>

Jaki znak dodatni pomnożony przez ujemny. Mnożenie ułamków o różnych znakach. Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych

Tabela 5

Tabela 6

Z pewnym naciągnięciem to samo wyjaśnienie jest odpowiednie dla iloczynu 1-5, jeśli założymy, że „suma” pojedynczego

termin jest równy temu terminowi. Ale iloczynu 0 5 lub (-3) 5 nie można wyjaśnić w ten sposób: co oznacza suma zera lub minus trzy wyrazy?

Można jednak zmienić układ czynników

Jeśli chcemy, aby iloczyn nie zmienił się po zmianie układu czynników – jak to miało miejsce w przypadku liczb dodatnich – to musimy w ten sposób założyć, że

Przejdźmy teraz do iloczynu (-3) (-5). Ile to jest równe: -15 czy +15? Obie opcje mają sens. Z jednej strony minus w jednym czynniku już powoduje, że iloczyn jest ujemny - tym bardziej powinien być ujemny, jeśli oba czynniki są ujemne. Z kolei w tabeli. 7 ma już dwa minusy, ale tylko jeden plus, a „w miarę” (-3)-(-5) powinno wynosić +15. Co więc wolisz?

Tabela 7

Oczywiście nie będziesz zdezorientowany takimi rozmowami: ze szkolnego kursu matematyki zdecydowanie nauczyłeś się, że minus za minusem daje plus. Ale wyobraź sobie, że Twój młodszy brat lub siostra pyta Cię: dlaczego? Co to jest - kaprys nauczyciela, wskazanie wyższych autorytetów, czy twierdzenie, które można udowodnić?

Zwykle zasadę mnożenia liczb ujemnych wyjaśnia się na przykładach przedstawionych w tabeli. 8.

Tabela 8

Można to wyjaśnić w inny sposób. Napiszmy liczby z rzędu

Teraz napiszmy te same liczby pomnożone przez 3:

Łatwo zauważyć, że każda liczba jest o 3 większa od poprzedniej.Teraz zapiszemy te same liczby w odwrotnej kolejności (zaczynając np. od 5 i 15):

Jednocześnie liczba -15 okazała się być pod liczbą -5, więc 3 (-5) \u003d -15: plus przez minus daje minus.

Teraz powtórzmy tę samą procedurę, mnożąc liczby 1,2,3,4,5... przez -3 (wiemy już, że plus razy minus równa się minus):

Każda kolejna liczba dolnego rzędu jest mniejsza od poprzedniej o 3. Zapiszmy liczby w odwrotnej kolejności

i kontynuuj:

Liczba -5 okazała się równa 15, więc (-3) (-5) = 15.

Być może te wyjaśnienia usatysfakcjonują twojego młodszego brata lub siostrę. Ale masz prawo zapytać, jak jest naprawdę i czy można udowodnić, że (-3) (-5) = 15?

Odpowiedź jest taka, że ​​można udowodnić, że (-3) (-5) musi wynosić 15, jeśli tylko chcemy, aby zwykłe właściwości dodawania, odejmowania i mnożenia pozostały prawdziwe dla wszystkich liczb, łącznie z liczbami ujemnymi. Zarys tego dowodu jest następujący.

Najpierw udowodnijmy, że 3 (-5) = -15. Co to jest -15? To jest przeciwieństwo 15, czyli liczby, która daje 15 do 0. Musimy to udowodnić

W tym artykule zajmiemy się mnożenie liczb o różnych znakach. Tutaj najpierw formułujemy regułę mnożenia liczby dodatniej i ujemnej, uzasadniamy ją, a następnie rozważamy zastosowanie tej reguły przy rozwiązywaniu przykładów.

Nawigacja strony.

Zasada mnożenia liczb o różnych znakach

Mnożenie liczby dodatniej przez ujemną, a także liczby ujemnej przez dodatnią, odbywa się według następującego wzoru zasada mnożenia liczb o różnych znakach: aby pomnożyć liczby o różnych znakach, należy pomnożyć i umieścić znak minus przed otrzymanym iloczynem.

Zapiszmy tę regułę w formie dosłownej. Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dowolnej ujemnej liczby rzeczywistej −b równość a(−b)=−(|a|·|b|) , a dla liczby ujemnej −a i liczby dodatniej b, równość (−a)b=−(|a|·|b|) .

Zasada mnożenia liczb o różnych znakach jest w pełni zgodna własności działań na liczbach rzeczywistych. Rzeczywiście na ich podstawie łatwo wykazać, że dla liczb rzeczywistych i dodatnich aib powstaje łańcuch równości postaci a (−b)+a b=a ((−b)+b)=a 0=0, co dowodzi, że a (−b) i a b są liczbami przeciwnymi, co implikuje równość a (−b)=−(a b) . Z tego wynika ważność rozważanej reguły mnożenia.

Należy zauważyć, że ogłoszona zasada mnożenia liczb o różnych znakach obowiązuje zarówno dla liczb rzeczywistych, jak i wymiernych oraz liczb całkowitych. Wynika to z faktu, że operacje na liczbach wymiernych i całkowitych mają te same właściwości, które zostały użyte w powyższym dowodzie.

Oczywiste jest, że mnożenie liczb o różnych znakach zgodnie z uzyskaną regułą sprowadza się do mnożenia liczb dodatnich.

Pozostaje tylko rozważyć przykłady zastosowania analizowanej reguły mnożenia przy mnożeniu liczb o różnych znakach.

