Równania trygonometryczne. Kompleksowy przewodnik (2019). Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych

Równania trygonometryczne nie są tematem łatwym. Są zbyt różnorodne.) Na przykład te:

grzech 2 x + cos3x = ctg5x

grzech(5x+π /4) = łóżko(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Itp...

Ale te (i wszystkie inne) potwory trygonometryczne mają dwie wspólne i obowiązkowe cechy. Po pierwsze - nie uwierzysz - w równaniach są funkcje trygonometryczne.) Po drugie: wszystkie wyrażenia z x zostały znalezione w ramach tych samych funkcji. I tylko tam! Jeśli gdzieś pojawi się X poza, Na przykład, grzech2x + 3x = 3, będzie to już równanie typu mieszanego. Równania takie wymagają indywidualnego podejścia. Nie będziemy ich tutaj rozważać.

Na tej lekcji również nie będziemy rozwiązywać złych równań.) Tutaj sobie poradzimy najprostsze równania trygonometryczne. Dlaczego? Tak, ponieważ rozwiązanie każdy Równania trygonometryczne składają się z dwóch etapów. W pierwszym etapie równanie zła sprowadza się do prostego poprzez różne przekształcenia. W drugim przypadku rozwiązano to najprostsze równanie. Żaden inny sposób.

Jeśli więc będziesz mieć problemy na drugim etapie, pierwszy etap nie ma większego sensu.)

Jak wyglądają elementarne równania trygonometryczne?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tutaj A oznacza dowolną liczbę. Każdy.

Nawiasem mówiąc, wewnątrz funkcji może nie znajdować się czysty X, ale jakiś rodzaj wyrażenia, na przykład:

cos(3x+π /3) = 1/2

itp. To komplikuje życie, ale nie wpływa na metodę rozwiązywania równania trygonometrycznego.

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne?

Równania trygonometryczne można rozwiązać na dwa sposoby. Sposób pierwszy: używając logiki i koła trygonometrycznego. Przyjrzymy się tej ścieżce tutaj. Drugi sposób – wykorzystanie pamięci i formuł – zostanie omówiony w następnej lekcji.

Pierwszy sposób jest jasny, niezawodny i trudny do zapomnienia.) Jest dobry do rozwiązywania równań trygonometrycznych, nierówności i wszelkiego rodzaju trudnych, niestandardowych przykładów. Logika jest silniejsza niż pamięć!)

Rozwiązywanie równań za pomocą okręgu trygonometrycznego.

Uwzględniamy elementarną logikę i umiejętność posługiwania się kołem trygonometrycznym. Nie wiesz jak? Jednak... Będziesz miał trudności z trygonometrią...) Ale to nie ma znaczenia. Zapoznaj się z lekcjami „Koło trygonometryczne...... Co to jest?” oraz „Pomiar kątów na okręgu trygonometrycznym”. Wszystko jest tam proste. W przeciwieństwie do podręczników...)

Och, wiesz!? A nawet opanowałeś „Praktyczną pracę z kołem trygonometrycznym”!? Gratulacje. Ten temat będzie dla Ciebie bliski i zrozumiały.) Szczególnie przyjemne jest to, że okrąg trygonometryczny nie dba o to, jakie równanie rozwiążesz. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - dla niego wszystko jest takie samo. Jest tylko jedna zasada rozwiązania.

Bierzemy więc dowolne elementarne równanie trygonometryczne. Chociaż tyle:

cosx = 0,5

Musimy znaleźć X. Mówienie ludzkim językiem jest potrzebne znajdź kąt (x), którego cosinus wynosi 0,5.

Jak wcześniej korzystaliśmy z koła? Narysowaliśmy na nim kąt. W stopniach lub radianach. I od razu piła funkcje trygonometryczne tego kąta. Teraz zróbmy odwrotnie. Narysujmy cosinus na okręgu równy 0,5 i natychmiast zobaczymy narożnik. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.) Tak, tak!

Narysuj okrąg i zaznacz cosinus równy 0,5. Oczywiście na osi cosinus. Lubię to:

Teraz narysujmy kąt, jaki daje nam ten cosinus. Najedź myszką na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie) i zobaczysz właśnie ten kącik X.

