Powrót do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Typ lekcji: powtarzanie i uogólnianie.
Forma lekcji: lekcja-konsultacja.
Cele Lekcji:
- edukacyjny: powtarzanie i uogólnianie wiedzy teoretycznej na tematy: „Znaczenie geometryczne pochodnej” i „Zastosowanie pochodnej do badania funkcji”; rozważyć wszystkie typy problemów B8 napotkanych na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki; zapewnienie studentom możliwości sprawdzenia swojej wiedzy poprzez samodzielne rozwiązywanie problemów; uczyć, jak wypełnić formularz odpowiedzi na egzamin;
- rozwijający się: promowanie rozwoju komunikacji jako metody wiedzy naukowej, pamięci semantycznej i dobrowolnej uwagi; ukształtowanie takich kompetencji kluczowych jak porównywanie, zestawianie, klasyfikacja obiektów, określanie adekwatnych sposobów rozwiązania zadania edukacyjnego w oparciu o zadane algorytmy, umiejętność samodzielnego działania w sytuacjach niepewności, monitorowania i oceniania swoich działań, znajdowania i eliminowania przyczyn trudności;
- edukacyjny: rozwijać kompetencje komunikacyjne uczniów (kultura komunikacji, umiejętność pracy w grupie); sprzyjać rozwojowi potrzeby samokształcenia.
Technologie: edukacja rozwojowa, ICT.
Metody nauczania: werbalne, wizualne, praktyczne, problematyczne.
Formy pracy: indywidualny, frontalny, grupowy.
Wsparcie dydaktyczne i metodyczne:
1. Algebra i początki analizy matematycznej Klasa 11: podręcznik. Do edukacji ogólnej Instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); pod redakcją A. B. Zhizhchenko. – 4. wyd. – M.: Edukacja, 2011.
2. Ujednolicony egzamin państwowy: 3000 zadań z odpowiedziami z matematyki. Wszystkie zadania grupy B/A.L. Semenow, I.V. Jaszczenko i inni; pod redakcją A.L. Siemionowa, I.V. Jaszczenko. – M.: Wydawnictwo „Egzamin”, 2011.
3. Otwórz bank zadań.
Sprzęt i materiały do lekcji: projektor, ekran, komputer dla każdego ucznia z zainstalowaną prezentacją, wydruk notatki dla wszystkich uczniów (Aneks 1) i arkusz wyników ( Załącznik 2) .
Wstępne przygotowanie do lekcji: w ramach pracy domowej studenci proszeni są o powtórzenie materiału teoretycznego z podręcznika na tematy: „Geometryczne znaczenie pochodnej”, „Zastosowanie pochodnej do badania funkcji”; Klasa podzielona jest na grupy (4 osobowe każda), w każdej z nich znajdują się uczniowie na różnym poziomie zaawansowania.
Wyjaśnienie lekcji: Lekcji tej uczy się w klasie 11, na etapie powtórki i przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego. Lekcja ma na celu powtórzenie i uogólnienie materiału teoretycznego oraz zastosowanie go do rozwiązywania problemów egzaminacyjnych. Czas trwania lekcji - 1,5 godziny .
Lekcja ta nie jest dołączona do podręcznika, dlatego można ją przeprowadzić pracując z dowolnymi materiałami dydaktycznymi. Lekcję tę można również podzielić na dwie osobne i poprowadzić jako lekcje końcowe dotyczące omawianych tematów.
Podczas zajęć
I. Moment organizacyjny.
II. Lekcja wyznaczania celów.
III. Powtórzenie tematu „Geometryczne znaczenie pochodnych”.
Praca ustna czołowa z wykorzystaniem projektora (slajdy nr 3-7)
Praca w grupach: rozwiązywanie problemów z podpowiedziami, odpowiedziami, przy konsultacji z nauczycielem (slajdy nr 8-17)
IV. Samodzielna praca 1.
Studenci pracują indywidualnie na komputerze (slajdy nr 18-26), a swoje odpowiedzi wpisują do arkusza oceny. W razie potrzeby możesz skonsultować się z nauczycielem, ale w tym przypadku uczeń straci 0,5 punktu. Jeżeli uczeń zakończy pracę wcześniej, może zdecydować się na rozwiązanie dodatkowych zadań ze zbioru s. 242, 306-324 (zadania dodatkowe oceniane są osobno).
