Zapisywanie pierwiastków równania kwadratowego. Równania kwadratowe. Rozwiązywanie równań kwadratowych

12.10.2019

Równanie postaci

Wyrażenie D= b 2 - 4 ak zwany dyskryminujący równanie kwadratowe. JeśliD = 0, wówczas równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty; jeśli D> 0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
W razie D = 0 , czasami mówi się, że równanie kwadratowe ma dwa identyczne pierwiastki.
Używając notacji D= b 2 - 4 ak, możemy przepisać wzór (2) do postaci

Jeśli B= 2 tys, wówczas wzór (2) przyjmuje postać:

Gdzie k= b / 2 .
Ta ostatnia formuła jest szczególnie wygodna w przypadkach, gdy B / 2 - liczba całkowita, tj. współczynnik B- Liczba parzysta.
Przykład 1: Rozwiązać równanie 2 X 2 - 5x + 2 = 0 . Tutaj a = 2, b = -5, c = 2. Mamy D= b 2 - 4 ak = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Ponieważ D > 0 , to równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je za pomocą wzoru (2)

Więc X 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
to jest X 1 = 2 I X 2 = 1 / 2 - pierwiastki danego równania.
Przykład 2: Rozwiązać równanie 2 X 2 - 3x + 5 = 0 . Tutaj a = 2, b = -3, c = 5. Znalezienie wyróżnika D= b 2 - 4 ak = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Ponieważ D 0 , to równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Niekompletne równania kwadratowe. Jeśli w równaniu kwadratowym topór 2 +bx+ c =0 drugi współczynnik B lub wolny członek C jest równa zero, wówczas nazywa się równanie kwadratowe niekompletny. Równania niekompletne są wyróżniane, ponieważ do znalezienia ich pierwiastków nie trzeba używać wzoru na pierwiastki równania kwadratowego - łatwiej jest rozwiązać równanie, rozkładając na czynniki jego lewą stronę.
Przykład 1: Rozwiązać równanie 2 X 2 - 5x = 0 .
Mamy X(2x - 5) = 0 . Więc albo X = 0 , Lub 2 X - 5 = 0 , to jest X = 2.5 . Zatem równanie ma dwa pierwiastki: 0 I 2.5
Przykład 2: Rozwiązać równanie 3 X 2 - 27 = 0 .
Mamy 3 X 2 = 27 . Dlatego pierwiastki tego równania są 3 I -3 .

Twierdzenie Viety. Jeśli zredukowane równanie kwadratowe X 2 +px+q =0 ma rzeczywiste pierwiastki, to ich suma jest równa - P, a iloczyn jest równy Q, to jest

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(suma pierwiastków powyższego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu).

Kontynuujemy studiowanie tematu ” rozwiązywanie równań„. Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi i przechodzimy do zapoznania się z nimi równania kwadratowe.

Najpierw przyjrzymy się, czym jest równanie kwadratowe, jak się je zapisuje w ogólnej formie i podamy powiązane definicje. Następnie użyjemy przykładów, aby szczegółowo zbadać, w jaki sposób rozwiązuje się niekompletne równania kwadratowe. Następnie przejdziemy do rozwiązywania pełnych równań, uzyskamy wzór na pierwiastek, zapoznamy się z dyskryminatorem równania kwadratowego i rozważymy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec prześledźmy powiązania między pierwiastkami i współczynnikami.

Nawigacja strony.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie rozmowy o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także powiązanych definicji. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: równania zredukowane i nieredukowane, a także równania pełne i niekompletne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.

Brzmiąca definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Zatem 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja.

Liczby a, b i c nazywane są współczynniki równania kwadratowego a·x 2 +b·x+c=0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub najwyższym, lub współczynnikiem x 2, b jest drugim współczynnikiem, czyli współczynnikiem x, a c jest wyrazem wolnym .

Weźmy na przykład równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x −3=0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik jest równy −2, a wyraz wolny jest równy −3. Należy pamiętać, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, krótka postać równania kwadratowego to 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i/lub b są równe 1 lub -1, zwykle nie są one wyraźnie obecne w równaniu kwadratowym, co wynika ze specyfiki pisania takich . Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0 współczynnik wiodący wynosi jeden, a współczynnik y jest równy −1.

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik wiodący wynosi 1 dane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe ma postać nietknięty.

