W równaniu drgań harmonicznych ilość. Jeżeli oscylację opisujemy zgodnie z prawem sinusoidalnym

12.10.2019

Jest to okresowa oscylacja, w której współrzędna, prędkość i przyspieszenie charakteryzujące ruch zmieniają się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa. Równanie oscylacji harmonicznych ustala zależność współrzędnych ciała od czasu

Wykres cosinus w chwili początkowej ma wartość maksymalną, a wykres sinus ma w chwili początkowej wartość zerową. Jeśli zaczniemy badać oscylację od położenia równowagi, wówczas oscylacja będzie powtarzać sinusoidę. Jeżeli zaczniemy rozważać oscylację od położenia maksymalnego odchylenia, to oscylację opiszemy cosinusem. Lub takie oscylacje można opisać wzorem sinusoidalnym z fazą początkową.

Wahadło matematyczne

Drgania wahadła matematycznego.
Wahadło matematyczne – punkt materialny zawieszony na nieważkiej, nierozciągliwej nici (model fizyczny).
Rozważymy ruch wahadła pod warunkiem, że kąt odchylenia jest mały, a następnie, jeśli mierzymy kąt w radianach, prawdziwe jest następujące stwierdzenie: .
Na ciało działa siła ciężkości i napięcie nici. Wypadkowa tych sił ma dwie składowe: styczną, która zmienia wielkość przyspieszenia, i normalną, która zmienia kierunek przyspieszenia (przyspieszenie dośrodkowe, ciało porusza się po łuku).
Ponieważ kąt jest mały, to składowa styczna jest równa rzutowi siły ciężkości na styczną do trajektorii: . Kąt w radianach jest równy stosunkowi długości łuku do promienia (długości gwintu), a długość łuku jest w przybliżeniu równa przemieszczeniu ( x ≈ s): .
Porównajmy otrzymane równanie z równaniem ruchu oscylacyjnego. Można zauważyć, że lub jest częstotliwością cykliczną podczas oscylacji wahadła matematycznego.
Okres oscylacji lub (wzór Galileusza).	Wzór Galileusza
Najważniejszy wniosek: okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od masy ciała!
Podobne obliczenia można przeprowadzić korzystając z prawa zachowania energii. Weźmy pod uwagę, że energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym jest równa , a całkowita energia mechaniczna jest równa maksymalnej energii potencjalnej lub kinetycznej:
Zapiszmy prawo zachowania energii i weźmy pochodną lewej i prawej strony równania: . Ponieważ pochodna wartości stałej jest równa zeru, wówczas . Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych: i.
Dlatego: , i dlatego.

Równanie stanu gazu doskonałego (Równanie Mendelejewa – Clapeyrona).
Równanie stanu to równanie, które wiąże parametry układu fizycznego i jednoznacznie określa jego stan. W 1834 roku francuski fizyk B. Clapeyrona, który przez długi czas pracował w Petersburgu, wyprowadził równanie stanu gazu doskonałego dla stałej masy gazu. W 1874 r DI Mendelejew wyprowadził równanie dla dowolnej liczby cząsteczek.
W MCT i termodynamice gazu doskonałego parametrami makroskopowymi są: p, V, T, m. Wiemy to . Stąd,. Biorąc pod uwagę, że , otrzymujemy:.
Iloczyn ilości stałych jest wielkością stałą, zatem: - uniwersalna stała gazu (uniwersalna, bo jest taka sama dla wszystkich gazów).
Zatem mamy: Równanie stanu (równanie Mendelejewa – Clapeyrona).
Inne formy zapisu równania stanu gazu doskonałego.
1. Równanie na 1 mol substancji. Jeżeli n=1 mol, to oznaczając objętość jednego mola V m, otrzymujemy: . Dla normalnych warunków otrzymujemy:
2. Zapisanie równania poprzez gęstość: - gęstość zależy od temperatury i ciśnienia!
3. Równanie Clapeyrona. Często konieczne jest zbadanie sytuacji, gdy zmienia się stan gazu, a jego ilość pozostaje niezmieniona (m=const) i przy braku reakcji chemicznych (M=const). Oznacza to, że ilość substancji n=stała. Następnie:
Ten wpis to oznacza dla danej masy danego gazu równość jest prawdziwa:
Dla stałej masy gazu doskonałego stosunek iloczynu ciśnienia i objętości do temperatury bezwzględnej w danym stanie jest wartością stałą: .
Przepisy gazowe.
1. Prawo Avogadra. Równe objętości różnych gazów w tych samych warunkach zewnętrznych zawierają tę samą liczbę cząsteczek (atomów). Warunek: V 1 = V 2 =...= V n; p 1 = p 2 =…= p n ; T 1 = T 2 =…= T n
Dowód: W rezultacie w tych samych warunkach (ciśnienie, objętość, temperatura) liczba cząsteczek nie zależy od charakteru gazu i jest taka sama.
2. Prawo Daltona. Ciśnienie mieszaniny gazów jest równe sumie ciśnień cząstkowych (prywatnych) każdego gazu. Udowodnić: p=p 1 +p 2 +…+p n Dowód:
3. Prawo Pascala. Ciśnienie wywierane na ciecz lub gaz jest przenoszone we wszystkich kierunkach bez zmian.

Równanie stanu gazu doskonałego. Przepisy gazowe.

Liczba stopni swobody: Jest to liczba niezależnych zmiennych (współrzędnych), które całkowicie określają położenie układu w przestrzeni. W niektórych problemach cząsteczkę gazu jednoatomowego (ryc. 1, a) uważa się za punkt materialny, któremu przypisano trzy stopnie swobody ruchu translacyjnego. W tym przypadku nie jest brana pod uwagę energia ruchu obrotowego. W mechanice cząsteczkę gazu dwuatomowego w pierwszym przybliżeniu uważa się za zbiór dwóch punktów materialnych, które są sztywno połączone nieodkształcalnym wiązaniem (ryc. 1, b). Oprócz trzech stopni swobody ruchu translacyjnego, układ ten ma jeszcze dwa stopnie swobody ruchu obrotowego. Obrót wokół trzeciej osi przechodzącej przez oba atomy jest bez znaczenia. Oznacza to, że gaz dwuatomowy ma pięć stopni swobody ( I= 5). Trójatomowa (ryc. 1c) i wieloatomowa cząsteczka nieliniowa ma sześć stopni swobody: trzy translacyjne i trzy rotacyjne. Naturalne jest założenie, że między atomami nie ma sztywnego połączenia. Dlatego w przypadku rzeczywistych cząsteczek należy również wziąć pod uwagę stopnie swobody ruchu wibracyjnego.

Dla dowolnej liczby stopni swobody danej cząsteczki, trzy stopnie swobody są zawsze translacyjne. Żaden z translacyjnych stopni swobody nie ma przewagi nad pozostałymi, co oznacza, że każdy z nich odpowiada średnio za tę samą energię, równą 1/3 wartości<ε 0 >(energia ruchu translacyjnego cząsteczek): W fizyce statystycznej jest to wyprowadzane Prawo Boltzmanna dotyczące równomiernego rozkładu energii ze względu na stopnie swobody cząsteczek: dla układu statystycznego będącego w stanie równowagi termodynamicznej każdy translacyjny i obrotowy stopień swobody ma średnią energię kinetyczną równą kT/2, a każdy wibracyjny stopień swobody ma średnią energię równą kT. Stopień wibracji ma dwukrotnie większą energię, ponieważ uwzględnia zarówno energię kinetyczną (podobnie jak w przypadku ruchów translacyjnych i obrotowych), jak i potencjalną, a średnie wartości energii potencjalnej i kinetycznej są takie same. Oznacza to, że średnia energia cząsteczki Gdzie I- suma liczby translacyjnych, rotacyjnych i dwukrotności liczby wibracyjnych stopni swobody cząsteczki: I=I opublikuj + I obróć +2 I wibracje W teorii klasycznej rozważa się cząsteczki posiadające sztywne wiązania pomiędzy atomami; dla nich I pokrywa się z liczbą stopni swobody cząsteczki. Ponieważ w gazie idealnym wzajemna energia potencjalna oddziaływania między cząsteczkami wynosi zero (cząsteczki nie oddziałują ze sobą), energia wewnętrzna jednego mola gazu będzie równa sumie energii kinetycznych N A cząsteczek: (1 ) Energia wewnętrzna dowolnej masy m gazu. gdzie M jest masą molową, ν - ilość substancji.

