Za pomocą tego kalkulatora online możesz znaleźć kąt między liniami prostymi. Podano szczegółowe rozwiązanie wraz z objaśnieniami. Aby obliczyć kąt między prostymi, ustaw wymiar (2-jeżeli rozpatrywana jest prosta na płaszczyźnie, 3-jeżeli rozpatrywana jest prosta w przestrzeni), wprowadź elementy równania w komórkach i kliknij przycisk „ Rozwiąż”. Zobacz część teoretyczną poniżej.
×
Ostrzeżenie
Wyczyścić wszystkie komórki?
Zamknij Wyczyść
Instrukcja wprowadzania danych. Liczby wprowadza się jako liczby całkowite (przykłady: 487, 5, -7623 itd.), dziesiętne (np. 67., 102,54 itd.) lub ułamki zwykłe. Ułamek należy wpisać w postaci a/b, gdzie aib (b>0) są liczbami całkowitymi lub dziesiętnymi. Przykłady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.
1. Kąt między liniami na płaszczyźnie
Linie są podane przez równania kanoniczne
1.1. Wyznaczanie kąta między liniami
Niech linie w przestrzeni dwuwymiarowej Ł 1 i Ł
Zatem ze wzoru (1.4) można znaleźć kąt między prostymi Ł 1 i Ł 2. Jak widać na ryc. 1, przecinające się linie tworzą sąsiednie kąty φ I φ 1. Jeśli znaleziony kąt jest większy niż 90°, można znaleźć minimalny kąt między liniami Ł 1 i Ł 2: φ 1 =180-φ .
Ze wzoru (1.4) można wydedukować warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych.
Przykład 1. Określ kąt między liniami
Uprośćmy i rozwiążmy:
1.2. Stan linii równoległych
Pozwalać φ =0. Następnie cosφ=1. W tym przypadku wyrażenie (1.4) przyjmie następującą postać:
| , |
| , |
Przykład 2. Określ, czy proste są równoległe
Równość (1.9) jest spełniona, stąd proste (1.10) i (1.11) są równoległe.
Odpowiedź. Proste (1.10) i (1.11) są równoległe.
1.3. Warunek prostopadłości prostych
Pozwalać φ =90°. Następnie cosφ=0. W tym przypadku wyrażenie (1.4) przyjmie następującą postać:
Przykład 3. Określ, czy linie są prostopadłe
Warunek (1.13) jest spełniony, stąd proste (1.14) i (1.15) są prostopadłe.
Odpowiedź. Proste (1.14) i (1.15) są prostopadłe.
Linie proste są określone przez ogólne równania
1.4. Wyznaczanie kąta między liniami
Niech dwie linie Ł 1 i Ł 2 są dane ogólnymi równaniami
Z definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów mamy:
Przykład 4. Znajdź kąt między liniami
Zastępowanie wartości A 1 , B 1 , A 2 , B 2 w (1.23), otrzymujemy:
Kąt ten jest większy niż 90°. Znajdź minimalny kąt między liniami. Aby to zrobić, odejmij ten kąt od 180:
Z drugiej strony warunek linii równoległych Ł 1 i Ł 2 jest równoważne warunkowi wektorów współliniowych N 1 i N 2 i można przedstawić w następujący sposób:
Równość (1.24) jest spełniona, stąd proste (1.26) i (1.27) są równoległe.
Odpowiedź. Proste (1.26) i (1.27) są równoległe.
1.6. Warunek prostopadłości linii
Warunek prostopadłości prostych Ł 1 i Ł 2 można wyprowadzić ze wzoru (1.20) przez podstawienie sałata(φ )=0. Wtedy iloczyn skalarny ( N 1 ,N 2)=0. Gdzie
Równość (1.28) jest spełniona, stąd proste (1.29) i (1.30) są prostopadłe.
Odpowiedź. Proste (1.29) i (1.30) są prostopadłe.
