Ekologia życia. Nauka i odkrycia: Twierdzenie Gödla o niezupełności, jedno z najsłynniejszych twierdzeń logiki matematycznej, ma zarówno szczęście, jak i pecha. Pod tym względem przypomina szczególną teorię względności Einsteina. Z jednej strony prawie każdy coś o nich słyszał. Z innej interpretacji teoria Einsteina „mówi, że wszystko na świecie jest względne”.
Twierdzenie Gödla o niekompletności, jedno z najsłynniejszych twierdzeń logiki matematycznej, przynosi szczęście i pecha jednocześnie. Pod tym względem przypomina szczególną teorię względności Einsteina.
Z jednej strony prawie każdy coś o nich słyszał. Z drugiej strony, w popularnej interpretacji Teoria Einsteina jak wiadomo” mówi, że wszystko na świecie jest względne" A Twierdzenie Gödla o niezupełności(zwanej dalej po prostu TGN), w mniej więcej tym samym, wolnym, ludowym sformułowaniu: „ udowadnia, że istnieją rzeczy niepojęte dla ludzkiego umysłu».
Dlatego niektórzy próbują zaadaptować to jako argument przeciwko przeklinaniu erializm , podczas gdy inni wręcz przeciwnie, udowadniają za jego pomocą,że Boga nie ma . Zabawne jest nie tylko to, że obie strony nie mogą mieć jednocześnie racji, ale także to, że ani jedna, ani druga nie zadają sobie trudu, aby dowiedzieć się, co tak naprawdę stwierdza to twierdzenie.
Więc co? Poniżej postaram się Wam o tym opowiedzieć „na palcach”. Moja prezentacja nie będzie oczywiście rygorystyczna i intuicyjna, ale proszę matematyków, aby nie oceniali mnie surowo. Możliwe, że dla nie-matematyków (do których zresztą i ja) będzie coś nowego i przydatnego w tym, co opisano poniżej.
Logika matematyczna jest rzeczywiście nauką dość złożoną i, co najważniejsze, mało znaną. Wymaga ostrożnych i rygorystycznych manewrów, przy czym ważne jest, aby nie mylić tego, co faktycznie zostało udowodnione, z tym, co „już jasne”. Mam jednak nadzieję, że do zrozumienia poniższego „zarysu dowodu TGN” czytelnikowi będzie potrzebna jedynie wiedza z zakresu matematyki/informatyki ze szkoły średniej, umiejętność logicznego myślenia i 15-20 minut czasu.
Aby nieco uprościć, TGN argumentuje, że w wystarczająco skomplikowanych językach istnieją stwierdzenia, których nie da się udowodnić. Ale w tym zdaniu prawie każde słowo wymaga wyjaśnienia.
Zacznijmy od ustalenia, czym jest dowód. Weźmy szkolne zadanie arytmetyczne. Załóżmy na przykład, że musisz udowodnić poprawność następującego prostego wzoru: „∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)” (przypomnę, że symbol ∀ czyta się „dla każdego” i nazywany jest „kwantyfikatorem uniwersalnym”). Możesz to udowodnić, identycznie przekształcając, powiedzmy, w ten sposób:
∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)
∀xx2−3x+2−2=x2−3x
∀xx2−3x–x2+3x=0
∀x0=0
PRAWDA
Przejście z jednej formuły do drugiej następuje według pewnych dobrze znanych zasad. Przejście z czwartej formuły do piątej nastąpiło, powiedzmy, ponieważ każda liczba jest sobie równa - jest to aksjomat arytmetyki. Zatem cała procedura dowodowa tłumaczy formułę na wartość logiczną PRAWDA. Rezultatem może być również KŁAMSTWO - jeśli odrzucimy jakąś formułę. W tym przypadku udowodnilibyśmy jego zaprzeczenie. Można sobie wyobrazić program (a takie programy faktycznie napisano), który udowadniałby podobne (i bardziej złożone) stwierdzenia bez interwencji człowieka.
Ujmijmy to samo trochę bardziej formalnie. Miejmy zbiór składający się z ciągów znaków jakiegoś alfabetu i istnieją reguły, dzięki którym z tych ciągów możemy wybrać podzbiór S tak zwane stwierdzenia – czyli wyrażenia znaczące gramatycznie, z których każde jest prawdziwe lub fałszywe. Można powiedzieć, że istnieje funkcja P, która przypisuje twierdzeniom z S jedną z dwóch wartości: PRAWDA lub FAŁSZ (to znaczy odwzorowuje je na zbiór boolowski B składający się z dwóch elementów).
Nazwijmy tę parę- zbiór instrukcji S i funkcji P od >S do B - „język wypowiedzi”. Należy zauważyć, że w sensie potocznym pojęcie języka jest nieco szersze. Na przykład rosyjskie wyrażenie „ Chodź tu!„nie jest ani prawdą, ani fałszem, czyli z punktu widzenia logiki matematycznej nie jest stwierdzeniem.
Do tego, co następuje, potrzebujemy koncepcji algorytmu. Nie będę tu podawać formalnej definicji tego zagadnienia – to by nas zaprowadziło dość daleko na manowce. Ograniczę się do nieformalnego: „algorytm” to ciąg jednoznacznych instrukcji („program”), który w skończonej liczbie kroków przekształca dane początkowe w wynik.
To, co jest napisane kursywą, jest zasadniczo ważne - jeśli program zapętli się na jakichś danych początkowych, to nie opisuje algorytmu. Dla uproszczenia i zastosowania się do naszego przypadku czytelnik może przyjąć, że algorytm to program napisany w dowolnym znanym mu języku programowania, który dla dowolnych danych wejściowych z danej klasy ma gwarancję zakończenia swojej pracy i wygenerowania wyniku logicznego.
Zadajmy sobie pytanie: dla każdej funkcji P istnieje „algorytm dowodzący” (lub w skrócie „ dedukcyjny"), równoważny tej funkcji, to znaczy przekształcający każdą instrukcję na dokładnie tę samą wartość logiczną, co ona? To samo pytanie można sformułować krócej: Czy każdą funkcję na zbiorze instrukcji można obliczyć?
Jak już się domyślacie, z ważności TGN wynika, że nie, nie każda funkcja - istnieją funkcje tego typu nieobliczalne. Innymi słowy, Nie każde prawdziwe stwierdzenie można udowodnić.
Bardzo możliwe, że to stwierdzenie wywoła w Tobie wewnętrzny protest. Wynika to z kilku okoliczności. Po pierwsze, gdy uczymy się matematyki w szkole, czasami odnosimy fałszywe wrażenie, że wyrażenia „Twierdzenie X jest prawdziwe” i „Twierdzenie X można udowodnić lub zweryfikować” są niemal całkowicie identyczne.
Ale jeśli się nad tym zastanowić, nie jest to wcale oczywiste. Niektóre twierdzenia można udowodnić w prosty sposób (na przykład poprzez wypróbowanie niewielkiej liczby opcji), inne zaś są bardzo trudne. Przypomnijmy na przykład słynnego Wielkiego Twierdzenie Fermata:
Nie ma naturalnych x,y,z i n>2 takich, że xn+yn=zn,
którego dowód znaleziono dopiero trzy i pół wieku po pierwszym sformułowaniu (i nie jest on wcale elementarny). Z Należy rozróżnić prawdziwość twierdzenia od jego możliwości udowodnienia. Znikąd nie wynika, że nie ma prawdziwych, ale niemożliwych do udowodnienia (i nie do końca weryfikowalnych) twierdzeń.
Drugi intuicyjny argument przeciwko TGN jest bardziej subtelny. Powiedzmy, że mamy jakieś stwierdzenie, którego nie da się udowodnić (w ramach tej dedukcji). Co powstrzymuje nas od przyjęcia tego jako nowego aksjomatu? W ten sposób nieco skomplikujemy nasz system dowodowy, ale nie jest to straszne.
Argument ten byłby całkowicie poprawny, gdyby istniała skończona liczba twierdzeń, których nie da się udowodnić. W praktyce mogą wystąpić następujące zdarzenia: postulując nowy aksjomat, natrafiasz na nowe, nie dające się udowodnić stwierdzenie. Jeśli przyjmiesz to jako kolejny aksjomat, natkniesz się na trzeci. I tak w nieskończoność.
Mówią, że odliczenie pozostanie niepełne. Możemy również wymusić zakończenie algorytmu sprawdzającego w skończonej liczbie kroków z pewnym wynikiem dla dowolnej wypowiedzi języka. Ale jednocześnie zacznie kłamać – prowadząc do prawdy w przypadku błędnych stwierdzeń lub do kłamstw – w imieniu wiernych.
W takich przypadkach mówią, że dedukcja jest sprzeczna. Zatem inne sformułowanie TGN brzmi następująco: „ Istnieją języki zdań, dla których niemożliwy jest całkowicie spójny proces dedukcyjny." - stąd nazwa twierdzenia.
Czasami nazywane „twierdzeniem Gödla” stwierdza, że każda teoria zawiera problemy, których nie można rozwiązać w ramach samej teorii i wymagają jej uogólnienia. W pewnym sensie jest to prawdą, choć sformułowanie to raczej zaciemnia problem niż go wyjaśnia.
Zaznaczę też, że gdybyśmy mówili o znanych funkcjach odwzorowujących na nią zbiór liczb rzeczywistych, to „nieobliczalność” tej funkcji nikogo by nie zdziwiła (tylko nie mylcie „funkcji obliczeniowych” z „liczbami obliczalnymi” ” - to są różne rzeczy).
Kurta Gödla
Każdy uczeń wie, że np. w przypadku funkcji sinx trzeba mieć dużo szczęścia z argumentem, aby proces obliczania dokładnej dziesiętnej reprezentacji wartości tej funkcji zakończył się liczbą skończoną kroków.