Najprostszym rodzajem oscylacji są drgania harmoniczne- oscylacje, w których przemieszczenie punktu drgającego z położenia równowagi zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa.

Zatem przy równomiernym obrocie kuli po okręgu, jej rzut (cień w równoległych promieniach światła) wykonuje harmoniczny ruch oscylacyjny na pionowym ekranie (ryc. 1).

Przemieszczenie z położenia równowagi podczas drgań harmonicznych opisuje równanie (nazywane prawem kinematycznym ruchu harmonicznego) postaci:

gdzie x jest przemieszczeniem – wielkością charakteryzującą położenie punktu drgającego w chwili t względem położenia równowagi i mierzoną odległością od położenia równowagi do położenia punktu w danym momencie; A - amplituda drgań - maksymalne przemieszczenie ciała z położenia równowagi; T - okres oscylacji - czas jednego pełnego oscylacji; te. najkrótszy okres czasu, po którym powtarzają się wartości wielkości fizycznych charakteryzujących oscylacje; - faza początkowa;

Faza oscylacji w chwili t. Faza oscylacji jest argumentem funkcji okresowej, która dla zadanej amplitudy drgań określa stan układu oscylacyjnego (przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie) ciała w dowolnym momencie.

Jeżeli w początkowej chwili punkt drgający zostanie maksymalnie przesunięty z położenia równowagi, to , a przemieszczenie punktu z położenia równowagi zmienia się zgodnie z zasadą

Jeżeli punkt drgań w znajduje się w położeniu równowagi stabilnej, to przemieszczenie punktu z położenia równowagi zmienia się zgodnie z prawem

Wartość V, będąca odwrotnością okresu i równa liczbie pełnych oscylacji wykonanych w ciągu 1 s, nazywana jest częstotliwością oscylacji:

Jeżeli w czasie t ciało wykona N pełnych drgań, to

Rozmiar pokazujące, ile drgań wykonuje ciało w s, nazywa się częstotliwość cykliczna (okrągła)..

Kinematyczne prawo ruchu harmonicznego można zapisać jako:

Graficznie zależność przemieszczenia punktu oscylacyjnego od czasu jest reprezentowana przez falę cosinus (lub falę sinusoidalną).

Rysunek 2 a przedstawia wykres zależności czasowej przemieszczenia punktu oscylacyjnego od położenia równowagi dla tego przypadku.

Przekonajmy się, jak prędkość punktu oscylującego zmienia się w czasie. Aby to zrobić, znajdujemy pochodną czasową tego wyrażenia:

gdzie jest amplitudą rzutu prędkości na oś x.

Ze wzoru tego wynika, że podczas oscylacji harmonicznych rzut prędkości ciała na oś x również zmienia się zgodnie z prawem harmonicznym z tą samą częstotliwością, z różną amplitudą i wyprzedza przesunięcie fazowe o (rys. 2, b ).

Aby wyjaśnić zależność przyspieszenia, znajdujemy pochodną po czasie rzutu prędkości:

gdzie jest amplitudą rzutu przyspieszenia na oś x.

W przypadku oscylacji harmonicznych rzut przyspieszenia wyprzedza przesunięcie fazowe o k (ryc. 2, c).

W podobny sposób można tworzyć wykresy zależności

Biorąc to pod uwagę, można zapisać wzór na przyspieszenie

te. przy oscylacjach harmonicznych rzut przyspieszenia jest wprost proporcjonalny do przemieszczenia i ma przeciwny znak, tj. przyspieszenie jest skierowane w kierunku przeciwnym do przemieszczenia.

Zatem rzut przyspieszenia jest drugą pochodną przemieszczenia, wówczas powstałą zależność można zapisać jako:

Nazywa się ostatnią równość równanie harmoniczne.

Układ fizyczny, w którym mogą występować oscylacje harmoniczne, nazywa się Oscylator harmoniczny, a równanie drgań harmonicznych wynosi równanie oscylatora harmonicznego.

§ 6. WIBRACJE MECHANICZNEPodstawowe formuły

Równanie harmoniczne

Gdzie X - przesunięcie punktu oscylacyjnego z położenia równowagi; T- czas; A,ω, φ - odpowiednio amplituda, częstotliwość kątowa, początkowa faza oscylacji; - faza oscylacji w danej chwili T.

Częstotliwość kątowa

gdzie ν i T są częstotliwością i okresem oscylacji.

Prędkość punktu wykonującego oscylacje harmoniczne wynosi

Przyspieszenie podczas oscylacji harmonicznych

Amplituda A wynikowe oscylacje uzyskane przez dodanie dwóch oscylacji o tych samych częstotliwościach, występujących wzdłuż jednej prostej, określa się ze wzoru

Gdzie A 1 I A 2 - amplitudy składowych drgań; φ 1 i φ 2 to ich fazy początkowe.

Fazę początkową φ wynikowych oscylacji można znaleźć ze wzoru

Częstotliwość uderzeń powstająca podczas dodawania dwóch oscylacji występujących wzdłuż jednej linii prostej o różnych, ale podobnych częstotliwościach ν 1 i ν 2,

Równanie trajektorii punktu uczestniczącego w dwóch wzajemnie prostopadłych oscylacjach o amplitudach A 1 i A 2 oraz fazach początkowych φ 1 i φ 2,

Jeżeli początkowe fazy φ 1 i φ 2 składowych drgań są takie same, to równanie trajektorii przyjmuje postać

oznacza to, że punkt porusza się po linii prostej.

W przypadku, gdy różnica faz wynosi , równanie przyjmuje postać

oznacza to, że punkt porusza się po elipsie.

Równanie różniczkowe drgań harmonicznych punktu materialnego

, Lub ,gdzie m jest masą punktu; k- współczynnik siły quasi-sprężystej ( k=Tω 2).

Całkowita energia punktu materialnego wykonującego oscylacje harmoniczne wynosi

Okres drgań ciała zawieszonego na sprężynie (wahadło sprężyste)

Gdzie M- masa ciała; k- sztywność sprężyny. Wzór obowiązuje dla drgań sprężystych w granicach, w których spełnione jest prawo Hooke'a (przy małej masie sprężyny w porównaniu z masą ciała).

Okres drgań wahadła matematycznego

Gdzie l- długość wahadła; G- przyśpieszenie grawitacyjne. Okres drgań wahadła fizycznego

Gdzie J- moment bezwładności ciała oscylującego względem osi

wahanie; A- odległość środka masy wahadła od osi drgań;

Zmniejszona długość wahadła fizycznego.

Podane wzory są dokładne dla przypadku nieskończenie małych amplitud. W przypadku skończonych amplitud wzory te dają jedynie przybliżone wyniki. Przy amplitudach nie większych niż błąd wartości okresu nie przekracza 1%.