2. Kąt między liniami w przestrzeni
2.1. Wyznaczanie kąta między liniami
Niech linie w przestrzeni Ł 1 i Ł 2 dają równania kanoniczne
gdzie | Q 1 | i | Q 2 | moduły wektorów kierunkowych Q 1 i Q 2 odpowiednio, φ -kąt między wektorami Q 1 i Q 2 .
Z wyrażenia (2.3) otrzymujemy:
 .
|
Uprośćmy i rozwiążmy:
 .
|
Znajdźmy kąt φ
KĄT MIĘDZY PŁASZCZYZNAMI
Rozważmy dwie płaszczyzny α 1 i α 2 określone odpowiednio równaniami:
Pod kąt między dwiema płaszczyznami mamy na myśli jeden z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny. Jest oczywiste, że kąt między wektorami normalnymi a płaszczyznami α 1 i α 2 jest równy jednemu ze wskazanych sąsiednich kątów dwuściennych lub 
. Dlatego 
. Ponieważ 
I 
, To
.
Przykład. Wyznacz kąt między płaszczyznami X+2y-3z+4=0 i 2 X+3y+z+8=0.
Warunek równoległości dwóch płaszczyzn.
Dwie płaszczyzny α 1 i α 2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne i są równoległe, a zatem 
.
Tak więc dwie płaszczyzny są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki na odpowiednich współrzędnych są proporcjonalne:
Lub
Warunek prostopadłości płaszczyzn.
Jest oczywiste, że dwie płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są prostopadłe, a zatem lub .
Zatem, .
Przykłady.
BEZPOŚREDNIO W PRZESTRZENI.
RÓWNANIE WEKTOROWE BEZPOŚREDNIE.
RÓWNANIA PARAMETRYCZNE BEZPOŚREDNIE
Położenie linii prostej w przestrzeni jest całkowicie określone przez określenie dowolnego z jej stałych punktów M 1 i wektor równoległy do tej prostej.
Nazywa się wektor równoległy do prostej prowadzenie wektor tej linii.
Więc pozwól prosto l przechodzi przez punkt M 1 (X 1 , y 1 , z 1) leży na linii prostej równoległej do wektora .
Rozważ dowolny punkt M(x, y, z) na linii prostej. Z rysunku widać, że 
.
Wektory i są współliniowe, więc istnieje taka liczba T, co , gdzie jest mnożnik T może przyjąć dowolną wartość liczbową w zależności od położenia punktu M na linii prostej. Czynnik T nazywa się parametrem. Oznaczanie wektorów promieni punktów M 1 i M odpowiednio przez i , Otrzymujemy . To równanie nazywa się wektor równanie linii prostej. Pokazuje, że każda wartość parametru T odpowiada wektorowi promienia pewnego punktu M leżąc na linii prostej.
Zapisujemy to równanie w postaci współrzędnych. Zauważ, że , 
i stąd
Otrzymane równania są nazywane parametryczne równania linii prostych.
Podczas zmiany parametru T zmieniają się współrzędne X, y I z i kropka M porusza się po linii prostej.
BEZPOŚREDNIE RÓWNANIA KANONICZNE
Pozwalać M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - punkt leżący na linii prostej l, I 
jest jego wektorem kierunku. Ponownie weź dowolny punkt na linii prostej M(x, y, z) i rozważ wektor .
Oczywiste jest, że wektory i są współliniowe, więc ich odpowiednie współrzędne muszą być proporcjonalne, stąd
– kanoniczny równania linii prostych.
Uwaga 1. Należy zauważyć, że równania kanoniczne linii można uzyskać z równań parametrycznych, eliminując parametr T. Rzeczywiście, z równań parametrycznych otrzymujemy 
Lub .
Przykład. Napisz równanie prostej 
w sposób parametryczny.
Oznaczać 
, stąd X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.