Zgodnie z tą definicją równania kwadratowe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – biorąc pod uwagę, że w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich współczynniki wiodące są różne od 1.

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie strony przez współczynnik wiodący, można przejść do równania zredukowanego. Działanie to jest transformacją równoważną, to znaczy otrzymane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne nieredukowane równanie kwadratowe, lub podobnie jak ono nie ma pierwiastków.

Spójrzmy na przykład, jak dokonuje się przejścia z nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Musimy tylko podzielić obie strony pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on różny od zera, abyśmy mogli wykonać to działanie. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, co jest tym samym, co (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 i tak dalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , skąd . Otrzymaliśmy więc zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

W definicji równania kwadratowego występuje warunek a≠0. Warunek ten jest niezbędny, aby równanie a x 2 + b x + c = 0 było kwadratowe, ponieważ gdy a = 0, faktycznie staje się równaniem liniowym w postaci b x + c = 0.

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno indywidualnie, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Nazywa się równaniem kwadratowym a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Takie nazwy nie zostały nadane przypadkowo. Stanie się to jasne po następujących dyskusjach.

Jeżeli współczynnik b wynosi zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a·x 2 +0·x+c=0 i jest równoważne równaniu a·x 2 +c=0. Jeżeli c=0, czyli równanie kwadratowe ma postać a·x 2 +b·x+0=0, to można je przepisać jako a·x 2 +b·x=0. A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Powstałe równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że tak trzy typy niepełnych równań kwadratowych:

a x 2 =0 , odpowiadają temu współczynniki b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
i a·x 2 +b·x=0, gdy c=0.

Przyjrzyjmy się po kolei, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe każdego z tych typów.

a x 2 = 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań w postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału poprzez podzielenie obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co tłumaczy się faktem, że dla dowolnej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 > 0, co oznacza, że dla p ≠0 równość p 2 = 0 nigdy nie jest osiągnięta.

Zatem niekompletne równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego −4·x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 = 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x = 0, dlatego pierwotne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można wydać w następujący sposób:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .

ax2 +c=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero, a c≠0, czyli równania w postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
i dzielimy obie strony przez a, otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego pierwiastków. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2, to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6, wtedy ), to nie jest zero , ponieważ zgodnie z warunkiem c≠0. Przyjrzyjmy się przypadkom osobno.

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli pamiętamy o , to pierwiastek równania od razu staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ . Łatwo zgadnąć, że liczba ta jest w istocie także pierwiastkiem równania. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać na przykład przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy pierwiastki równania właśnie ogłoszonego jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma jeszcze jeden pierwiastek x 2, inny niż wskazane pierwiastki x 1 i −x 1. Wiadomo, że podstawienie jego pierwiastków do równania zamiast x powoduje, że równanie staje się poprawną równością liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Właściwości równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie prawidłowych równości liczbowych, zatem odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 −x 2 2 =0. Właściwości operacji na liczbach pozwalają nam zapisać otrzymaną równość jako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Zatem z otrzymanej równości wynika, że x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0, czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 =−x 1. Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1. To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niekompletne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu to

nie ma korzeni, jeśli ,
ma dwa pierwiastki i , jeśli .

Rozważmy przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0.

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0. Po przesunięciu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9 x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9, otrzymujemy . Ponieważ prawa strona ma liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego pierwotne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 +7 = 0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy kolejne niekompletne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę: −x 2 = −9. Teraz dzielimy obie strony przez -1, otrzymujemy x 2 = 9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub . Następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

ax2 +bx=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0. Niekompletne równania kwadratowe postaci a x 2 + b x = 0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wyjąć wspólny współczynnik x z nawiasów. Pozwala nam to przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania w postaci x·(a·x+b)=0. Równanie to jest równoważne zbiorowi dwóch równań x=0 i a·x+b=0, z których drugie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a.

Zatem niepełne równanie kwadratowe a·x 2 +b·x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie na konkretnym przykładzie.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Usunięcie x z nawiasów daje równanie . Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: i dzieląc liczbę mieszaną przez ułamek zwykły, znajdujemy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po nabyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można w skrócie zapisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy to wzór na pierwiastki równania kwadratowego: , Gdzie D=b 2 −4 za do- tak zwana dyskryminator równania kwadratowego. Wpis zasadniczo oznacza, że .