Przykłady mnożenia liczb o różnych znakach

Przyjrzyjmy się kilku rozwiązaniom przykłady mnożenia liczb przez różne znaki. Zacznijmy od prostego przypadku, aby skupić się na krokach reguł, a nie na złożoności obliczeniowej.

Pomnóż liczbę ujemną −4 przez liczbę dodatnią 5 .

Zgodnie z zasadą mnożenia liczb o różnych znakach, najpierw musimy pomnożyć moduły pierwotnych czynników. Moduł −4 wynosi 4, a moduł 5 wynosi 5, a mnożenie liczb naturalnych 4 i 5 daje 20. Na koniec pozostaje umieścić znak minus przed wynikową liczbą, mamy -20. To kończy mnożenie.

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: (−4) 5=−(4 5)=−20 .

(-4) 5=-20 .

Mnożąc liczby ułamkowe o różnych znakach, musisz umieć wykonywać mnożenie ułamków zwykłych, mnożenie ułamków dziesiętnych i ich kombinacje z liczbami naturalnymi i mieszanymi.

Wykonaj mnożenie liczb o różnych znakach 0, (2) i.

Po przeliczeniu okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły i zakończeniu przejścia z liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy, przejdziemy od iloczynu pierwotnego do iloczynu ułamków zwykłych o różnych znakach postaci. Ten iloczyn jest równy zasadzie mnożenia liczb o różnych znakach. Pozostaje tylko pomnożyć ułamki zwykłe w nawiasach, mamy .

.

Osobno warto wspomnieć o mnożeniu liczb o różnych znakach, gdy występuje jeden lub oba czynniki

Teraz zajmijmy się mnożenie i dzielenie.

Załóżmy, że musimy pomnożyć +3 przez -4. Jak to zrobić?

Rozważmy taki przypadek. Trzy osoby popadły w długi, a każda z nich ma 4 dolary długu. Jaki jest całkowity dług? Aby go znaleźć, należy dodać wszystkie trzy długi: 4 USD + 4 USD + 4 USD = 12 USD. Zdecydowaliśmy, że dodanie trzech liczb 4 oznacza się jako 3 × 4. Ponieważ w tym przypadku mówimy o długu, przed cyfrą 4 znajduje się znak „-”. Wiemy, że całkowity dług wynosi 12 dolarów, więc teraz naszym problemem jest 3x(-4)=-12.

Ten sam wynik otrzymamy, jeśli zgodnie z warunkiem zadania każda z czterech osób będzie miała dług w wysokości 3 dolarów. Innymi słowy, (+4)x(-3)=-12. A ponieważ kolejność czynników nie ma znaczenia, otrzymujemy (-4)x(+3)=-12 i (+4)x(-3)=-12.

Podsumujmy wyniki. Gdy mnożymy jedną liczbę dodatnią i jedną ujemną, wynikiem zawsze będzie liczba ujemna. Wartość liczbowa odpowiedzi będzie taka sama jak w przypadku liczb dodatnich. Produkt (+4)x(+3)=+12. Obecność znaku „-” wpływa tylko na znak, ale nie wpływa na wartość liczbową.

Jak pomnożyć dwie liczby ujemne?

Niestety bardzo trudno jest znaleźć odpowiedni przykład z życia na ten temat. Łatwo jest wyobrazić sobie dług wynoszący 3 lub 4 dolary, ale całkowicie niemożliwe jest wyobrażenie sobie, że -4 lub -3 osoby zadłużą się.

Być może pójdziemy w drugą stronę. Przy mnożeniu zmiana znaku jednego z czynników powoduje zmianę znaku iloczynu. Jeśli zmienimy znaki obu czynników, musimy zmienić znaki dwukrotnie znak produktu, najpierw z dodatniego na ujemny, a następnie odwrotnie, z ujemnego na dodatni, czyli produkt będzie miał swój oryginalny znak.

Dlatego jest całkiem logiczne, choć trochę dziwne, że (-3)x(-4)=+12.

Stanowisko znaku po pomnożeniu zmienia się to w następujący sposób:

  • liczba dodatnia x liczba dodatnia = liczba dodatnia;
  • liczba ujemna x liczba dodatnia = liczba ujemna;
  • liczba dodatnia x liczba ujemna = liczba ujemna;
  • liczba ujemna x liczba ujemna = liczba dodatnia.

Innymi słowy, mnożąc dwie liczby o tym samym znaku, otrzymujemy liczbę dodatnią. Mnożąc dwie liczby o różnych znakach, otrzymujemy liczbę ujemną.

Ta sama zasada dotyczy przeciwieństwa mnożenia – dla.

Możesz to łatwo sprawdzić, uruchamiając odwrotne operacje mnożenia. Jeśli w każdym z powyższych przykładów pomnożysz iloraz przez dzielnik, otrzymasz dywidendę i upewnisz się, że ma ten sam znak, np. (-3)x(-4)=(+12).

Jako że zbliża się zima, czas pomyśleć o tym, w co przemienić swojego żelaznego konia, aby nie poślizgnąć się na lodzie i czuć się pewnie na zimowych drogach. Możesz na przykład wziąć opony Yokohama na stronie: mvo.ru lub kilku innych, najważniejsze jest to, że będzie wysokiej jakości, więcej informacji i cen znajdziesz na stronie Mvo.ru.