Uwaga 2. Niech linia będzie prostopadła do jednej z osi współrzędnych, na przykład osi Wół. Wtedy wektor kierunkowy linii jest prostopadły Wół, stąd, M=0. W konsekwencji równania parametryczne linii prostej przyjmują postać
Wyeliminowanie parametru z równań T, otrzymujemy równania prostej w postaci
Jednak iw tym przypadku zgadzamy się formalnie zapisać kanoniczne równania prostej w postaci 
. Tak więc, jeśli mianownik jednej z frakcji wynosi zero, oznacza to, że linia jest prostopadła do odpowiedniej osi współrzędnych.
Podobnie równania kanoniczne 
odpowiada prostej prostopadłej do osi Wół I Ojej lub oś równoległa Oz.
Przykłady.
RÓWNANIA OGÓLNE LINIA PROSTA JAKO LINIA PRZECIĘCIA DWÓCH PŁASZCZYZN
Przez każdą linię prostą w przestrzeni przechodzi nieskończona liczba płaszczyzn. Dowolne dwa z nich, przecinające się, określają go w przestrzeni. Dlatego równania dowolnych dwóch takich płaszczyzn, rozpatrywane łącznie, są równaniami tej prostej.
Ogólnie rzecz biorąc, dowolne dwie nierównoległe płaszczyzny dane ogólnymi równaniami
wyznaczyć linię ich przecięcia. Równania te nazywają się równania ogólne prosty.
Przykłady.
Skonstruuj linię prostą daną równaniami 
Aby zbudować linię, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty. Najprościej jest wybrać punkty przecięcia prostej z płaszczyznami współrzędnych. Na przykład punkt przecięcia z płaszczyzną xOj otrzymujemy z równań prostej, zakładając z= 0:
Rozwiązując ten system, znajdujemy punkt M 1 (1;2;0).
Podobnie zakładając y= 0, otrzymujemy punkt przecięcia prostej z płaszczyzną xOz:
Z ogólnych równań prostej można przejść do jej równań kanonicznych lub parametrycznych. Aby to zrobić, musisz znaleźć jakiś punkt M 1 na linii i wektor kierunku linii.
Współrzędne punktu M 1 otrzymujemy z tego układu równań, nadając jednej ze współrzędnych dowolną wartość. Aby znaleźć wektor kierunku, zauważ, że ten wektor musi być prostopadły do obu wektorów normalnych 
I 
. Dlatego dla wektora kierunku prostej l możesz wziąć iloczyn krzyżowy wektorów normalnych:
.
Przykład. Podaj ogólne równania prostej 
do postaci kanonicznej.
Znajdź punkt na linii prostej. W tym celu wybieramy dowolnie jedną ze współrzędnych, np. y= 0 i rozwiąż układ równań:
Wektory normalne płaszczyzn definiujących linię mają współrzędne 
Dlatego wektor kierunku będzie prosty
. Stąd, l: 
.
KĄT MIĘDZY PRAWAMI
narożnik między liniami prostymi w przestrzeni nazwiemy dowolny z sąsiednich kątów utworzonych przez dwie linie proste poprowadzone przez dowolny punkt równoległy do danych.
Niech dane będą dwie linie proste w przestrzeni:
Oczywiście kąt φ między prostymi można przyjąć jako kąt między ich wektorami kierunkowymi a . Skoro , to zgodnie ze wzorem na cosinus kąta między wektorami otrzymujemy
Niech linie będą dane w przestrzeni l I M. Przez pewien punkt A przestrzeni poprowadzimy linie proste l 1 || l I M 1 || M(ryc. 138).
Zauważ, że punkt A można wybrać dowolnie, w szczególności może on leżeć na jednej z podanych prostych. Jeśli prosto l I M przecinają się, to A można przyjąć jako punkt przecięcia tych prostych ( l 1 = l I M 1 = m).
Kąt między liniami nierównoległymi l I M jest wartością najmniejszego z sąsiednich kątów utworzonych przez przecinające się linie proste l 1 I M 1 (l 1 || l, M 1 || M). Zakłada się, że kąt między liniami równoległymi wynosi zero.