Cosinus którego kąta wynosi 0,5?

x = π /3

sałata 60°= cos( π /3) = 0,5

Niektórzy będą chichotać sceptycznie, tak... Na przykład, czy warto było zataczać koło, gdy wszystko jest już jasne... Można oczywiście chichotać...) Ale faktem jest, że jest to błędna odpowiedź. Albo raczej niewystarczające. Koneserzy kół rozumieją, że istnieje tu cała masa innych kątów, które również dają cosinus 0,5.

Jeśli obrócisz ruchomą stronę OA pełny obrót, punkt A powróci do swojej pierwotnej pozycji. Z tym samym cosinusem równym 0,5. Te. kąt się zmieni o 360° lub 2π radianów, oraz cosinus - nie. Nowy kąt 60° + 360° = 420° będzie również rozwiązaniem naszego równania, ponieważ

Można wykonać nieskończoną liczbę takich pełnych obrotów... I wszystkie te nowe kąty będą rozwiązaniami naszego równania trygonometrycznego. I wszystkie muszą zostać w jakiś sposób zapisane w odpowiedzi. Wszystko. Inaczej decyzja się nie liczy, tak...)

Matematyka może to zrobić prosto i elegancko. Zapisz w jednej krótkiej odpowiedzi nieskończony zestaw decyzje. Oto jak to wygląda w przypadku naszego równania:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Rozszyfruję to. Nadal pisz sensownie To przyjemniejsze niż głupie rysowanie tajemniczych liter, prawda?)

π /3 - to ten sam zakątek, co my piła na okręgu i określony zgodnie z tabelą cosinusów.

2π to jeden pełny obrót w radianach.

N - jest to liczba pełnych, tj. cały obr./min Jest jasne, że N może wynosić 0, ±1, ±2, ±3.... i tak dalej. Jak wskazuje krótki wpis:

n ∈ Z

N należy ( ∈ ) zbiór liczb całkowitych ( Z ). Przy okazji, zamiast listu N można z powodzeniem używać liter k, m, t itp.

Ten zapis oznacza, że ​​możesz przyjąć dowolną liczbę całkowitą N . Co najmniej -3, co najmniej 0, co najmniej +55. Cokolwiek chcesz. Jeśli podstawisz tę liczbę do odpowiedzi, otrzymasz konkretny kąt, który z pewnością będzie rozwiązaniem naszego trudnego równania.)

Lub innymi słowy, x = π /3 jest jedynym pierwiastkiem zbioru nieskończonego. Aby otrzymać wszystkie pozostałe pierwiastki, wystarczy dodać dowolną liczbę pełnych obrotów do π /3 ( N ) w radianach. Te. 2πn radian.

Wszystko? NIE. Celowo przedłużam przyjemność. Aby lepiej pamiętać.) Otrzymaliśmy tylko część odpowiedzi na nasze równanie. Pierwszą część rozwiązania napiszę w ten sposób:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nie tylko jeden pierwiastek, ale cały szereg pierwiastków, zapisanych w krótkiej formie.

Ale są też kąty, które również dają cosinus 0,5!

Wróćmy do naszego obrazka, z którego zapisaliśmy odpowiedź. Tutaj jest:

Najedź myszką na obraz i widzimy inny kąt daje również cosinus 0,5. Jak myślisz, czemu to jest równe? Trójkąty są takie same... Tak! Jest równy kątowi X , opóźniony jedynie w kierunku ujemnym. To jest róg -X. Ale obliczyliśmy już x. π /3 lub 60°. Dlatego śmiało możemy napisać:

x 2 = - π /3

Cóż, oczywiście dodajemy wszystkie kąty uzyskane przez pełne obroty:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To wszystko.) Na okręgu trygonometrycznym my piła(kto rozumie, oczywiście)) Wszystko kąty dające cosinus 0,5. I zapisaliśmy te kąty w krótkiej formie matematycznej. Odpowiedź zaowocowała dwoma nieskończonymi seriami pierwiastków:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To jest poprawna odpowiedź.

Mieć nadzieję, ogólna zasada rozwiązywania równań trygonometrycznych użycie koła jest jasne. Zaznaczamy cosinus (sinus, tangens, cotangens) z danego równania na okręgu, rysujemy odpowiadające mu kąty i zapisujemy odpowiedź. Oczywiście musimy dowiedzieć się, w jakich narożnikach jesteśmy piła na okręgu. Czasami nie jest to takie oczywiste. Cóż, powiedziałem, że wymagana jest tutaj logika.)

