Zagadnienia z parametrem (graficzna metoda rozwiązania) Wprowadzenie. Zaplanuj rozwiązanie problemów z parametrem metodą graficzną. Równania liniowe z parametrem

23.09.2019

Równania z parametrami są słusznie uważane za jedno z najtrudniejszych zadań w trakcie matematyki szkolnej. To właśnie te zadania z roku na rok pojawiają się na liście zadań typu B i C na ujednoliconym egzaminie państwowym Unified State Examination. Jednak wśród dużej liczby równań z parametrami są takie, które można łatwo rozwiązać graficznie. Rozważmy tę metodę na przykładzie rozwiązania kilku problemów.

Znajdź sumę wartości całkowitych a, dla których równanie |x 2 – 2x – 3| = a ma cztery pierwiastki.

Rozwiązanie.

Aby odpowiedzieć na pytanie problemu, konstruujemy wykresy funkcji na jednej płaszczyźnie współrzędnych

y = |x 2 – 2x – 3| i y = a.

Wykres pierwszej funkcji y = |x 2 – 2x – 3| otrzymamy z wykresu paraboli y = x 2 - 2x - 3, wyświetlając symetrycznie wokół osi odciętych część wykresu znajdującą się poniżej osi Ox. Część wykresu powyżej osi x pozostanie niezmieniona.

Zróbmy to krok po kroku. Wykres funkcji y \u003d x 2 - 2x - 3 jest parabolą, której gałęzie są skierowane w górę. Aby zbudować jego wykres, znajdujemy współrzędne wierzchołka. Można to zrobić za pomocą wzoru x 0 = -b / 2a. Zatem x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Aby znaleźć współrzędną wierzchołka paraboli wzdłuż osi y, podstawiamy otrzymaną wartość dla x 0 do równania rozważanej funkcji. Otrzymujemy to y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Stąd wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -4).

Następnie musisz znaleźć punkty przecięcia gałęzi paraboli z osiami współrzędnych. W punktach przecięcia gałęzi paraboli z osią odciętych wartość funkcji wynosi zero. Dlatego rozwiązujemy równanie kwadratowe x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Jego pierwiastkami będą pożądane punkty. Z twierdzenia Vieta mamy x 1 = -1, x 2 = 3.

W punktach przecięcia się gałęzi paraboli z osią y wartość argumentu wynosi zero. Zatem punkt y = -3 jest punktem przecięcia się gałęzi paraboli z osią y. Wynikowy wykres pokazano na rysunku 1.

Aby otrzymać wykres funkcji y = |x 2 - 2x - 3|, wyświetlimy część wykresu, która znajduje się poniżej osi x, symetrycznie względem osi x. Wynikowy wykres pokazano na rysunku 2.

Wykres funkcji y = a jest linią prostą równoległą do osi x. Pokazano to na rysunku 3. Korzystając z rysunku stwierdzamy, że wykresy mają cztery punkty wspólne (a równanie ma cztery pierwiastki), jeśli a należy do przedziału (0; 4).

Wartości całkowite liczby a z otrzymanego przedziału: 1; 2; 3. Aby odpowiedzieć na pytanie problemu, znajdźmy sumę tych liczb: 1 + 2 + 3 = 6.

Odpowiedź: 6.

Znajdź średnią arytmetyczną wartości całkowitych liczby a, dla której równanie |x 2 – 4|x| – 1| = a ma sześć pierwiastków.

Zacznijmy od wykreślenia funkcji y = |x 2 – 4|x| – 1|. W tym celu używamy równości a 2 = |a| 2 i wybierz pełny kwadrat w wyrażeniu submodułu zapisanym po prawej stronie funkcji:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Wtedy oryginalna funkcja będzie wyglądać tak: y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Aby zbudować wykres tej funkcji, budujemy kolejno wykresy funkcji:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - parabola z wierzchołkiem w punkcie o współrzędnych (2; -5); (Rys. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - część paraboli zbudowanej w paraboli 1, która znajduje się na prawo od osi rzędnych, jest przedstawiona symetrycznie na lewo od osi Oy; (Rys. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - część wykresu zbudowana w ust. 2, która znajduje się poniżej osi x, jest wyświetlana symetrycznie względem osi odciętych w górę. (Rys. 3).

Rozważ wynikowe rysunki:

Wykres funkcji y = a jest linią prostą równoległą do osi x.

