Jeżeli wiadomo, że A< А, то а называют przybliżoną wartość A z wadą. Jeśli a > A, wówczas wywoływane jest a przybliżona wartość A z nadmiarem.
Nazywa się różnicę między dokładną i przybliżoną wartością wielkości błąd przybliżenia i jest oznaczony przez D, tj.
D = A – a (1)
Błąd aproksymacji D może być liczbą dodatnią lub ujemną.
Aby scharakteryzować różnicę między wartością przybliżoną wielkości a wartością dokładną, często wystarczy wskazać wartość bezwzględną różnicy między wartością dokładną i przybliżoną.
Wartość bezwzględna różnicy między wartościami przybliżonymi A i dokładne A wywoływane są wartości liczby błąd bezwzględny (błąd) przybliżenia i oznaczone przez D A:
D A = ½ A – A½ (2)
Przykład 1. Podczas pomiaru odcinka l użyliśmy linijki, której podziałka wynosi 0,5 cm, otrzymaliśmy przybliżoną wartość długości odcinka A= 204cm.
Oczywiste jest, że podczas pomiaru mógł wystąpić błąd nie większy niż 0,5 cm, tj. Bezwzględny błąd pomiaru nie przekracza 0,5 cm.
Zwykle błąd bezwzględny jest nieznany, ponieważ nieznana jest dokładna wartość liczby A. Dlatego dowolna ocena absolutny błąd:
D A <= DA zanim. (3)
gdzie d a wcześniej. – maksymalny błąd (liczba, więcej zero), biorąc pod uwagę wiarygodność, z jaką znana jest liczba a.
Maksymalny błąd bezwzględny jest również nazywany margines błędu. Zatem w podanym przykładzie
D a wcześniej. = 0,5 cm.
Z (3) otrzymujemy:
D A = ½ A – A½<= DA zanim. .
A- D A zanim. ≤ A≤ A+D A zanim. . (4)
a-D A zanim. będzie wartością przybliżoną A z wadą
a + D A zanim – przybliżona wartość A w obfitości. Używana jest również krótka notacja:
A= A± D A zanim (5)
Z definicji maksymalnego błędu bezwzględnego wynika, że liczby D A zanim, spełniając nierówność (3), będzie zbiór nieskończony. W praktyce starają się wybierać prawdopodobnie mniej z numerów D a wcześniej, spełniając nierówność D A <= DA zanim.
Przykład 2. Wyznaczmy maksymalny błąd bezwzględny liczby a=3,14, przyjmowana jako przybliżona wartość liczby π.
Wiadomo, że 3,14<π<3,15. Wynika, że
|A – π |< 0,01.
Maksymalny błąd bezwzględny można przyjąć jako liczbę D A = 0,01.
Jeśli to weźmiemy pod uwagę 3,14<π<3,142 , wtedy dostajemy lepszą ocenę :D A= 0,002, zatem π ≈3,14 ±0,002.
4. Błąd względny (błąd). Znajomość samego błędu bezwzględnego nie wystarczy do scharakteryzowania jakości pomiaru.
Niech np. ważąc dwa ciała otrzymamy następujące wyniki:
P 1 = 240,3 ± 0,1 g.
P2 = 3,8 ±0,1 g.
Chociaż bezwzględne błędy pomiaru obu wyników są takie same, jakość pomiaru w pierwszym przypadku będzie lepsza niż w drugim. Charakteryzuje się błędem względnym.
Błąd względny (błąd) zbliżający się numer A zwany bezwzględnym współczynnikiem błędu D.a zbliżając się do wartości bezwzględnej liczby A:
Ponieważ dokładna wartość wielkości zwykle nie jest znana, należy ją zastąpić wartością przybliżoną, a następnie:
(7)
Maksymalny błąd względny Lub granica względnego błędu aproksymacji, nazywa się liczbą d a wcześniej>0, tak że:
D A<= D a wcześniej(8)
Maksymalny błąd względny można oczywiście przyjąć jako stosunek maksymalnego błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej wartości przybliżonej:
(9)
Z (9) łatwo można uzyskać następującą ważną zależność:
∆a wcześniej = |A| D a wcześniej(10)
Maksymalny błąd względny jest zwykle wyrażany w procentach:
Przykład. Przyjmuje się, że podstawa logarytmów naturalnych do obliczeń jest równa mi=2,72. Przyjęliśmy jako dokładną wartość mi t = 2,7183. Znajdź błędy bezwzględne i względne przybliżonej liczby.
D mi = ½ mi – mi t½=0,0017;
.
Wielkość błędu względnego pozostaje niezmieniona przy proporcjonalnej zmianie najbardziej przybliżonej liczby i jej błędu bezwzględnego. Zatem dla liczby 634,7 obliczonej z błędem bezwzględnym D = 1,3 i dla liczby 6347 z błędem D = 13 błędy względne są takie same: D= 0,2.
Wielkość błędu względnego można w przybliżeniu ocenić na podstawie liczby prawdziwe znaki cyfry liczb.
