>

Dodanie wzoru na pierwiastki sześcienne. Powrót do szkoły. Dodanie korzeni

Treść:

Pierwiastki kwadratowe można dodawać i odejmować tylko wtedy, gdy mają one to samo wyrażenie pierwiastkowe, to znaczy można dodawać lub odejmować 2√3 i 4√3, ale nie 2√3 i 2√5. Możesz uprościć wyrażenia radykalne, aby zredukować je do pierwiastków z tymi samymi wyrażeniami radykalnymi (a następnie dodać je lub odjąć).

Kroki

Część 1 Zrozumienie podstaw

  1. 1 (wyrażenie pod znakiem głównym). Aby to zrobić, rozłóż liczbę pierwiastkową na dwa czynniki, z których jeden jest liczbą kwadratową (liczbą, z której możesz wyprowadzić pierwiastek całkowity, na przykład 25 lub 9). Następnie wyodrębnij pierwiastek z liczby kwadratowej i wpisz znalezioną wartość przed znakiem pierwiastka (drugi czynnik pozostanie pod znakiem pierwiastka). Na przykład 6√50 - 2√8 + 5√12. Liczby przed znakiem pierwiastka to czynniki odpowiednich pierwiastków, a liczby pod znakiem pierwiastka to liczby radykalne (wyrażenia). Oto jak rozwiązać ten problem:
    • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Tutaj rozkładasz 50 na czynniki 25 i 2; następnie z 25 wyodrębniasz pierwiastek równy 5 i usuwasz 5 spod korzenia. Następnie pomnóż 5 przez 6 (mnożnik u podstawy) i otrzymaj 30√2.
    • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Tutaj rozkładasz 8 na czynniki 4 i 2; następnie z 4 bierzesz pierwiastek równy 2 i usuwasz 2 spod korzenia. Następnie pomnóż 2 przez 2 (mnożnik u podstawy) i otrzymaj 4√2.
    • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Tutaj rozkładasz 12 na czynniki 4 i 3; następnie z 4 bierzesz pierwiastek równy 2 i usuwasz 2 spod korzenia. Następnie pomnóż 2 przez 5 (mnożnik u podstawy) i otrzymaj 10√3.
  2. 2 Podkreśl korzenie, których radykalne wyrażenia są takie same. W naszym przykładzie uproszczone wyrażenie wygląda następująco: 30√2 - 4√2 + 10√3. Musisz w nim podkreślić pierwszy i drugi termin ( 30√2 I 4√2 ), ponieważ mają tę samą liczbę pierwiastkową 2. Tylko takie pierwiastki można dodawać i odejmować.
  3. 3 Jeśli otrzymasz wyrażenie zawierające dużą liczbę terminów, z których wiele ma te same radykalne wyrażenia, użyj pojedynczego, podwójnego lub potrójnego podkreślenia, aby oznaczyć takie terminy, aby ułatwić rozwiązanie wyrażenia.
  4. 4 W przypadku pierwiastków, których wyrażenia pierwiastkowe są takie same, dodaj lub odejmij czynniki przed znakiem pierwiastka, a wyrażenie pierwiastkowe pozostaw takie samo (nie dodawaj ani nie odejmuj liczb pierwiastkowych!). Chodzi o to, aby pokazać, ile pierwiastków o określonym radykalnym wyrażeniu zawiera się w danym wyrażeniu.
    • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
    • (30 - 4)√2 + 10√3 =
    • 26√2 + 10√3

