>

Drugie wyjście prędkości ucieczki. Encyklopedia szkolna

Od czasów starożytnych ludzie interesowali się problematyką budowy świata. Już w III wieku p.n.e. grecki filozof Arystarch z Samos wyraził pogląd, że Ziemia kręci się wokół Słońca, i próbował obliczyć odległości i rozmiary Słońca i Ziemi na podstawie położenia Księżyca. Ponieważ aparat dowodowy Arystarcha z Samos był niedoskonały, większość pozostała zwolennikami pitagorejskiego geocentrycznego systemu świata.
Minęły prawie dwa tysiąclecia, a polski astronom Mikołaj Kopernik zainteresował się ideą heliocentrycznej struktury świata. Zmarł w 1543 r., a wkrótce dzieło jego życia zostało opublikowane przez jego uczniów. Model Kopernika i tablice położeń ciał niebieskich, oparte na układzie heliocentrycznym, znacznie dokładniej odzwierciedlały stan rzeczy.
Pół wieku później niemiecki matematyk Johannes Kepler, korzystając ze skrupulatnych notatek duńskiego astronoma Tycho Brahe na temat obserwacji ciał niebieskich, wyprowadził prawa ruchu planet, które wyeliminowały niedokładności modelu Kopernika.
Koniec XVII wieku upłynął pod znakiem dzieł wielkiego angielskiego naukowca Izaaka Newtona. Prawa mechaniki Newtona i powszechnego ciążenia rozszerzyły się i dały teoretyczne uzasadnienie wzorom wyprowadzonym z obserwacji Keplera.
Wreszcie w 1921 roku Albert Einstein zaproponował ogólną teorię względności, która obecnie najdokładniej opisuje mechanikę ciał niebieskich. Wzory Newtona z mechaniki klasycznej i teorii grawitacji można nadal stosować do niektórych obliczeń, które nie wymagają dużej dokładności i gdzie można pominąć efekty relatywistyczne.

Dzięki Newtonowi i jego poprzednikom możemy obliczyć:

  • jaką prędkość musi mieć ciało, aby utrzymać zadaną orbitę ( pierwsza prędkość ucieczki)
  • z jaką prędkością musi poruszać się ciało, aby pokonać grawitację planety i stać się satelitą gwiazdy ( druga prędkość ucieczki)
  • minimalna prędkość wymagana do opuszczenia układu planetarnego ( trzecia prędkość ucieczki)

Już pierwsze źródła pisane, ustne legendy i podania przekazywane z ust do ust świadczą o pragnieniu człowieka latania jak ptak. A teraz latające maszyny z łatwością wyprzedzają wszelkie ptaki. Ale człowiek nie tylko opanował przestrzeń powietrzną, ale to wydawało mu się niewystarczające.

Aktywnie badany jest bliski kosmos, na orbicie okołoziemskiej znajdują się całe kompleksy składające się z modułów mieszkalnych, naukowych i technicznych. Na czerwonej planecie – Marsie – z całą mocą wędrują automatyczne pojazdy badawcze, na powierzchni Księżyca podejmowane są „ogromne kroki ludzkości”, a misje Voyagera na ogół opuszczają swoją macierzystą gwiazdę na zawsze. Jak szybko pojazdy latają w kosmosie? „Druga prędkość kosmiczna” - Co oznacza ta fraza?

Jak oderwać się od Ziemi i jak ją opuścić

Najpierw przyjrzyjmy się, jak ogólnie latają nasze statki kosmiczne. Wyobraźmy sobie, że na powierzchni Ziemi zbudowana jest jakaś fantastyczna wieża. Tak wysoko, że jego szczyt znajduje się tam, gdzie w ogóle nie ma powietrza. Na górnej platformie konstrukcji umieszczono działo zdolne strzelać pociskami o różnych prędkościach początkowych.