Kąt między liniami l I M oznaczony przez \(\widehat((l;m)) \). Z definicji wynika, że jeśli jest mierzona w stopniach, to 0 ° < \(\szeroki kapelusz((l;m)) \) < 90°, a jeśli w radianach, to 0 < \(\szeroki kapelusz((l;m)) \) < π / 2 .
Zadanie. Podano sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (ryc. 139).
Znajdź kąt między liniami prostymi AB i DC 1 .
Proste skrzyżowanie AB i DC 1. Ponieważ prosta DC jest równoległa do prostej AB, kąt między prostymi AB i DC 1, zgodnie z definicją, jest równy \(\widehat(C_(1)DC)\).
Stąd \(\szeroki kapelusz((AB;DC_1))\) = 45°.
Bezpośredni l I M zwany prostopadły, jeśli \(\szeroki kapelusz((l;m)) \) = π / 2. Na przykład w sześcianie
Obliczanie kąta między liniami.
Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni rozwiązuje się w taki sam sposób, jak w płaszczyźnie. Oznaczmy przez φ kąt między prostymi l 1 I l 2 , a przez ψ - kąt między wektorami kierunkowymi A I B te proste linie.
A następnie, jeśli
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (ryc. 206.6), wtedy φ = 180° - ψ. Jest oczywiste, że w obu przypadkach równość cos φ = |cos ψ| jest prawdziwa. Zgodnie ze wzorem (cosinus kąta między niezerowymi wektorami a i b jest równy iloczynowi skalarnemu tych wektorów podzielonemu przez iloczyn ich długości) mamy
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
stąd,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Niech linie będą dane przez ich równania kanoniczne
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; I \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Następnie kąt φ między liniami określa się za pomocą wzoru
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Jeśli jedna z linii (lub obie) jest dana przez równania niekanoniczne, to aby obliczyć kąt, musisz znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych linii, a następnie użyć wzoru (1).
Zadanie 1. Oblicz kąt między liniami
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;i\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Wektory kierunkowe prostych mają współrzędne:
za \u003d (-√2; √2; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).
Według wzoru (1) znajdujemy
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Zatem kąt między tymi prostymi wynosi 60°.
Zadanie 2. Oblicz kąt między liniami
$$ \begin(przypadki)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(przypadki) i \begin(przypadki)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\koniec(przypadki) $$
Za wektorem prowadzącym A pierwszą prostą bierzemy iloczyn wektorowy wektorów normalnych N 1 = (3; 0; -12) i N 2 = (1; 1; -3) płaszczyzny definiujące tę linię. Ze wzoru \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) otrzymujemy
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Podobnie znajdujemy wektor kierunkowy drugiej linii prostej:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Ale wzór (1) oblicza cosinus pożądanego kąta:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Zatem kąt między tymi prostymi wynosi 90°.
Zadanie 3. W piramidzie trójkątnej MAVS krawędzie MA, MB i MC są wzajemnie prostopadłe (ryc. 207);
ich długości są odpowiednio równe 4, 3, 6. Punkt D jest środkiem [MA]. Znajdź kąt φ między prostymi CA i DB.
Niech SA i DB będą wektorami kierunkowymi prostych SA i DB.
Przyjmijmy punkt M jako początek współrzędnych. Według warunku zadania mamy A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Dlatego \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Korzystamy ze wzoru (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Zgodnie z tabelą cosinusów stwierdzamy, że kąt między liniami prostymi CA i DB wynosi około 72 °.
Oh-oh-oh-oh-oh… no to blado, jakbyś sobie czytała zdanie =) Jednak wtedy relaks pomoże, tym bardziej, że kupiłam dzisiaj odpowiednie akcesoria. Dlatego przejdźmy do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu zachowam pogodny nastrój.
Wzajemny układ dwóch linii prostych
Przypadek, gdy sala śpiewa w refrenie. Dwie linie mogą:
1) dopasowanie;
2) być równoległe: ;
3) lub przecinają się w jednym punkcie: .
