнике евклидовой геометрии). Размерность Безиковича-Хаусдорфа странного аттрактора Лоренца больше 2, но меньше 3: аттрактор Лоренца уже не гладкая поверхность, но еще не объемное тело.
Мы склонны думать, что всякий плоский объект является двумерным. Однако, с точки зрения математики, это не так. Евклидова плоскость есть ровная поверхность без щелей и проломов. Подобным же образом мы полагаем, что объект, имеющий глубину, является трехмерным. Но в евклидовой геометрии трехмерный объект - сплошное тело, не имеющее отверстий или трещин. Большинство реальных объектов не сплошные - они имеют бреши и полости и просто располагаются в трехмерном пространстве. Например, горы и облака имеют размерность между двумя и тремя. Одна из характеристик фрактальных объектов состоит в том, что они оставляют свою собственную размерность, будучи помещены в пространство размерности большей, чем их фрактальная. Случайные распределения (белый шум) не имеют этой характеристики. Белый шум заполняет свое пространство подобно тому, как газ заполняет объем. Если определенное количество газа поместить в контейнер большего объема, газ просто растечется в большем пространстве, поскольку молекулы газа ничто не связывает между собой. С другой стороны, твердое тело имеет молекулы, сцепленные друг с другом. Аналогично этому во фрактальном временном ряде положения точек определены корреляциями, которых не существует в случайном ряде. Временной ряд будет только тогда случаен, когда он является следствием большого количества равновероятных событий. В терминах статистики - он имеет большое количество степеней свободы. Неслучайный временной ряд будет отражать неслучайную природу влияний. Скачки данных будут соответствовать скачкам влияющих факторов, отражая присущую им корреляцию. Иными словами, временной ряд будет фракталом. Фрактальная размерность определяется тем, как объект или временной ряд заполняет пространство. Фрактальный объект заполняет пространство неравномерно, поскольку его части зависимы, или коррелированы. Чтобы определить фрактальную размерность, мы должны определить, каким образом объект группируется в единое целое в своем пространстве Петерс. Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. С.80..
В евклидовой геометрии чем больше мы приближаем свой взгляд к объекту, тем проще он становится. Трехмерный блок становится двумерной плоскостью, затем одномерной линией, до тех пор пока не станет точкой. Во фрактальных (природных) объектах по мере увеличения выявляется все больше деталей. Отличительным признаком фрактальных объектов является то, что каждая из деталей содержит в себе общую структуру. Одно из определений фрактала гласит: фрактал - самоподобная структура. Самоподобие (масштабная инвариантность) - явление, состоящее в том, что малые части объекта качественно одинаковы с целостным объектом или подобны ему, другими словами, это свойство выглядеть в любом, сколь угодно мелком масштабе примерно одинаково. Во фрактальных временных рядах малые интервалы времени будут статистически подобны большим интервалам. Фрактальные формы обнаруживают пространственное самоподобие. Фрактальные временные ряды имеют статистическое самоподобие во времени.
Итак, мы уже встретились с двумя определениями фрактала (через дробную размерность и через свойство масштабной инвариантности). Окончательного определения фрактала до сих пор не найдено. Возможно, что этого не произойдет никогда, поскольку фрактальная геометрия - геометрия природы.
Как известно, метод итерации определяет положение точки в некий момент времени через ее положение в предыдущий момент времени, то есть работает обратная связь. В виде алгоритма это можно отобразить следующим образом: «начальные состояния» + «порождающая пошаговая процедура» = «развернутая фрактальная структура». Фрактальные множества задаются с помощью нелинейных уравнений, описывающих динамические системы с обратными связями. Фрактал есть предельное множество порождающего правила. Фрактал является самоорганизующейся структурой, причем порождающее правило можно воспринимать как репликант, «субъект» самоорганизации.
В принципе, фрактальная геометрия является совершенно самостоятельной наукой, однако ее идеи уже в значительной степени «ассимилированы» синергетикой, а синергетика в свое время вдохновляла Бенуа Мандельброта при исследовании фрактальных объектов. Поэтому мы не будем проводить жестких границ между синергетическим подходом и теорией фракталов.
Существуют два типа фракталов: детерминистические и случайные. Детерминистические фракталы в большинстве случаев симметричны. Но природа отвергает симметрию, поэтому естественные объекты описываются при помощи случайных фракталов. Случайные фракталы не всегда включают в себя части, которые выглядят похожими на целое. Части и целое могут соотноситься качественно. Случайные фракталы представляют собой комбинацию порождающих правил, выбранных наугад в разных масштабах.