Spójrzmy na przykład na inne równanie trygonometryczne:

Proszę wziąć pod uwagę, że liczba 0,5 nie jest jedyną możliwą liczbą w równaniach!) Po prostu wygodniej jest mi ją zapisać niż pierwiastki i ułamki zwykłe.

Działamy według ogólnej zasady. Rysujemy okrąg, zaznaczamy (oczywiście na osi sinusoidalnej!) 0,5. Rysujemy jednocześnie wszystkie kąty odpowiadające temu sinusowi. Otrzymujemy taki obrazek:

Zajmijmy się najpierw kątem X w pierwszym kwartale. Przywołujemy tabelę sinusów i określamy wartość tego kąta. To prosta sprawa:

x = π /6

Pamiętamy o pełnych obrotach i z czystym sumieniem zapisujemy pierwszą serię odpowiedzi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Połowa pracy została wykonana. Ale teraz musimy to ustalić drugi zakręt... To trudniejsze niż użycie cosinusów, to prawda... Ale logika nas uratuje! Jak określić drugi kąt przez x? Tak, łatwo! Trójkąty na zdjęciu są takie same i czerwony róg X równy kątowi X . Tylko jest on liczony od kąta π w kierunku ujemnym. Dlatego jest czerwony.) A do odpowiedzi potrzebujemy poprawnie zmierzonego kąta od dodatniej półosi OX, tj. od kąta 0 stopni.

Najedźmy kursorem na rysunek i zobaczmy wszystko. Usunąłem pierwszy róg, aby nie komplikować obrazu. Interesujący nas kąt (zaznaczony na zielono) będzie równy:

π-x

X. Wiemy o tym π /6 . Zatem drugi kąt będzie wynosił:

π - π /6 = 5π /6

Ponownie pamiętamy o dodaniu pełnych obrotów i zapisujemy drugą serię odpowiedzi:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To wszystko. Pełna odpowiedź składa się z dwóch serii pierwiastków:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Równania styczne i cotangens można łatwo rozwiązać, stosując tę ​​samą ogólną zasadę rozwiązywania równań trygonometrycznych. Jeśli oczywiście wiesz, jak narysować styczną i cotangens na okręgu trygonometrycznym.

W powyższych przykładach skorzystałem z tabeli wartości sinusa i cosinusa: 0,5. Te. jedno z tych znaczeń, które uczeń zna musieć. Teraz rozszerzmy nasze możliwości o wszystkie inne wartości. Zdecyduj, więc zdecyduj!)

Powiedzmy, że musimy rozwiązać to równanie trygonometryczne:

W krótkich tabelach nie ma takiej wartości cosinus. Zimno ignorujemy ten straszny fakt. Narysuj okrąg, zaznacz 2/3 na osi cosinus i narysuj odpowiednie kąty. Dostajemy to zdjęcie.

Przyjrzyjmy się najpierw kątowi w pierwszej kwarcie. Gdybyśmy tylko wiedzieli, ile x jest równe, natychmiast zapisalibyśmy odpowiedź! Nie wiemy... Porażka!? Spokój! Matematyka nie zostawia swoich ludzi w tarapatach! W tym przypadku wymyśliła cosinusy łukowe. Nie wiem? Na próżno. Przekonaj się. To o wiele prostsze niż myślisz. W tym łączu nie ma ani jednego trudnego zaklęcia na temat „odwrotnych funkcji trygonometrycznych”… Jest to zbędne w tym temacie.

Jeśli wiesz, powiedz sobie: „X to kąt, którego cosinus jest równy 2/3”. I od razu, wyłącznie na podstawie definicji arc cosinusa, możemy napisać:

Pamiętamy o dodatkowych obrotach i spokojnie zapisujemy pierwszą serię pierwiastków naszego równania trygonometrycznego:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druga seria pierwiastków dla drugiego kąta jest zapisana prawie automatycznie. Wszystko jest takie samo, tylko X (arccos 2/3) będzie z minusem:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I to wszystko! To jest poprawna odpowiedź. Nawet łatwiejsze niż w przypadku wartości tabelarycznych. Nie trzeba niczego pamiętać.) Nawiasem mówiąc, najbardziej uważny zauważy, że to zdjęcie pokazuje rozwiązanie poprzez łuk cosinus w zasadzie nie różni się od obrazu dla równania cosx = 0,5.

