Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной
Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!
Задача 1.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение:
На рисунке выделены цветом области убывания функции :
В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .
Задача 2.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:
Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .
Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .
Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .
Таких точек – 4.
Задача 3.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:
Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .
Это в свою очередь означает, что в точках касания.
Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .
Как видим, таких точек – четыре.
Задача 4.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Решение:
Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:
Задача 5.
На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение:
На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.
Задача 6.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .
Решение:
Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).
Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.
Задача 7.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.
На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .
Их сумма:
Задача 8.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение:
На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.
Длина наибольшего из них – 6.
Задача 9.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.
Решение:
Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .
Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f"(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ({1}/{x})" = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))"= f"(x) · g(x)+ f(x) · g(x)"$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})"={f"(x)·g(x)-f(x)·g(x)"}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f"(x)={(5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))"=f"(g(x))·g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ - координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x"(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f"(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f"(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f "(x_0) = 0$, называется экстремумом .
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f"(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f"(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f"(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f"(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f"(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.
Показать решениеРешение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}
Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.
Ответ
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
.png)
Решение
Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .
Решение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решениеРешение
Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.
Получаем: x_0 = 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5">
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-1;17). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. f (x)
0 на промежутке, то функция f(x)" title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)" class="link_thumb"> 8 На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке Ответ: 2 0 на промежутке, то функция f(x)"> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке Ответ: 2"> 0 на промежутке, то функция f(x)" title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)"> title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)">
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-9; 2). В какой точке отрезка -8; -4 функция f(x) принимает наибольшее значение? На отрезке -8; -4 f (x)
Функция y = f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, …, х 7 те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек. Ответ: 3 Точки х 1, х 4, х 6 и х 7 – точки экстремума. В точке х 4 не существует f (x)
Литература 4 Алгебра и начала анализа класс. Учебник для общеобразовательных учреждений базовый уровень / Ш. А. Алимов и другие, - М.: Просвещение, Семенов А. Л. ЕГЭ: 3000 задач по математике. – М.: Издательство «Экзамен», Генденштейн Л. Э., Ершова А. П., Ершова А. С. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами для 7-11 классов. – М.: Илекса, Электронный ресурс Открытый банк заданий ЕГЭ.