W tym artykule przedstawiono szczegółowy przegląd dzielenie liczb o różnych znakach. Najpierw podana jest zasada dzielenia liczb o różnych znakach. Poniżej znajdują się przykłady dzielenia liczb dodatnich przez ujemne i liczb ujemnych przez dodatnie.

Nawigacja strony.

Zasada dzielenia liczb o różnych znakach

W artykule dotyczącym dzielenia liczb całkowitych uzyskano zasadę dzielenia liczb całkowitych o różnych znakach. Można go rozszerzyć zarówno na liczby wymierne, jak i liczby rzeczywiste, powtarzając wszystkie argumenty z określonego artykułu.

Więc, zasada dzielenia liczb o różnych znakach ma następującą formułę: aby podzielić liczbę dodatnią przez liczbę ujemną lub liczbę ujemną przez liczbę dodatnią, należy podzielić dywidendę przez moduł dzielnika i przed otrzymaną liczbą postawić znak minus.

Tę regułę dzielenia zapisujemy za pomocą liter. Jeśli liczby a i b mają różne znaki, wówczas formuła jest ważna a:b=−|a|:|b| .

Z dźwięcznej reguły jasno wynika, że ​​​​wynikiem dzielenia liczb różnymi znakami jest liczba ujemna. Rzeczywiście, ponieważ moduł dzielnej i moduł dzielnika są bardziej dodatnie niż liczba, wówczas ich iloraz jest liczbą dodatnią, a znak minus powoduje, że ta liczba jest ujemna.

Należy zauważyć, że rozważana reguła sprowadza dzielenie liczb o różnych znakach do dzielenia liczb dodatnich.

Można podać inne sformułowanie reguły dzielenia liczb różnymi znakami: aby podzielić liczbę a przez liczbę b, należy pomnożyć liczbę a przez liczbę b −1, czyli odwrotność liczby b. To jest, a:b=ab-1 .

Reguły tej można użyć, gdy możliwe jest wyjście poza zbiór liczb całkowitych (ponieważ nie każda liczba całkowita ma odwrotność). Inaczej mówiąc, ma to zastosowanie zarówno do zbioru liczb wymiernych, jak i do zbioru liczb rzeczywistych.

Oczywiste jest, że ta zasada dzielenia liczb różnymi znakami pozwala przejść od dzielenia do mnożenia.

Tę samą zasadę stosuje się przy dzieleniu liczb ujemnych.

Pozostaje rozważyć, w jaki sposób ta zasada dzielenia liczb różnymi znakami jest stosowana w rozwiązywaniu przykładów.

Przykłady dzielenia liczb różnymi znakami

Rozważmy rozwiązania o kilku charakterystycznych cechach przykłady dzielenia liczb różnymi znakami zrozumieć zasadę stosowania zasad z poprzedniego akapitu.

Podziel liczbę ujemną -35 przez liczbę dodatnią 7 .

Zasada dzielenia liczb o różnych znakach nakazuje najpierw znaleźć moduły dzielnej i dzielnika. Moduł -35 wynosi 35, a moduł 7 wynosi 7. Teraz musimy podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika, to znaczy musimy podzielić 35 przez 7. Pamiętając, jak przeprowadza się dzielenie liczb naturalnych, otrzymujemy 35:7=5. Pozostaje ostatni krok reguły dzielenia liczb o różnych znakach - wstaw minus przed wynikową liczbą, mamy -5.

Oto całe rozwiązanie: .

Można by wyjść z innego sformułowania zasady dzielenia liczb o różnych znakach. W tym przypadku najpierw znajdujemy liczbę będącą odwrotnością dzielnika 7. Ta liczba jest ułamkiem wspólnym 1/7. Zatem, . Pozostaje wykonać mnożenie liczb o różnych znakach: . Oczywiście doszliśmy do tego samego rezultatu.

(−35):7=−5 .

Oblicz iloraz 8:(−60) .

Zgodnie z zasadą dzielenia liczb o różnych znakach mamy 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Wynikowe wyrażenie odpowiada ujemnemu ułamkowi zwykłemu (patrz znak podziału jako słupek ułamkowy), możesz zmniejszyć ułamek o 4, otrzymujemy .

Całe rozwiązanie zapisujemy krótko: .

.

Podczas dzielenia ułamkowych liczb wymiernych o różnych znakach ich dzielna i dzielnik są zwykle przedstawiane jako ułamki zwykłe. Wynika to z faktu, że nie zawsze wygodnie jest wykonywać dzielenie liczbami w innej notacji (na przykład dziesiętnej).

Moduł dzielnej wynosi, a moduł dzielnika wynosi 0,(23) . Aby podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika, przejdźmy do ułamków zwykłych.

W tym artykule formułujemy zasadę mnożenia liczb ujemnych i podamy jej wyjaśnienie. Proces mnożenia liczb ujemnych zostanie szczegółowo rozważony. Przykłady pokazują wszystkie możliwe przypadki.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mnożenie liczb ujemnych

Definicja 1

Zasada mnożenia liczb ujemnych polega na tym, że aby pomnożyć dwie liczby ujemne, należy pomnożyć ich moduł. Reguła ta jest zapisana w następujący sposób: dla dowolnych liczb ujemnych - a, - b, tę równość uważa się za prawdziwą.

(- a) (- b) = za b .