PRZYBLIŻONE LICZBY I OPERACJE NA NIM
- Przybliżona wartość ilości. Błędy bezwzględne i względne
Rozwiązywanie problemów praktycznych z reguły wiąże się z numerycznymi wartościami wielkości. Wartości te uzyskuje się albo przez pomiar, albo przez obliczenia. W większości przypadków wartości ilości, które należy zastosować, są przybliżone.
Niech X - dokładna wartość określonej ilości oraz X - najbardziej znana wartość przybliżona. W tym przypadku błąd (lub błąd) przybliżenia X określona przez różnicę X-x. Zwykle znak tego błędu nie jest decydujący, dlatego bierze się pod uwagę jego wartość bezwzględną:
Numer w tym przypadku jest wywoływanymaksymalny błąd bezwzględny, Lub granica błędu bezwzględnego przybliżenia x.
Zatem maksymalny błąd bezwzględny przybliżonej liczby X - jest dowolną liczbą nie mniejszą niż błąd bezwzględny np. ten numer.
Przykład: Weźmy liczbę. Jeśli zadzwoniszna wskaźniku 8-bitowego MK otrzymujemy przybliżenie tej liczby: Spróbujmy wyrazić błąd bezwzględny wartości. Otrzymaliśmy ułamek nieskończony, nie nadający się do praktycznych obliczeń. Jest jednak oczywiste, że zatem liczba 0,00000006 = 0,6 * 10-7 można uznać za maksymalny błąd bezwzględny przybliżenia zastosowanego przez MK zamiast liczby
Nierówność (2) pozwala nam ustalić przybliżenia dokładnej wartości X według niedoboru i nadmiaru:
W wielu przypadkach wartości bezwzględnej granicy błędua także najlepsze wartości przybliżone X , uzyskiwane są w praktyce w wyniku pomiarów. Niech na przykład w wyniku wielokrotnych pomiarów tej samej wielkości X uzyskane wartości: 5,2; 5,3; 5,4; 5.3. W takim przypadku naturalne jest przyjęcie wartości średniej jako najlepszego przybliżenia wartości zmierzonej x = 5.3. Oczywiste jest również, że wartości graniczne ilości X w tym przypadku będzie NG X = 5,2, VG X = 5.4 i bezwzględną granicę błędu X można zdefiniować jako połowę długości przedziału utworzonego przez wartości brzegowe NG X i VG X,
te.
Błąd bezwzględny nie pozwala w pełni ocenić dokładności pomiarów i obliczeń. Jakość aproksymacji charakteryzuje się wartościąwzględny błąd,który jest zdefiniowany jako współczynnik błędu były do modułu wartości X (jeśli nie jest znana, to do modułu aproksymacji X ).
Maksymalny błąd względny(Lub względna granica błędu)liczba przybliżona to stosunek maksymalnego błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej przybliżenia X :
Błąd względny jest zwykle wyrażany w procentach.
Przykład Wyznaczmy błędy maksymalne liczby x=3,14 jako przybliżoną wartość π. Ponieważ π=3,1415926…., to |π-3,14|
- Liczby prawdziwe i znaczące. Rejestrowanie wartości przybliżonych
Nazywa się cyfrę liczby PRAWDA (w szerokim znaczeniu), jeżeli jego błąd bezwzględny nie przekracza jednej cyfry, wco oznacza ta liczba.
Przykład. X=6,328 X=0,0007 X
Przykład: A). Niech 0 = 2,91385, w liczbie A Liczby 2, 9, 1 są poprawne w szerokim znaczeniu.
B) Przyjmij w przybliżeniu liczbę = 3,141592... liczba= 3.142. Zatem (ryc.) wynika, że w przybliżonej wartości = 3,142 wszystkie liczby są prawidłowe.
C) Obliczmy iloraz dokładnych liczb 3,2 i 2,3 na 8-bitowym mikrokontrolerze i uzyskajmy odpowiedź: 1,3913043. Odpowiedź zawiera błąd, ponieważ
Ryż. Przybliżenie liczby π
Siatka cyfr MK nie uwzględniała wszystkich cyfr wyniku i wszystkie cyfry począwszy od ósmej zostały pominięte. (Niedokładność odpowiedzi łatwo sprawdzić sprawdzając dzielenie przez mnożenie: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Nie znając prawdziwej wartości popełnionego błędu, kalkulator w takiej sytuacji zawsze może mieć pewność, że jego wartość nie przekracza jedności najmłodszy pokazany na wskaźniku cyfry wyniku. Dlatego w uzyskanym wyniku wszystkie liczby są prawidłowe.
Często wywoływana jest pierwsza odrzucona (nieprawidłowa) cyfra wątpliwy.
Mówią, że zapisano przybliżone dane Prawidłowy, jeśli wszystkie liczby w jego aktach są prawidłowe. Jeśli liczba jest zapisana poprawnie, to po prostu zapisując ją jako ułamek dziesiętny możesz ocenić dokładność tej liczby. Zapiszmy na przykład przybliżoną liczbę a = 16,784, w którym wszystkie liczby są poprawne. Z faktu, że ostatnia cyfra 4, znajdująca się na tysięcznym miejscu, jest poprawna, wynika, że błąd bezwzględny wartości A nie przekracza 0,001. Oznacza to, że możesz zaakceptować m.in. a = 16,784±0,001.