V. Wzajemna weryfikacja.
Studenci wymieniają się arkuszami ocen, sprawdzają pracę kolegi i przyznają punkty (slajd nr 27)
VI. Korekta wiedzy.
VII. Powtórzenie tematu „Zastosowanie pochodnej do badania funkcji”
Praca ustna czołowa z wykorzystaniem projektora (slajdy nr 28-30)
Praca w grupach: rozwiązywanie problemów z podpowiedziami, odpowiedziami, z konsultacją z nauczycielem (slajdy nr 31-33)
VIII. Samodzielna praca 2.
Studenci pracują indywidualnie na komputerze (slajdy nr 34-46), a swoje odpowiedzi wpisują w formularzu odpowiedzi. W razie potrzeby możesz skonsultować się z nauczycielem, ale w tym przypadku uczeń straci 0,5 punktu. Jeżeli uczeń zakończy pracę wcześniej, może zdecydować się na rozwiązanie dodatkowych zadań ze zbioru s. 243-305 (zadania dodatkowe oceniane są osobno).
IX. Recenzja partnerska.
Uczniowie wymieniają się arkuszami ocen, sprawdzają pracę kolegi i przyznają punkty (slajd nr 47).
X. Korekta wiedzy.
Uczniowie ponownie pracują w swoich grupach, dyskutują o rozwiązaniu i poprawiają błędy.
XI. Zreasumowanie.
Każdy uczeń podlicza swoje punkty i wpisuje ocenę do arkusza ocen.
Studenci przekazują prowadzącemu arkusz oceny oraz rozwiązania dodatkowych problemów.
Każdy uczeń otrzymuje notatkę (slajd nr 53-54).
XII. Odbicie.
Studenci proszeni są o ocenę swojej wiedzy poprzez wybranie jednego z wyrażeń:
- Udało mi się!!!
- Musimy rozwiązać jeszcze kilka przykładów.
- No cóż, kto wymyślił tę matematykę!
XIII. Praca domowa.
Do zadań domowych uczniowie proszeni są o wybranie zadań ze zbioru, s. 242-334, a także z otwartego banku zadań.
Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Na zdjęciu widać wykres funkcji y = f(x ) i styczną do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-1;17). Znajdź przedziały zmniejszania się funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich. k(x) 
0 na przedziale, następnie funkcja f(x)" title="Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 i x 7 to te punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest dodatnia. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Jeżeli f (x) > 0 na przedziale, to funkcja f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest dodatnia. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Jeżeli f (x) > 0 na pewnym przedziale, to funkcja f (x) rośnie na tym przedziale. Odpowiedź: 2 0 na przedziale, następnie funkcja f(x)"> 0 na przedziale, następnie funkcja f(x) rośnie na tym przedziale Odpowiedź: 2"> 0 na przedziale, następnie funkcja f(x)" tytuł= "On Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest dodatnia.Wpisz liczbę znalezionych punktów.Jeśli f(x) > 0 na przedziale, to funkcja f(x)"> title="Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest dodatnia. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Jeżeli f (x) > 0 na pewnym przedziale, to funkcja f(x)"> !}
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-9; 2). W którym momencie odcinka -8; -4 czy funkcja f(x) przyjmuje największą wartość? Na odcinku -8; -4 k(x) 
Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-5; 6). Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, ..., x 7 te punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest równa zeru. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Odpowiedź: 3 punkty x 1, x 4, x 6 i x 7 to punkty ekstremalne. W punkcie x 4 nie ma f (x)
Literatura 4 Algebra i rozpoczęcie zajęć z analizy. Podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego, poziom podstawowy / Sh. A. Alimov i inni, - M .: Edukacja, Semenov A. L. Jednolity egzamin państwowy: 3000 problemów z matematyki. – M.: Wydawnictwo „Egzamin”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Wizualny przewodnik po algebrze i początkach analizy z przykładami dla klas 7-11. – M.: Ilexa, Zasób elektroniczny Otwarty Bank Zadań Egzaminacyjnych Unified State.