Powyżej znajduje się zasada mnożenia dwóch liczb ujemnych. Na tej podstawie udowodnimy wyrażenie: (- a) · (- b) = a · b. Przedimek mnożenia liczb o różnych znakach mówi, że równości a · (- b) = - a · b są sprawiedliwe, a także (- a) · b = - a · b. Wynika to z własności liczb przeciwnych, dzięki czemu równości zostaną zapisane w następujący sposób:

(- a) (- b) = (- a (- b)) = - (- (a b)) = za b .

Tutaj wyraźnie widać dowód reguły mnożenia liczb ujemnych. Na podstawie przykładów widać, że iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. Wynik mnożenia modułów liczb jest zawsze liczbą dodatnią.

Zasada ta dotyczy mnożenia liczb rzeczywistych, wymiernych, całkowitych.

Rozważmy teraz szczegółowo przykłady pomnożenia dwóch liczb ujemnych. Przy obliczaniu należy kierować się zasadą zapisaną powyżej.

Przykład 1

Pomnóż liczby - 3 i - 5.

Rozwiązanie.

Moduł pomnożony pod warunkiem, że dwie liczby są równe liczbom dodatnim 3 i 5 . Ich produkt daje w efekcie 15. Wynika z tego, że iloczyn podanych liczb wynosi 15

Napiszmy krótko samo mnożenie liczb ujemnych:

(- 3) (- 5) = 3 5 = 15

Odpowiedź: (- 3) · (- 5) = 15 .

Mnożąc ujemne liczby wymierne, stosując analizowaną regułę, można zmobilizować się do mnożenia ułamków zwykłych, mnożenia liczb mieszanych, mnożenia ułamków dziesiętnych.

Przykład 2

Oblicz iloczyn (- 0 , 125) · (- 6) .

Rozwiązanie.

Korzystając z zasady mnożenia liczb ujemnych, otrzymujemy, że (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Aby uzyskać wynik, należy pomnożyć ułamek dziesiętny przez naturalną liczbę kresek. To wygląda tak:

Otrzymaliśmy, że wyrażenie będzie miało postać (− 0 , 125) (− 6) = 0 , 125 6 = 0 , 75 .

Odpowiedź: (− 0, 125) (− 6) = 0, 75.

W przypadku, gdy czynniki są liczbami niewymiernymi, wówczas ich iloczyn można zapisać jako wyrażenie liczbowe. Wartość jest obliczana tylko w razie potrzeby.

Przykład 3

Należy pomnożyć liczbę ujemną - 2 przez nieujemną log 5 1 3 .

Rozwiązanie

Znajdź moduły podanych liczb:

2 = 2 i log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Kierując się zasadami mnożenia liczb ujemnych, otrzymujemy wynik - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3 . To wyrażenie jest odpowiedzią.

Odpowiedź: - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3 .

Aby kontynuować studiowanie tematu, należy powtórzyć sekcję dotyczącą mnożenia liczb rzeczywistych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Temat lekcji otwartej: „Mnożenie liczb ujemnych i dodatnich”

Data: 17.03.2017

Nauczyciel: Kuts V.V.

Klasa: 6 gr

Cel i zadania lekcji:

    wprowadzić zasady mnożenia dwóch liczb ujemnych i liczb o różnych znakach;

    promowanie rozwoju mowy matematycznej, pamięci roboczej, dobrowolnej uwagi, efektywnego myślenia wizualnego;

    kształtowanie wewnętrznych procesów rozwoju intelektualnego, osobistego i emocjonalnego.

    kultywować kulturę zachowania w pracy frontalnej, pracy indywidualnej i grupowej.

Typ lekcji: lekcja podstawowej prezentacji nowej wiedzy

Formy studiów: frontalnie, praca w parach, praca w grupach, praca indywidualna.

Metody nauczania: werbalne (rozmowa, dialog); wizualne (praca z materiałem dydaktycznym); dedukcyjne (analiza, zastosowanie wiedzy, uogólnianie, działania projektowe).

Pojęcia i terminy : moduł liczby, liczby dodatnie i ujemne, mnożenie.

Planowane wyniki uczenie się

- potrafić mnożyć liczby o różnych znakach, mnożyć liczby ujemne;

Zastosuj zasadę mnożenia liczb dodatnich i ujemnych podczas rozwiązywania ćwiczeń, ustal zasady mnożenia ułamków dziesiętnych i zwykłych.

Regulacyjne - potrafić określić i sformułować cel lekcji przy pomocy nauczyciela; wymawiaj sekwencję działań na lekcji; pracować według zbiorowego planu; ocenić poprawność działania. Zaplanuj swoje działanie zgodnie z zadaniem; dokonać niezbędnych korekt działania po jego zakończeniu w oparciu o jego ocenę i biorąc pod uwagę popełnione błędy; wyrazić swoje przypuszczenie.Komunikatywny - potrafić ustnie formułować swoje myśli; słuchać i rozumieć mowę innych; wspólnie ustalają zasady zachowania i komunikacji w szkole i przestrzegają ich.

Kognitywny - potrafić poruszać się w swoim systemie wiedzy, odróżniać wiedzę nową od już znanej przy pomocy nauczyciela; zdobywać nową wiedzę; znajdź odpowiedzi na pytania, korzystając z podręcznika, swojego doświadczenia życiowego i informacji otrzymanych na lekcji.