Okres drgań skrętnych ciała zawieszonego na elastycznej nici wynosi

Gdzie J- moment bezwładności korpusu względem osi pokrywającej się z nicią sprężystą; k- sztywność elastycznej nici, równa stosunkowi momentu sprężystego powstającego, gdy nić jest skręcona, do kąta, pod jakim nić jest skręcona.

Równanie różniczkowe drgań tłumionych , Lub ,

Gdzie R- współczynnik oporu; δ - współczynnik tłumienia: ;ω 0 - naturalna częstotliwość kątowa drgań *

Równanie tłumionych oscylacji

Gdzie Na)- amplituda tłumionych oscylacji w danej chwili T;ω jest ich częstotliwością kątową.

Częstotliwość kątowa drgań tłumionych

О Zależność amplitudy drgań tłumionych od czasu

Gdzie A 0 - amplituda oscylacji w danej chwili T=0.

Logarytmiczny dekrement oscylacji

Gdzie Na) I A(t+T)- amplitudy dwóch kolejnych oscylacji oddzielonych w czasie okresem.

Równanie różniczkowe drgań wymuszonych

gdzie jest zewnętrzną siłą okresową działającą na oscylujący punkt materialny i powodującą wymuszone oscylacje; F 0 - jego wartość amplitudy;

Amplituda drgań wymuszonych

Częstotliwość rezonansowa i amplituda rezonansowa I

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Punkt oscyluje zgodnie z prawem x(t)=, Gdzie A=2 patrz Określ fazę początkową φ jeśli

X(0)=cm i X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента T=0.

Rozwiązanie. Skorzystajmy z równania ruchu i wyraźmy przemieszczenie w tej chwili T=0 przez fazę początkową:

Stąd znajdujemy fazę początkową:

* We wcześniej podanych wzorach na drgania harmoniczne tę samą wielkość oznaczono po prostu ω (bez indeksu 0).

Podstawmy podane wartości do tego wyrażenia X(0) i A:φ= = . Wartość argumentu spełniają dwie wartości kąta:

Aby zdecydować, która z tych wartości kąta φ również spełnia warunek, najpierw znajdujemy:

Podstawienie wartości do tego wyrażenia T=0 i naprzemiennie wartości faz początkowych i znajdujemy

T jak zawsze A>0 i ω>0, wówczas warunek spełnia tylko pierwsza wartość fazy początkowej. Zatem pożądana faza początkowa

Korzystając ze znalezionej wartości φ, konstruujemy diagram wektorowy (ryc. 6.1). Przykład 2. Punkt materialny z masą T=5 g wykonuje oscylacje harmoniczne z częstotliwością ν =0,5 Hz. Amplituda oscylacji A=3 cm Wyznacz: 1) prędkość υ wskazuje na moment przemieszczenia x== 1,5 cm; 2) maksymalną siłę Fmax działającą na punkt; 3) Ryc. 6.1 całkowita energia mi punkt oscylacyjny.

i wzór na prędkość otrzymujemy biorąc pierwszą pochodną przemieszczenia po czasie:

Aby wyrazić prędkość poprzez przemieszczenie, należy wykluczyć czas ze wzorów (1) i (2). Aby to zrobić, podnosimy oba równania i dzielimy pierwsze przez A 2 , drugi na A 2 ω 2 i dodaj:

, Lub

Po rozwiązaniu ostatniego równania dla υ , znajdziemy

Po wykonaniu obliczeń przy użyciu tego wzoru otrzymujemy

Znak plus odpowiada przypadkowi, gdy kierunek prędkości pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi X, znak minus - gdy kierunek prędkości pokrywa się z ujemnym kierunkiem osi X.

Przemieszczenie podczas oscylacji harmonicznych, oprócz równania (1), można również wyznaczyć za pomocą równania

Powtarzając to samo rozwiązanie z tym równaniem, otrzymujemy tę samą odpowiedź.

2. Siłę działającą na punkt wyznaczamy, korzystając z drugiego prawa Newtona:

Gdzie A - przyspieszenie punktu, które uzyskujemy biorąc pochodną prędkości od czasu:

Podstawiając wyrażenie przyspieszenia do wzoru (3), otrzymujemy

Stąd maksymalna wartość siły

Podstawiając wartości π, ν do tego równania, T I A, znajdziemy

3. Całkowita energia punktu drgającego jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej obliczonej dla dowolnej chwili.

Energię całkowitą najłatwiej obliczyć w momencie, gdy energia kinetyczna osiąga wartość maksymalną. W tym momencie energia potencjalna wynosi zero. Zatem całkowita energia mi punkt oscylacji jest równy maksymalnej energii kinetycznej

Prędkość maksymalną wyznaczamy ze wzoru (2), wstawiając: . Podstawiając wyrażenie prędkości do wzoru (4), znajdujemy

Podstawiając wartości wielkości do tego wzoru i wykonując obliczenia, otrzymujemy

lub µJ.

Przykład 3. Na końcach cienki pręt l= 1 m i masa M 3 = 400 g wzmocnionych kuleczek z masami M 1 = 200 g I M 2 = 300g. Pręt oscyluje wokół osi poziomej, prostopadłej

prostopadle do pręta i przechodząc przez jego środek (punkt O na ryc. 6.2). Zdefiniuj okres T drgania wywoływane przez pręt.

Rozwiązanie. Okres oscylacji wahadła fizycznego, takiego jak pręt z kulkami, jest określony przez zależność

Gdzie J- T - jego masa; l Z - odległość środka masy wahadła od osi.

Moment bezwładności tego wahadła jest równy sumie momentów bezwładności kulek J 1 i J 2 i pręt J 3:

Traktując kule jako punkty materialne, wyrażamy ich momenty bezwładności:

Ponieważ oś przechodzi przez środek pręta, jego moment bezwładności względem tej osi J 3 = =. Podstawianie otrzymanych wyrażeń J 1 , J 2 I J 3 do wzoru (2) wyznaczamy całkowity moment bezwładności wahadła fizycznego:

Po przeprowadzeniu obliczeń przy użyciu tego wzoru znajdujemy

Ryż. 6.2 Masa wahadła składa się z mas kulek i masy pręta:

Dystans l Z Środek masy wahadła od osi oscylacji znajdziemy w oparciu o następujące rozważania. Jeżeli oś X kieruj się wzdłuż pręta i zrównaj początek współrzędnych z punktem O, następnie wymaganą odległość l równa współrzędnej środka masy wahadła, tj.

Zastępowanie wartości ilości M 1 , M 2 , M, l i po wykonaniu obliczeń znajdujemy

Po wykonaniu obliczeń ze wzoru (1) otrzymujemy okres drgań wahadła fizycznego:

Przykład 4. Wahadło fizyczne to pręt o określonej długości l= 1 m i masa 3 T 1 Z przymocowany do jednego z końców obręczą o średnicy i masie T 1 . Pozioma oś Oz

wahadło przechodzi przez środek pręta prostopadle do niego (ryc. 6.3). Zdefiniuj okres T drgania takiego wahadła.

Rozwiązanie. Okres drgań wahadła fizycznego określa się ze wzoru

(1)

Gdzie J- moment bezwładności wahadła względem osi drgań; T - jego masa; l C - odległość od środka masy wahadła do osi drgań.

Moment bezwładności wahadła jest równy sumie momentów bezwładności pręta J 1 i obręcz J 2:

(2).

