Znaczenie trójkąta Penrose'a. Niemożliwy trójkąt. Tworzenie figury własnymi rękami

Niemożliwy trójkąt to jeden z niesamowitych paradoksów matematycznych. Na pierwszy rzut oka nie można ani przez sekundę wątpić w jego prawdziwe istnienie. Jest to jednak tylko złudzenie, oszustwo. A samą możliwość takiej iluzji wyjaśni nam matematyka!

Odkrycie Penrose’ów

W 1958 roku w British Psychological Journal opublikowano artykuł L. Penrose'a i R. Penrose'a, w którym wprowadzili oni nowy rodzaj złudzenia optycznego, który nazwali „niemożliwym trójkątem”.

Trójkąt niemożliwy wizualnie postrzegany jest jako struktura istniejąca faktycznie w przestrzeni trójwymiarowej i zbudowana z prostokątnych prętów. Ale to tylko złudzenie optyczne. Niemożliwe jest zbudowanie prawdziwego modelu niemożliwego trójkąta.

Artykuł Penrose'a zawierał kilka opcji przedstawienia niemożliwego trójkąta. - jego „klasyczna” prezentacja.

Z jakich elementów składa się niemożliwy trójkąt?

Dokładniej, z jakich elementów wydaje nam się zbudowany? Konstrukcja opiera się na prostokątnym narożniku, który uzyskuje się poprzez połączenie dwóch identycznych prostokątnych prętów pod kątem prostym. Wymagane są trzy takie rogi, a zatem pręty sześć sztuk. Narożniki te muszą być wizualnie „połączone” ze sobą w określony sposób, aby tworzyły zamknięty łańcuch. To, co się dzieje, to niemożliwy trójkąt.

Umieść pierwszy narożnik w płaszczyźnie poziomej. Przymocujemy do niego drugi róg, kierując jedną z jego krawędzi do góry. Na koniec dodajemy trzeci narożnik do tego drugiego narożnika, tak aby jego krawędź była równoległa do pierwotnej płaszczyzny poziomej. W takim przypadku dwie krawędzie pierwszego i trzeciego narożnika będą równoległe i skierowane w różnych kierunkach.

Jeśli potraktujemy pręt jako odcinek o długości jednostkowej, wówczas końce prętów pierwszego narożnika mają współrzędne, a drugi narożnik - , i trzeci - , i. Otrzymaliśmy „skręconą” strukturę, która faktycznie istnieje w przestrzeni trójwymiarowej.

A teraz spróbujmy spojrzeć na to mentalnie z różnych punktów przestrzeni. Wyobraź sobie, jak to wygląda z jednego punktu, z drugiego, z trzeciego. Zmieniając punkt obserwacji, będzie się wydawać, że dwie „końcowe” krawędzie naszych narożników przesuwają się względem siebie. Znalezienie pozycji, w której się połączą, nie jest trudne.

Ale jeśli odległość między żebrami jest znacznie mniejsza niż odległość od narożników do punktu, z którego oglądamy naszą konstrukcję, wówczas oba żebra będą miały dla nas tę samą grubość i pojawi się pomysł, że te dwa żebra są w rzeczywistości kontynuacja siebie. Sytuację tę pokazano na 4.

Nawiasem mówiąc, jeśli jednocześnie spojrzymy na odbicie konstrukcji w lustrze, to nie zobaczymy tam zamkniętego obwodu.

I z wybranego punktu obserwacji widzimy na własne oczy cud, który się wydarzył: istnieje zamknięty łańcuch trzech rogów. Tylko nie zmieniaj punktu obserwacji, żeby ta iluzja się nie zawaliła. Teraz możesz narysować obiekt, który widzisz, lub umieścić obiektyw aparatu w znalezionym punkcie i uzyskać zdjęcie niemożliwego obiektu.

Penrosesowie jako pierwsi zainteresowali się tym zjawiskiem. Wykorzystali możliwości, jakie pojawiają się podczas odwzorowywania trójwymiarowej przestrzeni i trójwymiarowych obiektów na dwuwymiarową płaszczyznę oraz zwrócili uwagę na pewną niepewność konstrukcyjną – otwartą konstrukcję trzech narożników można postrzegać jako zamknięty łańcuch.

Dowód niemożliwości trójkąta Penrose'a

Analizując cechy dwuwymiarowego obrazu trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie, zrozumieliśmy, w jaki sposób cechy tego wyświetlacza prowadzą do niemożliwego trójkąta. Być może kogoś zainteresuje dowód czysto matematyczny.