Jest oczywiste, że prawidłowe zapisanie danych przybliżonych nie tylko pozwala, ale także obliguje do zapisania zer na ostatnich cyfrach, jeśli zera te są wyrazem poprawnych liczb. Na przykład we wpisie= 109.070 Końcowe zero oznacza, że cyfra tysięcznych jest poprawna i równa zero. Maksymalny błąd bezwzględny wartości, jak wynika z wpisu, można rozważyć. Dla porównania można zauważyć, że wartość c = 109.07 jest mniej dokładny, ponieważ z jego zapisu musimy to założyć
Znaczące liczbyw zapisie liczby wywoływane są wszystkie cyfry jej reprezentacji dziesiętnej inne niż zero, a zera, jeśli znajdują się pomiędzy cyframi znaczącymi lub pojawiają się na końcu, aby wyrazić prawidłowe znaki.
Przykład a) 0,2409 - cztery cyfry znaczące; b) 24.09 – cztery cyfry znaczące; c) 100,700 - sześć cyfr znaczących.
Wyprowadzanie wartości liczbowych w komputerze z reguły jest zaprojektowane w taki sposób, że zera na końcu rekordu liczbowego, nawet jeśli są poprawne, nie są raportowane. Oznacza to, że jeśli np. komputer pokaże wynik 247,064 i jednocześnie wiadomo, że wynik ten musi zawierać osiem cyfr znaczących, to wynikową odpowiedź należy uzupełnić zerami: 247,06400.
Podczas obliczeń często się to zdarzazaokrąglanie liczb,te. zastąpienie liczb ich znaczeniami z mniejszą liczbą cyfr znaczących. Zaokrąglanie wprowadza błąd zwany błędem zaokrąglania. Pozwalać x to podana liczba, a x 1 - wynik zaokrąglenia. Błąd zaokrąglenia definiuje się jako moduł różnicy między poprzednią i nową wartością liczby:
W niektórych przypadkach zamiast ∆ ok musimy skorzystać z jego górnej granicy.
Przykład Wykonajmy akcję 1/6 na 8-bitowym MK. Wskaźnik wyświetli liczbę 0,1666666. Nieskończony ułamek dziesiętny 0,1(6) został automatycznie zaokrąglony do liczby cyfr mieszczących się w rejestrze MK. W tym przypadku jest to możliwe do zaakceptowania
Nazywa się cyfrę liczbyprawdą w ścisłym tego słowa znaczeniujeżeli błąd bezwzględny tej liczby nie przekracza połowy jednostki cyfry, w której ta liczba się pojawia.
Zasady zapisywania liczb przybliżonych.
- Liczby przybliżone zapisuje się w postaci x ±x. Zapisywanie X = x ± x oznacza, że nieznana wielkość X spełnia nierówności: x-x x
W tym przypadku błąd x zaleca się wybrać tak, aby
a) we wpisie x wynosiło nie więcej niż 1-2 cyfry znaczące;
b) cyfry niższego rzędu w zapisie liczb x i x odpowiadały sobie nawzajem.
Przykłady: 23,4±0,2; 2,730±0,017; -6,97 0,10.
- Można zapisać przybliżoną liczbę bez wyraźnego wskazania jej maksymalnego błędu bezwzględnego. W tym przypadku jego zapis (mantysa) musi zawierać wyłącznie poprawne cyfry (w szerokim tego słowa znaczeniu, chyba że zaznaczono inaczej). Następnie, rejestrując samą liczbę, można ocenić jej dokładność.
Przykłady. Jeżeli w liczbie A = 5,83 wszystkie liczby są poprawne w ścisłym tego słowa znaczeniu, to A=0,005. Oznacza to, że zapis B=3,2 B=0,1. Z zapisu C=3200 możemy to wywnioskować C=0,001. Zatem wpisy 3.2 i 3.200 w teorii obliczeń przybliżonych nie oznaczają tego samego.
Liczby w zapisie o liczbie przybliżonej, o których nie wiemy, czy są prawdziwe, czy nie, nazywa się wątpliwy. Liczby wątpliwe (jeden lub dwa) pozostawia się w zapisie liczb wyników pośrednich, aby zachować dokładność obliczeń. W ostatecznym wyniku wątpliwe liczby są odrzucane.
Zaokrąglanie liczb.
- Zasada zaokrąglania. Jeżeli najbardziej znacząca z odrzuconych cyfr zawiera cyfrę mniejszą niż pięć, wówczas zawartość zapisanych cyfr liczby nie ulega zmianie. W przeciwnym razie do najmniej znaczącej zapisanej cyfry dodawana jest jedynka o tym samym znaku co sama liczba.
- Przy zaokrąglaniu liczby zapisanej w postaci x± x, jego maksymalny błąd bezwzględny wzrasta, biorąc pod uwagę błąd zaokrągleń.