Na podstawie rysunku dochodzimy do wniosku, że wykresy funkcji mają sześć punktów wspólnych (równanie ma sześć pierwiastków), jeśli a należy do przedziału (1; 5).

Można to zobaczyć na poniższym rysunku:

Znajdź średnią arytmetyczną wartości całkowitych parametru a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Odpowiedź: 3.

blog.site, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

DO zadania z parametrem obejmują np. poszukiwanie rozwiązań równań liniowych i kwadratowych w postaci ogólnej, badanie równania na liczbę dostępnych pierwiastków w zależności od wartości parametru.

Bez podawania szczegółowych definicji rozważ następujące równania jako przykłady:

y = kx, gdzie x, y to zmienne, k to parametr;

y = kx + b, gdzie x, y to zmienne, kib to parametry;

ax 2 + bx + c = 0, gdzie x to zmienne, a, b i c to parametry.

Rozwiązanie równania (nierówności, układu) z parametrem oznacza z reguły rozwiązanie nieskończonego zestawu równań (nierówności, układy).

Zadania z parametrem można warunkowo podzielić na dwa typy:

A) warunek mówi: rozwiąż równanie (nierówność, układ) - oznacza to, że dla wszystkich wartości parametru znajdź wszystkie rozwiązania. Jeśli przynajmniej jeden przypadek pozostaje niezbadany, takiego rozwiązania nie można uznać za zadowalające.

B) wymagane jest wskazanie możliwych wartości parametru, dla którego równanie (nierówność, układ) ma określone właściwości. Np. ma jedno rozwiązanie, nie ma rozwiązań, ma rozwiązania należące do przedziału itp. W zadaniach takich należy jednoznacznie wskazać, przy jakiej wartości parametru warunek zadany jest spełniony.

Parametr, będąc nieznaną stałą liczbą, ma niejako szczególną dwoistość. Przede wszystkim trzeba wziąć pod uwagę, że rzekoma sława sugeruje, że parametr należy postrzegać jako liczbę. Po drugie, swoboda obsługi parametru jest ograniczona przez jego niewiadomą. Tak więc na przykład operacje dzielenia przez wyrażenie, w którym występuje parametr lub wyodrębnianie pierwiastka o parzystym stopniu z podobnego wyrażenia, wymagają wstępnych badań. Dlatego należy zachować ostrożność podczas obsługi parametru.

Na przykład, aby porównać dwie liczby -6a i 3a, należy wziąć pod uwagę trzy przypadki:

1) -6a będzie większe niż 3a, jeśli a jest liczbą ujemną;

2) -6a = 3a w przypadku gdy a = 0;

3) -6a będzie mniejsze niż 3a, jeśli a jest liczbą dodatnią 0.

Decyzja będzie odpowiedzią.

Niech będzie dane równanie kx = b. To równanie jest skrótem dla nieskończonego zestawu równań w jednej zmiennej.

Podczas rozwiązywania takich równań mogą wystąpić przypadki:

1. Niech k będzie dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, a b dowolną liczbą z R, wtedy x = b/k.

2. Niech k = 0 i b ≠ 0, pierwotne równanie przyjmie postać 0 · x = b. Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań.

3. Niech k i b będą liczbami równymi zeru, wtedy mamy równość 0 · x = 0. Jej rozwiązaniem jest dowolna liczba rzeczywista.

Algorytm rozwiązywania tego typu równań:

1. Określ wartości „kontrolne” parametru.

2. Rozwiąż oryginalne równanie dla x z wartościami parametru określonymi w pierwszym akapicie.

3. Rozwiąż oryginalne równanie dla x z wartościami parametrów różniącymi się od wybranych w pierwszym akapicie.

4. Możesz zapisać odpowiedź w następującej formie:

1) gdy ... (wartość parametru), równanie ma pierwiastki ...;

2) gdy ... (wartość parametru), w równaniu nie ma pierwiastków.

Przykład 1

Rozwiąż równanie z parametrem |6 – x| = za.

Rozwiązanie.

Łatwo zauważyć, że tutaj a ≥ 0.

Z reguły modulo 6 – x = ±a wyrażamy x:

Odpowiedź: x = 6 ± a, gdzie a ≥ 0.

Przykład 2

Rozwiąż równanie a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 względem zmiennej x.

Rozwiązanie.