Niezwykle łatwo jest udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje, gdyż każdy z jego kątów jest prosty, a ich suma wynosi 270 stopni zamiast „położonych” 180 stopni.

Co więcej, nawet jeśli weźmiemy pod uwagę niemożliwy trójkąt sklejony z narożnikami mniejszymi niż 90 stopni, to w tym przypadku możemy udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje.

Widzimy trzy płaskie twarze. Przecinają się parami wzdłuż linii prostych. Płaszczyzny zawierające te ściany są parami ortogonalne, więc przecinają się w jednym punkcie.

Ponadto przez ten punkt muszą przechodzić linie wzajemnego przecięcia płaszczyzn. Dlatego linie proste 1, 2, 3 muszą przecinać się w jednym punkcie.

Ale to nie jest. Dlatego przedstawiona konstrukcja jest niemożliwa.

Sztuka „Niemożliwe”.

Los tej czy innej idei - naukowej, technicznej, politycznej - zależy od wielu okoliczności. I nie tylko od formy, w jakiej ten pomysł zostanie zaprezentowany, w jakim obrazie pojawi się ogółowi społeczeństwa. Niezależnie od tego, czy ucieleśnienie będzie suche i trudne do dostrzeżenia, czy wręcz przeciwnie, manifestacja idei będzie jasna, przyciągając naszą uwagę nawet wbrew naszej woli.

Niemożliwy trójkąt ma szczęśliwy los. W 1961 roku holenderski artysta Moritz Escher ukończył litografię, którą nazwał „Wodospad”. Artysta przeszedł długą, ale szybką drogę od samego pomysłu niemożliwego trójkąta do jego niesamowitego artystycznego ucieleśnienia. Przypomnijmy, że artykuł Penrose'a ukazał się w 1958 roku.

W sercu „Wodospadu” pokazane są dwa niemożliwe trójkąty. Jeden trójkąt jest duży, w jego wnętrzu znajduje się inny trójkąt. Może się wydawać, że przedstawiono trzy identyczne niemożliwe trójkąty. Ale nie o to chodzi, prezentowany projekt jest dość skomplikowany.

Nie dla każdego na pierwszy rzut oka jego absurdalność będzie od razu widoczna, gdyż każde przedstawione połączenie jest możliwe. jak mówią, lokalnie, czyli na niewielkim obszarze rysunku, taki projekt jest wykonalny… Ale ogólnie jest to niemożliwe! Poszczególne jego elementy nie pasują do siebie, nie zgadzają się ze sobą.

Aby to zrozumieć, musimy włożyć pewien wysiłek intelektualny i wizualny.

Wybierzmy się w podróż wzdłuż krawędzi konstrukcji. Ścieżka ta jest niezwykła, ponieważ, jak nam się wydaje, poziom w stosunku do płaszczyzny poziomej pozostaje niezmieniony. Poruszając się tą ścieżką, nie idziemy ani w górę, ani w dół.

I wszystko byłoby dobrze, znajomo, gdybyśmy na końcu ścieżki – czyli w punkcie – nie stwierdzili, że w stosunku do punktu początkowego w jakiś tajemniczy sposób wspięliśmy się na pion!

Aby dojść do tego paradoksalnego wyniku, musimy wybrać tę ścieżkę, a nawet monitorować poziom względem płaszczyzny poziomej… Nie jest to łatwe zadanie. W jej decyzji z pomocą przyszła Escher… woda. Przypomnijmy sobie piosenkę o ruchu ze wspaniałego cyklu wokalnego Franza Schuberta „Piękna Młynarka”:

I najpierw w wyobraźni, a potem pod ręką wspaniałego mistrza, nagie i suche konstrukcje zamieniają się w akwedukty, którymi płyną czyste i szybkie strumienie wody. Ich ruch przykuwa nasz wzrok i teraz wbrew naszej woli pędzimy w dół rzeki, podążając za wszystkimi zakrętami i zakrętami ścieżki, wraz z potokiem rozbijamy się, wpadamy na ostrza młyna wodnego, by ponownie pędzić w dół rzeki. .

Okrążamy tę ścieżkę raz, dwa, trzeci raz... i dopiero wtedy zdajemy sobie sprawę: jadąc w dół i w dół, jakimś fantastycznym sposobem wznosimy się w górę! Początkowe zaskoczenie przeradza się w swego rodzaju intelektualny dyskomfort. Wygląda na to, że staliśmy się ofiarą jakiegoś żartu, obiektem niezrozumianego jeszcze żartu.