Наткнулся тут на упоминание "Теории фракталов" в сериале "Иеремия" и заинтресовался этой довольно изящной теорией, которые современные метафизики применяют для доказательства существования Бога. Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов на стыке математики, информатики, лингвистики и биологии. В то время компьютеры все больше проникали в жизнь людей, ученые начинали применять их в своих исследованиях, росло число пользователей вычислительных машин. Для массового использования компьютеров необходимо стало облегчить процесс общения человека с машиной. Если в самом начале компьютерной эры немногочисленные программисты-пользователи самоотверженно вводили команды в машинных кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги, то при массовом и загруженном режиме использования компьютеров возникла необходимость в изобретении такого языка программирования, который был бы понятен для машины, и в то же время, был бы прост в изучении и применении. То есть пользователю требовалось бы ввести только одну команду, а компьютер разложил бы ее на более простые, и выполнил бы уже их. Чтобы облегчить написание трансляторов, на стыке информатики и лингвистики возникла теория фракталов, позволяющая строго задавать взаимоотношения между алгоритмическими языками. А датский математик и биолог А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику, названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует также рост живых организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.
Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической. Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora). Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Отцом фракталов по праву можно считать Бенуа Мандельброта. Мандельброт является изобретателем термина «фрактал». Мандельброт
писал: « Я придумал слово «фрактал», взяв за основу латинское прилагательное «fractus», означающее нерегулярный, рекурсивный,
фрагментный». Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт. На рисунке как раз классическая модель фрактала - Множество Мандельброта.
Если излагать примтивно, то теория фрактала - это сопособность хаотичгных стукртур самоорагнизовываться в систему. Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.
Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.
Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющиеся ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трехмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца (Lorenz)- одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является — отображение Рёслера (Rössler), котороя имеет двойной период, подобно логистическому отображению. Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например отображения Хенона (Hénon)). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру. Теорема Пуанкаре-Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.
Так вот, свойство хаотических систем самоорганизовываться с помощью неправильных аттракторов, по мнению некоторых математиков, и явялется недоказуемым доказательством существования Бога и Его энергии творения всего сущего. Загадка!
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИРКУТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
По экономико-математическим моделям и методам
ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Подготовили: Руководитель:
Погодаева Е. А. Толстикова Т.В.
Четвериков С.В.
ИРКУТСК 1997
Все образы схожи, и
Все же ни один на дру
Гой не похож; Хоры их
На тайный закон указу-
Ют, на святую загадку...
И. В. Гете.
Метаморфоз растений.
ПОЧЕМУ МЫ ЗАГОВОРИЛИ О ФРАКТАЛАХ?
Во второй половине нашего века в естествознании произошли
фундаментальные изменения, породившие так называемую теорию
самоорганизации, или синергетику. Она родилась внезапно, как бы на
скрещении нескольких линий научного исследования. Один из решающих
начальных импульсов был предан ей российскими учеными на рубеже
пятидесятых - шестидесятых годов. В пятидесятых годах ученый
химик-аналитик Б. П. Белоусов открыл окислительно-восстановительную
химическую реакцию. Открытие и изучение автоколебаний и автоволн в ходе
реакции Белоусова
С. Э. Шнолем, А. М. Жаботинским, В.И. Кринским, А. Н. Заикиным, Г. Р.
Иваницким- едва ли не самая блестящая страница фундаментальной
российской науки в послевоенный период. Быстрое и успешное изучение
реакции Белоусова - Жаботинского сработало в науке как спусковой
крючок: сразу вспомнили, что и раньше были известны процессы подобного
рода и что многие природные явления, начиная от образования галактик
до смерчей, циклонов и игры света на отражающих поверхностях(так
называемых каустиках), - по сути дела процессы самоорганизации. Они
могут иметь самую различную природу: химическую, механическую,
оптическую, электрическую и тому подобное. Более того, оказалось, что
уже давно была готова и прекрасно разработана математическая теория
самоорганизации. Ее основу заложили работы А. Пуанкаре и А. А.
Ляпунова еще в конце прошлого века. Диссертация "Об устойчивости
движения" написана Ляпуновым в 1892 году.
Математическая теория самоорганизации заставляет нас по-новому
взглянуть на окружающий нас мир. Объясним, чем она отличается от
классического мировоззрения, так как нам это будет необходимо знать при
изучении фрактальных объектов.