Kształtowanie odpowiedzialnej postawy do nauki opartej na motywacji do uczenia się nowych rzeczy;

Kształtowanie kompetencji komunikacyjnych w procesie komunikowania się i współpracy z rówieśnikami w działaniach edukacyjnych;

Potrafić dokonać samooceny w oparciu o kryterium powodzenia działań edukacyjnych; skoncentruj się na sukcesie w nauce.

Podczas zajęć

Elementy konstrukcyjne lekcji

Zadania dydaktyczne

Przewidywana aktywność nauczyciela

Przewidywana aktywność studentów

Wynik

1. Moment organizacyjny

Motywacja do udanego działania

Sprawdź gotowość do lekcji.

- Dzień dobry chłopaki! Usiądź! Sprawdź, czy masz wszystko przygotowane na lekcję: zeszyt i podręcznik, pamiętnik i przybory do pisania.

Cieszę się, że widzę cię dzisiaj na lekcji w dobrym nastroju.

Spójrzcie sobie w oczy, uśmiechnijcie się, życzcie swoim towarzyszom dobrego nastroju w pracy swoimi oczami.

Życzę wam również dobrej pracy dzisiaj.

Kochani, mottem dzisiejszej lekcji będzie cytat francuskiego pisarza Anatole France:

„Nauka może być tylko zabawą. Aby strawić wiedzę, trzeba ją chłonąć ze smakiem.”

Kochani, kto mi powie, co to znaczy chłonąć wiedzę z apetytem?

Zatem dzisiaj na lekcji z wielką przyjemnością przyswoimy wiedzę, bo przyda się nam ona w przyszłości.

Dlatego raczej otwieramy zeszyty i zapisujemy numer, fajna robota.

Nastrój emocjonalny

- Z zainteresowaniem, z przyjemnością.

Gotowy do rozpoczęcia lekcji

Pozytywna motywacja do nauki nowego tematu

2. Aktywacja aktywności poznawczej

Przygotuj ich do zdobywania nowej wiedzy i sposobów działania.

Zorganizuj bezpośrednią ankietę na temat omawianego materiału.

Chłopaki, kto mi powie, jaka jest najważniejsza umiejętność w matematyce? ( Sprawdzać). Prawidłowy.

Więc teraz cię przetestuję, jak dobrze potrafisz liczyć.

Zrobimy teraz ćwiczenie matematyczne.

Pracujemy jak zwykle, liczymy ustnie, a odpowiedź zapisujemy pisemnie. Daję ci 1 minutę.

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Sprawdźmy odpowiedzi.

Sprawdzimy odpowiedzi, jeśli zgadzasz się z odpowiedzią, następnie klaśnij w dłonie, jeśli się nie zgadzasz, to tupnij nogami.

Brawo chłopcy.

Powiedz mi, jakie działania wykonaliśmy z liczbami?

Jakiej reguły używaliśmy przy liczeniu?

Sformułuj te zasady.

Odpowiadaj na pytania, rozwiązując małe przykłady.

Dodawanie i odejmowanie.

Dodawanie liczb o różnych znakach, dodawanie liczb ze znakami ujemnymi i odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych.

Gotowość uczniów do sformułowania problemu problematycznego, znalezienia sposobów jego rozwiązania.

3. Motywacja do ustalenia tematu i celu lekcji

Zachęć uczniów do ustalenia tematu i celu lekcji.

Organizuj pracę w parach.

Cóż, czas przejść do nauki nowego materiału, ale najpierw powtórzmy materiał z poprzednich lekcji. Pomoże nam w tym krzyżówka matematyczna.

Ale ta krzyżówka nie jest zwyczajna, zawiera słowo kluczowe, które powie nam temat dzisiejszej lekcji.

Krzyżówka leży na Waszych stołach, będziemy nad nią pracować w parach. A jak już w parach, to przypomnij mi, jak to jest w parach?

Przypomnieliśmy sobie zasadę pracy w parach, ale teraz zaczynamy rozwiązywać krzyżówkę, daję Wam 1,5 minuty. Ktokolwiek robi wszystko, połóż swoje długopisy, żebym mógł zobaczyć.

(Aneks 1)

1. Jakie liczby są używane w liczeniu?

2. Nazywa się odległość od początku do dowolnego punktu?

3. Czy liczby reprezentowane przez ułamek nazywają się?

4. Czy nazywa się dwie liczby różniące się tylko znakami?

5. Jakie liczby leżą na prawo od zera na osi współrzędnych?

6. Jak nazywają się liczby naturalne, ich przeciwieństwa i zero?

7. Jaką liczbę nazywamy neutralną?

8. Liczba określająca położenie punktu na linii prostej?

9. Jakie liczby leżą na lewo od zera na osi współrzędnych?

Zatem czas minął. Sprawdźmy.

Rozwiązaliśmy całą krzyżówkę i w ten sposób powtórzyliśmy materiał z poprzednich lekcji. Podnieś rękę, kto popełnił tylko jeden błąd, a kto dwa? (Więc jesteście wspaniali).

Cóż, teraz wracamy do naszej krzyżówki. Na samym początku powiedziałam, że zawiera słowo, które powie nam o temacie lekcji.

Jaki jest zatem temat naszej lekcji?

A co dzisiaj pomnożymy?

Zastanówmy się, w tym celu przypominamy sobie typy liczb, które już znamy.

Zastanówmy się, jakie liczby już umiemy mnożyć?

Jakie liczby nauczymy się dziś mnożyć?

Zapisz w zeszycie temat lekcji: „Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych”.