Pochodna funkcji $y = f(x)$ w danym punkcie $x_0$ jest granicą stosunku przyrostu funkcji do odpowiedniego przyrostu jej argumentu, pod warunkiem, że ten ostatni dąży do zera:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Różniczkowanie to operacja znajdowania pochodnej.
Tabela pochodnych niektórych funkcji elementarnych
| Funkcjonować | Pochodna |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Podstawowe zasady różniczkowania
1. Pochodna sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) pochodnych
$(f(x) ± g(x))”= f”(x)±g”(x)$
Znajdź pochodną funkcji $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
Pochodna sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) pochodnych.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Pochodna produktu
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Znajdź pochodną $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Pochodna ilorazu
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Znajdź pochodną $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Fizyczne znaczenie pochodnej
Jeżeli punkt materialny porusza się prostoliniowo i jego współrzędna zmienia się w zależności od czasu zgodnie z prawem $x(t)$, to chwilowa prędkość tego punktu jest równa pochodnej funkcji.
Punkt porusza się po linii współrzędnych zgodnie z zasadą $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, gdzie $x(t)$ jest współrzędną w chwili $t$. W jakim momencie prędkość punktu będzie równa 12 $?
1. Prędkość jest pochodną $x(t)$, zatem znajdźmy pochodną danej funkcji
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Aby dowiedzieć się, w którym momencie $t$ prędkość była równa $12$, tworzymy i rozwiązujemy równanie:
Geometryczne znaczenie pochodnej
Przypomnijmy, że równanie prostej, która nie jest równoległa do osi współrzędnych, można zapisać w postaci $y = kx + b$, gdzie $k$ jest nachyleniem prostej. Współczynnik $k$ jest równy tangensowi kąta nachylenia pomiędzy prostą a dodatnim kierunkiem osi $Ox$.
Pochodna funkcji $f(x)$ w punkcie $х_0$ jest równa nachyleniu $k$ stycznej do wykresu w tym punkcie:
Dlatego możemy stworzyć ogólną równość:
$f"(x_0) = k = tanα$
Na rysunku styczna do funkcji $f(x)$ wzrasta, dlatego współczynnik $k > 0$. Ponieważ $k > 0$, to $f"(x_0) = tanα > 0$. Kąt $α$ pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem $Ox$ jest ostry.
Na rysunku styczna do funkcji $f(x)$ maleje, w związku z czym współczynnik $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Na rysunku styczna do funkcji $f(x)$ jest równoległa do osi $Ox$, zatem współczynnik $k = 0$, zatem $f"(x_0) = tan α = 0$. punkt $x_0$, w którym $f "(x_0) = 0$, tzw ekstremum.
Rysunek przedstawia wykres funkcji $y=f(x)$ i styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie z odciętą $x_0$. Znajdź wartość pochodnej funkcji $f(x)$ w punkcie $x_0$.
Styczna do wykresu rośnie zatem $f"(x_0) = tan α > 0$
Aby znaleźć $f"(x_0)$, znajdujemy tangens kąta nachylenia pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi $Ox$. W tym celu budujemy styczną do trójkąta $ABC$.
Znajdźmy tangens kąta $BAC$. (Styczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25 $
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$
Odpowiedź: 0,25 dolara
Pochodnej używa się także do wyznaczania przedziałów funkcji rosnących i malejących:
Jeśli $f"(x) > 0$ w pewnym przedziale, to funkcja $f(x)$ rośnie w tym przedziale.
Jeśli $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Rysunek przedstawia wykres funkcji $y = f(x)$. Znajdź wśród punktów $х_1,х_2,х_3...х_7$ te punkty, w których pochodna funkcji jest ujemna.
W odpowiedzi zapisz liczbę tych punktów.