Część 2 Poćwiczmy na przykładach

  1. 1 Przykład 1: √(45) + 4√5.
    • Uprość √(45). Współczynnik 45: √(45) = √(9 x 5).
    • Wyjmij 3 spod korzenia (√9 = 3): √(45) = 3√5.
    • Teraz dodaj czynniki u pierwiastków: 3√5 + 4√5 = 7√5
  2. 2 Przykład 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
    • Uprość 6√(40). Współczynnik 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
    • Wyjmij 2 spod korzenia (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
    • Pomnóż czynniki przed pierwiastkiem i otrzymaj 12√10.
    • Teraz wyrażenie można zapisać jako 12√10 - 3√(10) + √5. Ponieważ pierwsze dwa wyrazy mają ten sam pierwiastek, możesz odjąć drugi wyraz od pierwszego i pozostawić pierwszy bez zmian.
    • Otrzymasz: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
  3. 3 Przykład 3. 9√5 -2√3 - 4√5. W tym przypadku żadnego z radykalnych wyrażeń nie można rozłożyć na czynniki, więc tego wyrażenia nie można uprościć. Możesz odjąć trzeci wyraz od pierwszego (ponieważ mają te same rodniki) i pozostawić drugi wyraz bez zmian. Otrzymasz: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
  4. 4 Przykład 4. √9 + √4 - 3√2.
    • √9 = √(3 x 3) = 3.
    • √4 = √(2 x 2) = 2.
    • Teraz możesz po prostu dodać 3 + 2, aby otrzymać 5.
    • Ostateczna odpowiedź: 5 - 3√2.
  5. 5 Przykład 5. Rozwiąż wyrażenie zawierające pierwiastki i ułamki. Można dodawać i obliczać tylko ułamki, które mają wspólny (ten sam) mianownik. Podano wyrażenie (√2)/4 + (√2)/2.
    • Znajdź najniższy wspólny mianownik tych ułamków. Jest to liczba, która dzieli się równomiernie przez każdy mianownik. W naszym przykładzie liczba 4 jest podzielna przez 4 i 2.
    • Teraz pomnóż drugi ułamek przez 2/2 (aby sprowadzić to do wspólnego mianownika; pierwszy ułamek został już do niego zredukowany): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
    • Dodaj liczniki ułamków, a mianownik pozostaw taki sam: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .
  • Przed zsumowaniem lub odjęciem pierwiastków pamiętaj o uproszczeniu (jeśli to możliwe) wyrażeń pierwiastkowych.

Ostrzeżenia

  • Nigdy nie dodawaj ani nie odejmuj pierwiastków z różnymi wyrażeniami radykalnymi.
  • Nigdy nie sumuj ani nie odejmuj liczby całkowitej i pierwiastka, np. 3 + (2x) 1/2 .
    • Uwaga: „x” do drugiej potęgi i pierwiastek kwadratowy z „x” to to samo (tzn. x 1/2 = √x).

Wyodrębnienie pierwiastka ćwiartkowego liczby nie jest jedyną operacją, którą można wykonać za pomocą tego zjawiska matematycznego. Podobnie jak zwykłe liczby, pierwiastki kwadratowe dodają i odejmuje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zasady dodawania i odejmowania pierwiastków kwadratowych

Definicja 1

Operacje takie jak dodawanie i odejmowanie pierwiastków kwadratowych są możliwe tylko wtedy, gdy wyrażenie pierwiastkowe jest takie samo.

Przykład 1

Możesz dodawać lub odejmować wyrażenia 2 3 i 6 3, ale nie 5 6 I 9 4. Jeśli można uprościć wyrażenie i sprowadzić je do pierwiastków z tym samym pierwiastkiem, należy uprościć, a następnie dodać lub odjąć.

Działania z korzeniami: podstawy

Przykład 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Algorytm działania:

  1. Uprość radykalne wyrażenie. Aby to zrobić, należy rozłożyć wyrażenie radykalne na 2 czynniki, z których jeden jest liczbą kwadratową (liczba, z której wyodrębniany jest cały pierwiastek kwadratowy, na przykład 25 lub 9).
  2. Następnie musisz wziąć pierwiastek z liczby kwadratowej i wpisz wynikową wartość przed znakiem pierwiastka. Należy pamiętać, że drugi czynnik wpisuje się pod znakiem pierwiastka.
  3. Po procesie upraszczania konieczne jest podkreślenie pierwiastków tymi samymi radykalnymi wyrażeniami - tylko można je dodawać i odejmować.
  4. W przypadku pierwiastków o tych samych radykalnych wyrażeniach należy dodać lub odjąć czynniki występujące przed znakiem pierwiastka. Radykalne wyrażenie pozostaje niezmienione. Nie możesz dodawać ani odejmować liczb pierwiastkowych!

Wskazówka 1

Jeśli masz przykład z dużą liczbą identycznych wyrażeń radykalnych, podkreśl je liniami pojedynczymi, podwójnymi i potrójnymi, aby ułatwić proces obliczeń.