A więc, chłopaki, zorientowaliście się, o czym będziemy dzisiaj rozmawiać na lekcji.

Powiedzcie proszę, jaki jest cel naszej lekcji, czego każdy z Was powinien się nauczyć i czego spróbować się nauczyć pod koniec lekcji?

Chłopaki, cóż, aby osiągnąć ten cel, jakie zadania będziemy musieli z wami rozwiązać?

Całkiem dobrze. To są dwa zadania, które będziemy musieli dziś z Państwem rozwiązać.

Pracujcie w parach, ustalcie temat i cel lekcji.

1.Naturalne

2.Moduł

3. Racjonalne

4.Naprzeciwko

5. Pozytywny

6. Całość

7.Zero

8.Koordynacja

9. Negatywne

-"Mnożenie"

Liczby dodatnie i ujemne

„Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych”

Cel lekcji:

Naucz się mnożyć liczby dodatnie i ujemne

Najpierw, aby nauczyć się mnożyć liczby dodatnie i ujemne, musisz uzyskać regułę.

Po drugie, kiedy już otrzymamy regułę, co wtedy powinniśmy zrobić? (naucz się go stosować przy rozwiązywaniu przykładów).

4. Zdobywanie nowej wiedzy i sposobów działania

Zdobądź nową wiedzę na dany temat.

-Organizacja pracy w grupach (nauka nowego materiału)

- Teraz, aby osiągnąć nasz cel, zaczniemy pierwsze zadanie, wyprowadzimy regułę mnożenia liczb dodatnich i ujemnych.

A prace badawcze nam w tym pomogą. A kto mi powie, dlaczego nazywa się to badaniami? - W tej pracy będziemy badać, aby odkryć zasady „Mnożenia liczb dodatnich i ujemnych”.

Twoja praca badawcza będzie odbywać się w grupach, w sumie będziemy mieli 5 grup badawczych.

Powtarzaliśmy w myślach, jak powinniśmy pracować w grupie. Jeśli ktoś zapomniał, zasady są przed tobą na ekranie.

Cel Twojej pracy badawczej: Eksplorując zadania, stopniowo wyprowadzaj regułę „Mnożenie liczb ujemnych i dodatnich” w zadaniu nr 2, w zadaniu nr 1 masz w sumie 4 zadania. Aby rozwiązać te problemy, pomoże Ci nasz termometr, każda grupa ma swój.

Wszystkie wpisy są robione na kartce papieru.

Kiedy grupa znajdzie rozwiązanie pierwszego problemu, pokazujesz je na tablicy.

Masz 5-7 minut na pracę.

(Załącznik 2 )

Praca w grupach (wypełnij tabelę, przeprowadź badania)

Zasady pracy w grupach.

Praca w grupach jest bardzo łatwa

Poznaj pięć zasad, których należy przestrzegać:

po pierwsze: nie przerywaj,

kiedy opowiada

przyjacielu, wokół powinna panować cisza;

po drugie: nie krzycz głośno,

i podaj argumenty;

a trzecia zasada to po prostu:

zdecyduj, co jest dla Ciebie ważne;

po czwarte: nie wystarczy wiedzieć ustnie

musi zostać zarejestrowany;

i po piąte: podsumuj, pomyśl,

co mogłeś zrobić.

Mistrzostwo

wiedzę i metody działania określone celami lekcji

5.Fizminutka

Ustalenie na tym etapie poprawności asymilacji nowego materiału, identyfikacja błędnych przekonań i ich skorygowanie

OK, umieściłem wszystkie odpowiedzi w tabeli, teraz spójrzmy na każdą linię w naszej tabeli (zobacz prezentację)

Jakie wnioski możemy wyciągnąć z badania tabeli.

1 linia. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

2 linia. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

3 linie. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

4 linia. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

I tak przeanalizowałeś przykłady i jesteś gotowy do sformułowania reguł, w tym celu musiałeś uzupełnić luki w drugim zadaniu.

Jak pomnożyć liczbę ujemną przez liczbę dodatnią?

- Jak pomnożyć dwie liczby ujemne?

Odpocznijmy trochę.

Odpowiedź pozytywna – usiądź, negatywna – wstań.

    5*6

    2*2

    7*(-4)

    2*(-3)

    8*(-8)

    7*(-2)

    5*3

    4*(-9)

    5*(-5)

    9*(-8)

    15*(-3)

    7*(-6)

Mnożenie liczb dodatnich zawsze daje liczbę dodatnią.

Mnożenie liczby ujemnej przez liczbę dodatnią zawsze daje liczbę ujemną.

Mnożenie liczb ujemnych zawsze daje liczbę dodatnią.

Mnożenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną daje liczbę ujemną.

Aby pomnożyć dwie liczby o różnych znakach,zwielokrotniać moduły tych liczb i wstaw znak „-” przed otrzymaną liczbą.

- Aby pomnożyć dwie liczby ujemne, potrzebujeszzwielokrotniać swoje moduły i umieść znak przed otrzymaną liczbą «+».

Uczniowie wykonują ćwiczenia fizyczne, utrwalając zasady.

Zapobiegaj zmęczeniu

7.Pierwsze mocowanie nowego materiału

Opanowanie umiejętności zastosowania zdobytej wiedzy w praktyce.

Organizuj frontalną i samodzielną pracę nad omawianym materiałem.

Ustalimy zasady i będziemy powtarzać sobie w parach te same zasady. Daję ci na to minutę.