Warto wiedzieć, w jaki sposób wyprowadzono wzór na pierwiastek i jak można go wykorzystać do znalezienia pierwiastków równań kwadratowych. Rozwiążmy to.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Musimy rozwiązać równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0. Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

Możemy podzielić obie strony tego równania przez niezerową liczbę a, uzyskując następujące równanie kwadratowe.
Teraz wybierz cały kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
Na tym etapie możliwe jest przeniesienie dwóch ostatnich wyrazów na prawą stronę z przeciwnym znakiem, mamy .
Przekształćmy także wyrażenie po prawej stronie: .

W efekcie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0.

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy to sprawdzaliśmy. Pozwala nam to wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:

jeżeli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
jeżeli , to równanie ma zatem postać , z której widoczny jest jedyny jego pierwiastek;
jeśli , to lub , co jest tym samym co lub , to znaczy równanie ma dwa pierwiastki.

Zatem obecność lub brak pierwiastków równania, a zatem pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia wyznacza znak licznika, gdyż mianownik 4·a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4·a·c. To wyrażenie b 2 −4 a c zostało nazwane dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą D. Stąd jasna jest istota dyskryminatora - na podstawie jego wartości i znaku wnioskują, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania i przepiszmy je stosując notację dyskryminacyjną: . I konkludujemy:

jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
wreszcie, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub, co można zapisać w postaci lub, i po rozwinięciu i sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy.

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, które wyglądają jak , gdzie dyskryminator D oblicza się ze wzoru D=b 2 −4·a·c.

Za ich pomocą, z dodatnim dyskryminatorem, możesz obliczyć oba pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, oba wzory dają tę samą wartość pierwiastka, co odpowiada jednoznacznemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A w przypadku ujemnego dyskryminatora, próbując użyć wzoru na pierwiastek równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyodrębnieniem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wykracza poza zakres szkolnego programu nauczania. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć, korzystając z tych samych wzorów na pierwiastki, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek w celu obliczenia ich wartości. Ale jest to bardziej związane ze znalezieniem złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle nie mówimy o zespolonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw znaleźć dyskryminator, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie możemy stwierdzić, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), i dopiero wtedy obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0, należy:

korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 −4·a·c oblicz jego wartość;
wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, jeśli wyróżnik jest ujemny;
obliczyć jedyny pierwiastek równania ze wzoru, jeśli D=0;
znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, korzystając ze wzoru na pierwiastek, jeśli wyróżnik jest dodatni.

Tutaj po prostu zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, możesz również użyć wzoru; da on tę samą wartość co .

Można przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważmy rozwiązania trzech równań kwadratowych z wyróżnikiem dodatnim, ujemnym i zerowym. Po zapoznaniu się z ich rozwiązaniem analogicznie możliwe będzie rozwiązanie dowolnego innego równania kwadratowego. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 +2·x−6=0.

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1, b=2 i c=−6. Zgodnie z algorytmem należy najpierw obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminacyjnego, mamy D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je za pomocą wzoru głównego, otrzymamy , tutaj możesz uprościć wynikowe wyrażenia, wykonując przesunięcie mnożnika poza znak pierwiastka a następnie redukcja ułamka:

Odpowiedź:

Przejdźmy do następnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia dyskryminatora: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , to znaczy

Odpowiedź:

x=3,5.

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5·y 2 +6·y+2=0.

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5, b=6 i c=2. Podstawiamy te wartości do wzoru dyskryminacyjnego, mamy D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Jeśli chcesz wskazać pierwiastki złożone, stosujemy dobrze znany wzór na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Zauważmy jeszcze raz, że jeśli dyskryminator równania kwadratowego jest ujemny, to w szkole zwykle od razu zapisują odpowiedź, w której wskazują, że nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie znaleziono pierwiastków zespolonych.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego, gdzie D=b 2 −4·a·c pozwala otrzymać wzór w postaci bardziej zwartej, pozwalającej na rozwiązywanie równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem dla x (lub po prostu z współczynnik mający na przykład postać 2·n lub 14·ln5=2,7·ln5 ). Wyciągnijmy ją.

Załóżmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe w postaci a x 2 +2 n x + c=0 . Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanego nam wzoru. W tym celu obliczamy dyskryminator D=(2 n) 2 −4 za c=4 n 2 −4 za c=4 (n 2 −a do), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

Oznaczmy wyrażenie n 2 −ac jako D 1 (czasami jest to oznaczone jako D „). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmie postać , gdzie D 1 = n 2 −a·c.