Ale najprawdopodobniej obliczysz to za pomocą nieskończonej serii, a to obliczenie nigdy nie doprowadzi do dokładnego wyniku, chociaż może być tak blisko, jak chcesz - po prostu dlatego, że wartość sinusowa większości argumentów jest irracjonalna. TGN po prostu mówi nam, że nawet wśród funkcji, których argumentami są ciągi znaków i których wartością jest zero lub jeden, istnieją również funkcje nieprzeliczalne, chociaż mają zupełnie inną strukturę.
Dla dalszych celów opiszemy „język arytmetyki formalnej”. Rozważmy klasę ciągów tekstowych o skończonej długości składającej się z cyfr arabskich, zmiennych (liter alfabetu łacińskiego) przyjmujących wartości naturalne, spacji, znaków arytmetycznych, równości i nierówności, kwantyfikatorów ∃ („istnieje”) i ∀ („dla dowolnego”) i być może jakieś inne symbole (ich dokładna liczba i skład nie są dla nas istotne).
Oczywiste jest, że nie wszystkie takie linie mają znaczenie (na przykład „12=+∀x>” to nonsens). Podzbiór wyrażeń znaczących z tej klasy (czyli ciągów znaków, które z punktu widzenia zwykłej arytmetyki są prawdziwe lub fałszywe) będzie naszym zbiorem instrukcji.
Przykłady formalnych instrukcji arytmetycznych:
1=1
2×2=5
∃xx>3
∀y∀zy×z>y+ z
itp. Nazwijmy teraz „formułę z wolnym parametrem” (FSP) ciąg znaków, który stanie się instrukcją, jeśli jako ten parametr zostanie podstawiona liczba naturalna. Przykłady FSP (z parametrem x):
x=0
2×2=x
∃yx+y>x
itp. Innymi słowy, FSP są równoważne funkcjom argumentów naturalnych z wartościami logicznymi.
Oznaczmy zbiór wszystkich FSP literą F. Wiadomo, że można go uporządkować (np. najpierw zapisujemy jednoliterowe formuły uporządkowane alfabetycznie, potem dwuliterowe itp.; nie jest to istotne) nam z jakiego alfabetu będzie miało miejsce zamówienie). Zatem dowolnemu FSP odpowiada jego numer k na uporządkowanej liście i będziemy go oznaczać Fk.
Przejdźmy teraz do szkicu dowodu TGN w następującym sformułowaniu:
Dla języka zdań arytmetyki formalnej nie ma całkowicie spójnego systemu dedukcyjnego.
Udowodnimy to przez zaprzeczenie.
Załóżmy więc, że taki system dedukcyjny istnieje. Opiszmy następujący algorytm pomocniczy A, który przypisuje wartość logiczną liczbie naturalnej k w następujący sposób:
1. Znajdź k-tą formułę na liście F.
2. Zastąp liczbę k jako argument.
3. Do powstałego stwierdzenia (wg naszych założeń istnieje) stosujemy nasz algorytm dowodzenia, który tłumaczy je na PRAWDA lub FAŁSZ.
4. Do otrzymanego wyniku zastosuj logiczną negację.
Mówiąc najprościej, algorytm daje wartość TRUE wtedy i tylko wtedy, gdy wynik podstawienia własnego numeru w FSP na naszej liście daje fałszywe stwierdzenie.
Tutaj dochodzimy do jedynego miejsca, w którym poproszę czytelnika, aby uwierzył mi na słowo.
Jest oczywiste, że przy powyższych założeniach dowolny FSP z F można powiązać z algorytmem zawierającym na wejściu liczbę naturalną i wartość logiczną na wyjściu.
Odwrotność jest mniej oczywista:
Lemat: Dowolny algorytm konwertujący liczbę naturalną na wartość logiczną odpowiada pewnemu FSP ze zbioru F.
Dowód tego lematu wymagałby przynajmniej formalnej, a nie intuicyjnej definicji pojęcia algorytmu. Jeśli jednak się nad tym chwilę zastanowić, jest to całkiem prawdopodobne.
Tak naprawdę algorytmy są pisane w językach algorytmicznych, wśród których są tak egzotyczne, jak na przykład Brainfuck, składający się z ośmiu jednoznakowych słów, w których jednak można zaimplementować dowolny algorytm. Byłoby dziwne, gdyby bogatszy język formuł arytmetyki formalnej, który opisaliśmy, okazał się uboższy – chociaż niewątpliwie nie za bardzo nadaje się do zwykłego programowania.
Minąwszy to śliskie miejsce, szybko docieramy do końca.
Zatem powyżej opisaliśmy Algorytm A. Zgodnie z lematem, w który prosiłem, abyście uwierzyli, istnieje równoważny FSP. Ma jakiś numer na liście F - powiedzmy, n. Zadajmy sobie pytanie, czym jest Fn(n)? Niech to będzie PRAWDA. Wówczas zgodnie z konstrukcją algorytmu A (a więc i równoważnej mu funkcji Fn) oznacza to, że wynikiem podstawienia liczby n do funkcji Fn jest FAŁSZ.
Odwrotność sprawdza się w ten sam sposób: z Fn(n)=FAŁSZ wynika, że Fn(n)=PRAWDA. Doszliśmy do sprzeczności, co oznacza, że pierwotne założenie jest błędne. Zatem nie ma kompletnego, spójnego systemu dedukcyjnego dla arytmetyki formalnej. co było do okazania
W tym miejscu wypada przypomnieć Epimenidesa, który, jak wiadomo, oświadczył, że wszyscy Kreteńczycy są kłamcami, sam będąc Kreteńczykiem. W bardziej zwięzłym sformułowaniu swojego stwierdzenia (znanego jako „paradoks kłamcy”) można sformułować następująco: „ kłamię" To właśnie tego rodzaju twierdzenie, które samo w sobie obwieszcza jego fałszywość, wykorzystaliśmy jako dowód.
Podsumowując, chcę zauważyć, że TGN nie twierdzi nic szczególnie zaskakującego. Przecież wszyscy od dawna są przyzwyczajeni do tego, że nie wszystkie liczby można przedstawić jako stosunek dwóch liczb całkowitych (pamiętacie, że to stwierdzenie ma bardzo elegancki dowód, który ma ponad dwa tysiące lat?).I pierwiastki wielomianów o współczynnikach wymiernych nie wszystkie liczby też są . A teraz okazuje się, że nie wszystkie funkcje argumentu naturalnego są obliczalne.
Szkic podanego dowodu dotyczył arytmetyki formalnej, ale łatwo zauważyć, że TGN ma zastosowanie do wielu innych języków zdań. Oczywiście nie wszystkie języki są takie. Na przykład zdefiniujmy język w następujący sposób:
„Każde wyrażenie w języku chińskim jest stwierdzeniem prawdziwym, jeśli jest zawarte w księdze cytatów towarzysza Mao Zedonga, i niepoprawnym, jeśli nie jest zawarte”.
Wtedy odpowiadający mu kompletny i spójny algorytm dowodzenia (można go nazwać „dogmatycznym dedukcjonizmem”) wygląda mniej więcej tak:
„Przeglądaj księgę cytatów towarzysza Mao Zedonga, aż znajdziesz powiedzenie, którego szukasz. Jeśli zostanie znaleziony, to jest to prawda, ale jeśli księga cytatów się skończyła, a stwierdzenie nie zostało znalezione, to jest błędne”.
To, co nas tutaj ratuje, to fakt, że każda książka z cytatami jest oczywiście skończona, więc proces „udowadniania” nieuchronnie się zakończy. Zatem TGN nie ma zastosowania do języka twierdzeń dogmatycznych. Ale mówiliśmy o językach złożonych, prawda? opublikowany
1. Formalne teorie aksjomatyczne i liczby naturalne
2. Arytmetyka formalna i jej własności
3. Twierdzenie Gödla o niezupełności
4. Gödel i jego rola w logice matematycznej XX wieku
Twierdzenie to, z którym już kilkakrotnie się spotkaliśmy, stwierdza, że żadna spójna formalna teoria aksjomatyczna formalizująca arytmetykę liczb naturalnych nie jest (absolutnie) kompletna. W tej części przedstawiono dowód tego twierdzenia w oparciu o idee i metody teorii algorytmów. To po raz kolejny zademonstruje na najwyższym poziomie najbliższy związek między logiką matematyczną a teorią algorytmów - dwiema dyscyplinami matematycznymi, które stanowią podstawę całej współczesnej matematyki. Nasza prezentacja będzie oparta na dowodzie opracowanym przez M. Arbiba.
Po udowodnieniu Twierdzenia 35.7, że istnieje przeliczalny, ale nierozstrzygalny zbiór liczb naturalnych, twierdzono, że w rzeczywistości zawiera ono w sposób dorozumiany twierdzenie Gödla o niekompletności arytmetyki formalnej. Celem tego akapitu jest uzasadnienie tego twierdzenia. Zatem w ramach ogólnej teorii algorytmów, oprócz twierdzeń, które zostały udowodnione w dwóch poprzednich akapitach, zostanie pokazany rozwój teorii algorytmów w kierunku rozwiązywania problemów czysto logicznych. Aby to zrobić, należy najpierw powiązać terminologię problemu logicznego o niekompletności arytmetyki formalnej z terminologią metodologiczną ogólnej teorii algorytmów, której metody rozwiążą ten problem. W tym przypadku stwierdzenie Twierdzenia 35.7 o istnieniu przeliczalnego, ale nierozstrzygalnego zbioru liczb naturalnych będzie podstawową przesłanką dowodu twierdzenia Gödla, które udowodnimy w następującym sformułowaniu: „Każda adekwatna współspójna arytmetyka formalna jest niekompletny.” Następnie wyjaśnimy, co rozumiemy przez arytmetykę formalną, a także zdefiniujemy i wyjaśnimy pojęcia, które biorą udział w powyższym sformułowaniu twierdzenia Gödla. Zacznijmy od formalnych teorii aksjomatycznych.
