Ta część równania to wyrażenie w nawiasach. Aby otworzyć nawiasy, spójrz na znak przed nawiasami. Jeśli występuje znak plus, otwarcie nawiasów w wyrażeniu niczego nie zmieni: wystarczy usunąć nawiasy. Jeśli podczas otwierania nawiasów znajduje się znak minus, należy zmienić wszystkie znaki, które pierwotnie znajdowały się w nawiasach, na przeciwne. Na przykład -(2x-3)=-2x+3.
Mnożenie dwóch nawiasów.
Jeśli równanie zawiera iloczyn dwóch nawiasów, rozwiń nawiasy zgodnie ze standardową zasadą. Każdy wyraz w pierwszym nawiasie jest mnożony przez każdy wyraz w drugim nawiasie. Otrzymane liczby są sumowane. W tym przypadku iloczyn dwóch „plusów” lub dwóch „minusów” nadaje terminowi znak „plus”, a jeśli czynniki mają różne znaki, otrzymuje znak „minus”.
Rozważmy.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Otwierając nawiasy, czasami podnosząc wyrażenie do . Wzory na kwadraty i sześciany należy znać na pamięć i pamiętać.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Wzory do konstruowania wyrażenia większego niż trzy można wykonać za pomocą trójkąta Pascala.
Źródła:
- wzór na rozwinięcie nawiasu
Operacje matematyczne ujęte w nawiasy mogą zawierać zmienne i wyrażenia o różnym stopniu złożoności. Aby pomnożyć takie wyrażenia, będziesz musiał poszukać rozwiązania w formie ogólnej, otwierając nawiasy i upraszczając wynik. Jeśli nawiasy zawierają operacje bez zmiennych, tylko z wartościami liczbowymi, to otwieranie nawiasów nie jest konieczne, ponieważ jeśli mamy komputer, jego użytkownik ma dostęp do bardzo znaczących zasobów obliczeniowych - łatwiej jest z nich skorzystać niż uprościć wyrażenie.
Instrukcje
Jeśli chcesz otrzymać wynik w postaci ogólnej, pomnóż kolejno każdy (lub koniec z ) zawarty w jednym nawiasie przez zawartość wszystkich pozostałych nawiasów. Na przykład niech oryginalne wyrażenie zostanie zapisane w następujący sposób: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Następnie mnożenie sekwencyjne (czyli otwieranie nawiasów) da następujący wynik: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x3.
Uprość wynik, skracając wyrażenia. Przykładowo wyrażenie uzyskane w poprzednim kroku można uprościć w następujący sposób: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x3 + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x3 = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x3 - x∗x3.
Jeśli chcesz pomnożyć wartości liczbowe, bez nieznanych zmiennych, użyj kalkulatora. Wbudowane oprogramowanie
W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych rozwiązywanych przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są one najprostszymi.
Najpierw zdefiniujmy: co to jest równanie liniowe i które nazywa się najprostszym?
Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko do pierwszego stopnia.
Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:
Wszystkie pozostałe równania liniowe sprowadzamy do najprostszych za pomocą algorytmu:
- Rozwiń nawiasy, jeśli występują;
- Przesuń terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
- Podaj podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
- Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$.
Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasem po tych wszystkich zabiegach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:
- Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy okaże się, że $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
- Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy równanie zostało sprowadzone do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że niezależnie od tego, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.
Zobaczmy teraz, jak to wszystko działa na przykładach z życia wziętych.
Przykłady rozwiązywania równań
Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie równanie liniowe oznacza dowolną równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i dotyczy tylko pierwszego stopnia.
Takie konstrukcje rozwiązuje się w przybliżeniu w ten sam sposób:
- Przede wszystkim należy rozwinąć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
- Następnie połącz podobnie
- Na koniec wyizoluj zmienną, tj. przesuń wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w jakich jest ona zawarta – na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.
Następnie z reguły trzeba podać podobne po każdej stronie powstałej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik „x” i otrzymamy ostateczną odpowiedź.
W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni uczniowie szkół średnich mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zazwyczaj błędy popełniane są podczas otwierania nawiasów lub przy obliczaniu „plusów” i „minusów”.
Ponadto zdarza się, że równanie liniowe w ogóle nie ma rozwiązań lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przyjrzymy się tym subtelnościom podczas dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najprostszych zadań.
Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych
Najpierw napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:
- Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
- Izolujemy zmienne, tj. Przenosimy wszystko, co zawiera „X” na jedną stronę, a wszystko bez „X” na drugą.
- Przedstawiamy podobne terminy.
- Wszystko dzielimy przez współczynnik „x”.
Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, są w nim pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.
Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych
Zadanie nr 1
Pierwszy krok polega na otwarciu nawiasów. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o warunkach indywidualnych. Zapiszmy to:
Podobne terminy prezentujemy po lewej i prawej stronie, ale tutaj zostało to już zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Więc otrzymaliśmy odpowiedź.
Zadanie nr 2
W tym zadaniu widzimy nawiasy, więc rozwińmy je:
Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej ten sam projekt, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. oddzielanie zmiennych:
Oto kilka podobnych:
U jakich korzeni to działa? Odpowiedź: dla każdego. Zatem możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.
Zadanie nr 3
Trzecie równanie liniowe jest bardziej interesujące:
\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]
Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, są po prostu poprzedzone różnymi znakami. Podzielmy je:
Wykonujemy drugi znany nam już krok:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Zróbmy matematykę:
Wykonujemy ostatni krok - dzielimy wszystko przez współczynnik „x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych
Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, chciałbym powiedzieć, co następuje:
- Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
- Nawet jeśli są korzenie, może być wśród nich zero - nie ma w tym nic złego.
Zero to taka sama liczba jak pozostałe, nie należy go w żaden sposób dyskryminować ani zakładać, że jeśli wypadnie zero, to znaczy, że zrobiłeś coś złego.
Kolejna funkcja związana jest z otwieraniem nawiasów. Uwaga: jeśli przed nimi znajduje się „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć za pomocą standardowych algorytmów: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.
Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć popełniania głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, gdy robienie takich rzeczy jest oczywiste.
Rozwiązywanie złożonych równań liniowych
Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej złożone i przy wykonywaniu różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Nie powinniśmy się jednak tego bać, gdyż jeśli zgodnie z zamysłem autora rozwiązujemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową z pewnością się zniosą.
Przykład nr 1
Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:
Przyjrzyjmy się teraz prywatności:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Oto kilka podobnych:
Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc napiszemy to w odpowiedzi:
\[\varnic\]
albo nie ma korzeni.
Przykład nr 2
Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:
Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:
Oto kilka podobnych:
Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:
\[\varnic\],
albo nie ma korzeni.
Niuanse rozwiązania
Obydwa równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny przekonaliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: pierwiastków może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele pierwiastków. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, oba po prostu nie mają pierwiastków.
Chciałbym jednak zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi znajduje się znak minus. Rozważ to wyrażenie:
Przed otwarciem musisz pomnożyć wszystko przez „X”. Uwaga: mnoży się każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa terminy - odpowiednio dwa terminy i pomnożone.
I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z punktu widzenia tego, że po nim znajduje się znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy przekształcenia zostaną zakończone, pamiętamy, że przed nawiasem jest znak minus, co oznacza, że wszystko poniżej po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.
To samo robimy z drugim równaniem:
To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie nieumiejętność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności powoduje, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.
Oczywiście nadejdzie dzień, kiedy udoskonalisz te umiejętności do punktu automatyzmu. Nie będziesz już musiał za każdym razem wykonywać tylu przekształceń, wszystko napiszesz w jednej linijce. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.
Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych
To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.
Zadanie nr 1
\[\lewo(7x+1 \prawo)\lewo(3x-1 \prawo)-21((x)^(2))=3\]
Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:
Zadbajmy o prywatność:
Oto kilka podobnych:
Dokończmy ostatni krok:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Oto nasza ostateczna odpowiedź. I mimo że w rozwiązywaniu mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to znosiły się one nawzajem, przez co równanie było liniowe, a nie kwadratowe.
Zadanie nr 2
\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]
Wykonajmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element z pierwszego nawiasu przez każdy element z drugiego. Po przekształceniach powinny powstać w sumie cztery nowe terminy:
Teraz ostrożnie wykonajmy mnożenie w każdym wyrazie:
Przesuńmy terminy z „X” w lewo, a te bez – w prawo:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Oto podobne terminy:
Po raz kolejny otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.
Niuanse rozwiązania
Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: gdy tylko zaczniemy mnożyć nawiasy zawierające więcej niż jeden wyraz, robimy to według następującej zasady: pierwszy wyraz bierzemy z pierwszego i mnożymy przez każdy element z drugi; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element drugiego. W rezultacie będziemy mieli cztery kadencje.
O sumie algebraicznej
W tym ostatnim przykładzie chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 dolarów rozumiemy prostą konstrukcję: odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Tym właśnie różni się suma algebraiczna od zwykłej sumy arytmetycznej.
Gdy tylko podczas wykonywania wszystkich przekształceń, każdego dodawania i mnożenia zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz mieć żadnych problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.
Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie sprawdziliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.
Rozwiązywanie równań z ułamkami
Aby rozwiązać takie zadania, będziemy musieli dodać do naszego algorytmu jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę Ci nasz algorytm:
- Otwórz nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobne.
- Podziel przez stosunek.
Niestety, ten wspaniały algorytm, przy całej swojej skuteczności, okazuje się nie do końca odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. Jak zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek zarówno po lewej, jak i po prawej stronie.
Jak pracować w tym przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, należy dodać do algorytmu jeszcze jeden krok, który można wykonać zarówno przed, jak i po pierwszej akcji, a mianowicie pozbycie się ułamków. Zatem algorytm będzie następujący:
- Pozbądź się ułamków.
- Otwórz nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobne.
- Podziel przez stosunek.
Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? Dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe w swoim mianowniku, tj. Wszędzie mianownik jest po prostu liczbą. Dlatego jeśli pomnożymy obie strony równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.
Przykład nr 1
\[\frac(\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo))(4)=((x)^(2))-1\]
Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Uwaga: wszystko jest mnożone raz przez „cztery”, tj. to, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Zapiszmy:
\[\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo)=\lewo(((x)^(2))-1 \prawo)\cdot 4\]
Teraz rozwińmy:
Wykluczamy zmienną:
Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:
\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przejdźmy do drugiego równania.
Przykład nr 2
\[\frac(\lewo(1-x \prawo)\lewo(1+5x \prawo))(5)+((x)^(2))=1\]
Tutaj wykonujemy te same czynności:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem jest rozwiązany.
Właściwie to wszystko, co chciałem wam dzisiaj powiedzieć.
Kluczowe punkty
Kluczowe ustalenia to:
- Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
- Możliwość otwierania nawiasów.
- Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej zostaną one zredukowane w procesie dalszych przekształceń.
- Istnieją trzy rodzaje pierwiastków w równaniach liniowych, nawet najprostszych: jeden pojedynczy pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem i nie ma żadnych pierwiastków.
Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę i rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka Cię jeszcze wiele ciekawych rzeczy!
Nawiasy rozwijające to rodzaj transformacji wyrażeń. W tej sekcji opiszemy zasady otwierania nawiasów, a także przyjrzymy się najczęstszym przykładom problemów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Co to są nawiasy otwierające?
Nawiasy służą do wskazania kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach numerycznych, dosłownych i zmiennych. Wygodnie jest przejść od wyrażenia z nawiasami do identycznie równego wyrażenia bez nawiasów. Na przykład zastąp wyrażenie 2 · (3 + 4) wyrażeniem w formie 2 3 + 2 4 bez nawiasów. Technika ta nazywa się nawiasami otwierającymi.
Definicja 1
Rozwijanie nawiasów odnosi się do technik usuwania nawiasów i jest zwykle rozważane w odniesieniu do wyrażeń, które mogą zawierać:
- znaki „+” lub „-” przed nawiasami zawierającymi sumy lub różnice;
- iloczyn liczby, litery lub kilku liter i sumy lub różnicy, który jest umieszczony w nawiasach.
Tak przywykliśmy patrzeć na proces otwierania nawiasów w szkolnym programie nauczania. Nikt jednak nie stoi nam na przeszkodzie, aby spojrzeć na tę akcję szerzej. Nawiasem możemy nazwać otwarcie przejścia od wyrażenia zawierającego liczby ujemne w nawiasach do wyrażenia, które nie ma nawiasów. Na przykład możemy przejść od 5 + (- 3) - (- 7) do 5 - 3 + 7. W rzeczywistości jest to również otwarcie nawiasów.
W ten sam sposób możemy zastąpić iloczyn wyrażeń w nawiasach postaci (a + b) · (c + d) sumą a · c + a · d + b · c + b · d. Technika ta również nie przeczy znaczeniu nawiasów otwierających.
Oto kolejny przykład. Możemy założyć, że w wyrażeniach zamiast liczb i zmiennych można używać dowolnych wyrażeń. Na przykład wyrażeniu x 2 · 1 a - x + sin (b) będzie odpowiadać wyrażeniu bez nawiasów w postaci x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Na szczególną uwagę zasługuje jeszcze jedna kwestia, która dotyczy specyfiki zapisywania decyzji podczas otwierania nawiasów. Wyrażenie początkowe możemy zapisać w nawiasach, a wynik uzyskany po otwarciu nawiasów jako równość. Na przykład po rozwinięciu nawiasów zamiast wyrażenia 3 − (5 − 7) otrzymujemy wyrażenie 3 − 5 + 7 . Obydwa wyrażenia możemy zapisać jako równość 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Wykonywanie czynności z uciążliwymi wyrażeniami może wymagać zarejestrowania wyników pośrednich. Wtedy rozwiązanie będzie miało postać łańcucha równości. Na przykład, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 Lub 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Zasady otwierania nawiasów, przykłady
Zacznijmy od zasad otwierania nawiasów.