Pierwszy pocisk zostaje wystrzelony z niewielką ilością prochu w ładunku. Pocisk spada w pobliżu wieży. Jeśli oddany zostanie każdy kolejny strzał, sukcesywnie zwiększając siłę ładunku, pociski wystrzeliwane z armaty będą spadać coraz dalej, krążąc po kuli ziemskiej.

Pod warunkiem, że nasze działo jest zamontowane tak wysoko, że pociski wylecą poza atmosferę, a powietrze nie spowolni ich ruchu, w pewnym momencie pocisk (nr 6 na rysunku) nie spadnie na powierzchnię planety w Wszystko. Po okrążeniu przeleci obok armaty, która go wystrzeliła i przejdzie do drugiego, trzeciego kręgu itd. Efekt ten będziemy mogli zaobserwować przy początkowej prędkości pocisku wynoszącej 7,91 km/s – jest to pierwsza prędkość kosmiczna.

Co się stanie, jeśli prędkość wzrośnie jeszcze bardziej? Jeśli wystrzelisz pocisk z armaty tak, że będzie leciał z prędkością większą niż 11 km/s, jego trajektoria zmieni się z elipsy w parabolę (linia 7 na rysunku) i po pokonaniu siły grawitacji opuści naszą planetę na zawsze. Jest to druga prędkość ucieczki w mechanice niebieskiej.

Kto był pierwszy

Kto jako pierwszy zapewnił technologii takie prędkości? Zarówno pierwszą, jak i drugą prędkość kosmiczną osiągnęły urządzenia wyprodukowane przez radzieckich inżynierów.

Jesienią 1957 roku radziecka rakieta nośna P-7, osiągając pierwszą prędkość ucieczki, wystrzeliła na orbitę okołoziemską pierwszego sztucznego satelitę w historii ludzkości. Ale człowiek nie byłby sobą, gdyby był zadowolony z losu kręcącego się wokół kołyski.

Dosłownie dwa lata później, ponownie przez radziecką sondę kosmiczną, osiągnięto drugą prędkość ucieczki rakiet, co pozwoliło misji pokonać grawitację i skierować się w stronę Księżyca.

Jak obliczyć

Od czego zależy wielkość prędkości kosmicznych? Oczywiście, po pierwsze, z mocy pola grawitacyjnego, które wytwarza ciało kosmiczne. Ucieczka przed asteroidą to jedno. Można po prostu nadać piłce drugą prędkość ucieczki, machając nią mocniej i wyrzucając w przestrzeń. Kolejną rzeczą jest opuszczenie Ziemi wraz z jej masą.

Jest jeszcze jeden niuans. Rozważmy dwie planety krążące wokół Słońca: Merkury i niedawno odkrytą mniejszą planetę Eris. Obydwa ciała kosmiczne krążą wokół tej samej gwiazdy o tej samej masie. Ale prędkość ucieczki Merkurego wynosi około 50 km/s, podczas gdy Eris leci po swojej orbicie znacznie wolniej – około 3,5 km/s. O co chodzi? A faktem jest, że Eris jest 200 razy dalej od źródła światła niż Merkury, a siła grawitacji Słońca jest tam 200 razy słabsza do sześcianu. Stąd kolejnym czynnikiem jest odległość od środka ciała kosmicznego. Oznacza to, że im bliżej tego będziemy, tym większa będzie druga prędkość ucieczki. Wzór na pierwszą prędkość ucieczki znany jest ze szkolnych zajęć z fizyki.

  • G jest stałą grawitacji, przyjętą w obliczeniach 6,67 ∙ 10 -11 m 3 ∙s -2 ∙kg;
  • M jest masą ciała kosmicznego;
  • R to odległość od środka planety do orbity (promień obrotu).

Obliczenie drugiej prędkości ucieczki nie jest trudne. Poniżej podano jego formułę.

Aby na zawsze opuścić Układ Słoneczny przebywając w obszarze orbity Ziemi, należy rozpędzić się do prędkości (w stosunku do Słońca) wynoszącej 47 km/s, co zwykle nazywa się trzecią prędkością kosmiczną.