Powiedz mi, czy możemy teraz przejść do rozwiązywania przykładów? Tak możemy.

Otwieramy stronę 192 nr 1121

Razem zrobimy pierwszą i drugą linię a) 5 * (-6) = 30

b) 9*(-3)=-27

g) 0,7*(-8)=-5,6

h) -0,5*6=-3

n) 1,2*(-14)=-16,8

o) -20,5*(-46)=943

trzy osoby przy tablicy

Masz 5 minut na rozwiązanie przykładów.

I sprawdzamy wszystko razem.

    Zadanie twórcze w parach (załącznik 3)

Wstaw liczby tak, aby na każdym piętrze ich iloczyn był równy liczbie na dachu domu.

Rozwiąż przykłady wykorzystując zdobytą wiedzę

Podnieście ręce, kto nie popełnił błędów, brawo....

Aktywne działania uczniów mające na celu zastosowanie wiedzy w życiu.

9. Refleksja (efekt lekcji, ocena efektów działań uczniów)

Podaruj uczniom refleksję, tj. ocenę ich działań

Zorganizuj podsumowanie lekcji

Nasza lekcja dobiegła końca, podsumujmy.

Powróćmy do tematu naszej lekcji, dobrze? Jaki był nasz cel? - Czy udało nam się ten cel osiągnąć?

Jakie trudności sprawił Ci ten temat?

- Chłopaki, cóż, aby ocenić swoją pracę na lekcji, musisz narysować buźkę w kręgach znajdujących się na twoich stołach.

Uśmiechnięty emotikon oznacza, że ​​wszystko rozumiesz. Zielony oznacza, że ​​rozumiesz, ale musisz poćwiczyć i smutną buźkę, jeśli w ogóle nic nie rozumiesz. (Daj mi pół minuty)

No cóż, chłopaki, jesteście gotowi pokazać, jak dzisiaj pracowaliście na zajęciach? Podnosimy więc i ja też podnosim dla Ciebie buźkę.

Jestem bardzo zadowolony z ciebie dzisiaj na lekcji! Widzę, że wszyscy zrozumieli materiał. Chłopaki, jesteście wielcy!

Lekcja się skończyła, dziękuję za przeczytanie!

Odpowiedz na pytania i oceń swoją pracę

Tak mamy.

Otwartość uczniów na przekaz i zrozumienie swoich działań, aby zidentyfikować pozytywne i negatywne aspekty lekcji

10 .Informacje o zadaniach domowych

Zapewnij zrozumienie celu, treści i metod odrabiania pracy domowej

Umożliwia zrozumienie celu pracy domowej.

Praca domowa:

1. Naucz się zasad mnożenia
2. nr 1121 (3. kolumna).
3.Zadanie twórcze: ułóż test składający się z 5 pytań wielokrotnego wyboru.

Zapisz zadanie domowe, starając się je zrozumieć i zrozumieć.

Realizacja potrzeby zapewnienia warunków pomyślnego odrabiania zadań domowych przez wszystkich uczniów, zgodnie z zadaniem i poziomem rozwoju uczniów

Zadanie 1. Punkt porusza się po linii prostej od lewej do prawej z prędkością 4 dm. na sekundę i obecnie przechodzi przez punkt A. Gdzie będzie poruszający się punkt po 5 sekundach?

Łatwo się domyślić, że punkt będzie znajdował się na wysokości 20 dm. na prawo od A. Zapiszmy rozwiązanie tego problemu w liczbach względnych. Aby to zrobić, zgadzamy się na następujące znaki:

1) prędkość w prawo będzie oznaczona znakiem +, a w lewo znakiem -, 2) odległość punktu poruszania się od A w prawo będzie oznaczona znakiem +, a w lewo znakiem znak -, 3) odstęp czasu od chwili obecnej znakiem + i do chwili obecnej znakiem -. W naszym zadaniu podane są następujące liczby: prędkość = + 4 dm. na sekundę, czas \u003d + 5 sekund i okazało się, jak obliczyli arytmetycznie, liczbę + 20 dm., Wyrażając odległość poruszającego się punktu od A po 5 sekundach. Ze znaczenia problemu widzimy, że odnosi się on do mnożenia. Dlatego wygodnie jest napisać rozwiązanie problemu:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Zadanie 2. Punkt porusza się po linii prostej od lewej do prawej z prędkością 4 dm. na sekundę i obecnie przechodzi przez punkt A. Gdzie był ten punkt 5 sekund temu?

Odpowiedź jest jasna: punkt znajdował się na lewo od A w odległości 20 dm.

Rozwiązanie jest wygodne, zgodnie z warunkami dotyczącymi znaków i mając na uwadze, że znaczenie problemu się nie zmieniło, zapisz je w następujący sposób:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Zadanie 3. Punkt porusza się po linii prostej od prawej do lewej z prędkością 4 dm. na sekundę i obecnie przechodzi przez punkt A. Gdzie będzie poruszający się punkt po 5 sekundach?

Odpowiedź jest jasna: 20 dm. na lewo od A. Dlatego przy tych samych warunkach znaku możemy zapisać rozwiązanie tego problemu w następujący sposób:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Zadanie 4. Punkt porusza się po linii prostej od prawej do lewej z prędkością 4 dm. na sekundę i aktualnie przechodzi przez punkt A. Gdzie znajdował się poruszający się punkt 5 sekund temu?