Przykład 3

Spróbujmy rozwiązać ten przykład:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Najpierw musisz rozłożyć 50 na 2 czynniki 25 i 2, następnie wziąć pierwiastek z 25, który jest równy 5, i wyjąć 5 spod korzenia. Następnie musisz pomnożyć 5 przez 6 (współczynnik u podstawy) i uzyskać 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Najpierw musisz rozłożyć 8 na 2 czynniki: 4 i 2. Następnie weź pierwiastek z 4, który jest równy 2, i wyjmij 2 spod korzenia. Następnie musisz pomnożyć 2 przez 2 (współczynnik u podstawy) i uzyskać 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Najpierw musisz rozłożyć 12 na 2 czynniki: 4 i 3. Następnie wyodrębnij pierwiastek z 4, który jest równy 2, i usuń go spod korzenia. Następnie musisz pomnożyć 2 przez 5 (współczynnik u podstawy) i uzyskać 10 3.

Wynik uproszczenia: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

W rezultacie zobaczyliśmy, ile identycznych wyrażeń radykalnych zawartych jest w tym przykładzie. Teraz poćwiczmy na innych przykładach.

Przykład 4

  • Uprośćmy (45). Współczynnik 45: (45) = (9 × 5) ;
  • Wyciągamy 3 spod korzenia (9 = 3): 45 = 3 5;
  • Dodaj czynniki u pierwiastków: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Przykład 5

6 40 - 3 10 + 5:

  • Uprośćmy 6 40. Rozliczamy 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
  • Wyciągamy 2 spod korzenia (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
  • Mnożymy czynniki znajdujące się przed pierwiastkiem: 12 10 ;
  • Wyrażenie zapisujemy w uproszczonej formie: 12 10 - 3 10 + 5 ;
  • Ponieważ pierwsze dwa wyrazy mają te same liczby pierwiastkowe, możemy je odjąć: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Przykład 6

Jak widzimy, uproszczenie liczb pierwiastkowych nie jest możliwe, dlatego w przykładzie szukamy terminów o tych samych liczbach pierwiastkowych, wykonujemy operacje matematyczne (dodawanie, odejmowanie itp.) i zapisujemy wynik:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Porada:

  • Przed dodaniem lub odjęciem należy uprościć (jeśli to możliwe) wyrażenia radykalne.
  • Dodawanie i odejmowanie pierwiastków z różnymi wyrażeniami radykalnymi jest surowo zabronione.
  • Nie należy dodawać ani odejmować liczby całkowitej ani pierwiastka: 3 + (2 x) 1 / 2 .
  • Wykonując operacje na ułamkach, musisz znaleźć liczbę podzielną przez każdy mianownik, następnie sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, następnie dodać liczniki i pozostawić mianowniki bez zmian.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Treść:

W matematyce pierwiastki mogą być kwadratowe, sześcienne lub mieć inny wykładnik (potęgę), który jest zapisywany po lewej stronie nad znakiem pierwiastka. Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się wyrażeniem radykalnym. Dodawanie pierwiastków przypomina dodawanie wyrazów wyrażenia algebraicznego, tzn. wymaga określenia podobnych pierwiastków.

Kroki

Część 1 Oznaczanie korzeni

  1. 1 Oznaczenie korzeni. Wyrażenie pod znakiem pierwiastka (√) oznacza, że ​​z tego wyrażenia należy wydobyć pierwiastek pewnego stopnia.
    • Pierwiastek jest oznaczony znakiem √.
    • Wykładnik (stopień) pierwiastka zapisuje się po lewej stronie nad znakiem pierwiastka. Na przykład pierwiastek sześcienny z 27 zapisuje się jako: 3 √(27)
    • Jeśli brakuje indeksu (stopnia) pierwiastka, wówczas wykładnik uważa się za równy 2, to znaczy jest pierwiastkiem kwadratowym (lub pierwiastkiem drugiego stopnia).
    • Liczbę zapisaną przed znakiem pierwiastka nazywa się mnożnikiem (to znaczy liczbę tę mnoży się przez pierwiastek), na przykład 5√(2)
    • Jeśli przed pierwiastkiem nie ma żadnego czynnika, to jest on równy 1 (pamiętaj, że każda liczba pomnożona przez 1 jest równa sobie).
    • Jeśli po raz pierwszy pracujesz z pierwiastkami, zrób odpowiednie notatki na temat mnożnika i wykładnika pierwiastka, aby uniknąć nieporozumień i lepiej zrozumieć ich cel.
  2. 2 Pamiętaj, które korzenie można złożyć, a które nie. Tak jak nie można dodać różnych terminów wyrażenia, na przykład 2a + 2b ≠ 4ab, tak nie można dodać różnych pierwiastków.
    • Nie można dodawać pierwiastków z różnymi wyrażeniami radykalnymi, na przykład √(2) + √(3) ≠ √(5). Ale możesz dodać liczby pod tym samym pierwiastkiem, na przykład √(2 + 3) = √(5) (pierwiastek kwadratowy z 2 to około 1,414, pierwiastek kwadratowy z 3 to około 1,732, a pierwiastek kwadratowy z 5 wynosi około 2,236).
    • Nie można dodawać pierwiastków o tych samych pierwiastkach, ale o różnych wykładnikach, na przykład √(64) + 3 √(64) (suma ta nie jest równa 5 √(64), ponieważ pierwiastek kwadratowy z 64 wynosi 8, pierwiastek sześcienny z 64 wynosi 4, 8 + 4 = 12, czyli jest znacznie większy niż piąty pierwiastek z 64, czyli w przybliżeniu 2,297).