Moment bezwładności pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek masy określa wzór . W tym przypadku t= 3T 1 i

Moment bezwładności obręczy wyznaczamy korzystając z twierdzenia Steinera ,Gdzie J- moment bezwładności względem dowolnej osi; J 0 - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy równoległej do danej osi; A - odległość pomiędzy wskazanymi osiami. Stosując tę formułę do obręczy, otrzymujemy

Zastępowanie wyrażeń J 1 i J 2 do wzoru (2) wyznaczamy moment bezwładności wahadła względem osi obrotu:

Dystans l Z od osi wahadła do środka masy jest równa

Podstawianie wyrażeń do wzoru (1) J, l s i masę wahadła wyznaczamy okres jego oscylacji:

Po obliczeniu za pomocą tego wzoru otrzymamy T=2,17 s.

Przykład 5. Dodaje się dwie oscylacje w tym samym kierunku, wyrażone równaniami; X 2 = =, gdzie A 1 = 1 cm, A 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. Wyznacz fazy początkowe φ 1 i φ 2 elementów oscylatora

Baniya. 2. Znajdź amplitudę A oraz początkowa faza φ powstałej oscylacji. Zapisz równanie powstałych drgań.

Rozwiązanie. 1. Równanie drgań harmonicznych ma postać

Przekształćmy równania podane w opisie problemu do tej samej postaci:

Z porównania wyrażeń (2) z równością (1) znajdujemy początkowe fazy pierwszej i drugiej oscylacji:

Cieszę się i zadowolony.

2. Aby określić amplitudę A powstałych oscylacji, wygodnie jest skorzystać ze schematu wektorowego przedstawionego w Ryż. 6.4. Zgodnie z twierdzeniem cosinusa otrzymujemy

gdzie jest różnica fazowa składowych oscylacji.Od , następnie zastępując znalezione wartości φ 2 i φ 1 otrzymujemy rad.

Zastąpmy wartości A 1 , A 2 i do wzoru (3) i wykonaj obliczenia:

A= 2,65cm.

Wyznaczmy tangens fazy początkowej φ powstałego drgania bezpośrednio z rys. 6.4: ,skąd bierze się faza początkowa?

Maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia

Analizując równania zależności v(t) i a(t) możemy się domyślić, że prędkość i przyspieszenie przyjmują wartości maksymalne w przypadku, gdy współczynnik trygonometryczny jest równy 1 lub -1. Określone przez formułę

Jak uzyskać zależności v(t) i a(t)

7. Wibracje swobodne. Prędkość, przyspieszenie i energia ruchu oscylacyjnego. Dodanie wibracji

Wibracje swobodne(Lub naturalne wibracje) to oscylacje układu oscylacyjnego, które występują tylko pod wpływem początkowo przekazanej energii (potencjalnej lub kinetycznej) przy braku wpływów zewnętrznych.

Energię potencjalną lub kinetyczną można przekazać na przykład w układach mechanicznych poprzez przemieszczenie początkowe lub prędkość początkową.

Ciała swobodnie oscylujące zawsze oddziałują z innymi ciałami i razem z nimi tworzą układ ciał zwany układ oscylacyjny.

Na przykład sprężyna, kulka i pionowy słupek, do którego przymocowany jest górny koniec sprężyny (patrz rysunek poniżej) wchodzą w skład układu oscylacyjnego. Tutaj kulka ślizga się swobodnie po strunie (siły tarcia są znikome). Jeśli przesuniesz piłkę w prawo i zostawisz ją samą, będzie ona swobodnie oscylować wokół położenia równowagi (pkt O) w wyniku działania siły sprężystej sprężyny skierowanej w stronę położenia równowagi.

Innym klasycznym przykładem mechanicznego układu oscylacyjnego jest wahadło matematyczne (patrz rysunek poniżej). W tym przypadku kula wykonuje swobodne oscylacje pod wpływem dwóch sił: grawitacji i siły sprężystości nici (w układzie oscylacyjnym zawarta jest również Ziemia). Ich wypadkowa skierowana jest w stronę położenia równowagi.

Nazywa się siły działające pomiędzy ciałami układu oscylacyjnego siły wewnętrzne. Przez siły zewnętrzne nazywane są siłami działającymi na układ od ciał znajdujących się poza nim. Z tego punktu widzenia oscylacje swobodne można zdefiniować jako oscylacje układu pod wpływem sił wewnętrznych po wyjęciu układu z położenia równowagi.

Warunki wystąpienia swobodnych oscylacji są następujące:

1) pojawienie się w nich siły, która po wyprowadzeniu układu z tego stanu przywraca układ do pozycji stabilnej równowagi;

2) brak tarcia w układzie.

Dynamika drgań swobodnych.

Drgania ciała pod wpływem sił sprężystych. Równanie ruchu drgającego ciała pod działaniem siły sprężystej F(patrz rysunek) można uzyskać, biorąc pod uwagę drugie prawo Newtona ( F = mam) i prawo Hooke'a ( Kontrola F= -kx), Gdzie M jest masą piłki i jest przyspieszeniem uzyskanym przez piłkę pod działaniem siły sprężystej, k- współczynnik sztywności sprężyny, X- przemieszczenie ciała z położenia równowagi (oba równania zapisuje się w rzucie na oś poziomą Oh). Zrównując prawe strony tych równań i biorąc pod uwagę przyspieszenie A jest drugą pochodną współrzędnej X(przemieszczenie), otrzymujemy:

Jest to równanie różniczkowe ruchu ciała drgającego pod działaniem siły sprężystej: druga pochodna współrzędnej po czasie (przyspieszenie ciała) jest wprost proporcjonalna do jej współrzędnej, przyjętej z przeciwnym znakiem.

Drgania wahadła matematycznego. Aby uzyskać równanie drgań wahadła matematycznego (rysunek), konieczne jest zwiększenie siły ciężkości F T= mg Do normalności Fn(skierowany wzdłuż gwintu) i styczny F τ(styczna do trajektorii kuli - okręgu). Normalny składnik ciężkości Fn i siła sprężystości nici Fynp w sumie nadają wahadłu przyspieszenie dośrodkowe, które nie wpływa na wielkość prędkości, a jedynie zmienia jej kierunek, oraz składową styczną F τ jest siłą, która przywraca piłkę do położenia równowagi i powoduje, że wykonuje ona ruchy oscylacyjne. Korzystając, podobnie jak w poprzednim przypadku, z prawa Newtona dotyczącego przyspieszenia stycznego ma τ = F τ i biorąc to pod uwagę F τ= -mg sinα, otrzymujemy:

τ= -g sinα,

Znak minus pojawił się z powodu siły i kąta odchylenia od położenia równowagi α mają przeciwne znaki. Do małych kątów odchylenia grzech α ≈ α. Z kolei α = s/l, Gdzie S- łuk O.A., I- długość gwintu. Biorąc pod uwagę, że i τ= s”, ostatecznie otrzymujemy:

Forma równania jest podobna do równania . Tylko tutaj parametrami układu są długość gwintu i przyspieszenie swobodnego opadania, a nie sztywność sprężyny i masa kuli; rolę współrzędnej pełni długość łuku (tj. przebyta odległość, jak w pierwszym przypadku).

Zatem drgania swobodne opisywane są równaniami tego samego typu (podlegającymi tym samym prawom) niezależnie od natury fizycznej sił wywołujących te drgania.

Rozwiązywanie równań i jest funkcją postaci:

x = xmcos ω 0T(Lub x = xmgrzech ω 0T).

Oznacza to, że współrzędna ciała wykonującego swobodne oscylacje zmienia się w czasie zgodnie z prawem cosinusa lub sinusa, a zatem oscylacje te są harmoniczne:

w równaniu x = xmcos ω 0T(Lub x = xmgrzech ω 0T), x m- amplituda drgań, ω 0 - własna cykliczna (kołowa) częstotliwość oscylacji.