Dokładnie! Ogólna zasada jest taka! Celowo narysowałem dwa prawie identyczne obrazki. Okrąg pokazuje nam kąt X przez jego cosinus. Nie wiadomo każdemu, czy jest to cosinus tabelaryczny, czy nie. Jaki to jest kąt, π /3, czy jaki jest arcus cosinus – to zależy od nas.

Ta sama piosenka z sinusem. Na przykład:

Narysuj ponownie okrąg, zaznacz sinus równy 1/3, narysuj kąty. Oto obraz, który otrzymujemy:

I znowu obraz jest prawie taki sam jak w przypadku równania sinx = 0,5. Znów zaczynamy od rzutu rożnego w pierwszej kwarcie. Ile wynosi X, jeśli jego sinus wynosi 1/3? Bez problemu!

Teraz pierwsza paczka korzeni jest gotowa:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Zajmijmy się drugim kątem. W przykładzie z wartością tabeli 0,5 była ona równa:

π-x

Tutaj też będzie dokładnie tak samo! Tylko x jest inne, arcsin 1/3. Więc co!? Możesz bezpiecznie zapisać drugą paczkę korzeni:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

To jest całkowicie poprawna odpowiedź. Chociaż nie wygląda to zbyt znajomo. Ale mam nadzieję, że wszystko jest jasne.)

W ten sposób rozwiązuje się równania trygonometryczne za pomocą koła. Ta droga jest jasna i zrozumiała. To on oszczędza w równaniach trygonometrycznych z wyborem pierwiastków na danym przedziale, w nierównościach trygonometrycznych - na ogół rozwiązuje się je prawie zawsze w okręgu. Krótko mówiąc, we wszelkich zadaniach nieco trudniejszych niż standardowe.

Zastosujmy wiedzę w praktyce?)

Rozwiązuj równania trygonometryczne:

Najpierw prościej, prosto z tej lekcji.

Teraz jest to bardziej skomplikowane.

Wskazówka: tutaj będziesz musiał pomyśleć o okręgu. Osobiście.)

A teraz są na pozór proste... Nazywa się je również przypadkami specjalnymi.

grzech = 0

grzech = 1

cosx = 0

cosx = -1

Wskazówka: tutaj musisz wyznaczyć w kółku, gdzie znajdują się dwie serie odpowiedzi, a gdzie jedna... I jak zapisać jedną zamiast dwóch serii odpowiedzi. Tak, aby nie stracić ani jednego pierwiastka z nieskończonej liczby!)

No cóż, bardzo proste):

grzech = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Wskazówka: tutaj musisz wiedzieć, co to jest arcsinus i arccosinus? Co to jest arcustangens i arccotangens? Najprostsze definicje. Ale nie musisz pamiętać żadnych wartości z tabeli!)

Odpowiedzi są oczywiście bałaganem):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nie wszystko się układa? Dzieje się. Przeczytaj lekcję jeszcze raz. Tylko w zamyśleniu(jest takie przestarzałe słowo...) I podążaj za linkami. Główne linki dotyczą okręgu. Bez tego trygonometria przypomina przechodzenie przez ulicę z zawiązanymi oczami. Czasami to działa.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.

Podczas rozwiązywania wielu problemy matematyczne zwłaszcza te, które mają miejsce przed klasą 10, jasno określona jest kolejność wykonywanych działań, które doprowadzą do celu. Do takich problemów zaliczają się np. równania liniowe i kwadratowe, nierówności liniowe i kwadratowe, równania ułamkowe oraz równania sprowadzające się do równań kwadratowych. Zasada skutecznego rozwiązania każdego z wymienionych problemów jest następująca: musisz ustalić, jakiego rodzaju problem rozwiązujesz, pamiętaj o niezbędnej sekwencji działań, które doprowadzą do pożądanego rezultatu, tj. odpowiedz i wykonaj poniższe kroki.

Oczywiste jest, że sukces lub porażka w rozwiązaniu konkretnego problemu zależy głównie od tego, jak poprawnie zostanie określony rodzaj rozwiązywanego równania, jak poprawnie zostanie odtworzona kolejność wszystkich etapów jego rozwiązania. Oczywiście w tym przypadku niezbędna jest umiejętność wykonywania identycznych przekształceń i obliczeń.