Część 2 Uproszczenie i dodanie pierwiastków

  1. 1 Zidentyfikuj i pogrupuj podobne korzenie. Podobne korzenie to korzenie, które mają te same wskaźniki i te same radykalne wyrażenia. Rozważmy na przykład wyrażenie:
    2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
    • Najpierw przepisz wyrażenie tak, aby pierwiastki o tym samym indeksie znajdowały się sekwencyjnie.
      2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Następnie przepisz wyrażenie tak, aby pierwiastki o tym samym wykładniku i tym samym radykalnym wyrażeniu znajdowały się sekwencyjnie.
      2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
  2. 2 Uprość korzenie. Aby to zrobić, rozłóż (jeśli to możliwe) wyrażenia radykalne na dwa czynniki, z których jeden jest wyjmowany spod korzenia. W takim przypadku usunięta liczba i współczynnik pierwiastkowy są mnożone.
    • W powyższym przykładzie liczbę 50 rozłóż na czynniki 2*25, a liczbę 32 na 2*16. Z 25 i 16 możesz wyciągnąć pierwiastki kwadratowe (odpowiednio 5 i 4) i usunąć spod pierwiastka 5 i 4, mnożąc je przez współczynniki odpowiednio 2 i 1. Otrzymujesz w ten sposób uproszczone wyrażenie: 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Liczbę 81 można rozłożyć na czynniki 3*27, a z liczby 27 można wyprowadzić pierwiastek sześcienny z 3. Tę liczbę 3 można wyjąć spod pierwiastka. W ten sposób otrzymujesz jeszcze bardziej uproszczone wyrażenie: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
  3. 3 Dodaj czynniki o podobnych pierwiastkach. W naszym przykładzie istnieją podobne pierwiastki kwadratowe z 2 (można je dodać) i podobne pierwiastki kwadratowe z 3 (można je również dodać). Pierwiastek sześcienny z 3 nie ma takich pierwiastków.
    • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
    • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
    • Ostateczne uproszczone wyrażenie: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)
  • Nie ma ogólnie przyjętych zasad dotyczących kolejności zapisywania pierwiastków w wyrażeniu. Dlatego możesz pisać pierwiastki w kolejności rosnącej ich wskaźników i w kolejności rosnącej wyrażeń radykalnych.

Fakt 1.
\(\bullet\) Weźmy liczbę nieujemną \(a\) (czyli \(a\geqslant 0\) ). Następnie (arytmetyka) pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) nazywa się taką liczbę nieujemną \(b\) , po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy liczbę \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tak samo jak )\quad a=b^2\] Z definicji wynika, że \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ograniczenia te są ważnym warunkiem istnienia pierwiastka kwadratowego i należy o nich pamiętać!
Przypomnijmy, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. Oznacza to, że \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ile wynosi \(\sqrt(25)\)? Wiemy, że \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Ponieważ z definicji musimy znaleźć liczbę nieujemną, wówczas \(-5\) nie jest odpowiednie, dlatego \(\sqrt(25)=5\) (ponieważ \(25=5^2\) ).
Znalezienie wartości \(\sqrt a\) nazywa się pierwiastkiem kwadratowym z liczby \(a\) , a liczbę \(a\) nazywa się wyrażeniem radykalnym.
\(\bullet\) Na podstawie definicji wyrażenie \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), itp. nie ma sensu.