Nasze Słońce, podobnie jak otaczające je planety, samo obraca się wokół centrum galaktyki, zwanego Drogą Mleczną, z prędkością około 250 kilometrów na sekundę. Aby na zawsze pożegnać się z galaktyką, potrzebowałby prędkości około 650 km/s (prędkość kosmiczna nr 4).

Druga prędkość ucieczki małej asteroidy wynosi około 30-60 m/s. Od takiego obiektu w kosmosie nie jest trudno odlecieć. Inną sprawą są gwiazdy neutronowe lub coś gorszego – czarne dziury. Druga prędkość ucieczki czarnej dziury wynosi ponad 300 tysięcy kilometrów na sekundę – jest większa niż prędkość światła. Dlatego żaden obiekt, nawet światło, nie jest w stanie wymknąć się z objęć tego kosmicznego potwora.

Druga „ziemska” prędkość ucieczki to jest to prędkość, którą należy przekazać ciału względem Ziemi, tak, aby pokonywał pole grawitacyjne, tj. okazało się, że jest w stanie oddalić się od Ziemi na nieskończenie dużą odległość.

Zaniedbanie wpływu na ciało Słońca, Księżyca, planet, gwiazd itp. i zakładając, że w układzie Ziemia-ciało nie ma sił niezachowawczych (a faktycznie są jakieś - są to siły oporu atmosferycznego), możemy uznać ten układ za zamknięty i konserwatywny. W takim układzie całkowita energia mechaniczna jest wielkością stałą.

Jeśli w nieskończoności zostanie wybrany zerowy poziom energii potencjalnej, wówczas całkowita energia mechaniczna ciała w dowolnym punkcie trajektorii będzie równa zeru (w miarę oddalania się ciała od Ziemi energia kinetyczna przekazana mu na początku zostanie zamieniony na potencjał.W nieskończoności, gdzie energia potencjalna ciała wynosi zero,

energia kinetyczna również spadnie do zera mi Do =0. Zatem całkowita energia mi= mi P + mi Do . = 0.)

Przyrównując całkowitą energię ciała na początku (na powierzchni Ziemi) i w nieskończoności, możemy obliczyć drugą prędkość ucieczki. Na początku ciało ma dodatnią energię kinetyczną
I negatywny energia potencjalna
,M - masa ciała; M H - Masa Ziemi; II - prędkość ciała na początku (pożądana prędkość ucieczki); R H- promień Ziemi (zakładamy, że ciało uzyskuje wymaganą prędkość ucieczki w bliskiej odległości od powierzchni Ziemi).

Całkowita energia ciała
(12.16)

Gdzie
(12.17)

Masę Ziemi można wyrazić jako przyspieszenie ziemskie g 0 (w pobliżu powierzchni Ziemi):
.

Podstawiając to wyrażenie do (12.17), ostatecznie otrzymujemy

(12.18)

ponieważ
występuje pierwsza prędkość ucieczki.

V. Warunki równowagi układu mechanicznego.

    Niech na określone ciało działa tylko siła konserwatywna. Oznacza to, że to ciało wraz z ciałami, z którymi oddziałuje, tworzy się zamknięty system konserwatywny. Dowiedzmy Się

w jakich warunkach dane ciało będzie w stanie równowagi (sformułujemy te warunki za pomocą energetycznego punktu widzenia).

    Warunki równowagi z punktu widzenia głośniki wiemy: ciało jest w równowadze, jeśli jego prędkość i suma geometryczna wszystkich działających na nie sił są równe zero:

(12.19)

(12.20)

Niech siła zachowawcza działająca na ciało będzie taka, że ​​energia potencjalna ciała zależy tylko od jednej współrzędnej, na przykład X. Wykres tej zależności pokazano na rysunku 23. Z zależności pomiędzy energią potencjalną a siłą wynika, że ​​w stanie równowagi

pochodna energii potencjalnej względem X równy zeru.