Przykład: Zaokrąglijmy liczbę 4,5371±0,0482 do najbliższej setnej. Błędem byłoby zapisanie 4,54±0,05, ponieważ błąd liczby zaokrąglonej jest sumą błędu liczby pierwotnej i błędu zaokrąglenia. W tym przypadku jest to 0,0482 + 0,0029 = 0,0511. Błędy należy zawsze zaokrąglać, tak aby ostateczna odpowiedź wynosiła 4,54±0,06.
Przykład Wpuść przybliżona wartość a = 16 395 Wszystkie liczby są prawidłowe w szerokim znaczeniu. Zaokrąglijmy to i do setnych: a 1 = 16.40. Błąd zaokrąglania Aby znaleźć błąd całkowity,należy dodać z błędem pierwotnej wartości a 1 co w tym przypadku można znaleźć na podstawie warunku, że wszystkie liczby w rekordzie A poprawny: = 0,001. Zatem, . Wynika z tego, że w wartość 1 = 16,40 liczba 0 nie jest poprawna sensu stricto.
- Obliczanie błędów operacji arytmetycznych
1. Dodawanie i odejmowanie. Maksymalny błąd bezwzględny sumy algebraicznej jest sumą odpowiednich błędów wyrazów:
F.1 (X+Y) = X + Y , (X-Y) = X + Y .
Przykład. Podano przybliżone liczby X = 34,38 i Y = 15,23, wszystkie liczby są poprawne sensu stricto. Znajdować (X-Y) i (X-Y). Korzystając ze wzoru F.1 otrzymujemy:
(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.
Błąd względny uzyskujemy korzystając ze wzoru na połączenie:
2. Mnożenie i dzielenie. Jeśli X Y
F.2 (X · Y) = (X/Y) = X + Y.
Przykład. Znajdź (X Y) i (X·Y) dla liczb z poprzedniego przykładu. Najpierw, korzystając ze wzoru F.2, znajdujemy (X Y):
(X Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048
Teraz (X·Y) zostanie znalezione przy użyciu wzoru na połączenie:
(X·Y) = |X·Y|· (X Y) = |34,38 -15,23|0,00048 0,26 .
3. Potęgowanie i ekstrakcja pierwiastkowa. Jeśli X
F Z
4. Funkcja jednej zmiennej.
Niech funkcja analityczna f(x) i przybliżona liczba c ± Z. Następnie, oznaczając przez mały przyrost argumentu, możesz napisać
Jeśli f „(c) 0, to przyrost funkcji f(c+ ) - f(c) można oszacować na podstawie jej różniczki:
f(c+ ) - f(c) fa "(c) · .
Jeśli błąd c jest wystarczająco małe, ostatecznie otrzymujemy następujący wzór:
F.4 f(c) = |f "(s)|· s.
Przykład. Biorąc pod uwagę f(x) = arcsin x, c = 0,5, c = 0,05. Oblicz f(c).
Zastosujmy wzór F.4:
Itp. |
5. Funkcja kilku zmiennych.
Dla funkcji kilku zmiennych f(x1, ... , xn) przy xk= ck ± ck, obowiązuje wzór podobny do F.4:
Ф.5 f(c1, ...,сn) l df(c1, ...,ń) | = |f "x1 (c1)|· с1+... + |f "xn (сn)|· сn.
Przykład Niech x = 1,5 i tj. wszystkie cyfry numeru X prawdą w ścisłym tego słowa znaczeniu. Obliczmy wartość tg X . Używając MK otrzymujemy: tgl,5= 14,10141994. Aby wyznaczyć w wyniku prawidłowe liczby, oszacujemy jego błąd bezwzględny: wynika z tego, że w wynikowej wartości tgl,5 ani jednej liczby nie można uznać za poprawną.
- Metody szacowania błędu obliczeń przybliżonych
Istnieją rygorystyczne i nierygorystyczne metody oceny dokładności wyników obliczeń.
1. Rygorystyczna metoda oceny sumatywnej. Jeżeli obliczenia przybliżone wykonuje się przy użyciu stosunkowo prostego wzoru, to korzystając ze wzorów F.1-F.5 i wzorów korelacji błędów, można wyprowadzić wzór na końcowy błąd obliczeń. Wyprowadzenie wzoru i oszacowanie za jego pomocą błędu obliczeniowego stanowi istotę tej metody.
Przykładowe wartości a = 23,1 i b = 5,24 podano w liczbach poprawnych sensu stricto. Oblicz wartość wyrażenia
Używając MK otrzymujemy B = 0,2921247. Korzystając ze wzorów na błędy względne ilorazu i iloczynu, piszemy:
Te.
Używając MK, otrzymujemy 5, co daje. Oznacza to, że w rezultacie dwie cyfry po przecinku są poprawne w ścisłym tego słowa znaczeniu: B = 0,29 ± 0,001.
2. Metoda ścisłego operacyjnego rozliczania błędów. Czasami próba zastosowania metody oceny sumatywnej skutkuje powstaniem wzoru, który jest zbyt uciążliwy. W takim przypadku bardziej odpowiednie może być zastosowanie tej metody. Polega to na tym, że dokładność każdej operacji obliczeniowej ocenia się osobno, stosując te same wzory F.1-F.5 i wzory połączeń.