Inaczej jest z równania trygonometryczne. Ustalenie faktu, że równanie jest trygonometryczne, wcale nie jest trudne. Trudności pojawiają się przy ustaleniu sekwencji działań, które doprowadziłyby do prawidłowej odpowiedzi.

Czasami trudno określić jego typ na podstawie wyglądu równania. A nie znając rodzaju równania, prawie niemożliwe jest wybranie właściwego spośród kilkudziesięciu wzorów trygonometrycznych.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musisz spróbować:

1. sprowadzić wszystkie funkcje zawarte w równaniu pod „te same kąty”;
2. doprowadzić równanie do „funkcji identycznych”;
3. uwzględnij lewą stronę równania itp.

Rozważmy podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

I. Sprowadzenie do najprostszych równań trygonometrycznych

Schemat rozwiązania

Krok 1. Wyraź funkcję trygonometryczną za pomocą znanych składników.

Krok 2. Znajdź argument funkcji, korzystając ze wzorów:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

grzech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3. Znajdź nieznaną zmienną.

Przykład.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rozwiązanie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpowiedź: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Zmienna wymiana

Schemat rozwiązania

Krok 1. Sprowadź równanie do postaci algebraicznej w odniesieniu do jednej z funkcji trygonometrycznych.

Krok 2. Oznacz wynikową funkcję przez zmienną t (jeśli to konieczne, wprowadź ograniczenia na t).

Krok 3. Zapisz i rozwiąż powstałe równanie algebraiczne.

Krok 4. Dokonaj odwrotnej wymiany.

Krok 5. Rozwiąż najprostsze równanie trygonometryczne.

Przykład.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rozwiązanie.

1) 2(1 – grzech 2 (x/2)) – 5 grzech (x/2) – 5 = 0;

2 grzech 2 (x/2) + 5 grzech (x/2) + 3 = 0.

2) Niech grzech (x/2) = t, gdzie |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 lub e = -3/2, nie spełnia warunku |t| ≤ 1.

4) grzech(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpowiedź: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukcji rzędu równań

Schemat rozwiązania

Krok 1. Zamień to równanie na liniowe, korzystając ze wzoru na stopień redukcji:

grzech 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

sałata 2 x = 1/2 · (1 + sałata 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, stosując metody I i II.

Przykład.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rozwiązanie.

1) sałata 2x + 1/2 · (1 + sałata 2x) = 5/4.

2) sałata 2x + 1/2 + 1/2 · sałata 2x = 5/4;

3/2 sałata 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpowiedź: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Równania jednorodne

Schemat rozwiązania

Krok 1. Sprowadź to równanie do postaci

a) a sin x + b cos x = 0 (równanie jednorodne pierwszego stopnia)

lub do widoku

b) a grzech 2 x + b grzech x · cos x + c cos 2 x = 0 (równanie jednorodne drugiego stopnia).

Krok 2. Podziel obie strony równania przez

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i uzyskaj równanie na tan x:

a) opalenizna x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Krok 3. Rozwiąż równanie znanymi metodami.

Przykład.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rozwiązanie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

grzech 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Niech więc tg x = t

t 2 + 3 t – 4 = 0;

t = 1 lub t = -4, co oznacza

tg x = 1 lub tg x = -4.

Z pierwszego równania x = π/4 + πn, n Є Z; z drugiego równania x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpowiedź: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda przekształcenia równania za pomocą wzorów trygonometrycznych

Schemat rozwiązania

Krok 1. Korzystając ze wszystkich możliwych wzorów trygonometrycznych, sprowadź to równanie do równania rozwiązanego metodami I, II, III, IV.

Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, korzystając ze znanych metod.

Przykład.

grzech x + grzech 2x + grzech 3x = 0.

Rozwiązanie.

1) (grzech x + grzech 3x) + grzech 2x = 0;

2sin 2x cos x + grzech 2x = 0.

2) grzech 2x (2cos x + 1) = 0;

grzech 2x = 0 lub 2cos x + 1 = 0;

Z pierwszego równania 2x = π/2 + πn, n Є Z; z drugiego równania cos x = -1/2.

Mamy x = π/4 + πn/2, n Є Z; z drugiego równania x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

W rezultacie x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpowiedź: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Zdolność i umiejętność rozwiązywania równań trygonometrycznych jest bardzo duża Co ważne, ich rozwój wymaga dużego wysiłku, zarówno ze strony ucznia, jak i nauczyciela.