Częstotliwość cykliczna i okres drgań swobodnych harmonicznych są określone przez właściwości układu. Zatem dla drgań ciała umocowanego na sprężynie obowiązują zależności:

Im większa sztywność sprężyny lub mniejsza masa ładunku, tym większa częstotliwość drgań własnych, co w pełni potwierdza doświadczenie.

Dla wahadła matematycznego spełnione są następujące równości:

Wzór ten został po raz pierwszy uzyskany i przetestowany eksperymentalnie przez holenderskiego naukowca Huygensa (współczesnego Newtonowi).

Okres drgań rośnie wraz ze wzrostem długości wahadła i nie zależy od jego masy.

Szczególną uwagę należy zwrócić na fakt, że oscylacje harmoniczne są ściśle okresowe (ponieważ spełniają prawo sinusa lub cosinusa) i nawet dla wahadła matematycznego, będącego idealizacją wahadła rzeczywistego (fizycznego), możliwe są tylko przy małych oscylacjach kąty. Jeżeli kąty odchylenia są duże, przemieszczenie obciążenia nie będzie proporcjonalne do kąta odchylenia (sinusa kąta), a przyspieszenie nie będzie proporcjonalne do przemieszczenia.

Prędkość i przyspieszenie ciała swobodnie oscylującego będzie również podlegać oscylacjom harmonicznym. Biorąc pochodną funkcji po czasie ( x = xmcos ω 0T(Lub x = xmgrzech ω 0T)), otrzymujemy wyrażenie na prędkość:

v = -v mgrzech ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

Gdzie w m= ω 0 x m- amplituda prędkości.

Podobne wyrażenie na przyspieszenie A otrzymujemy różniczkując ( v = -v mgrzech ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0T,

Gdzie jestem= ω 2 0x m- amplituda przyspieszenia. Zatem amplituda prędkości oscylacji harmonicznych jest proporcjonalna do częstotliwości, a amplituda przyspieszenia jest proporcjonalna do kwadratu częstotliwości oscylacji.

WIBRACJE HARMONICZNE
Nazywa się oscylacje, w których zmiany wielkości fizycznych zachodzą zgodnie z prawem cosinusa lub sinusa (prawo harmoniczne). drgania harmoniczne. Na przykład w przypadku mechanicznych drgań harmonicznych: We wzorach tych ω jest częstotliwością oscylacji, x m jest amplitudą oscylacji, φ 0 i φ 0 ' są początkowymi fazami oscylacji. Powyższe wzory różnią się definicją fazy początkowej i przy φ 0 ’ = φ 0 +π/2 całkowicie się pokrywają.
Jest to najprostszy rodzaj oscylacji okresowych. Konkretna postać funkcji (sinus lub cosinus) zależy od metody wyprowadzenia układu z położenia równowagi. Jeżeli usunięcie następuje poprzez pchnięcie (przekazana jest energia kinetyczna), to w chwili t=0 przemieszczenie x=0, zatem wygodniej jest skorzystać z funkcji sin, ustawiając φ 0 '=0; przy odchyleniu od położenia równowagi (podawana jest energia potencjalna) w t = 0, przemieszczenie x = x m, dlatego wygodniej jest zastosować funkcję cos i φ 0 = 0.
Wyrażenie pod znakiem cos lub sin nazywa się. faza oscylacji:. Fazę oscylacji mierzy się w radianach i określa wartość przemieszczenia (wielkości oscylacyjnej) w danym czasie.
Amplituda drgań zależy jedynie od odchylenia początkowego (energii początkowej przekazanej układowi oscylacyjnemu).
Prędkość i przyspieszenie podczas oscylacji harmonicznych.
Zgodnie z definicją prędkości, prędkość jest pochodną położenia po czasie
Widzimy więc, że prędkość podczas harmonicznego ruchu oscylacyjnego również zmienia się zgodnie z prawem harmonicznym, ale oscylacje prędkości wyprzedzają oscylacje z przesunięciem fazowym o π/2.
Wartość - maksymalna prędkość ruchu oscylacyjnego (amplituda wahań prędkości).
Zatem dla prędkości drgań harmonicznych mamy: oraz dla przypadku zerowej fazy początkowej (patrz wykres).
Zgodnie z definicją przyspieszenia, przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie: jest drugą pochodną współrzędnej po czasie. Następnie: . Przyspieszenie podczas harmonicznego ruchu oscylacyjnego również zmienia się zgodnie z prawem harmonicznym, ale oscylacje przyspieszenia wyprzedzają oscylacje prędkości o π/2 i oscylacje przemieszczenia o π (mówi się, że oscylacje występują w przeciwfazie).
Wartość - maksymalne przyspieszenie (amplituda wahań przyspieszenia). Zatem dla przyspieszenia mamy: , a dla przypadku zerowej fazy początkowej: (Zobacz listę).
Z analizy procesu ruchu oscylacyjnego, wykresów i odpowiednich wyrażeń matematycznych wynika, że gdy ciało oscylujące przechodzi przez położenie równowagi (przemieszczenie wynosi zero), przyspieszenie wynosi zero, a prędkość ciała jest maksymalna (przemieszczenie ciało przechodzi do położenia równowagi pod wpływem bezwładności), a po osiągnięciu wartości amplitudy przemieszczenia prędkość jest równa zeru, a przyspieszenie jest maksymalne w wartości bezwzględnej (ciało zmienia kierunek swojego ruchu).
Porównajmy wyrażenia określające przemieszczenie i przyspieszenie podczas drgań harmonicznych: i .
Możesz pisać: - tj. druga pochodna przemieszczenia jest wprost proporcjonalna (z przeciwnym znakiem) do przemieszczenia. To równanie nazywa się równanie drgań harmonicznych. Zależność ta dotyczy wszelkich drgań harmonicznych, niezależnie od ich charakteru. Ponieważ nigdy nie korzystaliśmy z parametrów konkretnego układu oscylacyjnego, może od nich zależeć jedynie częstotliwość cykliczna.
Często wygodnie jest zapisać równania na drgania w postaci: , gdzie T jest okresem oscylacji. Wówczas, jeśli czas będzie wyrażony w ułamkach okresu, obliczenia zostaną uproszczone. Na przykład, jeśli musimy znaleźć przemieszczenie po 1/8 okresu, otrzymamy: . To samo dotyczy prędkości i przyspieszenia.

Często zdarza się, że układ uczestniczy jednocześnie w dwóch lub kilku niezależnych od siebie oscylacjach. W takich przypadkach powstaje złożony ruch oscylacyjny, który powstaje poprzez nakładanie się (dodawanie) oscylacji na siebie. Oczywiście przypadki dodawania oscylacji mogą być bardzo zróżnicowane. Zależą one nie tylko od liczby dodanych oscylacji, ale także od parametrów oscylacji, od ich częstotliwości, faz, amplitud i kierunków. Nie jest możliwe omówienie całej możliwej różnorodności przypadków dodawania oscylacji, dlatego ograniczymy się do rozważenia tylko pojedynczych przykładów.
1. Dodanie oscylacji w jednym kierunku. Dodajmy dwie oscylacje o tej samej częstotliwości, ale o różnych fazach i amplitudach.

(4.40)
Kiedy oscylacje nakładają się na siebie

Wprowadźmy nowe parametry A i j zgodnie z równaniami:

(4.42)
Układ równań (4.42) jest łatwy do rozwiązania.