(12.21)

te. W stanie równowagi organizm dysponuje ogromnym zapasem energii potencjalnej. Upewnijmy się, że energia potencjalna jest w stanie stabilnej równowagi minimum, a w stanie niestabilnej równowagi – maksymalny.

3. Równowaga stabilna układu charakteryzuje się tym, że gdy układ odbiega od tego stanu, powstają siły powracający system do stanu pierwotnego.

P W przypadku odchylenia od stanu niestabilnej równowagi powstają siły, które mają tendencję do dalszego odchylania układu. dalej z pierwotnej pozycji. Przechylmy ciało z pozycji A lewy(patrz ryc. 23). To stworzy siłę , którego rzut na oś X jest równe:

(12.22)

Pochodna
w tym punkcie ujemny (kąt
- tępy). Z (12.22) wynika, > 0; kierunek siły mecze z kierunkiem osi X, tj. siła kierunkowa do położenia równowagiA. Ciało samoistnie, bez dodatkowego oddziaływania, powróci do pozycji równowagi. Dlatego państwo A- państwo zrównoważony balansować. Ale w tym stanie, jak widać z wykresu, energia potencjalna minimalny.

4. Przechylmy ciało z innej pozycji B także w lewo. Projekcja siły
na oś X:

okazało się negatywny (
> 0, ponieważ kąt
pikantny).

Oznacza to, że kierunek siły
naprzeciwko dodatni kierunek osi X, tj. siła
skierowany z położenia równowagi. Państwo B, w którym energia potencjalna jest maksymalna, nietrwały.

Zatem zdolny zrównoważony równowaga energii potencjalnej układu minimalny, zdolny nietrwały równowaga - równowaga maksymalny.

Jeśli wiadomo, że energia potencjalna jakiegoś układu minimalny, nie oznacza to, że układ jest w równowadze. Konieczne jest również, aby w tym stanie układ nie posiadał energii kinetycznej:
(12.23)

Zatem układ znajduje się w stanie stabilnej równowagi, jeśli mi Do=0, a mi P minimalny. Jeśli mi Do=0, a mi P jest maksymalna, to układ znajduje się w niestabilnej równowadze.

PRZYKŁADY ROZWIĄZANIA PROBLEMÓW

Przykład 1. Mężczyzna stoi na środku ławki Żukowskiego i obraca się wraz z nią na skutek bezwładności. Częstotliwość
Moment bezwładności ciała człowieka względem osi obrotu
W ramionach rozciągniętych na boki mężczyzna trzyma dwa ciężarki
każdy. Odległość między ciężarkami

Ile obrotów na sekundę wykona ławka z osobą, jeśli obniży ona ramiona i odległość pomiędzy wagami będą równe
Pomiń moment bezwładności ławki.

Rozwiązanie. Osoba trzymająca ciężary (patrz rys. 24) wraz z ławką stanowi izolowany układ mechaniczny, dlatego moment pędu
układ ten musi mieć stałą wartość.

Dlatego w naszym przypadku

Gdzie I - moment bezwładności człowieka i prędkość kątowa ławki i osoby z wyciągniętymi ramionami. I
- moment bezwładności ciała człowieka oraz prędkość kątowa ławki i osoby z rękami opuszczonymi. Stąd
, zastępując prędkość kątową przez częstotliwość (
), otrzymujemy

Moment bezwładności układu rozpatrywanego w tym zadaniu jest równy sumie momentu bezwładności ciała ludzkiego oraz moment bezwładności ciężarków w rękach człowieka, który można wyznaczyć ze wzoru na moment bezwładności punktu materialnego

Stąd,

Gdzie
masa każdego ciężarka, I
początkowa i końcowa odległość między nimi. Biorąc pod uwagę zgłoszone uwagi, tak


Zastępując wartości liczbowe ilości, znajdujemy

Przykład 2. Długość pręta
i masa
może obracać się wokół stałej osi przechodzącej przez górny koniec pręta (patrz rys. 25). Pocisk o masie
, lecący w kierunku poziomym z dużą prędkością
i utknie w pręcie.