Dla pojedynczych liczb w nawiasach
Liczby ujemne w nawiasach często występują w wyrażeniach. Na przykład (- 4) i 3 + (- 4) . Liczby dodatnie w nawiasach również mają swoje miejsce.
Sformułujmy regułę otwierania nawiasów zawierających pojedyncze liczby dodatnie. Załóżmy, że a jest dowolną liczbą dodatnią. Wtedy możemy zastąpić (a) a, + (a) + a, - (a) - a. Jeśli zamiast a przyjmiemy konkretną liczbę, to zgodnie z zasadą: liczba (5) zostanie zapisana jako 5 , wyrażenie 3 + (5) bez nawiasów przybierze formę 3 + 5 , ponieważ + (5) zastępuje się przez + 5 , a wyrażenie 3 + (- 5) jest równoważne wyrażeniu 3 − 5 , ponieważ + (− 5) zostaje zastąpiony przez − 5 .
Liczby dodatnie są zwykle zapisywane bez użycia nawiasów, ponieważ nawiasy są w tym przypadku niepotrzebne.
Rozważmy teraz zasadę otwierania nawiasów zawierających pojedynczą liczbę ujemną. + (- a) zastępujemy przez - za, - (- a) zastępuje się + a. Jeśli wyrażenie zaczyna się od liczby ujemnej (-a), który jest zapisany w nawiasach, to nawiasy są pomijane i zamiast tego (-a) pozostaje - za.
Oto kilka przykładów: (- 5) można zapisać jako - 5, (- 3) + 0, 5 staje się - 3 + 0, 5, 4 + (- 3) staje się 4 − 3 , i − (− 4) − (− 3) po otwarciu nawiasów przyjmuje postać 4 + 3, ponieważ − (− 4) i − (− 3) zastępuje się + 4 i + 3 .
Należy rozumieć, że wyrażenia 3 · (− 5) nie można zapisać jako 3 · − 5. Zostanie to omówione w poniższych akapitach.
Zobaczmy, na czym opierają się zasady otwierania nawiasów.
Zgodnie z regułą różnica a − b jest równa a + (− b) . Na podstawie właściwości działań z liczbami możemy stworzyć łańcuch równości (a + (- b)) + b = za + ((- b) + b) = za + 0 = za co będzie sprawiedliwe. Ten łańcuch równości na mocy znaczenia odejmowania dowodzi, że wyrażenie a + (− b) jest różnicą a - b.
Bazując na własnościach liczb przeciwnych i zasadach odejmowania liczb ujemnych, możemy stwierdzić, że − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Istnieją wyrażenia składające się z liczby, znaku minus i kilku par nawiasów. Stosowanie powyższych zasad pozwala na sekwencyjne pozbywanie się nawiasów, przechodząc od nawiasów wewnętrznych do zewnętrznych lub w przeciwnym kierunku. Przykładem takiego wyrażenia może być - (- ((- (5)))) . Otwórzmy nawiasy, przechodząc od wewnątrz na zewnątrz: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Przykład ten można również analizować w odwrotnym kierunku: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Pod A oraz b można rozumieć nie tylko jako liczby, ale także jako dowolne wyrażenia numeryczne lub alfabetyczne ze znakiem „+” na początku, które nie są sumami ani różnicami. We wszystkich tych przypadkach możesz zastosować reguły w taki sam sposób, jak zrobiliśmy to w przypadku pojedynczych liczb w nawiasach.
Na przykład po otwarciu nawiasów wyrażenie − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) przybierze postać 2 · x - x 2 - 1 x - 2 · x · y 2: z . Jak to zrobiliśmy? Wiemy, że − (− 2 x) wynosi + 2 x, a ponieważ to wyrażenie jest pierwsze, to + 2 x można zapisać jako 2 x, − (x 2) = − x 2, + (- 1 x) = - 1 x i − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
W iloczynach dwóch liczb
Zacznijmy od zasady otwierania nawiasów w iloczynie dwóch liczb.
Udawajmy, że A oraz b to dwie liczby dodatnie. W tym przypadku iloczyn dwóch liczb ujemnych - za i − b postaci (− a) · (− b) możemy zastąpić przez (a · b) , a iloczyny dwóch liczb o przeciwnych znakach postaci (− a) · b i a · (− b) można zastąpić (- a b). Mnożenie minusa przez minus daje plus, a mnożenie minusa przez plus, tak jak mnożenie plusa przez minus daje minus.