3. Metoda liczenia poprawnych liczb. Ta metoda nie jest rygorystyczna. Oszacowanie dokładności obliczeń, jakie zapewnia, nie jest w zasadzie gwarantowane (w przeciwieństwie do metod rygorystycznych), ale w praktyce jest dość wiarygodne. Istota metody polega na tym, że po każdej operacji obliczeniowej określa się liczbę poprawnych cyfr w liczbie wynikowej, stosując następujące zasady.
P.1 . Podczas dodawania i odejmowania liczb przybliżonych powstałe liczby należy uznać za prawidłowe, jeśli ich miejsca po przecinku odpowiadają poprawnym liczbom pod każdym względem. Przed dodaniem lub odjęciem cyfry wszystkich pozostałych cyfr z wyjątkiem najbardziej znaczącej należy zaokrąglić we wszystkich kategoriach.
P.2. Przy mnożeniu i dzieleniu liczb przybliżonych wynik należy uznać za prawidłowy tyle cyfr znaczących, ile mają dane przybliżone z najmniejszą liczbą poprawnych cyfr znaczących. Przed wykonaniem tych kroków należy wybrać z przybliżonych danych liczbę o najmniejszej liczbie cyfr znaczących, a pozostałe liczby zaokrąglić tak, aby miały tylko jedną cyfrę znaczącą więcej.
P.Z. Przy podnoszeniu do kwadratu lub sześcianie, a także przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego lub sześciennego, wynik należy uznać za prawidłowy tyle, ile cyfr znaczących było w pierwotnej liczbie prawidłowych cyfr znaczących.
P.4. Liczba poprawnych cyfr w wyniku obliczenia funkcji zależy od wielkości modułu pochodnej oraz od liczby poprawnych cyfr w argumencie. Jeżeli moduł pochodnej jest bliski liczbie 10k (k jest liczbą całkowitą), to w rezultacie liczba poprawnych cyfr względem przecinka jest o k mniejsza (jeżeli k jest ujemna, to większa) niż było w argument. W tej pracy laboratoryjnej dla pewności przyjmiemy zgodę na przyjęcie modułu pochodnej bliskiego 10k, jeżeli zachodzi nierówność:
0,2·10K 2·10 tys.
P.5. W wynikach pośrednich oprócz liczb prawidłowych należy pozostawić jedną liczbę wątpliwą (pozostałe liczby wątpliwe można zaokrąglić), aby zachować dokładność obliczeń. W wyniku końcowym pozostały tylko prawidłowe liczby.
Obliczenia metodą graniczną
Jeśli potrzebujesz absolutnie gwarantowanych granic możliwych wartości obliczonej wartości, użyj specjalnej metody obliczeniowej - metody granic.
Niech f(x, y) - funkcja ciągła i monotoniczna w pewnym zakresie dopuszczalnych wartości argumentów x i y. Musimy poznać jego wartość f(a, b), gdzie a i b są przybliżone wartości argumentów i niezawodnie wiadomo, że
NG a A A ; NG ur VG ur. |
Tutaj NG, VG są odpowiednio oznaczeniami dolnej i górnej granicy wartości parametrów. Pytanie polega więc na znalezieniu ścisłych ograniczeń wartości f(a, b), przy znanych granicach wartości a i b.
Załóżmy, że funkcja f(x, y) wzrasta dla każdego argumentu x i y. Następnie
f (NG a, NG b f(a, b) f (VG a VG b).
Niech f(x, y) wzrost argumentacji X i maleje w odniesieniu do argumentu Na . Wtedy nierówność będzie ściśle gwarantowana
Region Sachalin
„Szkoła Zawodowa nr 13”
Wytyczne do samodzielnej pracy studentów
Aleksandrowsk-Sachaliński
Przybliżone wartości wielkości i błędy przybliżeń: Wskazana metoda. / komp.
GBOU NPO „Szkoła Zawodowa nr 13”, - Aleksandrowsk-Sachaliński, 2012
Wytyczne przeznaczone są dla studentów wszystkich zawodów studiujących matematykę
Prezes MK
Przybliżona wartość wielkości i błąd przybliżeń.
W praktyce prawie nigdy nie znamy dokładnych wartości wielkości. Żadna skala, niezależnie od tego, jak dokładna jest, nie pokazuje masy całkowicie dokładnie; każdy termometr pokazuje temperaturę z tym czy innym błędem; żaden amperomierz nie jest w stanie podać dokładnych odczytów prądu itp. Poza tym nasze oko nie jest w stanie całkowicie poprawnie odczytać wskazań przyrządów pomiarowych. Dlatego zamiast zajmować się rzeczywistymi wartościami wielkości, zmuszeni jesteśmy operować ich wartościami przybliżonymi.
Fakt, że A" jest przybliżoną wartością liczby A , zapisuje się następująco:
za ≈ za” .
Jeśli A" jest przybliżoną wartością ilości A , to różnica Δ = a - a" zwany błąd przybliżenia*.
* Δ - Grecki list; czytaj: delta. Następnie następuje kolejna grecka litera ε (czytaj: epsilon).