(4.43)

(4.44)
Zatem dla x ostatecznie otrzymujemy równanie

(4.45)
Zatem w wyniku dodania jednokierunkowych oscylacji o tej samej częstotliwości otrzymujemy oscylację harmoniczną (sinusoidalną), której amplitudę i fazę określają wzory (4.43) i (4.44).
Rozważmy szczególne przypadki, w których zależności pomiędzy fazami dwóch dodanych oscylacji są różne:

(4.46)
Zsumujmy teraz oscylacje jednokierunkowe o tej samej amplitudzie, identycznych fazach, ale różnych częstotliwościach.

(4.47)
Rozważmy przypadek, gdy częstotliwości są blisko siebie, czyli w1~w2=w
Następnie w przybliżeniu założymy, że (w1+w2)/2= w, a (w2-w1)/2 jest małą wartością. Równanie wynikowych oscylacji będzie wyglądać następująco:

(4.48)
Jego wykres pokazano na ryc. 4.5 Ta oscylacja nazywa się dudnieniem. Występuje z częstotliwością w, ale jej amplituda oscyluje z dużym okresem.

2. Dodanie dwóch wzajemnie prostopadłych oscylacji. Załóżmy, że jedno oscylowanie występuje wzdłuż osi x, drugie wzdłuż osi y. Wynikowy ruch jest oczywiście umiejscowiony w płaszczyźnie xy.
1. Załóżmy, że częstotliwości i fazy oscylacji są takie same, ale amplitudy są różne.

(4.49)
Aby znaleźć trajektorię powstałego ruchu, należy wyeliminować czas z równań (4.49). Aby to zrobić, wystarczy podzielić jedno równanie wyraz po wyrazie przez drugie, w wyniku czego otrzymamy

(4.50)
Równanie (4.50) pokazuje, że w tym przypadku dodanie oscylacji prowadzi do oscylacji w linii prostej, której nachylenie jest określone przez stosunek amplitud.
2. Niech fazy dodanych drgań różnią się od siebie o /2 i równania mają postać:

(4.51)
Aby znaleźć trajektorię powstałego ruchu, z wyłączeniem czasu, należy podnieść równania do kwadratu (4.51), najpierw dzieląc je odpowiednio na A1 i A2, a następnie dodać. Równanie trajektorii będzie miało postać:

(4.52)
To jest równanie elipsy. Można wykazać, że dla dowolnych faz początkowych i dowolnych amplitud dwóch dodanych wzajemnie prostopadłych oscylacji o tej samej częstotliwości, powstałe oscylacje będą przebiegać po elipsie. Jego orientacja będzie zależała od faz i amplitud dodanych oscylacji.
Jeśli dodane oscylacje mają różne częstotliwości, wówczas trajektorie powstałych ruchów okazują się bardzo zróżnicowane. Tylko wtedy, gdy częstotliwości oscylacji w x i y są wielokrotnościami siebie, uzyskuje się zamknięte trajektorie. Takie ruchy można sklasyfikować jako okresowe. W tym przypadku trajektorie ruchów nazywane są figurami Lissajous. Rozważmy jedną z figur Lissajous, którą uzyskujemy poprzez dodanie oscylacji o stosunkach częstotliwości 1:2, o identycznych amplitudach i fazach na początku ruchu.

(4.53)
Oscylacje występują dwa razy częściej wzdłuż osi y niż wzdłuż osi x. Dodanie takich oscylacji doprowadzi do trajektorii ruchu w postaci ósemki (ryc. 4.7).

8. Drgania tłumione i ich parametry: współczynnik dekrementacji i oscylacji, czas relaksacji

)Okres drgań tłumionych:

T = (58)

Na δ << ω o drgania nie różnią się od harmonicznych: T = 2π/ ω o.

2) Amplituda tłumionych oscylacji wyraża się wzorem (119).

3) Zmniejszenie tłumienia, równy stosunkowi dwóch kolejnych amplitud drgań A(T) I A(t+T), charakteryzuje szybkość spadku amplitudy w okresie:

= i T (59)

4) Logarytmiczny ubytek tłumienia- logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych oscylacji odpowiadających momentom czasu różniącym się okresem

q = ln = ln mi re Т =dT(60)

Logarytmiczny ubytek tłumienia jest wartością stałą dla danego układu oscylacyjnego.

5) Czas relaksu zwyczajowo nazywa się okres ( T), podczas którego amplituda drgań tłumionych maleje e-krotnie:

mi re τ = mi, δτ = 1,

t = 1/D, (61)

Z porównania wyrażeń (60) i (61) otrzymujemy:

Q= = , (62)

Gdzie Nie - liczba oscylacji wykonywanych podczas relaksacji.

Jeśli w tym czasie T system popełnia Ν zatem wahanie T = Ν . Τ a równanie tłumionych oscylacji można przedstawić jako:

S = ZA 0 mi -d N T sałata(w t+j)= A 0 e -q N sałata(w t+j).

6)Współczynnik jakości układu oscylacyjnego(Q) nazywa się zwykle wielkością charakteryzującą utratę energii w układzie w okresie oscylacji:

P = 2P , (63)

Gdzie W- całkowita energia układu, ΔW- energia rozproszona w pewnym okresie. Im mniej energii jest rozpraszane, tym większy współczynnik jakości systemu. Obliczenia to pokazują

Q = = pN mi = = . (64)

Jednakże współczynnik jakości jest odwrotnie proporcjonalny do logarytmicznego ubytku tłumienia. Z wzoru (64) wynika, że współczynnik jakości jest proporcjonalny do liczby oscylacji Nie wykonywane przez system podczas relaksacji.

7) Energia potencjalna układu w chwili t można wyrazić w postaci energii potencjalnej W 0 przy największym odchyleniu:

W = = kA o 2 mi -2 qN = W 0 mi -2 qN . (65)

Zwykle umownie przyjmuje się, że oscylacje praktycznie ustały, jeśli ich energia spadła 100-krotnie (amplituda spadła 10-krotnie). Stąd możemy uzyskać wyrażenie do obliczenia liczby oscylacji wykonywanych przez układ:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Wibracje wymuszone. Rezonans. Oscylacje aperiodyczne. Samooscylacje.

Aby układ mógł wykonywać drgania nietłumione, należy skompensować utratę energii drgań na skutek tarcia zewnętrznego. Aby energia drgań układu nie uległa zmniejszeniu, zwykle wprowadza się siłę, która okresowo działa na układ (nazwiemy taką siłę zmuszanie, a oscylacje są wymuszone).

DEFINICJA: wymuszony Są to drgania występujące w układzie oscylacyjnym pod wpływem zewnętrznej okresowo zmieniającej się siły.

Siła ta zwykle pełni podwójną rolę:

po pierwsze, wstrząsa systemem i dostarcza mu określonej ilości energii;

po drugie, okresowo uzupełnia straty energii (zużycie energii), aby pokonać siły oporu i tarcia.

Niech siła napędowa zmienia się w czasie zgodnie z prawem:

Ułóżmy równanie ruchu układu drgającego pod wpływem takiej siły. Zakładamy, że na układ działa także siła quasi-sprężysta i siła oporu ośrodka (co jest prawdą przy założeniu małych oscylacji). Wtedy równanie ruchu układu będzie wyglądać następująco:

Lub .

Po podstawieniu , , – częstotliwości drgań własnych układu otrzymujemy niejednorodne liniowe równanie różniczkowe 2 t zamówienie:

Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest równe sumie rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

Znane jest ogólne rozwiązanie równania jednorodnego:

Gdzie ; A 0 i A– dowolna stała.

Za pomocą diagramu wektorowego możesz sprawdzić, czy to założenie jest prawdziwe, a także określić wartości „ A" I " J”.