Pod jakim kątem Czy pręt ugnie się po uderzeniu?

Rozwiązanie. Uderzenie pocisku należy uznać za niesprężyste: po uderzeniu zarówno pocisk, jak i odpowiadający mu punkt na pręcie będą poruszać się z tymi samymi prędkościami.

Po pierwsze, kula uderzając w pręt, wprawia go w ruch z określoną prędkością kątową w znikomym czasie i nadaje mu pewną energię kinetyczną
Gdzie
moment bezwładności pręta względem osi obrotu. Następnie pręt obraca się o pewien kąt, a jego środek ciężkości podnosi się na określoną wysokość
.

W pozycji odchylonej pręt będzie miał energię potencjalną

Energia potencjalna uzyskiwana jest z energii kinetycznej i jest jej równa zgodnie z zasadą zachowania energii, tj.

, Gdzie

Wyznaczanie prędkości kątowej Skorzystajmy z prawa zachowania momentu pędu.

W początkowej chwili uderzenia prędkość kątowa pręta
a co za tym idzie, moment pędu pręta
Pocisk dotknął pręta z prędkością liniową i zaczął wnikać głębiej w pręt, nadając mu przyspieszenie kątowe i uczestnicząc w obrocie pręta wokół jego osi.

Początkowy impuls pocisku
Gdzie
odległość punktu uderzenia pocisku od osi obrotu.

W końcowym momencie uderzenia pręt miał prędkość kątową , a pocisk – prędkość liniowa równa prędkości liniowej punktów pręta znajdujących się w pewnej odległości od osi obrotu.

Ponieważ
, a następnie końcowy moment pędu pocisku

Stosując zasadę zachowania momentu pędu, możemy napisać

Zastępując wartości liczbowe, otrzymujemy

Po tym znajdujemy


PYTANIA DO AUTOTESTU

    Jaki układ ciał nazywa się zamkniętym?

2. Jaki układ oddziałujących ciał nazywa się konserwatywnym?

    W jakich warunkach pęd ciała jest zachowany?

    Sformułuj zasadę zachowania pędu układu ciał.

    Sformułuj zasadę zachowania momentu pędu (dla pojedynczego ciała i układu ciał).

    Sformułuj prawo zachowania energii mechanicznej.

    Jakie systemy nazywane są rozpraszającymi?

    Na czym polega zderzenie ciał?

    Które zderzenie nazywamy absolutnie niesprężystym, a które absolutnie sprężystym?

10. Jakie prawa są spełnione podczas zderzeń absolutnie niesprężystych i absolutnie sprężystych ciał tworzących układ zamknięty?

11. Jaka jest druga prędkość ucieczki? Wyprowadź wzór na tę prędkość.

    Formułować warunki równowagi układu mechanicznego.

Jeżeli pewnemu ciału nadana zostanie prędkość równa pierwszej prędkości kosmicznej, wówczas nie spadnie ono na Ziemię, lecz stanie się sztucznym satelitą poruszającym się po orbicie kołowej bliskiej Ziemi. Przypomnijmy, że prędkość ta musi być prostopadła do kierunku do środka Ziemi i równa co do wielkości
v Ja = √(gR) = 7,9 km/s,
Gdzie g = 9,8 m/s 2− przyspieszenie swobodnego spadania ciał w pobliżu powierzchni Ziemi, R = 6,4 × 10 6 m− promień Ziemi.