Na przykład, jeśli liczbę 3,756 zastąpimy przybliżoną wartością 3,7, wówczas błąd będzie równy: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Jeśli przyjmiemy 3,8 jako wartość przybliżoną, wówczas błąd będzie równy: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
W praktyce najczęściej stosuje się błąd aproksymacji Δ
, oraz wartość bezwzględna tego błędu | Δ
|. W dalszej części będziemy po prostu nazywać tę bezwzględną wartość błędu absolutny błąd. Jedno przybliżenie uważa się za lepsze od drugiego, jeśli błąd bezwzględny pierwszego przybliżenia jest mniejszy niż błąd bezwzględny drugiego przybliżenia. Na przykład przybliżenie 3,8 dla liczby 3,756 jest lepsze niż przybliżenie 3,7, ponieważ dla pierwszego przybliżenia
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, a dla drugiego | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Numer A" A aż doε , jeżeli błąd bezwzględny tego przybliżenia jest mniejszy niżε :
|a - a" | < ε .
Na przykład 3,6 jest przybliżeniem liczby 3,671 z dokładnością do 0,1, ponieważ |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Podobnie - 3/2 można uznać za przybliżenie liczby - 8/5 z dokładnością do 1/5, ponieważ
< A , To A" nazywa się przybliżoną wartością liczby A z wadą.
Jeśli A" > A , To A" nazywa się przybliżoną wartością liczby A w obfitości.
Na przykład 3,6 jest przybliżoną wartością liczby 3,671 z wadą, ponieważ 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Jeśli zamiast liczb mamy A I B zsumuj ich przybliżone wartości A" I B" , a następnie wynik a" + b" będzie przybliżoną wartością sumy a + b . Powstaje pytanie: jak ocenić dokładność tego wyniku, jeśli znana jest dokładność przybliżenia każdego wyrazu? Rozwiązanie tego i podobnych problemów opiera się na następującej własności wartości bezwzględnej:
|a + b | < |A | + |B |.
Wartość bezwzględna sumy dowolnych dwóch liczb nie przekracza sumy ich wartości bezwzględnych.
Błędy
Różnica między dokładną liczbą x a jej przybliżoną wartością a nazywana jest błędem tej przybliżonej liczby. Jeśli wiadomo, że | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej wartości przybliżonej nazywa się błędem względnym wartości przybliżonej. Błąd względny jest zwykle wyrażany w procentach.
Przykład. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
Naprawdę,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Ćwiczenia do samodzielnej pracy.
1. Z jaką dokładnością można mierzyć długości zwykłą linijką?
2. Jak dokładny jest zegar?
3. Czy wiesz z jaką dokładnością można zmierzyć masę ciała na nowoczesnych wagach elektrycznych?
4. a) W jakich granicach mieści się ta liczba? A , jeżeli jego przybliżona wartość z dokładnością do 0,01 wynosi 0,99?
b) W jakich granicach mieści się ta liczba? A , jeśli jego przybliżona wartość z wadą z dokładnością do 0,01 wynosi 0,99?
c) Jakie są granice tej liczby? A , jeśli jego przybliżona wartość z nadmiarem 0,01 jest równa 0,99?
5. Jakie jest przybliżenie tej liczby π ≈ 3,1415 jest lepsze: 3,1 czy 3,2?
6. Czy przybliżoną wartość pewnej liczby z dokładnością do 0,01 można uznać za przybliżoną wartość tej samej liczby z dokładnością do 0,1? A co w drugą stronę?
7. Na osi liczbowej określone jest położenie punktu odpowiadającego liczbie A . Wskaż w tej linii:
a) położenie wszystkich punktów odpowiadających przybliżonym wartościom liczby A z wadą z dokładnością do 0,1;
b) położenie wszystkich punktów odpowiadających przybliżonym wartościom liczby A z nadmiarem z dokładnością do 0,1;
c) położenie wszystkich punktów odpowiadających przybliżonym wartościom liczby A z dokładnością 0,1.
8. W jakim przypadku jest to wartość bezwzględna sumy dwóch liczb:
a) mniejsza niż suma wartości bezwzględnych tych liczb;
b) równa sumie wartości bezwzględnych tych liczb?
9. Udowodnij nierówności:
a) | a-b | < |A| + |B |; b)* | a - b | > ||A | - | B ||.
Kiedy w tych wzorach występuje znak równości?
Literatura:
1. Bashmakov (poziom podstawowy) 10-11 klas. – M., 2012
2. Baszmakow, 10. klasa. Zbiór problemów. - M: Ośrodek Wydawniczy „Akademia”, 2008
3., Mordkovich: Literatura: Książka dla studentów - wyd. 2 - M.: Edukacja, 1990
4. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka / komp. .-M.: Pedagogika, 1989
W działaniach praktycznych człowiek musi mierzyć różne wielkości, brać pod uwagę materiały i produkty pracy oraz dokonywać różnych obliczeń. Wyniki różnych pomiarów, obliczeń i obliczeń są liczbami. Liczby uzyskane w wyniku pomiarów tylko w przybliżeniu, z pewnym stopniem dokładności, charakteryzują pożądane wielkości. Dokładne pomiary są niemożliwe ze względu na niedokładność przyrządów pomiarowych, niedoskonałość naszego narządu wzroku, a same mierzone obiekty czasami nie pozwalają nam określić z jakąkolwiek dokładnością ich wielkości.