Fakt 2.
Do szybkich obliczeń przyda się poznanie tablicy kwadratów liczb naturalnych od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(tablica)\]

Fakt 3.
Jakie operacje można wykonać na pierwiastkach kwadratowych?
\(\pocisk\) Suma lub różnica pierwiastków kwadratowych NIE JEST RÓWNA pierwiastkowi kwadratowemu z sumy lub różnicy \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tak więc, jeśli chcesz obliczyć na przykład \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , to początkowo musisz znaleźć wartości \(\sqrt(25)\) i \(\ sqrt(49)\ ), a następnie złóż je. Stąd, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jeśli przy dodawaniu \(\sqrt a+\sqrt b\) nie można znaleźć wartości \(\sqrt a\) lub \(\sqrt b\) to takie wyrażenie nie jest dalej przekształcane i pozostaje takie jakie jest. Na przykład w sumie \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) możemy znaleźć \(\sqrt(49)\) is \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nie można przekształcić w w każdym razie, dlatego \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Niestety, wyrażenia tego nie da się już bardziej uprościć\(\bullet\) Iloczyn/iloraz pierwiastków kwadratowych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu iloczynu/ilorazu, czyli \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod warunkiem, że obie strony równości mają sens)
Przykład: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Korzystając z tych właściwości, wygodnie jest znaleźć pierwiastki kwadratowe dużych liczb poprzez ich rozkład na czynniki.
Spójrzmy na przykład. Znajdźmy \(\sqrt(44100)\) . Ponieważ \(44100:100=441\) , to \(44100=100\cdot 441\) . Zgodnie z kryterium podzielności liczba \(441\) jest podzielna przez \(9\) (ponieważ suma jej cyfr wynosi 9, a jest podzielna przez 9), zatem \(441:9=49\), to znaczy \(441=9\ cdot 49\) .
W ten sposób otrzymaliśmy: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Spójrzmy na inny przykład: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokażmy, jak wprowadzać liczby pod pierwiastkiem kwadratowym na przykładzie wyrażenia \(5\sqrt2\) (krótka notacja wyrażenia \(5\cdot \sqrt2\)). Ponieważ \(5=\sqrt(25)\) , to \ Pamiętaj też, że np.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Dlaczego? Wyjaśnijmy to na przykładzie 1). Jak już rozumiesz, nie możemy w jakiś sposób przekształcić liczby \(\sqrt2\). Wyobraźmy sobie, że \(\sqrt2\) jest pewną liczbą \(a\) . W związku z tym wyrażenie \(\sqrt2+3\sqrt2\) to nic innego jak \(a+3a\) (jedna liczba \(a\) plus trzy kolejne takie same liczby \(a\)). I wiemy, że to jest równe czterem takim liczbom \(a\) , czyli \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Często mówią „nie można wyodrębnić pierwiastka”, gdy nie można pozbyć się znaku \(\sqrt () \ \) pierwiastka (radykalnego) podczas znajdowania wartości liczby . Na przykład możesz wziąć pierwiastek liczby \(16\) ponieważ \(16=4^2\) , a zatem \(\sqrt(16)=4\) . Nie da się jednak wyodrębnić pierwiastka z liczby \(3\), to znaczy znaleźć \(\sqrt3\), ponieważ nie ma liczby, którą podniesienie do kwadratu dałoby \(3\) .
Takie liczby (lub wyrażenia zawierające takie liczby) są irracjonalne. Na przykład liczby \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) i tak dalej. są irracjonalne.
Wymierne są także liczby \(\pi\) (liczba „pi”, w przybliżeniu równa \(3,14\)), \(e\) (ta liczba nazywana jest liczbą Eulera, jest w przybliżeniu równa \(2,7 \)) itp.
\(\bullet\) Należy pamiętać, że każda liczba będzie albo wymierna, albo niewymierna. I razem wszystkie liczby wymierne i wszystkie niewymierne tworzą zbiór zwany zbiór liczb rzeczywistych. Zbiór ten jest oznaczony literą \(\mathbb(R)\) .
Oznacza to, że wszystkie liczby, które obecnie znamy, nazywane są liczbami rzeczywistymi.