Poprawność pierwszej części pisanej reguły potwierdza zasada mnożenia liczb ujemnych. Aby potwierdzić drugą część reguły, możemy skorzystać z zasad mnożenia liczb o różnych znakach.
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 1
Rozważmy algorytm otwierania nawiasów w iloczynie dwóch liczb ujemnych - 4 3 5 i - 2, postaci (- 2) · - 4 3 5. Aby to zrobić, zamień oryginalne wyrażenie na 2 · 4 3 5 . Otwórzmy nawiasy i otrzymamy 2 · 4 3 5 .
A jeśli weźmiemy iloraz liczb ujemnych (− 4): (− 2), to zapis po otwarciu nawiasów będzie wyglądał jak 4: 2
Zamiast liczb ujemnych - za oraz - b mogą być dowolnymi wyrażeniami ze znakiem minus na początku, które nie są sumami ani różnicami. Mogą to być na przykład iloczyny, ilorazy, ułamki, potęgi, pierwiastki, logarytmy, funkcje trygonometryczne itp.
Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Zgodnie z regułą możemy dokonać następujących przekształceń: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Wyrażenie (- 3) 2 można przekształcić w wyrażenie (− 3 2) . Następnie możesz rozwinąć nawiasy: - 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Dzielenie liczb różnymi znakami może również wymagać wstępnego rozwinięcia nawiasów: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 i 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Za pomocą reguły można wykonywać mnożenie i dzielenie wyrażeń o różnych znakach. Podajmy dwa przykłady.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
grzech (x) (- x 2) = (- grzech (x) x 2) = - grzech (x) x 2
W iloczynach trzech lub więcej liczb
Przejdźmy do iloczynów i ilorazów, które zawierają większą liczbę liczb. Aby otworzyć nawiasy, będzie tu obowiązywać następująca zasada. Jeśli istnieje parzysta liczba liczb ujemnych, możesz pominąć nawiasy i zastąpić liczby ich przeciwieństwami. Następnie należy ująć wynikowe wyrażenie w nowych nawiasach. Jeśli liczba liczb ujemnych jest nieparzysta, pomiń nawiasy i zastąp liczby ich przeciwieństwami. Następnie powstałe wyrażenie należy umieścić w nowych nawiasach, a przed nim umieścić znak minus.
Przykład 2
Weźmy na przykład wyrażenie 5 · (− 3) · (− 2) , które jest iloczynem trzech liczb. Istnieją dwie liczby ujemne, dlatego możemy zapisać wyrażenie jako (5 · 3 · 2), a następnie na koniec otwórz nawiasy, uzyskując wyrażenie 5 · 3 · 2.
W iloczynie (− 2, 5) · (− 3): (− 2) · 4: (− 1, 25): (− 1) pięć liczb jest ujemnych. zatem (− 2, 5) · (− 3): (− 2) · 4: (− 1, 25): (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Po otwarciu nawiasów otrzymujemy −2,5 3:2 4:1,25:1.
Powyższą zasadę można uzasadnić następująco. Po pierwsze, możemy przepisać takie wyrażenia jako iloczyn, zastępując dzielenie mnożeniem przez liczbę odwrotną. Każdą liczbę ujemną reprezentujemy jako iloczyn liczby mnożącej, a - 1 lub - 1 zastępujemy (- 1).
Korzystając z przemienności mnożenia, zamieniamy czynniki i przenosimy wszystkie czynniki równe − 1 , na początek wyrażenia. Iloczyn liczby parzystej minus jeden jest równy 1, a iloczyn liczby nieparzystej jest równy − 1 , co pozwala nam używać znaku minus.
Gdybyśmy nie skorzystali z reguły, to łańcuch działań otwierających nawiasy w wyrażeniu - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 wyglądałby tak:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Powyższą regułę można zastosować podczas otwierania nawiasów w wyrażeniach reprezentujących iloczyny i ilorazy ze znakiem minus, które nie są sumami ani różnicami. Weźmy na przykład wyrażenie
x 2 · (- x): (- 1 x) · x - 3: 2 .
Można to sprowadzić do wyrażenia bez nawiasów x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Nawiasy rozwijające poprzedzone znakiem +
Rozważmy regułę, którą można zastosować do rozwinięcia nawiasów poprzedzonych znakiem plus, zgodnie z którą „zawartość” tych nawiasów nie jest mnożona ani dzielona przez żadną liczbę ani wyrażenie.