Formalne teorie aksjomatyczne i liczby naturalne
Pojęcie formalnej teorii aksjomatycznej zostało już wcześniej zdefiniowane. Aby zdefiniować taką teorię T, należy określić alfabet (przeliczalny zbiór symboli); w zbiorze wszystkich wyrazów składających się z liter danego alfabetu należy wybrać podzbiór, którego elementy będą nazywane wzorami (lub poprawnie skonstruowanymi wyrażeniami) danej teorii; w zestawie formuł wybierz te, które będą nazywane aksjomatami teorii; wreszcie należy określić skończoną liczbę relacji między formułami, zwanych regułami wnioskowania. W takim przypadku muszą istnieć skuteczne procedury (algorytmy) pozwalające określić, czy dane słowa (wyrażenia) są formułami (czyli poprawnie skonstruowanymi wyrażeniami), czy te wzory są aksjomatami i wreszcie, czy jeden podany wzór jest otrzymany z szeregu inne podane formuły korzystające z tej reguły wnioskowania. Oznacza to, że zbiór wszystkich formuł jest rozstrzygalny i zbiór wszystkich aksjomatów jest rozstrzygalny. Zatem każdy z tych zbiorów jest przeliczalny.
Pojęcia wyprowadzenia i twierdzenia w formalnej teorii aksjomatycznej podane są w definicji 28.2.
Wszystkie twierdzenia zaprezentowane w tym wykładzie, zgodnie z naszą terminologią, są w rzeczywistości metatwierdzeniami, tj. twierdzenia o właściwościach (formalnych) teorii aksjomatycznych*. Ponieważ jednak nie rozważamy tutaj żadnej konkretnej teorii aksjomatycznej, nie udowadniamy żadnych twierdzeń takiej teorii, tj. Nie będzie tu żadnych twierdzeń poza metatwierdzeniami, wtedy będziemy po prostu nazywać twierdzeniami metatwierdzeniami.
Twierdzenie 37.1. Zbiór wszystkich twierdzeń formalnej teorii aksjomatycznej T jest przeliczalny.
Dowód. Zauważyliśmy już, że zbiór aksjomatów teorii formalnej jest przeliczalny, czyli możemy je skutecznie przenumerować A_1,A_2,A_3,\ldots. Ponieważ wszystkie wzory składają się ze skończonej liczby liter (symboli), wszystkie wyprowadzenia zawierają skończoną liczbę formuł, a każde wyprowadzenie wykorzystuje tylko skończoną liczbę aksjomatów, jasne jest, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje tylko skończona liczba dedukcje posiadające nie więcej niż n formuł (kroków) i wykorzystujące wyłącznie aksjomaty \(A_1,A_2,\ldots,A_n\). Zatem przechodząc od n=1 do n=2, ~ n=3 itd., można skutecznie przenumerować wszystkie twierdzenia danej teorii. Oznacza to, że zbiór twierdzeń jest przeliczalny.
Teraz przejdziemy od dowolnych teorii formalnych do tych, które w taki czy inny sposób zajmują się liczbami naturalnymi. Jeżeli w naszej teorii chcemy mówić o podzbiorze Q zbioru liczb naturalnych, to musimy mieć skuteczny sposób zapisania dla każdej liczby naturalnej n wzoru W_n, co oznacza, że n\in Q. Ponadto, jeśli potrafimy udowodnić, że wzór W_n jest twierdzeniem teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy n\w Q , to powiemy, że teoria T jest półpełna dla Q (lub że T ma półpełny opis Q ). Dokładniej, sformułujemy tę definicję w następujący sposób.
Definicja 37.2. Mówi się, że teoria T jest półpełna dla zbioru liczb naturalnych Q\subseteq\mathbb(N), jeśli istnieje przeliczalny zbiór formuł W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots, takie że.
Definicja 37.3. Mówi się, że teoria T jest zupełna dla Q, jeśli jest półzupełna dla Q. Mamy także wzór \lnot W_n, który jest interpretowany jako n\not w Q i możemy udowodnić, że \lnot W_n jest twierdzeniem teorii T, jeśli i tylko jeśli n\ nie w Q. Innymi słowy, teoria T jest kompletna dla Q, jeśli dla każdego n w T możemy określić, czy należy ona do Q, czy nie. Mówiąc dokładniej, oznacza to, że teorię T nazywa się zupełną dla zbioru liczb naturalnych T, jeśli jest półzupełna dla Q i półzupełna dla jej dopełnienia \overline(Q) .
Twierdzenie 37.4. Jeżeli teoria T jest półkompletna dla zbioru Q, to Q jest przeliczalne.
Dowód. Z definicji półzupełności T dla Q, zbiór Q jest zbiorem liczb tych wzorów z jakiegoś przeliczalnego zbioru \(W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\) wzory będące twierdzeniami teorii T, tj. należy do wielu \operatorname(Th)(T). Zatem Q jest zbiorem liczb wszystkich formuł ze zbioru \operatorname(Th)(T)\cap \(W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\). Każdy z tych przecinających się zbiorów jest przeliczalny: pierwszy – zgodnie z poprzednim Twierdzeniem 37.1, drugi – zgodnie z tym, co zostało powiedziane na początku dowodu. W konsekwencji ich przecięcie, zgodnie z Twierdzeniem 35.5, jest przeliczalne. Ale wtedy zbiór liczb tych formuł, które są zawarte w tym przecięciu, również zostaje ponownie podzielony.
Wniosek 37.5. Jeśli Q jest przeliczalnym, ale nierozstrzygalnym zbiorem liczb naturalnych, wówczas żadna formalna teoria nie może być kompletna dla Q.
Dowód. Jeśli zbiór Q jest przeliczalny, ale nierozstrzygalny, to zgodnie z Twierdzeniem 35.6 jego uzupełnienie \overline(Q) jest nieprzeliczalne. Zatem, zgodnie z Twierdzeniem 37.4, żadna teoria T nie jest półkompletna dla \overline(Q) . Dlatego żadna teoria T nie jest kompletna dla Q.
Z tego wniosku wynika, że nie jest to dalekie od twierdzenia Gödla. W tym celu należy za pomocą jakiejś formalnej teorii T rozwinąć teorię liczb naturalnych i to w taki sposób, aby przynależność liczb do danego zbioru Q mogła być adekwatnie zinterpretowana (tj. liczba n należy do do Q wtedy i tylko wtedy, gdy jakiś skutecznie powiązany wzór teorii T jest twierdzeniem tej teorii). Jest to możliwe tylko wtedy, gdy Q jest przynajmniej przeliczalne.
Arytmetyka formalna i jej własności
Formalna arytmetyka jako formalna teoria aksjomatyczna budowana jest w oparciu o omówiony wcześniej sformalizowany rachunek predykatów. Tutaj zmienne podmiotowe będziemy nazywać numerycznymi, ponieważ zamiast nich będziemy podstawiać liczby naturalne.
Zmienna obiektowa nazywana jest we wzorze wolną, jeśli nie znajduje się pod znakiem kwantyfikatora (ogólności lub istnienia) i jest powiązana w inny sposób. Formuła nazywa się zamkniętą, jeśli wszystkie jej zmienne podmiotowe są połączone, i otwartą, jeśli zawiera zmienne wolne. Domknięcie wzoru F jest wzorem C(F) uzyskanym z F poprzez dodanie przednich kwantyfikatorów ogólności po wszystkich zmiennych, które są wolne w F . Jasne jest, że dla dowolnego F wzór C(F) jest domknięty. Jeżeli F jest domknięte, to C(F)=F.
Funkcję C(F) można obliczyć. Wynika z tego, że klasa formuł zamkniętych jest rozstrzygalna, ponieważ Rem należy wtedy i tylko wtedy, gdy C(F)=F, i istnieje procedura obliczeniowa pozwalająca rozpoznać tę równość.
Pojęcie podstawienia we wzorze jest już nam znane. Jeżeli we wzorze F zamiast symbolu (słowa) X, gdziekolwiek występuje on w F, wstawimy słowo (wzór) H, wówczas otrzymamy nowe słowo (wzór) oznaczone S_X^HF i zwane wynikiem podstawienia słowa H w F zamiast słowa X . Wtedy jest to jasne
\begin(zebrane)S_X^H(\lnot F)\equiv \lnot S_X^HF;\qquad S_X^H(F\do G)\equiv S_X^HF\to S_X^HG;\\ \text(esli) ~ i\ne j,~ \text(to)~ S_(x_i)^N(\forall x_j)(F)\equiv (\forall x_j)S_(x_i)^NF,~ S_(x_i)^N(\ istnieje x_j)(F)\równoważnik (\istnieje x_j)S_(x_i)^NF. \end(zebrane)
Mając do czynienia z liczbami naturalnymi, chcielibyśmy móc je podstawiać we wzorach teorii formalnej (arytmetyki), tj. potrafić mówić o liczbach w języku naszej teorii formalnej. W tym celu w teorii formalnej niezbędne są słowa, które służyłyby za nazwy liczb naturalnych. Takie słowa nazywane są cyframi. Cyfra n jest oznaczona przez n^(\ast) . Wymóg tych nazw (imion) jest całkiem naturalny: różne liczby należy nazywać różnymi nazwami, tj. jeśli m\ne n , to m^(\ast)\ne n^(\ast). (Idea wprowadzenia cyfr polega na oddzieleniu rzeczy i nazwach tych rzeczy.)