Fakt 5.
\(\bullet\) Moduł liczby rzeczywistej \(a\) jest liczbą nieujemną \(|a|\) równą odległości od punktu \(a\) do \(0\) na prawdziwa linia. Na przykład \(|3|\) i \(|-3|\) są równe 3, ponieważ odległości od punktów \(3\) i \(-3\) do \(0\) to takie same i równe \(3 \) .
\(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą nieujemną, to \(|a|=a\) .
Przykład: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to \(|a|=-a\) .
Przykład: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mówią, że dla liczb ujemnych moduł „zjada” minus, natomiast liczby dodatnie, a także liczba \(0\) moduł pozostawia niezmieniony.
ALE Ta zasada dotyczy tylko liczb. Jeśli pod Twoim znakiem modułu znajduje się niewiadoma \(x\) (lub inna niewiadoma), na przykład \(|x|\) , o której nie wiemy, czy jest dodatnia, zerowa czy ujemna, to pozbądź się modułu nie możemy. W tym przypadku to wyrażenie pozostaje takie samo: \(|x|\) . \(\bullet\) Obowiązują następujące formuły: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(pod warunkiem ) a\geqslant 0\] Bardzo często popełniany jest następujący błąd: mówią, że \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) to jedno i to samo. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy \(a\) jest liczbą dodatnią lub zerem. Ale jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to jest to fałsz. Wystarczy rozważyć ten przykład. Weźmy zamiast \(a\) liczbę \(-1\) . Wtedy \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale wyrażenie \((\sqrt (-1))^2\) w ogóle nie istnieje (w końcu nie można użyć znaku pierwiastka wstawiając liczby ujemne!).
Dlatego zwracamy uwagę na fakt, że \(\sqrt(a^2)\) nie jest równe \((\sqrt a)^2\) ! Przykład 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), ponieważ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Ponieważ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , to \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (wyrażenie \(2n\) oznacza liczbę parzystą)
Oznacza to, że przy uwzględnieniu pierwiastka liczby w pewnym stopniu stopień ten zmniejsza się o połowę.
Przykład:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (zwróć uwagę, że jeśli moduł nie jest dostarczony, okazuje się, że pierwiastek liczby jest równy \(-25\ ) ; ale pamiętamy, że z definicji pierwiastka tak się nie może zdarzyć: wyodrębniając pierwiastek powinniśmy zawsze otrzymać liczbę dodatnią lub zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ponieważ każda liczba do potęgi parzystej jest nieujemna)

Fakt 6.
Jak porównać dwa pierwiastki kwadratowe?
\(\bullet\) W przypadku pierwiastków kwadratowych prawdą jest: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrzykład:
1) porównaj \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Najpierw przekształćmy drugie wyrażenie na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Zatem od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Pomiędzy jakimi liczbami całkowitymi znajduje się \(\sqrt(50)\)?
Ponieważ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porównajmy \(\sqrt 2-1\) i \(0.5\) . Załóżmy, że \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jeden do obu stron))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((podnosząc obie strony do kwadratu))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(wyrównane)\] Widzimy, że otrzymaliśmy błędną nierówność. Dlatego nasze założenie było błędne i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Należy pamiętać, że dodanie określonej liczby do obu stron nierówności nie wpływa na jej znak. Mnożenie/dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią również nie wpływa na jej znak, natomiast mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
Możesz podnieść obie strony równania/nierówności TYLKO JEŚLI obie strony są nieujemne. Na przykład w nierówności z poprzedniego przykładu można podnieść obie strony do kwadratu, w nierówności \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Należy o tym pamiętać \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2\około 1,4\\ &\sqrt 3\około 1,7 \end(wyrównane)\] Znajomość przybliżonego znaczenia tych liczb pomoże Ci przy porównywaniu liczb! \(\bullet\) Aby wydobyć pierwiastek (o ile da się go wydobyć) z jakiejś dużej liczby, której nie ma w tabeli kwadratów, należy najpierw ustalić, pomiędzy którymi „setkami” się ona znajduje, a następnie – pomiędzy którymi „ dziesiątki”, a następnie określ ostatnią cyfrę tej liczby. Pokażmy, jak to działa na przykładzie.
Weźmy \(\sqrt(28224)\) . Wiemy, że \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) itd. Zauważ, że \(28224\) mieści się w przedziale od \(10\,000\) do \(40\,000\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) znajduje się pomiędzy \(100\) a \(200\) .
Ustalmy teraz, pomiędzy którymi „dziesiątkami” mieści się nasza liczba (czyli np. pomiędzy \(120\) a \(130\)). Również z tabeli kwadratów wiemy, że \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., następnie \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Widzimy więc, że \(28224\) mieści się pomiędzy \(160^2\) a \(170^2\) . Dlatego liczba \(\sqrt(28224)\) mieści się w przedziale od \(160\) do \(170\) .
Spróbujmy ustalić ostatnią cyfrę. Przypomnijmy, jakie liczby jednocyfrowe po podniesieniu do kwadratu dają na końcu \(4\)? Są to \(2^2\) i \(8^2\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) zakończy się liczbą 2 lub 8. Sprawdźmy to. Znajdźmy \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Dlatego \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Aby odpowiednio rozwiązać Unified State Exam z matematyki, należy najpierw przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza w liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do Unified State Exam z matematyki jest przedstawiona w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów na każdym poziomie wykształcenia, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. Znalezienie podstawowych wzorów do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego studiowanie teorii matematyki jest tak ważne nie tylko dla osób przystępujących do egzaminu Unified State Exam?