Otwórzmy nawiasy: topór - a + 2x - 2 \u003d 0

Zapiszmy równanie w postaci standardowej: x(a + 2) = a + 2.

Jeśli wyrażenie a + 2 nie jest zerem, tj. jeśli a ≠ -2, mamy rozwiązanie x = (a + 2) / (a + 2), tj. x = 1.

Jeśli a + 2 jest równe zeru, tj. a \u003d -2, to mamy poprawną równość 0 x \u003d 0, więc x jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Odpowiedź: x \u003d 1 dla a ≠ -2 i x € R dla a \u003d -2.

Przykład 3

Rozwiąż równanie x/a + 1 = a + x względem zmiennej x.

Rozwiązanie.

Jeśli a \u003d 0, to przekształcamy równanie do postaci a + x \u003d a 2 + ax lub (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Ostatnie równanie dla a = 1 ma postać 0 · x = 0, więc x jest dowolną liczbą.

Jeżeli a ≠ 1, to ostatnie równanie przyjmie postać x = -a.

Rozwiązanie to można zilustrować na linii współrzędnych (Rys. 1)

Odpowiedź: nie ma rozwiązań dla a = 0; x - dowolna liczba przy a = 1; x \u003d -a z ≠ 0 i ≠ 1.

Metoda graficzna

Rozważ inny sposób rozwiązywania równań z parametrem - graficzny. Ta metoda jest stosowana dość często.

Przykład 4

Ile pierwiastków, w zależności od parametru a, tworzy równanie ||x| – 2| = a?

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać metodą graficzną, konstruujemy wykresy funkcji y = ||x| – 2| i y = a (Rys. 2).

Rysunek wyraźnie pokazuje możliwe przypadki położenia linii y = a oraz liczbę pierwiastków w każdym z nich.

Odpowiedź: równanie nie będzie miało pierwiastków, jeśli a< 0; два корня будет в случае, если a >2 i a = 0; równanie będzie miało trzy pierwiastki w przypadku a = 2; cztery pierwiastki - w 0< a < 2.

Przykład 5

Dla którego a równanie 2|x| + |x – 1| = a ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie.

Narysujmy wykresy funkcji y = 2|x| + |x – 1| i y = a. Dla y = 2|x| + |x - 1|, rozszerzając moduły metodą przerwy, otrzymujemy:

(-3x + 1, przy x< 0,

y = (x + 1, dla 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, dla x > 1.

NA Rysunek 3 wyraźnie widać, że równanie będzie miało unikalny pierwiastek tylko wtedy, gdy a = 1.

Odpowiedź: a = 1.

Przykład 6

Wyznacz liczbę rozwiązań równania |x + 1| + |x + 2| = a w zależności od parametru a?

Rozwiązanie.

Wykres funkcji y = |x + 1| + |x + 2| będzie linią przerywaną. Jego wierzchołki będą znajdować się w punktach (-2; 1) i (-1; 1) (zdjęcie 4).

Odpowiedź: jeśli parametr a jest mniejszy niż jeden, to równanie nie będzie miało pierwiastków; jeśli a = 1, to rozwiązaniem równania jest nieskończony zbiór liczb z przedziału [-2; -1]; jeśli wartości parametru a są większe niż jeden, to równanie będzie miało dwa pierwiastki.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z parametrem?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Otdelkina Olga, uczennica klasy 9

Ten temat jest integralną częścią nauki szkolnego kursu algebry. Celem tej pracy jest głębsze zbadanie tego tematu, aby zidentyfikować najbardziej racjonalne rozwiązanie, które szybko prowadzi do odpowiedzi. Ten esej pomoże innym studentom zrozumieć zastosowanie metody graficznej do rozwiązywania równań z parametrami, poznać pochodzenie, rozwój tej metody.

Pobierać:

Zapowiedź:

Wprowadzenie2

Rozdział 1

Historia powstania równań z parametrem 3

Twierdzenie Viety4

Podstawowe pojęcia5

Rozdział 2. Typy równań z parametrami.

Równania liniowe6

Równania kwadratowe……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………...7

Rozdział 3

Metoda analityczna……………………………………..8

Metoda graficzna. Historia występowania……………………………9

Graficzny algorytm rozwiązania ..…………………………….10

Rozwiązywanie równania z modułem……………………….11

Część praktyczna…………………………………………………………………12

Podsumowanie……………………………………………….19

Referencje…………………………………………………………………20

Wstęp.