Zgodnie z zasadą nawiasy wraz ze znajdującym się przed nimi znakiem pomija się, zachowując natomiast znaki wszystkich terminów w nawiasach. Jeśli przed pierwszym wyrazem w nawiasie nie ma znaku, należy umieścić znak plus.
Przykład 3
Na przykład podajemy wyrażenie (12 − 3 , 5) − 7 . Pomijając nawiasy, zachowujemy znaki terminów w nawiasach i stawiamy znak plus przed pierwszym wyrazem. Wpis będzie wyglądał następująco (12 - 3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7. W podanym przykładzie nie jest konieczne umieszczanie znaku przed pierwszym wyrazem, ponieważ + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Przykład 4
Spójrzmy na inny przykład. Weźmy wyrażenie x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x i wykonajmy za jego pomocą działania x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Oto kolejny przykład rozwijania nawiasów:
Przykład 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
W jaki sposób rozwijane są nawiasy poprzedzone znakiem minus?
Rozważmy przypadki, w których przed nawiasami znajduje się znak minus i które nie są mnożone (ani dzielone) przez żadną liczbę lub wyrażenie. Zgodnie z zasadą otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem „-”, nawiasy ze znakiem „-” są pomijane, a znaki wszystkich terminów znajdujących się w nawiasach są odwrócone.
Przykład 6
Np:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Wyrażenia ze zmiennymi można konwertować przy użyciu tej samej zasady:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
otrzymujemy x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Nawiasy otwierające podczas mnożenia liczby przez nawias, wyrażenia przez nawias
Tutaj przyjrzymy się przypadkom, w których trzeba rozwinąć nawiasy, które są mnożone lub dzielone przez jakąś liczbę lub wyrażenie. Wzory postaci (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) lub b · (a 1 ± za 2 ± … ± a n) = (b · za 1 ± b · za 2 ± … ± b · a n), Gdzie za 1 , za 2 , … , za n oraz b to niektóre liczby lub wyrażenia.
Przykład 7
Na przykład rozwińmy nawiasy w wyrażeniu (3 - 7) 2. Zgodnie z regułą możemy przeprowadzić następujące przekształcenia: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 – 7 · 2) . Otrzymujemy 3 · 2 - 7 · 2 .
Otwierając nawiasy w wyrażeniu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, otrzymujemy 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Mnożenie nawiasów przez nawiasy
Rozważmy iloczyn dwóch nawiasów postaci (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Pomoże nam to uzyskać regułę otwierania nawiasów podczas mnożenia nawias po nawiasie.
Aby rozwiązać podany przykład, oznaczamy wyrażenie (b 1 + b 2) jak b. Dzięki temu będziemy mogli zastosować regułę mnożenia nawiasu przez wyrażenie. Otrzymujemy (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Wykonując odwrotną wymianę B przez (b 1 + b 2), ponownie zastosuj zasadę mnożenia wyrażenia przez nawias: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (za 1 b 1 + za 1 b 2) + (za 2 b 1 + za 2 b 2) = = za 1 b 1 + za 1 b 2 + za 2 b 1 + za 2 b 2
Dzięki szeregowi prostych technik możemy otrzymać sumę iloczynów każdego wyrazu z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu. Regułę można rozszerzyć na dowolną liczbę terminów znajdujących się w nawiasach.
Sformułujmy zasady mnożenia nawiasów przez nawiasy: aby pomnożyć razem dwie sumy, należy pomnożyć każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy i dodać wyniki.
Formuła będzie wyglądać następująco:
(za 1 + za 2 + . . . + za m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = za 1 b 1 + za 1 b 2 + . . . + za 1 b n + + za 2 b 1 + za 2 b 2 + . . . + za 2 b n + + . . . + + za m b 1 + za m b 1 + . . . a m b n
Rozwińmy nawiasy w wyrażeniu (1 + x) · (x 2 + x + 6) Jest to iloczyn dwóch sum. Zapiszmy rozwiązanie: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Warto osobno wspomnieć o przypadkach, w których obok znaków plus znajduje się znak minus w nawiasie. Weźmy na przykład wyrażenie (1 - x) · (3 · x · y - 2 · x · y 3) .