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1 , czyli D 1 =D/4 . Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jest oczywiste, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Aby więc rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

Oblicz D 1 = n 2 −a·c ;
Jeśli D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jeśli D 1 = 0, to oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
Jeśli D 1 > 0, to znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste, korzystając ze wzoru.

Rozważmy rozwiązanie przykładu, korzystając ze wzoru na pierwiastek uzyskanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 −6 x −32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . Oznacza to, że możesz przepisać pierwotne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tutaj a=5, n=−3 i c=−32 i obliczyć czwartą część dyskryminujący: re 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Znajdźmy je, korzystając z odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Należy zauważyć, że możliwe było użycie zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku konieczne byłoby wykonanie większej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania?” Zgadzam się, że pod względem obliczeniowym łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x−6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0.

Zazwyczaj uproszczenie postaci równania kwadratowego osiąga się poprzez pomnożenie lub podzielenie obu stron przez określoną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie można było uprościć równanie 1100 x 2 −400 x −600=0 dzieląc obie strony przez 100.

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie strony równania są zwykle dzielone przez wartości bezwzględne jego współczynników. Weźmy na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: NWD(12, 42, 48)= NWD(12, 42), 48)= NWD(6, 48)=6. Dzieląc obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6, otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 −7 x+8=0.

Mnożenie obu stron równania kwadratowego jest zwykle wykonywane w celu pozbycia się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się przez mianowniki jego współczynników. Na przykład, jeśli obie części równania kwadratowego zostaną pomnożone przez LCM(6, 3, 1)=6, wówczas przyjmie ono prostszą postać x 2 +4 x−18=0.

Podsumowując ten akapit, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy wiodącym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład, zwykle z równania kwadratowego −2·x 2 −3·x+7=0 przechodzimy do rozwiązania 2·x 2 +3·x−7=0 .

Zależność pierwiastków i współczynników równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników. Na podstawie wzoru na pierwiastki można uzyskać inne zależności między pierwiastkami i współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie wzory z twierdzenia Viety mają postać i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest wyrazem wolnym. Na przykład w postaci równania kwadratowego 3 x 2 −7 x+22=0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22/3.

Korzystając z już napisanych wzorów, można uzyskać szereg innych zależności między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego. Można na przykład wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego za pomocą jego współczynników: .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. O 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.

", czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji będziemy to badać tak zwane równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe?

Ważny!

Stopień równania zależy od najwyższego stopnia, w jakim stoi nieznana.

Jeśli maksymalna potęga, w której niewiadoma wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

5x 2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25 x = 0
x 2 - 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda następująco:

ZA x 2 + b x + do = 0

„a”, „b” i „c” to liczby.

„a” jest pierwszym lub najwyższym współczynnikiem;
„b” to drugi współczynnik;
„c” jest członkiem bezpłatnym.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c”, należy porównać swoje równanie z ogólną formą równania kwadratowego „ax 2 + bx + c = 0”.

Poćwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25 x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 - 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

W przeciwieństwie do równań liniowych, do rozwiązywania równań kwadratowych stosuje się specjalną metodę. przepis na znalezienie korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

sprowadź równanie kwadratowe do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0”. Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
użyj wzoru na pierwiastki:

Spójrzmy na przykład użycia wzoru do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 − 3x − 4 = 0” zostało już sprowadzone do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Wyznaczmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Można go użyć do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.

We wzorze „x 1;2 =” często zastępowane jest wyrażenie radykalne
„b 2 − 4ac” dla litery „D” i nazywa się dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało omówione bardziej szczegółowo w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Spójrzmy na inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci dość trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć wzoru na korzenie.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy równania kwadratowe nie mają pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy formuła zawiera pod pierwiastkiem liczbę ujemną.

Równanie kwadratowe - łatwe do rozwiązania! *Dalej w tekście „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce nie ma nic prostszego niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń na żądanie Yandex wykonuje miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:

Co to znaczy? Oznacza to, że tej informacji szuka miesięcznie około 70 000 osób, a mamy lato i co będzie się działo w trakcie roku szkolnego – zapytań będzie dwa razy więcej. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno temu ukończyli szkołę i przygotowują się do ujednoliconego egzaminu państwowego, szukają tych informacji, a uczniowie również starają się odświeżyć swoją pamięć.

Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, zdecydowałem się również wnieść swój wkład i opublikować materiał. Po pierwsze, chcę, aby odwiedzający odwiedzali moją witrynę na podstawie tego żądania; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się temat „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem Ci o jego rozwiązaniu trochę więcej, niż jest to zwykle podawane na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

gdzie współczynniki a,Bi c są liczbami dowolnymi, gdzie a≠0.

Na kursie szkolnym materiał podawany jest w następującej formie - równania podzielone są na trzy klasy:

1. Mają dwa korzenie.

2. *Mają tylko jeden korzeń.

3. Nie mają korzeni. Warto w tym miejscu szczególnie zaznaczyć, że nie mają one prawdziwego korzenia

Jak obliczane są pierwiastki? Tylko!

Obliczamy dyskryminator. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:

Podstawowe formuły są następujące:

*Musisz znać te formuły na pamięć.

Możesz od razu zapisać i rozwiązać:

Przykład:

1. Jeżeli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.

2. Jeżeli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.

3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Spójrzmy na równanie:

W związku z tym, gdy dyskryminator jest równy zero, kurs szkolny mówi, że uzyskuje się jeden pierwiastek, tutaj jest równy dziewięć. Wszystko się zgadza, tak jest, ale...

Pomysł ten jest nieco błędny. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, otrzymasz dwa równe pierwiastki, a żeby być precyzyjnym matematycznie, to w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz to zapisać i powiedzieć, że jest jeden pierwiastek.

Teraz następny przykład:

Jak wiemy, nie można wyciągnąć pierwiastka z liczby ujemnej, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

To cały proces decyzyjny.

Funkcja kwadratowa.

To pokazuje, jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).

Jest to funkcja postaci:

gdzie x i y są zmiennymi

a, b, c – dane liczby, gdzie a ≠ 0

Wykres jest parabolą:

Oznacza to, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Mogą być dwa takie punkty (wyróżnik jest dodatni), jeden (wyróżnik ma wartość zero) i żaden (wyróżnik jest ujemny). Szczegóły dotyczące funkcji kwadratowej Możesz obejrzeć artykuł Inny Feldman.

Spójrzmy na przykłady:

Przykład 1: Rozwiąż 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = –12

* Można od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć je. Obliczenia będą łatwiejsze.

Przykład 2: Decydować x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

re = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ustaliliśmy, że x 1 = 11 i x 2 = 11

W odpowiedzi można zapisać x = 11.

Odpowiedź: x = 11

Przykład 3: Decydować x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

re = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Dyskryminator jest ujemny, w liczbach rzeczywistych nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązania

Wyróżnik jest ujemny. Jest rozwiązanie!

Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku uzyskania ujemnego dyskryminatora. Czy wiesz coś o liczbach zespolonych? Nie będę tu szczegółowo omawiał dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich specyficzna rola i konieczność w matematyce, jest to temat na obszerny, osobny artykuł.

Pojęcie liczby zespolonej.

Trochę teorii.

Liczba zespolona z jest liczbą postaci

z = a + bi

gdzie aib są liczbami rzeczywistymi, i jest tak zwaną jednostką urojoną.

a+bi – jest to JEDYNA LICZBA, a nie dodatek.

Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi z minus jeden:

Rozważmy teraz równanie:

Otrzymujemy dwa sprzężone pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe.

Rozważmy przypadki szczególne, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zero). Można je łatwo rozwiązać bez żadnych dyskryminatorów.

Przypadek 1. Współczynnik b = 0.

Równanie staje się:

Przeliczmy:

Przykład:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Przypadek 2. Współczynnik c = 0.

Równanie staje się:

Przekształćmy i rozłóżmy na czynniki:

*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Przykład:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.

Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.

Przydatne właściwości i wzory współczynników.

Istnieją właściwości, które pozwalają rozwiązywać równania o dużych współczynnikach.

AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A + B+ c = 0, To

- jeśli dla współczynników równania AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A+ c =B, To

Właściwości te pomagają rozwiązać określony typ równania.

Przykład 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma szans wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, co oznacza

Przykład 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Równość obowiązuje A+ c =B, Oznacza

Regularności współczynników.