Na przykład wiadomo, że długość Kanału Sueskiego wynosi 160 km, odległość koleją z Moskwy do Leningradu wynosi 651 km. Mamy tu wyniki pomiarów wykonanych z dokładnością do kilometra. Jeżeli np. długość odcinka prostokątnego wynosi 29 m, szerokość 12 m, to prawdopodobnie pomiarów dokonano z dokładnością do metra, a pominięto ułamki metra,
Przed dokonaniem jakiegokolwiek pomiaru należy zdecydować z jaką dokładnością ma być on wykonany, tzn. jakie ułamki jednostki miary należy wziąć pod uwagę, a które pominąć.
Jeśli jest określona ilość A, której prawdziwa wartość jest nieznana, a przybliżona wartość (przybliżenie) tej wielkości jest równa X, potem piszą x.
Przy różnych pomiarach tej samej wielkości otrzymamy różne przybliżenia. Każde z tych przybliżeń będzie się różnić od rzeczywistej wartości mierzonej wielkości, równej np. A, o określoną kwotę, którą nazwiemy błąd. Definicja. Jeśli liczba x jest przybliżeniem (przybliżeniem) jakiejś wielkości, której prawdziwa wartość jest równa liczbie A, następnie moduł różnicy liczb, A I X zwany absolutny błąd tego przybliżenia i jest oznaczone A X: lub po prostu A. Zatem z definicji
A x = a-x (1)
Z tej definicji wynika, że
a = x A X (2)
Jeśli wiadomo o jakiej wielkości mówimy, to w zapisie A X indeks A zostaje pominięty, a równość (2) zapisuje się następująco:
za = x x (3)
Ponieważ prawdziwa wartość pożądanej wielkości jest najczęściej nieznana, niemożliwe jest znalezienie błędu bezwzględnego w przybliżeniu tej wielkości. Można jedynie wskazać w każdym konkretnym przypadku liczbę dodatnią, większą od której ten błąd bezwzględny nie może być. Liczba ta nazywana jest granicą błędu bezwzględnego przybliżenia wartości A i jest wyznaczony H A. Zatem jeśli X-- w takim razie dowolne przybliżenie wartości a dla danej procedury uzyskiwania przybliżeń
A x = a-x godz A (4)
Z powyższego wynika, że jeśli H A jest granicą błędu bezwzględnego aproksymacji wartości A, to dowolna liczba większa H A, będzie jednocześnie granicą błędu bezwzględnego aproksymacji wartości A.
W praktyce zwyczajowo jako granicę błędu bezwzględnego wybiera się najmniejszą możliwą liczbę spełniającą nierówność (4).
Rozwiązywanie nierówności a-x godz A rozumiemy to A zawarte w granicach
x - godz A a x + godz A (5)
Bardziej rygorystyczną koncepcję bezwzględnej granicy błędu można przedstawić w następujący sposób.
Pozwalać X- wiele różnych przybliżeń X wielkie ilości A dla danej procedury uzyskania przybliżenia. Następnie dowolny numer H, spełniający warunek a-x godz A w ogóle XX, nazywa się granicą błędu bezwzględnego przybliżeń ze zbioru X. Oznaczmy przez H A najmniejsza znana liczba H. Ten numer H A i jest wybierany w praktyce jako bezwzględna granica błędu.
Bezwzględny błąd aproksymacji nie charakteryzuje jakości pomiarów. Rzeczywiście, jeśli mierzymy jakąkolwiek długość z dokładnością do 1 cm, to jeśli chodzi o określenie długości ołówka, będzie to słaba dokładność. Jeśli określisz długość lub szerokość boiska do siatkówki z dokładnością do 1 cm, będzie to bardzo dokładne.
Aby scharakteryzować dokładność pomiaru, wprowadzono pojęcie błędu względnego.
Definicja. Jeśli A X: występuje bezwzględny błąd przybliżenia X pewna wielkość, której prawdziwa wartość jest równa liczbie A, następnie relacja A X do modułu liczby X nazywa się względnym błędem aproksymacji i jest oznaczany A X Lub X.
Zatem z definicji
Błąd względny jest zwykle wyrażany w procentach.
W przeciwieństwie do błędu bezwzględnego, który jest najczęściej wielkością wymiarową, błąd względny jest wielkością bezwymiarową.
W praktyce nie bierze się pod uwagę błędu względnego, ale tzw. granicę błędu względnego: taką liczbę mi A, od którego nie może być względny błąd przybliżenia pożądanej wartości.
Zatem, A x E A .