Z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych wiąże się wiele problemów stereometrii, fizyki itp. Proces rozwiązywania takich problemów obejmuje wiele wiedzy i umiejętności, które można zdobyć studiując elementy trygonometrii.

Równania trygonometryczne zajmują ważne miejsce w procesie uczenia się matematyki i rozwoju osobistego w ogóle.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Pojęcie rozwiązywania równań trygonometrycznych.

• Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, przekształć je w jedno lub więcej podstawowych równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego ostatecznie sprowadza się do rozwiązania czterech podstawowych równań trygonometrycznych.

Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych.

• Istnieją 4 typy podstawowych równań trygonometrycznych:
• grzech x = a; ponieważ x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych polega na sprawdzaniu różnych pozycji x na okręgu jednostkowym, a także na korzystaniu z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora).
• Przykład 1. grzech x = 0,866. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: 2π/3. Pamiętaj: wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, co oznacza, że ​​ich wartości się powtarzają. Na przykład okresowość sin x i cos x wynosi 2πn, a okresowość tg x i ctg x wynosi πn. Dlatego odpowiedź jest zapisana w następujący sposób:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Przykład 2. cos x = -1/2. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = 2π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Przykład 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odpowiedź: x = π/4 + πn.
• Przykład 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpowiedź: x = π/12 + πn.

Przekształcenia stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

• Do transformacji równań trygonometrycznych stosuje się przekształcenia algebraiczne (faktoryzację, redukcję wyrazów jednorodnych itp.) i tożsamości trygonometryczne.
• Przykład 5: Używając tożsamości trygonometrycznych, równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 jest konwertowane do równania 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Zatem następujące podstawowe równania trygonometryczne należy rozwiązać: cos x = 0; grzech(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Znajdowanie kątów na podstawie znanych wartości funkcji.

  • Zanim nauczysz się rozwiązywać równania trygonometryczne, musisz nauczyć się znajdować kąty, korzystając ze znanych wartości funkcji. Można to zrobić za pomocą tabeli przeliczeniowej lub kalkulatora.
  • Przykład: cos x = 0,732. Kalkulator poda odpowiedź x = 42,95 stopnia. Okrąg jednostkowy da dodatkowe kąty, których cosinus również wynosi 0,732.

• Odłóż roztwór na okręgu jednostkowym.

  • Można nakreślić rozwiązania równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym. Rozwiązaniami równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym są wierzchołki wielokąta foremnego.
  • Przykład: Rozwiązania x = π/3 + πn/2 na okręgu jednostkowym reprezentują wierzchołki kwadratu.
  • Przykład: Rozwiązania x = π/4 + πn/3 na okręgu jednostkowym reprezentują wierzchołki sześciokąta foremnego.

• Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

  • Jeżeli dane równanie trygonometryczne zawiera tylko jedną funkcję trygonometryczną, rozwiąż to równanie jako podstawowe równanie trygonometryczne. Jeżeli w danym równaniu znajdują się dwie lub więcej funkcji trygonometrycznych, wówczas istnieją 2 metody rozwiązania takiego równania (w zależności od możliwości jego przekształcenia).
    • Metoda 1.
  • Przekształć to równanie na równanie postaci: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdzie f(x), g(x), h(x) są podstawowymi równaniami trygonometrycznymi.
  • Przykład 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie. Używając wzoru na podwójny kąt sin 2x = 2*sin x*cos x, zamień sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
  • Przykład 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie na równanie postaci: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
  • Przykład 8. grzech x - grzech 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie na równanie postaci: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Przekształć podane równanie trygonometryczne na równanie zawierające tylko jedną funkcję trygonometryczną. Następnie zamień tę funkcję trygonometryczną na jakąś nieznaną, na przykład t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, itd.).
  • Przykład 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Rozwiązanie. W tym równaniu zamień (cos^2 x) na (1 - sin^2 x) (zgodnie z tożsamością). Przekształcone równanie to:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamień sin x na t. Teraz równanie wygląda następująco: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Jest to równanie kwadratowe, które ma dwa pierwiastki: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi pierwiastek t2 nie spełnia zakresu funkcji (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Przykład 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Rozwiązanie. Zamień tg x na t. Przepisz pierwotne równanie w następujący sposób: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz znajdź t, a następnie znajdź x dla t = tan x.