Zatem we wzorach arytmetycznych zamiast zmiennych numerycznych będziemy podstawiać x_1,x_2,x_3,\ldots nie same liczby naturalne m,n,k,\ldots , ale ich cyfry (nazwy) m^(\ast),n^(\ast),k^(\ast),\ldots odpowiednio.
Na koniec możemy sformułować ostatni wymóg (aksjomat), który nakładamy na arytmetykę formalną. Nazwijmy to aksjomatem arytmetyki: jeśli zmienna obiektowa jc nie jest połączona w F, to
\text((AA))\colon~ S_(x_i)^(n^(\ast))F\to (\istnieje x_i)(F).
Jeśli wejdziesz za S_(x_i)^(n^(\ast))F oznaczenie F(n^(\ast)), to aksjomat ten przyjmuje postać:
\text((AA))\colon~ F(n^(\ast))\to (\istnieje x_i)(F).
Jest to wymóg wyłącznie naturalny: jeśli formuła F zamieni się w stwierdzenie prawdziwe przy zamianie zmiennej x_i na jakąś liczbę naturalną n^(\ast) , to stwierdzenie (\istnieje x_i)(F) również jest prawdziwe.
Na formalizację arytmetyki nie nakłada się żadnych innych ograniczeń. Nie ma w szczególności znaczenia, jak definiuje się dodawanie i mnożenie liczb naturalnych, jak wprowadza się relację porządku, co skrupulatnie zrobiliśmy konstruując teorię liczb naturalnych w oparciu o system aksjomatów Peano. Nawet przy tych najbardziej ogólnych założeniach dotyczących formalizacji arytmetyki, formalizacja ta będzie zgodna z twierdzeniem Gödla: jeśli będzie spójna, to będzie niekompletna.
Tak więc, po zdefiniowaniu pojęcia arytmetyki formalnej, resztę tego akapitu poświęcimy pojęciom spójności, adekwatności i kompletności tej teorii formalnej, które biorą udział w dokładnym sformułowaniu twierdzenia Gödla.
Zacznijmy od koncepcji spójności. Jak każdą teorię aksjomatyczną, arytmetykę formalną nazywamy spójną, jeśli nie da się udowodnić żadnego twierdzenia i jego zaprzeczenia, tj. jeśli nie ma formuły F takiej, że zarówno \vdash F, jak i \vdash\lnot F .
Załóżmy teraz, że dla jakiegoś wzoru G(x) zawierającego swobodnie jedną zmienną obiektywną x, przyjmuje się, że dla wszystkich liczb naturalnych n=0,1,2,3,\ldots. Nawet jeśli nie da się tego udowodnić w arytmetyce formalnej \vdash (\forall x)(G(x)), możemy oczywiście uznać to stwierdzenie za konsekwencję podanej listy twierdzeń. W konsekwencji, jeśli w teorii uda się udowodnić twierdzenie, to taką formalną arytmetykę należy uznać za sprzeczną.
Definicja 37.6. Arytmetykę formalną nazywamy ω-spójną, jeżeli nie zawiera ona wzoru G(x) z jedną wolną zmienną obiektywną x taką, że twierdzenia obowiązują dla wszystkich liczb naturalnych n \vdash G(n^(\ast)) I \vdash\lnot (\forall x)(G(x)).
Twierdzenie 37.7. Jeśli arytmetyka formalna jest spójna ^, to jest spójna.
Dowód. Rzeczywiście, gdyby było to niespójne, wówczas, jak udowodniono w §27, po definicji 27.1, wszystkie jego wzory byłyby twierdzeniami, łącznie z tymi, które tworzą ω-niespójność arytmetyki formalnej, a ta ostatnia byłaby ω-niespójna.
Definicja 37.8. Nazwijmy n-arny predykat P(x_1,\ldots,x_n) na zbiorze liczb naturalnych N całkowicie reprezentowalny w arytmetyce formalnej, jeśli istnieje wzór F(x_1,\ldots,x_n), którego wolne zmienne podmiotowe to n zmiennych x_1,\ldots,x_n (i tylko one), że:
a) dla każdego zbioru n liczb naturalnych (a_1,\ldots,a_n), dla którego predykat P zamienia się w zdanie prawdziwe P(a_1,\ldots,a_n), zachodzi następujące twierdzenie: \vdash F(a_1^(\ast),\ldots,a_n^(\ast));
b) dla każdego zbioru n liczb naturalnych (a_1,\ldots,a_n), dla którego predykat P zamienia się w zdanie fałszywe P(a_1,\ldots,a_n) twierdzenie zachodzi: \vdash\lnot F(a_1^(\ast),\ldots,a_n^(\ast)).
Zatem całkowita reprezentowalność predykatu w arytmetyce formalnej oznacza, że za pomocą tej teorii formalnej zawsze możemy zdecydować, czy zamieni się on w stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe, gdy zamiast wszystkich jego zmiennych obiektywnych zastąpimy pewne liczby naturalne.
Wyjaśnijmy teraz pojęcie adekwatności arytmetyki formalnej, które jest używane przy formułowaniu twierdzenia Gödla. Chcielibyśmy móc w takiej arytmetyce móc odpowiadać na pytania dotyczące zbiorów przeliczalnych. W Twierdzeniu 37.4 pokazaliśmy, że tylko przeliczalne zbiory liczb mogą mieć półpełny opis w teorii formalnej, tj. istnieje przeliczalny zestaw formuł W_0, W_1, W_2,\ldots, takie że Q=\(n\dwukropek \vdash W_n\). Adekwatność naszej teorii formalnej (arytmetyki) może oznaczać, że jest ona półzupełna dla każdego przeliczalnego zbioru liczb naturalnych, tj. że jest w nim półpełny opis każdego zbioru, który w ogóle taki opis przynajmniej w jakiejś teorii może posiadać.
W Twierdzeniu 37.1 ustaliliśmy, że zbiór wszystkich twierdzeń for. małej teorii jest przeliczalny, tj. wszystkie twierdzenia, a co za tym idzie wnioski (dowody) do nich prowadzące, można skutecznie przenumerować. Weźmy nasz zbiór Q i odpowiadający mu zbiór twierdzeń \(W_0,W_1,W_2,\ldots\). Rozważmy następujący predykat P(x,y)\colon " y jest numerem dowodu twierdzenia W_x ". Jeżeli stwierdzenie P(m,n) jest prawdziwe, to oznacza to, że n jest liczbą konkluzji twierdzenia W_m, co z kolei oznacza, że m\in Q, tj. n jest numerem wyjścia m\in Q . I odwrotnie, biorąc konkretne liczby m i n, możemy skutecznie skonstruować twierdzenie (wzór) W_m i skutecznie skonstruować n-ty wniosek, po czym możemy skutecznie określić, czy skonstruowany wniosek jest konkluzją twierdzenia W_m, tj. skutecznie sprawdzić, czy stwierdzenie P(m,n) jest prawdziwe. Dlatego P(x,y) jest predykatem obliczeniowym, takim że .
Sformułujmy teraz definicję.
Definicja 37.9. Arytmetykę formalną nazywamy adekwatną, jeśli dla każdego przeliczalnego zbioru Q liczb naturalnych istnieje predykat P(x,y), który jest w tej arytmetyce całkowicie reprezentowalny w taki sposób, że Q=\bigl\(x\dwukropek (\istnieje y)(\lambda =1)\bigr\).
Przez kompletność arytmetyki formalnej rozumiemy kompletność absolutną, tj. jeśli dla każdego zamkniętego wzoru F tej teorii albo ona sama, albo jej zaprzeczenie jest twierdzeniem tej teorii: \vdash F lub \vdash\lnot F .
Teraz możemy przejść bezpośrednio do sformułowania i dowodu twierdzenia Gödla.
Twierdzenie Gödla o niezupełności
Twierdzenie stwierdza, co następuje. Żadna ω-spójna i adekwatna arytmetyka formalna nie jest kompletna.
▼Dowód
Zgodnie z Twierdzeniem 35.7 wybieramy zbiór Q liczb naturalnych, który jest przeliczalny, ale nierozstrzygalny. Ponieważ nasza formalna arytmetyka jest adekwatna, istnieje w niej całkowicie reprezentowalny perydykat P(x,y) taki, że
Q= \bigl\(x\dwukropek\, (\istnieje y)\bigl(\lambda =1\bigr)\bigr\).
Całkowita reprezentowalność predykatu P(x,y) w arytmetyce formalnej oznacza, że istnieje wzór F(x,y) tej teorii zawierający tylko dwie swobodne zmienne obiektywne takie, że dla każdej pary liczb naturalnych (a,b) dla który ma twierdzenie o miejscu: \vdash F(a^(\ast),b^(\ast)), i dla każdej pary liczb naturalnych (a, b), dla których \lamda =1, twierdzenie zachodzi: \vdash\lnot F(a^(ast),b^(\ast)).
Zastosujmy kwantyfikator ogólny względem zmiennej y do wzoru F(x,y). Otrzymujemy wzór z jedną wolną zmienną podmiotową x\dwukropek\, G(x)\równoważnik (\istnieje y)(F(x,y)). Pokażmy to
Q= \bigl\(x\dwukropek\, \vdash G(x^(\ast))\bigr\).
Załóżmy, że m\in Q . Wówczas (wg (*)) istnieje liczba naturalna n taka, że stwierdzenie P(m,n) jest prawdziwe. Dlatego twierdzenie zachodzi: \vdash F(m^(\ast),n^(\ast)) Na mocy aksjomatu arytmetyki \text(AA) mamy twierdzenie:
\vdash F(m^(\ast),n^(\ast))\to (\istnieje y)\bigl(F(m^(\ast),y)\bigr).
Z dwóch ostatnich twierdzeń, zgodnie z regułą MR, wnioskujemy:
\vdash (\istnieje y)\bigl(F(m^(\ast),y)\bigr), to jest .