Wybrałam ten temat, ponieważ jest on integralną częścią nauki szkolnego kursu algebry. Przygotowując tę pracę, postawiłem sobie za cel głębsze przestudiowanie tego tematu, znalezienie najbardziej racjonalnego rozwiązania, które szybko prowadzi do odpowiedzi. Mój esej pomoże innym studentom zrozumieć zastosowanie metody graficznej do rozwiązywania równań z parametrami, poznać genezę, rozwój tej metody.

We współczesnym życiu badanie wielu procesów fizycznych i wzorów geometrycznych często prowadzi do rozwiązywania problemów z parametrami.

Aby rozwiązać takie równania, metoda graficzna jest bardzo skuteczna, gdy konieczne jest ustalenie, ile pierwiastków ma równanie w zależności od parametru α.

Zadania z parametrami mają znaczenie czysto matematyczne, przyczyniają się do rozwoju intelektualnego uczniów i są dobrym materiałem do ćwiczenia umiejętności. Mają wartość diagnostyczną, ponieważ mogą służyć do sprawdzania znajomości głównych działów matematyki, poziomu myślenia matematycznego i logicznego, wstępnych umiejętności badawczych i obiecujących szans na pomyślne opanowanie przedmiotu z matematyki w szkołach wyższych.

W moim streszczeniu uwzględniono powszechnie spotykane typy równań i mam nadzieję, że wiedza, którą zdobyłem w trakcie pracy, pomoże mi w zdaniu egzaminów szkolnych, gdyżrównania z parametramisłusznie uważane za jedno z najtrudniejszych zadań w trakcie szkolnej matematyki. To właśnie te zadania znajdują się na liście zadań na ujednoliconym egzaminie państwowym USE.

Historia powstania równań z parametrem

Problemy z równaniami z parametrem napotkano już w traktacie astronomicznym „Aryabhattam”, opracowanym w 499 r. Przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhatta. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII wiek), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

αх 2 + bx = do, α>0

W równaniu współczynniki, z wyjątkiem parametru, może być również ujemna.

Równania kwadratowe w al-Khwarizmi.

Traktat algebraiczny Al-Khwarizmi podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych z parametrem. Autor wymienia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, czyli αx 2 = bx.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, czyli αx 2 = c.

3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. αx = c.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, czyli αx 2 + do = bx.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, czyli αx 2 + bx = do.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c = αx 2 .

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych według al-Khorezmiego w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze liczydła”, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XII wieku. wziąć pod uwagę, oprócz dodatnich i ujemnych pierwiastków. Dopiero w XVIIw. dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabrała nowoczesnego wyglądu.

Twierdzenie Viety

Twierdzenie wyrażające zależność między parametrami, współczynnikami równania kwadratowego i jego pierwiastkami, noszące imię Vieta, zostało przez niego sformułowane po raz pierwszy w 1591 r. Jak następuje: „Jeżeli b + d pomnożyć przez α minus α 2 równa się bc, to α równa się b i równa się d.

Aby zrozumieć Vietę, należy pamiętać, że α, jak każda samogłoska, oznaczało nieznane (nasze x), natomiast samogłoski b, d są współczynnikami nieznanego. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Viety oznacza:

Jeśli jest

(α + b)x - x 2 \u003d αb,

To znaczy x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,

wtedy x 1 = α, x 2 = b.

Wyrażając związek między pierwiastkami i współczynnikami równań za pomocą ogólnych wzorów zapisanych za pomocą symboli, Vieta ustalił jednolitość metod rozwiązywania równań. Jednak symbolika Vieta jest wciąż daleka od jej współczesnej formy. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki są dodatnie.

Podstawowe koncepcje

Parametr - zmienna niezależna, której wartość uważa się za liczbę stałą lub dowolną, albo liczbę należącą do przedziału określonego przez stan problemu.

Równanie z parametrem- matematycznyrównanie, wygląd i którego rozwiązanie zależy od wartości jednego lub więcej parametrów.

Decydować równanie ze średnimi parametrów dla każdej wartościznajdź wartości x, które spełniają to równanie, a także:

1. Zbadaj, dla jakich wartości parametrów równanie ma pierwiastki i ile z nich dla różnych wartości parametrów.
2. Znajdź wszystkie wyrażenia dla pierwiastków i wskaż dla każdego z nich wartości parametrów, dla których to wyrażenie naprawdę określa pierwiastek równania.