I znowu powtarzamy tę drogę dziwnym przewodem, już powoli, ostrożnie, jakby w obawie przed złapaniem w paradoksalny obraz, krytycznie oceniając wszystko, co dzieje się na tej tajemniczej ścieżce.

Próbujemy rozwikłać tajemnicę, która nas zadziwiła, i nie możemy uciec z jej niewoli, dopóki nie odnajdziemy ukrytego źródła, które leży u jego podstawy i wprawia niewyobrażalną trąbę powietrzną w nieustanny ruch.

Artysta szczególnie podkreśla, narzuca nam postrzeganie swoich obrazów jako obrazów rzeczywistych, trójwymiarowych obiektów. Trójwymiarowość podkreślają przedstawienia całkiem realnych wielościanów na wieżach, cegła z najwierniejszym odwzorowaniem każdej cegły w ścianach akweduktu, wznoszące się tarasy z ogrodami w tle. Wszystko ma na celu przekonanie widza o realności tego, co się dzieje. A dzięki sztuce i doskonałej technologii cel ten został osiągnięty.

Kiedy wyrwiemy się z niewoli, w której popada nasza świadomość, zaczniemy porównywać, kontrastować, analizować i odkrywamy, że podstawa, źródło tego obrazu ukryte jest w cechach konstrukcyjnych.

I mamy jeszcze jeden - „fizyczny” dowód na niemożliwość powstania „niemożliwego trójkąta”: gdyby taki trójkąt istniał, to istniałby także „Wodospad” Eschera, który w istocie jest maszyną perpetuum mobile. Ale perpetuum mobile jest niemożliwe, dlatego też „niemożliwy trójkąt” jest również niemożliwy. I być może ten „dowód” jest najbardziej przekonujący.

Co uczyniło Moritza Eschera fenomenem, postacią wyjątkową, nie mającą oczywistych poprzedników w sztuce i nie do naśladowania? To połączenie płaszczyzn i objętości, zwrócenie uwagi na dziwaczne formy mikrokosmosu - żywe i nieożywione, na niezwykłe punkty widzenia na zwykłe rzeczy. Głównym efektem jego kompozycji jest efekt pojawienia się niemożliwych relacji pomiędzy znanymi przedmiotami. Te sytuacje na pierwszy rzut oka mogą zarówno przestraszyć, jak i wywołać uśmiech. Można z radością patrzeć na zabawę, jaką oferuje artysta, ale można też poważnie zanurzyć się w otchłanie dialektyki.

Moritz Escher pokazał, że świat może wcale nie być taki, jak go widzimy i przyzwyczajamy się go postrzegać – wystarczy spojrzeć na niego z innego, nowego punktu widzenia!

Moritza Eschera

Moritz Escher miał więcej szczęścia jako naukowiec niż jako artysta. Jego ryciny i litografie były postrzegane jako klucze do udowadniania twierdzeń lub oryginalnych kontrprzykładów, które zaprzeczały zdrowemu rozsądkowi. W najgorszym przypadku postrzegano je jako doskonałe ilustracje do traktatów naukowych z zakresu krystalografii, teorii grup, psychologii poznawczej czy grafiki komputerowej. Moritz Escher zajmował się zagadnieniami relacji czasoprzestrzennych i ich tożsamości, posługiwał się podstawowymi wzorami mozaik, poddając je przekształceniom. To wielki mistrz złudzeń optycznych. Ryciny Eschera przedstawiają nie świat formuł, ale piękno świata. Ich magazyn intelektualny jest zasadniczo przeciwny nielogicznej twórczości surrealistów.

Holenderski artysta Moritz Cornelius Escher urodził się 17 czerwca 1898 roku w prowincji Holandia. Dom, w którym urodził się Escher, jest obecnie muzeum.

Od 1907 roku Moritz uczył się w szkole średniej stolarstwa i gry na fortepianie. Oceny Moritza ze wszystkich przedmiotów z wyjątkiem rysunku były słabe. Nauczycielka plastyki dostrzegła talent chłopca i nauczyła go wykonywać drzeworyty.

W 1916 roku Escher wykonuje swoją pierwszą pracę graficzną, rycinę na fioletowym linoleum - portret swojego ojca G. A. Eschera. Odwiedza warsztat artysty Gerta Stiegemanna, który posiadał prasę drukarską. Na tej maszynie wydrukowano pierwsze ryciny Eschera.

W latach 1918-1919 Escher uczęszczał do Wyższej Szkoły Technicznej w holenderskim mieście Delft. Otrzymuje odroczenie służby wojskowej w celu kontynuowania nauki, ale ze względu na zły stan zdrowia Moritz nie radził sobie z programem nauczania i został wydalony. W rezultacie nigdy nie otrzymał wyższego wykształcenia. Studiuje w Szkole Architektury i Ozdobnictwa w Haarlemie, gdzie pobiera lekcje rysunku u Samuela Jeserina de Mesquite, który wywarł formacyjny wpływ na życie i twórczość Eschera.