Odpowiedź jest jasna: w odległości 20 dm. po prawej stronie A. Dlatego rozwiązanie tego problemu należy zapisać w następujący sposób:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Rozważane problemy wskazują, jak rozszerzyć działanie mnożenia na liczby względne. Mamy w zadaniach 4 przypadki mnożenia liczb ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

We wszystkich czterech przypadkach należy pomnożyć wartości bezwzględne tych liczb, iloczyn musi wstawić znak +, gdy czynniki mają te same znaki (przypadek 1 i 4) i znak -, gdy czynniki mają różne znaki(przypadki 2 i 3).

Widzimy stąd, że iloczyn nie zmienia się w wyniku permutacji mnożnej i mnożnika.

Ćwiczenia.

Zróbmy jeden przykład obliczeń, który obejmuje zarówno dodawanie, odejmowanie, jak i mnożenie.

Aby nie pomylić kolejności działań, zwróć uwagę na formułę

Tutaj zapisana jest suma iloczynów dwóch par liczb: dlatego najpierw liczbę a mnoży się przez liczbę b, następnie liczbę c mnoży się przez liczbę d, a następnie dodaje się powstałe iloczyny. Również w formule

musisz najpierw pomnożyć liczbę b przez c, a następnie odjąć wynikowy iloczyn od a.

Jeżeli chciałbyś dodać iloczyn liczb a i b do c i otrzymaną sumę pomnożyć przez d, to powinieneś napisać: (ab + c)d (porównaj ze wzorem ab + cd).

Gdyby trzeba było pomnożyć różnicę liczb a i b przez c, wówczas zapisalibyśmy (a - b)c (porównaj ze wzorem a - bc).

Dlatego ogólnie ustalamy, że jeśli kolejność działań nie jest wskazana w nawiasach, wówczas musimy najpierw wykonać mnożenie, a następnie dodawanie lub odejmowanie.

Przechodzimy do obliczenia naszego wyrażenia: najpierw wykonajmy dodania zapisane we wszystkich małych nawiasach, otrzymamy:

Teraz musimy wykonać mnożenie w nawiasach kwadratowych, a następnie odjąć otrzymany iloczyn od:

Wykonajmy teraz czynności w nawiasach skręconych: najpierw mnożenie, a potem odejmowanie:

Teraz pozostaje wykonać mnożenie i odejmowanie:

16. Produkt kilku czynników. Niech będzie wymagane znalezienie

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Tutaj trzeba pomnożyć pierwszą liczbę przez drugą, otrzymany iloczyn przez 3 itd. Na podstawie poprzedniego nie jest trudno ustalić, że wartości bezwzględne wszystkich liczb muszą być pomnożyli się między sobą.

Jeżeli wszystkie czynniki były dodatnie, to na podstawie poprzedniego stwierdzamy, że produkt również musi mieć znak +. Jeśli którykolwiek czynnik byłby negatywny

np. (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

wtedy iloczyn wszystkich poprzedzających go czynników dałby znak + (w naszym przykładzie (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, poprzez pomnożenie otrzymanego iloczynu przez liczbę ujemną (w naszym przykładzie +24 razy -1) otrzymalibyśmy znak nowego iloczynu -; mnożąc go przez kolejny dodatni czynnik (w naszym przykładzie -24 przez +5), ponownie otrzymamy liczbę ujemną; ponieważ zakłada się, że wszystkie inne czynniki są dodatnie , znak produktu nie może się już zmienić.

Gdyby istniały dwa czynniki ujemne, to argumentując jak powyżej, stwierdziliby, że na początku, aż do osiągnięcia pierwszego ujemnego czynnika, iloczyn byłby dodatni, a pomnożenie go przez pierwszy ujemny współczynnik oznaczałoby, że nowy produkt okazałby się być ujemny i tak by było i tak pozostało, aż dotrzemy do drugiego ujemnego czynnika; wówczas, pomnożąc liczbę ujemną przez liczbę ujemną, nowy produkt okaże się dodatni i tak pozostanie w przyszłości, jeśli pozostałe czynniki będą dodatnie.

Jeżeli istniałby jeszcze trzeci czynnik ujemny, wówczas iloczyn dodatni otrzymany przez pomnożenie go przez ten trzeci czynnik ujemny stałby się ujemny; tak by pozostało, gdyby wszystkie pozostałe czynniki były pozytywne. Ale jeśli istnieje również czwarty czynnik ujemny, to pomnożenie przez niego spowoduje, że iloczyn będzie dodatni. Argumentując w ten sam sposób, stwierdzamy, że ogólnie:

Aby znaleźć znak iloczynu kilku czynników, należy sprawdzić, ile z tych czynników jest ujemnych: jeśli w ogóle ich nie ma lub jeśli jest ich liczba parzysta, to iloczyn jest dodatni: jeśli jest nieparzysta liczba czynników ujemnych, wówczas iloczyn jest ujemny.

Teraz możemy się tego łatwo dowiedzieć

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Teraz łatwo zauważyć, że znak iloczynu, a także jego wartość bezwzględna, nie zależą od kolejności czynników.

Wygodnie jest, gdy mamy do czynienia z liczbami ułamkowymi, aby natychmiast znaleźć iloczyn:

Jest to wygodne, ponieważ nie trzeba wykonywać bezużytecznych mnożeń, ponieważ wcześniej uzyskane wyrażenie ułamkowe jest maksymalnie zredukowane.