Rozważmy równanie α(х+k)= α +c, gdzie α, c, k, x są zmiennymi.

Układ dopuszczalnych wartości zmiennych α, c, k, xnazywa się dowolny układ wartości zmiennych, w którym zarówno lewa, jak i prawa część tego równania przyjmują wartości rzeczywiste.

Niech A będzie zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości α, K – zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości k, X – zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości x, C – zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości z ok. Jeżeli dla każdego ze zbiorów A, K, C, X wybierzemy i ustalimy odpowiednio po jednej wartości α, k, c i podstawimy je do równania, to otrzymamy równanie na x, tj. równanie z jedną niewiadomą.

Zmienne α, k, c, które są uważane za stałe podczas rozwiązywania równania, nazywane są parametrami, a samo równanie nazywane jest równaniem zawierającym parametry.

Parametry oznaczamy pierwszymi literami alfabetu łacińskiego: α, b, c, d, …, k , l, m, n, a niewiadome literami x, y, z.

Nazywane są dwa równania zawierające te same parametry równoważne, jeśli:

a) mają sens dla tych samych wartości parametrów;

b) każde rozwiązanie pierwszego równania jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Rodzaje równań z parametrami

Równania z parametrami są: liniowe i kwadratowy.

1) Równanie liniowe. Formularz ogólny:

α x = b, gdzie x jest nieznane;α , b - parametry.

W przypadku tego równania specjalną lub kontrolną wartością parametru jest ta, przy której współczynnik znika w niewiadomej.

Podczas rozwiązywania równania liniowego z parametrem brane są pod uwagę przypadki, gdy parametr jest równy swojej wartości specjalnej i różni się od niego.

Specjalną wartością parametru α jest wartośćα = 0.

1.Jeżeli ≠0 , to dla dowolnej pary parametrówα i b ma unikalne rozwiązanie x = .

2.Jeśli, =0, to równanie przyjmuje postać: 0 x = b . W tym przypadku wartość B = 0 to specjalna wartość parametru B.

2.1. dla b ≠ 0 równanie nie ma rozwiązań.

2.2. dla b =0 równanie przyjmie postać: 0 x=0.

Rozwiązaniem tego równania jest dowolna liczba rzeczywista.

Równanie kwadratowe z parametrem.

Formularz ogólny:

α x 2 + bx + do = 0

gdzie parametr α ≠0, b i c - dowolne liczby

Jeśli α =1, to równanie nazywamy zredukowanym równaniem kwadratowym.

Pierwiastki równania kwadratowego można znaleźć za pomocą wzorów

Wyrażenie D = b 2 - 4 α do zwany dyskryminatorem.

1. Jeżeli D> 0 - równanie ma dwa różne pierwiastki.

2. Jeśli D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Jeśli D = 0 - równanie ma dwa równe pierwiastki.

Metody rozwiązywania równań z parametrem:

Analityczny - metoda bezpośredniego rozwiązania, która powtarza standardowe procedury znajdowania odpowiedzi w równaniu bez parametrów.
Graficzny - w zależności od stanu problemu uwzględniane jest położenie wykresu odpowiedniej funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych.

Metoda analityczna

Algorytm rozwiązania:

Przed przystąpieniem do rozwiązywania problemu z parametrami metodą analityczną konieczne jest zrozumienie sytuacji dla określonej wartości liczbowej parametru. Weźmy np. wartość parametru α =1 i odpowiedzmy na pytanie: czy wartość parametru α =1 jest wartością wymaganą dla tego problemu.

Przykład 1: Zdecyduj o X równanie liniowe z parametrem m:

Zgodnie ze znaczeniem problemu (m-1)(x+3) = 0, czyli m= 1, x = -3.

Mnożąc obie strony równania przez (m-1)(x+3), otrzymujemy równanie

dostajemy

Stąd przy m = 2,25.

Teraz należy sprawdzić, czy nie ma takich wartości m dla których

znaleziona wartość x to -3.

rozwiązując to równanie, otrzymujemy, że x wynosi -3, gdy m = -0,4.

Odpowiedź: przy m=1, m=2,25.