  1. Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego z matematyki jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych z wiedzą o otaczającym go świecie. Wszystko w przyrodzie jest uporządkowane i ma jasną logikę. To właśnie znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
  2. Ponieważ rozwija inteligencję. Studiując materiały referencyjne do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, osoba uczy się myśleć i rozumować logicznie, kompetentnie i jasno formułować myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania i wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

Pierwiastek kwadratowy z liczby x to liczba a, która pomnożona przez samą siebie daje liczbę x: a * a = a^2 = x, √x = a. Podobnie jak w przypadku innych liczb, operacje arytmetyczne polegające na dodawaniu i odejmowaniu można wykonywać za pomocą pierwiastków kwadratowych.

Instrukcje

  • Po pierwsze, dodając pierwiastki kwadratowe, spróbuj je wyodrębnić. Będzie to możliwe, jeśli liczby pod znakiem pierwiastka będą idealnymi kwadratami. Przykładowo niech zostanie podane wyrażenie √4 + √9. Pierwsza liczba 4 to kwadrat liczby 2. Druga liczba 9 to kwadrat liczby 3. Okazuje się zatem, że: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
  • Jeśli pod znakiem pierwiastka nie ma pełnych kwadratów, spróbuj usunąć mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Przykładowo niech zostanie podane wyrażenie √24 + √54. Uwzględnij liczby: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Liczba 24 ma współczynnik 4, który można wyjąć pod pierwiastkiem kwadratowym. Liczba 54 ma współczynnik 9. Okazuje się zatem, że: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . W tym przykładzie w wyniku usunięcia mnożnika spod pierwiastka udało się uprościć podane wyrażenie.
  • Niech suma dwóch pierwiastków kwadratowych będzie mianownikiem ułamka, na przykład A / (√a + √b). I niech twoim zadaniem będzie „pozbyć się irracjonalności w mianowniku”. Następnie możesz zastosować następującą metodę. Pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie √a - √b. Zatem w mianowniku otrzymujemy skrócony wzór na mnożenie: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Analogicznie, jeśli w mianowniku znajduje się różnica między pierwiastkami: √a - √b, to licznik i mianownik ułamka należy pomnożyć przez wyrażenie √a + √b. Na przykład niech ułamek 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
  • Rozważ bardziej złożony przykład pozbycia się irracjonalności w mianowniku. Niech zostanie podany ułamek 12 / (√2 + √3 + √5). Konieczne jest pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez wyrażenie √2 + √3 - √5:
    12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
  • Wreszcie, jeśli potrzebujesz tylko przybliżonej wartości, możesz użyć kalkulatora do obliczenia pierwiastków kwadratowych. Oblicz wartości osobno dla każdej liczby i zapisz je z wymaganą dokładnością (na przykład dwa miejsca po przecinku). A następnie wykonaj wymagane operacje arytmetyczne, tak jak w przypadku zwykłych liczb. Załóżmy na przykład, że musisz znać przybliżoną wartość wyrażenia √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.