To znaczy, że m\in \bigl\(x\colon \vdash G(x^(\ast))\bigr\). Zatem, Q \subseteq \bigl\(x\colon\vdash G(x^(\ast))\bigr\).
Załóżmy odwrotnie m\in \bigl\(x\colon\vdash G(x^(\ast))\bigr\), to jest \vdash G(m^(\ast)), to jest \vdash (\istnieje y)(F(m^(\ast),y)). Stąd na mocy znanego wyrażenia (zgodnie z prawem De Morgana) kwantyfikatora istnienia poprzez kwantyfikator ogólny wnioskujemy, że
\vdash\lnot (\forall y)\bigl(\lnot F(m^(\ast),y)\bigr).
Ponieważ nasza formalna arytmetyka jest w dodatku współspójna, to ze względu na obecność w niej ostatniego twierdzenia musi istnieć taka liczba naturalna n_0, że wzór ma postać \lnot F(m^(\ast),n^(\ast)_0) nie jest twierdzeniem tej arytmetyki. A jeśli tak, to stwierdzenie P(m,n_0) jest prawdziwe (gdyby było fałszywe, to mielibyśmy twierdzenie \vdash\lnot F(m^(\ast),n^(\ast)_0), Co jest nie tak). Z definicji (*) zbioru Q oznacza to, że m\in Q. Zatem, \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\podseteq Q. Zatem równość (**) została udowodniona.
Zastanówmy się teraz, w jakim związku znajdują się zbiory \overline(Q) (uzupełnienie Q ) i \(x\dwukropek\vdash G(x^(\ast))\). Pozwól mi m\in \(x\dwukropek\vdash\lnot G(x^(\ast))\), to jest \vdash\lnot G(x^(\ast)). Następnie m\in \overline(Q) , ponieważ gdyby m\in Q , to na mocy (**) mielibyśmy \vdash G(m^(\ast)) a nasza formalna arytmetyka byłaby sprzeczna, ale tak nie jest ze względu na jej spójność © (według warunku) i Twierdzenie 37.7. Zatem, \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\subseteq \overline(Q).
Pokażemy, że to ostatnie włączenie jest ścisłe. Przypomnijmy, że wybraliśmy zbiór Q jako przeliczalny, ale nierozstrzygalny. Zatem, zgodnie z Wnioskiem 37.5 z Twierdzenia 37.4, żadna formalna teoria nie może być kompletna dla Q. Równość (**) mówi, że nasza formalna arytmetyka jest półpełna dla Q. Gdyby była równość \overline(Q)= \(x\dwukropek\vdash G(x^(\ast))\), oznaczałoby to, że nasza formalna arytmetyka jest półpełna dla \overline(Q) i dlatego byłaby kompletna dla Q . To drugie jest niemożliwe ze względu na wniosek 37.5 z Twierdzenia_37.4. Stąd, \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\ne \overline(Q).
Więc, \(x\colon\vdash\lnot G(x^(\ast))\)\subset \overline(Q). Dlatego istnieje taka liczba m_0\in \overline(Q), Co m_0\notin \(x\dwukropek\vdash\lnot G(x^(\ast))\), czyli to nieprawda \vdash\lnot G(m_0^(\ast)). Jednocześnie nie jest to prawdą \vdash G(m_0^(\ast)), ponieważ to na mocy (**) oznaczałoby, że m_0\in Q , ale tak nie jest. W rezultacie znaleźliśmy wzór G(m_0^(\ast)) taki, że ani on sam, ani jego zaprzeczenie nie są twierdzeniami naszej arytmetyki formalnej. Oznacza to, że ta formalna arytmetyka nie jest kompletna.
Twierdzenie Gödla zostało całkowicie udowodnione.
Spójrzmy jeszcze raz na oświadczenie \lnot G(m_0^(\ast)). Zgodnie z równością (**) można to interpretować jako m_0\on \overline(Q) i dlatego jest to z konieczności stwierdzenie „prawdziwe”. Niemniej jednak nie jest to twierdzenie naszej arytmetyki formalnej. Jeśli do listy aksjomatów dodamy wzór G(m_0^(\ast)) i rozważymy nową arytmetykę formalną, to sytuacja się nie zmieni: dla nowo uzyskanej arytmetyki formalnej wszystkie przesłanki, które doprowadziły nas do twierdzenia Gödla, są prawdziwe . Oznacza to, że ponownie znajdziemy liczbę m_1 taką, że stwierdzenie \lnot G(m_1^(\ast)) prawda, ale nie jest twierdzeniem nowej arytmetyki formalnej itp.
Gödel i jego rola w logice matematycznej XX wieku
Kurt Gödel urodził się 28 kwietnia 1906 roku w Brünn (obecnie Brno w Czechach). Jest absolwentem Uniwersytetu Wiedeńskiego, gdzie obronił pracę doktorską, a w latach 1933-1938 był adiunktem. Po zajęciu Austrii przez hitlerowskie Niemcy wyemigrował do Stanów Zjednoczonych. W latach 1940–1963 Gödel pracował w Princeton Institute for Advanced Studies (od 1953 jest profesorem tego instytutu). Gödel jest doktorem honoris causa uniwersytetów Yale i Harvardu, członkiem Narodowej Akademii Nauk Stanów Zjednoczonych i Amerykańskiego Towarzystwa Filozoficznego. W 1951 roku Gödel otrzymał najwyższą nagrodę naukową w Stanach Zjednoczonych - Nagrodę Einsteina. W artykule poświęconym temu wydarzeniu inny ważny matematyk naszych czasów, John von Neumann, napisał: "Wkład Kurta Gödla we współczesną logikę jest naprawdę monumentalny. To coś więcej niż tylko pomnik, to kamień milowy oddzielający dwie epoki... Bez żadnej przesady można powiedzieć, że dzieło Gödla radykalnie zmieniło sam przedmiot logiki jako nauki”. Gödel położył podwaliny pod całe działy logiki matematycznej: teorię modeli (1930), logikę konstrukcyjną (1932-1933), arytmetykę formalną (1932-1933), teorię algorytmów i funkcji rekurencyjnych (1934), aksjomatyczną teorię mnogości (1938). Gödel zmarł w Princeton (USA) 14 stycznia 1978 r.
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!
Od dawna interesowało mnie, czym jest rewelacyjne twierdzenie Gödla. I jak to się przydaje w życiu. I w końcu udało mi się to rozgryźć.
Najpopularniejsze sformułowanie twierdzenia brzmi następująco:
„Każdy system aksjomatów matematycznych, zaczynając od pewnego poziomu złożoności, jest albo wewnętrznie sprzeczny, albo niekompletny”.
Przetłumaczyłbym to na ludzki niematematyczny język następująco (aksjomat to początkowe stanowisko teorii, przyjęte w ramach tej teorii jako prawdziwe bez wymogu dowodu i wykorzystywane jako podstawa dowodu pozostałych jej postanowień) . W życiu aksjomat to zasady, którymi kieruje się osoba, społeczeństwo, kierunek naukowy i państwa. Przedstawiciele religii nazywają aksjomaty dogmatami. W rezultacie każda z naszych zasad, każdy system poglądów, począwszy od pewnego poziomu, staje się wewnętrznie sprzeczny lub niekompletny. Aby przekonać się o prawdziwości danego stwierdzenia, trzeba będzie wyjść poza ramy tego systemu przekonań i zbudować nowy. Ale będzie też niedoskonały. Oznacza to, że PROCES POZNANIA JEST NIESKOŃCZONY. Świata nie można w pełni zrozumieć, dopóki nie dotrzemy do pierwotnego źródła.
„...jeśli uznamy zdolność logicznego rozumowania za główną cechę ludzkiego umysłu, a przynajmniej jego główne narzędzie, to twierdzenie Gödla bezpośrednio wskazuje na ograniczone możliwości naszego mózgu. Zgadzam się, że jest to dla człowieka bardzo trudne wychowany w wierze w nieskończoną moc myślenia teza o granicach jego mocy... Wielu ekspertów uważa, że formalno-obliczeniowe, „arystotelesowskie” procesy leżące u podstaw logicznego myślenia stanowią jedynie część ludzkiej świadomości.Inny jej obszar, zasadniczo „nieobliczeniowy”, odpowiada za takie przejawy, jak intuicja, twórcze wglądy i zrozumienie. A jeśli pierwsza połowa umysłu podlega ograniczeniom gödlowskim, to druga jest wolna od takich ram… Fizyk Roger Penrose poszedł jeszcze dalej Zasugerował istnienie pewnych efektów kwantowych o charakterze nieobliczeniowym, które zapewniają realizację twórczych aktów świadomości.Jedną z wielu konsekwencji hipotezy Penrose'a może być w szczególności wniosek o zasadniczej niemożności stworzenia sztucznych inteligencja oparta na nowoczesnych urządzeniach obliczeniowych, nawet jeśli pojawienie się komputerów kwantowych doprowadzi do ogromnego przełomu w dziedzinie technologii komputerowej. Faktem jest, że dowolny komputer może jedynie coraz bardziej szczegółowo modelować pracę formalno-logicznej, „obliczeniowej” aktywności ludzkiej świadomości, ale „nieobliczeniowe” możliwości intelektu są dla niego niedostępne.
Jedną z ważnych konsekwencji twierdzenia Gödla jest wniosek, że nie można myśleć skrajnie. W ramach istniejącej teorii zawsze znajdzie się stwierdzenie, którego nie da się ani udowodnić, ani obalić. Innymi słowy, w przypadku jakiegoś stwierdzenia zawsze znajdzie się para, która je obali.