Czy ciało może całkowicie zerwać łańcuchy grawitacyjne, które „przywiązują” je do Ziemi? Okazuje się, że można, ale żeby tego dokonać trzeba go „rzucić” z jeszcze większą prędkością. Minimalna prędkość początkowa, jaką należy nadać ciału na powierzchni Ziemi, aby pokonało grawitację, nazywa się drugą prędkością ucieczki. Znajdźmy jego wartość v II.
Kiedy ciało oddala się od Ziemi, siła grawitacji wykonuje ujemną pracę, w wyniku czego energia kinetyczna ciała maleje. Jednocześnie maleje siła przyciągania. Jeśli energia kinetyczna spadnie do zera, zanim siła grawitacji osiągnie zero, ciało powróci na Ziemię. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby energia kinetyczna pozostawała niezerowa, dopóki siła przyciągania nie osiągnie zera. A to może się zdarzyć tylko w nieskończenie dużej odległości od Ziemi.
Zgodnie z twierdzeniem o energii kinetycznej zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy wykonanej przez siłę działającą na to ciało. Dla naszego przypadku możemy napisać:
0 − mv II 2 /2 = A,
Lub
mv II 2 /2 = −A,
Gdzie M− masa ciała wyrzuconego z Ziemi, A− praca grawitacji.
Zatem, aby obliczyć drugą prędkość ucieczki, należy obliczyć pracę wykonaną przez siłę przyciągania ciała do Ziemi, gdy ciało oddala się od powierzchni Ziemi na nieskończenie dużą odległość. Choć może to być zaskakujące, praca ta wcale nie jest nieskończenie duża, mimo że ruch ciała wydaje się nieskończenie duży. Powodem tego jest spadek siły grawitacji w miarę oddalania się ciała od Ziemi. Jaka jest praca wykonana przez siłę przyciągania?
Wykorzystajmy fakt, że praca wykonana przez siłę grawitacji nie zależy od kształtu trajektorii ciała i rozważmy najprostszy przypadek - ciało oddala się od Ziemi po linii przechodzącej przez środek Ziemi. Rysunek pokazany tutaj przedstawia Ziemię i ciało o masie M, który porusza się w kierunku wskazanym przez strzałkę.

Najpierw znajdźmy pracę 1, które odbywa się poprzez siłę przyciągania na bardzo małym obszarze z dowolnego punktu N do momentu N 1. Odległości tych punktów od środka Ziemi oznaczymy wzorem R I r 1, odpowiednio, więc pracuj 1 będzie równe
ZA 1 = −F(r 1 – r) = fa(r – r 1).
Ale jakie jest znaczenie siły F należy podstawić do tego wzoru? W końcu zmienia się to z punktu na punkt: w N jest równe GmM/r 2 (M− masa Ziemi), w punkcie N 1 − GmM/r 1 2.
Oczywiście należy przyjąć średnią wartość tej siły. Od odległości R I r 1, niewiele się od siebie różnią, to jako średnią możemy przyjąć wartość siły w pewnym punkcie środkowym, na przykład taką, że
r cp 2 = rr 1.
Wtedy otrzymamy
ZA 1 = GmM(r - r 1)/(rr 1) = GmM(1/r 1 - 1/r).
Rozumując w ten sam sposób, znajdujemy to w okolicy N 1 N 2 praca jest wykonywana
ZA 2 = GmM(1/r 2 - 1/r 1),
Lokalizacja na N 2 N 3 praca jest równa
ZA 3 = GmM(1/r 3 - 1/r 2),
i na stronie NN 3 praca jest równa
ZA 1 + ZA 2 + ZA 2 = GmM(1/r 3 - 1/r).
Wzór jest jasny: praca wykonana przez siłę grawitacji podczas przemieszczania ciała z jednego punktu do drugiego jest określona przez różnicę odwrotnych odległości tych punktów od środka Ziemi. Teraz nie jest trudno znaleźć całą pracę A podczas przenoszenia ciała z powierzchni Ziemi ( r = R) na nieskończenie dużą odległość ( r → ∞, 1/r = 0):
A = GmM(0 - 1/R) = -GmM/R.
Jak widać, praca ta rzeczywiście nie jest nieskończenie duża.
Zastąpienie otrzymanego wyrażenia za A do formuły
mv II 2 /2 = −GmM/R,
Znajdźmy wartość drugiej prędkości ucieczki:
v II = √(−2A/m) = √(2GM/R) = √(2gR) = 11,2 km/s.
Z tego widać, że druga prędkość ucieczki w √{2} razy większa niż pierwsza prędkość ucieczki:
v II = √(2)v I.
W naszych obliczeniach nie uwzględniliśmy faktu, że nasze ciało oddziałuje nie tylko z Ziemią, ale także z innymi obiektami kosmicznymi. A przede wszystkim - ze Słońcem. Otrzymawszy prędkość początkową równą v II, ciało będzie w stanie pokonać grawitację skierowaną w stronę Ziemi, ale nie stanie się naprawdę wolne, ale zamieni się w satelitę Słońca. Jeśli jednak ciału znajdującemu się blisko powierzchni Ziemi nadana zostanie tzw. trzecia prędkość ucieczki v III = 16,6 km/s, wówczas będzie w stanie pokonać siłę grawitacji skierowaną w stronę Słońca.
Zobacz przykład