1. Jeśli w równaniu ax 2 + bx + c \u003d 0 współczynnik „b” wynosi (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki to

topór 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jeżeli w równaniu ax 2 - bx + c \u003d 0, współczynnik „b” wynosi (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki to

topór 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx – c = 0 współczynnik „b” jest równe (a 2 – 1) i współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego pierwiastki są równe

topór 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jeżeli w równaniu ax 2 - bx - c \u003d 0, współczynnik „b” jest równy (a 2 - 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki to

topór 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Twierdzenie Viety.

Twierdzenie Viety zostało nazwane na cześć słynnego francuskiego matematyka Francois Viety. Korzystając z twierdzenia Viety, można wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w postaci jego współczynników.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Przy pewnej umiejętności, korzystając z przedstawionego twierdzenia, wiele równań kwadratowych można natychmiast rozwiązać ustnie.

Twierdzenie Viety dodatkowo. wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób (poprzez dyskryminator) można sprawdzić powstałe pierwiastki. Polecam robić to zawsze.

SPOSÓB TRANSPORTU

Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez wolny termin, jakby „przeniesiony” na niego, dlatego nazywa się to metoda „przelewu”. Metodę tę stosuje się, gdy pierwiastki równania można łatwo znaleźć za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy wyróżnik jest dokładnym kwadratem.

Jeśli A± b+c≠ 0, wówczas stosuje się technikę transferu, np.:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Korzystając z twierdzenia Viety w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 = 10 x 2 = 1

Powstałe pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ dwa zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Jakie jest uzasadnienie? Spójrz, co się dzieje.

Dyskryminatory równań (1) i (2) są równe:

Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, otrzymasz tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika x 2:

Drugi (zmodyfikowany) ma korzenie 2 razy większe.

Dlatego wynik dzielimy przez 2.

*Jeśli przerzucimy trójkę, wynik podzielimy przez 3 itd.

Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Plac ur-ie i ujednolicony egzamin państwowy.

Opowiem Ci krótko o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZJI szybko i bez zastanowienia, musisz znać na pamięć wzory pierwiastków i wyróżników. Wiele problemów zawartych w zadaniach Unified State Examination sprowadza się do rozwiązania równań kwadratowych (w tym geometrycznych).

Coś wartego uwagi!

1. Forma zapisu równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:

15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.

Musisz doprowadzić to do standardowej formy (aby nie pomylić się przy rozwiązywaniu).

2. Pamiętaj, że x jest wielkością nieznaną i można ją oznaczyć dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.

Temat ten może początkowo wydawać się skomplikowany ze względu na wiele nie tak prostych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie zapisy, ale pierwiastki można również znaleźć poprzez dyskryminator. W sumie otrzymano trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.

Ogólny widok równania kwadratowego

Tutaj proponujemy ich wyraźne zapisanie, gdy najpierw zapisywany jest stopień największy, a następnie w kolejności malejącej. Często zdarzają się sytuacje, w których warunki są niespójne. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w kolejności malejącej według stopnia zmiennej.

Wprowadźmy pewną notację. Zostały one zaprezentowane w poniższej tabeli.

Jeśli przyjmiemy te oznaczenia, wszystkie równania kwadratowe sprowadzają się do następującego zapisu.

Co więcej, współczynnik a ≠ 0. Niech ta formuła będzie oznaczona numerem jeden.

Kiedy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:

rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
odpowiedzią będzie jedna liczba;
równanie nie będzie miało w ogóle pierwiastków.

A dopóki decyzja nie zostanie sfinalizowana, trudno zrozumieć, która opcja pojawi się w konkretnym przypadku.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

W zadaniach mogą znajdować się różne wpisy. Nie zawsze będą wyglądać jak ogólny wzór równania kwadratowego. Czasami będzie brakować niektórych terminów. To, co napisano powyżej, jest pełnym równaniem. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Zapisy te nazywane są również równaniami kwadratowymi, tylko że są niekompletne.

Co więcej, mogą zniknąć tylko terminy ze współczynnikami „b” i „c”. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zeru. Ponieważ w tym przypadku wzór zamienia się w równanie liniowe. Wzory na niepełną postać równań będą następujące:

Istnieją więc tylko dwa typy, oprócz pełnych istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie numerem dwa, a druga - trzema.

Dyskryminator i zależność liczby pierwiastków od jego wartości

Musisz znać tę liczbę, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można to obliczyć, niezależnie od wzoru równania kwadratowego. Aby obliczyć dyskryminator, należy skorzystać z równości zapisanej poniżej, która będzie miała numer cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby o różnych znakach. Jeśli odpowiedź brzmi „tak”, wówczas odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Jeśli liczba jest ujemna, równanie kwadratowe nie będzie pierwiastków. Jeśli będzie równa zero, będzie tylko jedna odpowiedź.