Jeśli H A-- granica błędu bezwzględnego przybliżeń wartości A, To A x godz A i dlatego
Oczywiście dowolną liczbę mi, spełniająca ten warunek, będzie granicą błędu względnego. W praktyce zwykle znane jest pewne przybliżenie X wielkie ilości A i bezwzględną granicę błędu. Następnie za liczbę przyjmuje się granicę błędu względnego
Dokładne i przybliżone wartości ilości
W większości przypadków dane liczbowe w problemach są przybliżone. W warunkach zadaniowych mogą również wystąpić dokładne wartości, na przykład wyniki zliczenia małej liczby obiektów, niektórych stałych itp.
Aby wskazać przybliżoną wartość liczby, użyj przybliżonego znaku równości; czytać w ten sposób: „w przybliżeniu równe” (nie powinno brzmieć: „w przybliżeniu równe”).
Poznanie charakteru danych liczbowych jest ważnym etapem przygotowawczym przy rozwiązywaniu dowolnego problemu.
Poniższe wskazówki mogą pomóc w rozpoznaniu dokładnych i przybliżonych liczb:
| Dokładne wartości | Wartości przybliżone |
| 1. Wartości szeregu współczynników przeliczeniowych dla przejścia z jednej jednostki miary na drugą (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Wiele współczynników przeliczeniowych zostało zmierzonych i obliczonych z tak dużą (metrologiczną) dokładnością, że są one obecnie praktycznie uważane za dokładne. | 1. Większość wartości wielkości matematycznych podanych w tabelach (pierwiastki, logarytmy, wartości funkcji trygonometrycznych, a także praktyczne wartości liczby i podstawy logarytmów naturalnych (liczba e)) |
| 2. Czynniki skali. Jeśli na przykład wiadomo, że skala wynosi 1:10000, wówczas liczby 1 i 10000 są uważane za dokładne. Jeśli wskazano, że 1 cm to 4 m, wówczas 1 i 4 są dokładnymi wartościami długości | 2. Wyniki pomiarów. (Niektóre podstawowe stałe: prędkość światła w próżni, stała grawitacji, ładunek i masa elektronu itp.) Tabelaryczne wartości wielkości fizycznych (gęstość materii, temperatury topnienia i wrzenia itp.) |
| 3. Taryfy i ceny. (koszt 1 kWh energii elektrycznej – dokładna cena) | 3. Dane projektowe są również przybliżone, ponieważ są one określone z pewnymi odchyleniami, które są standaryzowane przez GOST. (Przykładowo według normy wymiary cegły to: długość 250 6 mm, szerokość 120 4 mm, grubość 65 3 mm) W tej samej grupie liczb przybliżonych znajdują się wymiary wzięte z rysunku |
| 4. Konwencjonalne wartości wielkości (Przykłady: temperatura zera absolutnego -273,15 C, normalne ciśnienie atmosferyczne 101325 Pa) | |
| 5. Współczynniki i wykładniki występujące we wzorach fizycznych i matematycznych ( ; %; itp.). | |
| 6. Wyniki liczenia sztuk (liczba akumulatorów w akumulatorze; liczba kartonów po mleku wyprodukowanych przez zakład i zliczona przez licznik fotoelektryczny) | |
| 7. Dane wartości wielkości (Na przykład w zadaniu „Znajdź okresy oscylacji wahadeł o długości 1 i 4 m” liczby 1 i 4 można uznać za dokładne wartości długości wahadła) |
Wykonać wykonaj następujące zadania, sformatuj odpowiedź w formie tabeli:
1. Wskaż, które z podanych wartości są dokładne, a które przybliżone:
1) Gęstość wody (4 C)………..………………………..………………1000kg/m3
2) Prędkość dźwięku (0 C)……………………………………….332 m/s
3) Ciepło właściwe powietrza……………………………1,0 kJ/(kg∙K)
4) Temperatura wrzenia wody…………….…………………………….100 C
5) Stała Avogadro….…………………………………..…..6.02∙10 23 mol -1
6) Względna masa atomowa tlenu…………………………………..16
2. Znajdź dokładne i przybliżone wartości w następujących zadaniach:
1) W silniku parowym szpula z brązu, której długość i szerokość wynoszą odpowiednio 200 i 120 mm, podlega ciśnieniu 12 MPa. Znajdź siłę potrzebną do przesunięcia szpuli po żeliwnej powierzchni cylindra. Współczynnik tarcia wynosi 0,10.
2) Określ rezystancję żarnika lampy elektrycznej, korzystając z oznaczeń: „220 V, 60 W”.
3. Jakie odpowiedzi – dokładne czy przybliżone – otrzymamy rozwiązując poniższe zadania?
1) Jaka jest prędkość swobodnie spadającego ciała na koniec 15 sekundy, zakładając, że odstęp czasu jest dokładnie określony?
2) Jaka jest prędkość koła pasowego, jeśli jego średnica wynosi 300 mm, a prędkość obrotowa wynosi 10 obr/s? Uznaj dane za dokładne.
3) Wyznacz moduł siły. Skala 1 cm – 50N.
4) Wyznacz współczynnik tarcia statycznego dla ciała położonego na pochyłej płaszczyźnie, jeżeli ciało zaczyna ślizgać się równomiernie po pochyłości przy = 0,675, gdzie jest kąt nachylenia płaszczyzny.