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej

Państwowa instytucja edukacyjna wyższego wykształcenia zawodowego „Państwowy Uniwersytet Ekonomii i Finansów w Petersburgu”

Katedra Systemów Technologicznych i Towaroznawstwa

Sprawozdanie z przebiegu koncepcji współczesnych nauk przyrodniczych na temat „Prędkości kosmiczne”

Wykonane:

Sprawdzony:

Sankt Petersburg

Kosmiczne prędkości.

Prędkość kosmiczna (pierwsza v1, druga v2, trzecia v3 i czwarta v4) to minimalna prędkość, z jaką dowolne ciało w swobodnym ruchu może:

v1 - stać się satelitą ciała niebieskiego (to znaczy zdolność do orbitowania wokół NT i nie spadania na powierzchnię NT).

v2 - pokonać przyciąganie grawitacyjne ciała niebieskiego.

v3 - opuść Układ Słoneczny, pokonując grawitację Słońca.

v4 - opuść galaktykę Drogi Mlecznej.

Pierwsza prędkość ucieczki lub prędkość kołowa V1- prędkość, jaką należy nadać obiektowi bez silnika, pomijając opór atmosfery i obrót planety, aby umieścić go na orbicie kołowej o promieniu równym promieniowi planety. Inaczej mówiąc, pierwsza prędkość ucieczki to minimalna prędkość, przy której ciało poruszające się poziomo nad powierzchnią planety nie spadnie na nią, lecz będzie poruszać się po orbicie kołowej.

Aby obliczyć pierwszą prędkość ucieczki, należy wziąć pod uwagę równość siły odśrodkowej i siły grawitacyjnej działającej na obiekt krążący po orbicie kołowej.

gdzie m to masa obiektu, M to masa planety, G to stała grawitacji (6,67259·10−11 m³·kg−1·s−2), to pierwsza prędkość ucieczki, R to promień planeta. Podstawiając wartości liczbowe (dla Ziemi M = 5,97·1024 kg, R = 6378 km), znajdujemy

7,9 km/s

Pierwszą prędkość ucieczki można wyznaczyć na podstawie przyspieszenia ziemskiego - zatem g = GM/R²

Druga prędkość ucieczki (prędkość paraboliczna, prędkość ucieczki)- najniższa prędkość, jaką należy nadać obiektowi (na przykład statku kosmicznemu), którego masa jest znikoma w stosunku do masy ciała niebieskiego (na przykład planety), aby pokonać przyciąganie grawitacyjne tego ciała niebieskiego . Zakłada się, że po osiągnięciu przez ciało tej prędkości nie następuje przyspieszenie niegrawitacyjne (silnik jest wyłączony, nie ma atmosfery).