Pomoc dla debili : proszę pamiętać o matematycznym znaku skrzyżowania, będzie się on pojawiał bardzo często. Wpis oznacza, że prosta przecina się z prostą w punkcie.
Jak określić względną pozycję dwóch linii?
Zacznijmy od pierwszego przypadku:
Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje taka liczba „lambda”, że równości
Rozważmy proste i ułóżmy trzy równania z odpowiadających im współczynników: . Z każdego równania wynika zatem, że linie te pokrywają się.
Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania 
pomnóż przez -1 (zmień znaki) i wszystkie współczynniki równania 
zmniejsz o 2, otrzymasz to samo równanie: .
Drugi przypadek, gdy proste są równoległe:
Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy zmiennych są proporcjonalne: 
, Ale.
Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych: 
Jednak jasne jest, że .
I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:
Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE istnieje taka wartość "lambda" aby równości były spełnione 
Tak więc dla prostych ułożymy układ: 
Z pierwszego równania wynika, że , a z drugiego równania: , stąd system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki przy zmiennych nie są proporcjonalne.
Wniosek: linie przecinają się
W praktycznych problemach można zastosować właśnie rozważany schemat rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest bardzo podobny do algorytmu sprawdzania współliniowości wektorów, który rozważaliśmy na lekcji. Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Podstawa wektorowa. Ale jest bardziej cywilizowany pakiet:
Przykład 1
Znajdź względne położenie linii: 
Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierujących liniami prostymi:
a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: 
.
, więc wektory nie są współliniowe i proste się przecinają.
Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:
Reszta przeskakuje przez kamień i idzie dalej, prosto do Kashchei Nieśmiertelnego =)
b) Znajdź wektory kierunkowe prostych: 
Proste mają ten sam wektor kierunku, co oznacza, że są albo równoległe, albo takie same. Tutaj wyznacznik nie jest konieczny.
Oczywiście współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, natomiast .
Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa: 
Zatem,
c) Znajdź wektory kierunkowe prostych: 
Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów: 
, zatem wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.
Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Jednak można to również znaleźć za pomocą współczynników samych równań: 
.
Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Oba wolne terminy są zerowe, więc:
Otrzymana wartość spełnia to równanie (zwykle spełnia je dowolna liczba).
W ten sposób linie się pokrywają.
Odpowiedź:
Bardzo szybko nauczysz się (lub już się nauczyłeś) rozwiązywać rozważany problem ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. Pod tym względem nie widzę powodu, aby oferować coś za samodzielne rozwiązanie, lepiej dołożyć jeszcze jedną ważną cegiełkę w geometrycznym fundamencie:
Jak narysować linię równoległą do danej?
Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Rozbójnik surowo karze.
Przykład 2
Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.
Rozwiązanie: Oznacz nieznaną linię literą . Co mówi o tym warunek? Linia przechodzi przez punkt. A jeśli proste są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy prostej „ce” nadaje się również do zbudowania prostej „te”.
Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:
Odpowiedź:
Geometria przykładu wygląda prosto: 
Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:
1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).
2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie.
Weryfikacja analityczna w większości przypadków jest łatwa do przeprowadzenia ustnie. Przyjrzyj się dwóm równaniom, a wielu z was szybko odkryje, w jaki sposób linie są równoległe bez żadnego rysowania.
Przykłady samodzielnego rozwiązania dzisiaj będą kreatywne. Bo ciągle trzeba rywalizować z Babą Jagą, a ona, wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.
Przykład 3
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do prostej if
Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga znajduje się na końcu lekcji.
Popracowaliśmy trochę nad liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:
Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych?
Jeśli prosto 
przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych 
Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.
Twoje zdrowie znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwie przecinające się (najczęściej) linie proste na płaszczyźnie.
Przykład 4
Znajdź punkt przecięcia prostych
Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.
Graficzny sposób polega po prostu na narysowaniu podanych linii i znalezieniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku: 
Oto nasz punkt: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny one pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. W rzeczywistości rozważaliśmy graficzny sposób rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.
Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści decydują w ten sposób, chodzi o to, że zrobienie poprawnego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.
Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ: 
Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyrazami. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, odwiedź lekcję Jak rozwiązać układ równań?
Odpowiedź:
Weryfikacja jest banalna - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.
Przykład 5
Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.
To jest przykład zrób to sam. Wygodnie jest podzielić problem na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Napisz równanie prostej.
2) Napisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.
Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie koncentrował.
Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:
Para butów nie została jeszcze zużyta, ponieważ przeszliśmy do drugiej części lekcji:
Prostopadłe linie. Odległość od punktu do linii.
Kąt między liniami
Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować prostą równoległą do podanej, a teraz chatka na kurzych nóżkach obróci się o 90 stopni:
Jak narysować linię prostopadłą do danej?
Przykład 6
Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt.
Rozwiązanie: Wiadomo z założenia, że . Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy linii prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:
Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierunkowym prostej.
Tworzymy równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy:
Odpowiedź: 
Rozłóżmy szkic geometryczny:
Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.
Analityczna weryfikacja rozwiązania:
1) Wyodrębnij wektory kierunkowe z równań 
i z pomocą iloczyn skalarny wektorów wnioskujemy, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .
Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.
2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie 
.
Weryfikacja jest łatwa do przeprowadzenia ustnie.
Przykład 7
Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane 
i kropka.
To jest przykład zrób to sam. W zadaniu jest kilka działań, więc wygodnie jest ułożyć rozwiązanie punkt po punkcie.
Nasza ekscytująca podróż trwa:
Odległość od punktu do linii
Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadłości. Oznacza to, że odległość od punktu do linii jest długością odcinka prostopadłego.
Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.
Odległość od punktu do linii 
wyraża się wzorem
Przykład 8
Znajdź odległość od punktu do prostej 
Rozwiązanie: wszystko, czego potrzebujesz, to ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:
Odpowiedź: 
Wykonajmy rysunek: 
Odległość znaleziona od punktu do linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli wykonasz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wtedy odległość można zmierzyć zwykłą linijką.
Rozważ inne zadanie według tego samego rysunku:
Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu , który jest symetryczny do punktu względem prostej 
. Proponuję wykonać działania we własnym zakresie, jednak nakreślę algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:
1) Znajdź prostą prostopadłą do prostej.
2) Znajdź punkt przecięcia linii: 
.
Obie akcje są szczegółowo omówione w tej lekcji.
3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znajdować .
Sprawdzenie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki, nie będzie zbędne.
Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala liczyć ułamki zwykłe. Doradzałem wiele razy i będę polecał ponownie.
Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?
Przykład 9
Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami
To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała podpowiedź: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Odprawa na koniec lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.
Kąt między dwiema liniami
Niezależnie od rogu, to oścież: 
W geometrii kąt między dwiema liniami prostymi jest traktowany jako KĄT MNIEJSZY, z czego automatycznie wynika, że nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany czerwonym łukiem nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub zorientowane przeciwnie karmazynowy kącik.
Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.
Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” rogu ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt skierowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .
Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny i nie powinno to nikogo dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) za pomocą strzałki.
Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie formuły robocze:
Przykład 10
Znajdź kąt między liniami
Rozwiązanie I Metoda pierwsza
Rozważmy dwie proste określone równaniami w postaci ogólnej: 
Jeśli prosto nie prostopadłe, To zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru: 
Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie to iloczyn skalarny wektory kierunkowe prostych:
Jeśli , to mianownik wzoru znika, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego zgłoszono zastrzeżenie co do nieprostopadłości linii w sformułowaniu.
W oparciu o powyższe rozwiązanie można wygodnie sformalizować w dwóch krokach:
1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących liniami prostymi:
więc proste nie są prostopadłe.
2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:
Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości łuku tangensa (patrz ryc. Wykresy i własności funkcji elementarnych):
Odpowiedź: 
W odpowiedzi podajemy dokładną wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej zarówno w stopniach, jak i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.