Metoda graficzna. Historia występowania

Badanie ogólnych zależności rozpoczęło się w XIV wieku. Nauka średniowieczna była scholastyczna. Przy takim charakterze nie było miejsca na badanie zależności ilościowych, chodziło tylko o właściwości przedmiotów i ich wzajemne relacje. Ale wśród scholastyków powstała szkoła, która twierdziła, że cechy mogą być mniej lub bardziej intensywne (ubiór osoby, która wpadła do rzeki, jest bardziej mokry niż u kogoś, kto właśnie został złapany w deszczu)

Francuski naukowiec Nicholas Oresme zaczął przedstawiać intensywność długości segmentów. Kiedy ułożył te odcinki prostopadle do jakiejś prostej, ich końce tworzyły linię, którą nazwał „linią intensywności” lub „linią górnej krawędzi” (wykres odpowiedniej zależności funkcjonalnej). Oresmus studiował nawet „płaszczyznę”. oraz jakości „cielesne”, tj. funkcje zależne od dwóch lub trzech zmiennych.

Ważnym osiągnięciem Oresmesa była próba sklasyfikowania powstałych grafów. Wyróżnił trzy rodzaje jakości: jednostajne (o stałym natężeniu), jednostajnie nierówne (o stałym tempie zmian natężenia) i nierównomiernie nierówne (wszystkie pozostałe), a także charakterystyczne właściwości wykresów takich jakości.

Aby stworzyć aparat matematyczny do badania wykresów funkcji, wykorzystano pojęcie zmiennej. Pojęcie to zostało wprowadzone do nauki przez francuskiego filozofa i matematyka René Descartesa (1596-1650). To Kartezjusz wpadł na pomysł jedności algebry i geometrii oraz roli zmiennych; Kartezjusz wprowadził stały segment jednostkowy i zaczął rozważać związek z nim innych segmentów.

Tak więc wykresy funkcji przez cały okres swojego istnienia przeszły szereg fundamentalnych przekształceń, które doprowadziły je do postaci, do której jesteśmy przyzwyczajeni. Każdy etap lub krok w rozwoju wykresów funkcji jest integralną częścią historii współczesnej algebry i geometrii.

Graficzna metoda określania liczby pierwiastków równania w zależności od zawartego w nim parametru jest wygodniejsza niż metoda analityczna.

Graficzny algorytm rozwiązania

Wykres funkcji jest zbiorem punktów gdzieodciętasą prawidłowymi wartościami argumentów, A rzędne- odpowiednie wartościFunkcje.

Algorytm graficznego rozwiązywania równań z parametrem:

Znajdź dziedzinę równania.
Wyrażamy α jako funkcja x.
W układzie współrzędnych budujemy wykres funkcjiα (x) dla tych wartości x, które mieszczą się w dziedzinie danego równania.
Znalezienie punktów przecięcia prostejα =c, z wykresem funkcji

topór). Jeżeli linia α =c przecina wykresα (x), następnie wyznaczamy odcięte punktów przecięcia. Aby to zrobić, wystarczy rozwiązać równanie do = α (x) względem x.

Zapisz odpowiedź

Rozwiązywanie równań z modułem

Podczas graficznego rozwiązywania równań z modułem zawierającym parametr konieczne jest wykreślenie wykresów funkcji i rozważenie wszystkich możliwych przypadków dla różnych wartości parametru.

Na przykład │х│= a,

Odpowiedź: jeśli A < 0, то нет корней, a > 0, to x \u003d a, x \u003d - a, jeśli a \u003d 0, to x \u003d 0.

Rozwiązywanie problemów.

Zadanie 1. Ile pierwiastków ma równanie| | x | - 2 | = za w zależności od parametru A?

Rozwiązanie. W układzie współrzędnych (x; y) rysujemy wykresy funkcji y = | | x | - 2 | i y= A . Wykres funkcji y = | | x | - 2 | pokazano na rysunku.

Wykres funkcji y =α za = 0).

Z wykresu widać, że:

Jeśli a = 0, to linia y = a pokrywa się z osią Ox i ma z wykresem funkcji y = | | x | - 2 | dwa punkty wspólne; stąd pierwotne równanie ma dwa pierwiastki (w tym przypadku pierwiastki można znaleźć: x 1,2 = + 2).
jeśli 0< a < 2, то прямая y = α ma z wykresem funkcji y = | | x | - 2 | cztery punkty wspólne, a zatem pierwotne równanie ma cztery pierwiastki.
Jeśli A = 2, to prosta y = 2 ma trzy punkty wspólne z wykresem funkcji. Wtedy oryginalne równanie ma trzy pierwiastki.
Jeśli a > 2, to linia y = a będzie miało dwa punkty z wykresem funkcji pierwotnej, to znaczy to równanie będzie miało dwa pierwiastki.