Następna konkluzja. Dobro i zło to tylko dwie strony tego samego medalu, bez którego nie może istnieć. A wynika to z zasady, że we Wszechświecie istnieje tylko jedno źródło wszystkiego: dobro i zło, miłość i nienawiść, życie i śmierć.
Jakakolwiek deklaracja kompletności systemu jest fałszywa. Nie można polegać na dogmatach, bo prędzej czy później zostaną one obalone.
W tym sensie współczesne religie znajdują się w sytuacji krytycznej: dogmaty Kościoła stawiają opór rozwojowi naszych wyobrażeń o świecie. Próbują wszystko wcisnąć w ramy sztywnych koncepcji. Prowadzi to jednak do tego, że od monoteizmu, od jedynego źródła wszystkich procesów naturalnych, przechodzą do pogaństwa, gdzie istnieją siły dobra i siły zła, gdzieś daleko w niebiosach jest bóg dobra i istnieje diabeł (bóg zła), który od dawna położył łapę na wszystkim, co jest na Ziemi. Takie podejście prowadzi do podziału wszystkich ludzi na przyjaciół i wrogów, na sprawiedliwych i grzeszników, na wierzących i heretyków, na przyjaciół i wrogów.
Oto kolejny krótki tekst, który popularnie odsłania istotę wynikającą z twierdzenia Gödla:
"Wydaje mi się, że to twierdzenie ma ważne znaczenie filozoficzne. Opcje są tylko dwie:
a) Teoria jest niekompletna, tj. w ujęciu teoretycznym możliwe jest sformułowanie pytania, na które z aksjomatów/postulatów teorii nie można wyprowadzić ani pozytywnej, ani negatywnej odpowiedzi. Co więcej, odpowiedzi na wszystkie tego typu pytania można udzielić w ramach bardziej wszechstronnej teorii, w której stara teoria będzie przypadkiem szczególnym. Ale ta nowa teoria będzie miała swoje własne „pytania bez odpowiedzi” i tak dalej w nieskończoność.
b) Kompletne, ale sprzeczne. Można odpowiedzieć na każde pytanie, ale na niektóre pytania można odpowiedzieć jednocześnie pozytywnie i negatywnie.
Teorie naukowe należą do pierwszego typu. Są spójne, ale to oznacza, że nie obejmują wszystkiego. Nie może być żadnej „ostatecznej” teorii naukowej. Każda teoria jest niekompletna i nie opisuje czegoś, nawet jeśli nie wiemy jeszcze co dokładnie. Można jedynie tworzyć coraz bardziej wszechstronne teorie. Dla mnie osobiście jest to powód do optymizmu, bo oznacza, że rozwój nauki nigdy się nie zatrzyma.
„Wszechmogący Bóg” należy do drugiego typu. Bóg Wszechmogący jest odpowiedzią na każde pytanie. A to automatycznie oznacza, że prowadzi to do logicznego absurdu. Paradoksy takie jak „przytłaczający kamień” można wymyślać partiami.
Generalnie wiedza naukowa jest poprawna (spójna), ale nie opisuje wszystkiego w danym momencie. Jednocześnie nic nie stoi na przeszkodzie, aby przesuwać granice znanego w nieskończoność, coraz dalej i prędzej czy później każda niewiadoma staje się znana. Religia twierdzi, że jest pełnym opisem świata „w tej chwili”, ale jednocześnie jest automatycznie błędna (absurdalna)”.
Kiedyś, kiedy dopiero zaczynałem dorosłe życie, zajmowałem się programowaniem. I była taka zasada: jeśli w programie zostanie wprowadzonych wiele poprawek, należy go napisać od nowa. Zasada ta, moim zdaniem, odpowiada twierdzeniu Gödla. Jeśli program staje się bardziej złożony, staje się niespójny. I to nie będzie działać poprawnie.
Kolejny przykład z życia. Żyjemy w czasach, gdy urzędnicy deklarują, że główną zasadą istnienia powinno być prawo. Czyli system prawny. Jednak gdy tylko ustawodawstwo zacznie stawać się bardziej złożone, a tworzenie przepisów zacznie się rozwijać, prawa te zaczynają być ze sobą sprzeczne. To właśnie widzimy teraz. Nigdy nie jest możliwe stworzenie systemu prawnego, który regulowałby wszystkie aspekty życia. Z drugiej strony byłoby to sprawiedliwe dla wszystkich. Ponieważ ograniczenia naszego rozumienia świata zawsze wyjdą na jaw. A prawa ludzkie zaczną w pewnym momencie kolidować z prawami Wszechświata. Wiele rzeczy rozumiemy intuicyjnie. Musimy także intuicyjnie oceniać działania innych ludzi. Wystarczy, że państwo ma konstytucję. I w oparciu o artykuły tej konstytucji regulują stosunki w społeczeństwie. Ale prędzej czy później konstytucja będzie musiała zostać zmieniona.
Ujednolicony egzamin państwowy jest kolejnym przykładem błędnego poglądu na temat ludzkich możliwości. Próbujemy sprawdzić możliwości obliczeniowe mózgu podczas egzaminu. Ale w szkole nie rozwijano już zdolności intuicyjnych. Ale człowiek nie jest biorobotem. Niemożliwe jest stworzenie systemu punktacji, który identyfikowałby wszystkie możliwości tkwiące w człowieku, w jego świadomości, w jego podświadomości i w jego psychice.
Prawie 100 lat temu Gödel poczynił niesamowite postępy w zrozumieniu praw wszechświata. Ale nadal nie byliśmy w stanie z tego skorzystać, uznając to twierdzenie za wysoce wyspecjalizowany problem matematyczny dla wąskiego kręgu ludzi zajmujących się pewnymi abstrakcyjnymi tematami w swoim kręgu. Twierdzenie Gödla, wraz z teorią kwantową i naukami Chrystusa, umożliwia nam wyrwanie się z niewoli fałszywych dogmatów, przezwyciężenie kryzysu, który wciąż trwa w naszym światopoglądzie. A czasu pozostaje coraz mniej.
09wrzesieńKażdy system aksjomatów matematycznych, zaczynając od pewnego poziomu złożoności, jest albo wewnętrznie sprzeczny, albo niekompletny.
W 1900 roku w Paryżu odbyła się Światowa Konferencja Matematyków, na której Davida Gilberta(David Hilbert, 1862–1943) przedstawił w formie tez 23 najważniejsze, jego zdaniem, zadania, jakie stoją przed teoretykami nadchodzącego XX wieku. Numer dwa na jego liście to jeden z tych prostych problemów, których rozwiązanie wydaje się oczywiste, dopóki nie zagłębisz się nieco głębiej. We współczesnym ujęciu brzmiało pytanie: czy matematyka jest samowystarczalna? Drugie zadanie Hilberta sprowadzało się do konieczności ścisłego udowodnienia, że system aksjomatów – podstawowych twierdzeń przyjętych w matematyce za podstawę bez dowodu – jest doskonały i kompletny, to znaczy pozwala matematycznie opisać wszystko, co istnieje. Należało wykazać, że możliwe jest zdefiniowanie takiego systemu aksjomatów, aby po pierwsze były one wzajemnie spójne, a po drugie, można było z nich wyciągnąć wniosek o prawdziwości lub fałszywości dowolnego twierdzenia.
Weźmy przykład ze szkolnej geometrii. W standardowej planimetrii euklidesowej (geometrii na płaszczyźnie) można wykazać ponad wszelką wątpliwość, że prawdziwe jest stwierdzenie „suma kątów w trójkącie wynosi 180°”, a stwierdzenie „suma kątów w trójkącie wynosi 137° °” jest fałszywe. Zasadniczo w geometrii euklidesowej każde stwierdzenie jest albo fałszywe, albo prawdziwe i nie ma trzeciej opcji. A na początku XX wieku matematycy naiwnie wierzyli, że tę samą sytuację należy zaobserwować w każdym logicznie spójnym systemie.
A potem w 1931 roku jakiś wiedeński matematyk w okularach Kurta Gödla- wziął i opublikował krótki artykuł, który po prostu wstrząsnął całym światem tzw. „logiki matematycznej”. Po długich i skomplikowanych wstępach matematycznych i teoretycznych ustalił dosłownie, co następuje. Weźmy dowolne stwierdzenie typu: „Założenie nr 247 w tym systemie aksjomatów jest logicznie nie do udowodnienia” i nazwijmy je „twierdzeniem A”. Zatem Gödel po prostu udowodnił następującą niesamowitą właściwość dowolnego systemu aksjomatów:
„Jeśli można udowodnić twierdzenie A, to można udowodnić twierdzenie nie-A.”
Innymi słowy, jeśli można udowodnić prawdziwość stwierdzenia „założenie 247 jest nie do udowodnienia”, to można również udowodnić prawdziwość stwierdzenia „założenie 247 jest do udowodnienia”. To znaczy, wracając do sformułowania drugiego problemu Hilberta, jeśli system aksjomatów jest kompletny (to znaczy można udowodnić dowolne zawarte w nim stwierdzenie), to jest on sprzeczny.
Jedynym wyjściem z tej sytuacji jest przyjęcie niekompletnego systemu aksjomatów. Oznacza to, że musimy pogodzić się z faktem, że w kontekście dowolnego systemu logicznego nadal będziemy mieli stwierdzenia „typu A”, które są w sposób oczywisty prawdziwe lub fałszywe – a ich prawdziwość możemy oceniać jedynie poza ramami aksjomatyki, które posiadamy przyjęty. Jeśli nie ma takich twierdzeń, to nasze aksjomatyki są sprzeczne i w ich ramach nieuchronnie znajdą się sformułowania, które można zarówno udowodnić, jak i obalić.