"Классическое однозначно - детерминистическое мировоззрение
может символизироваться ровной гладкой поверхностью, на которой
соударяются шары, получившие определенный количества движения.
Будущая судьба каждого такого тела однозначно определена его
"прошлым" в предыдущий момент времени (количеством движения, зарядом) и
взаимодействием с другими телами. Никакой целостностью такая система
не обладает." (Л. Белоусов. Посланники живой грозы. \\ Знание- сила. N
2. 1996. - с.32). Таким образом, классическая наука верила, что будущее
такой системы жестко и однозначно определено ее прошлым и, при условии
знания прошлого, неограниченно предсказуемо.
Современная математика показала, что в некоторых случаях это не
так: например, если шары ударяются о выпуклую стенку, то ничтожно малые
различия в их траекториях будут неограниченно нарастать, так что
поведение системы становиться в определенный момент непредсказуемым.
Тем самым позиции однозначного детерминизма оказались подорванными даже
в сравнительно простых ситуациях.
Мировоззрение, основанное на теории самоорганизации,
символизируется образом горной страны с долинами, по которым текут реки,
и хребтами-водоразделами. В этой стране действуют мощные обратные связи
- как отрицательные, так и положительные. Если тело скатывается вниз
по склону, то между его скоростью и положением существует положительная
обратная связь, если оно пытается взобраться вверх, то отрицательная.
Нелинейные (достаточно сильные) обратные связи – непременное условие
самоорганизации. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает
многовариантность путей эволюции, наличие выбора из альтернативных путей
и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных
процессов. Например, рассмотрим взаимодействие двух тел: А и В. В –
упругий древесный ствол, А – горный поток в нашей стране. Поток сгибает
ствол по направлению движения воды, но по достижении некоторого
изгиба ствол под действием упругой силы может распрямиться, отталкивая
частицы воды обратно. То есть мы видим альтернативу взаимодействия
двух тел А и В. Причем, это взаимодействие происходит таким образом,
что связь А-В - положительна, а В-А - отрицательна. Соблюдается условие
нелинейности.
Более того, в теории самоорганизации мы можем заставить нашу
горную страну "жить", то есть изменяться во времени. При этом важно
выделить переменные различного порядка. Такая иерархия переменных по
времени является необходимым условием упорядочения самоорганизации.
Нарушьте ее, "смешайте" времена- наступит хаос(пример- землетрясение,
когда сдвиги геологического порядка происходят за считанные минуты, а
должны- за несколько тысячелетий).Впрочем, как выявляется, живые
системы не так уж и боятся хаоса: они все время живут на его пределе,
иногда даже впадая в него, но все же умеют, когда надо, из него
выбираться. При этом самыми важными оказываются наиболее медленные по
времени переменные (их называют параметрами). Именно значения параметров
определяют, каким набором устойчивых решений будет обладать система и,
таким образом, какие структуры могут быть в ней вообще реализованы. В
то же время более быстрые
(динамические) переменные отвечают за конкретный выбор реализуемых
устойчивых состояний из числа возможных.
Принципы нелинейности и альтернативы выбора развития любого
процесса, развития системы реализуется и при построении фракталов.
Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории
самоорганизации), самоподобие встречается в самых разных предметах и
явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и
кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах
льда, при развитии экономических систем (волны Кондратьева), строении
горных систем, в строении облаков. Все перечисленные объекты и другие,
подобные им по своей структуре, называются фрактальными. То есть они
обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это
значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через
определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты
могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными
независимо от масштаба.
Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том
случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических
моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и
недетерминированной природой данных. Нелинейность в мировоззренческом
смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из
альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость
эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает,
определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные
уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или
коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, когда мы применяем
классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы
говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное. И мы можем
предсказать его, зная прошлое объекта(исходные данные для
моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет
несколько вариантов развития и состояние системы определяется
положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы
пытаемся смоделировать хаотичное развитие.
Что же нам дает применение фракталов?
Они позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень
важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и
процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.
ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ
ПРЕДПОСЫЛКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в
конце шестидесятых годов на стыке математики, информатики, лингвистики
и биологии. В то время компьютеры все больше проникали в жизнь
людей, ученые начинали применять их в своих исследованиях, росло число
пользователей вычислительных машин. Для массового использования
компьютеров необходимо стало облегчить процесс общения человека с
машиной. Если в самом начале компьютерной эры немногочисленные
программисты-пользователи самоотверженно вводили команды в машинных
кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги, то при
массовом и загруженном режиме использования компьютеров возникла
необходимость в изобретении такого языка программирования, который был
бы понятен для машины, и в то же время, был бы прост в изучении и
применении. То есть пользователю требовалось бы ввести только одну
команду, а компьютер разложил бы ее на более простые, и выполнил
бы уже их. Чтобы облегчить написание трансляторов, на стыке информатики
и лингвистики возникла теория фракталов, позволяющая строго задавать
взаимоотношения между алгоритмическими языками. А датский математик и
биолог А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику,
названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует также рост
живых организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.
Вот как выглядит его модель. Задают алфавит - произвольный набор
символов. Выделяют одно, начальное слово, называемое аксиомой, - можно
считать, что оно соответствует исходному состоянию организма – зародышу.
А потом описывают правила замены каждого символа алфавита определенным
набором символов, то есть задают закон развития зародыша. Действуют
правила так: прочитываем по порядку каждый символ аксиомы и заменяем
его на слово, указанное в правиле замены.
Таким образом, прочитав аксиому один раз, мы получаем новую строку
символов, к которой снова применяем ту же процедуру. Шаг за шагом
возникает все более длинная строка – каждый из таких шагов можно
считать одной из последовательных стадий развития «организма».
Ограничив число шагов, определяют, когда развития считается законченным.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ
Отцом фракталов по праву можно считать Бенуа Мандельброта.
Мандельброт является изобретателем термина «фрактал». Мандельброт
писал: « Я придумал слово «фрактал», взяв за основу латинское
прилагательное «fractus», означающее нерегулярный, рекурсивный,
фрагментный». Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт:
Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от
масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем
развитии развитие всей модели в целом.
На сегодняшний день существует много различных математических моделей
фракталов. Отличительная особенность каждой из них является то, что в
их основе лежит какая-либо рекурсивная функция, например: xi=f(xi-1).
С применением ЭВМ у исследователей появилась возможность получать
графические изображения фракталов. Простейшие модели не требуют больших
вычислений и их можно реализовать прямо на уроке информатики, тогда как
иные модели настолько требовательны к мощности компьютера, что их
реализация осуществляется с применением суперЭВМ. Кстати, в США
изучением фрактальных моделей занимается Национальных Центр Приложений
для Суперкомпьютеров (NCSA). В данной работе мы хотим показать только
несколько моделей фракталов, которые нам удалось получить.
Модель Мандельброта.
Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала
классической и часто используется для демонстрации как типичного
примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов,
которая также привлекает исследователей, художников, просто
интересующихся людей.
Математическое описание модели следующее: на комплексной плоскости в
неком интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция
Z=Z2+c. Казалось бы, что такого особенного в этой функции? Но после N
повторений данной процедуры вычисления координат точек, на
комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура, чем-то
напоминающая грушу.
В модели Мандельброта изменяющимся фактором является начальная точка
с, а параметр z, является зависимым. Поэтому для построения фрактала
Мандельброта существует правило: начальное значение z равно нулю (z=0)!
Это ограничение вводится для того, чтобы первая производная от функции
z в начальной точке была равна нулю. А это означает, что в начальной
точке функция имеет минимум, и в дальнейшем она будет принимать только
большие значения.
Мы хотим заметить, что если рекурсивная формула фрактала имеет другой
вид, то тогда следует выбирать другое значение начальной точки для
параметра Z. Например, если формула имеет вид z=z2+z+c, то начальная
точка будет равна:
2*z+1=0 ???z= -1/2.
В данной работе мы имеем возможность привести изображения фракталов,
которые были построены в NCSA. Мы получили файлы с изображениями через
сеть Internet.
Рис.1 Фрактал Мандельброта
Вам уже известна математическая модель фрактала Мандельброта. Теперь мы
покажем, как она реализуется графически. Начальная точка модели
равна нулю. Графически она соответствует центру тела “груши”. Через N
шагов заполнятся все тело груши и в том месте, где закончилась
последняя итерация, начинает образовываться «голова» фрактала.
«Голова» фрактала будет ровно в четыре раза меньше тела, так как
математическая формула фрактала представляет из себя квадратный
полином. Затем опять через N итераций у «тела» начинает образовываться
«почка» (справа и слева от «тела»). И так далее. Чем больше задано
числе итераций N, тем более детальным получится изображение фрактала,
тем больше будет у него различных отростков. Схематическое изображение
стадий роста фрактала Мандельброта представлено на рис.2:
Рис.2 Схема образования фрактала Мандельброта
Из рисунков 1 и 2 видно, что каждое последующее образование на «теле»
точно повторяет в своем строении само тело. Это и есть отличительная
черта того, что данная модель является фракталом.