Jak rozwiązać pełne równanie kwadratowe?

Właściwie rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw trzeba znaleźć dyskryminator. Po ustaleniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego i znana jest ich liczba, należy zastosować wzory na zmienne. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować następującą formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać inaczej.

Formuła numer pięć. Z tego samego zapisu jasno wynika, że jeśli dyskryminator jest równy zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli nie opracowano jeszcze rozwiązania równań kwadratowych, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem formuł dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ten moment nie sprawi trudności. Jednak już na początku panuje zamieszanie.

Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest znacznie prostsze. Nie ma nawet potrzeby stosowania dodatkowych formuł. A te, które zostały już zapisane dla rozróżniającego i nieznanego, nie będą potrzebne.

Najpierw spójrzmy na niekompletne równanie numer dwa. W tej równości należy wyjąć nieznaną wielkość z nawiasów i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasach. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z konieczności jest równa zeru, ponieważ istnieje mnożnik składający się z samej zmiennej. Drugie otrzymamy rozwiązując równanie liniowe.

Niekompletne równanie numer trzy rozwiązuje się, przesuwając liczbę z lewej strony równości na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik skierowany w stronę nieznanego. Pozostaje tylko wyciągnąć pierwiastek kwadratowy i pamiętać o zapisaniu go dwukrotnie z przeciwnymi znakami.

Poniżej znajduje się kilka kroków, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów wynikających z nieuwagi. Te niedociągnięcia mogą powodować słabe oceny podczas studiowania obszernego tematu „Równania kwadratowe (8. klasa)”. Następnie czynności te nie będą musiały być wykonywane stale. Ponieważ pojawi się stabilna umiejętność.

Najpierw musisz zapisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw termin z największym stopniem zmiennej, potem – bez stopnia, a na koniec – tylko liczba.

Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu studiującemu równania kwadratowe. Lepiej się tego pozbyć. W tym celu wszystkie równości należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie wyrazy zmienią znak na przeciwny.

Zaleca się pozbywanie się ułamków w ten sam sposób. Wystarczy pomnożyć równanie przez odpowiedni współczynnik, aby mianowniki się zniosły.

Przykłady

Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Pierwsze równanie: x 2 − 7x = 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je w sposób opisany we wzorze numer dwa.

Po usunięciu z nawiasów okazuje się: x (x - 7) = 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 = 0. Drugi pierwiastek znajdziemy z równania liniowego: x - 7 = 0. Łatwo zauważyć, że x 2 = 7.

Drugie równanie: 5x 2 + 30 = 0. Znowu niekompletne. Tylko że rozwiązuje się to w sposób opisany dla trzeciego wzoru.

Po przesunięciu 30 na prawą stronę równania: 5x 2 = 30. Teraz musisz podzielić przez 5. Okazuje się, że: x 2 = 6. Odpowiedziami będą liczby: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trzecie równanie: 15 − 2x − x 2 = 0. W dalszej części rozwiązywanie równań kwadratowych zaczniemy od przepisania ich do standardowej postaci: − x 2 − 2x + 15 = 0. Teraz czas skorzystać z drugiej przydatnej wskazówki i pomnożyć wszystko przez minus jeden. Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 = 0. Korzystając z czwartego wzoru, musisz obliczyć dyskryminator: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Jest to liczba dodatnia. Z tego, co powiedziano powyżej, okazuje się, że równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć za pomocą piątego wzoru. Okazuje się, że x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Wtedy x 1 = 3, x 2 = - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x = 0 przekształca się w następujące równanie: x 2 + 3x + 8 = 0. Jego wyróżnik jest równy tej wartości: -23. Ponieważ liczba ta jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie wpis: „Nie ma pierwiastków”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać w następujący sposób: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na dyskryminator otrzymuje się liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden pierwiastek, a mianowicie: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Szóste równanie (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że trzeba wprowadzić wyrazy podobne, najpierw otwierając nawiasy. W miejsce pierwszego pojawi się wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po równości pojawi się zapis: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu podobnych wyrazów równanie przyjmie postać: x 2 - x = 0. Stało się niekompletne. Coś podobnego zostało już omówione nieco wyżej. Pierwiastkami tego będą liczby 0 i 1.