Zatem sformułowanie pierwszego, czyli słabego twierdzenia Gödla o niezupełności: „Każdy formalny system aksjomatów zawiera nierozwiązane założenia”. Ale Gödel nie poprzestał na tym, formułując i udowadniając drugie, mocne twierdzenie Gödla o niezupełności: „Logicznej kompletności (lub niekompletności) jakiegokolwiek systemu aksjomatów nie można udowodnić w ramach tego systemu. Aby to udowodnić lub obalić, potrzebne są dodatkowe aksjomaty (wzmocnienie systemu).”
Bezpieczniej byłoby sądzić, że twierdzenia Gödla mają charakter abstrakcyjny i nie dotyczą nas, a jedynie obszarów wzniosłej logiki matematycznej, a tak naprawdę okazało się, że są one bezpośrednio związane ze strukturą ludzkiego mózgu. Pokazał to angielski matematyk i fizyk Roger Penrose (ur. 1931). Twierdzenia Gödla można wykorzystać do udowodnienia, że istnieją zasadnicze różnice między ludzkim mózgiem a komputerem. Znaczenie jego rozumowania jest proste. Komputer działa ściśle logicznie i nie jest w stanie określić, czy zdanie A jest prawdziwe, czy fałszywe, jeśli wykracza poza aksjomatykę, a takie zdania, zgodnie z twierdzeniem Gödla, nieuchronnie istnieją. Osoba, mając do czynienia z tak logicznie niepotwierdzonym i niepodważalnym twierdzeniem A, zawsze jest w stanie określić jego prawdziwość lub fałszywość – na podstawie codziennego doświadczenia. Przynajmniej pod tym względem ludzki mózg jest lepszy od komputera ograniczonego czystymi obwodami logicznymi. Ludzki mózg jest w stanie zrozumieć całą głębię prawdy zawartej w twierdzeniach Gödla, ale mózg komputera nigdy tego nie zrobi. Dlatego ludzki mózg nie jest niczym innym jak komputerem. Potrafi podejmować decyzje i zdaje test Turinga.
Twierdzenia o niezupełności Kurta Gödla były punktem zwrotnym w matematyce XX wieku. A w jego rękopisach, opublikowanych po jego śmierci, zachował się logiczny dowód na istnienie Boga. Podczas ostatnich czytań bożonarodzeniowych interesującą relację na temat tego mało znanego dziedzictwa wygłosił profesor nadzwyczajny Seminarium Teologicznego w Tobolsku, kandydat teologii, ks. Dymitr KIRYANOV. „NS” poprosił o wyjaśnienie głównych idei naukowca.
Twierdzenia Gödla o niezupełności: dziura w matematyce
— Czy istnieje jakiś popularny sposób wyjaśnienia twierdzeń Gödla o niezupełności? Fryzjer goli tylko tych, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam? Czy ten słynny paradoks ma z nimi coś wspólnego?
Główna teza logicznego dowodu na istnienie Boga, wysunięta przez Kurta Gödla: "Bóg istnieje w myślach. Ale istnienie w rzeczywistości to coś więcej niż istnienie tylko w myśli. Dlatego Bóg musi istnieć." Na zdjęciu: autor twierdzenia o niezupełności Kurt Gödel ze swoim przyjacielem, autorem teorii względności Albertem Einsteinem. Priston. Ameryka. 1950
- Tak, oczywiście, że tak. Przed Gödelem istniał problem aksjomatyzacji matematyki i problem takich zdań paradoksalnych, które formalnie można zapisać w dowolnym języku. Na przykład: „To stwierdzenie jest fałszywe”. Jaka jest prawda w tym stwierdzeniu? Jeśli to prawda, to jest fałszywe, jeśli to jest fałszywe, to jest prawdą; Prowadzi to do paradoksu językowego. Gödel studiował arytmetykę i w swoich twierdzeniach wykazał, że jej spójności nie można udowodnić w oparciu o jej oczywiste zasady: aksjomaty dodawania, odejmowania, dzielenia, mnożenia itp. Aby to uzasadnić, potrzebujemy dodatkowych założeń. Opiera się to na najprostszej teorii, ale co możemy powiedzieć o bardziej złożonych (równaniach fizycznych itp.)! Aby uzasadnić jakikolwiek system wnioskowania, zawsze zmuszeni jesteśmy uciekać się do jakiegoś dodatkowego wnioskowania, które nie jest uzasadnione w ramach systemu.
Przede wszystkim wskazuje to na ograniczenia roszczeń ludzkiego umysłu w zakresie poznania rzeczywistości. Oznacza to, że nie możemy powiedzieć, że zbudujemy jakąś wszechstronną teorię wszechświata, która wszystko wyjaśni – taka teoria nie może być naukowa.
— Co matematycy myślą obecnie o twierdzeniach Gödla? Czy nikt nie próbuje im zaprzeczyć lub jakoś je obejść?
„To jakby próbować obalić twierdzenie Pitagorasa”. Twierdzenia mają ścisły dowód logiczny. Jednocześnie podejmuje się próby znalezienia ograniczeń stosowalności twierdzeń Gödla. Jednak debata toczy się głównie wokół filozoficznych implikacji twierdzeń Gödla.
— Jak daleko rozwinął się dowód Gödla na istnienie Boga? Czy to już koniec?
„Zostało to szczegółowo opracowane, chociaż sam naukowiec nie odważył się go opublikować aż do śmierci”. Gödel rozwija ontologiczny (metafizyczny. - „NS”) argument zaproponowany po raz pierwszy przez Anzelma z Canterbury. W skróconej formie argument ten można przedstawić w następujący sposób: „Bóg z definicji jest Tym, od którego nic większego nie można sobie wyobrazić. Bóg istnieje w myśleniu. Ale istnienie w rzeczywistości to coś więcej niż istnienie tylko w myślach. Dlatego Bóg musi istnieć.” Argument Anzelma rozwinęli później René Descartes i Gottfried Wilhelm Leibniz. Zatem zdaniem Kartezjusza myślenie o Najwyższej Istocie Doskonałej, która nie istnieje, oznacza popadnięcie w logiczną sprzeczność. W kontekście tych idei Gödel rozwija swoją wersję dowodu, który mieści się dosłownie na dwóch stronach. Niestety nie da się przedstawić jego argumentacji bez przedstawienia podstaw bardzo złożonej logiki modalnej.
Oczywiście logiczna bezbłędność wniosków Gödla nie zmusza człowieka do wiary pod presją siły dowodu. Nie powinniśmy być naiwni i wierzyć, że każdego rozsądnego człowieka do wiary w Boga uda nam się przekonać za pomocą argumentu ontologicznego lub innego dowodu. Wiara rodzi się, gdy człowiek staje twarzą w twarz z oczywistą obecnością najwyższej transcendentalnej Rzeczywistości Boga. Możemy jednak wymienić przynajmniej jedną osobę, której dowód ontologiczny doprowadził do wiary religijnej – pisarz Clive Staples Lewis, który sam to przyznał.
Odległa przyszłość to odległa przeszłość
— Jak współcześni traktowali Gödla? Czy przyjaźnił się z którymś z wielkich naukowców?
— Asystent Einsteina w Princeton zeznaje, że jedyną osobą, z którą przyjaźnił się w ostatnich latach życia, był Kurt Gödel. Różnili się niemal wszystkim – Einstein był towarzyski i wesoły, natomiast Gödel był niezwykle poważny, całkowicie samotny i nieufny. Miały jednak wspólną cechę: obaj bezpośrednio i szczerze zajęli się głównymi kwestiami nauki i filozofii. Pomimo przyjaźni z Einsteinem Gödel miał swój własny, specyficzny pogląd na religię. Odrzucił ideę Boga jako istoty bezosobowej, jaką był Bóg dla Einsteina. Przy tej okazji Gödel zauważył: „Religia Einsteina jest zbyt abstrakcyjna, podobnie jak filozofia Spinozy i indyjska. Bóg Spinozy to mniej niż osoba; mój Bóg jest czymś więcej niż osobą; ponieważ Bóg może odgrywać rolę osobowości”. Mogą istnieć duchy, które nie mają ciała, ale mogą komunikować się z nami i wpływać na świat.
— Jak Gödel znalazł się w Ameryce? Uciekł przed nazistami?
— Tak, przyjechał do Ameryki w 1940 r. z Niemiec, mimo że hitlerowcy uznali go za Aryjczyka i wielkiego naukowca, zwalniając go ze służby wojskowej. Wraz z żoną Adele przedostał się przez Rosję Koleją Transsyberyjską. Nie pozostawił żadnych wspomnień z tej podróży. Adele pamięta tylko ciągły strach w nocy, że go zatrzymają i zawrócą. Po ośmiu latach mieszkania w Ameryce Gödel został obywatelem USA. Jak wszyscy ubiegający się o obywatelstwo, musiał odpowiedzieć na pytania dotyczące amerykańskiej konstytucji. Jako osoba skrupulatna, przygotowywał się do tego egzaminu bardzo starannie. Na koniec powiedział, że znalazł niespójność w Konstytucji: „Odkryłem logicznie uzasadnioną możliwość, w której Stany Zjednoczone mogą stać się dyktaturą”. Jego przyjaciele uznali, że niezależnie od logicznej wartości argumentacji Gödla, możliwość ta ma charakter czysto hipotetyczny, i przestrzegali przed obszernym poruszaniem tego tematu na egzaminie.
— Czy Gödel i Einstein wykorzystywali swoje pomysły w pracy naukowej?