Amplituda oscylacji jest określona przez następujące wyrażenie:

Oznaczający " J”, czyli wielkość opóźnienia fazowego wymuszonej oscylacji od siły napędowej, która ją określiła, wyznacza się także ze wykresu wektorowego i wynosi:

Wreszcie szczególne rozwiązanie niejednorodnego równania będzie miało postać:

(8.18)

Ta funkcja w połączeniu z

(8.19)

podaje ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania różniczkowego opisującego zachowanie układu pod wpływem wymuszonych oscylacji. W początkowej fazie procesu, podczas tzw. ustalania się oscylacji, istotną rolę odgrywa człon (8.19) (rys. 8.10). Z biegiem czasu, ze względu na czynnik wykładniczy, rola drugiego członu (8.19) maleje coraz bardziej, a po upływie odpowiedniego czasu można go pominąć, pozostawiając w rozwiązaniu jedynie człon (8.18).

Zatem funkcja (8.18) opisuje oscylacje wymuszone w stanie ustalonym. Reprezentują one oscylacje harmoniczne o częstotliwości równej częstotliwości siły napędowej. Amplituda drgań wymuszonych jest proporcjonalna do amplitudy siły napędowej. Dla danego układu oscylacyjnego (określonego przez w 0 i b) amplituda zależy od częstotliwości siły napędowej. Wymuszone oscylacje są opóźnione w fazie w stosunku do siły napędowej, a wielkość opóźnienia „j” zależy również od częstotliwości siły napędowej.

Zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstotliwości siły napędowej powoduje, że przy określonej dla danego układu częstotliwości amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Układ oscylacyjny okazuje się szczególnie wrażliwy na działanie siły napędowej przy tej częstotliwości. Zjawisko to nazywa się rezonans, a odpowiadająca jej częstotliwość wynosi częstotliwość rezonansowa.

DEFINICJA: nazywa się zjawisko, w którym obserwuje się gwałtowny wzrost amplitudy drgań wymuszonych rezonans.

Częstotliwość rezonansową wyznacza się na podstawie warunku maksymalnego dla amplitudy drgań wymuszonych:

. (8.20)

Następnie, podstawiając tę wartość do wyrażenia na amplitudę, otrzymujemy:

. (8.21)

W przypadku braku średniego oporu amplituda oscylacji w rezonansie osiągnęłaby nieskończoność; częstotliwość rezonansowa w tych samych warunkach (b=0) pokrywa się z częstotliwością drgań własnych.

Zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstotliwości siły napędowej (lub co za tym idzie od częstotliwości drgań) można przedstawić graficznie (rys. 8.11). Poszczególne krzywe odpowiadają różnym wartościom „b”. Im mniejsze „b”, tym wyżej i na prawo leży maksimum tej krzywej (patrz wyrażenie na w res.). Przy bardzo dużym tłumieniu nie obserwuje się rezonansu - wraz ze wzrostem częstotliwości amplituda drgań wymuszonych maleje monotonicznie (dolna krzywa na ryc. 8.11).

Zbiór przedstawionych wykresów odpowiadających różnym wartościom b nazywa się krzywe rezonansowe.

Notatki odnośnie krzywych rezonansowych:

zgodnie z tendencją w®0, wszystkie krzywe osiągają tę samą niezerową wartość równą . Wartość ta reprezentuje przemieszczenie od położenia równowagi, jakie otrzymuje układ pod wpływem stałej siły F 0 .

as w®¥ wszystkie krzywe asymptotycznie dążą do zera, ponieważ przy wysokich częstotliwościach siła zmienia swój kierunek tak szybko, że układ nie ma czasu na zauważalne przesunięcie się z położenia równowagi.

im mniejsze b, tym bardziej amplituda w pobliżu rezonansu zmienia się wraz z częstotliwością, tym „ostrzejsze” jest maksimum.

Zjawisko rezonansu często okazuje się przydatne, szczególnie w akustyce i radiotechnice.

Samooscylacje- nietłumione oscylacje w rozpraszającym układzie dynamicznym z nieliniowym sprzężeniem zwrotnym, wspomaganym stałą energią, tj. nieokresowe wpływ zewnętrzny.

Samooscylacje różnią się od wymuszone oscylacje ponieważ te ostatnie są spowodowane okresowy wpływem zewnętrznym i występują z częstotliwością tego oddziaływania, natomiast występowanie samooscylacji i ich częstotliwość są zdeterminowane wewnętrznymi właściwościami samego układu samooscylującego.

Termin samooscylacje wprowadzone do terminologii rosyjskiej przez A. A. Andronowa w 1928 r.

Przykłady

Przykłady samooscylacji obejmują:

· nietłumione oscylacje wahadła zegara spowodowane ciągłym działaniem ciężaru uzwojenia;

drgania strun skrzypiec pod wpływem równomiernie poruszającego się smyczka

· występowanie prądu przemiennego w obwodach multiwibratorów i innych generatorach elektronicznych przy stałym napięciu zasilania;

· oscylacja słupa powietrza w rurze organu, przy równomiernym dopływie powietrza do niej. (patrz także Fala stojąca )

· drgania obrotowe mosiężnej przekładni zegarowej ze stalową osią zawieszoną na magnesie i skręconą (eksperyment Gamazkowa) (energia kinetyczna koła, podobnie jak w generatorze jednobiegunowym, zamieniana jest na energię potencjalną pola elektrycznego, energię potencjalną pola elektrycznego, jak w silniku jednobiegunowym, zamienia się na energię kinetyczną koła itp.)

Młot Maklakova

Młotek uderzający wykorzystujący energię prądu przemiennego o częstotliwości wielokrotnie niższej niż częstotliwość prądu w obwodzie elektrycznym.

Cewka L obwodu oscylacyjnego jest umieszczona nad stołem (lub innym przedmiotem, który należy uderzyć). Od dołu wchodzi żelazna rura, której dolny koniec jest uderzającą częścią młotka. Rurka posiada pionową szczelinę redukującą prądy Foucaulta. Parametry obwodu oscylacyjnego są takie, że częstotliwość własna jego oscylacji pokrywa się z częstotliwością prądu w obwodzie (na przykład przemienny prąd miejski, 50 herców).

Po włączeniu prądu i ustaleniu oscylacji obserwuje się rezonans prądów obwodu i obwodu zewnętrznego, a żelazną rurkę wciąga się do cewki. Indukcyjność cewki wzrasta, obwód oscylacyjny wychodzi z rezonansu, a amplituda oscylacji prądu w cewce maleje. Dlatego rura powraca do swojego pierwotnego położenia – na zewnątrz cewki – pod wpływem grawitacji. Następnie oscylacje prądu wewnątrz obwodu zaczynają rosnąć i rezonans pojawia się ponownie: rura jest ponownie wciągana w cewkę.

Tuba sprawia samooscylacje, czyli okresowe ruchy w górę i w dół, a jednocześnie głośno puka w stół, jak młotek. Okres tych mechanicznych samooscylacji jest dziesiątki razy dłuższy niż okres prądu przemiennego, który je podtrzymuje.

Młotek nosi imię M.I. Maklakova, asystenta wykładowego w Moskiewskim Instytucie Fizyki i Technologii, który zaproponował i przeprowadził taki eksperyment w celu wykazania samooscylacji.

Mechanizm samooscylacji

Ryc. 1. Mechanizm samooscylacji

Samooscylacje mogą mieć różną naturę: mechaniczną, termiczną, elektromagnetyczną, chemiczną. Mechanizm występowania i utrzymywania się samooscylacji w różnych układach może opierać się na różnych prawach fizyki lub chemii. Do dokładnego ilościowego opisu samooscylacji różnych układów może być wymagany inny aparat matematyczny. Niemniej jednak można sobie wyobrazić schemat wspólny dla wszystkich układów samooscylacyjnych, który jakościowo opisuje ten mechanizm (ryc. 1).

