Многоликая трапеция... Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.
Несколько слов о трапеции и ее элементах
Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.
Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.
Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.
Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.
Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:
- высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
- средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.
По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?
Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.
Если обозначить основания буквами а 1 и а 2 , высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:
S = ((а 1 + а 2)/2)*н.
Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия
Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:
S = l * н.
Возможность найти площадь по диагоналям
Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д 1 и д 2 , а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:
S = ((д 1 * д 2)/2) * sin α.
В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.
Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?
Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в 1 и в 2 , основание а 1 больше, чем а 2 . Тогда формула площади примет такой вид:
S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 1 2 - [(а 1 - а 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (а 1 - а 2))] 2 }.
Способы вычисления площади равнобедренной трапеции
Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:
S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 2 - [(а 1 - а 2) 2 / (2 * (а 1 - а 2))] 2 }.
Методы вычисления площади прямоугольной трапеции
Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.
Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.
Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.
Как быть, если известны координаты вершин трапеции?
В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.
Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.
До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:
длина отрезка = √{(разность первых координат точек) 2 + (разность вторых координат точек) 2 }.
Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √{(8-5) 2 + (7-7) 2 } = √9 = 3. Нижнее — СД = √ {(10-1) 2 + (1-1) 2 } = √81 = 9.
Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √{(5-5) 2 + (7-1) 2 } = √36 = 6.
Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.
Примеры задач
№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.
Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).
Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2). Задача решена.
Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм 2 .
№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е - середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.
Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.
Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой - накрест лежащий.
Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.
Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см 2 .
Ответ: S = 20 см 2 .
№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание - 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.
Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).
Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).
Ответ: Искомая площадь равна 45 см 2 .
№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.
Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.
Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н 1 , большей АОЕД — н 2 .
Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:
(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2
н 1 /н 2 = (х + а 1) / (5(х + а 2)).
Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:
н 1 /н 2 = (х - а 2) / (а 1 - х).
В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а 1) / (5(х + а 2)) равно (х - а 2) / (а 1 - х).
Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.
В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.
Ответ : х = √ {(а 1 2 + 5 а 2 2) / 6}.
Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) 
, где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:
, где DP – внешняя высота в
Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:
Вынесем за скобку
Что и требовалось доказать.
Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то
2) Применение общей формулы площади четырехугольника
.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда
3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь?
Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:
Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).
Спецприемы репетитора по математике.
Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:
Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:
Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.
В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы:). Приходите на занятия!
Задачи на площадь трапеции:
Замечание репетитора по математике : Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.
1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).
Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.
Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве
, подготовка к ЕГЭ в Строгино
.
Что такое равнобедренная трапеция? Это геометрическая фигура, противолежащие не параллельные стороны которой равны. Существует несколько различных формул для нахождения площади трапеции с различными условиями, которые даны в задачах. То есть площадь найти можно, если дана высота, стороны, углы, диагонали и т.д. Также нельзя не упомянуть, что для равнобедренных трапеций существует некоторые “исключение”, благодаря которым поиск площади и сама формула значительно упрощается. Ниже описаны подробные решения каждого случая с примерами.
Необходимые свойства для нахождения площади равнобедренной трапеции
Мы уже выяснили, что геометрическая фигура, имеющая противолежащие не параллельные, но равные стороны – это трапеция, причем, равнобедренная. Существуют специальные случаи, когда трапеция считается равнобедренной.
- Это условия равенства углов. Итак, обязательный пункт: углы при основании (возьмем рисунок ниже) должны быть равны. В нашем случае угол ВАD = углу CDA, a угол ABC = углу BCD
- Второе важное правило – в подобной трапеции диагонали должны быть равны. Следовательно, АС = ВD.
- Третий аспект: противоположные углы трапеции в сумме должны давать 180 градусов. Это значит, что угол ABC + угол CDA = 180 градусов. С углами BCD и BAD аналогично.
- В-четвертых, если трапеция допускает описание вокруг нее окружности – то она равнобедренная.
Как найти площадь равнобедренной трапеции – формулы и их описание
- S = (a+b)h/2 – это самая распространенная формула для нахождения площади, где а – нижнее основание, b – верхнее основание, а h – это высота.
- Если высота неизвестна, то искать ее можно по подобной формуле: h = с*sin(x), где с это либо AB, либо CD. sin(x) – это синус угла при любом основании, то есть угол DAB = угол CDA = x. В конечном итоге формула принимает вот такой вид: S = (a+b)*с*sin(x)/2.
- Высота также может находиться по этой формуле:
- Итоговая формула имеет такой вид:
- Площадь равнобедренной трапеции можно найти и через среднюю линию и высоту. Формула такова: S = mh .
Рассмотрим условие, когда в трапецию будет вписана окружность.
В случае, изображенном на картинке,
QN = D = H – диаметр окружности и одновременно высота трапеции;
LO, ON, OQ = R – радиусы окружности;
DC = a – верхнее основание;
AB = b – нижнее основание;
DAB, ABC, BCD, CDA – альфа, бета – углы оснований трапеции.
Подобный случай допускает нахождение площади по таким формулам:
- Теперь попробуем найти площадь через диагонали и углы между ними.
На рисунке обозначим AC, DB – диагонали – d. Углы COB, DOB – альфа; DOC, AOB – бета. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ) такова:
И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.
Трапеция - это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.
Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
- У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
- Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
- Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
- Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
- Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
- Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
Как найти площадь трапеции
.
Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:
где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.
Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.
Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.
Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.
В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.
Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.
В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция - вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.
Площадь трапеции
Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции - это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание - a, нижнее основание - b, а высота - h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:
S = ½ * (a+b) * h
т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.
Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию - m. Тогда
Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции - a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:
Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
где d с индексами 1 и 2 - диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.
При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Площадь равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция - это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция - это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.
Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.
- Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной - с, а и b - длины оснований:
- Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
где а - верхнее основание, с - боковая сторона.
- Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:
S = ½ * (b2 – a2) * tg α
- Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:
S = ½ * d2 * sin α
- Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.
Пусть боковая сторона - с, средняя линия - m, угол - a, тогда:
S = m * c * sin α
Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет - r.
Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:
S = 4r2 / sin α
Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):
Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:
S = a * b / sin α
(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).
Через основания и радиус окружности площадь ищется так:
Если известны только основания, то площадь считается по формуле:
Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию - m вычисляется так:
Площадь прямоугольной трапеции
Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.
Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.
Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.
- Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:
S = (a + b) * h / 2
В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:
S = (a + b) * c / 2
- Другой способ рассчитать площадь - перемножить длину средней линии на высоту:
или на длину боковой перпендикулярной стороны:
- Следующий способ вычисления - через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:
S = ½ * d1 * d2
- Еще один способ вычисления - через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.
Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:
S = (2r + c) * r
- Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:
где m - длина средней линии.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.
Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, - 180 градусам.