— W 1949 r. Gödel wyraził swoje idee kosmologiczne w eseju matematycznym, który według Alberta Einsteina stanowił ważny wkład w ogólną teorię względności. Gödel wierzył, że czas – „ten tajemniczy i jednocześnie wewnętrznie sprzeczny byt, który stanowi podstawę świata i naszej własnej egzystencji” – stanie się w końcu największą iluzją. To „kiedyś” przestanie istnieć, a nadejdzie inna forma istnienia, którą można nazwać wiecznością. Ta koncepcja czasu doprowadziła wielkiego logika do nieoczekiwanego wniosku. Napisał: „Jestem przekonany o życiu pozagrobowym, niezależnie od teologii. Jeśli świat został inteligentnie zaprojektowany, musi istnieć życie pozagrobowe.”
- „Czas jest bytem wewnętrznie sprzecznym.” Brzmi dziwnie; czy to ma jakieś fizyczne znaczenie?
— Gödel pokazał, że w ramach równania Einsteina można zbudować model kosmologiczny z czasem zamkniętym, w którym zbiegają się odległa przeszłość i odległa przyszłość. W tym modelu podróże w czasie stają się teoretycznie możliwe. Brzmi to dziwnie, ale da się to wyrazić matematycznie – o to właśnie chodzi. Model ten może, ale nie musi, mieć implikacje eksperymentalne. Jest to konstrukt teoretyczny, który może przydać się w konstruowaniu nowych modeli kosmologicznych – lub może okazać się niepotrzebny. Współczesna fizyka teoretyczna, w szczególności kosmologia kwantowa, ma tak złożoną strukturę matematyczną, że bardzo trudno jest dać jednoznaczne filozoficzne zrozumienie tych struktur. Co więcej, niektórych jego projektów teoretycznych nie da się jak dotąd przetestować eksperymentalnie z tego prostego powodu, że ich weryfikacja wymaga wykrycia cząstek o bardzo wysokiej energii. Pamiętajcie, jak ludzie byli zaniepokojeni uruchomieniem Wielkiego Zderzacza Hadronów: media nieustannie straszyły ludzi, że zbliża się koniec świata. W rzeczywistości przeprowadzono poważny eksperyment naukowy w celu przetestowania modeli kosmologii kwantowej i tak zwanych „teorii wielkiej unifikacji”. Gdyby udało się wykryć tzw. cząstki Higgsa, byłby to kolejny krok w zrozumieniu najwcześniejszych etapów istnienia naszego Wszechświata. Ale chociaż nie ma danych eksperymentalnych, konkurencyjne modele kosmologii kwantowej nadal pozostają po prostu modelami matematycznymi.
Wiara i intuicja
— „...Mój Bóg jest czymś więcej niż osobą; skoro Bóg może odgrywać rolę osoby...” Czy jednak wiara Gödla daleka jest od wyznania prawosławnego?
— Zachowało się bardzo niewiele wypowiedzi Gödla na temat jego wiary, były one zbierane stopniowo. Mimo że Gödel pierwsze szkice własnej wersji argumentacji przygotował już w 1941 r., wypowiadał się na ten temat dopiero w 1970 r., obawiając się ośmieszenia ze strony kolegów. W lutym 1970 roku, przeczuwając zbliżającą się śmierć, pozwolił swojemu asystentowi skopiować wersję swojego dowodu. Po śmierci Gödla w 1978 r. w jego pracach odkryto nieco inną wersję argumentu ontologicznego. Żona Kurta Gödla, Adele, powiedziała dwa dni po śmierci męża, że Gödel „chociaż nie chodził do kościoła, był osobą religijną i w każdą niedzielę rano czytał Biblię w łóżku”.
Kiedy mówimy o naukowcach takich jak Gödel, Einstein czy, powiedzmy, Galileusz czy Newton, należy podkreślić, że nie byli oni ateistami. Widzieli, że za Wszechświatem kryje się Umysł, rodzaj Siły Wyższej. Dla wielu naukowców przekonanie o istnieniu Najwyższego Umysłu było jedną z konsekwencji ich naukowej refleksji, która nie zawsze prowadziła do powstania głębokiego związku religijnego pomiędzy człowiekiem a Bogiem. W odniesieniu do Gödla można powiedzieć, że odczuwał on potrzebę tego połączenia, gdyż podkreślał, że jest teistą i myśli o Bogu jako o osobie. Ale oczywiście jego wiary nie można nazwać ortodoksyjną. Był, że tak powiem, „domowym luteraninem”.
— Czy możesz podać przykłady historyczne: w jaki sposób różni naukowcy doszli do wiary w Boga? Oto genetyk Francis Collins, według swoich wyznań badanie struktury DNA doprowadziło go do wiary w Boga...
— Naturalne poznanie Boga samo w sobie nie jest wystarczające do poznania Boga. Nie wystarczy odkryć Boga studiując przyrodę, ważne jest, aby nauczyć się Go poznawać poprzez Objawienie, które Bóg dał człowiekowi. Dojście do wiary, niezależnie od tego, czy jest naukowcem, czy nie, zawsze opiera się na czymś, co wykracza poza zwykłe argumenty logiczne i naukowe. Francis Collins pisze, że do wiary doszedł w wieku 27 lat po długiej intelektualnej debacie ze sobą i pod wpływem Clive'a Staplesa Lewisa. Dwie osoby znajdują się w tej samej sytuacji historycznej, w tych samych warunkach początkowych: jedna staje się osobą wierzącą, druga – ateistą. Po pierwsze, badanie DNA prowadzi do wiary w istnienie Boga. Inne badania i nie dochodzą do tego wniosku. Dwie osoby patrzą na zdjęcie: jedna uważa, że jest piękna, a druga mówi: „No i takie sobie zdjęcie!” Jeden ma gust i intuicję, a drugi nie. Profesor Prawosławnego Uniwersytetu Humanitarnego św. Tichona Władimir Nikołajewicz Katasonow, doktor filozofii, matematyk z pierwszego wykształcenia, mówi: „Żaden dowód w matematyce nie jest możliwy bez intuicji: matematyk najpierw widzi obraz, a następnie formułuje dowód”.
Kwestia dojścia do wiary jest zawsze kwestią wykraczającą poza logiczne rozumowanie. Jak możesz wyjaśnić, co doprowadziło cię do wiary? Mężczyzna odpowiada: Poszedłem do świątyni, pomyślałem, przeczytałem to i tamto, zobaczyłem harmonię wszechświata; ale najważniejszego, najbardziej wyjątkowego momentu, w którym człowiek nagle dowiaduje się, że spotkał obecność Boga, nie da się wyrazić. To zawsze tajemnica.
— Czy potrafisz wskazać problemy, których współczesna nauka nie jest w stanie rozwiązać?
— W końcu nauka jest przedsiębiorstwem na tyle pewnym siebie, niezależnym i dobrze rozwijającym się, że można się z nią tak ostro wypowiadać. To dobre i bardzo przydatne narzędzie w ludzkich rękach. Od czasów Francisa Bacona wiedza naprawdę stała się siłą, która zmieniła świat. Nauka rozwija się zgodnie ze swoimi wewnętrznymi prawami: naukowiec stara się zrozumieć prawa rządzące wszechświatem i nie ma wątpliwości, że poszukiwania te zakończą się sukcesem. Ale jednocześnie konieczne jest rozpoznanie granic nauki. Nie należy mylić nauki z kwestiami ideologicznymi, które można podnosić w związku z nauką. Kluczowe problemy dzisiaj dotyczą nie tyle metody naukowej, co orientacji na wartości. Nauka przez długi wiek XX była postrzegana przez ludzi jako dobro absolutne, przyczyniające się do postępu ludzkości; i widzimy, że wiek XX stał się najbardziej okrutny pod względem ofiar ludzkich. I tu pojawia się pytanie o wartości postępu naukowego, wiedzy w ogóle. Wartości etyczne nie wynikają z samej nauki. Genialny naukowiec może wynaleźć broń mającą na celu zniszczenie całej ludzkości, a to rodzi pytanie o moralną odpowiedzialność naukowca, na które nauka nie jest w stanie odpowiedzieć. Nauka nie jest w stanie wskazać człowiekowi sensu i celu jego istnienia. Nauka nigdy nie będzie w stanie odpowiedzieć na pytanie, dlaczego tu jesteśmy? Dlaczego Wszechświat istnieje? Pytania te rozwiązuje się na innym poziomie wiedzy, takim jak filozofia i religia.
— Czy oprócz twierdzeń Gödla istnieją inne dowody na to, że metoda naukowa ma swoje ograniczenia? Czy sami naukowcy to przyznają?
— Już na początku XX wieku filozofowie Bergson i Husserl zwracali uwagę na względne znaczenie naukowego poznania przyrody. Obecnie wśród filozofów nauki stało się niemal powszechne przekonanie, że teorie naukowe reprezentują hipotetyczne modele wyjaśniania zjawisk. Jeden z twórców mechaniki kwantowej, Erwin Schrödinger, powiedział, że cząstki elementarne to tylko obrazy, ale bez problemu możemy się bez nich obejść. Zdaniem filozofa i logika Karla Poppera teorie naukowe są jak sieć, przez którą próbujemy złapać świat, a nie fotografie. Teorie naukowe podlegają ciągłemu rozwojowi i zmianom. O granicach metody naukowej mówili twórcy mechaniki kwantowej, tacy jak Pauli, Bohr i Heisenberg. Pauli napisał: „...Fizykę i psychikę można uznać za dodatkowe aspekty tej samej rzeczywistości” – i skupił się na nieredukowalności wyższych poziomów istnienia do niższych. Różne wyjaśnienia obejmują tylko jeden aspekt materii na raz, ale nigdy nie zostanie osiągnięta wszechstronna teoria.
Piękno i harmonia wszechświata zakłada możliwość jego poznania metodami naukowymi. Jednocześnie chrześcijanie zawsze rozumieli niezrozumiałość tajemnicy kryjącej się za tym materialnym wszechświatem. Wszechświat nie ma podstawy w sobie i wskazuje na doskonałe źródło istnienia – Boga.