Na schemacie: S- źródło stałego (nieokresowego) oddziaływania; R- regulator nieliniowy zamieniający efekt stały na zmienny (np. na przerywany w czasie), który „waha się” oscylator V- element(y) oscylacyjny(e) systemu i oscylacje oscylatora poprzez sprzężenie zwrotne B kontrolować pracę regulatora R, pytając faza I częstotliwość jego akcje. Rozpraszanie (rozpraszanie energii) w układzie samooscylacyjnym jest kompensowane przez dopływ do niego energii ze źródła stałego wpływu, dzięki czemu samooscylacje nie wygasają.

Ryż. 2 Schemat mechanizmu zapadkowego zegara wahadłowego

Jeśli element oscylacyjny systemu jest w stanie działać samodzielnie tłumione oscylacje(tak zwana Oscylator rozpraszający harmoniczne), samooscylacje (przy równym rozproszeniu i energii wprowadzonej do układu w danym okresie) ustalane są z częstotliwością bliską rezonansowy dla tego oscylatora ich kształt staje się zbliżony do harmonicznego, a amplituda w pewnym zakresie wartości jest tym większa wielkość stałego wpływu zewnętrznego.

Przykładem tego rodzaju układu jest mechanizm zapadkowy zegara wahadłowego, którego schemat pokazano na ryc. 2. Na osi koła zapadkowego A(który w tym układzie pełni funkcję regulatora nieliniowego) występuje stały moment siły M, przenoszony przez przekładnię ze sprężyny głównej lub z ciężarka. Kiedy koło się obraca A jego zęby przekazują wahadłu krótkotrwałe impulsy siły P(oscylator), dzięki czemu jego oscylacje nie zanikają. Kinematyka mechanizmu pełni w układzie rolę sprzężenia zwrotnego, synchronizując obrót koła z drganiami wahadła w taki sposób, że w całym okresie drgań koło obraca się o kąt odpowiadający jednemu zębowi.

Nazywa się układy samooscylujące, które nie zawierają oscylatorów harmonicznych relaks. Wibracje w nich mogą bardzo różnić się od harmonicznych i mieć kształt prostokątny, trójkątny lub trapezowy. Amplituda i okres samooscylacji relaksacyjnych są określone przez stosunek wielkości stałego uderzenia do charakterystyki bezwładności i rozproszenia układu.

Ryż. 3 Elektryczny dzwonek

Najprostszym przykładem samooscylacji relaksacyjnych jest działanie dzwonka elektrycznego pokazane na rys. 3. Źródłem stałego (nieokresowego) narażenia jest tutaj akumulator elektryczny U; Rolę regulatora nieliniowego pełni przerywacz T, zamykanie i otwieranie obwodu elektrycznego, w wyniku czego pojawia się w nim prąd przerywany; elementy oscylacyjne to pole magnetyczne indukowane okresowo w rdzeniu elektromagnesu mi i kotwica A, poruszający się pod wpływem zmiennego pola magnetycznego. Oscylacje twornika aktywują wyłącznik, co tworzy sprzężenie zwrotne.

Bezwładność tego układu jest określona przez dwie różne wielkości fizyczne: moment bezwładności twornika A i indukcyjność uzwojenia elektromagnesu mi. Wzrost któregokolwiek z tych parametrów prowadzi do wydłużenia okresu samooscylacji.

Jeżeli w układzie znajduje się kilka elementów, które oscylują niezależnie od siebie i jednocześnie wpływają na nieliniowy regulator lub regulatory (których może być też kilka), samooscylacje mogą przybrać bardziej złożony charakter, np. aperiodyczny, Lub dynamiczny chaos.

W naturze i technologii

Samooscylacje leżą u podstaw wielu zjawisk naturalnych:

· drgania liści roślin pod wpływem równomiernego przepływu powietrza;

· powstawanie przepływów turbulentnych na ryfach i bystrzach rzek;

· działanie regularnych gejzerów itp.

Zasada działania dużej liczby różnych urządzeń i urządzeń technicznych opiera się na samooscylacjach, do których należą:

· działanie wszelkiego rodzaju zegarów, zarówno mechanicznych, jak i elektrycznych;

· dźwięk wszelkich instrumentów muzycznych dętych i strunowych;

©2015-2019 strona
Wszelkie prawa należą do ich autorów. Ta witryna nie rości sobie praw do autorstwa, ale zapewnia bezpłatne korzystanie.
Data utworzenia strony: 2017-04-04

Oscylacje nazywane są ruchami lub procesami, które charakteryzują się pewną powtarzalnością w czasie. Procesy oscylacyjne są szeroko rozpowszechnione w przyrodzie i technologii, na przykład kołysanie wahadła zegara, przemienny prąd elektryczny itp. Kiedy wahadło oscyluje, zmienia się współrzędna jego środka masy, w przypadku prądu przemiennego napięcie i prąd w obwodzie się zmieniają. Fizyczna natura drgań może być różna, dlatego wyróżnia się drgania mechaniczne, elektromagnetyczne itp. Jednakże różne procesy oscylacyjne opisują te same cechy i te same równania. Stąd wygoda wspólne podejście do badania wibracji o różnej naturze fizycznej.

Oscylacje nazywane są bezpłatny, jeżeli zachodzą one jedynie pod wpływem sił wewnętrznych działających pomiędzy elementami układu, po wytrąceniu układu z równowagi przez siły zewnętrzne i pozostawieniu go samemu sobie. Zawsze darmowe wibracje tłumione oscylacje , ponieważ w rzeczywistych systemach straty energii są nieuniknione. W wyidealizowanym przypadku układu bez strat energii wywoływane są swobodne oscylacje (trwające tak długo, jak jest to pożądane). własny.

Najprostszym rodzajem swobodnych, nietłumionych oscylacji są drgania harmoniczne - oscylacje, w których wielkość oscylacyjna zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa (cosinusa). Wibracje występujące w przyrodzie i technologii często mają charakter zbliżony do harmonicznego.

Oscylacje harmoniczne opisuje równanie zwane równaniem oscylacji harmonicznych:

Gdzie A- amplituda oscylacji, maksymalna wartość wielkości oscylacyjnej X; - częstotliwość kołowa (cykliczna) drgań własnych; - początkowa faza oscylacji w chwili czasu T= 0; - faza oscylacji w chwili czasu T. Faza oscylacji określa wartość wielkości oscylacyjnej w danym czasie. Ponieważ cosinus zmienia się od +1 do -1, zatem X może przyjmować wartości od + A zanim - A.

Czas T podczas którego układ wykonuje jedno pełne oscylowanie, nazywa się okres oscylacji. Podczas T faza oscylacji jest zwiększana o 2 π , tj.

Gdzie . (14.2)

Odwrotność okresu oscylacji

tj. liczba pełnych oscylacji wykonanych w jednostce czasu nazywana jest częstotliwością oscylacji. Porównując (14.2) i (14.3) otrzymujemy

Jednostką częstotliwości jest herc (Hz): 1 Hz to częstotliwość, przy której w ciągu 1 sekundy następuje jedno pełne drganie.

Układy, w których mogą występować drgania swobodne, nazywane są układami oscylatory . Jakie właściwości musi posiadać układ, aby wystąpiły w nim drgania swobodne? System mechaniczny musi mieć stabilna pozycja równowagi, po wyjściu, który się pojawi siła przywracająca skierowana w stronę położenia równowagi. Położenie to odpowiada, jak wiadomo, minimalnej energii potencjalnej układu. Rozważmy kilka układów oscylacyjnych spełniających wymienione właściwości.