Cóż, minus, więc minus, jest w porządku. Oto ilustracja geometryczna: 
Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w stanie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.
Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić proste, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania 
i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od directa 
.
Definicja. Jeśli dane są dwie proste y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , to kąt ostry między tymi prostymi będzie określony jako
Dwie proste są równoległe, jeśli k 1 = k 2 . Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2 .
Twierdzenie. Linie proste Ax + Vy + C \u003d 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB są proporcjonalne. Jeśli również С 1 = λС, to proste pokrywają się. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt
prostopadle do tej linii
Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadła do linii y \u003d kx + b jest reprezentowana przez równanie:
Odległość od punktu do linii
Twierdzenie. Jeśli podany jest punkt M(x 0, y 0), to odległość do linii Ax + Vy + C \u003d 0 jest zdefiniowana jako
.
Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej poprowadzonej z punktu M do danej prostej. Wtedy odległość między punktami M i M 1:
(1)
Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:
Drugim równaniem układu jest równanie prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadłej do danej prostej. Jeżeli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
następnie rozwiązując otrzymujemy:
Podstawiając te wyrażenia do równania (1), znajdujemy:
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Przykład. Pokaż, że proste 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 są prostopadłe.
Rozwiązanie. Znajdujemy: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, dlatego proste są prostopadłe.
Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości poprowadzone z wierzchołka C.
Rozwiązanie. Znajdujemy równanie boku AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Żądane równanie wysokości to: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b. k = . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, to jej współrzędne spełniają to równanie: 
skąd b = 17. Razem: . 
Odpowiedź: 3x + 2y - 34 = 0.
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt w określonym kierunku. Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Kąt między dwiema liniami. Warunek równoległości i prostopadłości dwóch prostych. Wyznaczanie punktu przecięcia dwóch prostych
1. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt A(X 1 , y 1) w określonym kierunku, określonym przez nachylenie k,
y - y 1 = k(X - X 1). (1)
To równanie definiuje ołówek linii przechodzących przez punkt A(X 1 , y 1), który jest nazywany środkiem wiązki.
2. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: A(X 1 , y 1) i B(X 2 , y 2) jest napisane tak:
Nachylenie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty określa wzór
3. Kąt między liniami prostymi A I B jest kątem, o jaki należy obrócić pierwszą linię prostą A wokół punktu przecięcia tych linii w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aż zbiegnie się z drugą linią B. Jeśli dwie linie są dane równaniami nachylenia
y = k 1 X + B 1 ,
y = k 2 X + B 2 , (4)
następnie kąt między nimi jest określony przez wzór
Należy zauważyć, że w liczniku ułamka nachylenie pierwszej prostej jest odejmowane od nachylenia drugiej prostej.
Jeżeli równania linii prostej są podane w postaci ogólnej
A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)
kąt między nimi jest określony wzorem
4. Warunki równoległości dwóch prostych:
a) Jeżeli proste są dane równaniami (4) o nachyleniu, to warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest równość ich nachyleń:
k 1 = k 2 . (8)
b) Dla przypadku, gdy proste są dane równaniami w postaci ogólnej (6), warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest, aby współczynniki w odpowiednich współrzędnych prądowych w ich równaniach były proporcjonalne, tj.
5. Warunki prostopadłości dwóch linii:
a) W przypadku, gdy proste są dane równaniami (4) o współczynniku kierunkowym, warunkiem koniecznym i wystarczającym ich prostopadłości jest, aby ich współczynniki kierunkowe były odwrotne co do wielkości i przeciwne co do znaku, tj.
Warunek ten można również zapisać w postaci
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Jeżeli równania prostych podane są w postaci ogólnej (6), to warunkiem ich prostopadłości (koniecznej i wystarczającej) jest spełnienie równości
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii wyznacza się rozwiązując układ równań (6). Proste (6) przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy
1. Napisz równania prostych przechodzących przez punkt M, z których jedna jest równoległa, a druga prostopadła do danej prostej l.