Druga prędkość kosmiczna jest wyznaczona przez promień i masę ciała niebieskiego, dlatego jest inna dla każdego ciała niebieskiego (dla każdej planety) i jest jej cechą charakterystyczną. Dla Ziemi druga prędkość ucieczki wynosi 11,2 km/s. Ciało, które ma taką prędkość w pobliżu Ziemi, opuszcza sąsiedztwo Ziemi i staje się satelitą Słońca. Dla Słońca druga prędkość ucieczki wynosi 617,7 km/s.

Druga prędkość ucieczki nazywana jest paraboliczną, ponieważ ciała o drugiej prędkości ucieczki poruszają się po paraboli.

Wyprowadzenie wzoru:

Aby otrzymać wzór na drugą prędkość kosmiczną, wygodnie jest odwrócić problem - zadać sobie pytanie, jaką prędkość uzyska ciało na powierzchni planety, jeśli spadnie na nią z nieskończoności. Oczywiście jest to dokładnie taka prędkość, jaką należy nadać ciału na powierzchni planety, aby wyprowadzić je poza granice jego wpływu grawitacyjnego.

Zapiszmy prawo zachowania energii

gdzie po lewej stronie znajdują się energie kinetyczne i potencjalne na powierzchni planety (energia potencjalna jest ujemna, ponieważ punkt odniesienia przyjmuje się w nieskończoności), po prawej stronie jest to samo, ale w nieskończoności (ciało w spoczynku na granicy oddziaływania grawitacyjnego – energia wynosi zero). Tutaj m to masa ciała testowego, M to masa planety, R to promień planety, G to stała grawitacyjna, v2 to druga prędkość ucieczki.

Rozwiązując w odniesieniu do v2, otrzymujemy

Istnieje prosta zależność pomiędzy pierwszą i drugą prędkością kosmiczną:

Trzecia prędkość ucieczki- minimalna wymagana prędkość ciała bez silnika, pozwalająca mu pokonać grawitację Słońca i w rezultacie wyjść poza granice Układu Słonecznego w przestrzeń międzygwiezdną.

Startując z powierzchni Ziemi i maksymalnie wykorzystując ruch orbitalny planety, statek kosmiczny może osiągnąć jedną trzecią prędkości ucieczki już przy 16,6 km/s względem Ziemi, a podczas startu z Ziemi w najbardziej w niekorzystnym kierunku, należy go przyspieszyć do 72,8 km/s. Tutaj do obliczeń przyjmuje się, że statek kosmiczny uzyskuje tę prędkość natychmiast na powierzchni Ziemi, a następnie nie otrzymuje przyspieszenia niegrawitacyjnego (silniki są wyłączone i nie ma oporu atmosferycznego). Przy najbardziej korzystnym energetycznie wystrzeleniu prędkość obiektu powinna być zgodna z prędkością ruchu orbitalnego Ziemi wokół Słońca. Orbita takiego urządzenia w Układzie Słonecznym jest parabolą (prędkość asymptotycznie maleje do zera).

Czwarta prędkość kosmiczna- minimalna wymagana prędkość ciała bez silnika, pozwalająca mu pokonać grawitację Drogi Mlecznej. Czwarta prędkość ucieczki nie jest stała dla wszystkich punktów Galaktyki, ale zależy od odległości do masy centralnej (dla naszej galaktyki jest to obiekt Sagittarius A*, supermasywna czarna dziura). Według przybliżonych wstępnych obliczeń, w rejonie naszego Słońca czwarta prędkość kosmiczna wynosi około 550 km/s. Wartość ta silnie zależy nie tylko (i nie tak bardzo) od odległości do centrum galaktyki, ale od rozkładu mas materii w całej Galaktyce, o którym nie ma jeszcze dokładnych danych, ze względu na fakt, że materia widzialna stanowi tylko niewielką część całkowitej masy grawitacyjnej, a reszta to masa ukryta.