Najpierw przedstawmy wyrażenia w nawiasach jako sumy: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Teraz możemy zastosować regułę: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Otwórzmy nawiasy: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Rozwijanie nawiasów w iloczynach wielu nawiasów i wyrażeń
Jeśli w wyrażeniu znajdują się trzy lub więcej wyrażeń w nawiasach, nawiasy należy otwierać sekwencyjnie. Transformację należy rozpocząć od umieszczenia dwóch pierwszych czynników w nawiasach. W obrębie tych nawiasów możemy przeprowadzić przekształcenia według zasad omówionych powyżej. Na przykład nawiasy w wyrażeniu (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Wyrażenie zawiera trzy czynniki jednocześnie (2 + 4) , 3 i (5 + 7 8) . Będziemy otwierać nawiasy sekwencyjnie. Ujmijmy pierwsze dwa czynniki w inny nawias, który dla przejrzystości oznaczymy kolorem czerwonym: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Zgodnie z zasadą mnożenia nawiasu przez liczbę możemy wykonać następujące akcje: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Pomnóż nawias przez nawias: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Wspornik w naturze
Stopnie, których podstawą są niektóre wyrażenia zapisane w nawiasach, z wykładnikami naturalnymi, można uznać za iloczyn kilku nawiasów. Ponadto, zgodnie z zasadami z dwóch poprzednich akapitów, można je zapisać bez tych nawiasów.
Rozważ proces przekształcania wyrażenia (a + b + c) 2 . Można to zapisać jako iloczyn dwóch nawiasów (a + b + c) · (a + b + c). Pomnóżmy nawias przez nawias i otrzymamy a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Spójrzmy na inny przykład:
Przykład 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Dzielenie nawiasów przez liczbę, a nawiasów przez nawiasy
Dzielenie nawiasu przez liczbę wymaga podzielenia wszystkich wyrazów zawartych w nawiasie przez tę liczbę. Na przykład (x 2 - x): 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Dzielenie można najpierw zastąpić mnożeniem, po czym można zastosować odpowiednią regułę otwierania nawiasów w iloczynu. Ta sama zasada obowiązuje przy dzieleniu nawiasu przez nawias.
Na przykład musimy otworzyć nawiasy w wyrażeniu (x + 2): 2 3 . Aby to zrobić, najpierw zamień dzielenie na pomnożenie przez liczbę odwrotną (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Pomnóż nawias przez liczbę (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Oto kolejny przykład dzielenia przez nawiasy:
Przykład 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Zamieńmy dzielenie na mnożenie: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Wykonajmy mnożenie: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Kolejność otwierania nawiasów
Rozważmy teraz kolejność stosowania reguł omówionych powyżej w wyrażeniach ogólnych, tj. w wyrażeniach zawierających sumy z różnicami, iloczyny z ilorazami, nawiasy w stopniu naturalnym.
Procedura:
- pierwszym krokiem jest podniesienie nawiasów do naturalnej potęgi;
- w drugim etapie następuje otwarcie nawiasów w dziełach i ilorazach;
- Ostatnim krokiem jest otwarcie nawiasów w sumach i różnicach.
Rozważmy kolejność działań na przykładzie wyrażenia (− 5) + 3 · (− 2): (− 4) − 6 · (− 7) . Przekształćmy wyrażenia 3 · (− 2): (− 4) i 6 · (− 7) , które powinny przyjąć postać (3 2:4) i (- 6 · 7) . Podstawiając otrzymane wyniki do pierwotnego wyrażenia otrzymujemy: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Otwórz nawiasy: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
W przypadku wyrażeń zawierających nawiasy w nawiasach wygodnie jest przeprowadzać przekształcenia, pracując od środka na zewnątrz.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
„Nawiasy otwierające” - Podręcznik matematyki, klasa 6 (Vilenkin)
Krótki opis:
W tej sekcji dowiesz się, jak rozwijać nawiasy w przykładach. Po co to jest? Wszystko ma na celu to samo, co wcześniej - aby coraz łatwiej było Ci liczyć, popełniać mniej błędów, a najlepiej (marzenie Twojego nauczyciela matematyki) aby wszystko rozwiązać bez błędów.
Już wiesz, że nawiasy umieszcza się w zapisie matematycznym, jeśli dwa znaki matematyczne pojawiają się w rzędzie, jeśli chcemy pokazać kombinację liczb, ich przegrupowanie. Rozszerzanie nawiasów oznacza pozbycie się niepotrzebnych znaków. Na przykład: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Czy pamiętasz rozdzielność mnożenia względem dodawania? Rzeczywiście, w tym przykładzie pozbyliśmy się również nawiasów, aby uprościć obliczenia. Nazwaną właściwość mnożenia można również zastosować do czterech, trzech, pięciu lub większej liczby terminów. Na przykład: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Czy zauważyłeś, że po otwarciu nawiasów liczby w nich nie zmieniają znaku, jeśli liczba przed nawiasami jest dodatnia? W końcu piętnaście to liczba dodatnia. A jeśli rozwiążesz ten przykład: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Przed nawiasami mieliśmy liczbę ujemną minus piętnaście, kiedy otworzyliśmy nawiasy, wszystkie liczby zaczęły zmieniać swój znak na inny - odwrotnie - z plusa na minus.