Odpowiedź: jeśli A < 0, то корней нет;
jeśli a = 0, a > 2, to dwa pierwiastki;
jeśli a = 2, to trzy pierwiastki;
jeśli 0< a < 2, то четыре корня.

Zadanie 2. Ile pierwiastków ma to równanie| x 2 - 2| x | - 3 | = za w zależności od parametru A?

Rozwiązanie. W układzie współrzędnych (x; y) rysujemy wykresy funkcji y = | X 2 - 2| x | - 3 | i y = za .

Wykres funkcji y = | X 2 - 2| x | - 3 | pokazano na rysunku. Wykres funkcji y =α jest linią równoległą do Ox lub pokrywającą się z nią (kiedy a = 0).

Z wykresu widać:

Jeśli a = 0, to linia y = a pokrywa się z osią Ox i ma z wykresem funkcji y = | x2 - 2| x | - 3 | dwa punkty wspólne, a także prostą y = A będzie miał z wykresem funkcji y = | X 2 - 2| x | - 3 | dwa punkty wspólne a > 4. Stąd dla a = 0 i a > 4 oryginalne równanie ma dwa pierwiastki.
jeśli 0< A< 3, то прямая y = a ma z wykresem funkcji y = | X 2 - 2| x | - 3 | cztery punkty wspólne oraz prostą y= A będzie miał cztery punkty wspólne z wykresem skonstruowanej funkcji w a = 4. Stąd w 0< a < 3, a = 4 oryginalne równanie ma cztery pierwiastki.
Jeśli a = 3, to linia y = a przecina wykres funkcji w pięciu punktach; dlatego równanie ma pięć pierwiastków.
jeśli 3< A< 4, прямая y = α przecina wykres konstruowanej funkcji w sześciu punktach; stąd dla tych wartości parametru oryginalne równanie ma sześć pierwiastków.
Jeśli A < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α nie przecina wykresu funkcji y = | X 2 - 2| x | - 3 |.

Odpowiedź: jeśli A < 0, то корней нет;
jeśli a = 0, a > 4, to dwa pierwiastki;
jeśli 0< a < 3, a = 4, a następnie cztery pierwiastki;

Jeśli = 3, a następnie pięć pierwiastków;
jeśli 3< a < 4, то шесть корней.

Zadanie 3. Ile pierwiastków ma to równanie

w zależności od parametru A?

Rozwiązanie. Konstruujemy w układzie współrzędnych (x; y) wykres funkcji

ale najpierw zapiszemy to w postaci:

Linie x = 1, y = 1 to asymptoty wykresu funkcji. Wykres funkcji y = | x | + A uzyskany z wykresu funkcji y = | x | przesunięte o jednostkę wzdłuż osi Oy.

Wykresy funkcji przecinają się w jednym punkcie w A > - 1; stąd równanie (1) dla tych wartości parametru ma jedno rozwiązanie.

Dla a = - 1, a = - 2 wykresy przecinają się w dwóch punktach; stąd dla tych wartości parametru równanie (1) ma dwa pierwiastki.
O -2< A< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Odpowiedź: jeśli A > - 1, to jedno rozwiązanie;
jeśli a = - 1, a = - 2, to dwa rozwiązania;
jeśli - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Komentarz. Rozwiązując równanie problemu, należy zwrócić szczególną uwagę na przypadek, kiedy A = - 2, ponieważ punkt (- 1; - 1) nie należy do wykresu funkcjiale należy do wykresu funkcji y = | x | + A.

Zadanie 4. Ile pierwiastków ma równanie

x + 2 = za | x - 1 |

w zależności od parametru A?

Rozwiązanie. Zauważ, że x = 1 nie jest pierwiastkiem tego równania, ponieważ równość 3 = A 0 nie może być prawdą dla żadnej wartości parametru A . Dzielimy obie strony równania przez | x - 1 |(| x - 1 |0), to równanie przyjmie postaćW układzie współrzędnych xOy wykreślamy funkcję

Wykres tej funkcji pokazano na rysunku. Wykres funkcji y = A jest linią prostą równoległą do osi Ox lub pokrywającą się z nią (np a = 0).