На следующих рисунках показано, как будет изменяться положение точки,
соответствующей параметру z, при различном начальном положении точки
c.
А) Начальная точка в «теле» Б) Начальная
точка в «голове»
В) Начальная точка в «почке» Г) Начальная точка в
«почке» второго уровня
Д) Начальная точка в «почке» третьего уровня
Из рисунков А - Д хорошо видно, как с каждым шагом все более
усложняется структура фрактала и у параметра z все более сложная
траектория.
Ограничения на модель Мандельброта: существует доказательство, что в
модели Мандельброта |z|
Модель Джулии (Julia set)
Модель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель
Мандельброта: Z=Z2+c, только здесь переменным параметром является
не c, a z.
Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на
начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между
моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель
Мандельброта является статической (так как z начальное всегда равно
нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. На
рис. 4 показано графическое представление фрактала Джулии.
Рис. 4 Модель Джулии
Как видно из рисунка фрактала, он симметричную относительно центральной
точки форму, тогда как фрактал Мандельброта имеет форму, симметричную
относительно оси.
Ковер Серпинского
Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала. Строится он
следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов,
вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся
квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В
результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным
симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик
Серпинский, в честь которого он и получил свое название. Пример ковра
Серпинского можно увидеть на рис. 4d.
Рис.4 Построение ковра Серпинского
4. Кривая Коха
В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной
точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое
направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная
равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто
праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень
бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун
зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это
явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о
взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого
объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую
кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение
броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим
свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох
предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения
правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все
станет ясно (рис.5).
Рис.5 Этапы построения кривой Коха
Кривая Коха является еще одним примером фрактала, так как каждая ее
часть является уменьшенным изображением всей кривой.
6. Графические изображения различных фракталов
В данном пункте мы решили поместить графические изображения различных
фракталов, которые мы получили из сети Internet. К сожалению, мы не
смогли найти математическое описание этих фракталов, но для того,
чтобы понять их красоту, достаточно только рисунков.
Рис. 6 Примеры графического представления фракталов
II РАЗДЕЛ
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ В ЭКОНОМИКЕ
ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ
Финансовый рынок в развитых странах мира существует уже не одну сотню
лет. На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги.
Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участникам рынка доход
из-за того, что цены на акции и облигации все время варьировали,
постоянно менялись. В течение веков люди покупали ценные бумаги по
одной цене и продавали, когда они становились дороже. Но иногда
ожидания покупателя не сбывались и цены на купленные бумаги начинали
падать, таким образом, он не только не получал доход, а еще и терпел
убытки. Очень долгое время никто не задумывался, почему так происходит:
цена то растет, то падает. Люди просто видели результат действия и не
задумывались о причинно-следственном механизме, его порождающем.
Так происходило до тех пор, пока американский финансист, один из
издателей известной газеты «Financial Times”, Чарльз Доу не
опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на
функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции
подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует
продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом,
Чарльз Доу впервые заметил, что можно прогнозировать дальнейшее
поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то
последний период.
Рис.1 Поведение цены по Ч.Доу
Впоследствии на основе сделанных Ч.Доу открытий была разработана целая
теория технического анализа финансового рынка, которая получила
название Теория Доу. Эта теория ведет свое начало с девяностых годов
девятнадцатого века, когда Ч.Доу опубликовал свои статьи.
Технический анализ рынков - это методы прогнозирования дальнейшего
поведения тренда цены, основанные на знании предыстории его поведения.
Технический анализ для прогнозирования использует математические
свойства трендов, а не экономические показатели ценных бумаг.
В середине века двадцатого, когда весь научный мир увлекался только
что появившейся теорией фракталов, другой известный американский
финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции,
которая была основана на использовании теории фракталов.
Эллиот исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не
только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным
процессам он относил и торговлю акциями на бирже.
ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЛИОТА
Волновая Теория Эллиота – одна из старейших теорий технического
анализа. Со времени ее создания никто из пользователей не вносил в нее
каких-либо заметных новшеств. Наоборот, все усилия были направлены на
то, чтобы принципы сформулированные Эллиотом, вырисовывались более и
более четко. Результат – налицо. С помощью теории Эллиота были сделаны
самые лучшие прогнозы движения американского индекса Доу-Джонса.
Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Волна – это
различимое ценовое движение. Следуя правилам развития массового
психологического поведения, все движения цен разбиваются на пять волн в
направлении более сильного тренда, и на три волны – в обратном
направлении. Например, в случае доминирующего тренда мы увидим пять
волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции) вниз.
Для обозначения пятиволнового тренда используют цифры а для
противоположного трехволнового – буквы. Каждое из пятиволновых движений
называют импульсным, а каждое из трехвоновых - коррективным. Поэтому
каждая из волн 1,3,5,А и С является импульсной, а 2,4,и В -
коррективной.
Рис. 7 Волновая диаграмма Эллиота
Эллиот был одним из первых, кто четко определил действие Геометрии
Фракталов в природе, в данном случае - в ценовом графике. Он
предположил, что в каждая из только что показанных импульсных и
коррективных волн также представляет собой волновую диаграмму Эллиота.
В свою очередь, те волны тоже можно разложить на составляющие и так
далее. Таким образом Эллиот применил теорию фракталов для разложения
тренда на более мелкие и понятные части. Знание этих частей в более
мелком масштабе, чем самая большая волновая диаграмма, важно потому,
что трейдеры (участники финансового рынка), зная, в какой части
диаграммы они находятся, могут уверенно продавать ценные бумаги, когда
начинается коррективная волна, и должны покупать их, когда начинается
импульсная волна.
Рис.8 Фрактальная структура диаграммы Эллиота
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛН
Ральф Эллиот первым подал идею использовать числовую последовательность
Фибоначчи для составления прогнозов в рамках технического анализа. С
помощью чисел и коэффициентов Фибоначчи можно прогнозировать длину
каждой волны и время ее завершения. Не затрагивая вопроса времени,
обратимся к наиболее часто применяемым правилам определения длины
Эллиотовских волн. Под длиной в данном случае имеется в виду ее
повышение или понижение по шкале цен.
Импульсные волны.
Волна 3 обычно имеет длину, составляющую 1,618 волны 1, реже – равную
ей.
Две из импульсных волн часто бывают равны по длине, обычно это волны 5
и 1. Обычно это происходит, если длина волны 3 меньше, чем 1,618
длины волны 1.
Часто встречается соотношение, при котором длина волны 5 равна 0,382
или 0,618 расстояния, пройденного ценой от начала волны 1 до конце
волны 3.
Коррекции
Длины корректирующих волн составляют определенный коэффициент
Фибоначчи от длины предшествующей импульсной волны. В соответствии с
правилом чередования волны 2 и 4 должны чередоваться в процентном
соотношении. Наиболее распространенным примером является следующий:
волна 2 составила 61,8% волны 1, при этом волна 4 может составлять
только 38,2% или 50% от волны 3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний,
где нашла свое применение теория фракталов. Хотим только сказать, что
со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это
время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом
в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в
конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять
эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование
облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может
быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком
бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были
неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на
существование, и мы сожалеем, что в последнее время она как-то забылась
и осталась уделом избранным. При подготовке данной работы нам было
очень интересно находить применения ТЕОРИИ на ПРАКТИКЕ. Потому что
очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в
стороне от жизненной реальности.
В завершение нашей работы, мы хотим привести восторженные слова
крестного отца теории фракталов Бенуа Мандельброта: «Геометрия природы
фрактальна!». В наше время это звучит также дерзко и абсурдно, как
знаменитое восклицание Г. Галилея: «А все-таки она вертится!» в XVI
веке.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Шейпак И.А. Фракталы, графталы, кусты… //Химия и жизнь. 1996 №6
Постижение хаоса //Химия и жизнь. 1992 №8
Эрлих А. Технический анализ товарных и фондовых рынков, М: Инфра-М, 1996
Материалы из сети Internet.
Последовательность Фибоначчи – последовательность, предложенная в 1202
г. средневековым математиком Леонардо Фибоначчи. Относится к виду
возвратных последовательностей. a1=1, а2=1, аi=ai-1+ai-2.
Коэффициенты Фибоначчи – частное от деления двух соседних членов
последовательности Фибоначчи: K1=ai/ai-1=1.618,
K2=ai-1/ai=0.618. Эти коэффициенты представляют собой так называемое
“золотое сечение”.
Цена акции
График поведения цены акции