Na podstawie powyższych przykładów można sformułować dwie podstawowe zasady otwierania nawiasów:
1. Jeśli przed nawiasami masz liczbę dodatnią, to po otwarciu nawiasów wszystkie znaki liczb w nawiasach nie zmieniają się, ale pozostają dokładnie takie same, jak były.
2. Jeśli przed nawiasami masz liczbę ujemną, to po otwarciu nawiasów znak minus nie jest już zapisywany, a znaki wszystkich liczb bezwzględnych w nawiasach nagle zmieniają się na przeciwne.
Na przykład: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Skomplikujmy trochę nasze przykłady: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Zauważyłeś, że otwierając drugie nawiasy, pomnożyliśmy przez 2, ale znaki pozostały takie same, jak były. Oto przykład: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, w tym przykładzie liczba dwa jest ujemna, jest przed nawiasy oznaczają znak minus, więc otwierając je, zmieniliśmy znaki liczb na przeciwne (dziewięć było z plusem, stało się minusem, osiem było z minusem, stało się plusem).
W tej lekcji dowiesz się, jak przekształcić wyrażenie zawierające nawiasy w wyrażenie bez nawiasów. Dowiesz się jak otwierać nawiasy poprzedzone znakiem plus i minus. Przypomnimy sobie, jak otwierać nawiasy, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia. Rozważane przykłady pozwolą Ci połączyć nowy i wcześniej przestudiowany materiał w jedną całość.
Temat: Rozwiązywanie równań
Lekcja: Rozwijanie nawiasów
Jak rozwinąć nawiasy poprzedzone znakiem „+”. Korzystanie z prawa łączenia dodawania.
Jeśli chcesz dodać sumę dwóch liczb do liczby, możesz najpierw dodać pierwszy wyraz do tej liczby, a następnie drugi.
Po lewej stronie znaku równości znajduje się wyrażenie z nawiasami, a po prawej stronie wyrażenie bez nawiasów. Oznacza to, że przy przejściu od lewej strony równości do prawej nastąpiło otwarcie nawiasów.
Spójrzmy na przykłady.
Przykład 1. 
Otwierając nawiasy zmieniliśmy kolejność działań. Liczenie stało się wygodniejsze.
Przykład 2. 
Przykład 3.
Zauważ, że we wszystkich trzech przykładach po prostu usunęliśmy nawiasy. Sformułujmy regułę:
Komentarz.
Jeżeli pierwszy wyraz w nawiasie jest bez znaku, należy go zapisać ze znakiem plus.
Możesz postępować zgodnie z przykładem krok po kroku. Najpierw dodaj 445 do 889. Tę czynność można wykonać mentalnie, ale nie jest to zbyt łatwe. Otwórzmy nawiasy i zobaczmy, że zmieniona procedura znacznie uprości obliczenia.
Jeśli zastosujesz się do wskazanej procedury, musisz najpierw odjąć 345 od 512, a następnie do wyniku dodać 1345. Otwierając nawiasy, zmienimy procedurę i znacznie uprościmy obliczenia.
Ilustrujący przykład i reguła.
Spójrzmy na przykład: . Wartość wyrażenia można znaleźć, dodając 2 i 5, a następnie biorąc otrzymaną liczbę z przeciwnym znakiem. Dostajemy -7.
Z drugiej strony ten sam wynik można uzyskać, dodając liczby przeciwne do pierwotnych.
Sformułujmy regułę:
Przykład 1. 
Przykład 2.
Zasada nie zmienia się, jeśli w nawiasach znajdują się nie dwa, ale trzy lub więcej wyrazów.
Przykład 3. 
Komentarz. Znaki są odwrócone tylko przed terminami.
Aby otworzyć nawiasy, w tym przypadku musimy pamiętać o własności rozdzielności.
Najpierw pomnóż pierwszy nawias przez 2, a drugi przez 3.
Pierwszy nawias poprzedzony jest znakiem „+”, co oznacza, że znaki należy pozostawić bez zmian. Drugi znak jest poprzedzony znakiem „-”, dlatego wszystkie znaki należy zmienić na przeciwne
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. - Sala Gimnastyczna, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania dla klas 5-6 z kursu matematyki - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. - ZSz MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 szkoły średniej. Biblioteka nauczyciela matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Testy online z matematyki ().
- Można pobrać te określone w punkcie 1.2. książki().
Praca domowa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link patrz 1.2)
- Praca domowa: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
- Inne zadania: nr 1258(c), nr 1248