W 1921 roku rodzina Escherów odwiedziła Riwierę i Włochy. Zafascynowany roślinnością i kwiatami klimatu śródziemnomorskiego Moritz wykonał szczegółowe rysunki kaktusów i drzew oliwnych. Naszkicował wiele szkiców krajobrazów górskich, które później stały się podstawą jego twórczości. Później stale wracał do Włoch, które były dla niego źródłem inspiracji.

Escher zaczyna eksperymentować w nowym dla siebie kierunku, nawet wtedy w jego pracach znajdują się odbicia lustrzane, kryształowe figury i kule.

Koniec lat dwudziestych okazał się dla Moritza bardzo owocnym okresem. Jego prace pokazywane były na wielu wystawach w Holandii, a do 1929 roku jego popularność osiągnęła taki poziom, że w ciągu jednego roku odbyło się pięć wystaw indywidualnych w Holandii i Szwajcarii. To właśnie w tym okresie obrazy Eschera po raz pierwszy zaczęto nazywać mechanicznymi i „logicznymi”.

Asher dużo podróżuje. Mieszka we Włoszech i Szwajcarii, Belgii. Studiuje mozaiki mauretańskie, wykonuje litografie, ryciny. Na podstawie szkiców podróżniczych tworzy swój pierwszy obraz przedstawiający niemożliwą rzeczywistość Martwa natura z ulicą.

Pod koniec lat trzydziestych Escher kontynuował eksperymenty z mozaikami i transformacjami. Tworzy mozaikę w postaci dwóch lecących ku sobie ptaków, która stała się podstawą obrazu „Dzień i noc”.

W maju 1940 roku hitlerowcy zajęli Holandię i Belgię, a 17 maja do strefy okupacyjnej trafiła także Bruksela, w której wówczas mieszkał Escher z rodziną. Znajdują dom w Warnie i przeprowadzają się tam w lutym 1941 roku. Do końca swoich dni Escher będzie mieszkał w tym mieście.

W 1946 roku Escher zainteresował się technologią druku wklęsłego. I choć technologia ta była znacznie bardziej skomplikowana od tej stosowanej wcześniej przez Eschera i wymagała więcej czasu na wykonanie zdjęcia, rezultaty były imponujące – cienkie linie i dokładne odwzorowanie cieni. Jedno z najsłynniejszych dzieł druku wklęsłego „Kropla rosy” zostało ukończone w 1948 roku.

W 1950 roku Moritz Escher zyskał popularność jako wykładowca. Następnie w 1950 roku odbyła się jego pierwsza indywidualna wystawa w Stanach Zjednoczonych i zaczęto kupować jego prace. 27 kwietnia 1955 Moritz Escher zostaje pasowany na rycerza i zostaje szlachcicem.

W połowie lat pięćdziesiątych Escher łączy mozaiki z postaciami sięgającymi w nieskończoność.

Na początku lat 60. ukazała się pierwsza książka z twórczością Eschera, Grafiek en Tekeningen, w której sam autor skomentował 76 dzieł. Książka pomogła zyskać zrozumienie wśród matematyków i krystalografów, w tym niektórych w Rosji i Kanadzie.

W sierpniu 1960 Escher wygłosił wykład na temat krystalografii w Cambridge. Matematyczne i krystalograficzne aspekty twórczości Eschera stają się bardzo popularne.

W 1970 roku, po nowej serii operacji, Escher przeprowadził się do nowego domu w Laren, w którym znajdowała się pracownia, ale zły stan zdrowia nie pozwalał mu dużo pracować.

Moritz Escher zmarł w 1971 roku w wieku 73 lat. Escher żył wystarczająco długo, aby zobaczyć „Świat M.C. Eschera” przetłumaczony na język angielski i był z niego bardzo zadowolony.

Na stronach internetowych matematyków i programistów można znaleźć różne niemożliwe obrazy. Naszym zdaniem najbardziej kompletną wersją, jaką widzieliśmy, jest strona Vlada Aleksiejewa

Na tej stronie znajdują się nie tylko znane obrazy, w tym M. Eschera, ale także obrazy animowane, śmieszne rysunki niemożliwych zwierząt, monety, znaczki itp. Ta strona żyje, jest okresowo aktualizowana i uzupełniana niesamowitymi rysunkami.